radice lucio - la matematica de pitagoras a newton

7/28/2019 Radice Lucio - La Matematica de Pitagoras a Newton

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LA MATEMTICADE PITGORAS A NEWTON

LUCIO LOMBARDO RADICE


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LA MATEMTICADE PITGORAS A NEWTONLUCIO LOMBARDO RADICE


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La edicin original italiana fue publicada porEditori Riuniti en 1971 y reeditada en 1979,

con el ttulo: La matemtica da Pitagora a Newton

Editorial Riuniti, 1971.

Traduccin de Juan VivancoDiseo y realizacin de la cubierta: Enric SatuPrimera edicin: mayo, 1983

Propiedad de esta edicin (incluida la traduccin y el diseode la cubierta): Editorial Laia, S. A.Constitucin, 18-20, Barcelona-14

Depsito legal: B. 17.525 - 1983

ISBN: 84-7222-392-2

Impreso en: Romany/Valls, Verdaguer, 1 - Capellades (Barcelona)

Printed in Spain


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Hace nueve aos dediqu a mis hijos Daele, Marco y Giovanni, y a mis sobrinosCeleste, Bruna, Chiara, Renata, Guido y Andrea, que entonces eran adolescentes o toda

va nios, estas pginas escritas para los pequeos.Ahora renuevo esta dedicatoria, y la ten

go que ampliar con cario a los nuevos hijosy nietos que a travs de ellos he tenido, aMarina, Marco, Giorgio y Chris; a la primeraquerida criatura de la nueva generacin, Gio-vannina, que acaba de nacer de Celeste yMarco, y a muchas ms que espero la habrn

de seguir.Tendra que seguir alargando la dedicatoria de hace cinco aos, porque la nuevageneracin se multiplica: aadir slo el nom

bre de mi primera nietecilla, Luca, hija deDaniele y de Brbara.

Roma, marzo de 1976


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ADVERTENCIA A LOS LECTORESANTES DE QUE EMPIECEN A LEER

Hace casi dos mil trescientos aos, cuando reinaba enEgipto Ptolomeo I (que rein del 306 al 283 aC), el sabiogriego Euclides escribi un libro famoso, los Elementos (degeometra). Se trata del libro que, despus de la Biblia y lasobras de Lenin, ha tenido ms ediciones y se ha traducido ams lenguas: ha sido, hasta hace algunos decenios, el librode geometra para la enseanza media. Pues bien, el rey

Ptolomeo empez a leerlo, pero se cans en seguida. Le costaba mucho trabajo seguir los largos y minuciosos razonamientos de Euclides. El rey mand entonces llamar al cient

fico, y le pregunt si en geometra exista alguna va mscorta y menos trabajosa que la de los Elementos. A lo queEuclides respondi que no, que en matemticas no hay caminos reales.

Para entender la matemtica hay que hacer funcionar elcerebro, y esto siempre supone algn esfuerzo. No es posible

hacer unas matemticas de tebeo, no es posible transformar su historia en una novelita. El que tenga la mente perezosa, el que no sienta el placer de hacer trabajar su cerebro, es mejor que ni siquiera empiece a leer. En cambio, elque no se asusta de los esfuerzos de la mente, que no se desanime si, aqu o all, no entiende algo, a primera vista; y no

pretenda leerlo todo de corrido, sino que lea atentamente,poco a poco, saltndose las cosas ms difciles o haciendoque se las explique alguien que haya estudiado ms que l.

Importante: Se recomienda que todos tengan a mano papel y lpiz para poder repetir por su cuenta los clculos, dibujos y razonamientos. Se recuerda tambin que los apndices a los que se hace referencia en el texto se encuentranal final del volumen.

L. L. R.


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1. Los nmeros

Un maravilloso invento del hombre

Desde muy pequeos, por lo general an antes de ir a laescuela, aprendemos a leer las palabras y los nmeros; hastatal punto esto se convierte en un hbito, que no nos damoscuenta de la extraordinaria genialidad del hombre, que haconseguido con slo 21 letras ( 24, 26, segn los idiomas)escribir todas las posibles, infinitas palabras, y con slo 10 cifras, todos los posibles, infinitos nmeros. Con 31 signos,

pues, nos convertimos a los seis aos, y a menudo inclusoantes, en dueos de las llaves que abren los tesoros del mundo:todos los libros, todas las tablas y todos los clculos que poetas, escritores, fsicos, astrnomos y matemticos han podidolegarnos desde que el hombre ha inventado esos dos instrumentos admirables: la escritura alfabtica y la numeracinposicional. Son dos invenciones que tienen algo en comn, yambas han costado miles de aos de esfuerzos a la mente humana. Dar un valor al lugar que ocupa una cifra (principio

posicional) era una idea ms difcil que la de dividir las pala

bras en los sonidos que las componen, y escribirlas poniendounos detrs de otros (o, en algunos idiomas, unos debajo deotros) los signos establecidos para aquellos sonidos, en vez detomarse el trabajo de inventar y recordar un dibujo distinto,un ideograma, para cada palabra. En efecto, en Italia, porejemplo, el origen de la escritura alfabtica se pierde en la oscuridad de la prehistoria: antes del alfabeto latino, que es elque se emplea todava hoy, existan el griego y el etrusco.En cambio, la introduccin de la numeracin rabe (sera

ms correcto, como veremos, decir india), o sea de una numeracin en la que se tiene en cuenta la posicin de lascifras, es un hecho histrico relativamente reciente, del queincluso podemos dar la fecha. Estamos en 1202, en tiemposde Marco Polo, las Cruzadas, Federico Barbarroja, las rep

blicas marineras italianas; un mercader-matemtico italiano,Leonardo Fibonacci, llamado Leonardo el Pisano, escribe un


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librillo que merecera tener la misma fama que Los viajes deMarco Polo (y quiz que la propia Divina Comedia de DanteAlighieri), el Libro del baco (en latn: Liber abaci), en el queexplica genialmente el comodsimo sistema de los rabes paraescribir los nmeros y sus aplicaciones.

Una discusin con un muchacho romano antiguo

La gran diferencia frente a la forma de escribir los nmeros empleada hasta entonces no resida en los signos

para indicar los nmeros, sino en el modo de emplearlos. Porejemplo, el signo (la cifra) para indicar uno es ms o menos el mismo en la numeracin de los antiguos chinos, egipcios, romanos y en la nuestra, que procede de los rabes: unabarra, un palito, con alguna pequea variante. I paralos romanos (ver apndice nm. 1), 1 para nosotros. Perosupongamos por un momento que nos encontramos con unmuchacho de la antigua Roma y que nos entendemos lo me

jor posible con l en latn. Trazamos con un dedo en la arena,

como solan hacer los antiguos romanos en los mercados, trespalitos en fila, as:

III.

El muchacho romano antiguo dir que el nmero es eltres, mientras que el muchacho moderno dir que esel nmero ciento once. Quin tiene la razn? Los dos, y nin

guno: el caso es que uno sigue una regla, y el otro otra. Elromano, cuando escribe: III, quiere decir:

1 + 1 + 1 = 3

mientras que nosotros, escribiendo las mismas cifras en elmismo orden, queremos decir:

1 centena + 1 decena + 1 unidad = 100 + 10 + 1 =

= ciento once.De la misma forma, podremos convencer fcilmente al

muchacho romano antiguo de que escriba 5 en lugar de V;pero ser bastante difcil hacerle comprender que dondepone 51, no debe leer 5 + 1 = 6 , sino 5 decenas + 1 unidad= cincuenta y uno.


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Clculos y bacos; zephyrus y algoritmo

En una palabra, entre nuestra forma de escribir los nmeros y la que empleaban los antiguos romanos hay dos diferencias. En primer lugar, ellos empleaban signos distintos delos nuestros: es la diferencia ms visible, pero la menos im

portante. En segundo lugar, creaban nuevos nmeros combinando los smbolos fundamentales de una forma completamente distinta a la nuestra, con adiciones y sustraccionesde los nmeros representados por signos cercanos (ver la

segunda parte del apndice nm. 1).Tratemos de escribir con el sistema de los romanos un

nmero un poco elevado, por ejemplo una fecha reciente,como se suele hacer hoy en da en el dintel de los edificios para recordar el ao de su construccin. Probemos conmil novecientos cincuenta y ocho. Habr que descomponerlo as: mil + novecientos + cincuenta + ocho, y ademsrecordar que: novecientos = mil cien, y ocho = cinco +

tres = cinco + uno + uno + uno; escribiremos pues

MCMLVIII.

Hemos tenido que utilizarocho signos en vez de las cuatrocifras que se necesitan para escribir 1958 en la forma de losindios; y el asunto sera mucho, pero mucho peor si tuviramos que escribir un nmero verdaderamente grande. Y adems, menudo trabajo tener que inventar cada vez una descomposicin que permita que no sean necesarios demasiadossignos, menudo trabajo tener que leer un nmero un pocolargo!, cundo habr que sumar?, cundo restar?

Pero con el mtodo romano para escribir los nmeros hayun inconveniente mucho ms grave: no se pueden hacer los

clculos como los hacemos nosotros, con la numeracin rabe-india. Ni siquiera se puede hacer una adicin en columna: notendra sentido. Efectivamente, los antiguos romanos no realizaban los clculos con nmeros escritos, sino con... clculos,o sea con piedrecitas. Y es que, en efecto, nuestra palabraclculo viene de la palabra latina calculus, que significapiedrecita. Clculo ha conservado en espaol el significado


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de piedrecilla, cuando se habla de las acumulaciones que seforman en ciertos rganos debido a su mal funcionamiento

(clculo en el rion, clculo en el hgado).

Figura 1

En las columnas as formadas colocaban unas piedrecitas:en la ltima, una piedrecita por cada sestercio; si en la ltimacolumna se llegaba a las diez piedrecillas, haba que quitarlasy sustituirlas por una nica piedrecilla que se colocaba en la

penltima columna. Por lo tanto, en la penltima columnacada piedrecita vala diez de las de la ltima; en la ante

penltima, cada piedrecita vala diez de las de la penltima,y as sucesivamente. Tambin se poda utilizar un mtodoanlogo con unas pizarrillas apropiadas, llamadas abacos.

Est claro, pues, que en el clculo prctico con guijarros(o con los bacos) los antiguos romanos haban alcanzado yala idea del valor de la posicin: una misma piedrecilla poda valer uno, diez, cien, mil, etc., segn la columna en queestuviera colocada. Es ms, algunas veces, para ir ms de prisa,los antiguos romanos ponan unos signos encima de los gui

jarros (o encima de unas fichas adecuadas): si encima delcalculus haba cierto signo, vala por dos, si haba otrovala por tres, y as sucesivamente hasta nueve. Empezamos aaproximarnos mucho a nuestro modo de escribir los nmeros,no es cierto? Pero todava queda un paso muy importante,del que nos podemos dar cuenta con un ejemplo. Trataremosde escribir el nmero tres mil setenta y cinco. Son tres millares, ninguna centena, siete decenas y cinco unidades. Porlo tanto, empezando por el final, hay que colocar cinco clcu

los en la ltima columna, siete en la penltima, ninguno enla antepenltima y tres en la primera. O si no, para ir msde prisa, usemos clculos con signos encima, que indiquencuntas piedrecillas vale cala clculo, o mejor reemplacemosesos signos, para que nos resulte ms cmodo, por nuestrascifras (arbigas). He aqu cmo aparece el nmero tres milsetenta y cinco en ambos casos:


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Figura 2

Observemos con atencin la ltima lnea: si borramos laslneas verticales, si quitamos las fichas y conservamos nicamente los signos escritos en ellas, todava nos falta una cosa

para tener el nmero tres mil setenta y cinco tal como lo escribimos nosotros: falta un signo para indicar que en el ante

penltimo lugar no hay ninguna piedrecita, es decir, que alas cinco unidades y siete decenas no se le aade ningunacentena, sino slo tres millares exactos. Falta un signo paraindicar la columna vaca: falta el cero.Tenis en vuestra casa un diccionario espaol-latn? Buscad la palabra cero, y veris que en latn no existe un trmino equivalente. Encontraris el espaol cero traducido conel latn nihil o nllus numeras, palabras que de hecho significan nada, ningn nmero. La palabra cero, en efecto,viene del rabe sifr, que quiere decir vaco (recordis la columna vaca en el esquema del ejemplo que hemos puesto hace

un momento?). Leonardo Pisano, en 1202, al escribir aquelfamoso Liber abaci del que ya hemos hablado, busc unapalabra latina que sonara de un modo parecido al rabe sifr,y escribi: zephyrus (que se pronuncia zefirus; es una brisaque tambin en espaol se llama cfiro). De aqu evolucion acevero y finalmente a cero.

Vemos que la importancia de los rabes en la historia delos nmeros tambin se pone de manifiesto en las palabras.El mismo trmino usado por los rabes para el cero, es decir

sifr, ha dado lugar a nuestra palabra cifra. Y en efectoel sifr es una cifra, es ms, se trata de la cifra por excelencia, la ms importante, la ms difcil de inventar y deentender. Ya hemos dicho que los rabes no inventaronel cero ni la numeracin posicional, pero fueron ellos quieneslas difundieron, y quienes obtuvieron las primeras consecuencias prcticas y tericas. Muchas veces nos creemos que la


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civilizacin es slo obra nuestra, que todos los grandes progresos de la humanidad se deben a los pueblos mediterrneos

o incluso slo a la Europa Occidental. Pero reflexionemosun poco: en el 772 dC, cuando en Europa imperaba elfeudalismo, la decadencia de la cultura, y no haba ya casinadie que pudiera entender los libros de ciencia de los antiguos, en Bagdad, la capital del imperio rabe, los embajadores indios llevaban como regalos preciados, no joyas ni oro,sino tablas de clculos astronmicos escritas con el nuevosistema. Y el califa, el brbaro sarraceno en los relatosde los cruzados, pagaba con prodigalidad a los estudiosos para

que difundieran por todo su imperio el admirable descubrimiento del pensamiento humano, la nueva forma de calcular,o algoritmo, como decimos los matemticos.

Adems, tambin la palabra algoritmo (mtodo de clculo) es una palabra rabe: se trata de la deformacin del nom

bre del gran sabio a quien el califa haba confiado la tareade difundir la numeracin india, que se llamaba precisamenteal-Khuwarizmi. Si lo pensis bien, no creis que se trata de

una forma muy noble de convertirse en inmortal, dejando elnombre de uno a una palabra importante, que pronuncianlas generaciones sucesivas sin acordarse ya del hombre quele dio origen?

En la poca, ms o menos, de las luchas entre los gelfosy gibelinos, de las que hablan todos los libros de historia,hubo una lucha entre dos partidos, sin derramamiento desangre, y slo con derramamiento de... tinta, de la que loslibros de historia generalmente no hablan, y que sin embargo

creo que no fue menos importante para la humanidad quelas anteriormente citadas; hubo una lucha entre el partido delos abaquistas y el de los algoritmistas. Se trat de la discusinentre los que queran seguir contando con los abacos y losque, en cambio, como Leonardo Pisano, sostenan que habaque desechar los bacos y adoptar el algoritmo nuevo, el mtodo de numeracin de al-Khuwarizmi. A la larga vencieronlos algoritmistas (a la larga, siempre es el progreso el que

prevalece), pero fueron necesarios dos siglos largos para que

la nueva numeracin se difundiera y se impusiera completamente.

Tambin los bacos y las cuentas con los dedossiguen siendo tiles

Pero no despreciemos demasiado a los pobres abacos. To-


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dava pueden servir para algo. Pueden ser tiles, por ejemplo,en forma de tablas de contar, con diez bolas en cada lnea (en

lugar de diez piedrecits porcolumna),

para que los niospequeos comprendan el concepto de unidad, y luego el dedecena. Las tablas de contar, por otro lado, tambin puedenservir perfectamente a los mayores (en una oficina, en un comercio), como un instrumento simple, rpido y muy seguro

para hacer sumas. Cuando en una fila las diez bolitas se hancorrido todas de un lado a otro, por ejemplo de derecha aizquierda, se las coloca de nuevo en su posicin inicial y se des

plaza una bolita de la fila inmediatamente superior (se trata

siempre del valor de la posicin, como habris entendido:cada bolita de la ltima fila vale una unidad, cada bolita dela penltima vale una decena, o sea diez bolitas de las de laltima, y as sucesivamente). Si vierais con qu rapidez, enMosc, en Tokio o en Pekn, las encargadas de los comercioshacen cuentas con la tabla! Naturalmente, con la rpida difusin de las cajas registradoras, incluso en los pases dondehay una larga tradicin de clculo manual con bacos, estacostumbre se ir perdiendo poco a poco.

Tampoco despreciemos demasiado las cuentas con losdedos. Los dedos de la mano han sido el primer abaco delhombre: el primer sistema de numeracin ha sido el mmico,o sea con gestos de las manos. Todava se puede encontraralgn vestigio de esto en el lenguaje: por ejemplo en espaoldgito (del latn digiti, los dedos) indica el nmero de guarismos d las cifras. Tambin en tiempos de Leonardo Pisano yde los primeros algoritmistas, la indigitacin (el conjunto de

reglas para hacer cuentas con los dedos) era una ciencia bastante desarrollada. Hoy da quin estudia eso? Y sin embargo,tambin en esa vieja ciencia primitiva podemos encontraralguna regla interesante. Conocis, por ejemplo, la reglaturca, para obtener los productos entre ellos de los nmeroscomprendidos entre el 6 y el 9, o sea para obtener la ltima

parte de la tabla pitagrica, tan antiptica y difcil de recordar? (Ver apndice nmero 2.)

Los nmeros figurados de Pitgoras

Si reflexionamos un poco, encontraremos en ciertos casos,todava hoy, que para escribir nmeros no se emplean cifras,sino grupos de signos iguales entre ellos, tantos como seanlas unidades del nmero. Por ejemplo, en los dados los nme-

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ros estn representados por puntos; en los naipes con oros,copas, espadas y bastos (o con corazones, trboles,picas y diamantes. Tambin la representacin de los nmeros con puntos constituy antiguamente una ciencia: laciencia de los nmeros figurados de los pitagricos (los discpulos de Pitgoras, que vivi en el s. VI aC, y del cual hablaremos ms detenidamente). Tambin es sta, desde luego,una ciencia superada, pero siempre podemos sacar algunaconclusin interesante, de una forma sencilla y elegante, ycon menos esfuerzo, quiz, que utilizando el lgebra (otronombre rabe, que explicaremos ms adelante).

Un ejemplo. Los pitagricos denominaban los nmerostriangulares, cuadrados, cbicos, etc., segn originara dichonmero, por la distribucin regular de los puntos que lo representaba, un tringulo rectngulo issceles (con los dos ladosmenores iguales), un cuadrado o un cubo. Los nmeroscuadrados son, naturalmente, los cuadrados de los nmeros. Por ejemplo 4 = 2 x 2 = 22 (dos al cuadrado), 9 = 3 x 3,16 = 4 x 4, 25 = 5 x 5, etc., se representan con los siguientescuadrados de puntos:

Figura 3

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Ahora, en lugar de descomponer estos cuadrados de punos en sus filas (o columnas), procedamos de la siguiente

forma (ver figura 3): los dividimos en otras tantas lneasquebradas (como eles al revs, J, o escuadras de dibujo) quepartiendo de un punto de la primera fila, bajen en lnea rectahasta la diagonal del cuadrado ,y luego doblen en ngulo recto

para llegar, horizontalmente, hasta la primera columna. Entonces se puede ver en seguida, ya en los ejemplos dibujadosal principio, que estas lneas quebradas estn formadas (deizquierda a derecha) por 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc., puntos. Se tieneentonces que:

El cuadrado de 2 es la suma de los dos primeros nmerosimpares (1 + 3 = 4); el cuadrado de 3 es la suma de los tresprimeros nmeros impares (1 + 3 + 5 = 9); el cuadradode 4 es la suma de los cuatro primeros nmeros impares(1 +3 + 5 + 7 = 16); el cuadrado de 5 es la suma de los cinco

primeros nmeros impares ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25)... Engeneral, si llamamos N a un nmero entero cualquiera:

El cuadrado del nmero entero N es la suma de los N pri

meros nmeros impares.Se puede decir de otra manera:

Se obtienen sucesivamente los cuadrados de los N primerosnmeros enteros haciendo sucesivamente las sumas de losprimeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... N, nmeros impares.

Segn esta regla hemos construido, en el apndice nm. 3,los cuadrados de los primeros nmeros. Naturalmente, se

puede seguir hasta el nmero que interese.

Las modernas computadoras electrnicas prefierenla numeracin en base dos

Nuestra numeracin, es decir la india-rabe, es decimal, olo que es lo mismo en base diez. En efecto, est basada enla descomposicin de un nmero en unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar, etc. Ahora

bien, cien es el cuadrado de diez (diez por diez), mil es elcubo de diez (diez por diez por diez), diez mil es la cuartapotencia de diez (diez por diez por diez por diez), y as sucesivamente. El valor de una cifra depende del lugar; un unocolocado en un lugar vale diez veces ms que el mismouno colocado en el lugar siguiente, y diez veces menos queun uno escrito en el lugar precedente. Se escribe, como

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sabis, 102, 103, 104 ,etc. (diez al cuadrado, diez al cubo, diez ala cuarta potencia, etc), para indicar las sucesivas potencias

de diez; en general, si se indica con la letra n un nmero enterocualquiera, el smbolo 10n indica el producto de n factores,todos iguales a 10, y se lee: 10 a la ensima potencia, 10elevado a n, o tambin, ms brevemente, 10 a la ensima.

Tomemos otro nmero, por ejemplo el nmero 5, y obtengamos sus sucesivas potencias: 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625, etc.En vez de dividir un nmero, por ejemplo el nmero cientocincuenta y seis, en unidades, decenas y centenas, podemosdividirlo perfectamente en unidades, cinquenas, veinticin-

quenas y cientoveinticinquenas. Ciento cincuenta y seis esigual a:

125 + 25 + 5 + 1;

una cientoveinticinquena ms una veinticinquena ms unacinquena ms una unidad.

Supongamos ahora que en algn lejano planeta vive unaestirpe de seres inteligentes con una sola mano, dotada decinco dedos: podemos estar casi seguros de que los Unma-nos escribirn el nmero ciento cincuenta y seis, o sea cientoveinticinco + veinticinco + cinco + uno, de este modo:

1 1 1 1 .

Es decir, que ellos atribuyen a las cifras el siguiente valorde posicin: en el ltimo lugar la unidad, en el penltimolas cinquenas, en el antepenltimo las veinticinquenas, luegolas cientoveinticinquenas, y as sucesivamente. Es decir, que

partiendo de la base cinco procedern con las sucesivas potencias del cinco del mismo modo que nosotros, que estamosdotados de diez dedos, partiendo de la base diez procedemos

para las potencias del diez. Qu querr decir para los Un-manos (o sea en base cinco) la escritura 42?

Querr decir dos unidades ms cuatro cinquenas, o seaque querr decir veintids. Y la escritura 2 2 3 ?Naturalmente, sesenta y tres = 3 + 2 x 5 + 2 x 25. Para

otros ejemplos y problemas, ver el apndice nm. 5.

Los Unmanos, naturalmente, tendrn muchas desventajas prcticas por el hecho de tener una sola mano y cinco


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dedos menos que los hombres; pero a la hora de escribir losnmeros tienen en cambio una pequea ventaja, y tambin

una desventaja. Vamos a ver en qu consisten. La desventaja,como habris advertido, es que un nmero para el que en basediez son suficiente dos cifras, como el setenta y tres, porejemplo, ellos lo tiene que escribir con tres cifras (y a medidaque avanzamos la diferencia se hace mayor); la ventaja esque slo necesitan cinco smbolos, en lugar de los diez nuestros; slo necesitan las cifras 0, 1, 2, 3, 4. Porque para ellos elcinco se escribe... 10 = una cinquena + cero unidades; seis seescribe 11, siete 12, mientras ocho se escribe 13, y nueve 14; y

el nmero diez, entonces, se escribe... 20 (dos cinquenas, cerounidades); el quince se escribe 30 y el veinte 40, mientras queal veinticinco le corresponde ya el smbolo 100 (una veinticin-quena, ninguna cinquena y ninguna unidad).

Se puede repetir el mismo juego tomando como base cualquier otro nmero, formando sus potencias sucesivas, y finalmente dividiendo otro nmero cualquiera en cierto nmerode unidades, de mltiplos de la base, de mltiplos del cua

drado de la base, etc. (ver apndice nm. 5).Siempre habr quien diga: es un juego. Nosotros no somosUnmanos, tenemos la costumbre de calcular por decenas,centenas, millares; es intil que tratemos de embrollarnoscon cinquenas y veinticinquenas. Un momento! Es muy difcil que una conquista del hombre sea definitiva, eterna: pormuy genial, por muy til que sea, llega el momento en queotro descubrimiento le hace la competencia, por ser ms til,

ms cmodo, ms sencillo que el anterior, por lo menos encierto terreno. Algo parecido est ocurriendo con la numeracin posicional en base diez. Setecientos cincuenta aos des

pus del librillo de Leonardo Pisano, y mil doscientos aosdespus de la histrica embajada de los indios en la corte delCalifa, la numeracin posicional en base diez tiene una peligrosa rival, que probablemente no la suplantar nunca en lascuentas caseras, pero que ya ha ocupado su lugar en importantes clculos ultramodernos: la numeracin posicional en

base dos.Hoy da se habla mucho de las maravillosas computadoraselectrnicas. Se trata de mquinas que ocupan, con sus vlvulas, sus circuitos y sus complicados y delicados engranajes,los estantes de una o varias grandes salas; son capaces dehacer, en unos minutos, clculos que supondran meses, y talvez aos, de trabajo para un equipo de hbiles matemticos.

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Pero, en qu consiste la respuesta de las mquinas electrnicas a la pregunta que se les plantea? Se trata de una ficha

perforada (ver figura 4).

Figura 4

En efecto, por muy complicada e incomprensible que parezca, la mquina a fin de cuentas se limita a registrar si, enun instante dado, pasa o no corriente. Por lo tanto las posi

bilidades slo son dos: pasa corriente, no pasa; s, no; agujero, no agujero; o, si queremos utilizar las palabras que voya escribir a continuacin, en lugar de las anteriores: uno, cero(uno por ejemplo sera el agujero, cero la falta de perforacin,o viceversa). En resumen, la pobre mquina slo puede escribir dos cifras: agujero, o no agujero, uno o cero. Pero su res

puesta tiene que ser un nmero: Cmo se puede escribirun nmero cualquiera con slo dos cifras?Despus de lo dicho, la cosa es bastante sencilla: habr

que escribir los nmeros en base dos (numeracin binaria).Ya que las potencias sucesivas del dos son cuatro, ocho, diecisis, treinta y dos, etc., habr que descomponer el nmero enunidades, en pares, en cuartetos, en octetos y as sucesivamente. Y puesto que dos unidades hacen un par, de las unidades habr que tomar o bien una (si el nmero es impar), o

ninguna, si el nmero es par (y por tanto divisible en paressin resto); puesto que dos pares hacen un cuarteto, de lospares habr que tomar o uno, o ninguno, y as sucesivamente.Por lo tanto, para escribir un nmero basta con las cifras0 y 1 (o si queris, no perforacin y perforacin en laficha). Pero estudiad el apndice nmero 6: es ms claro queuna explicacin general, necesariamente condensada.


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2. Los tringulos

La ciencia ms antigua es la geometra

La humanidad, a lo largo de su historia, ha estudiado las

matemticas en un orden inverso al que se sigue en nuestroscentros de enseanza, o casi. En efecto, la numeracin decimal(arbigo-india) es la primera cosa que se aprende, en cuanto seva a la escuela, cuando en realidad ha sido como hemosvisto una conquista tarda de una humanidad muy versadaya en geometra. Se podra incluso decir que la geometra esvarios miles de aos ms antigua que la aritmtica: sin lugara dudas la geometra ha sido la primera verdadera cienciaconstruida por el hombre, la nica verdadera ciencia de laantigua Grecia: ya adulta cuando la fsica, la qumica, la biologa y la geologa todava no haban nacido, y la medicinadaba sus primeros pasos. Slo la astronoma estaba bastantedesarrollada, pero qu era la astronoma de los caldeos, delos egipcios, de los griegos, sino geometra?

Navegacin implica astronoma y astronoma implicageometra: he aqu la razn por la que los antiguos pueblosnavegantes del Mediterrneo tuvieran que convertirse en exce

lentes gemetras. Pero tambin arquitectura implica geometra; y sobre todo implica geometra la agrimensura. En efecto, agri-mensura es la traduccin literal, en latn, del griego

geometra: en espaol, medida (metra) del suelo (o sea dela tierra, que en griego se dice ge: recordemos a Gea, la diosa de la Tierra).

Los griegos tenan un verdadero culto por la geometra,que llevaron a un alto grado de perfeccin. La consideraron,como se suele decir hoy da, una ciencia formativa, es deciruna ciencia que acostumbra al hombre a razonar, que afina lainteligencia; incluso decan que no haba que estudiarla confines prcticos, sino para el honor de la mente humana. Platn, el gran filsofo discpulo de Scrates, en su escuela (laAcademia), donde se discutan los ms difciles problemas dela lgica, de la poltica, del arte, de la vida y de la muerte,haba hecho escribir encima de la puerta: No entre el que


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no sea gemetra. Tambin deca Platn que Dios mismogeometriza, y probablemente con esto quera afirmar que el

universo est constituido segn formas y leyes geomtricas.Este culto a la geometra como ciencia soberana, que es laclave para la comprensin de todo el universo, estaba an muyvivo en el gran Galileo Galilei (1564-1642). He aqu lo que escriba Galilei: Este grandsimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos (hablo del universo)... no se puedeentender si antes no se aprende a entender la lengua, y a conocer los caracteres en los cuales est escrito. Est escritoen lengua matemtica y los caracteres son tringulos, crculos

y otras figuras geomtricas....No obstante, la geometra griega permaneci fiel al significado literal de su nombre: los estudiosos griegos se ocuparon sobre todo de las medidas: medidas de longitudes, dereas y de volmenes. Para medir desarrollaron algunas teoras que an hoy se aprenden en las escuelas ms o menosde la misma forma en que fueron enunciadas hace dos mildoscientos aos por Euclides: la ley de la semejanza y laley de la equivalencia. Realmente no podemos hacer una exposicin ordenada de ellas (por otro lado, ya se da en laescuela); pero querramos, con algn ejemplo, hacer ver sualcance y su genialidad.

Tales mide la pirmide de Keops con un bastn,dos sombras y una idea

Cuando el sabio Tales de Mileto, hacia el ao 600 a.C,se encontraba en Egipto, un enviado del faran le pidi, ennombre del soberano, que calculara la altura de la pirmidede Keops. En efecto, corra la voz de que el sabio saba medirla altura de construcciones elevadas, por arte geomtrica,sin subir a ellas. Tales se apoy en un bastn; esper hastaque, a media maana, la sombra de su bastn, mantenido enposicin vertical, tuvo una longitud igual a la del bastn;entonces dijo al enviado: Ve y mide rpidamente la lon

gitud de la sombra de la pirmide: en este momento es tanlarga como la misma pirmide.Para ser preciso, Tales tena que haber dicho que aadiera

a la sombra de la pirmide la mitad del lado de su base, porque la pirmide tiene una ancha base que roba una partede la sombra que tendra si tuviera la forma de un palo finoy vertical; puede que lo dijera, aunque la leyenda no lo refie-


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re, quiz para no estropear con demasiados detalles tcnicosuna respuesta tan bella en su simplicidad.

Para no complicar las cosas, vamos a pensar en un campanario fino y afilado en lugar de una pirmide: tomemos unbastn, no importa de qu longitud, y a cualquier hora delda (siempre que no est nublado!) dispongmonos a medirel campanario: con un bastn, dos sombras y una idea.

Supongamos, en primer lugar, que el campanario sea vertical, o sea erigido perpendicularmente al suelo, como el deSan Marco, y que no est inclinado como la Torre de Pisa ola Garisenda de Bolonia. Pongamos entonces tambin vertical

nuestro bastn y midamos su sombra (con un metro, porejemplo, o si queremos tambin con el mismo bastn, tomadocomo metro). Supongamos que encontramos que la sombra,

por ejemplo, es dos veces ms larga que el bastn. Entonces, tambin la sombra del campanario ser en ese momentodos veces ms larga que el campanario; para obtener la alturadel campanario, bastar, pues, con medir su sombra con unmetro, y dividir el nmero obtenido por dos. La explicacingeomtrica es la siguiente: el bastn vertical, su sombra y elrayo de sol que va de la punta del bastn al final de la sombra(ver figura 5) forman un tringulo rectngulo. El campanariovertical, su sombra y el rayo de sol que va de la cima del cam

panario hasta el extremo de su sombra forman otro tringulorectngulo, que tiene la misma forma que el anterior, porquelos ngulos son iguales en los dos tringulos (las sombras sehan tomado en el mismo momento, por lo que los rayos solares tienen la misma inclinacin). Por lo tanto, se trata de dos

tringulos con la misma forma, o sea semejantes; el del campanario es por lo tanto como el del bastn, pero de mayortamao. Ya que los dos tringulos, como hemos dicho, tienenla misma forma, al pasar del ms pequeo al ms grande setienen que respetar las proporciones: o sea que si la sombradel bastn es el doble del bastn, tambin la sombra del cam

panario ser el doble del campanario. Si queremos podemosmedir tambin sombra con sombra y altura con altura (cam

panario con bastn), en lugar de comparar cada altura con su

respectiva sombra. Es decir, que se podra razonar as: Si lasombra del campanario es cien veces ms larga que la del bastn, entonces el campanario es cien veces ms alto que el

bastn. Se dir entonces que las cuatro magnitudes: sombradel campanario, sombra del bastn, campanario y bastn estn en proporcin en el orden dado, y una frase como la quehemos puesto antes entre comillas asumir la expresin mate-

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vencer de ello. Supongamos que la escala de un mapa topogrfico sea tal que en l la longitud de un centmetro corres

ponda a la distancia real de un kilmetro. Tomemos doscuadraditos del mapa: uno con el lado de un centmetro, yotro con el lado de dos centmetros. Son semejantes, porquetienen los ngulos iguales (cuatro ngulos rectos: todos loscuadrados son semejantes entre s), y la proporcin entre loslados es de uno a dos, es decir que cada lado del segundo esel doble del correspondiente lado del primero. Pero el segundo cuadrado se puede descomponer, no ya en dos cuadradosiguales al primero, sino en cuatro (ver figura 7), y por eso

representa en el mapa una regin que tiene el rea no dedos, sino de cuatro kilmetros cuadrados.

Figura 7

As, si el lado del segundo hubiera sido tres veces eldel primero, el rea del segundo sera nueve veces el rea delprimero (ver figura 7). Pero nueve es el cuadrado de tres,as como cuatro es el cuadrado de dos: en general, la relacin de las reas de dos cuadrados es el cuadrado de la relacin de los lados. La misma regla es vlida para tringulossemejantes (sean o no rectngulos). Y es que si tengo dostringulos (rectngulos) semejantes, el doble de los dos sondos rectngulos semejantes: entonces su relacin ser igual a

la de los correspondientes rectngulos semejantes. (Peroesto se cumple tambin en cualquier tringulo semejante). Laley de la semejanza lo repetimos fue enunciada por losgriegos con tal perfeccin que an hoy se estudia en la es-escuela ms o menos como la estudiaban los muchachos deAtenas o Alejandra en los Elementos de Euclides, hace dosmil trescientos aos.


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Sin embargo, estoy de acuerdo con los investigadores quepiensan que en un primer momento los griegos realizaron

el clculo de las superficies por una va ms sencilla y natural que la que se basa en la comparacin de figuras semejantes, y en general, en las proporciones. Tomemos un famoso ejemplo: el de Pitgoras y su teorema: En un tringulorectngulo, el rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos (la hipotenusa es el lado mslargo, el que se opone al ngulo recto; los catetos son losdos lados menores, adyacentes o sea al lado del ngulo

recto). La leyenda dice que Pitgoras se dio cuenta del alcance de su demostracin hasta el punto de ordenar una hecatombe, es decir, el sacrificio de cien bueyes a los dioses, enseal de agradecimiento y de alegra. Naturalmente, sobre eldescubrimiento de Pitgoras no tenemos ni peridicos, ni li

bros, ni revistas de la poca, porque en esa poca no habani peridicos, ni libros, ni revistas. Slo nos han llegado leyendas, o mejor dicho historias contadas por escritores quevivieron varios siglos despus.

Aun as, hay muchas razones que nos hacen creer la historia de Pitgoras. A lo mejor no se llamaba Pitgoras nisacrific cien bueyes, sino uno solo, o a lo mejor ni siquiera sacrific un corderillo, todo eso puede ser una leyenda. Peroque un estudioso de la Magna Grecia (con esta expresin seindicaban la Italia meridional y Sicilia), que vivi hacia elao 600 a C, haya demostrado, con un razonamiento general,la relacin que hoy llamamos de Pitgoras entre los cuadrados

de los catetos y el de la hipotenusa, para cualquier tipo detringulo rectngulo, creemos que es un hecho histrico, o seaverdad. Sabemos con certeza que, muchos siglos antes dePitgoras, en Egipto y en Caldea haba conocidos ejemplosde tringulos rectngulos sobre los que se poda verificar

prcticamente la relacin mencionada anteriormente. Porejemplo, si los dos catetos tienen de longitud 3 y 4 (metroso centmetros, etc., lo que se quiera tomar como unidad demedida), se verifica con la experiencia que, entonces, la hipo

tenusa mide 5 (con respecto a la misma unidad de medida).Despus se comprueba que el cuadrado de 3 ms el cuadradode 4 es igual al cuadrado de 5, o sea que: 32 + 42 = 9 + 16 == 25 = 52. Sabemos adems que en la poca de Pitgoras, enlas islas griegas y en la Magna Grecia, la geometra se transforma y pasa de ser un compendio de reglas prcticas y observaciones aisladas, a una ciencia racional, con razonamien-

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tos generales sobre las figuras en general (y no ya sobre aqueltringulo rectngulo de lados 3, 4 y 5 o sobre otro en particu

lar, sino sobre todos los tringulos rectngulos).Por lo tanto, Pitgoras con o sin hecatombe demostrrealmente, sobre el 600 aC, que la suma de los cuadradosde los dos catetos, en un tringulo rectngulo, es siempreigual, o, mejor dicho, equivalente, al cuadrado de la hipotenusa. Pero, aunque estemos convencidos de que fue Pitgoras quien lo demostr, nos preguntamos: cmo lo demostr?

La demostracin de Pitgoras,con dos descomposiciones distintas de un cuadrado

La demostracin del teorema de Pitgoras que se sueleestudiar en la escuela, no es ciertamente la de Pitgoras. En

primer lugar, es demasiado difcil para la poca de Pitgoras: adems, sabemos, gracias a un tal Proclo, comentarista de los Elementos de Euclides, que tal demostracin hasido obra del mismo Euclides. Entonces? La eleccin esdifcil. En efecto, un matemtico francs, Fourrey, que a principios de nuestro siglo se dedic a recopilar todas las demostraciones conocidas del famoso teorema, consigui reunir... unas cincuenta. Nosotros creemos, sin embargo, quetiene razn un matemtico, sobre 1700, Bretschneider, quienafirmaba, que la demostracin original de Pitgoras es la quevamos a exponer a continuacin con la ayuda de dos figuras.

En la primera figura tomamos el cuadrado que tiene por ladoA + B, suma de los dos segmentos A y B, y lo dividimos envarias partes: el cuadrado del lado A, el del lado B, y dosrectngulos de lados A y B; dividiendo por la mitad, con ladiagonal, cada uno de los rectngulos de lados A y B, obtenemos en su lugar cuatro tringulos rectngulos de catetosA y B.

En la segunda figura tomamos el mismo cuadrado, o sea

el cuadrado de la suma A + B, de dos segmentos A y B, perolo descomponemos (lo cortamos en pedazos) de una formadistinta. Nos resultan as cuatro tringulos rectngulos decatetos A y B, pero esta vez obtenemos adems un nicocuadrado, el que tiene por lado la hipotenusa del tringulorectngulo de catetos A y B (para aqullos que duden de quese trate de un cuadrado, verRespuestas a ciertas dudas, apn-


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3. Las medidas

Nmero y medida

Ya hemos dicho que la geometra es, ante todo, la ciencia

de la medida; medida de longitudes, de reas, de volmenes.La primera y ms sencilla medida es la de una longitud. Yaque la medida es una comparacin, habr que medir siempreuna longitud con respecto a otra longitud (y por la misma razn una superficie con respecto a otra superficie, y un volumen con respecto a otro). Conviene fijar de una vez por todasuna de las dos longitudes, o sea comparar una longitud cualquiera con otra longitud fija que siempre ser la misma. Esconveniente, en una palabra, fijar una unidad de medida, unmetro. Mientras los intercambios y las relaciones culturalesentre los pases fueron escasos, en cada pas se usaban metrosdistintos: por ejemplo, pulgadas, pies, yardas y millas enInglaterra, archinas y verstas en Rusia, codos, estadios y millas en la antigedad clsica, y as sucesivamente. Con el desarrollo del comercio, de las comunicaciones, de los intercam

bios culturales, y sobre todo gracias a los cientficos, en elsiglo pasado se fijaron algunas unidades de medida interna

cionales, e incluso se ha fundado una oficina internacional depesos y medidas, que tiene su sede en Pars. En esta oficinahay una longitud-patrn, aqulla con respecto a la cual se tienen que medir todas las dems: el metro por excelencia, una

barra de platino que es, aproximadamente, la cuarenta millonsima parte del meridiano terrestre.

Una vez fijado el metro, se determina la medida de unalongitud (o segmento) con las siguientes operaciones:

1. Se hace coincidir el inicio del metro con el inicio delsegmento; luego se superpone el metro al segmento y se sealael punto del segmento que coincide con el final del metro; sevuelve a realizar esta operacin a partir de este nuevo punto,y se repite hasta que el final del metro coincide con el finaldel segmento, o bien el trozo de segmento que sobra es menor que el metro. En el primer caso, si por ejemplo el metro


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se ha trasladado exactamente cinco veces, y no hay resto, se dir que la medida del segmento es de 5 metros exactos.

En el segundo caso, en cambio, supongamos que despusde haber superpuesto el metro cinco veces, nos quede unpedazo de segmento ms corto que el metro: entonces diremos que el segmento es ms largo que 5 metros, pero menosque 6 metros. En este caso 5 metros es una de sus medidasaproximada por defecto, mientras que 6 metros es la medida aproximada por exceso; la aproximacin se hace a menos de un metro.

2. Si hay un resto, ms corto que un metro, se mide conla dcima parte del metro, el decmetro. Si el trozo que sobrase puede medir exactamente con el decmetro, hemos terminado, porque hemos encontrado la medida exacta en metrosy en decmetros. Por ejemplo, en nuestro caso, si el resto secubre exactamente con 4 decmetros, uno tras otro, la medida exacta ser 5 metros y 4 decmetros: 5,4 metros. Si todava nos queda un resto, esta vez ms corto que un decmetro,

en metros y decmetros slo tendremos una medida aproximada; por ejemplo, ms de 5,4 metros, menos de 5,5. Entonces tratamos de cubrir exactamente el nuevo resto concierto nmero de centmetros, o sea dcimas de decmetros.Si lo logramos, habremos terminado, y si no quedar un nuevo resto, que trataremos de cubrir exactamente con ciertonmero de dcimos de centmetro, es decir con milmetros...

Y as sucesivamente, hasta que...Hasta cundo? En la prctica, hasta que el resto sea des

preciable con respecto a la finalidad que nos proponemos conla medida. Si hay que medir una carretera larga y rectilnea,los decmetros ya se pueden desechar; si medimos una estatura, en general desechamos los milmetros; el obrero que tiene que fabricar engranajes y mecanismos muy precisos, tendr que ser exacto quiz hasta la dcima de milmetro; el cientfico en su laboratorio no debe olvidar ni siquiera las micras,

Figura 9


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milsimas de milmetro. Sin embargo todos ellos, ya sean agrimensores u obreros, tcnicos o cientficos, llegados a un cierto

punto se paran, se conforman con una aproximacin. Todos,excepto el matemtico.Al matemtico no le interesa el resultado de utilidad prc

tica, sino el procedimiento de la medida. El matemtico sepregunta: Debe pararse este procedimiento a partir de unmomento dado? Hay que llegar en cualquier caso a la medida exacta, aunque sea con millones de cifras decimales? Oes que hay casos en que tendremos un sobrante, cada vez mspequeo, hasta el infinito?.

Los matemticos han encontrado una respuesta a su problema. La respuesta puede resultar sorprendente: hay longitudes que no se pueden medir exactamente por un metro determinado, ni siquiera recurriendo a milmillonsimas de metro, o a partes de metro an ms vertiginosamente pequeas.Es preciso, pues, introducir una gran divisin con dos categoras de longitud, en relacin a un metro determinado:

1.a categora. Longitudes (segmentos) que se pueden medir exactamente, aunque sea recurriendo a dcimas, centsimas, milsimas y a los sucesivos submltiplos decimalesdel metro. Los segmentos de esta primera categora se llamanconmensurables con el metro: su medida es un nmero decimal que siempre se puede reducir a una fraccin, o sea a unnmero racional, aun cuando en ocasiones sea peridico (sellama as un nmero decimal con infinitas cifras que, a partirde un punto determinado, se repiten en grupos iguales entre

s). En resumen, si habiendo dividido el metro en un ciertonmero, n, de partes, el segmento contiene m de estas partes,entonces su medida con respecto al metro, o sea la relacindel segmento con el metro, es la fraccin m/n,

2.a categora. Longitudes (segmentos) para los cuales necesariamente nos tenemos que conformar con una medida aproximada con respecto al metro. Los segmentos de esta segundacategora se llaman inconmensurables con el metro. Su me

dida conduce a una sucesin sin fin (y no peridica) de cifrasdecimales; se trata, en suma, de un nmero con infinitas cifras decimales y no peridico, un nmero irracional.

Estos profundos resultados son debidos al pensamientode los antiguos griegos. La primera demostracin de la inconmensurabilidad de dos segmentos se remonta hasta Pitgo-ras, con la demostracin de que en un cuadrado la diagonal

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no se puede medir exactamente (con una fraccin) tomandoel lado como metro. La demostracin puede entenderla cual

quier muchacho inteligente; de todas formas, para no interrumpir el hilo de nuestro razonamiento, la dejamos aparte(ver apndice nm. 8). Una teora completa y rigurosa de lasrelaciones entre los segmentos es obra y gloria de Euclides yde su genial predecesor Eudoxo.

Las dificultades importantes comienzancon las lneas curvas

Vemos que incluso la medida de un segmento de recta presenta una serie de dificultades, y conduce a problemas arduosy a descubrimientos inesperados.

Pero an as se perfila con claridad la idea fundamental,la de la comparacin entre el segmento de una lnea recta yun metro lineal, rectilneo, mediante sucesivas superposiciones. Pero, cmo abordar la cuestin cuando tenemos, en

cambio, que medir con un metro rectilneo una lnea curva?La primera idea que nos viene a la cabeza es tomar un metro flexible, por ejemplo una cuerda de un metro de longitud.Es sta la primera idea que se les ocurri a los hombres

para medir la longitud de la lnea curva ms sencilla, y encierto sentido la ms importante de todas: la circunferencia.Tenemos un documento de ello muy fidedigno, nada menosque en el Primer Libro de los Reyes, de la Biblia, donde sehabla del templo construido por Salomn en Jerusalen, entre

1014 y 1007 aC. El rey Salomn construy una gran pila debronce, circular, de 10 codos de borde a borde, o como diramos nosotros, de diez codos de dimetro (el codo era unamedida de longitud aproximadamente igual a medio metro).Una cuerda de 30 codos la rodeaba por completo. Segn el

Libro de los Reyes, por lo tanto, la circunferencia (el contorno) de un crculo es el triple de su dimetro (30 es iguala tres veces 10). Vemos que el error es bastante grande:

podramos decir que es un error... codal, porque, precisamente, midiendo con ms atencin, se habra visto que al darla vuelta a la pila de Salomn haba que aadir otro codo decuerda, y para ser exactos otros cuatro dcimos de codo, yluego un trocito ms.


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Figura 10

El sistema de la cuerda para medir la circunferencia esmuy imperfecto, debido a las inevitables aproximaciones enlas operaciones de medida, y no nos permite medir con msexactitud que con centmetros o milmetros: el sistema no

sirve para establecer la medida, todo lo aproximada que queramos, de cada circunferencia en metros-dimetros (es decir, tomando el dimetro como metro o unidad de medida).Nos encontramos en el mismo caso desgraciado de antes (verapndice nm. 8), cuando intentbamos medir la diagonal deun cuadrado con el metro-lado. En efecto, veamos cuntosdimetros entran en una circunferencia: son tres, pero sobraun trozo ms corto que el dimetro. Midamos este primersobrante en dcimas de dimetro: cabe una dcima de di

metro, pero an sobra una porcin ms pequea que la dcima de dimetro. Midamos este segundo sobrante en centsimas de dimetro: entran cuatro, pero todava sobra un trozode circunferencia, ms corto que una centsima de dimetro.

Llegados a este punto, si no tenemos a nuestra disposicinunos instrumentos de medicin muy precisos, deberemos detenernos porque lo que sobra es demasiado pequeo para

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las figuras 11 y 12). Los permetros de estos polgonos estntodos encerrados dentro de la circunferencia, y son ms pe

queos que ella: la diferencia disminuye a medida que aumenta el nmero de lados (ni siquiera hemos dibujado los polgonos inscritos de 48 y de 96 lados, porque el dibujo resultarademasiado confuso). Ahora bien, ese 3,140... = 3 + 1/7 vecesel dimetro, es precisamente el permetro (el contorno) del

polgono regular de 96 lados inscrito (es decir, trazado dentro

Figura 11

de la circunferencia y con los vrtices en ella), mientras queese 3 + 10/71 veces el dimetro, es la medida del polgonoregular de 96 lados circunscrito (o sea con todos los lados'tangentes a la circunferencia). Para los polgonos circunscritos se hace el mismo razonamiento que para los inscritos.Pero en el caso de los primeros, cuanto mayor es el nmerode lados ms pequeo se hace el permetro; tambin en ellos,al aumentar el nmero de lados su permetro se aproximacada vez ms a la circunferencia, confundindose con ella...s el nmero de lados tiende a ser infinito.

Figura 12


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Los romanos conquistaron Siracusa, pero no se apoderaron del mtodo de Arqumedes, que en cambio fue perfeccio

nado en la lejana India, tres siglos ms tarde, por Aryabhatta,un gran matemtico del siglo I dC. Aryabhatta da para elsiguiente valor:

para el polgono de 6 ladospara el polgono de 12 ladospara el polgono de 24 ladospara el polgono de 48 ladospara el polgono de 96 lados

para el polgono de 192 ladospara el polgono de 384 lados

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Se trata de un valor tan aproximado que es el que an

hoy se emplea en la prctica (es aproximado por exceso;el valor exacto es ms pequeo: 3,14159...) Cmo se lashaba arreglado para obtenerlo aquel matemtico indio detan difcil nombre? Haba ido ms all, tomando los polgonos reguladores de 192 (o sea, dos veces 96) y 384 (dos veces192) lados.

Tomando el dimetro igual a 100 (metros, por ejemplo, ocentmetros, o lo que queris) iba encontrando para la longitud de los permetros (medida con respecto al dimetro, iguala 100) de los polgonos regulares inscritos de 6, 12, 24, 48,96, 192 y 384 lados, los siguientes valores:

Ahora bien, = 3,1416. Podemos solamente contro

lar con facilidad que es la medida del permetro delexgono regular (con respecto al dimetro): 90.000 es el cuadrado de 300, por lo que = 300. Ya que se ha tomadoel dimetro igual a 100,

la relacin entre el permetro delexgono regular inscrito y el dimetro es 3. Todo concuerda

pues, como han estudiado los mayores en la escuela, el ladodel exgono regular inscrito es igual al radio, o sea a la mitaddel dimetro, que en nuestro caso es 50; el permetro es seisveces el lado, o sea 300, y las cuentas nos salen.


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tanto ms la poligonal, o sea la lnea quebrada que formanlas cuerdas, se aproximar a la curva, y tanto ms pequeo

ser el error que se cometa tomando como medida de la curva la de la lnea poligonal.De acuerdo hasta aqu. Pero, y la medida exacta de la

longitud de la curva? Se puede obtener con este procedimiento? Para obtenerla, tendremos que imaginar que dividimos lacurva, no ya en muchos arcos muy pequeos, sino en infinitos arcos infinitamente pequeos; tendremos que imaginarnosla circunferencia, por ejemplo, como un polgono regular deinfinitos lados puntiformes, y por tanto tan pequeos que no

se puedan dividir por la mitad: es decir, indivisibles.He aqu una idea que, si lo pensis bien, no es muy difcilde entender y resulta muy atractiva. La idea es en realidadmuy antigua, pero justo porque la geometra griega estabamuy desarrollada y perfeccionada, no poda ser aceptada porlos griegos de esta forma tan poco precisa, tan imaginativa.Infinitos lados infinitamente pequeos: se trata de una frase que suena bien, pero qu significado preciso tiene? Losgriegos no queran que en geometra se usaran trminos que

no estuvieran bien definidos, y por eso no admitan que seintrodujera en los razonamientos algo tan vago e indeterminado como el infinito: lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeo. Como siempre, las actitudes mentalesdemasiado rgidas no son las ms adecuadas, son poco fecundas. Los griegos (mejor dicho, como veremos, aquellosgriegos) que no queran que se razonara con el infinito, tenanmuy buenas razones de su parte; pero en realidad el mritode uno de los mayores progresos de las matemticas, y porlo tanto del pensamiento humano, lo tienen esos otros griegos, esos estudiosos medievales y esos cientficos del Renacimiento que tuvieron la valenta de trabajar con un nmeroinfinito de magnitudes infinitamente pequeas. Creemos que,poniendo un poco de atencin, se pueden entender algunos deestos audaces intentos: por lo menos los primeros, aqullosque tienen un carcter ms geomtrico, ms intuitivo.

Recubramos una regin plana con hilos.Rellenemos un slido con hojas

Se entender mejor el asunto si en vez de hablar de lalongitud de las curvas, hablamos del rea de las superficies

planas y del volumen de los slidos. Si tenemos una porcin

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de plano delimitada por una curva cerrada regular (por ejemplo, un crculo), podemos imaginar que est formada por un

tejido de hilos paralelos, infinitos e infinitamente finos. Astambin, si tenemos un slido contenido en una superficieregular (por ejemplo una esfera, un cilindro o un cono),

podemos imaginar que est compuesto de infinitas hojas, infinitamente finas, superpuestas o estratificadas. En el caso deuna figura plana, podemos tambin imaginar que el tejido seams de fantasa, como se dice en el lenguaje de la moda. Porejemplo, si tenemos un crculo lo podemos imaginar com

puesto por esos infinitos hilos circulares infinitamente finos

que son las circunferencias concntricas, o sea con el mismocentro que el crculo, y un radio cada vez ms pequeo, comociertos delicados centros de mesa finamente bordados: perocon la diferencia de que un centro de mesa, por muy finamente bordado que est, estar formado por un cierto nmero, finito, de hilos circulares con cierto espesor, y no por infinitos hilos de infinita delgadez. He aqu como podemos, a

partir de esta descomposicin y en un santiamn, cuadrar elcrculo, una vez que se sepa rectificar la circunferencia. Su

pongamos, pues, que sabemos rectificar la circunferencia, osea que sabemos formar una porcin de recta de longitudigual a la de la circunferencia. Arqumedes nos ha enseadoa hacerlo, en efecto, sabemos que dada una circunferenciacualquiera, su longitud es igual a la de un segmento vecesel dimetro. Observemos la figura.

Figura 14

En ella, la base del tringulo es la circunferencia, que estrectificada, es decir estirada, mientras que la altura es elradio; cada hilo paralelo a la base con que est tejido el tringulo tiene, como puede verse, la misma longitud que uno delos hilos circulares que forman el tejido del crculo (el quequiera verlo ms claro, con los ojos de la mente, que vea alfinal el apndice 19, nm. 2). Pero entonces el rea del trin-

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gulo es igual que la del crculo, porque ambos estn formados por los mismos hilos de la misma longitud. Ahora bien,el tringulo tiene por base d = 2 r, siendo dy r el dimetro y el radio de la circunferencia; pero el rea del tringuloes (base X altura)/2. Y por lo tanto en nuestro caso: 2 rXX r/2, o sea r

2. En definitiva:

Elrea del crculo es igual al cuadrado del radio multiplicado por el nmero de Arqumedes 3,14159... Extrao razonamiento, resultado exacto. Este razonamiento es obra delmatemtico judo Abraham Savasorda, que vivi en Barce

lona en el s. XI dC. (en esa poca Espaa estaba bajo el dominio o la influencia de los rabes, que en cuestin de matemticas eran desde luego ms competentes que el valienteRoldn).

Damos aparte un ejemplo, ms difcil de entender, delclculo de un volumen de un slido al que suponemos formado por infinitas hojas infinitamente delgadas y prensadastodas juntas (ver: La escudilla de Luca Valerio, apndicenm. 9). Tambin en este ejemplo el extrao procedimientode las infinitas partes indivisibles, hilos u hojas, conducea un resultado exacto.

Pero las cosas no van siempre sobre ruedas. Aquellos audaces que, como dice fray Buenaventura Cavalieri, afrontaroncon su barquichuela el ocano de la infinidad de los indivisibles, encontraron muchos escollos. Se dieron cuenta, porejemplo, de que las cuentas salen si los hilos (como enel ejemplo de Savasorda) no se cortan entre s, pero en cam

bio se obtienen resultados completamente equivocados si loshilos se entrelazan, ni sea en un solo punto.

Fueron necesarios mil ochocientos cincuenta aospara inventar de nuevo el mtodo de Arqumedes

Este nuevo mtodo, para medir las reas de las figuras pla

nas y los volmenes de los slidos, fue dado a conocer porprimera vez por un gran discpulo de Galileo Galilei, aquelBuenaventura Cavalieri, que hemos citado antes, en un libroestupendo titulado Geometra de los indivisibles, editado enel 1635 (escrito en latn, la lengua internacional de los estudiosos hasta hace unos doscientos aos). Hubo terribles discusiones entre los matemticos acerca de los indivisibles de

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das. Fray Buenaventura triunfaba sobre Guldin: el mtodode los indivisibles se remontaba a Arqumedes!

Ahora ya se puede entender mejor por qu nos hemosarriesgado antes a definir a Arqumedes como el ms grandegenio cientfico de todos los tiempos. Slo a l, a Arqumedes,le ha sucedido un hecho tan extraordinario: que hicieran falta mil ochocientos cincuenta aos (los que han pasado desdeel 212 aC hasta el 1635 dC), para que otros cientficos lograranredescubrir un mtodo ideado por l, que permaneci ocultoen un pergamino antiguo.

La matemtica moderna slo tiene trescientos aos

En 1635, pues, los gemetras slo haban llegado, trasel largo sueo cientfico de la Edad Media, al punto de llegadade la ciencia antigua, al mtodo de Arqumedes? En ciertosentido, s, y en otro, no. S, si nos fijamos slo en los resultados de la geometra hasta Buenaventura Cavalieri; no, sinos fijamos en el penoso desarrollo del pensamiento matemtico. Aunque no hubieran avanzado apenas en los resultados,s que lo haban hecho en cuanto a posibilidades y como mentalidad. Durante un largo perodo de decadencia y de letargocientfico de la civilizacin europea, los indios y los rabeshaban elaborado la aritmtica y el lgebra.

Por lo tanto, los hombres del Renacimiento tenan a sudisposicin todo lo necesario para lograr el gran progreso definitivo con respecto a la ciencia griega, que, como veremos,

tuvo lugar efectivamente entre los siglos XVI y XVII.

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4. Los smbolos y los nuevos

nmeros

Tambin lgebra es una palabra rabe

Aritmtica es una palabra griega (quiere decir ciencia delos nmeros, arithms en griego significa nmero); hemosvisto, sin embargo, que nuestra forma de escribir los nmeros, y por consiguiente nuestra forma de hacer con ellos lascuatro operaciones, y los clculos en general, no se remonta a los antiguos griegos sino a los mucho ms modernosrabes. No se trata, pues, de una ciencia tan antigua como sepueda creer: en efecto, si queremos fijar las fechas, llegaremos a poco ms de mil aos de antigedad en lo que serefiere a los rabes, con el sabio al-Khuwarizmi, que vivialrededor del 800 dC, e incluso al siglo XIII para el caso deEuropa, con Leonardo Pisano.

Por eso, si la forma ms cmoda de escribir los nmeroses una difcil conquista del hombre que ha empezado a difundirse por Europa hace slo seis siglos, todava ms joven es ellgebra que requiere, adems de la numeracin moderna (ar

bigo-india), otros requisitos: una ampliacin del concepto de

nmero; la introduccin de unos smbolos claros, precisosy cmodos para representar operaciones y expresiones queno slo contienen nmeros concretos, sino tambin nmerosindeterminados o incgnitas.

Si se le preguntara hoy a un especialista de lgebra Ques el lgebra? Explquemelo en pocas palabras, sencillas yclaras, se vera en un apuro para responder, tantos y taleshan sido los desarrollos de esta rama de las matemticas enlos ltimos cien aos. Si en cambio se pudiera hacer la mis

ma pregunta al espritu del viejo al-Khuwarizmi (otra vez l!),a lo mejor le hubiera costado algo de trabajo reconocer lapalabra rabe al-giabr, de la que por deformacin se ha llegado a nuestra palabra lgebra, pero no tendra ningunadificultad para responder. Para l, en efecto, la al-giabrno erams que cierta regla para transformar una igualdad en otraigualdad que tenga el mismo valor (es decir, que sea equi-


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valente), una regla muy sencilla y fcil de entender, que explicaremos a continuacin. Si yo s que A B = C, entonces

s tambin con seguridad que A = B + C, y viceversa; ensuma, si antes del signo igual, o sea en el primer miembrode la igualdad, una cantidad es sustrada, se puede en cambiosumar esa cantidad en la otra parte, es decir, en el segundomiembro de la igualdad. Si nos fijamos nicamente en lossmbolos, podemos decir que una cantidad se puede trasladar del primer al segundo miembro de la igualdad cambiandoel signo menos por el signo ms, o viceversa. Esto se puedeentender tambin por sentido comn; lo podemos justificar

con el hecho de que aadiendo la misma cantidad a cada unade dos cantidades iguales, el resultado ser otras dos cantidades que siguen siendo iguales. Por eso, si las cantidadesA B y C son iguales, tambin lo sern las nuevas cantidades que se obtienen aadiendo a ambas la cantidad B; es decir, que si A B = C, tambin A B + B = C + B; peroA B + B = A (si primero aado y luego quito la misma cantidad, hago y deshago, o sea que dejo las cosas como esta

ban); por eso A = B + C.Si para el matemtico moderno la palabra lgebra signi

fica demasiadas cosas (demasiadas para poder explicarlas brevemente), para al-Khuwarizmi significaba demasiado poco.Para lo que ahora nos interesa, podemos definir el lgebracomo la rama de las matemticas que estudia las igualdades,y especialmente las igualdades que contienen magnitudes incgnitas, igualdades que se pueden verificar o no segn losvalores que se den a las magnitudes incgnitas. Es decir, que

el lgebra es la ciencia de las igualdades condicionadas, oecuaciones.

Cmo se pone en ecuacin

Ahora entiendo por qu se dice esto es lgebra! al hablar de algo incomprensible, dir alguno de los lectores despus de nuestra definicin, que a lo mejor en vez de aclarar

las cosas las ha puesto ms difciles. En matemticas es siempre muy difcil dar unas definiciones generales, y un ejemplode ello es el caso de toda una rama, el lgebra. Y si encimase intenta dar una definicin general de todas las matemticas... peor todava! Quiz la definicin ms singular es laque ha dado un famoso matemtico y filsofo recientemente desaparecido, Bertrand Russell, quien ha dicho ms o


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menos esto: La matemtica es una ciencia en la que no sesabe de qu se est hablando y no se sabe si lo que se est

diciendo es verdadero o falso.Qu es una ecuacin? En vez de decirlo en general, veamos algn ejemplo de ecuacin; no slo se entender mejor,sino que tambin se ver o se empezar a vislumbrar lagran utilidad de esta ciencia, el lgebra. Muchos de los juegos matemticos que se pueden encontrar en los pasatiempos

para pequeos y mayores se resuelven con las reglas del lgebra, y se expresan con una o ms ecuaciones. Inventemos uno,por poner un ejemplo:

Sumando mi edad y la de mi hermano resultan 26 aos.Dentro de diez aos, mi hermano tendr el doble de la edadque tengo yo ahora. Cules son ahora nuestras edades?

Primera regla fundamental: traducir en ecuaciones, o seasustituir las palabras por smbolos, nmeros, signos de laoperacin, etc. Pongmonos de acuerdo. Llamemos x a miedad, o sea al nmero de aos que tengo: la x sirve paraindicar un nmero incgnito, desconocido, que de momentoignoro pero que espero determinar. Llamemos y al nmerode aos de mi hermano. Segn esto, la primera frase, sumando mi edad y la de mi hermano resultan 26 aos, seescribir as:

x + y = 26;

(s!, se trata de la misma frase escrita en una lengua diferente, ms rpida, ms concisa, absolutamente internacional). La segunda frase se traduce de nuestra lengua al lengua

je simblico internacional del lgebra, as:(y + 10) = 2x.

En efecto: dentro de 10 aos mi hermano tendr diez aosms de los y que tiene ahora, o sea que tendr (y + 10) aos.Apliquemos, en sentido contrario, la regla al-giabr que hemosexplicado antes: si y + 10 = 2x, entonces y = 2x 10. Peroentonces tambin en la primera frase-ecuacin puedo poner

2x 10 en lugar de y (son cantidades iguales, es la mismacosa); por lo tanto tendr que:

x + (2x 10) = 26.

Apliquemos de nuevo la regla al-giabr:

x + 2x = 26 + 10 = 36.

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Pero, transportando el 18 al primer trmino y la x al segundo, siempre siguiendo la regla al-giabr, resulta:

x = 15 18pero 18 es mayor que 15: cmo restar 18 de 15? Con lo ques hasta ahora, de 15 slo puedo quitar hasta 15, y tendrcero; si le resto 18, me quedan todava 3 unidades, tendraque llegar a 3 bajo cero. Pero se trata de x aos, y no sedice en ningn momento que la relacin pedida entre las edades se tenga que realizar dentro de x aos; tambin podahaberse producido hace x aos. Es ste precisamente nuestro caso. En efecto, hace tres aos mi edad era el doble dela de mi hermano (yo tena 12 y l 6). Hace tres aos, tresaos atrs, tres aos negativos: lo mismo que tres bajocero o tres menos.

15 18 = 3 (menos tres, nmero negativo).

Con este primer ejemplo nos damos cuenta ya de que losnmeros negativos se conocen... mucho antes de conocerlos.En realidad, incluso antes de empezar a estudiar lgebra nosacostumbramos a utilizar muchos nmeros negativos, aunqueno usemos ese nombre ni hagamos operaciones con ellos. Enla escuela aprendemos que en Siberia o en Canad se alcanzanen invierno temperaturas de 20, 30 o 40 grados bajo cero, oque el fondo de la fosa de las Filipinas est a ms de 10 milmetros bajo el nivel del mar; hemos estudiado que Roma fuefundada en el ao 753 aC. Slo falta, pues, armarse de va

lor y decir: temperatura de 40 grados, altitud de 10.000metros, ao 753: menos 40, menos 10.000, menos 753.Una temperatura negativa ser una temperatura por debajodel cero del termmetro; una altitud negativa ser lo contrario de una altitud, o sea una profundidad (por debajo de laaltitud cero, que es el nivel del mar); un ao negativo serun ao anterior a una fecha importante elegida como ao cero,como principio (el ao del nacimiento de Cristo en el calendario ms utilizado, el de la gira de Mahoma en el mahometa

no, el ao legendario de la creacin del mundo en el calendario hebreo, el de la toma de la Bastilla en el calendario dela Revolucin francesa, y as sucesivamente).

Y mucho ms conocidos son esos nmeros negativos quese llaman... deudas. Si yo tengo un crdito de diez mil pesetas, y una deuda de cinco mil, mi balance est en activo decinco mil pesetas, y es positivo; si las cosas estn al revs,

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mi balance est en pasivo de cinco mil pesetas, y es negativo. En vez de decir: cinco mil pesetas de deuda, puedo

escribir en este caso: 5.000 pesetas.Cuando en ciertas ecuaciones, como en el ejemplo que hemos dado hace poco, los viejos algebristas indios y rabes, incluido al-Khuwarizmi, encontraban como solucin un nmeronegativo, no se asustaban, y lo interpretaban como una deuda (su aritmtica y su lgebra estaban enfocadas sobre todoal comercio, o sea a los problemas cuya incgnita es el dinero). De todos modos no se atrevan a considerar las deudascomo unos nmeros cualesquiera, ni hacan con ellos, con las

reglas apropiadas, las operaciones ordinarias de adicin, sustraccin, multiplicacin o divisin. Lo ms difcil fue precisamente esto: ampliar el concepto de nmero, incorporando losnmeros negativos a los positivos. Y es que su mente se resista a esa idea, de modo que al principio lo hacan con unafinalidad prctica, y slo al cabo de mucho tiempo los matemticos comprendieron que no haba motivo para no considerar las deudas unos nmeros como los dems: al principiolos consideraron nmeros absurdos (numeri absurdi en ellatn del alemn Stifel, matemtico que vivi alrededor de1520), que no se podan entender, aunque se hacan necesariospara realizar ciertos clculos.

Cmo se hacen los clculos con los numeri absurdi,o sea con los nmeros negativos

Esto slo pretende ser una historia de algunas ideas delas matemticas. As, pues, no queremos explicar de un modosistemtico lo que ensean los maestros y los profesores, o loque aprende uno por su cuenta cuando es mayor, en los verdaderos libros de estudio. Por eso no vamos a explicar aqude un modo riguroso las reglas del clculo con nmeros negativos: slo trataremos de dar una idea de esta conquista delingenio humano, que, al igual que las dems, no result nadafcil. Pero hemos resumido las reglas principales en el apn

dice nm. 11.Qu quiere decir multiplicar un nmero positivo por unonegativo, por ejemplo 7 por ( 2)? Volvamos al caso concretode las deudas, y lo entenderemos fcilmente. Si yo tengo dosdeudas de siete pesetas [simbolizado: 2( 7)] o siete deudas |de dos pesetas [simbolizado: 7( 2)], tendr en total unadeuda de 14 pesetas; si adems tengo 14 pesetas positivas, o


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x ( 4)] que es el opuesto de 3 x ( 4); pero ya sabemos que3 x ( 4) es 12, y el opuesto de 12 es + 12 [porque, jus

tamente, ( 12) = opuesto del opuesto de 12 = 12].No lo habis entendido? Pues entonces de bien poco sirveaprenderse la regla: menos por ms y ms por menos danmenos, ms por ms y menos por menos dan ms (y la reglaanloga para la divisin); o bien la vais a olvidar, o la vaisa aplicar mecnicamente, sin entender lo que hacis, comoaprendices de brujo en posesin de una frmula mgica queescapa a su entendimiento. Moraleja: en ningn caso es importante saberse las reglas de memoria? Pues s; y en cam

bio, lo que cuenta en cada caso es haber entendido la ideaen que se basa esa regla.Pero sigamos adelante: que nos sigan los que sean el

opuesto del opuesto de inteligentes. A los que sean un pocoel opuesto del opuesto del opuesto de inteligentes, en cam

bio, les aconsejamos que vayan al opuesto del principio parareflexionar sobre el opuesto en el apndice nm. 13.

Son nmeros los irracionales?

Ya hemos visto que un segmento puede ser inconmensurable con respecto a otro, y concretamente que la medida dela diagonal con respecto al lado no es un nmero racional(una fraccin).

Segn los cientficos griegos, y tambin segn muchos cientficos posteriores, hasta el Renacimiento, hasta el siglo XVII,

una medida semejante no se poda considerar un nmero. Segn los griegos los nmeros eran los enteros (positivos) y lasfracciones (positivas); adems existan las relaciones, las medidas, que podan o no ser nmeros. En cambio, segn nosotros esa medida de la diagonal es un nmero, que llamamosraz cuadrada de dos ( 2); y esto porque hemos ampliadola idea de nmero. Nosotros consideramos nmeros no slolos enteros y los decimales con un nmero finito de cifrasdespus de la coma, o tambin con un nmero infinito pero

peridicas (como 0,33333... = 1/3, etc.), es decir, a los que sepueden reducir a fracciones siempre, sino tambin los nmeros decimales con un nmero ilimitado de cifras, no peridico, despus de la coma. Tenemos que aceptar estos nmeros tan complicados, y que en cierto modo repugnan al sentidocomn, a la razn (se llaman, como ya hemos dicho, nmeros irracionales, que en realidad en este caso significa no-re-


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laciones, y no contrarios a la razn) si en nuestros clculosalgebraicos queremos introducir algo tan sencillo, e indispen

sable, como la medida de la diagonal con respecto al ladodel cuadrado. El razonamiento que se hace fuera del texto(ver apndice nm. 8) demuestra, en efecto, que esa medidano es una fraccin, y no es por lo tanto un nmero decimalordinario (eventualmente peridico). Pues bien, esto querrdecir (ya lo hemos visto) que nunca nos podremos parar enlas operaciones de medida, ni en los decmetros, ni en los centmetros, ni en los milmetros... ni en las millonsimas, nien las decenas de millonsima de milmetro; porque siempre

nos quedar un pedacito, cada vez ms pequeo, que se tieneque medir con una unidad de medida cada vez ms pequea,pero quedando siempre un resto, hasta el infinito.

La idea de nmero irracional, ciertamente, resulta difcil;pero hoy da incluso los que no la han entendido del todo hacen tranquilamente sus clculos con la raz cuadrada de doso la raz cbica de tres, o con el nmero de Arqumedes (pi griega) que es irracional, de una raza mucho peor quela honrada raz cuadrada de dos (es nada menos que un n

mero irracional trascendente). Es decir, que nos hemos acostumbrado a considerar la raz cuadrada de dos como unnmero cualquiera, aunque no hayamos entendido del todode qu se trata, lo mismo que estamos acostumbrados a laidea de que la Tierra gira alrededor del sol, aunque no seamos capaces de explicar con claridad porqu lo que nos dicela vista es tan contrario a la realidad. En cambio, los cientficos griegos (y no por ignorancia, sino ms bien por profundidad de pensamiento) se resistan a considerar la relacinentre la diagonal del cuadrado y el lado como un nmerocualquiera; hacan razonamientos y operaciones con esa relacin, pero siempre de forma geomtrica, sin incluirla en elclculo aritmtico.

Para hacer el lgebra, para tratar tambin a estos no-nmeros como nmeros, era necesario, pues, un profundoesfuerzo mental: se necesitaba una idea nueva de nmero,ms amplia, y no slo la introduccin de nuevos smbolos.

Del lgebra geomtrica a la logstica speciosa

Un ejemplo, segn espero, nos ayudar a entender la diferencia entre nuestra mentalidad y la de los griegos. Se pregunta lo siguiente:

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He aqu en cambio la respuesta moderna (por ejemplo deIsaac Newton, o de otros anteriores a l). Consideremos las

medidasa

yb

de los segmentos A y B. No nos interesa ahorala medida efectiva es decir que no los vamos a medir prcticamente; sabemos sin embargo que sus medidas, respectoa un metro determinado, son a y b. Fracciones? Nmerosirracionales? Nos da lo mismo, porque sabemos que los clculos se hacen con las mismas reglas, ya se trate de fracciones

(y en particular de enteros) o de irracionales, como 2, 3 2,, etc. Entonces la medida del segmento A + B ser a + b

metros ordinarios, si el metro adoptado es el que se empleanormalmente: entonces la medida del cuadrado de lado A + Bser (a + b)2 metros cuadrados. Pero podemos calcular el nmero (a + b)2 aplicando repetidamente una de las conocidas

propiedades de los nmeros, la propiedad distributiva (verapndice nm. 11):

(a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b) == a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.

Por lo tanto: El cuadrado de una suma, a + b, es igual ala suma de los cuadrados de los dos sumandos ms el doble

producto de ambos.La respuesta de Euclides y la de Newton son, en cierto

modo, la misma respuesta en dos lenguajes distintos. Sinembargo, si lo pensamos bien, la respuesta de Newton (ode Tartaglia, o de Descartes, etc.) encierra, comparada con la

que daba Euclides al mismo problema dos mil aos antes, elinmenso progreso desde la matemtica antigua a la moderna.Con este ejemplo se ve con claridad que el progreso residesobre todo en el mtodo, en la mentalidad, en las ideas. Podemos ya tratar de resumir en qu consiste ese progreso.

Primero: en la ampliacin del concepto de nmero (ya noson slo nmeros los enteros positivos y las fracciones positivas, sino tambin los enteros y las fracciones negativas, ytambin los irracionales, positivos y negativos). Segundo: en

la construccin de un sistema sencillo, completo, preciso,para escribir los nmeros y operar con ellos. Tercero: en laaplicacin de las reglas del clculo y de los smbolos relativos, no slo a los nuevos nmeros, sino tambin a cantidadesindeterminadas o incgnitas, tambin a smbolos de cualquiertipo de nmeros, no slo a unos nmeros determinados.

A propsito de esto deca en 1635 el gran gemetra italiano

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Buenaventura Cavalieri, discpulo de Galileo Galilei: Los algebristas... suman, restan, multiplican y dividen las races

de los nmeros, aun siendo inefables, absurdas y desconocidas (ineffabiles, surdae ac ignotae) y estn convencidos dehaber actuado correctamente, siempre que eso sirva paraobtener el resultado deseado. Como se puede ver, todava amediados del siglo XVII el lgebra se aceptaba con un fin prctico, sin llegar claramente al fondo de la idea.

Puesto que en latn forma o smbolo se dice, comoquiz sepis, species, los matemticos del siglo XVI que por

primera vez tuvieron el arrojo intelectual de hacer clcu

los con smbolos, o sea con letras, llamaron a su arte logstica speciosa, para distinguirla de la logstica (o arithmetic)numerosa, el arte de calcular con unos nmeros concretos.Hoy da llamamos a estas dos formas de clculo: clculo numrico y clculo literal.

Como hemos dicho, el clculo literal (o sea la logstica speciosa) tiene, con respecto al lgebra geomtrica de los griegos, enormes ventajas. Para cada una de las frmulas delclculo literal, por ejemplo para cada uno de esos productosnotables que los lectores adultos se sabrn de memoria, elgemetra griego tena que hacer un razonamiento especial, amenudo mucho ms complicado que el que nos ha permitidocalcular geomtricamente (A + B)2. Con el moderno clculoliteral, en cambio, se obtiene automticamente y con seguridad el resultado en cada caso, aplicando algunas (muy pocas) reglas de clculo. Tratemos de calcular, con el lgebrageomtrica, expresiones como (a + b) (a b), o (a + b + c)2,

o (a + b)

3

(ver: Clculo de (a + b)3

con el lgebra geomtrica,apndice nm. 14) y as sucesivamente, interpretando a, b y ccomo segmentos, y la elevacin a la segunda y tercera potencias como formacin de cuadrados y de cubos: podremos ver cunto trabajo, cunto esfuerzo de imaginacin geomtrica nos va a costar, siempre que lo consigamos. En cam

bio, con el clculo literal se hace todo en unos minutos, sinesfuerzo mental (slo con un poco de atencin).

No es nada exagerado decir que, para el progreso humano,

la introduccin y la difusin del clculo literal, en sustitucindel lgebra geomtrica, ha sido una revolucin comparable ala adopcin de la mquina en lugar del trabajo manual. Lacomparacin es vlida en todos los aspectos: tambin en elde que el trabajo manual es superior al trabajo a mquina.La belleza, la fantasa, la originalidad y la individualidad decada pieza es lo que le falta a la produccin mecnica en se-


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rie. As por ejemplo, la demostracin de Euclides que hemosexpuesto antes, acerca del cuadrado del binomio A + B, nos

parece incomparablemente ms bonita, ms viva, ms sugestiva que la vuelta de manivela algebraica que nos permitallegar en diez segundos al mismo resultado. An as, lo mismoque no se nos ocurre destrozar los telares mecnicos paravolver a la lanzadera y al huso, tampoco rechazaremos lalogstica speciosa por amor a la belleza del lgebra geomtrica. Trataremos, de todos modos, de conservar en nosotros,aunque usemos los nuevos instrumentos, el espritu del viejoEuclides, la imaginacin geomtrica de los antiguos griegos,

que ser esencial para nosotros cuando no se trate de aplicarunas reglas sino de descubrir y crear otras nuevas. No olvidemos que tambin en nuestra industria altamente mecanizaday automatizada, los prototipos, o sea los modelos, los originales, tienen que ser dibujados, y en gran parte hechos a mano.

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0 km 250Figura 16

Todos habris visto en los libros de geografa, en las exposiciones y ferias, el diagrama referente a la produccin dealgn artculo.

Veamos la figura 17 con la produccin de automviles enun pas de 1900 a 1950; si queremos saber cuntos automviles se han producido en 1940, por ejemplo, tenemos que leer1940 en la semi-recta horizontal de la base, y medir despus

la altura de la curva justo encima de ese nmero con la unidad de medida asignada a la semi-recta vertical. En un casocomo ste, para hacer ms cmoda la lectura del diagrama, allado de la altura correspondiente a la produccin de cadaao se marca su medida (en... automviles) o bien, corres

pondiendo con cada ao, se dibuja un automvil de dimensiones proporcionadas a la cantidad de la produccin de dicho ao. Se pueden usar muchos sistemas, pero la idea es lamisma. Intentemos comprender la idea que se esconde en

este expresivo grfico o diagrama cartesiano. Se trata de unaidea que fue expresada por primera vez de una forma sistemtica, y con utilidad prctica, por un gran contemporneode Galileo Galilei: el filsofo y matemtico francs RenDescartes. Puesto que Descartes quiere decir De las Cartas,y puesto que en el siglo XVII el latn era tan utilizado porlos estudiosos que traducan al latn hasta sus nombres y


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apellidos, Descartes es conocido por Cartesius y de ah eladjetivo cartesiano.

1900 1910 1920 1930 1940 1950 a o

Figura 17

Descartes escribi muchsimos libros, ms o menos impor-tantes (algunos muy importantes) de fsica, filosofa y otrostemas. De matemticas tambin escribi varias cosas; perosu nombre en este campo est unido sobre todo a un librillode pocas pginas, la Gomtrie, publicado en Leiden, Holanda, en 1637. En este librillo se expone una idea, o mejordicho un mtodo, que iba a conducir a una revolucin tangrande, a un desarrollo tan impetuoso de todas las ciencias,

que se puede decir que, la fecha de la publicacin de la Gomtrie, es la fecha del nacimiento de la ciencia moderna.Naturalmente hay que saber interpretar esta observacin. Slopara las personas hay un da, una hora, un instante preciso para el nacimiento; slo para las personas se puede decirnacido en... el da... del ao... hijo de... y de.... Para lasideas, la cosa es diferente, y tanto ms difcil es la cuestin

miles

de u.


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cuando se trata de la fecha del nacimiento de la ciencia moderna. No se trata de un da, sino de un perodo, ni de una

obra, sino de muchas, ni de un solo genio, sino de muchosinvestigadores y descubridores. El perodo es indudablemente aqul: entre 1630 y 1640 maduran mu

radice lucio - la matematica de pitagoras a newton

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