rappel du dernier cours - département de physique

P. Mermod, Université de Genève 1

Rappel du dernier cours

● Loi d'Ampère

● Champ d'un fil, champ d'un solenoïde (démontrés avec la loi d'Ampère)

● Force de Lorentz

● Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique

● Force magnétique sur un fil

● Moteur électrique


Induction électromagnétique

Électricité et magnétisme sont reliés par des variations temporelles. Des charges en mouvement génèrent un champ magnétique, ainsi un courant continu cause un champ magnétique, et aussi une variation de champ éléctrique génère un champ magnétique. On va voir qu'une variation de champ magnétique peut générer un champ électrique.

Considérons deux circuits liés uniquement par un matériau ferromagnétique commun aux deux solénoïdes, mais sans contact électrique.

Quand on branche la pile dans le premier circuit, pendant que le courant dans le premier circuit s’établit, un courant est observé dans le deuxième circuit pendant un court moment. Le champ magnétique changeant produit après le branchement est à l’origine de cette transmission. C’est le principe de base des transformateurs.


QCM

On considère un anneau d'aluminium et un champ magnétique perpendiculaire au plan, nul au départ et avec valeur B ensuite. Que se passe-t-il immédiatement après avoir enclenché le champ ?

A) Rien du tout

B) Un courant circule dans l'anneau


QCM (réponse 1)


A) Rien du tout


Une variation de champ magnétique induit un champ électrique, qui pousse les électrons dans l'anneau conducteur.

Que se passe-t-il longtemps après avoir enclenché le champ ?

C) Le courant est nul

D) Un courant circule dans l'anneau


QCM (réponse 2)


A) Rien du tout


Une variation de champ magnétique induit un champ électrique, qui pousse les électrons dans l'anneau conducteur.

Que se passe-t-il longtemps après avoir enclenché le champ ?

C) Le courant est nul

D) Un courant circule dans l'anneau

Une variation de champ magnétique induit un champ électrique, or le champ est constant. Le courant s'est dissipé dans la résistance de l'anneau.


Force électromotrice induite (1)

Un champ magnétique variable peut aussi être produit en déplaçant un aimant permanent. Dans le dispositif ci-contre, l’oscilloscope visualise, en fonction du temps, la tension entre les bornes d’une bobine quand un aimant est déplacé à travers son volume. Cette tension est apellée force électromotrice induite Ɛ. La forme exacte de la courbe dépend des caractéristiques du mouvement. En approchant le pôle sud vers la bobine, on produit une fem positive. Au repos de l’aimant, la fem est zéro. En éloignant l’aimant, la fem induite est négative. L’amplitude de la fem est d’autant plus grande que le mouvement de l’aimant est plus rapide, elle dépend du rythme de la variation de B.


Force électromotrice induite (2)

Quand un même champ magnétique uniforme et variable dans le temps traverse deux spires métalliques, la fem induite dans la plus grande est plus grande que celle dans la petite. La fem induite est proportionnelle à la surface A┴

de la spire que traverse perpendiculairement le champ.

Quand la spire est inclinée, l’aire A┴ que présente la spire perpendiculairement au champ varie comme cos(θ). En particulier, si θ = 90º, la fem est nulle, car aucun champ ne traverse la spire.

Pour induire une fem, soit on fait varier le champ (ΔB/Δt ≠ 0), soit on fait varier la surface perpendiculaire au champ (ΔA┴/Δt ≠ 0) .La fem induite est proportionnelle au taux de variation des lignes de champ traversant la spire.


QCM

Parmi les propositions suivantes, qu'est-ce qui est susceptible d'induire une fem (et donc un courant) dans une spire plongée dans un champ magnétique ? (plusieurs réponses possibles)

A) Faire varier l'intensité du champ magnétique

B) Déformer la spire

C) Changer l'inclinaison de la spire par rapport au champ


QCM (réponse)

Parmi les propositions suivantes, qu'est-ce qui est susceptible d'induire une fem (et donc un courant) dans une spire plongée dans un champ magnétique ? (plusieurs réponses possibles)

A) Faire varier l'intensité du champ magnétique

B) Déformer la spire

C) Changer l'inclinaison de la spire par rapport au champ

En effet, les trois proposition peuvent faire varier la quantité de lignes de champ magnétique traversant la spire.


Le flux magnétique

Ainsi, la fem induite dépend du taux de variation d’une quantité qui est le produit du champ magnétique et de la surface perpendiculaire au champ, B·A┴. Cette quantité s’appelle le flux du champ magnétique ΦM :

Plus généralement, en admettant des variations du champ à travers la surface :

L’unité du flux magnétique est le Tesla·m² ; on l’appelle le weber Wb, 1Wb = 1Tm2.


La loi d’induction de Faraday (1)

La fem induite dans une spire est proportionnelle à la variation dans le temps du flux magnétique la traversant (la différence de nombre de lignes de champ magnétique traversant la spire avant et après).

Démo 240


La loi d’induction de Faraday (2)

Les observations concernant la fem induite dans une spire peuvent alors être résumées par la relation donnant la fem moyenne :

où la signification du signe négatif sera considérée plus loin. Si l’on fait tendre Δt vers zéro, on obtient la fem instantanée, qui suit la loi d’induction de Faraday :

La fem induite dans une spire est l’opposée du taux de variation du flux au travers de la spire. Si une bobine est formée de N tours, les fem sont en série et s’additionnent :


Exemple : champ coupé

Une bobine plate et circulaire de 200 tours et de surface 100 cm² est soumise à un champ magnétique perpendiculaire et uniforme de 0.50 T qui traverse toute sa surface.

● Si le champ est supprimé en 0.2 s, quelle est la fem moyenne induite ?

● Si la bobine a une résistance de 25 Ω, quelle est le courant induit moyen ?

Le champ magnétique B traverse perpendiculairement et homogènement toute la surface de la bobine ; le flux initial est donc :

Le flux final est 0, Δt=0.2 s et ΔΦM = -0.0050 Tm². La loi de Faraday donne alors :

D’après la loi d’Ohm, on trouve le courant moyen :


QCM

Les points représentent des lignes de champ magnétique sortant de la page. Chaque spire bouge à une vitesse v comme indiqué. Quelle spire a la plus grande fem induite ?

A) 1

B) 2

C) 3

1v

v

3

L

W

2

v


QCM (réponse)

Les points représentent des lignes de champ magnétique sortant de la page. Chaque spire bouge à une vitesse v comme indiqué. Quelle spire a la plus grande fem induite ?

A) 1

B) 2

C) 3

1v

v

3

L

W

2

v

Nombre de lignes au travers de la spire après déplacement : 1→4 lignes supplémentaires ; 2→0 lignes supplémentaires ; 3→2 lignes supplémentaires.


Magnetoception: requins

Certaines espèces de poissons, comme les requins, possèdent des organes sensoriels spéciaux appelés ampoules de Lorenzini: des pores s'ouvrant sur l'extérieur remplis d'une gelée conductrice, sensibles à de faibles variations de potentiel électrique.

En plus de leur permettre de détecter les signaux électriques émis par des proies lors de leurs contractions musculaires, cela leur permet également de s'orienter selon le champ magnétique terrestre. En effet, selon la loi d'induction, de faibles changements de flux magnétiques induisent un potentiel électrique, qui peut être détecté par les ampoules de Lorenzini.


Courants de Foucault

Une conséquence de la loi d'induction électromagnétique est que des courants sont induits dans toute masse conductrice exposée à un champ magnétique variable (soit que le conducteur bouge par rapport au champ, soit que le champ bouge par rapport au conducteur). On les appelle des courants de Foucault. Ces courants dissipent de l'énergie par effet joule, ce qui peut donner lieu à des pertes dans des systèmes électromagnétiques, mais peut aussi être utilisé pour des systèmes de freinage, par exemple pour les poids lourds.

Dans cet exemple, des courants de Foucault (rouge) sont induits dans une plaque conductrice (C) se déplaçant vers la droite par rapport à un aimant stationnaire (N). Le champ magnétique (B, vert) est dirigé vers le bas. Les courants génèrent leur propre champ magnétique (flèches bleues) qui produit une force de traînée qui s'oppose au mouvement.

Démos pendule et bille dans un tube


La loi de Lenz (1)

La polarité de la fem est définie par la loi de Lenz : La fem induite produit un courant qui s’oppose à la cause qui l’a produite.

Si on rapproche le pôle S d’un aimant d’une bobine, le champ à l’intérieur de la bobine est dirigé vers la droite et augmente ; le flux augmente. Cela induit une fem dans la bobine qui à son tour cause un courant et un champ magnétique induit BI. Ce champ s’oppose à la variation du flux en le diminuant ; sa direction est opposée à celle de l’aimant, vers la gauche. La fem produit un courant vers la droite.


La loi de Lenz (2)

Si par contre on éloigne l’aimant, le flux à travers la bobine diminue. La fem induite est telle qu’elle produit un champ qui s’additionne au champ de l’aimant, pour s’opposer à cette diminution. La direction de ce champ est parallèlle à celle de l’aimant, le courant va vers la gauche.

On peut analyser la loi de Lenz en termes de la conservation de l’énergie. Si un agent externe déplace l’aimant , il doit surmonter la contre-force exercée par la bobine. Le travail qu’il effectue se transforme en énergie électrique, qui produit et maintient un courant induit.


QCM

On considère un anneau d'aluminium et un champ magnétique perpendiculaire au plan de valeur B. Que se passe-t-il immédiatement après avoir coupé le champ ?

A) Un courant circule dans le sens des aiguilles d'une montre

B) Un courant circule dans le sens trigonométrique

C) Rien ne se passe


QCM (réponse)

On considère un anneau d'aluminium et un champ magnétique perpendiculaire au plan de valeur B. Que se passe-t-il immédiatement après avoir coupé le champ ?

A) Un courant circule dans le sens des aiguilles d'une montre

B) Un courant circule dans le sens trigonométrique

C) Rien ne se passe

Une variation de champ magnétique induit un champ électrique qui s'oppose à celle-ci. Le courant doit aller dans le sens trigonométrique pour essayer de restaurer le champ magnétique coupé, qui sort de la page.


Conducteur en mouvement dans un champ magnétique (1)

Supposons que l’on déplace un segment d’un fil conducteur de longueur l perpendiculairement à un champ magnétique uniforme, à la vitesse v. Les porteurs de charge mobiles sont entraînés avec le fil à la même vitesse v vers la droite. En se déplaçant dans le champ, ils subissent une force :

parallèle au fil. Si les porteurs de charge sont positifs, ils sont propulsés vers le haut. S’ils sont négatifs (cas normal), ils sont propulsés vers le bas. Le segment de fil se comporte donc comme une pile : les charges négatives sont poussées de la borne positive vers la borne négative à l’intérieur de la pile. Il se produit une fem le long du fil, dont l’extrémité supérieure se trouve à un potentiel plus élevé que l’extrémité inférieure.


Conducteur en mouvement dans un champ magnétique (2)

Si le circuit n’est pas fermé, le fil déplacé se comporte comme un pile qui ne débite pas. La fem due au mouvement est la variation de l’énergie potentielle d’une charge positive d'essai q0, c’est-à-dire le travail nécessaire pour la déplacer de la borne négative à la borne positive. Ce travail est fait contre la force de Lorentz, q0·v·B, qui agit le long de la tige, W = q0·v·B·l. La fem induite est :

Ici le fil se déplace perpendiculairement au champ magnétique, θ = 90° (où θ est l’angle entre le champ et le fil). En général, seule la composante de vitesse normale au champ contribue à la force magnétique. Nous devons donc remplacer v par v┴ = v·sin(θ):

Le déplacement des charges continue jusqu’à un équilibre entre la force magnétique et la force électrostatique. Cet équilibre est atteint quand la force électrique due à la fem, q0·E égale la force de Lorentz, q0·v·B, c’est-à-dire quand E = vB. Si le mouvement du fil cesse, la fem revient à zéro.


Exemple : le fil qui tombe

Un fil de longueur 1.0 m tenu horizontalement dans la direction est-ouest est lâché à un endroit où le champ magnétique terrestre (supposé uniforme) est égal à 2.0·10-5 T et dirigé vers le nord.

● Déterminer la fem induite après 4.0s de chute.

Nous devons d’abord déterminer la vitesse du fil après 4.0 s de chute :

La fem est alors :


QCM

On considère un anneau d'aluminium et un champ magnétique constant B. Que se passe-t-il si on fait tourner l'anneau autour d'un axe horizontal ?

A) Un courant continu circule dans l'anneau

B) Un courant alternatif circule dans l'anneau

C) Rien ne se passe


Quiz (réponse)

On considère un anneau d'aluminium et un champ magnétique constant B. Que se passe-t-il si on fait tourner l'anneau autour d'un axe horizontal ?



C) Rien ne se passe

On peut comprendre cela avec la force de Lorentz : celle exercée sur la section qui monte pousse les charges positives vers la droite et celle exercée sur la section qui descend les pousse vers la gauche, et le courant tourne dans l'anneau. Après un demi-tour la section qui montait descend et vice-versa, le courant tourne dans l'autre sens. On peut aussi comprendre cela en termes de la loi d'induction de Faraday : la variation de flux du champ magnétique dans l'anneau induit un courant, d'abord dans un sens puis dans l'autre. Cet exemple permet d'apprécier le lien étroit entre la force de Lorentz et la loi d'induction.


Générateur de courant alternatif

On a vu (moteur électrique) que l'énergie électrique peut être transformée en énergie cinétique de rotation en faisant passer un courant alternatif dans une bobine plongée dans un champ magnétique. Le moment de force est alors donné par la force de Lorentz exercée sur les sections de la bobine perpendiculaires au champ.

Inversément, on peut convertir l'énergie cinétique de rotation en énergie électrique sous forme de courant alternatif. Une bobine de plusieurs tours d’un fil métallique enroulé sur une armature en fer est mise en rotation dans le champ constant d’un aimant permanent. Des balais métalliques, qui frottent contre deux bagues collectrices connectées avec les bornes de la bobine, permettent de collecter le courant induit.


Moteur électrique et générateur de courant alternatif

● Moteur électrique:

Une force de rotation est induite en faisant passer un courant alternatif dans une spire plongée dans un champ magnétique

énergie électrique → mécanique

● Générateur de courant alternatif:

Une fem alternative est induite lorsqu’on fait tourner une spire plongée dans un champ magnétique

énergie mécanique → électrique


Fem alternative (1)

Lorsque la bobine rectangulaire tourne, les côtés longs (1–2 et 3–4), de longueur l se déplacent dans le champ à une vitesse égale et opposée. La fem induite dans le côté (1–2), qui se déplace à une vitesse v┴ = v·sinθ par rapport à B, est :

À l’instant représenté, est dirigé vers 1, qui se trouve alors à un potentiel plus élevé. La même fem est induite dans le coté 3–4, avec le point 3 se trouvant au potentiel plus élevé. La fem totale induite dans une spire est alors

= 2vƐ ·B·l·sinθ , avec le point 4 négatif et le point 1 positif. Dès que θ > 180º, la polarité est inversée.


Fem alternative (2)

Ce générateur produit une fem alternative. Si on a une bobine de N tours, la fem est multipliée par N :

La vitesse de rotation v d’une charge sur les côtés 1–2 et 3–4 est reliée à la vitesse angulaire ω (voir Chapitre 8) par v = r·ω, avec r = h/2. Si ω est constante, le déplacement angulaire est θ = ω·t. Comme A = l·h est la surface de la

spire, nous avons l·v = 1/2·h·ω·l = 1/2·A·ω et la fem est :

Indépendemment de sa forme, la fem est alternative avec une fréquence f = ω/(2π). La fréquence de la tension du secteur est 50 Hz en Europe, mais 60 Hz aux USA et au Canada.

Démo 241


Exemple : un générateur simple

Un générateur est formé par une seule bobine qui tourne à une fréquence de 50 Hz dans un champ magnétique de 0.40 T. La bobine est formée de 10 tours chacun de surface 1200 cm2.

● Quelle est la valeur maximale de la fem?

La valeur maximale de la fem, Ɛm est l’amplitude de la tension alternative :

Avec les caractéristiques données, et avec ω = 2πf = 2π(50 Hz), on obtient :


Courant alternatif

Considérons un générateur de tension alternatif V(t), en refermant le circuit avec une résistance R, il circule un courant I(t) = V(t)/R.

On aura ainsi (résistance interne supposée nulle):

Europe:

Vm = 220 V ; f = 50 Hz

USA:

Vm = 120 V ; f = 60 Hz


QCM

On considère un anneau d'aluminium plongé dans un champ magnétique alternatif perpendiculaire à son plan B(t)=B·sin(ωt). Que se passe-t-il ?



C) Rien ne se passe

t = π/(2ω)

t = 3π/(2ω)


QCM (réponse)

On considère un anneau d'aluminium plongé dans un champ magnétique alternatif perpendiculaire à son plan B(t)=B·sin(ωt). Que se passe-t-il ?



C) Rien ne se passe

La fem induite est Ɛm = -ΔΦm/Δt ~ cos(ωt). Ainsi pour un générateur de courant alternatif on peut soit faire tourner une bobine dans un champ magnétique constant, soit faire varier le champ au travers d'une bobine fixe.

D'après la loi de Lenz, le courant produira un champ magnétique qui s'opposera à la variation du champ externe : lorsque le champ externe augmente, le champ de l'anneau y est contraire, donnant lieu une force répulsive faisant sauter l'anneau. Lorsque le champ externe diminue, le champ de l'anneau va s'additionner au champ externe, donnant lieu à une force attractive.

t = π/(2ω)

t = 3π/(2ω)

Démo anneau sauteur


Suspension électromagnétique

Une manière de susciter une lévitation magnétique stable est d'appliquer un champ magnétique oscillant à une boucle conductrice. Le courant induit dans la boucle produit un champ s'opposant à la variation du champ extérieur. Pour un certain choix des paramètres du système, l'intéraction entre les deux champs produit une force répulsive qui peut faire léviter le système.

Une application intéressante de ce principe est le train à sustentation magnétique (maglev) : les champs oscillants sont généralement produits par des aimants à l'intérieur du train tandis que les rails contiennent des boucles conductrices. L'absence de frottement permet d'obtenir de très hautes vitesses (record 603 km/h).


Recette : comment générer sa propre électricité

Ingrédients :

● Une manivelle ou roue de vélo

● Un aimant permanent

● Une barre de fer tordue en “U”

● Un long fil de cuivre

C'est le mécanisme utilisé pour les dynamos. Pour l'éclairage des vélos modernes, l'aimant et la bobine sont intégrés au moyeu de la roue avant. L'induction magnétique produit une injection de courant à chaque demi-tour (alternant dans un sens puis dans l'autre).


Transformateur

Un transformateur est constitué de 2 bobines ayant Np et Ns spires placées sur un noyau en ferrite. En appliquant une tension Vp alternative sur la première bobine on produit un courant I(t), et donc un champ magnétique B(t) dans la ferrite, qui est proportionnel au nombre de spires Np.

Ce champ B(t) oscillant produit un flux ΦM oscillant et donc induit une f.e.m (Vs) dans la 2e bobine. Cette tension Vs est, elle, proportionnelle au nombre de spires Ns.

On a donc:

Un transformateur permet de transformer un tension alternative primaire Vp en une tension alternative secondaire Vs quasiment sans pertes.

Démo 244


QCM

On a un sèche-cheveux acheté en Europe (220 V). On l'utilise aux USA (120 V) avec le transformateur ci-dessous, avec Np = 220 et NS = 120.

A) Pas de problème, il marche normalement.

B) Il ne donne qu'un minuscule souffle froid.

C) Il grille.

D) Rien ne marche, ce n'est pas la bonne fréquence.


QCM (réponse)

On a un sèche-cheveux acheté en Europe (220 V). On l'utilise aux USA (120 V) avec le transformateur ci-dessous, avec Np = 220 et NS = 120.

A) Pas de problème, il marche normalement.

B) Il ne donne qu'un minuscule souffle froid.

C) Il grille.

D) Rien ne marche, ce n'est pas la bonne fréquence.

On a Vs = Vp·Ns/Np = 120V·120/220 = 65 V, une tension bien trop faible comparée aux 220 V prévus pour ce sèche-cheveux !

Pour que cela fonctionne, il faudrait, à l'inverse, Np = 120 et NS = 220.

La différence de fréquence ne devrait pas poser de problème.


Histoire du courant alternatif

Une controverse technique et industrielle, la “guerre des courants”, s'est déroulée aux USA à la fin des années 1880 pour déterminer s'il fallait produire du courant continu ou alternatif. Au final, le courant alternatif a gagné, principalement grâce à la facilité d'en modifier la tension avec des transformateurs. Ainsi par exemple, le transport peut se faire à grande distance avec peu de pertes avec des lignes à haute tension. En effet, à plus haute tension, le courant transmis pour une certaine puissance est plus petit, ce qui entraîne de plus faibles pertes par effet joule le long de la ligne. Aussi, comme on le voit sur l'image montrant New York en 1888, le courant continu nécessitait un fouillis de lignes séparées pour des appareils opérant à différentes tensions.

Actuellement, presque tous les courants électriques commerciaux sont produits par des machines à induction, utilisant la rotation relative entre des bobines et des champs magnétiques. L’énergie extérieure fournie pour la rotation est très diverse ; souvent on utilise un combustible pour faire chauffer de l'eau et la passer à travers une turbine à vapeur.

rappel du dernier cours - département de physique

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