Aalto-yliopistoPerustieteiden korkeakoulu

Panu Lahti

Rajoitetusti heilahtelevienfunktioiden Lebesguen lause

Diplomityo, joka on jatetty opinnaytteena tarkastettavaksi diplomi-insinoorintutkintoa varten teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelmassa.

Espoo 24.05.2011

Valvoja: Juha KinnunenOhjaaja: Juha Kinnunen

Aalto-yliopistoPerustieteiden korkeakouluMatematiikan ja systeemianalyysin laitos

Tiivistelma

Tekija: Panu Lahti

Tutkinto-ohjelma:Paaaine:Sivuaine:

Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelmaMatematiikkaTeknillinen fysiikka

Tyon nimi:Title in English:

Rajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lauseLebesgue theorem for functions of bounded variation

Opetusyksikonkoodi:Tyon valvoja:Tyon ohjaaja:

Mat-1Juha KinnunenJuha Kinnunen

Rajoitetusti heilahtelevat funktiot eli BV-funktiot (engl. bounded variation) ovatlokaalisti integroituvia funktioita, joiden ensimmaisen kertaluvun heikot osittaisde-rivaatat ovat Radon-mittoja. Ne muodostavat siis yleisemman funktioluokan kuinSobolevin funktiot, joiden ensimmaisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat lo-kaalisti integroituvia funktioita. Keskeisimpia BV-funktioille patevia tuloksia ovatkompaktisuustulos, coarea-kaava seka Sobolevin ja Poincaren epayhtaloiden versiot.

Mielenkiintoisen BV-funktioiden erikoistapauksen muodostavat niin sanottujen aa-rellisperimetristen joukkojen karakteristiset funktiot. Tallaisille joukoille voidaanmaaritella redusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Osoittautuu, et-ta lahella redusoitua reunaa joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessa puolia-varuutta.

Edelleen voidaan maaritella joukon mittateoreettinen reuna, joka on myos topolo-gisen reunan osajoukko ja muistuttaa mittateoreettisessa mielessa hyvin paljon re-dusoitua reunaa. Muun muassa tata tietoa hyodyntaen voidaan todistaa vahva tulosredusoidun reunan rakenteesta: se koostuu sileiden hyperpintojen kompakteista osa-joukoista. Lisaksi aarellisperimetrisen joukon derivaattana toimiva Radon-mitta onitse asiassa vain Hausdorffin mitta rajoitettuna redusoidulle reunalle.

Coarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukot ovat aarellisperimetrisia joukkoja,mika mahdollistaa mainittujen tulosten soveltamisen yleisiin BV-funktioihin. Osoit-tautuu, etta BV-funktiot ovat (sopiva edustaja valiten) mittateoreettisesti jatkuvialukuunottamatta ”hyppyja” yli sileiden hyperpintojen. Tasmallisesti tama tulee il-maistuksi BV-funktioiden Lebesguen lauseessa. Tulos on olennaisesti vahvempi kuinpelkastaan integroituville funktioille saatava Lebesguen lause, joskin heikompi kuinSobolevin funktioille saatava.

Avainsanat: rajoitettu heilahtelu, variaatiomitta, perimetrimitta, re-dusoitu reuna, mittateoreettinen reuna, struktuurilause,Lebesguen lause

Paivamaara: 24.05.2011 Kieli: suomi Sivumaara: 61

Aalto UniversitySchool of ScienceDepartment of Mathematics and Systems Analysis

Abstract

Author: Panu Lahti

DegreeProgramme:Major Subject:Minor Subject:

Degree Programme in Engineering Physics and Mathema-ticsMathematicsEngineering Physics

Title:Title in Finnish:

Lebesgue theorem for functions of bounded variationRajoitetusti heilahtelevien funktioiden Lebesguen lause

Chair:Supervisor:Instructor:

Mat-1Juha KinnunenJuha Kinnunen

Functions of bounded variation, abbreviated BV functions, are locally integrablefunctions whose weak first partial derivatives are Radon measures. Thus they forma more general class of functions than Sobolev functions, whose weak first partialderivatives are locally integrable functions. Some of the most central results derivedfor BV functions include a compactness result, the coarea formula, and versions ofthe Sobolev and Poincare inequalities.

The characteristic functions of so-called sets of finite perimeter form an interestingspecial case of BV functions. For these sets we can define the reduced boundary,which is a subset of the topological boundary. It turns out that in the neighborhoodof the reduced boundary the set resembles a half space in a measure theoretic sense.

Further, we can define the measure theoretic boundary of a set. This is also asubset of the topological boundary and closely resembles the reduced boundaryin a measure theoretic sense. Utilizing this and other minor results we can prove astrong result about the structure of the reduced boundary: it is made up of compactsubsets of smooth hypersurfaces. In addition, the Radon measure that acts as thederivative of the set of finite perimeter is simply the Hausdorff measure restrictedto the reduced boundary.

According to the coarea formula, the level sets of BV functions are sets of finite peri-meter. This enables us to apply the aforementioned results to general BV functions.It turns out that BV functions are (with the choice of a suitable representative) mea-sure theoretically continuous apart from ”jumps” over smooth hypersurfaces. This isexpressed in an exact manner in the Lebesgue theorem for BV functions. The resultis substantially stronger than the Lebesgue theorem for functions that are merelyintegrable, but weaker than the corresponding result for Sobolev functions.

Keywords: bounded variation, variation measure, perimeter measure,reduced boundary, measure theoretic boundary, structuretheorem, Lebesgue theorem

Date: 24.05.2011 Language: Finnish Number of pages: 61

Sisalto

1 Johdanto 1

2 Redusoitu reuna 5

2.1 Maaritelma ja perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Epayhtaloita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Joukko redusoidun reunansa lahella . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Redusoidun reunan struktuurilause 23

3.1 Mittateoreettinen reuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Redusoidun reunan rakenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 BV-funktioiden pisteittaiset ominaisuudet 40

4.1 Mittateoreettinen raja-arvo ja jatkuvuus . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Lebesguen lause BV-funktioille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Pohdintaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Luku 1

Johdanto

Taman diplomityon aiheena ovat Rn:n reaaliarvoiset rajoitetusti heilahtelevatfunktiot. Naiden niin kutsuttujen BV-funktioiden (engl. bounded variation)muodostama Banach-avaruus on Sobolevin avaruuden laajennus — siina mis-sa Sobolevin funktioiden ensimmaisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovatp-integroituvia funktioita, BV-funktioiden ensimmaisen kertaluvun heikot osit-taisderivaatat ovat yleisesti pelkkia Radon-mittoja. Tama on olennaisesti hei-koin tapa, jolla funktio voi olla derivoituva mittateoreettisessa mielessa. [1, s.166–][2, s. 220–][3, s. 3–]

Vaikka tassa tyossa kasitellaan vain yleista n-ulotteista tapausta, BV-funktioitatutkittiin aluksi yhdessa ulottuvuudessa, joka muodostaa edelleen mielenkiintoi-sen erikoistapauksen [1, s. 216–][4, s. 530–][5, s. 204–]. BV-funktioiden teoriaavoidaan hyodyntaa muun muassa minimihyperpintoja tutkittaessa [3][6]. Muitasovellusalueita ovat monen muuttujan Fourier-sarjat, epalineaariset osittaisdif-ferentiaaliyhtalot ja matemaattinen fysiikka (ks. esimerkiksi [7]).

Tassa tyossa keskitytaan kuitenkin puhtaasti BV-funktioiden teoriaan. Tyonpaatavoitteena on todistaa BV-funktioille pateva Lebesguen lauseen versio. Le-besguen lause on varsin helppo todistaa lokaalisti integroituville funktioille [1,s. 43][4, s. 456], joille se on muotoa

limr→0

B(x,r)

|f(y)− f(x)| dy = 0 Ln-m.k. x ∈ Rn

(johdannon lopussa esitellaan kaytetyt merkinnat). Sobolevin funktioille puo-lestaan patee Lebesguen lauseesta vahvempi versio, jossa ylla olevan tapai-sen integraalikeskiarvon raja-arvo on nolla lukuunottamatta joukkoa, jonka p-kapasiteetti on nolla [1, s. 146, 160]. Syyksi voidaan nahda se, etta heikkojenosittaisderivaattojen olemassaolo antaa Sobolevin funktioille enemman raken-netta kuin mita yleisilla lokaalisti integroituvilla funktioilla on. BV-funktioillesen sijaan saadaan Lebesguen lauseesta hieman Sobolevin funktioiden tapausta

1

heikompi versio, koska BV-funktioiden avaruus on Sobolevin funktioiden ava-ruutta yleisempi.

Tama tyo perustuu lahinna BV-funktioita kasitteleviin lahteisiin [1], [2] ja [3].Lahteista [4] ja [8] puolestaan loytyy joitakin tarvittavia reaalianalyysin ja mit-tateorian tuloksia. Erityisesti lahteessa [4] on hyodyllisia tuloksia liittyen re-aaliakselin funktioihin, muun muassa absoluuttisesti jatkuviin funktioihin jamyos BV-funktioihin. Naita tarvitaan myos todistettaessa tiettyja Rn:n BV-funktioille patevia lauseita. Reaalianalyysin ja mittateorian peruskasitteisto ole-tetaan tyossa tunnetuksi. Myoskaan BV-funktioiden teorian perustuloksia ei esi-teta, vaan viitataan pelkastaan mainittuihin lahteisiin. Kaytetyt maaritelmat jamerkinnat, jotka on listattu johdannon lopussa, noudattavat enimmakseen lah-detta [1]. Naihin viitaten luetellaan tassa lyhyesti kaikkein keskeisimmat tarvit-tavat tulokset.

Kuten jo aiemmin mainittiin, Sobolevin funktio on aina BV-funktio. BV-funk-tioiden variaatiomitta on alaspain puolijatkuva L1

loc:ssa suppenemisen suhteen.Kuten Sobolevin funktioita, myos BV-funktioita on mahdollista approksimoidasileilla funktioilla, joskin hieman heikommassa mielessa. BV-funktioiden avaruu-delle saadaan myos todistettua kompaktisuustulos, ja lisaksi voidaan maaritellaBV-funktion jalki funktion maarittelyalueen reunalla. [1, s. 166–183][2, s. 220-227][3, s. 3-17, 30–41]

BV-funktioiden coarea-kaavan mukaan BV-funktion variaatiomitta voidaan esit-taa funktion tasojoukkojen perimetrimittojen integraalina. BV-funktioille voi-daan myos johtaa Sobolevin ja Poincaren epayhtalot. Nama ovat itsessaan kayt-tokelpoisia, ja lisaksi niiden avulla voidaan edelleen todistaa aarellisperimetri-sille joukoille niin sanotut isoperimetriset epayhtalot. [1, s. 185–192][2, s. 230-233][3, s. 20–26]

Ylla mainittujen perustulosten pohjalta lahdetaan luvussa 2 rakentamaan lo-kaalisti aarellisperimetristen joukkojen teoriaa. Tallaisille joukoille maaritellaanredusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Redusoidun reunan pis-teille todistetaan ensin joukko kayttokelpoisia epayhtaloita, minka jalkeen nay-tetaan vahva tulos, jonka mukaan joukko muistuttaa redusoidun reunan pisteenlahella mittateoreettisessa mielessa puoliavaruutta.

Luvussa 3 jatketaan lokaalisti aarellisperimetrisista joukoista. Ensin naytetaan,etta redusoitu reuna on mittateoreettisesti melkein sama kuin niin sanottu mit-tateoreettinen reuna. Sitten siirrytaan joidenkin teknisten valitulosten tukema-na tutkimaan redusoidun reunan rakennetta. Osoittautuu, etta redusoitu reunakoostuu pienta joukkoa lukuunottamatta sileiden hyperpintojen kompakteistaosajoukoista. Edelleen perimetrimitta osoittautuu identtiseksi redusoidulle reu-nalle rajoitetun Hausdorffin mitan kanssa.

Luvussa 4 siirrytaan tutkimaan yleisia BV-funktioita, rajoittumatta lokaalis-ti aarellisperimetristen joukkojen karakteristisiin funktioihin. Ensin tarkastel-laan approksimatiivisen raja-arvon ja jatkuvuuden kasitteita. Osoittautuu, ettajoukko, jossa BV-funktiolla ei ole approksimatiivista raja-arvoa, sisaltyy funk-tion (aarellisperimetristen) tasojoukkojen mittateoreettisiin (tai redusoituihin)

2

reunoihin. Nyt voidaan edellisen luvun tuloksen perusteella nayttaa, etta kysei-nen joukko rakentuu itse asiassa sileista hyperpinnoista. Taman jalkeen paas-taan vihdoin BV-funktioille patevaan Lebesguen lauseeseen, jossa on olennai-sesti kaksi osaa: ensimmaisen mukaan lahes kaikki pisteet, joissa approksima-tiivinen raja-arvo on olemassa, ovat Lebesguen pisteita ja siten myos approk-simatiivisen jatkuvuuden pisteita. Sileilla hyperpinnoilla, joissa approksimatii-vista raja-arvoa ei ole, puolestaan tapahtuu ”hyppays” arvosta toiseen. Naissapisteissa funktio on siis vain ”toispuoleisesti” approksimatiivisesti jatkuva.

Maaritelmat ja merkinnat

Jos x ∈ Rn ja r ∈ R+, avointa palloa merkitaan B(x, r) ja suljettua palloaB(x, r). n-ulotteisia Lebesguen ja Hausdorffin mittoja merkitaan symboleillaLn ja Hn. n-ulotteisen yksikkopallon ja vastaavan pallonkuoren mittoja mer-kitaan Ωn ja ωn−1 (pallonkuori on tietenkin ”n − 1-ulotteinen” joukko) . Jos µon ulkomitta ja A ⊂ Rn joukko, ilmaus µ-m.k. x ∈ A tarkoittaa ”melkein kai-killa” x ∈ A, eli lukuunottamatta joukkoa, jonka µ-mitta A:ssa on nolla. Kay-tetaan myos ilmausta µ-m.k. A:ssa eli ”melkein kaikkialla”A:ssa. Reaaliakselinosajoukkoja kasiteltaessa (tyypillisesti kyse on esimerkiksi pallojen sateista) ly-henne m.k. r ∈ A tarkoittaa L1-m.k. r ∈ A. Standardisilottajafunktiota [1, s.122][3, s. 11] merkitaan ηε, ε > 0. Integraalikeskiarvoa merkitaan symbolilla

ffl.

Tassa tekstissa kaytetaan lahtokohtaisesti tulkintaa, jonka mukaan (lokaalis-ti) integroituva funktio (erityisesti BV-funktio) f ∈ L1

loc(U, µ), missa U ⊂ Rnon avoin joukko ja µ on ulkomitta (tyypillisesti Ln), on maaritelty vain µ-nollamittaista joukkoa lukuun ottamatta. Funktiot tulkitaan siis ekvivalenssi-luokiksi, ja ne voivat saada myos arvoja±∞. Tietyissa erikoistapauksissa tullaanmaarittelemaan tallaisten funktioiden pisteittain maariteltyja edustajia.

Luetellaan sitten BV-funktioista kaytetyt maaritelmat ja notaatio, seuraten lah-detta [1, s. 166-171].

Olkoon U ⊂ Rn avoin joukko — tassa tyossa yleensa U = Rn. Funktio f ∈ L1(U)on rajoitetusti heilahteleva U :ssa, toisin sanoen f ∈ BV (U), jos

supˆ

U

f∇ · ϕdx |ϕ ∈ C10 (U ; Rn), |ϕ| ≤ 1

<∞.

Funktio f ∈ L1loc(U) on lokaalisti rajoitetusti heilahteleva U :ssa, toisin sanoen

f ∈ BVloc(U), jos jokaisella V ⊂⊂ U patee

supˆ

V

f∇ · ϕdx |ϕ ∈ C10 (V ; Rn), |ϕ| ≤ 1

<∞.

Ln-mitallisella joukolla E ⊂ Rn on aarellinen perimetri U :ssa, jos sen karak-teristiselle funktiolle patee χE ∈ BV (U). Ln-mitallisella joukolla E ⊂ Rn on

3

lokaalisti aarellinen perimetri U :ssa, jos χE ∈ BVloc(U). Voidaan nayttaa, et-ta jos f ∈ BVloc(U), on olemassa Radon-mitta ‖Df‖ U :ssa ja ‖Df‖-mitallinenfunktio σ : U → Rn s.e. |σ(x)| = 1 ‖Df‖-m.k. x ∈ U ja

ˆU

f∇ · ϕdx = −ˆU

ϕ · σd‖Df‖

kaikilla ϕ ∈ C10 (U ; Rn). Tata kutsutaan BV-funktioiden struktuurilauseeksi.

Radon-mittaa ‖Df‖ kutsutaan f :n variaatiomitaksi. Silloin, kun f = χE , missaE:lla on lokaalisti aarellinen perimetri U :ssa, vaihdetaan merkintoja seuraavasti:‖Df‖ → ‖∂E‖, −σ → νE . Radon-mittaa ‖∂E‖ kutsutaan E:n perimetrimitak-si. Jos f ∈ BVloc(U), patee

‖Df‖(V ) = supˆ

V

f∇ · ϕdx |ϕ ∈ C10 (V ; Rn), |ϕ| ≤ 1

.

kaikilla avoimilla V ⊂ U . Lopulta BV-normi maaritellaan funktiolle f ∈ BV (U)seuraavasti:

‖f‖BV (U) := ‖f‖L1(U) + ‖Df‖(U).

4

Luku 2

Redusoitu reuna

Tarkastellaan tassa ja seuraavassa luvussa joukkoja, joilla on lokaalisti aarelli-nen perimetri Rn:ssa. Tarkeaksi osoittautuu tallaisten joukkojen niin kutsutturedusoitu reuna, joka on topologisen reunan osajoukko. Luvussa nahdaan, ettaredusoidun reunan pisteille voidaan osoittaa muutamia varsin vahvoja tulok-sia, joita tarvitaan myohemmin. Erityisesti nahdaan, etta redusoidun reunansalahella joukko muistuttaa mittateoreettisessa mielessa puoliavaruutta.

2.1 Maaritelma ja perusominaisuuksia

Olkoon siis tassa luvussa E ⊂ Rn joukko, jolla on lokaalisti aarellinen perimetriRn:ssa.

Maaritelma 2.1.1. Piste x ∈ Rn kuuluu joukon E redusoituun reunaan ∂∗E,jos

(i) ‖∂E‖(B(x, r)) > 0 kaikilla r > 0,

(ii) limr→0

fflB(x,r)

νE d‖∂E‖ = ν∗E(x) ∈ Rn (eli kyseessa olevan raja-arvon tulee olla olemassa), ja

(iii) |ν∗E(x)| = 1.

Ehdon (i) mukaan piste x todella sijaitsee joukon E reunalla siina mielessa,etta joukon E perimetri on nollaa suurempi mielivaltaisen pienissa x-keskisissapalloissa. Voidaankin heti osoittaa, etta redusoitu reuna on topologisen reunanosajoukko riippumatta pisteittain maaritellyn edustajan χE valinnasta. Otetaansiis mielivaltainen edustaja χE ja oletetaan, etta x /∈ ∂E. Talloin on olemassajoko B(x, r) ⊂ Rn\E tai B(x, r) ⊂ E, missa r > 0. Edellisessa tapauksessa (pallo

5

valitaan tassa avoimeksi, koska perimetrimitan maaritelma on yksinkertaisinavoimille joukoille)

‖∂E‖(B(x, r)) = sup

ˆB(x,r)

χE(y)∇ · ϕ(y) dy |ϕ ∈ C10 (B(x, r); Rn), |ϕ| ≤ 1

,

missa ˆB(x,r)

χE(y)∇ · ϕ(y) dy =ˆB(x,r)

0∇ · ϕ(y) dy = 0.

Siis ‖∂E‖(B(x, r)) ≤ ‖∂E‖(B(x, r)) = 0 kaikilla r < r. Taten redusoidun reu-nan maaritelman ehto (i) ei toteudu, ja x /∈ ∂∗E. Vastaavasti, jos B(x, r) ⊂ E,saadaan ˆ

B(x,r)

χE(y)∇ · ϕ(y) dy =ˆ

Rn∇ · ϕ(y) dy = 0

kaikilla ϕ ∈ C10 (B(x, r); Rn), eli jalleen x /∈ ∂∗E. Nain ollen ∂∗E ⊂ ∂E. Toisaal-

ta, valitsemalla funktiolle χE sopiva edustaja voidaan nayttaa, etta redusoidunreunan sulkeuma on topologinen reuna, eli ∂∗E = ∂E [3, s. 54].

Redusoidun reunan ehdot (i)–(iii) patevat itse asiassa ‖∂E‖-m.k. x ∈ Rn, mikanahdaan ehdon (i) osalta seuraavasti. Maaritellaan joukko, jossa ehto (i) ei pade:

A := x ∈ Rn | ‖∂E‖(B(x, r)) = 0 jollain r > 0.

Jos δ > 0, joukkoperhe

B := B(x, r) ⊂ Rn |x ∈ A, 0 < r < δ, ‖∂E‖(B(x, 5r)) = 0

muodostaa selvasti A:n peitteen. Vitalin peitelauseen [1, s. 27][4, s. 448] perus-teella B:sta voidaan poimia pistevieraista palloista koostuva numeroituva ko-koelma B(xi, ri)∞i=1, jolle patee A ⊂

⋃∞i=1 B(xi, 5ri). Siis

‖∂E‖(A) ≤∞∑i=1

‖∂E‖(B(xi, 5ri)) = 0.

Tarkastellaan sitten ehtoja (ii) ja (iii). Huomataan, etta nama voivat olla voi-massa vain, jos ehto (i) on voimassa. Koska |νE | = 1 ‖∂E‖-m.k. Rn:ssa, νE onlokaalisti integroituva funktio mitan ‖∂E‖ suhteen, ja niinpa Lebesguen lauseen[1, s. 43] mukaan

limr→0

B(x,r)

νE d‖∂E‖ = νE(x)

‖∂E‖-m.k. x ∈ Rn (riippumatta valitusta νE :n edustajasta). Siis myos ehdot(ii) ja (iii) patevat ‖∂E‖-m.k. x ∈ Rn. Taten sen joukon ‖∂E‖-mitta, jossa jo-kin ehdoista (i)-(iii) ei pade, on nolla, eli toisin sanoen ‖∂E‖(Rn \∂∗E) = 0.Intuitiivisesti ‖∂E‖ mittaa vain joukon E redusoitua reunaa. Lisaksi nahdaan,

6

etta funktio ν∗E on funktion νE edustaja, joka on maaritelty jokaisessa redusoi-dun reunan pisteessa. Vektoria ν∗E(x), x ∈ ∂∗E, sanotaan joskus E:n yleistetyksiulkonormaaliksi [2, s. 233].

Todistetaan seuraavaksi kateva tulos, joka kertoo joukon E ja sen komplementinRn\E valisesta yhteydesta.

Lemma 2.1.2. Jos joukolla E ⊂ Rn on lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa,sama patee joukolle Rn\E. Edelleen perimetrimitat ‖∂E‖ ja ‖∂(Rn\E)‖ ovatsamat, νE = −νRn\E ‖∂E‖-m.k. x ∈ Rn, ja redusoidut reunat koostuvat tasmal-leen samoista pisteista.

Todistus. Kaikilla ϕ ∈ C10 (Rn; Rn) patee

ˆE

∇ · ϕdy +ˆ

Rn\E∇ · ϕdy =

ˆRn∇ · ϕdy = 0,

joten ˆRnχE∇ · ϕdy = −

ˆRnχRn\E∇ · ϕdy. (2.1)

Siis jos χE ∈ BVloc(Rn) (oletus), myos χRn\E ∈ BVloc(Rn), ja BV-funktioidenstruktuurilauseen perusteella yhtalo (2.1) saadaan myos muotoon

ˆRnϕ · νE d‖∂E‖ = −

ˆRnϕ · νRn\E d‖∂(Rn\E)‖ (2.2)

kaikilla ϕ ∈ C10 (Rn; Rn). Katsotaan nyt mittoja. Mille tahansa avoimelle joukolle

U ⊂ Rn patee perimetrimitan maaritelman ja yhtalon (2.1) perusteella

‖∂E‖(U) = supˆ

U

χE∇ · ϕdy |ϕ ∈ C10 (U ; Rn), |ϕ| ≤ 1

= sup

ˆU

χRn\E∇ · ϕdy |ϕ ∈ C10 (U ; Rn), |ϕ| ≤ 1

= ‖∂(Rn\E)‖(U).

Otetaan sitten mielivaltainen A ⊂ Rn. Koska ‖∂E‖ ja ‖∂(Rn\E)‖ ovat Radon-mittoja, patee [1, s. 8]

‖∂E‖(A) = inf‖∂E‖(U) |A ⊂ U, U avoin,

ja samoin ‖∂(Rn\E)‖:lle. Siis jokaisella avoimella U ⊃ A patee

‖∂E‖(A) ≤ ‖∂E‖(U) = ‖∂(Rn\E)‖(U),

7

ja ottamalla nyt infimum yli avointen joukkojen U ⊃ A saadaan

‖∂E‖(A) ≤ ‖∂(Rn\E)‖(A).

Vastakkainen epayhtalo voidaan nayttaa tasmalleen samaan tapaan, joten yh-teensa

‖∂E‖(A) = ‖∂(Rn\E)‖(A),

eli mitat ovat samat.

Todistetaan sitten, etta νE = −νRn\E ‖∂E‖-m.k. Rn:ssa. Tassa voitaisiin ve-dota kaavaan (2.2) ja tulokseen, jonka mukaan merkkinen mitta on nolla, josjokaisen C1

0 -funktion integraali merkkisen mitan suhteen on nolla [8, s. 228]. Esi-tetaan tassa kuitenkin toinen, perimetrimitan maaritelmaan perustuva todistus.Tehdaan vastaoletus: ‖∂E‖(x ∈ Rn | νE(x) 6= −νRn\E(x)) > 0. Tasta seuraa

‖∂E‖(x ∈ B(0, r) | |νE(x)− (−νRn\E(x))| > 1/k

)= α > 0 (2.3)

jollain r > 0 ja k ∈ N. Nyt kuitenkin perimetrimitan maaritelman nojallavoidaan valita jono (ϕi), ϕi ∈ C1

0 (B(0, r); Rn) ja |ϕi| ≤ 1 kaikilla i ∈ N, s.e.ˆB(0,r)

ϕi · νE d‖∂E‖ → ‖∂E‖(B(0, r)) =ˆB(0,r)

νE · νE d‖∂E‖,

kun i→∞, ja yhtalon (2.2) nojalla myos (muistetaan, etta mitat ovat samat)ˆB(0,r)

ϕi · (−νRn\E) d‖∂E‖ → ‖∂E‖(B(0, r)) =ˆB(0,r)

νRn\E · νRn\E d‖∂E‖,

kun i→∞. Koska toisaalta kahden yksikkovektorin sisatulo lahestyy yhta vain,kun vektorit lahestyvat toisiaan euklidisen normin mielessa, saadaan

‖∂E‖(x ∈ B(0, r) | |ϕi(x)− νE(x)| > 1/(3k))→ 0,‖∂E‖(x ∈ B(0, r) | |ϕi(x)− (−νRn\E(x))| > 1/(3k))→ 0,

kun i → ∞. Tama on kuitenkin selvasti ristiriidassa yhtalon (2.3) kanssa. SiisνE = −νRn\E ‖∂E‖-m.k. x ∈ Rn. Nyt saadaan redusoidun reunan maaritelmanperusteella, etta E:n ja Rn\E:n redusoidut reunat koostuvat tasmalleen samoistapisteista.

2.2 Epayhtaloita

Todistetaan aluksi yksinkertainen lemma, jota tarvitaan jatkossa.

Lemma 2.2.1. Jos µ on Radon-mitta Rn:ssa ja x ∈ Rn, niin µ(∂B(x, L)) = 0kaikilla paitsi korkeintaan numeroituvan monella L > 0.

8

Todistus. Oletetaan, etta µ(∂B(x, L)) > 0 ylinumeroituvan monella L > 0.Talloin jollain valilla [i, i + 1), i ∈ N ∪ 0, on myos oltava ylinumeroituvanmonta tallaista L > 0. Maaritellaan sitten jokaista j ∈ Z kohti joukko

Aj = L ∈ [i, i+ 1) |µ(B(x, L)) ∈ [2j , 2j+1)

Edelleen jokin joukko Aj on ylinumeroituva. Poimitaan tallaisesta Aj :sta nume-roituvasti aareton osajoukko Aj ⊂ Aj . Koska µ on Radon-mitta, ovat pallon-kuoret aina µ-mitallisia joukkoja, ja voidaan laskea

µ(B(x, i+ 1)\B(x, i)) ≥ µ

⋃L∈Aj

∂B(x, L)

=∑L∈Aj

µ(∂B(x, L)) ≥∑L∈Aj

2j =∞,

mika on ristiriita, koska rajoitettujen joukkojen Radon-mitat ovat aina aarellisia.

Todistetaan nyt lemma, jota tullaan tarvitsemaan, kun todistetaan epayhta-loita redusoidun reunan pisteille. Tulos on kaytannossa osittaisintegrointikaavaBV-funktioille tilanteessa, jossa silean funktion ϕ kantaja ei sisally integrointia-lueeseen.

Lemma 2.2.2. Olkoon joukolla E ⊂ Rn lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa,ja olkoon ϕ ∈ C1(Rn; Rn). Silloin kaikilla x ∈ Rn ja m.k. r > 0 patee

ˆB(x,r)

χE∇ · ϕdy =ˆB(x,r)

ϕ · νE d‖∂E‖+ˆ∂B(x,r)

χEϕ · ν dHn−1,

missa ν on pallon reunan ∂B(x, r) yksikkoulkonormaali.

Todistus. Kaikilla r > 0 pallo B(x, r) on avoin ja rajoitettu joukko, jonka reunaon Lipschitz. Lisaksi χE ∈ BV (B(x, r)). Siis kaikilla ϕ ∈ C1(Rn; Rn) patee [1,s. 177][3, s. 37]ˆB(x,r)

χE∇ · ϕdy =ˆB(x,r)

ϕ · νE d‖∂E‖+ˆ∂B(x,r)

TχE(ϕ · ν) dHn−1, (2.4)

missa TχE ∈ L1(∂B(x, r),Hn−1) on funktion χE jalki reunalla ∂B(x, r), ja νon pallon reunan ∂B(x, r) yksikkoulkonormaali. Jaljelle patee [1, s. 181][3, s. 37]

TχE(z) = limρ→0

B(z,ρ)∩B(x,r)

χEdy

9

Hn−1-m.k. z ∈ ∂B(x, r), kaikilla r > 0. Toisaalta Lebesguen lause lokaalistiintegroituville funktioille antaa

χE(z) = limρ→0

B(z,ρ)∩B(x,r)

χEdy

Ln-m.k. z ∈ Rn s.e. z ∈ ∂B(x, r) — eli Hn−1-m.k. z ∈ ∂B(x, r), m.k. r > 0.Siis patee TχE(z) = χE(z) Hn−1-m.k. z ∈ ∂B(x, r), m.k. r > 0. Taten yhtalo(2.4) saadaan m.k. r > 0 muotoon

ˆB(x,r)

χE∇ · ϕdy =ˆB(x,r)

ϕ · νE d‖∂E‖+ˆ∂B(x,r)

χEϕ · ν dHn−1,

mika on sama kuin vaite, paitsi etta pallot ovat avoimia. Lemman 2.2.1 perus-teella vaite kuitenkin seuraa.

Todistetaan sitten joukko redusoidun reunan pisteisiin liittyvia epayhtaloita(muistetaan, etta E ⊂ Rn on joukko, jolla on lokaalisti aarellinen perimetriRn:ssa).

Lemma 2.2.3. On olemassa vain dimensiosta n riippuvat, aidosti nollaa suu-remmat vakiot C1(n), . . . , C3(n) s.e. kaikilla x ∈ ∂∗E patee

(i) lim infr→0

Ln(E ∩ B(x, r))rn

≥ C1(n),

(ii) lim infr→0

Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))rn

≥ C1(n),

(iii) lim infr→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

≥ C2(n),

(iv) lim supr→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

≤ C3(n).

Todistus. Otetaan mika tahansa x ∈ ∂∗E. Vaitteen (i) todistamiseksi maaritel-laan ensin funktio

m(r) := Ln(E ∩ B(x, r)) =ˆ r

0

Hn−1(E ∩ ∂B(x, s)) ds.

Jalkimmainen yhtasuuruus seuraa coarea-kaavasta. Tassa tietenkin m(r) < ∞kaikilla r > 0, ja Hn−1(E ∩ ∂B(x, s)) on s:n funktiona lokaalisti integroituva.Taman perusteella m(r) on absoluuttisesti jatkuva funktio (ks. esimerkiksi [4,s. 544–]), ja Lebesguen lauseen mukaan

m′(r) = limh→0

m(r + h)−m(r)h

= limh→0

1h

ˆ r+h

r

Hn−1(E ∩ ∂B(x, s)) ds

= Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) m.k. r > 0.

10

Alla olevan kaavan (2.6) perusteella joukolla E ∩ B(x, r) on aarellinen perimetriRn:ssa. Tahan joukkoon voidaan taten soveltaa isoperimetrista epayhtaloa [1,s. 190–191]:

m(r)1−1/n = Ln(E ∩ B(x, r))1−1/n ≤ A1(n)‖∂(E ∩ B(x, r))‖(Rn). (2.5)

(Tassa tekstissa merkitaan isoperimetrisissa epayhtaloissa esiintyvia vakioitaA1(n) ja A2(n), ks. [1, s. 191].) Nyt voidaan jatkaa lemman 2.2.2 avulla. Otetaantaman lemman vaitteessa supremum yli funktioiden ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn), |ϕ| ≤ 1.Vaitteen vasempaan puoleen voidaan soveltaa yksinkertaisesti perimetrimitanmaaritelmaa, kun taas oikealla puolella muistetaan, etta |νE | = 1 ‖∂E‖-m.k.,|ν| = 1 ja |ϕ| ≤ 1. Nain saadaan yhteensa

‖∂(E ∩ B(x, r))‖(Rn) ≤ˆB(x,r)

d‖∂E‖+ˆE∩∂B(x,r)

dHn−1

= ‖∂E‖(B(x, r)) +Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) (2.6)

m.k. r > 0. Taman epayhtalon jalkimmaista rivia voidaan edelleen muokatalemman 2.2.2 avulla. Valitaan talla kertaa funktio ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn), joka saapallossa B(x, r) vakioarvon ν∗E(x) (muistetaan ν∗E(x) redusoidun reunan maari-telmasta). Tallainen funktio saadaan tietenkin helposti esimerkiksi silottamallafunktio ν∗E(x)χB(x,2r). Nyt ∇ · ϕ = 0 pallossa B(x, r), joten lemma 2.2.2 antaa

ˆB(x,r)

ν∗E(x) · νE d‖∂E‖ = −ˆE∩∂B(x,r)

ν∗E(x) · ν dHn−1

≤ Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) (2.7)

m.k. r > 0. Nyt vasta kaytetaan tietoa x ∈ ∂∗E, joka antaa

limr→0

ν∗E(x) · B(x,r)

νE d‖∂E‖ = ν∗E(x) · ν∗E(x) = 1.

Tatenν∗E(x) ·

B(x,r)

νEd‖∂E‖ ≥12,

kun r ≤ R sopivalla R > 0. Luku R voi riippua pisteesta, mutta tassahan pistex ∈ ∂∗E on kiinnitetty. Siisˆ

B(x,r)

ν∗E(x) · νE d‖∂E‖ ≥12‖∂E‖(B(x, r))

kaikilla r ∈ (0, R). Yhdistamalla tama epayhtaloon (2.7) saadaan

12‖∂E‖(B(x, r)) ≤ Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) m.k. r ∈ (0, R). (2.8)

Tama ja epayhtalo (2.6) antavat yhteensa

‖∂(E ∩ B(x, r)‖(Rn) ≤ 3Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) m.k. r ∈ (0, R).

11

Epayhtalon (2.5) avulla saadaan siis

m(r)1−1/n ≤ 3A1(n)Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) = C(n)m′(r) m.k. r ∈ (0, R),

missa merkittiin 3A1(n) = C(n) > 0. Siispa

1C(n)

≤ m(r)(1/n)−1m′(r) = q(m(r))m′(r) m.k. r ∈ (0, R),

missa q(s) := s(1/n)−1, s ≥ 0. Selvasti q ∈ L1(0, t) kaikilla t > 0. Koska m onkasvava absoluuttisesti jatkuva funktio, patee [4, s. 560]

ˆ r

0

q(m(s))m′(s) ds =ˆ m(r)

m(0)

q(s)ds.

Tassa oikea puoli onˆ m(r)

0

s(1/n)−1 ds = nm(r)1/n,

ja vasen puoli on edellisen epayhtalon perusteella vahintaan yhta suuri kuinr/C(n), kunhan r < R. Lopputuloksena saadaan m(r)1/n ≥ r/C(n) kaikillar ∈ (0, R) (integroinnin jalkeen ei enaa tarvita maaretta ”melkein kaikilla”).Kun muistetaan m(r):n maaritelma, saadaan yhteensa

Ln(E ∩ B(x, r))rn

=m(r)rn≥ 1

(C(n))nkaikilla r ∈ (0, R).

Vaite (i) siis patee esimerkiksi vakiolla C1(n) = 1/(C(n))n > 0. Vaite (ii) puoles-taan saadaan vaitteesta (i) lemman 2.1.2 avulla. Koska E:lla on lokaalisti aarel-linen perimetri Rn:ssa, myos Rn\E:lla on, ja koska x ∈ ∂∗E, myos x ∈ ∂∗(Rn\E).Siis kohdan (i) todistus toimii yhta hyvin joukolle Rn\E, ja tama antaa vaitteen(ii).

Vaitteen (iii) todistamiseksi todetaan, etta relatiivisen isoperimetrisen epayhta-lon [1, s. 190–191] mukaan

minLn(E ∩ B(x, r)),Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))1−1/n ≤ 2A2(n)‖∂E‖(B(x, r)).

Tassa A2(n) > 0 (nain voidaan tietenkin joka tapauksessa valita). Tasta jakohdista (i) ja (ii) seuraa nyt

lim infr→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

≥ 12A2(n)

lim infr→0

minLn(E ∩ B(x, r))

rn,Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))

rn

1−1/n

≥ 12A2(n)

C1(n)1−1/n =: C2(n) > 0.

12

Kohta (iii) on nain todistettu. Lopuksi palautetaan mieleen, etta epayhtalon(2.8) nojalla

‖∂E‖(B(x, r)) ≤ 2Hn−1(E ∩ ∂B(x, r)) ≤ 2Hn−1(∂B(x, r)) = 2ωn−1rn−1

m.k. r ∈ (0, R). Huomataan, etta kun epayhtalo esitetaan tassa muodossa, ra-joituksesta ”melkein kaikilla” paastaan eroon seuraavalla tavalla: Otetaan mie-livaltainen r ∈ (0, R). Talloin on olemassa jono hi → 0 s.e.

‖∂E‖(B(x, r + hi)) ≤ 2ωn−1(r + hi)n−1

kaikilla i ∈ N. Nyt patee

‖∂E‖(B(x, r)) = limi→∞

‖∂E‖(B(x, r + hi)) ≤ 2ωn−1rn−1.

Tama siis patee jokaisella r ∈ (0, R), mista saadaan suoraan

lim supr→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

≤ 2ωn−1 =: C3(n).

Tama onkin vaite (iv).

2.3 Joukko redusoidun reunansa lahella

Olkoon E edelleen joukko, jolla on lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa. Kaikkiaredusoidun reunan pisteita x ∈ ∂∗E kohti maaritellaan hypertaso

H(x) := y ∈ Rn | ν∗E(x) · (y − x) = 0

ja puoliavaruudet

H−(x) := y ∈ Rn | ν∗E(x) · (y − x) ≤ 0,H+(x) := y ∈ Rn | ν∗E(x) · (y − x) ≥ 0.

Edelleen jokaista x ∈ ∂∗E ja r > 0 kohti maaritellaan

Er(x) := y ∈ Rn |x+ r(y − x) ∈ E.

Huomataan, etta E1(x) = E, ja kun r → 0, joukko Er(x) ”rajahtaa” pisteenx suhteen. Koska siis Er(x) on kaytannossa vain r:lla skaalattu versio E:sta,naiden joukkojen perimetrimitoille saadaan yksinkertaiset riippuvuudet. Maari-tellaan ensin funktio

pr(y) := x+y − xr

.

13

Suoraan Er(x):n maaritelmasta voidaan todeta, etta pr(y) ∈ Er(x) tasmalleensilloin, kun y ∈ E. Jos ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn), kayttamalla muuttujanvaihtoa z = pr(y)voidaan nyt laskeaˆ

RnχEr(x)(z)∇ · ϕ(z) dz=

1rn

ˆRnχEr(x)(x+ (y − x)/r)∇ · ϕ(x+ (y − x)/r) dy

=1

rn−1

ˆRnχE(y)∇ · (ϕ pr(y)) dy. (2.9)

Olkoon sitten L > 0, ja ϕ ∈ C10 (B(x, L); Rn). Kuvaus ϕ → ϕ pr on selvasti

bijektio C10 (B(x, L); Rn):n ja C1

0 (B(x, rL); Rn):n valilla. Ylla olevasta yhtalostasaadaan taten perimetrimitan maaritelman nojallaˆ

RnχEr(x)(z)∇ · ϕ(z) dz ≤ 1

rn−1‖∂E‖(B(x, rL))

kaikilla ϕ ∈ C10 (B(x, L); Rn), |ϕ| ≤ 1. Tasta nahdaan, etta myos joukolla Er(x)

on lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa. Jos nyt otetaan supremum epayhtalonvasemmalta puolelta, saadaan

‖∂Er(x)‖(B(x, L)) ≤ 1rn−1

‖∂E‖(B(x, rL)).

Tekemalla sama paattely toiseen suuntaan saadaan yhtasuuruus:

‖∂Er(x)‖(B(x, L)) =1

rn−1‖∂E‖(B(x, rL)).

Tassa siis pallot ovat avoimia. Kuitenkin, antamalla ε→ 0 yhtalossa

‖∂Er(x)‖(B(x, L+ ε)) =1

rn−1‖∂E‖(B(x, r(L+ ε)))

saadaan tulos suljetuille palloille:

‖∂Er(x)‖(B(x, L)) =1

rn−1‖∂E‖(B(x, rL)). (2.10)

Toisaalta BV-funktioiden struktuurilauseen avulla saadaan yhtalosta (2.9) muo-to ˆ

Rnϕ · νEr(x) d‖∂Er(x)‖ =

1rn−1

ˆRn

(ϕ pr) · νE d‖∂E‖.

Valitaan nyt jono funktioita ϕi ∈ C10 (B(x, L + 1/i)) s.e. |ϕi| ≤ 1 ja ϕi = 1

pallossa B(x, L) jokaisella i ∈ N. Asettamalla tama jono nyt vuoron peraanfunktion ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn) yhdeksi komponentiksi ja pitamalla muut komponentitnollina, saadaan lopultaˆ

B(x,L)

νEr(x) d‖∂Er(x)‖ =1

rn−1

ˆB(x,rL)

νE d‖∂E‖. (2.11)

14

Yhtalot (2.10) ja (2.11) kertovat taten E:n ja Er:n perimetrimittojen valisensuhteen suljettujen pallojen tapauksessa.

Nyt paastaan osoittamaan, etta pisteen x ∈ ∂∗E lahella E on suunnilleen puo-liavaruus, jonka yksikkoulkonormaali on juuri ν∗E(x).

Lause 2.3.1. Olkoon x ∈ ∂∗E. Silloin χEr(x) → χH−(x) L1loc(Rn):ssa ja

‖∂Er(x)‖(B(x, L))→ ‖∂H−(x)‖(B(x, L)) = Ωn−1Ln−1

kaikilla L > 0, kun r → 0.

Todistus. Siirtamalla ja kiertamalla koordinaatistoa tarpeen mukaan voidaanolettaa, etta x = 0, ν∗E(0) = en = (0, . . . , 0, 1), ja siten H(0) = y ∈ Rn | yn = 0,

H−(0) = y ∈ Rn | yn ≤ 0,H+(0) = y ∈ Rn | yn ≥ 0.

Edelleen Er(0) = y ∈ Rn | ry ∈ E. Valitaan nyt mika tahansa jono rj → 0.Olisi siis osoitettava, etta χErj (0) → χH−(0) L

1loc(Rn):ssa. Osoitetaan ensin, etta

χErj (0) on rajoitettu jono avaruudessa BV (B(0, i)) milla tahansa i ∈ N. Selvasti

‖χErj (0)‖L1(B(0,i)) ≤ Ln(B(0, i)) <∞

kaikilla j ∈ N. Yhtalon (2.10) nojalla saadaan

‖∂Er(0)‖(B(0, i)) ≤ 1rn−1

‖∂E‖(B(0, ri)).

Lemman 2.2.3 kohdan (iv) perusteella ylla olevan epayhtalon oikea puoli onarvoilla r ∈ (0, ε), missa ε > 0, pienempi kuin 2in−1C3(n). Myos arvoilla r ∈[ε,max(rj)] oikea puoli on pienempi kuin jokin vakio C < ∞, silla ‖∂E‖ onRadon-mitta. Yhteensa saadaan, etta

‖∂Erj (0)‖(B(0, i)) ≤ C <∞

kaikilla j ∈ N, missa vakio C voi riippua joukosta E, pisteesta (joka tassa olete-taan origoksi), i:sta, n:sta ja jonon (rj) maksimiarvosta — mutta ei kuitenkaanj:sta. Taten

‖χErj (0)‖BV (B(0,i)) = ‖χErj (0)‖L1(B(0,i)) + ‖∂Erj (0)‖(B(0, i)) ≤ C <∞

kaikilla j ∈ N. Nyt kompaktisuustuloksen [1, s. 176] perusteella on olemas-sa osajono (r1k)∞k=1 ⊂ (rj) ja funktio fi ∈ BV (B(0, i)) s.e. χEr1k (0) → fiL1(B(0, i)):ssa. Valitsemalla tarpeen mukaan osajonon osajono, jota edelleen

15

merkitaan (r1k), voidaan olettaa, etta χEr1k (0) → fi myos Ln-m.k. B(0, i):ssa.Nyt edelleen (χEr1k (0))∞k=1 on rajoitettu jono BV (B(0, i+ 1)):ssa (perustellaansamaan tapaan kuin ylla), joten kompaktisuuden perusteella taman osajono(χEr2k (0)) suppenee L1(B(0, i+1)):ssa ja Ln-m.k. B(0, i+1):ssa kohti funktiotafi+1 ∈ BV (B(0, i+ 1)). Koska toisaalta myos χEr2k (0) → fi L

1(B(0, i)):ssa, onoltava fi+1 = fi Ln-m.k. B(0, i):ssa.

Jatkamalla nain voidaan maaritella funktio f ∈ BVloc(Rn) s.e. f = fi Ln-m.k. B(0, i):ssa jokaisella i ∈ N. Lopulta saadaan, etta ”diagonaalinen jono”(χErkk (0))∞k=1 suppenee L1(B(0, i)):ssa ja Ln-m.k. B(0, i):ssa kohti funktiotaf |B(0,i) ∈ BV (B(0, i)) kaikilla i ∈ N. Merkitaan sk := rkk. Koska Ln-m.k.y ∈ Rn patee χEsk (0)(y) ∈ 0, 1 kaikilla k ∈ N, nama jonot voivat lahestyavain arvoja 0 ja 1. Taten f = χF avaruudessa L1

loc(Rn), ja siten avaruudessaBVloc(Rn), jollain F ⊂ Rn. Kaiken kaikkiaan siis χEsk (0) → χF L1

loc(Rn):ssa,missa χF ∈ BVloc(Rn), eli toisin sanoen F :lla on lokaalisti aarellinen perimetriRn:ssa. Viela pitaisi todistaa, etta joukko F on juuri toivottu puoliavaruus.

Kayttamalla ensin BV-funktioiden struktuurilausetta, sitten tietoa χEsk (0) →χF L1

loc(Rn):ssa, ja lopuksi uudelleen BV-funktioiden struktuurilausetta, saa-daan milla tahansa ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn)ˆ

Rnϕ · νEsk (0) d‖∂Esk(0)‖ =

ˆRnχEsk (0)∇ · ϕdy

→ˆ

RnχF∇ · ϕdy =

ˆRnϕ · νF d‖∂F‖,

kun k → ∞. Tama tarkoittaa [1, s. 54], etta ‖∂Esk(0)‖xνEsk (0) ‖∂F‖xνF(Radon-mittojen heikko suppeneminen), missa siis (kirjoitetaan Esk(0) tastalahtien lyhyemmin Esk)

‖∂Esk‖xνEsk (B) =ˆB

νEsk d‖∂Esk‖

kaikilla Borel-joukoilla B ⊂ Rn. Todettu heikko suppeneminen antaa kaikillaL > 0, joilla ‖∂F‖(∂B(0, L)) = 0, etta [1, s. 54]

ˆB(0,L)

νEsk d‖∂Esk‖ →ˆB(0,L)

νF d‖∂F‖, (2.12)

kun k → ∞. Lemman 2.2.1 mukaan ‖∂F‖(∂B(0, L)) = 0 kaikilla paitsi kor-keintaan numeroituvan monella L > 0. Kaiken kaikkiaan on siis saatu toinenkintapa, jolla joukko Esk ”lahestyy” joukkoa F .

Kayttamalla nyt ensin yhtaloita (2.10) ja (2.11) ja sitten tietoa, etta 0 ∈ ∂∗E,

16

saadaan

limk→∞

B(0,L)

νEsk d‖∂Esk‖ = limk→∞

´B(0,L)

νEsk d‖∂Esk‖‖∂Esk‖(B(0, L))

= limk→∞

1sn−1k

´B(0,skL)

νE d‖∂E‖1

sn−1k

‖∂E‖(B(0, skL))= limk→∞

B(0,skL)

νEd‖∂E‖ = ν∗E(0) = en

kaikilla L > 0. Intuitiivisesti tama kertoo, etta νEsk on lahella en:aa, kun kkasvaa suureksi. Ottamalla nyt sisatulo en:n kanssa saadaan

limk→∞

en · B(0,L)

νEsk d‖∂Esk‖ = 1. (2.13)

Toisaalta kaavan (2.12) nojallaˆB(0,L)

νEsk d‖∂Esk‖ →ˆB(0,L)

νF d‖∂F‖

m.k. L > 0, kun k →∞. Kun tama yhdistetaan yhtaloon (2.13), voidaan todeta,etta on myos oltava

limk→∞

‖∂Esk‖(B(0, L)) =ˆB(0,L)

en · νF d‖∂F‖ (2.14)

m.k. L > 0. Toisaalta alaspain puolijatkuvuuden [1, s. 172] nojalla

‖∂F‖(B(0, L)) ≤ lim infk→∞

‖∂Esk‖(B(0, L))

≤ lim infk→∞

‖∂Esk‖(B(0, L))

= limk→∞

‖∂Esk‖(B(0, L)) (2.15)

m.k. L > 0. Yhdistamalla tama yhtaloon (2.14) ja muistamalla, etta m.k. L > 0patee ‖∂F‖(∂B(0, L)) = 0, saadaan

‖∂F‖(B(0, L)) = ‖∂F‖(B(0, L)) ≤ˆB(0,L)

en · νF d‖∂F‖

m.k. L > 0. On siis valttamatta oltava νF = en ‖∂F‖-m.k. y ∈ B(0, L) m.k.L > 0. Taten νF = en ‖∂F‖-m.k. y ∈ Rn. Kaava (2.14) antaa nyt myos

limk→∞

‖∂Esk‖(B(0, L))→ ‖∂F‖(B(0, L)) (2.16)

m.k. L > 0 (tarkalleen niilla, joille patee ‖∂F‖(∂B(0, L)) = 0). Nyt paastaanvihdoin osoittamaan, etta joukko F on halutunlainen puolitaso. Taman todista-misessa kaytetaan apuna χF :n silotettua muotoa (χF )ε = ηε ∗ χF , ε > 0, missa

17

ηε on standardisilottajafunktio [1, s. 122]. Kayttamalla konvoluution maaritel-maa, Fubinin lausetta, tietoa, etta silean funktion osittaisderivaatan silotus onfunktion silotuksen osittaisderivaatta, ja viela BV-funktioiden struktuurilauset-ta, saadaan kaikille ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn)ˆ

Rn(χF )ε∇ · ϕdy =

ˆRn

ˆRnχF (z)ηε(y − z)dz∇ · ϕ(y) dy

=ˆ

Rn

ˆRnηε(y − z)∇ · ϕ(y)dy χF (z) dz

=ˆ

Rn(∇ · ϕ)ε(z)χF (z) dz =

ˆRn∇ · ϕε(z)χF (z) dz

=ˆ

Rnϕε · νF d‖∂F‖ =

ˆRnϕε · en d‖∂F‖

=ˆ

Rn(ϕ · en)ε d‖∂F‖.

Toisaalta osittaisintegroimalla saadaan myos kaikille ϕ ∈ C10 (Rn; Rn)

ˆRn

(χF )ε∇ · ϕdy = −ˆ

Rn∇(χF )ε · ϕdy.

Oletetaan nyt, etta ∂(χF )ε

∂yn(y) > 0 jollain y ∈ Rn. Talloin osittaisderivaattojen

jatkuvuuden perusteella ∂(χF )ε

∂yn> δ > 0 avoimessa joukossa U ⊂ Rn ja edel-

leen kompaktissa joukossa K ⊂ U s.e. Ln(K) > 0 (K voi olla esimerkiksi U :nsisaltama suljettu pallo). Jos nyt valitaan silea ϕ ∈ C1

0 (U), jolle patee ϕ ≥ 0 jaϕ ≡ 1 K:ssa, saadaan

−ˆ

Rn

∂(χF )ε

∂ynϕ dy < 0.

Jos edelleen valitaan ϕ = (0, . . . 0, ϕ) ∈ C10 (Rn; Rn), niin

−ˆ

Rn∇(χF )ε · ϕdy < 0.

Samaan aikaan kuitenkin ˆRn

(ϕ · en)ε d‖∂F‖ ≥ 0,

silla ϕ:n n:s komponentti on ei-negatiivinen. On siis paadytty ristiriitaan, javoidaan paatella, etta ∂(χF )ε

∂yn(y) ≤ 0 kaikilla y ∈ Rn. Oletetaan sitten, etta

∂(χF )ε

∂yi(y) > 0 jollain i ∈ 1, . . . , n− 1 ja y ∈ Rn. Nyt saadaan samaan tyyliin

kuin asken, etta

−ˆ

Rn

∂(χF )ε

∂yiϕ dy < 0

18

jollain ϕ ∈ C10 (Rn), ϕ ≥ 0. Valitsemalla edelleen funktio ϕ ∈ C1

0 (Rn; Rn), jonkai:s komponentti on ϕ ja muut nollia, saadaan

−ˆ

Rn∇(χF )ε · ϕdy < 0,

mutta toisaalta ˆRn

(ϕ · en)ε d‖∂F‖ = 0,

mika on ristiriita. Samaan tyyliin tapaus ∂(χF )ε

∂yi(y) < 0 jollain i ∈ 1, . . . , n−1

ja y ∈ Rn tuottaa ristiriidan. On siis oltava ∂(χF )ε

∂yi(y) = 0 kaikilla i ∈ 1, . . . , n−

1, y ∈ Rn ja ε > 0. Jos nyt εj → 0, niin (χF )εj → χF L1loc(Rn):ssa ja (jos

tarvittaessa siirrytaan osajonoon) pisteittain joukossa Rn\A, Ln(A) = 0 [1, s.123]. Jos y, z ∈ Rn\A ja yn = zn, niin (χF )ε(y) = (χF )ε(z) kaikilla ε > 0, jataten raja-arvotkin ovat samat, eli χF (y) = χF (z). Vastaavasti, jos yn < zn,niin (χF )ε(y) ≥ (χF )ε(z) kaikilla ε > 0, ja taten χF (y) ≥ χF (z). Joukko F onsiis muotoa (Ln-nollamittaista joukkoa lukuunottamatta)

F = y ∈ Rn | yn ≤ β

jollain β ∈ [−∞,∞]. Nain on siis saatu, etta F on puoliavaruus, mutta vielaolisi todistettava, etta β = 0, silla nimenomaan origon oletettiin kuuluvan re-dusoituun reunaan. Oletetaan siis ensin, etta β < 0. Nyt suljettu pallo B(0, L),0 < L < |β|, kuuluu kokonaan F :n ulkopuolelle. Kayttamalla taas muuttujan-vaihtoa z = pr(y) (muistetaan maaritelma sivulta 13) voidaan laskea

0 =Ln(B(0, L) ∩ F )

Ln= limk→∞

Ln(B(0, L) ∩ Esk)Ln

= limk→∞

1Ln

ˆB(0,L)

χEsk (z) dz = limk→∞

1(skL)n

ˆB(0,skL)

χE(y) dy

= limk→∞

Ln(B(0, skL) ∩ E)(skL)n

.

Tama on kuitenkin ristiriita lemman 2.2.3 kohdan (i) kanssa. Vastaavasti tapausβ > 0 tuottaa ristiriidan lemman 2.2.3 kohdan (ii) kanssa. Siis β = 0 ja

F = y ∈ Rn | yn ≤ 0 = H−(0).

Nain on saatu todistettua, etta χEsk → χH−(0) L1loc(Rn):ssa, kun k → ∞,

mutta sama tulos haluttaisiin viela alkuperaiselle jonolle (rj) ⊃ (sk). Tehdaansiis vastaoletus, etta jollain kompaktilla K ⊂ Rn

lim supj→∞

ˆK

|χErj − χH−(0)|dy > ε,

19

missa ε > 0. Talloin on olemassa osajono (tj) ⊂ (rj) s.e.ˆK

|χEtj − χH−(0)|dy > ε

kaikilla j ∈ N. Nyt kuitenkin huomataan, ettei ole olemassa osajonoa (uj) ⊂(tj), jolle patisi χEuj → χH−(0) L

1loc(Rn):ssa, vaikka juuri on todistettu, et-

ta jokaisesta jonosta tj → 0 voidaan poimia tallainen osajono. On siis oltavaχErj → χH−(0) L

1loc(Rn):ssa myos alkuperaisella jonolla (rj). Katsotaan viela

kaavaa (2.16), joka saadaan nyt muotoon

limk→∞

‖∂Esk‖(B(0, L)) = ‖∂H−(0)‖(B(0, L)) (2.17)

kaikilla L > 0, joille patee ‖∂H−(0)‖(∂B(0, L)) = 0. Koska H−(0) on silea-reunainen joukko, sen perimetri avoimessa joukossa on yksinkertaisesti joukonreunan Hn−1-mitta [3, s. 4–5]. Kayttamalla tata ja Radon-mittojen yleisia omi-naisuuksia saadaan

‖∂H−(0)‖(B(0, L)) = limε→0‖∂H−(0)‖(B(0, L+ ε))

= limε→0Hn−1(∂H−(0) ∩B(0, L+ ε)) = lim

ε→0Ωn−1(L+ ε)n−1

= Ωn−1Ln−1 = Hn−1(∂H−(0) ∩B(0, L)) = ‖∂H−(0)‖(B(0, L)).

Itse asiassa siis ‖∂H−(0)‖(∂B(0, L)) = 0 kaikilla L > 0. Lopulta, jos jollainL > 0 olisi

lim supj→∞

|‖∂Erj‖(B(0, L))− ‖∂H−(0)‖(B(0, L))| > ε > 0,

loytyisi taas osajono (tj) ⊂ (rj) s.e.

|‖∂Etj‖(B(0, L))− ‖∂H−(0)‖(B(0, L))| > ε

kaikilla j ∈ N. Talloin osajonosta (tj) ei loytyisi osajonoa, jolla yhtalo (2.17)patisi, mika on ristiriita. Siis

limj→∞

‖∂Erj‖(B(0, L)) = ‖∂H−(0)‖(B(0, L)) = Ωn−1Ln−1

alkuperaisella (mielivaltaisella) jonolla rj → 0, ja kaikilla L > 0. Nain lauseenmolemmat vaitteet on saatu todistettua.

Huomautus. Todistuksessa paateltiin joukon F olevan puoliavaruus kayttamallatietoa, etta χF :n heikko gradientti on en:n suuntainen. Myos vahaisemmilla tie-doilla aarellisperimetrisen joukon heikon gradientin suunnasta voidaan paatellaesimerkiksi, etta joukon reuna on Lipschitz [3, s. 57–62].

20

Todistetusta lauseesta saadaan helposti seuraava korollaari.

Korollaari 2.3.2. Oletetaan, etta x ∈ ∂∗E. Talloin

(i) limr→0

Ln(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

=12,

limr→0

Ln(E ∩H+(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

= 0,

(ii) limr→0

Ln((Rn\E) ∩H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

= 0,

limr→0

Ln((Rn\E) ∩H+(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

=12,

(iii) limr→0

‖∂E‖(B(x, r))Ωn−1rn−1

= 1.

Todistus. Muistetaan taas, etta jos pr(y) = x+(y−x)/r, niin y ∈ E tasmalleensilloin, kun pr(y) ∈ Er(x). Kayttamalla muuttujanvaihtoa z = pr(y) seka edel-lisesta lauseesta saatavaa tietoa χEr(x) → χH−(x) L

1loc(Rn):ssa voidaan laskea

limr→0

Ln(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))rn

= limr→0

1rn

ˆRnχE∩H−(x)∩B(x,r)(y) dy

= limr→0

ˆRnχEr(x)∩H−(x)∩B(x,1)(z) dz = lim

r→0

ˆH−(x)∩B(x,1)

χEr(x)(z) dz

=ˆH−(x)∩B(x,1)

χH−(x)(z) dz =12

Ωn.

Tama todistaa kohdan (i) ensimmaisen osan, ja toinen saadaan samanlaisellalaskulla. Kohta (ii) seuraa kohdasta (i). Voidaan laskea

limr→0

Ln((Rn\E) ∩H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

= limr→0

Ln(H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

− limr→0

Ln(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

=12− 1

2= 0.

Tama todistaa vaitteen (ii) ensimmaisen osan, ja toinen saadaan naytettya sa-maan tapaan. Kohta (iii) saadaan todistettua muistamalla ensin, etta yhtalon(2.10) mukaan

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

= ‖∂Er(x)‖(B(x, 1)).

Toisaalta lauseen 2.3.1 mukaan

‖∂Er(x)‖(B(x, 1))→ Ωn−11n−1 = Ωn−1,

kun r → 0. Nain onkin saatu vaite.

21

Huomautus. Vektoria ν∗E(x), joka toteuttaa kohdat (i) ja (ii), kutsutaan joskusE:n mittateoreettiseksi normaaliksi (muistetaan, etta ν∗E(x) on puoliavaruuksienH−(x) ja H+(x) normaali) [2, s. 240]. Kohta (iii) puolestaan on vahvempi versiolemman 2.2.3 kohdista (iii) ja (iv).

22

Luku 3

Redusoidun reunanstruktuurilause

Edellisessa luvussa selviteltiin lokaalisti aarellisperimetrisen joukon ja sen pe-rimetrimitan kayttaytymista redusoidun reunan pisteiden lahella. Tassa luvus-sa naytetaan aluksi, etta redusoitu reuna on hyvin lahella toista joukkoa, niinkutsuttua mittateoreettista reunaa. Sitten todistetaan vahva tulos redusoidunreunan rakenteesta.

3.1 Mittateoreettinen reuna

Aloitetaan suoraan maaritelmasta.

Maaritelma 3.1.1. Olkoon x ∈ Rn. Sanotaan, etta x kuuluu joukon E ⊂ Rnmittateoreettiseen reunaan ∂∗E, jos

lim supr→0

Ln(E ∩ B(x, r))rn

> 0

ja

lim supr→0

Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))rn

> 0.

Huomataan, etta maaritelma on varsin intuitiivinen: karkeasti ottaen mittateo-reettiseen reunaan kuuluvan pisteen (mielivaltaisen pieneen) ymparistoon tuleekuulua jonkin verran seka joukkoa E etta sen komplementtia. Selvasti jos pisteon joukon E tai sen komplementin sisapiste, toinen ylla olevista raja-arvoistaon nolla, eika piste voi kuulua mittateoreettiseen reunaan. Joukon mittateo-reettinen reuna siis on (kuten redusoitu reunakin) topologisen reunan osajouk-ko. Edelleen voidaan todeta, etta mittateoreettisen reunan maaritelma toimii

23

yleiselle joukolle E ⊂ Rn. Seuraavaksi kuitenkin oletetaan taas, etta E:lla onlokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa, ja selvitetaan redusoidun reunan ja mit-tateoreettisen reunan valinen yhteys.

Lause 3.1.2. Joukon E redusoitu reuna on mittateoreettisen reunan osajoukko,ja niiden erotuksen n− 1-ulotteinen Hausdorffin mitta on nolla, toisin sanoen

(i) ∂∗E ⊂ ∂∗E,

(ii) Hn−1(∂∗E\∂∗E) = 0.

Todistus. Vaite (i) saadaan suoraan lemman 2.2.3 kohdista (i) ja (ii). Katso-taan sitten vaitetta (ii). Jokaista x ∈ ∂∗E kohti on mittateoreettisen reunanmaaritelman perusteella olemassa luku β ∈ (0, 1/2), β = β(x) s.e.

lim supr→0

Ln(E ∩ B(x, r))Ωnrn

> β

ja

lim supr→0

Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))Ωnrn

> β.

Taman perusteella on olemassa jonot ri → 0 ja ri → 0 s.e.

Ln(E ∩ B(x, ri))Ωnrni

> β (3.1)

jaLn((Rn\E) ∩ B(x, ri))

Ωnrni> β (3.2)

kaikilla i ∈ N. Siirtymalla tarpeen mukaan osajonoon voidaan myos olettaa, ettari ≥ ri kaikilla i ∈ N. Nyt epayhtalo (3.2) voidaan edelleen kirjoittaa muodossa

Ln(E ∩ B(x, ri))Ωnrni

< 1− β (3.3)

kaikilla i ∈ N, silla E on Ln-mitallinen joukko. Koska β ∈ (0, 1/2) ja kuvaus

r 7−→ Ln(E ∩ B(x, r))

Ωnrn

on jatkuva, jokaista i ∈ N kohti on pakko olla ˜ri ∈ [ri, ri] s.e.

β ≤ Ln(E ∩ B(x, ˜ri))

Ωn ˜rni≤ 1− β.

24

Jos nimittain nain ei olisi, jollain i ∈ N olisi oltava

Ln(E ∩ B(x, ri))Ωnrni

> 1− β > 12

jaLn(E ∩ B(x, ri))

Ωnrni< β <

12.

Nyt jatkuvuuden nojalla olisi kuitenkin oltava

Ln(E ∩ B(x, ˜ri))Ωn ˜rni

=12

jollain ˜ri ∈ [ri, ri]. On siis olemassa jono ˜ri → 0 s.e.

Ln(E ∩ B(x, ˜ri))Ωn ˜rni

≥ β

jaLn((Rn\E) ∩ B(x, ˜ri))

Ωn ˜rni≥ β

kaikilla i ∈ N. Edelleen suhteellisen isoperimetrisen epayhtalon nojalla saadaan

2A2(n)‖∂E‖(B(x, ˜ri))≥ minLn(E ∩ B(x, ˜ri)),Ln((Rn\E) ∩ B(x, ˜ri))(n−1)/n

≥ (βΩn)(n−1)/n ˜rn−1i

kaikilla i ∈ N. Toisin sanoen

‖∂E‖(B(x, ˜ri))˜rn−1i

≥ β(x, n) > 0

kaikilla i ∈ N. Jos nyt maaritellaan

F :=x ∈ Rn\∂∗E | lim sup

r→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

> 0,

niin (∂∗E\∂∗E) ⊂ F . Todetaan myos, etta

‖∂E‖(F ) ≤ ‖∂E‖(Rn\∂∗E) = 0

(jalkimmainen yhtasuuruus todistettiin luvun 2 alussa). Nyt saadaan edelleenF =

⋃∞j=1 Fj , jos maaritellaan

Fj :=x ∈ Rn\∂∗E | lim sup

r→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

>1j

.

25

Otetaan j ∈ N ja ε > 0. Koska ‖∂E‖ on Radon-mitta, on olemassa [1, s. 8] avoinjoukko U ⊃ Fj s.e.

‖∂E‖(U) ≤ ‖∂E‖(Fj) + ε = ε.

Joukon Fj maaritelman nojalla jokaista x ∈ Fj kohti on olemassa mielivaltaisenpieni sade r > 0 s.e.

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

>1j.

Erityisesti pallo B(x, r) saadaan kuulumaan avoimeen joukkoon U . Otetaansitten δ > 0 ja maaritellaan

A :=B(x, r) |x ∈ Rn\∂∗E, 0 < r < δ, B(x, r) ⊂ U, ‖∂E‖(B(x, r))

rn−1>

1j

.

Selvasti A muodostaa Fj :n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan voidaan vali-koida A:sta numeroituva kokoelma pistevieraita palloja B(xk, rk)∞k=1 s.e.

Fj ⊂∞⋃k=1

B(xk, 5rk).

Nyt diam B(xk, 5rk) ≤ 10δ kaikilla k ∈ N, joten voidaan laskea

Hn−110δ (Fj) ≤

∞∑k=1

Ωn−1(5rk)n−1

≤ Ωn−15n−1j

∞∑k=1

‖∂E‖(B(xk, rk))

≤ Ωn−15n−1j‖∂E‖(U)< Ωn−15n−1jε.

Antamalla ε → 0 saadaan Hn−110δ (Fj) = 0, ja antamalla sitten δ → 0 saadaan

Hn−1(Fj) = 0. Koska tassa j ∈ N oli mielivaltainen, saadaan

Hn−1(F ) = Hn−1

∞⋃j=1

Fj

≤ ∞∑j=1

Hn−1(Fj) = 0.

Lopulta saadaan Hn−1(∂∗E\∂∗E) ≤ Hn−1(F ) = 0, mika onkin vaite (ii).

26

3.2 Redusoidun reunan rakenne

Ennen kuin paastaan todistamaan redusoidun reunan struktuurilause, tarvitaanensin muutama lemma. Seuraava lemma olennaisesti kertoo, etta jos redusoidunreunan osajoukon perimetrimitta on nolla, myos sen n−1-ulotteinen Hausdorffinmitta on nolla — kyse on siis absoluuttisesta jatkuvuudesta.

Lemma 3.2.1. Jos A ⊂ ∂∗E, niin

Hn−1(A) ≤ C(n)‖∂E‖(A),

missa C(n) > 0 siis riippuu vain dimensiosta n.

Todistus. Jos ‖∂E‖(A) =∞, vaite on selva, joten oletetaan, etta ‖∂E‖(A) <∞.Otetaan ε > 0. Koska ‖∂E‖ on Radon-mitta, on olemassa avoin joukko U ⊃ As.e.

‖∂E‖(U) ≤ ‖∂E‖(A) + ε.

Lemman 2.2.3 kohdan (iii) mukaan kaikilla x ∈ ∂∗E patee

lim infr→0

‖∂E‖(B(x, r))rn−1

≥ C2(n) > 0.

Jos nyt valitaan mielivaltainen δ > 0, niin

B =B(x, r) |x ∈ A, 0 < r < δ, B(x, r) ⊂ U, C2(n)rn−1 < 2‖∂E‖(B(x, r))

muodostaa A:n peitteen. Vitalin peitelauseen mukaan B:sta voidaan valikoidapistevieraista palloista koostuva numeroituva osaperhe B(xi, ri)∞i=1 s.e.

A ⊂∞⋃i=1

B(xi, 5ri).

Nyt voidaan laskea

Hn−110δ (A) ≤

∞∑i=1

Ωn−1(5ri)n−1 ≤ Ωn−15n−1 2C2(n)

∞∑i=1

‖∂E‖(B(xi, ri))

≤ C(n)‖∂E‖(U) ≤ C(n)(‖∂E‖(A) + ε),

missa C(n) > 0. Jos nyt annetaan ε → 0, saadaan Hn−110δ (A) ≤ C(n)‖∂E‖(A),

ja lopulta δ → 0 antaa Hn−1(A) ≤ C(n)‖∂E‖(A).

27

Maaritellaan nyt kaikkia pisteita x ∈ Rn ja yksikkovektoreita ν kohti hypertaso

Hν(x) := y ∈ Rn | ν · (y − x) = 0

ja puoliavaruudet

H−ν (x) := y ∈ Rn | ν · (y − x) ≤ 0,H+ν (x) := y ∈ Rn | ν · (y − x) ≥ 0.

Vertaamalla aiempiin merkintoihin todetaan, etta jos x ∈ ∂∗E, niin esimerkiksiH−(x) (ilman alaindeksia) on sama kuin H−ν∗E(x)(x), eli oletusarvoisesti yksik-kovektori otetaan redusoidun reunan maaritelmasta. Todistetaan nyt yksinker-tainen, mutta hieman tekninen lemma.

Lemma 3.2.2. Jos joukolla E ⊂ Rn on lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssaja funktio ν∗E on jatkuva joukossa A ⊂ ∂∗E, niin kiinnitetylla r > 0 funktio

mr : x 7−→ Ln(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))

rn

on A:ssa jatkuva (vrt. korollaarissa 2.3.2 esiintyviin lausekkeisiin). Sama pa-tee, jos puoliavaruus H−(x) korvataan puoliavaruudella H+(x), tai joukko Ekomplementillaan. Edelleen yleisella E ⊂ Rn funktio

x 7−→ Ln(E ∩ B(x, r))

rn,

on jatkuva kiinnitetylla r > 0.

Todistus. Jos yleisesti B ⊂ Rn ja C ⊂ Rn ovat joukkoja s.e.

Ln(B) <∞, Ln(C) <∞,

patee tietenkin Ln(B) ≤ Ln(C) + Ln(B\C),Ln(C) ≤ Ln(B) + Ln(C\B).

Naista saadaan

|Ln(B)− Ln(C)| ≤ Ln(B\C) + Ln(C\B). (3.4)

Nyt voidaan osoittaa mr:n jatkuvuus ottamalla piste x ∈ A ja jono (xi) ⊂ A,xi → x, ja tarkastelemalla lauseketta

|mr(xi)−mr(x)|

=∣∣∣∣Ln(E ∩H−(xi) ∩ B(xi, r))

rn− L

n(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))rn

∣∣∣∣=

1rn|Ln(E ∩H−(xi) ∩ B(xi, r))− Ln(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))|.

28

Itseisarvomerkkien sisalla oleva lauseke saadaan epayhtalon (3.4) perusteellapienemmaksi kuin

Ln[(E ∩H−(xi) ∩ B(xi, r))\(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))]+Ln[(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))\(E ∩H−(xi) ∩ B(xi, r))]. (3.5)

Ylla olevat kaksi termia ovat hyvin samanlaiset, joten keskitytaan ensimmaiseen.Se saadaan pienemmaksi kuin

Ln(E ∩ [(H−(xi) ∩ B(xi, r))\(H−(x) ∩ B(x, r))])≤ Ln[(H−(xi) ∩ B(xi, r))\(H−(x) ∩ B(x, r))]≤ Ln[(H−(xi) ∩ B(xi, r))\H−(x)] + Ln[(H−(xi) ∩ B(xi, r))\B(x, r)]≤ Ln[(H−(xi) ∩ B(xi, r))\H−(x)] + Ln(B(xi, r)\B(x, r)) (3.6)

Koska xi → x ja ν∗E(xi) → ν∗E(x) (muistetaan jatkuvuus), viimeisen rivin jal-kimmaista termia voidaan arvioida ylospain lausekkeella

Ln(B(x, r + |xi − x|)\B(x, r))

→ Ln(∞⋂i=1

B(x, r + |xi − x|)\B(x, r))

= Ln(∅) = 0.

Edelleen (3.6):n viimeisen rivin ensimmaista termia voidaan jostain indeksistalahtien arvioida ylospain lausekkeella

Ln(B(x, r + 1) ∩ (H−(xi)\H−(x)))≤ Ln(B(x, r + 1) ∩ (H−(xi)\H−ν∗E(x)(x

i)))

+Ln(B(x, r + 1) ∩ (H−ν∗E(x)(xi)\H−(x)))

→ 0 + 0 = 0,

kun i→∞. Kaavan (3.5) ensimmainen termi menee siis nollaan, ja toinen termimenee nollaan samaan tapaan. Yhteensa saadaan

|mr(xi)−mr(x)| → 0,

kun i → ∞. Tama todistaa, etta mr on jatkuva funktio joukossa A ⊂ ∂∗E.Muut vaitteen osat saadaan todistettua samaan tapaan.

Ylla olevan lemman avulla voidaan todistaa viela yksi tarpeellinen lemma, jotatarvitaan redusoidun reunan struktuurilauseen todistuksessa.

Lemma 3.2.3. Joukon E ⊂ Rn mittateoreettinen reuna ∂∗E on Borel-joukko.

29

Todistus. Edellisen lemman nojalla funktio

x 7−→ Ln(E ∩ B(x, r))

rn

on jatkuva Rn:ssa kiinnitetylla r > 0. Siis se on myos Borel-mitallinen. Tatenmyos funktio

q(x) := lim supr→0

Ln(E ∩ B(x, r))rn

= infR>0R∈Q

sup0<r<Rr∈Q

Ln(E ∩ B(x, r))rn

on Borel-mitallinen Rn:ssa. Tassa infimum ja supremum voidaan ottaa vainrationaalilukujen yli, silla funktio

r 7−→ Ln(E ∩ B(x, r))

rn

on selvasti jatkuva R+:ssa. Siis joukko

A1 = x ∈ Rn | q(x) > 0

on Borel-joukko. Aivan vastaavasti funktio

q(x) := lim supr→0

Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))rn

= infR>0R∈Q

sup0<r<Rr∈Q

Ln((Rn\E) ∩ B(x, r))rn

on Borel-mitallinen Rn:ssa, ja joukko

A2 = x ∈ Rn | q(x) > 0

on Borel-joukko. Taten mittateoreettinen reuna

∂∗E = A1 ∩A2

on myos Borel-joukko.

Jos µ on ulkomitta, merkitaan µ:n rajoittumaa joukkoon A ⊂ Rn µxA, missasiis

µxA(B) = µ(A ∩B)

kaikilla B ⊂ Rn.

Nyt voidaan vihdoin todistaa redusoidun reunan struktuurilause.

Lause 3.2.4. Jos joukolla E on lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa, pateeseuraavaa:

30

(i) Redusoitu reuna voidaan esittaa muodossa

∂∗E =∞⋃k=1

Kk ∪N,

missa Kk:t ovat C1-hyperpintojen Sk, k ∈ N, kompakteja osajouk-koja, ja ‖∂E‖(N) = Hn−1(N) = 0.

(ii) Funktio ν∗E on jokaisella pinnalla Sk, k ∈ N, kohtisuorassa pintaavastaan.

(iii) Joukon E perimetrimitta on yksinkertaisesti n− 1-ulotteisen Haus-dorffin mitan rajoittuma redusoidulle reunalle, toisin sanoen

‖∂E‖ = Hn−1x∂∗E.

Todistus. Korollaarin 2.3.2 kohdissa (i) ja (ii) on yhteensa nelja lauseketta,jotka lahestyvat redusoidulla reunalla arvoja 0 ja 1/2, kun r → 0. Nyt halu-taan nayttaa, etta suppeneminen on tasaista tietyissa redusoidun reunan osa-joukoissa. Funktio ν∗E on ‖∂E‖-mitallinen, ja se voidaan jatkaa koko Rn:ssamaaritellyksi maarittelemalla se vaikkapa nollaksi Rn\∂∗E:ssa (muistetaan, et-ta ‖∂E‖(Rn\∂∗E) = 0). Koska ‖∂E‖ on Radon-mitta, joukko ∂∗E ∩ B(0, 1) on‖∂E‖-mitallinen ja

‖∂E‖(∂∗E ∩ B(0, 1)) <∞.

Nyt Lusinin lauseen [1, s. 15] mukaan on olemassa kompakti A1 ⊂ ∂∗E∩ B(0, 1)s.e. funktio ν∗E on jatkuva A1:ssa ja

‖∂E‖((∂∗E ∩ B(0, 1))\A1) < 1.

Samalla periaatteella saadaan kompakti A2 ⊂ (∂∗E ∩ B(0, 2))\A1 s.e. ν∗E onjatkuva A2:ssa, ja

‖∂E‖(((∂∗E ∩ B(0, 2))\A1)\A2) < 1/2.

Nain jatkaen saadaan indeksilla i ∈ N kompakti joukko

Ai ⊂ (∂∗E ∩ B(0, i)) \

i−1⋃j=1

Aj

s.e. ν∗E on jatkuva Ai:ssa ja

‖∂E‖

(∂∗E ∩ B(0, i))\

i⋃j=1

Aj

= ‖∂E‖

B(0, i)\

i⋃j=1

Aj

<1i.

31

Maarittelyn perusteella Ai:t ovat pistevieraita, ν∗E on jatkuva jokaisessa Ai:ssa,ja

‖∂E‖

Rn\

∞⋃j=1

Aj

= limi→∞

‖∂E‖

B(0, i)\∞⋃j=1

Aj

≤ lim

i→∞‖∂E‖

B(0, i)\i⋃

j=1

Aj

≤ lim

i→∞

1i

= 0.

Nain on siis saatu ∂∗E ”hajotettua” erillisiksi kompakteiksi joukoiksi Ai, joissajokaisessa ν∗E on jatkuva. Maaritellaan nyt korollaaria 2.3.2 seuraten funktiot

m1r(x) :=

Ln(E ∩H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

,

m2r(x) :=

Ln(E ∩H+(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

,

m3r(x) :=

Ln((Rn\E) ∩H−(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

,

m4r(x) :=

Ln((Rn\E) ∩H+(x) ∩ B(x, r))Ωnrn

.

Lemman 3.2.2 perusteella nama kaikki ovat kiintealla r > 0 jatkuvia jokaisessajoukossa Ai, i ∈ N. Jos funktiot kuvittelee jatketuksi koko Rn:ssa jatkuvik-si funktioiksi, kuten voidaan tehda [1, s. 13], ne ovat tietenkin Rn:ssa Borel-mitallisia ja siten ‖∂E‖-mitallisia. Maaritellaan nyt jono rl = 1/l, l ∈ N. Korol-laarin 2.3.2 perusteella funktiot m1

rlja m4

rllahestyvat pisteittain arvoa puoli,

ja funktiot m2rl

ja m3rl

lahestyvat pisteittain arvoa nolla jokaisessa joukossa Ai,kun l→∞. Lisaksi todetaan, etta ‖∂E‖(Ai) <∞ jokaisella i ∈ N. Siis Egoroffinlauseen [1, s. 16] perusteella mielivaltaisella i ∈ N on olemassa ‖∂E‖-mitallisetjoukot A1

i1, . . . , A4i1 ⊂ Ai s.e.

‖∂E‖(Ai\A1i1), . . . , ‖∂E‖(Ai\A4

i1) < 1/4,

ja kunkin funktion m1rl, . . . ,m4

rlsuppeneminen on tasaista vastaavalla ylaindek-

silla merkityssa joukossa A1i1, . . . , A

4i1. Maarittelemalla

Ai1 := A1i1 ∩ . . . ∩A4

i1

saadaan tietenkin, etta funktiot m1rl, . . . ,m4

rlsuppenevat kaikki tasaisesti kohti

raja-arvojaan joukossa Ai1, ja lisaksi ‖∂E‖(Ai \Ai1) < 1. Tassa (rl) on tosinvain yksi nollaa lahestyva jono. Kuitenkin, jos r ∈ [rl+1, rl], niin kaikilla x ∈ Ai

m2r(x) ≤ L

n(E ∩H+(x) ∩ B(x, rl))Ωnrnl+1

=(l + 1l

)nm2rl

(x).

32

Siis m2r → 0 Ai1:ssa tasaisesti (tarvitsematta rajoittua tiettyyn jonoon). Samal-

la paattelylla m3r → 0 Ai1:ssa tasaisesti. Toisaalta patee m1

r(x),m4r(x) ≤ 1/2

kaikilla x ∈ ∂∗E ja r ∈ R. Jos jalleen r ∈ [rl+1, rl], voidaan laskea

m1r(x) ≥ L

n(E ∩H−(x) ∩ B(x, rl+1))Ωnrnl

=(

l

l + 1

)nm1rl+1

(x).

Tasta nahdaan, etta myos m1r → 1/2 ja vastaavasti m4

r → 1/2 tasaisesti Ai1:ssa(riippumatta r-jonosta). Edelleen voidaan nyt valita ‖∂E‖-mitallinen joukkoAi2 ⊂ Ai \Ai1 s.e. ‖∂E‖((Ai \Ai1) \Ai2) < 1/2, ja funktioiden m1

r, . . . ,m4r

suppeneminen on tasaista Ai2:ssa. Nain jatkaen saadaan yleisesti indeksilla j ∈N ‖∂E‖-mitallinen joukko

Aij ⊂ Ai\

(j−1⋃k=1

Aik

)

s.e. m1r, . . . ,m

4r suppenevat tasaisesti kohti raja-arvojaan Aij :ssa ja

‖∂E‖

(Ai\

j⋃k=1

Aik

)<

1j.

Nyt Aij :t ovat selvasti pistevieraita, ja lisaksi

‖∂E‖

Ai\ ∞⋃j=1

Aij

≤ ‖∂E‖Ai\ k⋃

j=1

Aij

≤ 1k

milla tahansa k ∈ N, joten on oltava

‖∂E‖

Ai\ ∞⋃j=1

Aij

= 0

kaikilla i ∈ N. On siis kaiken kaikkiaan saatu ”hajotettua” redusoitu reuna ∂∗Epistevieraiksi ‖∂E‖-mitallisiksi joukoiksi Aij , i, j ∈ N, s.e. jokaisessa joukossaAij funktio ν∗E on jatkuva ja funktiot m1

r, . . . ,m4r suppenevat tasaisesti kohti

raja-arvojaan. Koska lopulta Radon-mitan tapauksessa mitallisia joukkoja voi-daan approksimoida sisaltapain kompakteilla joukoilla, voidaan jokaista luku-paria i, j ∈ N kohti poimia kompaktit ja pistevieraat joukot Aijl ⊂ Aij , l ∈ N,s.e.

‖∂E‖

(Aij \

∞⋃l=1

Aijl

)= 0.

Jos nyt tehdaan merkinnanvaihto (Aijl)∞i,j,l=1 → (Kk)∞k=1, saadaan numeroituvakokoelma pistevieraita, kompakteja joukkoja s.e.

∂∗E =∞⋃k=1

Kk ∪N,

33

missa ‖∂E‖(N) = 0. Lisaksi jokaisessa Kk, k ∈ N, funktio ν∗E on jatkuva jafunktioiden m1

r, . . . ,m4r suppeneminen kohti raja-arvojaan on tasaista.

Maaritellaan sitten kaikilla k ∈ N ja x, y ∈ Kk

q(x, y) :=ν∗E(x) · (y − x)|y − x|

.

Valitaan mika tahansa k ∈ N ja osoitetaan, etta q(x, y)→ 0 tasaisesti joukossaKk, kun |y − x| → 0. Tehdaan ensin vastaoletus, etta on olemassa ε > 0 jajonot (xi) ⊂ Kk, (yi) ⊂ Kk s.e. |xi − yi| → 0 ja q(xi, yi) ≥ ε kaikilla i ∈ N(katsotaan myohemmin tapaus q(xi, yi) ≤ −ε). Intuitiivisesti vastaoletus sanoo,etta vektori yi − xi on vahintaan tietyssa maarin samansuuntainen vektorinν∗E(xi) kanssa kaikilla i ∈ N.

Tutkitaan nyt pisteiden xi ja yi ymparille piirrettyja pienia palloja, joita onhavainnollistettu kuvassa 3.1. Ensinnakin patee

B(yi, ε|yi − xi|) ⊂ B(xi, (1 + ε)|yi − xi|),

silla jos z ∈ B(yi, ε|yi − xi|), niin |z − yi| ≤ ε|yi − xi|, ja talloin

|z − xi| ≤ |z − yi|+ |yi − xi| ≤ ε|yi − xi|+ |yi − xi| ≤ (1 + ε)|yi − xi|.

Lisaksi patee B(yi, ε|yi − xi|) ⊂ H+(xi), silla jos taas z ∈ B(yi, ε|yi − xi|), niinz = yi + w, missa |w| ≤ ε|yi − xi|. Tehdyn vastaoletuksen perusteella

ν∗E(xi) · (z − xi) = ν∗E(xi) · (yi − xi) + ν∗E(xi) · w≥ ε|yi − xi| − |ν∗E(xi)||w| ≥ 0,

silla |ν∗E(xi)| = 1. Yhteensa siis

B(yi, ε|yi − xi|) ⊂ B(xi, (1 + ε)|yi − xi|) ∩H+(xi)

kaikilla i ∈ N. Toisin sanoen saadaan jono yi-keskisia palloja, joista kukin sisal-tyy hieman suurempaan xi-keskiseen palloon ja myos puoliavaruuteen H+(xi).Ottamalla leikkaus molemmilta puolilta joukon E kanssa saadaan edelleen

B(yi, ε|yi − xi|) ∩ E ⊂ B(xi, (1 + ε)|yi − xi|) ∩H+(xi) ∩ E. (3.7)

Muistamalla nyt, etta funktio m1r suppenee tasaisesti kohti arvoa 1/2 joukossa

Kk, saadaan, etta

Ln(B(yi, ε|yi − xi|) ∩ E) ≥ Ln(B(yi, ε|yi − xi|) ∩ E ∩H−(yi))

≥ 13

Ωn(ε|yi − xi|)n, (3.8)

34

Kuva 3.1: Funktiolle q(x, y) tehdyn vastaoletuksen havainnollistus.

kun |yi − xi| < δ sopivalla δ > 0 (luvun 1/3 sijaan voitaisiin valita muukinluku valilta (0, 1/2)). Toisin sanoen kyllin suurilla indekseilla i ∈ N palloissaB(yi, ε|yi−xi|) on aina ”vahintaan tietyn verran joukkoa E”. Yhdistamalla nytkaavat (3.7) ja (3.8) saadaan

Ln(B(xi, (1 + ε)|yi − xi|) ∩H+(xi) ∩ E) ≥ Ln(B(yi, ε|yi − xi|) ∩ E)

≥ 13

Ωn(ε|yi − xi|)n

kaikilla kyllin suurilla i ∈ N. Tama on kuitenkin ristiriita sen kanssa, etta funktiom2r suppenee tasaisesti nollaan joukossa Kk (muistetaan, etta ε > 0 on tassa

kiinnitetty luku). Katsotaan sitten tapaus, etta on olemassa ε > 0 ja jonot(xi) ⊂ Kk, (yi) ⊂ Kk s.e. |xi − yi| → 0 ja q(xi, yi) ≤ −ε kaikilla i ∈ N. Nytsaadaan ylla olevaa paattelya mukaillen ensin, etta

B(yi, ε|yi − xi|) ∩ (Rn\E) ⊂ B(xi, (1 + ε)|yi − xi|) ∩H−(xi) ∩ (Rn\E)

kaikilla i ∈ N, ja lisaksi

Ln(B(yi, ε|yi − xi|) ∩ (Rn\E)) ≥ Ln(B(yi, ε|yi − xi|) ∩ (Rn\E) ∩H+(yi))

≥ 13

Ωn(ε|yi − xi|)n,

35

kun |yi−xi| < δ sopivalla δ > 0, silla funktio m4r suppenee tasaisesti kohti arvoa

1/2. Nama yhdistamalla saadaan

Ln(B(xi, (1 + ε)|yi − xi|) ∩H−(xi) ∩ (Rn\E))≥ Ln(B(yi, ε|yi − xi|) ∩ (Rn\E))

≥ 13

Ωn(ε|yi − xi|)n

kaikilla kyllin suurilla i ∈ N. Tama on kuitenkin ristiriita sen kanssa, etta funk-tio m3

r suppenee tasaisesti nollaan joukossa Kk. Kaiken kaikkiaan siis saadaanmilla tahansa k ∈ N, etta q(x, y) → 0 tasaisesti joukossa Kk, kun |y − x| → 0.Muistetaan, etta ν∗E on jatkuva valitussa joukossa Kk, ja maaritellaan lisaksi(jatkuva) funktio fk ≡ 0 Kk:ssa. Nyt ν∗E :n voidaan ajatella olevan fk:n gra-dientti joukossa Kk, ja Whitneyn ekstensiolauseen [1, s. 245] mukaan on ole-massa funktio fk ∈ C1(Rn) s.e. Kk:ssa fk ≡ 0 ja ∇fk=ν∗E . Koska siis |∇fk| = 1Kk:ssa ja gradientti on jatkuva, on olemassa avoin ja rajoitettu joukko Uk ⊃ Kk

ja edelleen avoin ja rajoitettu Vk ⊃⊃ Uk s.e. |∇fk| ≥ 1/2 Vk:ssa. Maaritellaansitten joukko

Sk = x ∈ Vk | fk(x) = 0 ⊂ Vk.

Ensin todetaan, etta koska fk on jatkuva, Sk on suljettu Vk:ssa. Jokaisella x ∈ Skpatee |∇fk(x)| > 0, joten |(∇fk(x))i| > 0 jollain i = 1, . . . , n. Nyt implisiitti-funktiolauseen mukaan Sk voidaan esittaa jossain pisteen x ∈ Sk ymparistossamuodossa

Sk = x ∈ Rn |xi = gk(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn),

missa gk on C1-funktio. Selvasti Kk ⊂ Sk. Tama tarkoittaa, etta jokainen Kk onC1-hyperpinnan kompakti osajoukko, mika todistaa vaitteen (i). Koska edelleenSk on funktion fk tasa-arvopinta, ∇fk on aina pintaa vastaan kohtisuorassa, eliν∗E on Sk:ta vastaan kohtisuorassa. Tama on vaite (ii).

Todistetaan sitten, etta ‖∂E‖ = Hn−1x∂∗E. Ensin todetaan, etta ‖∂E‖ onRadon-mitta ja Hn−1x∂∗E = Hn−1x∂∗E, silla lauseen 3.1.2 mukaan

Hn−1(∂∗E\∂∗E) = 0.

Koska toisaalta lemman 3.2.3 mukaan mittateoreettinen reuna ∂∗E on Borel-joukko, Hn−1x∂∗E on Borel-saannollinen ulkomitta [1, s. 5]. Selvasti patee

Rn = (Rn\∂∗E) ∪∞⋃k=1

Kk ∪N. (3.9)

Tassa joukot Kk ovat tietenkin kompakteina seka ‖∂E‖- ettaHn−1x∂∗E-mitalli-sia. Muistetaan, etta ‖∂E‖(Rn\∂∗E) = 0 ja (triviaalisti)Hn−1x∂∗E(Rn\∂∗E) = 0.Edelleen lemman 3.2.1 nojalla

Hn−1x∂∗E(N) ≤ C(n)‖∂E‖(N) = 0.

36

Yhteensa siis kaikki hajotelman (3.9) joukot ovat seka ‖∂E‖- etta Hn−1x∂∗E-mitallisia. Valitaan nyt mielivaltainen Borel-joukko B ⊂ Rn (myohemmin tut-kitaan tapaus, jossa joukko ei valttamatta ole Borel). Voidaan laskea

‖∂E‖(B) = ‖∂E‖(B ∩ (Rn\∂∗E)) +∞∑k=1

‖∂E‖(B ∩Kk) + ‖∂E‖(B ∩N)

=∞∑k=1

‖∂E‖(B ∩Kk),

ja samoin Hn−1x∂∗E:lle. Riittaa siis osoittaa, etta

‖∂E‖(B ∩Kk) = Hn−1x∂∗E(B ∩Kk)

kaikilla k ∈ N, eli itse asiassa voidaan olettaa, etta B on Borel-joukko ja B ⊂ Kk.Olkoon nyt Sk = Sk∩Uk, jolloin Sk on kompakti (koska Sk oli suljettu Vk:ssa) jaSk ⊂ Vk. Otetaan sitten mika tahansa x ∈ Sk. Muistetaan, etta |∇fk(x)| ≥ 1/2,joten Sk voidaan esittaa jossain pallossa B(x, r), r > 0, muodossa

Sk = y ∈ Rn | yi = gk(y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn).

Maaritellaan joukko

C = y ∈ B(x, r) | yi ≤ gk(y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn).

Nyt joukko C on sileareunainen joukko pallossa B(x, r), joten sille patee [3, s.39]

‖∂C‖(B(x, r)) = Hn−1(∂C ∩ B(x, r)).

Tassahan ∂C = Sk pallossa B(x, r). Selvasti x ∈ ∂∗C, joten korollaarista 2.3.2saadaan

limr→0

‖∂C‖(B(x, r))Ωn−1rn−1

= 1.

Nain saadaan yhteensa

limr→0

Hn−1(Sk ∩ B(x, r))Ωn−1rn−1

= 1. (3.10)

Taman avulla voidaan osoittaa, etta Hn−1xSk on Radon-mitta. Koska Sk onkompaktina joukkona Borel-joukko, Hn−1xSk on Borel-saannollinen ulkomitta.Toisaalta, koska Sk on kompakti, saadaan sille aarellinen peite B(xi, ri)mi=1

s.e.

Hn−1(Sk) ≤m∑i=1

Hn−1(Sk ∩ B(xi, ri)) < 2m∑i=1

Ωn−1rn−1i <∞.

37

Siis Hn−1xSk on Radon-mitta. Otetaan nyt x ∈ B ⊂ Kk ⊂ ∂∗E. Muistetaanedelleen korollaarista 2.3.2, etta

limr→0

‖∂E‖(B(x, r))Ωn−1rn−1

= 1.

Yhdistamalla tama yhtaloon (3.10), jossa voidaan pisteissa x ∈ B korvata Sk →Sk, saadaan

limr→0

Hn−1xSk(B(x, r))‖∂E‖(B(x, r))

= limr→0

Hn−1(Sk ∩ B(x, r))‖∂E‖(B(x, r))

= 1

kaikilla x ∈ B. Jos yleensa µ ja ν ovat Radon-mittoja, ja merkitaan niidenderivaattaa

Dµν(x) := limr→0

ν(B(x, r))µ(B(x, r))

silloin, kun tama raja-arvo on olemassa, patee seuraava tulos [1, s. 37]: Jos0 < α <∞ ja

A ⊂ x ∈ Rn |Dµν(x) ≤ α,

niin ν(A) ≤ αµ(A). Aivan vastaavasti, jos

A ⊂ x ∈ Rn |Dµν(x) ≥ α,

niin ν(A) ≥ αµ(A). Koska nyt patee

B ⊂ x ∈ Rn |D‖∂E‖Hn−1xSk(x) = 1,

voidaan siis paatella, etta

‖∂E‖(B) = Hn−1xSk(B) = Hn−1xSk(B) = Hn−1x∂∗E(B).

Tassa oli B ⊂ Kk, mutta kuten ylempana todettiin, tama riittaa todistamaan,etta

‖∂E‖(B) = Hn−1x∂∗E(B)

mielivaltaisella Borel-joukolla B ⊂ Rn. Valitaan nyt mielivaltainen joukko A ⊂Rn. Koska seka ‖∂E‖ etta Hn−1x∂∗E ovat Borel-saannollisia ulkomittoja, kutenaiemmin todettiin, on olemassa Borel-joukot B1 ⊃ A ja B2 ⊃ A s.e.

‖∂E‖(B1) = ‖∂E‖(A), Hn−1x∂∗E(B2) = Hn−1x∂∗E(A).

Edelleen leikkaukselle B = B1∩B2 (joka on Borel-joukko) patee selvasti B ⊃ Aja

‖∂E‖(B) = ‖∂E‖(A), Hn−1x∂∗E(B) = Hn−1x∂∗E(A).

Yhteensa‖∂E‖(A) = Hn−1x∂∗E(A).

Mitat ovat siis samat, ja myos vaite (iii) on tosi.

38

Huomautus. Tulosta ‖∂E‖ = Hn−1x∂∗E todistettaessa oletettiin, etta E:llaon lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa. Kaantaen voidaan nayttaa, etta Ln-mitallisella joukolla E ⊂ Rn on lokaalisti aarellinen perimetri Rn:ssa, jos

Hn−1(K ∩ ∂∗E) <∞

jokaisella kompaktilla K ⊂ Rn [1, s. 222]. Tassa ehdossa siis esiintyy mittateo-reettinen reuna, joka voidaan maaritella yleiselle joukolle.

39

Luku 4

BV-funktioiden pisteittaisetominaisuudet

Siirrytaan tarkastelemaan tassa luvussa yleisia BV-funktioita, rajoittumattasiis lokaalisti aarellisperimetrisiin joukkoihin. Luvussa paastaan soveltamaankahdessa edellisessa luvussa saatuja tuloksia muistamalla, etta BV-funktioidencoarea-kaavan mukaan BV-funktion tasojoukoilla on (lokaalisti) aarellinen pe-rimetri Rn:ssa. Tata hyodyntaen voidaan todistaa, etta jokainen BV-funktioon mittateoreettisessa mielessa jatkuva lukuunottamatta ”hyppayksia” yli C1-hyperpintojen. Tarkasti tama ilmaistaan Lebesguen lauseen BV-funktioille pa-tevassa versiossa.

4.1 Mittateoreettinen raja-arvo ja jatkuvuus

Tarkastellaan ensin (yleisen) funktion mittateoreettista jatkuvuutta.

Maaritelma 4.1.1. Funktion f : Rn 7−→ [−∞,∞] approksimatiivinen raja-arvo pisteessa x ∈ Rn on κ(x) ∈ R, jos

limr→0

Ln(y ∈ Rn | |f(y)− κ(x)| > ε ∩ B(x, r))rn

= 0

kaikilla ε > 0. Talloin merkitaan

ap limy→x

f(y) = κ(x).

Maaritelma siis sanoo, etta joukon y ∈ Rn | |f(y)−κ(x)| > ε = |f−κ(x)| > ε(kaytetaan jatkossa tallaista tiivistettya merkintaa) tiheyden on oltava nolla pis-teessa x mielivaltaisen pienilla ε > 0. On varsin helppo nahda, etta approksi-matiivinen raja-arvo on yksikasitteinen [1, s. 46]. Maaritellaan edelleen approk-simatiivinen lim inf ja approksimatiivinen lim sup.

40

Maaritelma 4.1.2. Jos on annettu funktio f : Rn 7−→ [−∞,∞], niin

λ(x) := ap lim infy→x

f(y) := sups ∈ R | lim

r→0

Ln(f < s ∩ B(x, r))rn

= 0,

µ(x) := ap lim supy→x

f(y) := infs ∈ R | lim

r→0

Ln(f > s ∩ B(x, r))rn

= 0.

Intuitiivisesti esimerkiksi µ(x) on ”suurin” luku s, jolla joukon f > s tiheyspisteessa x on nollaa suurempi. Jos patee

lim supr→0

Ln(f < s ∩ B(x, r))rn

> 0

kaikilla s ∈ R, maaritellaan λ(x) = −∞, ja jos

limr→0

Ln(f < s ∩ B(x, r))rn

= 0

kaikilla s ∈ R, asetetaan λ(x) = ∞. Samoin voi olla µ(x) = ±∞. Tama huo-mioon ottaen λ ja µ ovat joka pisteessa hyvin maariteltyja ja yksikasitteisia.Voidaan varsin helposti nayttaa, etta λ(x) ≤ µ(x) kaikilla x ∈ Rn. Edelleenvoidaan todeta, etta jos λ(x) = µ(x) = t ∈ R, niin kaikilla ε > 0 patee

limr→0

Ln(|f − t| > ε ∩ B(x, r))rn

= limr→0

Ln(f > t+ ε ∩ B(x, r))rn

+ limr→0

Ln(f < t− ε ∩ B(x, r))rn

= 0,

eli saadaan t = κ(x). Samoin on selvaa, etta jos approksimatiivinen raja-arvoκ(x) on olemassa, patee λ(x) = µ(x) = κ(x). Approksimatiivinen jatkuvuusmaaritellaan luonnollisella tavalla:

Maaritelma 4.1.3. Funktio f : Rn 7−→ [−∞,∞] on approksimatiivisesti jat-kuva pisteessa x ∈ Rn, jos κ(x) = f(x), eli jos approksimatiivinen raja-arvo jafunktion arvo yhtyvat.

Todetaan, etta approksimatiivinen jatkuvuus eroaa tavallisesti jatkuvuudestasiten, etta funktion arvot esimerkiksi jollain pistetta x lahestyvalla pistejonollavoivat olla mita tahansa, silla funktion arvot yksittaisissa pisteissa eivat vaikutaapproksimatiiviseen raja-arvoon. Todistetaan nyt tulos λ:n ja µ:n mitallisuudes-ta.

Lemma 4.1.4. Funktiot λ ja µ ovat Borel-mitallisia.

Todistus. Maaritellaan lukuun t ∈ R liittyva funktion f : Rn 7−→ [−∞,∞]tasojoukko

Ft := y ∈ Rn | f(y) > t.

41

Lemman 3.2.2 perusteella funktio

x 7−→ Ln(Ft ∩ B(x, r))

rn

on jatkuva kiinnitetyilla t ∈ R ja r > 0. Siis funktio

qt(x) := lim supr→0r∈Q

Ln(Ft ∩ B(x, r))rn

on Borel-mitallinen jokaisella t ∈ R. Koska toisaalta funktio

r 7−→ Ln(Ft ∩ B(x, r))

rn

on jatkuva kiinnitetylla x ∈ Rn ja t ∈ R, niin qt(x) = 0 tasmalleen silloin, kun

limr→0

Ln(Ft ∩ B(x, r))rn

= 0.

Koska lisaksi qt on vaheneva funktio t:n suhteen, saadaan kaikilla s ∈ R

x ∈ Rn |µ(x) ≤ s =∞⋂k=1

x ∈ Rn | qs+1/k(x) = 0.

Siis µ on Borel-mitallinen funktio. Funktion λ Borel-mitallisuus saadaan nay-tettya samaan tapaan.

Maaritellaan nyt joukko, jossa approksimatiivista raja-arvoa ei ole olemassa:

J := x ∈ Rn |λ(x) < µ(x).

Koska funktio f ∈ BV (Rn) kuuluu myos avaruuteen L1(Rn), f on approksima-tiivisesti jatkuva Ln-m.k. x ∈ Rn, ja patee siis κ(x) = λ(x) = µ(x) = f(x) ∈ RLn-m.k. x ∈ Rn [1, s. 47]. Voidaan taten todeta, etta

−∞ < λ(x) = µ(x) <∞

Ln-m.k. x ∈ Rn. Tata tulosta vahvennetaan seuraavissa lauseissa.

Lause 4.1.5. Jos f ∈ BV (Rn), niin joukolle J patee

J ⊂⋃t∈A

∂∗Ft =∞⋃k=1

Kk ∪N,

missa A ⊂ R on numeroituva, R:ssa tihea joukko; jokaisella tasojoukolla Ft ⊂Rn, t ∈ A, on aarellinen perimetri Rn:ssa; joukot Kk ovat C1-hyperpintojenkompakteja osajoukkoja ja Hn−1(N) = 0.

42

Todistus. Otetaan mika tahansa x ∈ J . Talloin patee λ(x) < µ(x), eli edelleenλ(x) < t < µ(x) jollain t ∈ R. Funktion f tasojoukolle Ft saadaan

lim supr→0

Ln(Ft ∩ B(x, r))rn

> 0,

silla t < µ(x). Samaan tapaan

lim supr→0

Ln((Rn\Ft) ∩ B(x, r))rn

= lim supr→0

Ln(f ≤ t ∩ B(x, r))rn

> 0,

silla t > λ(x). Tama tarkoittaa mittateoreettisen reunan maaritelman mukaan,etta x ∈ ∂∗Ft. Nyt BV-funktioiden coarea-kaavan [1, s. 185] mukaan tasojou-koilla Ft on aarellinen perimetri Rn:ssa m.k. t ∈ R. Tallaisilla t:n arvoilla pateelauseen 3.1.2 perusteella Hn−1(∂∗Ft\∂∗Ft) = 0, ja lauseen 3.2.4 mukaan edelleen

∂∗Ft =∞⋃k=1

Ktk ∪N t,

missa Ktk:t ovat C1-hyperpintojen kompakteja osajoukkoja ja Hn−1(N t) = 0.

Jos nyt valitaan R:n numeroituva, tihea osajoukko A s.e. joukolla Ft on aarel-linen perimetri jokaisella t ∈ A, niin jokaisella x ∈ J patee λ(x) < t < µ(x)jollain t ∈ A. Siispa patee

J ⊂⋃t∈A

∂∗Ft,

eli sopivalla indeksoinnilla

J ⊂∞⋃k=1

Kk ∪N,

missa Kk:t ovat C1-hyperpintojen kompakteja osajoukkoja ja Hn−1(N) = 0.Tama todistaa vaitteen.

Huomautus. Todetaan, etta tassa paastiin soveltamaan edellisessa luvussa to-distettuja tuloksia BV-funktion tasojoukkoihin.

Korollaari 4.1.6. Joukko J on σ-aarellinen mitan Hn−1:n suhteen.

Todistus. Lauseen 4.1.5 perusteella siis

J ⊂∞⋃k=1

Kk ∪N,

eli

J =∞⋃k=1

(Kk ∩ J) ∪ (N ∩ J),

43

missa joukot Kk ∩ J , k ∈ N, ovat lemman 4.1.4 nojalla Borel-joukkoja, jaHn−1(N ∩ J) = 0. Kaikki nama joukot ovat siis Hn−1-mitallisia. Tasmalleensamaan tapaan kuin lauseen 3.2.4 todistuksessa sivulla 37 voidaan nyt osoittaa,etta Hn−1(Kk) <∞ kaikilla k ∈ N. Tasta saadaan vaite.

Lause 4.1.7. Jos f ∈ BV (Rn), niin

−∞ < λ(x) ≤ µ(x) <∞

Hn−1-m.k. x ∈ Rn.

Todistus. Maaritellaan ensin lukuun t ∈ R liittyva joukko

Λt := x ∈ Rn |λ(x) > t.

Olkoon t > 0. Jos x ∈ Λt, niin t < λ(x) ja edelleen t + ε < λ(x) jollain ε > 0.Siispa λ:n maaritelman nojalla

limr→0

Ln(f < t+ ε ∩ B(x, r))rn

= 0.

Koska edelleen f ≤ t ⊂ f < t+ ε, niin

limr→0

Ln(f ≤ t ∩ B(x, r))rn

= 0.

Taten saadaan

limr→0

Ln(f > t ∩ B(x, r))Ωnrn

= 1.

Koska toisaalta f ∈ L1(Rn) ja t > 0, patee myos

limr→∞

Ln(f > t ∩ B(x, r))Ωnrn

= 0.

Lisaksi funktio

r 7−→ Ln(f > t ∩ B(x, r))

Ωnrn

on ilmeisen jatkuva, joten saadaan, etta kaikilla x ∈ Λt on olemassa jokin r > 0s.e.

Ln(f > t ∩ B(x, r))Ωnrn

=13. (4.1)

Kayttamalla naita sateita saadaan joukolle Λt peite B(x, r) |x ∈ Λt. Koskaf ∈ L1(Rn), sateilla on myos jokin ylaraja R > 0. Vitalin peitelauseen mukaan

44

voidaan nyt poimia numeroituva kokoelma pistevieraita palloja B(xi, ri)∞i=1

s.e.

Λt ⊂∞⋃i=1

B(xi, 5ri).

Rajoitutaan sellaisiin t > 0, etta tasojoukolla Ft = f > t on aarellinen peri-metri Rn:ssa — BV-funktioiden coarea-kaavan mukaan tama patee m.k. t ∈ R.Nyt milla tahansa i ∈ N saadaan kayttamalla yhtaloa (4.1) ja relatiivista isope-rimetrista epayhtaloa, etta(

13

Ωnrni

)(n−1)/n

= Ln(Ft ∩ B(xi, ri))(n−1)/n

= minLn(Ft ∩ B(xi, ri)), Ln((Rn\Ft) ∩ B(xi, ri))(n−1)/n

≤ 2A2(n)‖∂Ft‖(B(xi, ri)).

Huomataan, etta tassa toinen yhtasuuruus pati sen ansiosta, etta yhtalossa (4.1)valittiin oikealle puolelle luku 1/3 (muukin puolta pienempi luku olisi sopinut).Sulauttamalla vakiot yhteen saadaan

rn−1i ≤ C(n)‖∂Ft‖(B(xi, ri))

kaikilla i ∈ N. Nyt voidaan laskea

Hn−110R (Λt) ≤

∞∑i=1

Ωn−1(5ri)n−1

≤ C(n)∞∑i=1

‖∂Ft‖(B(xi, ri))

≤ C(n)‖∂Ft‖(Rn) (4.2)

kaikilla t > 0, joille patee ‖∂Ft‖(Rn) <∞. Toisaalta coarea-kaavan mukaanˆ ∞−∞‖∂Ft‖(Rn)dt = ‖Df‖(Rn) <∞.

Tasta saadaanlim inft→∞

‖∂Ft‖(Rn) = 0,

elilimj→∞

‖∂Ftj‖(Rn) = 0 (4.3)

45

sopivalla jonolla tj →∞. Yhdistamalla nyt kaavat (4.2) ja (4.3) saadaan (muis-tetaan, etta sateiden ylaraja R > 0 riippuu luvusta t > 0)

Hn−1∞ (λ(x) =∞) = Hn−1

∞

∞⋂j=1

Λtj

≤ lim inf

j→∞Hn−1∞ (Λtj )

≤ lim infj→∞

C(n)‖∂Ftj‖(Rn) = 0.

Tasta saadaan suoraan, etta Hn−1(λ(x) = ∞) = 0 [1, s. 64]. Aivan vas-taavaan tapaan saadaan todistettua, etta Hn−1(µ(x) = −∞) = 0. Lopuksitaydennetaan paattely todistamalla viela, etta

Hn−1(µ(x)− λ(x) =∞) = 0.

Tarkastellaan joukkoa

D = (x, t) |x ∈ J, λ(x) < t < µ(x).

Lauseen 4.1.5 nojalla patee

D ⊂ J×∞⋃

j=−∞(j−1, j] ⊂

∞⋃k=1

(Kk∪N)×∞⋃

j=−∞(j−1, j] =

∞⋃k=1

∞⋃j=−∞

(Kk∪N)×(j−1, j].

Tulomitan ominaisuuksien [1, s. 22] perusteella (vrt. korollaari 4.1.6)

(Hn−1 × L1)(Kk × (j − 1, j]) = Hn−1(Kk)L1((j − 1, j]) <∞

kaikilla k ∈ N, j ∈ Z. Lisaksi joukko D voidaan osoittaa Hn−1 ×L1-mitalliseksi— vrt. [1, s. 66]. Siis

D =∞⋃k=1

∞⋃j=−∞

((Kk ∪N)× (j − 1, j]) ∩D,

eli D on σ-aarellinen tulomitan Hn−1 × L1 suhteen. Fubinin lauseen [1, s. 22]nojalla voidaan nyt laskea

ˆ ∞−∞Hn−1(x ∈ J |λ(x) < t < µ(x))dt

=ˆJ

L1(t ∈ R |λ(x) < t < µ(x))dHn−1

=ˆJ

(µ(x)− λ(x))dHn−1

=ˆ

Rn(µ(x)− λ(x))dHn−1. (4.4)

46

Integroimisalue voitiin tassa laajentaa koko Rn:aan, koska µ(x) − λ(x) = 0joukon J ulkopuolella. Toisaalta muistetaan lauseen 4.1.5 todistuksesta, ettajos λ(x) < t < µ(x), niin x ∈ ∂∗Ft. Muistamalla viela lauseesta 3.2.4, etta‖∂Ft‖ = Hn−1x∂∗Ft, ja kayttamalla BV-funktioiden coarea-kaavaa saadaan

ˆ ∞−∞Hn−1(x ∈ J |λ(x) < t < µ(x))dt ≤

ˆ ∞−∞Hn−1(∂∗Ft)dt

=ˆ ∞−∞Hn−1(∂∗Ft)dt

=ˆ ∞−∞‖∂Ft‖(Rn)dt

= ‖Df‖(Rn) <∞,

silla f ∈ BV (Rn). Yhdistamalla tama yhtaloon (4.4) voidaan paatella, etta onoltava

Hn−1(x ∈ Rn |µ(x)− λ(x) =∞) = 0.

Merkitaan jatkossa joukkoa, jossa |λ(x)| = ∞ tai |µ(x)| = ∞, symbolilla I.Juuri todistetun lauseen nojalla Hn−1(I) = 0.

4.2 Lebesguen lause BV-funktioille

Nyt paastaan vihdoin todistamaan Lebesguen lause BV-funktioille.

Lause 4.2.1. Olkoon f ∈ BV (Rn). Silloin

(i) Hn−1-m.k. x ∈ Rn\J patee

limr→0

B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy = 0,

ja lisaksi

(ii) Hn−1-m.k. x ∈ J patee sopivasti valitulla yksikkovektorilla ν = ν(x)

limr→0

B(x,r)∩H−

ν

|f − µ(x)|n/(n−1)dy = 0

ja

limr→0

B(x,r)∩H+

ν

|f − λ(x)|n/(n−1)dy = 0.

47

Todistus. Oletetaan, etta x ∈ Rn \ (J ∪ I) (muistetaan joukon I maaritelmaedellisen alaluvun lopusta), jolloin λ(x) = µ(x) = κ(x) ∈ R. Lauseen 4.1.7mukaan tama oletus patee Hn−1-m.k. x ∈ Rn \J . Jos valitaan M > |κ(x)|,voidaan laskea

B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

≤ 1Ωnrn

ˆB(x,r)

εn/(n−1)dy

+1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f−κ(x)|>ε

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

= εn/(n−1) +1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩2M≥|f−κ(x)|>ε

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

+1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f−κ(x)|>2M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy,

≤ εn/(n−1) +Ln(B(x, r) ∩ |f − κ(x)| > ε)

Ωnrn(2M)n/(n−1)

+1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f−κ(x)|>2M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy.

Jos muistetaan approksimatiivisen raja-arvon κ(x) maaritelma, saadaan nyt

lim supr→0

B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

≤ εn/(n−1) + lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f−κ(x)|>2M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy.

Koska tassa ε > 0 voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, saadaan

lim supr→0

B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

≤ lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f−κ(x)|>2M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy.

≤ lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f |>M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy.

≤ lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy.

+ lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩f<−M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy. (4.5)

Yleisesti, jos a, b ≥ 0, patee (a + b)n/(n−1) ≤ C(n)(an/(n−1) + bn/(n−1)) [4, s.

48

226], joten voidaan laskea

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

=1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|(f −M)+ + (M − κ(x))|n/(n−1)dy

≤ C(n)

(1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|(f −M)+|n/(n−1)dy

+1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|M − κ(x)|n/(n−1)dy

),

missa jalkimmaiselle termille patee

lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|M − κ(x)|n/(n−1)dy

≤ lim supr→0

Ln(B(x, r) ∩ f > M)Ωnrn

|M − κ(x)|n/(n−1) = 0,

silla M > κ(x). Saadaan siis edelleen

lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

≤ C(n) lim supr→0

B(x,r)

((f −M)+)n/(n−1)dy. (4.6)

Tassa (f −M)+ ∈ BV (Rn) (tama osoitetaan myohemmin sivulla 51). Koskanyt

limr→0

Ln(B(x, r) ∩ f > M)rn

= 0,

pateeLn(B(x, r) ∩ f > M)

rn≤ 1

2

kyllin pienilla r > 0, jolloin edelleen

Ln(B(x, r) ∩ (f −M)+ = 0)rn

≥ 12.

Nailla r:n arvoilla patee [1, s. 189](ˆB(x,r)

((f −M)+)n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ C(n)‖D((f −M)+)‖(B(x, r)),

49

joten( B(x,r)

((f −M)+)n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ C(n)rn−1

‖D((f −M)+)‖(B(x, r)).

(4.7)

Kaavan (4.5) viimeisen rivin termille saadaan vastaavasti laskettua

lim supr→0

1Ωnrn

ˆB(x,r)∩f<−M

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

≤ lim supr→0

C(n)

(1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f<−M

((f +M)−)n/(n−1)dy

+1

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f<−M

| −M − κ(x)|n/(n−1)dy

)

= lim supr→0

C(n) B(x,r)

((f +M)−)n/(n−1)dy.

Edelleen( B(x,r)

((f +M)−)n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ C(n)rn−1

‖D((f +M)−)‖(B(x, r))

kyllin pienilla r > 0. Yhdistamalla tama ja aiemmat kaavat (4.6) ja (4.7) kaavaan(4.5) saadaan kaiken kaikkiaan

lim supr→0

( B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ lim supr→0

C(n)rn−1

‖D((f −M)+)‖(B(x, r))

+ lim supr→0

C(n)rn−1

‖D((f +M)−)‖(B(x, r)) (4.8)

kaikilla M > |κ(x)|. BV-funktioiden coarea-kaavan perusteella patee

‖D((f −M)+)‖(B(x, r)) =ˆ ∞−∞‖∂Ft‖(B(x, r))dt,

missa

Ft = (f −M)+ > t =f −M > t = f > M + t, kun t ≥ 0,Rn, kun t < 0.

50

Saadaan siis edelleen

‖D((f −M)+)‖(B(x, r)) =ˆ ∞

0

‖∂Ft‖(B(x, r))dt

=ˆ ∞

0

‖∂Ft+M‖(B(x, r))dt

=ˆ ∞M

‖∂Ft‖(B(x, r))dt.

Nain voidaan todeta, etta ‖D((f −M)+)‖(B(x, r)) on M :n suhteen vahenevafunktio, kun M > 0. Korvaamalla tassa B(x, r) → Rn nahdaan myos, etta

ˆ ∞−∞‖∂Ft‖(Rn)dt =

ˆ ∞M

‖∂Ft‖(Rn)dt <∞,

silla f ∈ BV (Rn), joten taman ja coarea-kaavan perusteella myos (f −M)+ ∈BV (Rn) kaikilla M > 0. Samaan tapaan nahdaan, etta (f +M)− ∈ BV (Rn) jaetta ‖D((f + M)−)‖(B(x, r)) on M :n suhteen vaheneva funktio, kun M > 0,silla

‖D((f +M)−)‖(B(x, r)) =ˆ ∞−∞‖∂Ft‖(B(x, r))dt,

missa merkitaan

Ft = (f+M)− > t =f +M < −t = −f > M + t =: F−t+M , kun t ≥ 0,Rn, kun t < 0.

Siispa saadaan edelleen

‖D((f +M)−)‖(B(x, r)) =ˆ ∞

0

‖∂F−t+M‖(B(x, r))dt

=ˆ ∞M

‖∂F−t ‖(B(x, r))dt,

eli myos ‖D((f+M)−)‖(B(x, r)) onM :n suhteen vaheneva funktio. Nyt voidaanepayhtalo (4.8) muistaen todeta, ettax ∈ Rn\(J ∪ I) | lim sup

r→0

( B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

)n−1n

> 0

⊂∞⋃i=1

Ai∪ Ai,

missa

Ai =x ∈ Rn | lim sup

r→0

‖D((f −M)+)‖(B(x, r))rn−1

>1i

kaikilla M > |κ(x)|

51

ja

Ai =x ∈ Rn | lim sup

r→0

‖D((f +M)−)‖(B(x, r))rn−1

>1i

kaikilla M > |κ(x)|.

Funktioiden ‖D((f−M)+)‖(B(x, r)) ja ‖D((f+M)−)‖(B(x, r)) vahenevyydenperusteella voidaan edelleen maaritella joukot

Ci =x ∈ Rn | lim sup

r→0

‖D((f −M)+)‖(B(x, r))rn−1

>1i

kaikilla M > 0

ja

Ci =x ∈ Rn | lim sup

r→0

‖D((f +M)−)‖(B(x, r))rn−1

>1i

kaikilla M > 0,

missa Ci ⊃ Ai ja Ci ⊃ Ai kaikilla i ∈ N. Valitaan nyt i ∈ N ja tutkitaan joukkoaCi. Otetaan mielivaltainen M > 0, ja δ > 0. Joukolle Ci saadaan peite

B = B(x, r) |x ∈ Rn, 0 < r < δ, rn−1 < i‖D((f −M)+)‖(B(x, r)).

Tuttuun tapaan Vitalin peitelause antaa numeroituvan kokoelman pistevieraitapalloja B(xj , rj)∞j=1 ⊂ B s.e.

Ci ⊂∞⋃j=1

B(xj , 5rj).

Nyt voidaan laskea

Hn−110δ (Ci) ≤

∞∑j=1

Ωn−1(5rj)n−1

= C(n)∞∑j=1

rn−1j

≤ C(n)i∞∑j=1

‖D((f −M)+)‖(B(xj , rj))

≤ C(n)i‖D((f −M)+)‖(Rn)

= C(n)iˆ ∞M

‖∂Ft‖(Rn)dt.

Tama siis patee kaikilla M > 0. Toisaalta on oltava

limM→∞

ˆ ∞M

‖∂Ft‖(Rn)dt = 0,

52

silla ˆ ∞−∞‖∂Ft‖(Rn)dt = ‖Df‖(Rn) <∞.

Siis Hn−110δ (Ci) = 0 ja siten Hn−1(Ci) = 0 kaikilla i ∈ N. Samaan tapaan nah-

daan, etta Hn−1(Ci) = 0 kaikilla i ∈ N. Tama todistaa vaitteen (i).

Tarkastellaan sitten vaitetta (ii). Muistetaan, etta lauseen 4.1.5 mukaan

J ⊂⋃t∈A

∂∗Ft,

missa A ⊂ R on numeroituva joukko. Edelleen muistetaan, etta pateeHn−1(I) =0 ja Hn−1(∂∗Ft\∂∗Ft) = 0 kaikilla t ∈ A. Jos merkitaan

P :=⋃t∈A

(∂∗Ft\∂∗Ft) ∪ I,

saadaan Hn−1(P ) = 0. Voidaan siis Hn−1-m.k. x ∈ J olettaa, etta x ∈ J \P .

Otetaan nyt piste x ∈ J \P . Koska λ(x) < µ(x), patee x ∈ ∂∗Ft kaikilla t ∈(λ(x), µ(x)), ja siten kaikilla t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩A. Ylla olevan oletuksen nojallapatee itse asiassa x ∈ ∂∗Ft kaikilla t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Kaikilla tallaisilla t:narvoilla joukolle Ft loytyy pisteessa x korollaarin 2.3.2 nojalla yksikkovektoriν∗Ft(x), jolle patee tuttuun tapaan

limr→0

Ln(Ft ∩H−ν∗Ft (x)(x) ∩ B(x, r))

Ωnrn=

12

ja

limr→0

Ln(Ft ∩H+ν∗Ft

(x)(x) ∩ B(x, r))

Ωnrn= 0.

Koska taten joukon Ft tiheys ”miinus-puolella” on nolla ja ”plus-puolella” yksi,todetaan, etta ν∗Ft(x):n korvaaminen milla tahansa muulla yksikkovektorilla te-kee ensimmaisesta raja-arvosta 1/2:ta pienemman ja toisesta 0:aa suuremman.Jos nyt toisaalta valitaan s ∈ (λ(x), µ(x)) ∩A s.e. s > t, patee vastaavasti

limr→0

Ln(Fs ∩H−ν∗Fs (x)(x) ∩ B(x, r))

Ωnrn=

12,

mutta koska Fs ⊂ Ft, patee myos

limr→0

Ln(Fs ∩H−ν∗Fs (x)(x) ∩ B(x, r))

Ωnrn≤ limr→0

Ln(Ft ∩H−ν∗Fs (x)(x) ∩ B(x, r))

Ωnrn≤ 1

2,

53

joten ylla olevan paattelyn perusteella on valttamatta oltava ν∗Fs(x) = ν∗Ft(x).Koska tassa ei luvuista s, t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A oletettu muuta kuin s > t, pateeν∗Fs(x) = ν∗Ft(x) kaikilla s, t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Merkitaan tata yksikkovektoriasymbolilla ν. Nyt siis patee

limr→0

Ln(f > λ(x) + ε ∩H+ν (x) ∩ B(x, r))

rn= 0 (4.9)

kaikilla ε > 0 — tassa ei tietenkaan tarvitse enaa rajoittua lukuihin λ(x) + ε ∈(λ(x), µ(x)) ∩ A. Toisaalta suoraan approksimatiivisen lim inf:in maaritelmannojalla

limr→0

Ln(f < λ(x)− ε ∩ B(x, r))rn

= 0 (4.10)

kaikilla ε > 0. Edelleen korollaarin 2.3.2 nojalla

limr→0

Ln((Rn\Ft) ∩H−ν∗Ft (x)(x) ∩ B(x, r))

Ωnrn= 0

kaikilla t ∈ (λ(x), µ(x)) ∩ A. Tassa yksikkovektori on taas vakio t:n suhteen:ν∗Ft(x) = ν. Taman perusteella

limr→0

Ln(f < µ(x)− ε ∩H−ν (x) ∩ B(x, r))rn

= 0 (4.11)

kaikilla ε > 0, ja toisaalta suoraan approksimatiivisen lim sup:in maaritelmannojalla

limr→0

Ln(f > µ(x) + ε ∩ B(x, r))rn

= 0. (4.12)

kaikilla ε > 0. Kiinnitetaan ε > 0. Nyt voidaan lahtea laskemaan kohdan (i)tapaan

2Ωnrn

ˆB(x,r)∩H+

ν

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

≤ εn/(n−1)

+2

Ωnrn

ˆB(x,r)∩H+

ν ∩f>λ(x)+ε|f − λ(x)|n/(n−1)dy

+2

Ωnrn

ˆB(x,r)∩H+

ν ∩f<λ(x)−ε|f − λ(x)|n/(n−1)dy (4.13)

Valitaan sitten M > 0 s.e. M > λ(x) + ε ja −M < λ(x) − ε (muistetaan, etta|λ(x)| <∞). Nyt voidaan viimeista edellisen rivin termia arvioida

2Ωnrn

ˆB(x,r)∩H+

ν ∩f>λ(x)+ε|f − λ(x)|n/(n−1)dy

≤ 2|M − λ(x)|n/(n−1)Ln(f > λ(x) + ε ∩H+ν ∩ B(x, r))

Ωnrn

+2

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f>M

|f − λ(x)|n/(n−1)dy.

54

Tassa ensimmainen termi menee yhtalon (4.9) nojalla nollaan, kun r → 0.Epayhtalon (4.13) toista termia voidaan arvioida vastaavasti

2Ωnrn

ˆB(x,r)∩H+

ν ∩f<λ(x)−ε|f − λ(x)|n/(n−1)dy

≤ 2| −M − λ(x)|n/(n−1)Ln(f < λ(x)− ε ∩ B(x, r))Ωnrn

+2

Ωnrn

ˆB(x,r)∩f<−M

|f − λ(x)|n/(n−1)dy.

Tassa ensimmainen termi menee yhtalon (4.10) nojalla nollaan, kun r → 0.Antamalla viela ε→ 0 saadaan kaavasta (4.13) kaiken kaikkiaan

lim supr→0

B(x,r)∩H+

ν

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

≤ lim supr→0

2Ωnrn

ˆB(x,r)∩|f |>M

|f − λ(x)|n/(n−1)dy. (4.14)

Tassa on ensinnakin

2Ωnrn

ˆf>M∩B(x,r)

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

=2

Ωnrn

ˆf>M∩B(x,r)

|(f −M)+ + (M − λ(x))|n/(n−1)dy

≤ 2C(n)Ωnrn

(ˆf>M∩B(x,r)

((f −M)+)n/(n−1)dy

+ˆf>M∩B(x,r)

(M − λ(x))n/(n−1)dy

)

≤ 2C(n)Ωnrn

ˆB(x,r)

((f −M)+)n/(n−1)dy

+2C(n)(M − λ(x))n/(n−1)Ln(f > M ∩ B(x, r))Ωnrn

.

Jos nyt oletetaan viela, etta M > µ(x) (muistetaan, etta |µ(x)| < ∞), niinjalkimmainen termi menee nollaan, kun r → 0, silla

limr→0

Ln(f > M ∩ B(x, r))Ωnrn

= 0.

Tama myos kertoo, etta

Ln(f > M ∩ B(x, r))Ωnrn

≤ 12

55

kyllin pienilla r > 0. Tama on sama kuin

Ln((f −M)+ = 0 ∩ B(x, r))Ωnrn

≥ 12

kyllin pienilla r > 0. Kuten kohdan (i) todistuksessa, patee taas [1, s. 189](2C(n)Ωnrn

ˆB(x,r)

((f −M)+)n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ C(n)rn−1

‖D((f −M)+)‖(B(x, r)).

Samaan tyyliin voidaan laskea

2Ωnrn

ˆf<−M∩B(x,r)

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

≤ 2C(n)Ωnrn

(ˆf<−M∩B(x,r)

((f +M)−)n/(n−1)dy

+ˆf<−M∩B(x,r)

| −M − λ(x)|n/(n−1)dy

)

≤ 2C(n)Ωnrn

ˆB(x,r)

((f +M)−)n/(n−1)dy

+2C(n)|M + λ(x)|n/(n−1)Ln(f < −M ∩ B(x, r))Ωnrn

.

Oletuksen mukaan −M < λ(x), joten jalkimmainen termi menee tassakin nol-laan, kun r → 0, silla

limr→0

Ln(f < −M ∩ B(x, r))Ωnrn

= 0.

Edelleen(2C(n)Ωnrn

ˆB(x,r)

((f +M)−)n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ C(n)rn−1

‖D((f +M)−)‖(B(x, r))

kyllin pienilla r > 0. Yhteensa saadaan epayhtalosta (4.14), etta

lim supr→0

( B(x,r)∩H+

ν

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

)(n−1)/n

≤ lim supr→0

C(n)rn−1

‖D((f −M)+)‖(B(x, r))

+ lim supr→0

C(n)rn−1

‖D((f +M)−)‖(B(x, r))

56

kaikilla M > max|λ(x)|, µ(x). Vaitteen (i) todistuksessa jo naytettiin, et-ta ylla olevat kaksi termia ovat nollia Hn−1-m.k. x ∈ Rn, kun vaatimus oliM > |κ(x)|. Paattely ei muutu lainkaan tasta ehdosta riippuen, joten nain saa-daan todistettua vaitteen (ii) ensimmainen osa. Toinen osa voidaan todistaasamanlaisilla laskuilla, ja myos vektori ν = ν(x) tulee kaavojen (4.11) ja (4.12)nojalla olemaan sama.

4.3 Pohdintaa

Selvitetaan nyt hieman lauseen 4.2.1 vaitteiden ja niiden seurauksien merki-tysta. Vahvimman tuloksen lause antaa selvasti pisteille x ∈ Rn \J (Hn−1-nollamittaista joukkoa lukuunottamatta), joten tarkastellaan ensin hieman jou-kon J suuruutta. Heti tiedetaan, etta Ln(J) = 0, silla Ln-mitallinen funktioon approksimatiivisesti jatkuva Ln-melkein kaikkialla [1, s. 47]. (”Ln-mitallinenfunktio” oletetaan tassa reaaliarvoiseksi — mutta toisaalta integroituva funktiosaa tietenkin arvoja ±∞ vain Ln-nollamittaisessa joukossa.) Toisaalta korollaa-rin 4.1.6 mukaan joukko J on σ-aarellinen mitan Hn−1 suhteen Rn:ssa, eli Jvoidaan esittaa muodossa

J =∞⋃i=1

Ji,

missaHn−1(Ji) <∞ kaikilla i ∈ N. Tama tarkoittaa [1, s. 65], ettaHn−1+δ(Ji) =0 kaikilla i ∈ N ja δ > 0. Siis

Hn−1+δ(J) = Hn−1+δ

( ∞⋃i=1

Ji

)≤∞∑i=1

Hn−1+δ(Ji) = 0

kaikilla δ > 0. Joukko J on siis olennaisesti ”pienempi” kuin yleinen Ln-nolla-mittainen joukko. Toisaalta on huomattava, etta koska BV-funktiot maaritel-laan vain Ln-nollamittaisia joukkoja lukuunottamatta, ei BV-funktioiden ap-proksimatiiviselle jatkuvuudelle voida saada parempaa tulosta kuin mita saa-daan yleiselle Ln-mitalliselle funktiolle. Sen sijaan λ ja µ ovat pisteittain maari-teltyja funktioita, joten myos J on pisteittain hyvin maaritelty joukko. Edelleenapproksimatiivinen raja-arvo κ(x) on pisteittain maaritelty lukuunottamattamaarattya Ln-nollamittaista joukkoa (jossa κ(x) voidaan tarvittaessa maaritel-la vaikkapa nollaksi). Koska BV-funktio on Ln-mitallisena approksimatiivisestijatkuva Ln-melkein kaikkialla, patee

f(x) = κ(x) = λ(x) = µ(x)

Ln-m.k. x ∈ Rn. Kolme jalkimmaista ovat siis kaikki kaypia funktion f ∈BV (Rn) (pisteittain maariteltyja) edustajia. Erityisesti edustaja κ(x) on ap-proksimatiivisesti jatkuva joukossa Rn\(J ∪ I), missa Hn−1+δ(J ∪ I) = 0 kai-killa δ > 0. Tama on paljon vahvempi tulos kuin mita saadaan yleiselle Ln-mitalliselle funktiolle. Edelleen Hn−1-m.k. x ∈ Rn\(J ∪ I) patee lauseen 4.2.1

57

ja Holderin epayhtalon nojalla

limr→0

B(x,r)

|f − κ(x)|dy ≤ limr→0

( B(x,r)

|f − κ(x)|n/(n−1)dy

)(n−1)/n

= 0.

Tama tarkoittaa, etta nama kaikki ovat Lebesguen pisteita esimerkiksi lahteessa[4, s. 458] kaytettavan maaritelman mukaan. Huomautettakoon, etta Lebesguenpisteet maaritellaan joskus (ks. esim. [1, s. 44]) vaatimalla, etta itseisarvojen si-salla oleva erotus on f − f(x), eika yleinen f − a sopivasti valitulla a ∈ R. Nah-daan, etta nyt tallainen vaatimus heikentaisi saatuja tuloksia huomattavasti,silla f ∈ BV (Rn) voi olla mita tahansa Ln-nollamittaisessa joukossa. Nyt siissaatu tulos on kuitenkin huomattavasti vahvempi kuin yleisille L1-funktioillesaatava tulos, jonka mukaan kaikki Rn:n pisteet Ln-nollamittaista joukkoa lu-kuunottamatta ovat Lebesguen pisteita. Toisaalta tulos on (luonnollisesti) hei-kompi kuin Sobolevin funktioille, joille saadaan: jos f ∈ W 1,p(Rn), 1 ≤ p < n,kaikki Rn:n pisteet Hs-nollamittaista joukkoa lukuunottamatta ovat Lebesguenpisteita, missa s:n tulee toteuttaa s > n− p [1, s. 156, 160–162].

Jos toisaalta x ∈ J , x ei tietenkaan voi olla approksimatiivisen jatkuvuudenpiste, silla λ(x) 6= µ(x). Samoin x ei voi olla Lebesguen piste, mika nahdaanseuraavasti. Jos jollain a ∈ R olisi

limr→0

B(x,r)

|f − a|dy = 0,

patisi myos

lim supr→0

Ln(|f − a| > ε ∩ B(x, r))Ωnrn

≤ 1ε

limr→0

B(x,r)

|f − a|dy = 0

kaikilla ε > 0. Siis approksimatiivinen raja-arvo olisi olemassa pisteessa x.

Lauseesta 4.2.1 kuitenkin nahdaan, etta myos Hn−1-m.k. x ∈ J ovat ”toispuo-leisia” Lebesguen pisteita. Maaritellaan siis:

ap limy→xy∈A

f(y) = t,

jos

limr→0

Ln(y ∈ A | |f(y)− t| > ε ∩ B(x, r))Ωnrn

= 0

58

kaikilla ε > 0, ja joukon A ⊂ Rn tiheys pisteessa x ei ole nolla. Nyt

limr→0

Ln(y ∈ H+ν (x) | |f − λ(x)| > ε ∩ B(x, r))

Ωnrn

≤ limr→0

1Ωnrn

ˆH+ν (x)∩B(x,r)

|f − λ(x)|ε

dy

= limr→0

12ε

112Ωnrn

ˆH+ν (x)∩B(x,r)

|f − λ(x)|dy

=12ε

limr→0

( H+ν (x)∩B(x,r)

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

)(n−1)/n

= 0

Hn−1-m.k. x ∈ J , eliap lim

y→xy∈H+

ν (x)

f(y) = λ(x)

Hn−1-m.k. x ∈ J . Samaan tyyliin voidaan osoittaa, etta

ap limy→x

y∈H−ν (x)

f(y) = µ(x)

Hn−1-m.k. x ∈ J . Nain siis nahdaan, etta BV-funktiossa esiintyy ”hyppayksia”(joiden suuruus on µ(x) − λ(x)) yli C1-hyperpintojen, joista joukko J lauseen4.1.5 mukaan koostuu. Tata intuitiota vahvistaa viela seuraava tulos: jos funk-tiolla on approksimatiivinen raja-arvo a pisteessa x, on olemassa Ln-mitallinenjoukko A ⊂ Rn, jonka tiheys pisteessa x on yksi, ja funktion rajoittumalla jouk-koon A on (klassinen) raja-arvo a pisteessa x [2, s. 250].

Maaritellaan lopuksi viela yksi f :n edustaja

ξ(x) :=λ(x) + µ(x)

2.

Tama saa aarellisia arvoja aina, kun x /∈ I, eli Hn−1-m.k. x ∈ Rn. Pisteillex ∈ Rn \ (J ∪ I) patee nyt κ(x) = ξ(x). Jos kaytetaan integraalikeskiarvostamerkintaa fG, missa G ⊂ Rn, Hn−1-melkein kaikille naista pisteista saadaan

limr→0|fB(x,r) − κ(x)| = lim

r→0| B(x,r)

fdy − κ(x)| ≤ limr→0

B(x,r)

|f − κ(x)|dy = 0.

59

Lauseen 4.2.1 avulla puolestaan saadaan Hn−1-m.k. x ∈ J

limr→0|fB(x,r) − ξ(x)| = lim

r→0| B(x,r)

fdy − ξ(x)|

= limr→0|12

B(x,r)∩H−

ν (x)

fdy +12

B(x,r)∩H+

ν (x)

fdy − λ(x) + µ(x)2

|

≤ limr→0

12

B(x,r)∩H+

ν (x)

|f − λ(x)|dy + limr→0

12

B(x,r)∩H−

ν (x)

|f − µ(x)|dy

≤ limr→0

12

( B(x,r)∩H+

ν (x)

|f − λ(x)|n/(n−1)dy

)(n−1)/n

+ limr→0

12

( B(x,r)∩H−

ν (x)

|f − µ(x)|n/(n−1)dy

)(n−1)/n

= 0.

Yhteensa siis limr→0 fB(x,r) = ξ(x) Hn−1-m.k. x ∈ Rn. Tama tarkoittaa, et-ta f :n tarkka edustaja f∗(x) := limr→0 fB(x,r) (joka luonnollisesti kelpaa myosf :n edustajaksi) saa aarellisen arvon Hn−1-m.k. x ∈ Rn. Tama antaa luontevantavan maaritella BV-funktio myos Ln-nollamittaisissa joukoissa. Erityisesti saa-daan mahdollinen tapa maaritella BV-funktion jalki funktion maarittelyalueen(jos se on rajoitettu joukko) reunalla [2, s. 255–].

60

Kirjallisuutta

[1] Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine propertiesof functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton,FL, 1992. viii+268 pp. ISBN: 0-8493-7157-0 (Reviewer: R. G. Bartle).

[2] Ziemer, William P. Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and func-tions of bounded variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Springer-Verlag, New York, 1989. xvi+308 pp. ISBN: 0-387-97017-7.

[3] Giusti, Enrico. Minimal surfaces and functions of bounded variation. Mo-nographs in Mathematics, 80. Birkhauser Verlag, Basel, 1984. xii+240 pp.ISBN: 0-8176-3153-4 (Reviewer: Helmut Kaul).

[4] Jones, Frank(1-RICE). Lebesgue integration on Euclidean space. Jones andBartlett Publishers, Boston, MA, 1993. xvi+588 pp. ISBN: 0-86720-203-3.

[5] Ambrosio, Luigi(I-SNS); Fusco, Nicola(I-FRNZ); Pallara, Diego(I-LECCE).Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mat-hematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, NewYork, 2000. xviii+434 pp. ISBN: 0-19-850245-1.

[6] De Giorgi, E.; Colombini, F.; Piccinini, L. C. Frontiere orientate di misuraminima e questioni collegate. (Italian) Scuola Normale Superiore, Pisa, 1972.177 pp.

[7] Oleınik, O. A. Discontinuous solutions of non-linear differential equations.Amer. Math. Soc. Transl. (2) 26 1963 95–172.

[8] Bogachev, V. I. Measure theory. Vol. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 2007. Vol.I: xviii+500 pp., Vol. II: xiv+575 pp. ISBN: 978-3-540-34513-8; 3-540-34513-2 (Reviewer: Rene L. Schilling).

61