razonamiento matematico
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PUBLICADO JULlO DEL 2009
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Razonamiento Matemático A1
AUTOR: YHONY BENIQUE ARIAS
ONG PASO AL DESARROLLO
DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN
UNIDAD DE GESTION EDUCATIVA LOCAL
AREQUIPA L A JOYA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
GOBIERNO REGIONAL DE AREQUIPA
FACULTAD DE ECONOMIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA
2
1.- CONTEO DE SEGMENTOS
FÓRMULA: #de segmentos = n (n+1)
2
Donde: n: “número de espacios por segmento mayor”
Ejemplo:
En la siguiente figura:
E F
1e 2e 3e
A B
C D
Aquí se observan 3 segmentos mayores (se considera de principio a fin un segmento mayor),
estos son: AB, EC, DF. Por consiguiente la fórmula se aplicará 3 veces. En AB (1 segmento
mayor) hay 3 espacios (segmentos) , 1e,2e, y 3e, entonces existen:
#de segmentos = 3 (3+1) = 6 2
En CD y DF ( 2 segmentos mayores), hay en cada uno 2 espacios y por tanto el número de segmentos que hay en cada uno de ellos es: 2 (3) = 3 segmentos
2
Concluyendo en total hay: 6 + 3 +3 = 12 segmentos en la figura anterior.
Contando también se obtiene 12 (sin aplicar la fórmula), debe considerarse segmentos de un
espacio, segmento de dos espacios (consecutivos), segmento de tres espacios (consecutivos), etc. Hasta donde exista.
Ejemplo:
1e 2e 3e
F G
Los puntos generan espacios.
En FG (un segmento mayor) hay 3 espacios, entonces el:
Numero de segmentos: 3 (4) = 6 segmentos
2
Contando también se obtiene 6 (sin aplicar la fórmula)
3
1.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura.
I J
A B
H
D C
K
En AB 3(4)
2 = 6 +
En BC 2(3)
2 = 3 +
En CD 3(4)
2 = 6 +
En DA 2(3)
2 = 3 +
En HI 3(4)
2 = 6 +
En EF 1 +
En FG 3 +
En GE 3 +
En KJ 15 +
En HL 3 +
49
2.- En la pregunta anterior, determine el número total de segmentos que constan de dos espacios
cada uno
En AB 2 +
En BC 1 +
En CD 2 +
En AD 1 +
En FG 1 +
En EG 1 +
En HI 2 +
En KJ 4 +
En KL 1 +
15
F
E G L
#segmentos = ( 1)
2
n n
n: # de espacios por segmento mayor, hay 10
segmentos mayores en la
figura.
4
3.- Por cada segmento recto que existe en la figura se paga tres soles. Luis encontró la mitad del
total, disminuído en cuatro y Elías el resto. ¿Cuántos soles recibió en total de Elías?
En AB 5(6)/2 = 15 +
En BC 2(3)/2 = 3
En CD 10
En AB 3
En DE 6
En EC 1
38
(LUIS) = 1
2TOTAL – 4 =
1
238 – 4 = 15
LUEGO : (ELLAS) = (TOTAL) – (LUIS) = 38 – 15 = 23
3(23) = 69 SOLES
4.- Repetir el ejercicio número 3, si se omite el signo de puntuación coma (,) que aparece antes
de la palabra “disminuido”
SIN COMA SERA:
(LUIS) = 1
24TOTAL =
1
238 4 = 17
(ELLAS) = (TOTAL) – (LUIS) = 38 – 17 = 21
3(21) = 63 SOLES
5.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura
1 2 … 10
Existen 9 segmentos mayores horizontales y 10 verticales; luego:
# Segmentos = 911 12
2+ 10
10 11
2= 1144
Nota : “porque hay 10 verticales que cortan a cada horizontal mayor ( n vale 11). Si hubiese 12 verticales sería 13 (en vez de 11” ).
A B
D C
9
.
.
.
2
1
5
6.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura.
En AB 4(5)
2 = 6 +
En BC 1 +
En CD 5(6)
2= 15 +
En BE 6 +
En CF 3 +
35
7.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura. Los rayos son paralelos
En AB 2(3)
2 = 3 +
En BC 2(3)
2 3 +
En CD 1 +
En EB 6 +
En BF 6 +
En AF 3 +
En AC 10 +
32
C E
A
B
F
D
I
E
D
C
H
A
B F
G
6
8.- Hallar el número total de segmentos que hay en la siguiente figura
En AB 1(2)
2 = 1 +
En BC 1 +
En CD 6 +
En EB 6 +
En BF 6 +
En AF 6 +
En AC 6 +
35
9.- Cuantos segmentos existen en la figura tales que encima de cada uno de ellos hay por lo
menos (al menos) dos triángulos sombreados.
CON DOS TRIANGULOS
De un espacio de 1 +
De 2 espacios : ce, ac, 2
De 3 espacios : ad, 1
4
CON 3 TRIANGULOS : De 3 espacios : BE……… 1 +
De 4 espacios : 0
1
CON 4 TRIANGULOS:
De 4 espacios : AE 1
1
TOTAL : 6
A B
E
D
F
C
7
2.- CONTEO DE TRIANGULOS Existen triángulos de una región, de dos regiones, de tres regiones, etc.
Una región:
Dos regiones:
Tres regiones:
En cada problema se cuenta primero el número de triángulos de una región que existen, luego
de dos regiones, etc. Finalmente se suman los resultados anteriores para obtener el total de
segmentos que existen en la figura del problema. Se recomienda enumerar a los triángulos de una región con números y a los de una región que no son triángulos con letras.
1.- Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura.
2 3
1 a
8 c
7 b 4
6 5 d
De 1 región 8 +
De 2 regiones 12, 18, 2a , 4d, 5d, 87, 8 7
De 3 regiones 187, 8a3, 7b5, 3 De 4 regiones 12a8 , 1
De 5 regiones 2ab46, 7b45d 2
De 6 regiones 8a37b5, 2ab45d 2 De 7 regiones 78ab45d 1
De 9 regiones 128a7b45d 1
25
8
2.- Hallar el número total de triángulos que hay en la siguiente figura que contenga un triángulo
sombreado
a b
1
c
h
3 d
f e
De 1 región: 1 + De 2 regiones: 1a, 1g, bc, 3
De 3 regiones: 1ab, 1gf, ghc,bcd 4
De 4 regiones: 1agh , abch 2
De 5 regiones: 1aghfe, abch 2 De 6 regiones: 1ahgfe, abcdhe, ghcfed 3
De 7 regiones : 0
1 3
3.- Hallar el número total de triángulos rectángulos en:
a
b
1
2
d c 3
De 1 región: 3 +
De 2 regiones: a1, b2, c3, 3
De 3 regiones: dc3 1 De 4 regiones: 1agh , abch 1
8
4.- Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura:
2
A 3
1 b
7 6 5
De 1 región: 7 +
De 2 regiones: 1a, 17, 23, 34, 45, 56 6 De 3 regiones: 7b2, 345, 2b6, 7b4 4
De 4 regiones: 1b7b4 , 7b234, 2
19
9
5.- En la pregunta número 4, hallar el número total de triángulos que contengan al menos dos
letras.
c
b d
h a i
4
6 5
con 2 letras
de una región 0 +
de 2 regiones: ab, ai 2 con 3 letras
de 3 regiones: ihe, 1
con 4 letras de 3 regiones: ihc, chg 2
de 5 regiones: ihcde 1
con 5 letras: abhei 1
total : 7
6.- En la pregunta número 4, hallar el número total de triángulos que contengan al menos tres
letras:
De la solución de ejercicio anterior, consideramos parte de esa solución:
Con 3 letras, con 4 letras, y con 5 letras.
1 + 2 + 1 + 1 = 5
7.- Hallar el número total de triángulos:
8
2 9
7
A 3
B c 4 6
1
D e f 5
De 1 región: 9 + De 2 regiones: 89, 67, 96, 3
De 3 regiones: 2a3, 3c4, 485, 3
De 4 regiones: 8976 1 De 5 regiones: 2a3bc4, 3c4ef5 2
De 6 regiones: 2a3bc4def5 1
De 7 regiones : 12a3bc4def5 1 20
B
B
B B
B
B
B
10
8.- Hallar el número total de triángulos isósceles que hay en la figura siguiente. ABCD es un
cuadrado.
1
g a
f d b
e c
de 1 región: 1 +
de 2 regiones: ab, fg 2
de 3 regiones: 1ab, 1fg, edc 3 de 4 regiones: 1adg 1
de 5 regiones: abcde, fgedc 2
9
D
C B
A
11
CONTEO DE CUADRILATEROS
Cuadriláteros Convexos son el cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio, paralelogramos y cualquier otro cuadrilátero que cumpla las siguientes propiedades:
Tomados 2 puntos interiores del cuadrilátero, el segmento recto que los reune queda siempre
dentro de dicho cuadrilátero.
1.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura
a
b 1
4 c d
g
f 2
e
3
de 1 región: 4 +
de 2 regiones: 6
de 3 regiones: 6
de 4 regiones: 3
de 5 regiones: 2
de 6 regiones: 3
24
2.- Hallar el número total de cuadriláteros que hay en la figura
1 2 3 4 5 6
b a
De 1 región: 6 +
De 2 regiones: 23, 34, 56, 3
De 3 regiones: b12, 234, 2
De 4 regiones: b123, 456a 2
De 5 regiones: b1234, 3456a 2
De 6 regiones: 23456a 1
De 7 regiones : b123456a 1
17
12
3.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura
De 2 regiones 0 +
De 3 regiones: bif, gid, big, hid, cig, bid, hif, hic 8
De 5 regiones: bidef, habif, habid, hidef 4
de 7 regiones: abhidef 1
13
4.- Hallar el número total de cuadriláteros convexos que hay en la siguiente figura
1 4
2 3 a 5
7 8 9 6
10 11 12
13 14 15 b
De una region 15 +
De 2 regiones: 5a, 6b 2
De 4 regiones 1234, 781011, 891112, 10111314
11121415 5
De 9 regiones: 789101112131415 1
De 17 regiones: 1
24
13
5.- Hallar el número total de cuadriláteros que contengan dos triángulos sombreados
d e
b c
a f g
1
i h
De 1 región: 1 +
De 2 regiones: ef, 1c, fg, 1i, a1 5
De 3 regiones: dc1, a1i, 1ih, cfg, efi, icd 5
De 4 regiones: b123, 456a 4
15
6.- En la pregunta anterior ¿cuántos cuadriláteros hay, tales que contengan por lo menos dos
triángulos sombreados?
Con 2 triángulos 15
Con 3 triángulos
De 4 regiones 1cfi 1
De 6 regiones ab1cfi 1
Con 4 triángulos
De 6 regiones 1cfigh, decf1i 2
De 8 regiones ab1cfigh 1
Total: 20
7.- Cuantos cuadriláteros hay que contengan al menos tres triángulos sombreados
Cantidad de triángulos mayores iguales a 3
De la solución del último ejercicio
Se tiene: 1 + 1 + 2 + 1 = 5
14
CONTEO DE SUPERFICIES No existe una regla general para contar superficies, se procede aplicando criterios
1.- determina el número total de superficies del siguiente sólido
Vistos desde de arriba: 5 parte superior
Vistos desde abajo: 1 parte inferior
Vistos al rotarlo: 7 otros
Total: 13
2.- En la pregunta anterior halle el número de superficies que se ven a simple vista
Vistos desde arriba: 5
Vistos desde abajo: 0
Los otros : 5
Total : 10
3.- En el sólido de la pregunta número 1. hallar el número de superficies “que no se ven”
Vistos desde arriba: 0
Vistos desde abajo: 1
Otros: 2
Total: 3
4.- El número total de superficies del siguiente sólido es:
Vistos desde arriba: 6
Vistos desde abajo: 1
Los otros :13
Total :20
15
5.- ¿Cuántas superficies no se ven en el siguiente sólido?
Vistos desde de arriba: 0 parte superior
Vistos desde abajo: 1 parte inferior
Vistos al rotarlo: 5 otros
Total: 6
6.- El número total de superficies que existe en el sólido siguiente es:
Vistos desde arriba: 5
Vistos desde abajo: 1
Otros: 9
Total:15
7.- El número total de superficies que existe en el sólido siguiente es:
Vistos desde arriba: 4
Vistos desde abajo: 1
Otros: 9
Total:14
8.- En el sólido anterior ¿Cuántas superficies no se ven?
No se ven : 4
16
CONTEO DE CUBOS No existe una regla general para contar cubos, se procede aplicando criterios
1.- En la siguiente figura se observan cubos de un centímetro de arista ¿Cuántos cubos de dicha
medida existen en total?
En el primer nivel (base) : 8
En el segundo nivel : 4
En el tercel nivel : 2
En el cuarto nivel : 1
Total: 15
2.- En la figura de la pregunta anterior ¿ Cuántos cubos de un centímetro no se ven?
En el cuarto nivel no se ven: 0
En el tercer nivel no se ven: 0
En el segundo nivel no se ven : 1
En el primer nivel : 1
Total: 2
3.- En la pregunta anterior determine el número de cubos que se ven a simple vista
(A simple vista) = (total) – (los que no se ven)
= 15 – 2 = 13
4.- En la pregunta numero 1 ¿Cuántas aristas del cubo sombreado, están en contacto con otras
aristas de otros cubos del mismo tamaño?
Contando: 7 (ver figura)
5.- En la figura de la pregunta número 1 ¿cuántos cubitos están en contacto cara a cara con el
cubito que esta inmediatamente del cubito sombreado?
Contando: 4 (ver figura)
6.- Se pinta cinco caras de un cubo de 3 cm. De arista. En seguida se le corta en 27 cubitos de 1
cm. De arista. ¿Cuántos cubitos de 1 cm. De arista solo tiene dos caras pintadas. Dibujar.
Contando: 14
17
7.- En la pregunta anterior ¿Cuántos cubitos de un centímetro de arista tienen 2 caras y
3 caras pintadas respectivamente?
Contando: 12 y 4 respectivamente
8.- En la pregunta 6 ¿Cuántos cubitos de un centímetro de arista no tienen caras pintadas y
cuántos tienen una cara pintada respectivamente?
Contando : 2 y 9 respectivamente
9.- En la figura anterior ¿Cuántos cubitos están en contactop cara a cara con al menos cuatro
cubitos?
Contando : 5 + 9 + 4 = 18
10.- En la figura siguiente se observan cubos de 1 cm. De arista ¿Cuántos cubos con dicha
medida existen en total?
Contando: 54
11.- ¿Cuántos cubos de 1 centímetro de arista faltabn para formar un bloque cubico de 4 cm. de
arista?
Bloque cúbico de 4cm de arista
Posee 4x4x4 = 64 cúbitos
Luego faltan:
64 – 11 = 53 cúbitos
Existen 2 cúbitos
12.- En un bloque cúbico de 5 centímetros de arista ¿Cuántos cubos de 1 centimetro de
arista hay? Dibuje.
Contando: 106
18
CONTEO DE FIGURAS
Según criterio
1.- Determinar el número de cuadriláteros con un “*” en la figura:
a b c d e
1 i h g f
De 1 región: 1 +
De 2 regiones: 1i, de, bc, bi 4
De 3 regiones: abc, cde, 1ih, bih, ihg 5
De 4 regiones: bcih 1
11
2.- En la pregunta número 1, determine el número de cuadriláteros con al menos tres asteriscos.
Del ejercicio anterior: 5 + 1 = 6
3.- Hallar el número total de cuadriláteros que hay en la figura, tales que contengan por lo
menos dos triángulos sombreados.
a
b
c 1
Con 2 triangulos:
De 1 región 1 +
De 2 region cl, 1
Con 3 triángulos :
De 4 regiones 1
3
19
4.- En la figura ¿Cuántos cubos están en contacto cara a cara con 3 cubos?
9 son los cubos numerales
8 con: 2, 3,
Respuesta: 2
5 7
4 2 1
5.- ¿Cuántos cubos están en ocntacto cara a cara con el cubito ubicado inmediatamente debajo
del cubito sombreado?
Del la figura se observa que son : 4
6.- En la pregunta anterior ¿Cuántos cubos están en contacto cara a cara con el cubito
sombreado?
Contando: 3
7.- En la figura de la pregunta número 5, ¿Cuántas aristas del cubito sombreado están en
contacto con otro cubito?
Contando: 10
8.- Halle el número total de cuadriláteros
Contando: 30
20
9.- Halle el número total de cuadriláteros convexos
a b c d
H g f e
De 2 regiones: ab, cd, ef, hg 4 +
De 3 regiones: abh, bcd, ahg, cde, def, efg, fgh 7
De 4 regiones: abh, cdef, abcd, hgfe, 5
De 8 regiones: 1
16
21
ECUACIONES LINEALES Es una ventaja para los alumnos que dominen este tema, lo que hay que tener en cuenta es:
Primero: despejar las incógnitas o variables en el lado izquierdo de la ecuación, y los números
en el lado derecho.
Segundo: al pasar de un lado a otro cambia la operación, si está sumando pasa restando y
viceversa; si esta multiplicando pasa dividiendo y viceversa.
Tercero : eliminar hasta hallar la respuesta.
1.- Juan puede comprar con el dinero que dispone, 24 papayas y 20 manzanas o 36 papayas y
15 manzanas. Si puede comprar solo manzanas ¿Cuál es la cantidad máxima que puede comprar?
Sean P y M los precios unitarios de papayas y manzanas respectivamente. Luego :
24P + 20M = 36P + 15M = “ Lo que se dispone “
P = 5
12
M ;
Sustituyendo la última expresión en el primer miembro de la penúltima expresión:
24 (5
12
M) + 20M = 30M = “ Lo que se dispone “
RESPUESTA: 30
2.- Pedro gasta S/. 30840 en la compra de azucar y arroz. El saco de arroz vale S/. 10 más que el
azúcar que vale S/ 38.00. Si hubiera pagado el arroz al precio del azúcar y viceversa hubiera
gastado S/.2250.00 más ¿Cuántos sacos más de azucar que arroz compro?
Sean Ar y Az la cantidad de saco de arroz y azucar respectivamente.
38Az + 48Ar = 30840 (1)
48Az + 38Ar = 30840 + 2250 (2)
(2) – (1) 10Az – 10Ar = 2250
Az – Ar = 225
Es decir compro 225 sacos más de azúcar que arroz.
22
3.- De un juego de 32 cartas se saca primero “x” cartas y 3 más, luego se saca la mitad de lo que
resta. Si todavía le quedan 10 cartas ¿Cuántas cartas saco la segunda vez?
SE SACA QUEDA
I X + 3 32 – (X + 3) = 29 – X
II 1
2(29 – X)
1
2(29 – X) = 10
Luego, la segunda vez se saco: 1
2(29 – X) = 10
4.- Los dos factores de uan multiplicación suman 91 si se aumentan 5 unidades al multiplicando
y se disminuyen en 2 al multiplicador, el producto aumenta en 67. Uno de los factores es:
a.b producto
a + b = 91 (1)
(a + 5)(b – 2) = ab + 67 (2)
(1) a = 91 – b..…… (3)
(3) en (2) [ 91 – b + 5] (b - 2) = (91 – b) b + 67
96b – 192 – b2 + 2b = - b
2 + 91b + 67
7b = 259
b = 37 a = 54
5.- Qué número es aquel cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del
mismo?
N – 232 = 2 1
5 8N
Donde N es el número desconocido.
Resolviendo; N = 320
6.- La diferencia de dos números más 80 unidades es igual al cuádruplo del número menor,
disminuido en 60 unidades. Hallar el número menor, sabiendo que el mayor es el triple del
menor
Sean a y b dichos números, a > b
a – b + 80 = 4b – 60 (1)
a = 3b (2) b = ?
Resolviendo al sistema se tiene que b = 70
23
7.- Hallar el mayor de tres números enteros positivos consecutivos. Si los 475 del mayor
exceden a los ¾ del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor , disminuída
en un 1/5.
Sean n – 1, n, n + 1 los tres números.
4 3 1 1
1 15 4 6 5
n n n , del enunciado
n = 10 , luego n + 1 = 11
8.- Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que
tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yop tengo; que es 80 soles más
de los que tu tendrás: ¿Cuántos soles tienes?
Tenias: x
Tienes: 2
x
Tendrás: 3
2
x
Del enunciado: X + 1
2x +
3
2x =
3
2x + 180 x = 120
2
x = 60
9.- Si se forman varias filas de 7 niños (por cada fila) sobran 5 niños, pero faltarían 7 niños para
formar 3 filas más de 6 niños ¿Cuántos niños son?
Sean x: número de niños
Y: número de filas (de 7 en 7 niños)
Del enunciado:
x = 7y + 5 (1)
x = 6y – 7 (2) Resolviendo el sistema se tiene: x = 47
24
10.- En un examen de admisión no hay puntos en contra, la correcta en la parte de números vale
6 puntos y en la parte de letras vale 4 puntos. Un estudiante responde correctamente igual
número d epreguntas de cada parte y obtiene 140 puntos. Para obtener en la parte de letras
el mismo puntaje que en números, ¿Cuántas preguntas adicionales debió responder?
NUMEROS LETRAS
Correcta: 6 puntos correcta: 4
X correctas x correctas
6x + 4x = 140 x = 14
En números obtuvo: 14(6) = 84 puntos.
La diferencia es 84 – 4(14) = 28 .Luego: 28 4 = 7
11.- Luz recibe una propina de su tía tanto como ella tenía, luego su mamá le da S3.00; su
madrina el doble hasta lo que entonces tenía. Si con su dinero va al cine con Alicia y Luz
gasta S24.00 quedándose sin dinero ¿Cuánto tenía inicialmente?
Sea x soles lo que tenia al inicio Luz su tía le da x soles, entonces Luz tendrá:
2x soles.
Luego su mamá le da 3 soles, entonces Luz tendrá: 2x + 3 soles.
Su madrina el doble, entonces Luz tendrá: (2x + 3) + 2(2x + 3) = 3(2x + 3)
Va al cine y gasta todo (24 soles). 3(2x + 3) = 24
x = 5
2= 2.5 soles
12.- Dividir 350 en dos partes tales que la diferencia entre la parte menor y los 3/5 de la mayor
equivalen a la diferencia entre la parte mayuor y los 17/15 de la menor. Hallar el mayor
menos el menor
Sean a y b dichas partes, a > b; del enunciado:
a + b = 350 (1)
b - 3
5 a = a -
17
15b (2) a – b = ?
Resolviendo el sistema: a = 200 ; b = 150
a – b = 50
25
13.- El cuadrado de la suma d elas dos cifras de un número es 121, si de este cuadrado se restan
el cuadrado de la primera cifra y el doble producto de las dos se obtiene 81. Hallar el
número.
Sea ab dicho numero
(a + b)2 = 121 121 – a
2 – 2ab = 81
A2 + 2ab + b
2 = 121….(1)
a2 + 2ab = 40…(2)
(2) en (1) 40 + b2 =121 b
2 =81 b = 9
a = ? (a + 9)2 = 11
2 a =2
ab = 29
14.- A y B comenzaron a jugar con igual suma de dinero; ¿Cuándo B ha perdido los ¾ del
dinero con que empezó a jugar lo que ha ganado A es S/ 24.00 más que la tercera parte de lo
que le queda a B ¿Con cuánto empezaron a jugar?
A B
gana: 3
4x pierde:
3
4x
tiene: x + 3
4x queda:
1
4x
Del enunciado: 3
4x =
1
3(
1
4x) + 24 x = 36 soles
15.- El producto de dos números es 918. Si al multiplicando se resta 2, el producto disminuye en
68, hallar el mayor
a.b = 918; “a” el multiplicando
(a - 2)b = 918 – 68 a b – 2b = 850
918 – 2b = 850 (al sustituir ab)
b = 34 a = 918 34 = 27 mayor : 34
26
16.- Ocho amigos deben pagar a partes iguales la suma de 200 soles. Pero algunos de ellos no
llevaron dinero y los restantes pagaron 15 más cada uno. ¿Cuántos no pagaron?
200 soles (total a pagar)
Sea x la cantidad de amigos que pagan :
200
8= 25 soles cada uno debió pagar
Luego: 25x + 15x = 200 x = 5
Pagan demás
Lo que les corresponde.
Respuesta: 8 – 5 = 3
17.- El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles; y el viernes los 576 de lo que perdí el
jueves. Si en los tres días perdí 252 soles. Hallar la diferencia de lo que perdí el jueves y
el viernes.
Perdí el miércoles: x soles
Jueves perdí: 3
5x
Viernes perdí: 5
6(
3
5x ) =
1
2x
x + 3
5x +
1
2x = 252
x = 120 3
5 x -
1
2x =
3
5(120) –
1
2(120) = 12 dólares
18.- tenía cierta suma de dinero, gaste veinte soles y preste los dos tercios de lo que me
quedaba. Si ahora tengo diez soles ¿Cuánto tenía al principio?
X soles tenia al inicio
GASTE QUEDA
I 20 x – 20
II 2
3(x – 20)
1
3(x – 20) ojo:
2
3
1
3
Del enunciado: 1
3(x – 20) = 10 x = 50 soles
27
19.- Hoy gane un sol mas que ayer. Y lo que he ganado en los dos días es veinticinco soles más
que los 2/5 de lo que gane ayer. ¿Cuánto suma lo que he ganado ayer y hoy?
Gane ayer : x soles
Hoy gané: x + 1
Del enunciado: x + x + 1 = 2
5x + 25 x = 15.
x + x + 1 = 31 soles
20.- La cabeza de un pescado mide 20 cm. La cola tanto como la cabeza más medio cuerpo. Y el
cuerpo tanto la cabeza y la cola juntas ¿Cuál es la longitud del pescado?
CUERPO
20 + 2
x x 20
20 + 20 + 2
x
Del gráfico: x = 40 + 2
x x = 80
Longitud del pescado: 20 + 2
x+ 40 +
2
x+ 20 = 60cm = 1.6m
21.- Cierto número multiplicado por 2, por 3 y por 7 da tres nuevos números cuyo producto es
55902 ¿Cuál es este número?
Sea N dicho número:
2N .3N. 7N = 55902 N3 = 1331 N = 11
22.- El largo de un rectángulo excede al ancho en 3 m.; si cada lado se aumenta 1 metro el área
aumenta en 22 m2
hallar el número mayor.
a + 3 a +4
a a + 1
a(a + 3) (a + 4)(a +1) =a(a + 3) + 22
a2 + a + 4a + 4 = a
2 + 3ª + 22
a = 9 a + 3 = 12m
28
23.- La diferencia de dos número es 44, si el mayor se divide entre el menor el cociente es 3 y el
residuo 2. Hallar el número mayor.
a – b =44; a > b
a b
2 3 3b + 2 =a…..(1)
Sustituyendo (1) en la diferencia:
3b + 2 – b =44 2b = 42 b =21
a = 65
24.- La relación de dos números es de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7 la
relación es de 3 a 4. Hallar los números y dar como respuesta su diferencia.
a
b =
2
3 ; a < b
8
7
a
b =
3
4 4a + 32 = 3b + 21….(1)
3a = 2b a = 2
3b……(2)
(2) en (1) 4(2
3b) + 32 = 3b + 21 b = 33 a = 22 b –a = 11
25.- Un octavo de la suma de dos números es 608 y los 3/3 de su diferencia es 36. Hallar los
números y dar como respuesta la suma de los dígitos de ambos.
1
8(a + b) = 608 ; a y b son los números.
2
3(a – b) = 36 a – b = 54
a + b = 4864
2a = 4918 a = 2459
b = 2405 2 + 4 + 5 + 9 + 2 + 4 + 0 + 5 = 31
29
26.- Timoteo gasta S/.300.00 comprando manzanas, peras y duraznos. Las manzanas y peras
cuestan S/. 20.00 c/u y los duraznos S/10. c/u. Si las manzanas y las peras costaran S/5.00
menos cada una. Timoteo podría ahorrarse S/. 60.00 ¿Cuántos duraznos compro?
Número de manzanas ; P número de peras etc.
20 M + 20P + 10D = 300
2M + 2P + D =30…..(1)
15M + 15P + 10D = 300 – 60 = 240
3M + 3P +2P = 48…….(2)
POR – 3 a (1) y por 2 a (2)
- 6M – 6P – 3D = - 90
6M + 6P + 4D = 96
D = 6
27.- En un corral de chanchos y pelicanos el número de ojos es 24 menos que el número de
patas. Hallar el número de chanchos.
(Número de ojos) = (número de patas) – 24
P , número de pelicanos. C número de chanchos.
2C + 2P = 4C + 2P – 24
C = 12 CHANCHOS
30
EDADES
Se mantiene el sistema de solución de las ecuaciones lineales, hay que tener en cuenta la ley de
los signos y dar la preferencia al paréntesis.
1.- Dentro de 5 años tendrás la edad que ahora tengo ¿Qué edad tendrás cuando mi edad y tu
edad sean proporcionales a 13 y 8?
Y y T edades actuales mío y tuyo
Y – T = 5 diferencia de edades.
13K – 8K = 5 K =1 ; k constante de proporcionalidad.
tú edad en el futuro
mi edad en el futuro.
8K = 8 años
2.- Me preguntaron por la edad que tengo y respondí: “toma 5 veces los años que tendré dentro
de 5 años y réstale 5 veces los años que tenía hace 5 años y resulta los años que tengo”
¿Cuál es mi edad?
Sea Y la edad que tengo actualmente.
5(y + 5) – 5(y – 5) = y y = 50 años
3.- Un padre le dice a su hijo “Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías,
pero dentro de 8 años sólo será el doble” ¿Qué edad tiene el padre?
P: Edad del padre (actual)
P – 8 = 4(T – 8) (1) T: tu edad actual
P + 8 = 2(T + 8) (2) P = ? ; Resolviendo el sistema: p = 40 años
4.- Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora ¿Cuál será tu edad
cuando yo tenga el doble d ela edad que tienes si en ese entonces nuestras edades sumaran
56 años propiedades
Pasado presente futuro a + e = b + d
Yo a x b 3x c 4x b + f = e + c
Tu d 0 e 2x f 3x a + f = d + c
3x + 0 = 3x a + e = 3x e = 3x – a = 3x – x = 2x
2x + 4x = 6x f = 3x ; 7x = 56 x = 8 3x = 24 años
31
5.- Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cunado yo tenía la edad que tú tienes. Si cuando tú
tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 90 años ¿Qué edad tenía yo cuando
tú naciste?
Pasado presente futuro
Yo 3x 4x 90 - 4x
Tu 2x 3x 4x
Nos pide diferencia de edades
4x + 4x = 3x + 90 – 4x x = 10 3x – 2x = 10
6.- La edad de Inés es 1/101 del año de su nacimiento ¿En qué año cumplió 60 años, sabiendo
que nació en 19ab.
Ines = 1
101 19ab 101x (ines) = 19ab
El único número multiplicando por101 que da el número de 4 cifras que comience en 19 es 19,
entonces la edad de inés es 19 años .
101 19 = 1919 = 19ab a = 1 ; b = 9; 1919 + 60 = 1979
7.- Una señora tuvo a los 24 años dos mellizos. En el año en que las edades de los tres juntos
sumaban 78, se casa uno d elos mellizos y tienen su primer vástago un año después ¿Cuántos
años tenía la madre cuando el hijo del que se caso cumplió dos años?
Sra 1er mellizo 2
do mellizo
24 años 0 0 años
24 + x x x años
→ 24 + x + x = 78 años → x = 18
→ 24 + 18 18 años 18 años (se casó)
24 + 18 + 1 19 19 (tiene su hijo)
24 + 18 + 1+2 19 + 2 19 + 2 Respuesta: 45 años
8.- Si a la suma del año en que nací con el año en que tuve 18 años le restamos la suma del año
actual con el año que tendré 30 años; resultaría mi edad actual menos 52 ¿Qué edad tendré
dentro de 2 años?
Sea x el año en que nací (x posee 4 cifras)
→ x + x + 18 – (x + a + x + 30) = a - 52
Año actual; a: edad actual.
x = 20 x + 2 = 22 años
32
9.- Marco tiene el triple de la edad de Sara, que tiene 12 años. ¿Cuántos años pasaran para que
Marco tenga el doble de la edad de Sara?
Sara: 12 años ; Marco: 3(12) = 36 años
36 + x = 2(12 + x); x años transcurren x = 12 años
10.- Un padre tiene 44 años y tiene 3 hijos de 18,15 y 14 años. Hace cuantos años la edad del
padre fue el doble de la suma de las edades de sus hijos.
Tenemos que retroceder x años (para todos)
44 – x = 2(18 – x + 15 – x + 14 – x) x = 10 años
11.- Hace 30 años Juan tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora ¿Qué edad tendrá dentro
de 4 años?
Sea J su edad actual de Juan, entonces:
J – 30 = 1
6J J = 36 años
36 + 4 = 40 años
12.- dentro de “m+n” años tendré el triple de la edad que tenía hace “m-n” años. ¿Actualmente
tengo?
Sea y mi edad actual, entonces:
y + m + n = 3( y – (m – n) ) y = 2m – n años
13.- Fidel le dice a Paola: cuando yo tenga la edad que tienes, tu edad sera dos veces la edad que
tengo y cuando yo tenía 10 años tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las edades actuales
de Fidel y Paola?
Pasado presente futuro
Fidel 10 y x
Paola y x 2y x + y = ?
Por propiedad:
10 + x = 2y (1)
3y = 2x (2) Resolviendo el sistema: x = 30; y = 20
x + y = 50
33
14.- Dentro de 15 años la edad de Teresa será el doble de la edad de Ana. Hallar la suma de las
edades actuales. Si hace 6 años Teresa tenía el triple de la edad de Ana.
Sean T y A sus edades actuales de Teresa y Ana.
T + 15 = 2(A + 15) (1)
T – 6 = 3(A – 6) (2) Resolviendo el sistema: T = 69 ; A = 27
T + A = 96 años
15.- La edad de Eduardo es el triple de la edad de Juana. Si hace 3 años ella tenía a + eb años.
¿Dentro de cuántos años la edad de Eduardo será el doble de la de Juana?
E = 3J, E, edad actual de Ernesto
J – 3 = a + 3b J = a + 3b + 3 E= 3(a + 3b + 3)
E + X = 2(J + X) , transcurren x años, sustituyendo en la última expresión J y E
3(a + 3b + 3) + x = 2[a + 3b + 3 + x] x = a + 3b + 3 años
16.- La edad de los años de mi abuela es 12 años más que el cuadrado d ela edad d emi primo y
menor en 5 años que el cuadrado de la edad de mi primo en el próximo año ¿Qué edad tiene mi
abuela?
Sea A la edad actual de mi abuela.
A = 12 + p2 ; p edad actual de mi primo
A = (P + 1)2 – 5 ; Igualando ambos segundos miembros .
12 + p2 = (p + 1)
2 – 5 p = 8; A = 12 + 8
2 = 76 años
17.- la edad de “A” es 1/3 de la edad de B y hace 15 años la edad de “A” era 1/6 de la edad de
“B”. Hallar la suma de las edades actuales.
A = 1
3B (1)
A – 15 = 1
6(B – 15) (2)
Resolviendo el sistema: A = 25 ; B = 75
A + B = 100 años
34
18.- Rosa le dice a Clovis; mi edad es 4 años menor de la edad que tú tenías cuando yo tenía 8
años menos de la edad que tú tienes; cuando tengas el doble de la edad que tengo; nuestras
edades sumaran 82 años ¿Qué edad tiene Rosa?
Del enunciado
Presente pasado futuro
Rosa y – 8 x – 4 82 – 2(x – 4)
Clovis x y 2(x – 4)
Por la propiedad del aspa
Y + Y – 8 = x + x – 4 ; x – 4 + 2(x – 4) = y + 82 – 2(x – 4)
y = x + 2 …..(1) y = 5x – 102 ……(2)
De (1) y (2) se tiene x = 26 x – 4 = 22 años
35
ATRASOS - ADELANTOS
Cuando existe adelanto.
HR = HM – ADELANTO
Y cuando existen atraso:
HR = HM + ATRASO
HR: HORA REAL (HORA CORRECTA)
HM: HORA MARCADA (INCORRECTA)
1.- Un reloj se adelanta dos minutos cada 3 horas ¿Qué hora será en realidad cuando marque las
10:15 a.m. si hace 30 horas lleva adelantandose?
ADELANTA CADA( EN ) HR = ?
2min 3hr HM = 10:15
Adelanta 30 hr
Adelanta = 2 30
3= 20 min = 0: 20 HR = 10:15 – 0:20 = 9:75 – 0:20 = 9:55
2.- Hace 12 horas y media se descompuso el reloj sufriendo un atraso de 8 minutos cada 4
horas. Si en ese instante marca 8 horas 57 minutos ¿Cuál es la hora correcta?
ATRASA CADA EN HM = 8:57
8min 4hr HR = ?
Atrasa 12.5hr
Atraso = 8 12.5
4= 25 min = 0:24 HR = 8:57 + 0: 25 = 8:82 = 9:22
3.- Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará
cuando la hora correcta sea 9 p.m. del mismo día?
Adelanta cada HR = 21:00
5min 1hr HM = ?
Adelanta 13hr de 8am a 9pm hay
21 – 8 = 13 hrs.
Adelanta = 5 13
1= 65min = 1:05 hr. HR = HM – adelanta
HM = HR + adelanta = 21:00 + 1:05 = 10:05 = 22:05
36
4.- Un reloj se descompuso a las 6 a.m. del primero de marzo, sufriendo un atraso de 4 minutos
cada 24 horas. ¿Qué hora marcara al medio día del 6 de marzo?
Atrasa cada HM = ?
4min 24hr HR = 12
Atrasa 5 x 24 + 6
6hr 24hr 24hr
6am 12m 12m 12m 12m 12m 12m
10 marz 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0
Atrasa = 4(5 24 6)
24= 21min = 0:21
HM = HR – ATRASO = 12:00 – 0:21 = 11:60 – 0:21 = 11:39
5.- Un reloj se atrasa 5 minutos cada 45 minutos. Si marca las 4 horas 10 minutos y hace ya 6
horas que se atrasa ¿Cuál es la hora correcta?
Atrasa cada HR= ?
5min 45min HM = 4:10
Atraso 6 x 60min = 6hr
Atraso = 6 60 5
45= 40min = 0:40 HR= 4:10 + 0:40 = 4:50
6.- Un reloj marca la hora exacta un día a las 2 p.m. si se adelanta5 minutos cada 10 horas a
partir de esa hora ¿A qué hora empezó a adelantarse, si a las 23:10 horas marca 23:18 horas?
Adelanta cada Para que vuelva a marcar la hora correcta por
5min 10hrs primera vez (puede existir por 2a vez etc)
12 x 60min xhrs debe adelantarse 12hrs = 12 x 60min
X = 12 60 10
5= 1440 hrs Al dividir entre 24 se tiene: X = 60 días < > 2 meses
37
7.- Un reloj digital se adelanta 4 minutos cada 7 horas. ¿A que hora empezó a adelantarse, si a
las 23:10 horas marca 23:18 horas?
Adelanta cada HR = 23:10
4min 7 hr HM = 23:18
8min x hr HR = HM – adelanto
Adelanta = HM – HR
X = 8 7
4= 14hrs = 23:18 – 23:10 = 0:8= 8 min
Luego : 23:10 – 14:00 = 9:10
8.- Un reloj se atrasa 2 minutos cada 45 minutos, si se puso a la hora a las 7:45 p.m. ¿Qué hora
marcara cuando realmente sean las 8:30 a.m.del día siguiente?
Atrasa cada HR = 8:30
2min 45min de 7:45pm a 12:00 de la noche hay: 4:15
Atraso 765min y de 12 de la noche a 8.30am. Hay 8:30.
luego han transcurrido 12:45 horas = 765min.
Atraso = 765
45min = 34min HM = HR - ATRASO = 8:30 – 0:34 = 7:90 – 0:34 =
7:56am
9.- Supongamos que los dos tercios del tiempo transcurrido del día de hoy es la mitad de los 4/5
de lo que falta por transcurrir ¿Qué hora es?
24 – x hrs.
X
Transcurrio falta transcurrir
0hr xhrs 24hr
2
3x =
1
2 4
5(24 – x) x = 9am
10.- Un reloj se adelanta un minuto cada 900 segundos. Si ahora marca las 4:20 y hace 8 horas
que se adelanta ¿Cuál es la hora correcta?
Adelanta cada HM = 4.20
1min 900seg HR = ? = HM - adelanto
Adelanta 8 x 60 x 60seg HR = 4:20 – 0:32
= 3:80 – 0:32 = 3:48
38
11.- Un reloj que sae atrasa 5 minutos en cada hora, es sincronizado hoy al mediodía ¿Qué
tiempo, como mínimo deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora exacta?
Atrasa cada Para que vuelva a marcar la hora correcta por
5min 1 hr primera vez (puede existir por 2a vez etc)
12 x 60min xhrs debe retrasarse 12hrs = 12 x 60min
X = 12(60)1
5= 144 hrs
144
24
hrs
hrsx 1dia = 6dias
12.- Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m.; uno de ellos se adelanta 15 segundos cada cuarto de
hora y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. ¿Cuántos minutos estarán separados a las 8.==
p.m. lo sminuteros de los dos relojes?
De 8am a 8pm. De 8am a 8pm
Transcurren 12hr transcurren 12hr
Adelanta cada Atrasa cada
15seg 1
4 hrs 45seg 1hr
Adelanta 12hr atrasa 12hr
Adelanta = 15(12)
14
= 720 seg atraso = 45 12
1= 540 seg
= 12 min = 9min.
HM = 20:00 + 0:12 = 20:12 HM = 20:00 – 0:09 = 19:51
Luego distande las 8 ambos relojes: 20:12 – 19:51 = 19:72 – 19:51 = 0:21
39
MANECILLAS
Propiedad Fundamental.- Se aplica para hallar el ángulo convexo entre el horario y el minutero.
Se divide en dos casos:
a) Cuando el horario adelanta al minutero después de la 12 en sentido horario, se tiene:
α0 = –
11
2M + 30 H
b) Cuando el minutero adelanta al horario después de las doce
α0 =
11
2M – 30H
M= Número de minutos
H= La hora que sucede α0
α0= ángulo entre H y M en grados sexagesimales
1.- ¿Qué hora es cuando el horario y el minutero están sobrepuestas entre las 3 y las 4?
Sobrepuesta, entonces
Un santiámen atrás el horario adelantaba al minutero
entonces H adelanta a M.
0 o = –
11
2M + 30(3)……(1)
Como se dice entre las 3 y las 4, entonces H = 3
Si dijese entre las 4 y 5, entonces H seria igual a 4.
(1) M = 180
11min Respuesta: 3hr
180
11min
3hr 16min 4
11min = 3hr 16min
240
11seg. ; 1min < > 60 seg.
40
2.- ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 3:35?
H = 3 ; M = 35
M adelanta a H
α o =
11
2(35) – 30(3) = 102.5
= 102o 0.5
o = 102
o 30’
3.- ¿A qué hora exactamente entre las 4 y las 5 el horario y el minutero forman ángulo recto por
primera vez?
H = 4 ; α0 = 90
0
Por primera vez
(antes de que le alcance el minutero al horario)
H adelantada a M
90 = - 11
2M + 30(4); M =
60
11min = 5min
5
11min
4hr 5min 5
11(60seg) = 4hr 5min
300
11seg.
4.- ¿A qué hora exactamente entre las 4 y las 5 el horario y el minutero forman ángulo recto por
segunda vez?
H = 4; α0 = 90
0 por segunda vez
(luego de que el min. Pase al horario)
M adelanta a H
90 = 11
2M - 30(4);
M = 420
11min = 38min
2
11(60seg)
4hr 38min 2
11(60seg)
41
5.- ¿A que hora entre las 2.00y 2:15 horas, el ángulo formado por el horario y el minutero es
igual al que ellas forman 15 minutos después?
- todo ángulo en minutos (una vuelta de 60 min)
- por cada x min que avanza el minutero, el horario avanza 12
xmin
Estas dos proposiciones hay que aplicar:
Del gráfico:
2θ + 15
12= 15……(1)
10 = M + θ - 12
M…..(2)
Resolviendo el sistema se
tiene:
M = 75
22
2hr 75
22min
6.- Faltan para las 9 horas la mitad del tiempo (en minutos) que paso desde las 7 horas ¿Qué
hora marca el reloj?
xhrs
9 – ( 7 + x )
PASO FALTAN
7hr 7 + x hrs 9h
9 – (7 + x) = 2
x x =
4
3= 1hr
1
3hr
7 + x = 7 + (1hr + 1
3hr) = 8hr 20min
1
3hr =
1
3(60min) = 20min
15
’
'
12
M
15 '
12
1
2
1
3
4
θ
M
θ 15’
42
7.- ¿Cuál es el menor ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 9 horas 10 minutos?
H = 9 ; M = 10
H adelanta a M
α0 = –
11
2(10) + 30(9)
α0 = 215
0
menor ángulo será : 3600 - 215
0
= 1450
8.- A que hora entre las 7 y las 8 las agujas de un reloj está superpuestas?
H = 7 ; α0 = 0
0
H adelanta a M ( instantes atrás )
0 = α0 = –
11
2M + 30(7)
M = 420
11min = 38min
2
11min
M = 38min 120
11seg 7hr 38min
120
11seg
9.- Hallar el ángulo que forman las agujas de un reloj a las 3 horas con 38 minutos
H = 3; M = 38 ; α0 = ?
H adelanta a M
α0 =
11
2(20) – 30(3) = 119
0
α0
3
4
6 7
43
M min
10.- ¿Qué ángulo forman entre si las agujas de un reloj a las 11 horas 20 minutos?
H =11; M = 20 ; α0 = ?
H adelanta a M
α0 = –
11
2(20) + 30(11) =
α0 = 220
0 ó 360 – 220 = 140
0
11.- ¿Qué hora indica el reloj?
- Todo ángulo en minutos
- Por cada x min que avanza el minutero, el horario avanza12
x min.
lo que avanza el minutero
Del gráfico θ + 35
12= 5 θ =
25
13
3h (35 + 25
13)min = 3hr 36
12
13min
12.- ¿A qué hora después de las 2 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta
a la marca de las 12 ¿
Del gráfico θ = 10 +12
M (1)
2θ = M (2)
Resolviendo el sistema: M = 24min
2hr 24min
α0 9
12
11
10
3
12
M
θ
θ
1
2
3
4
5
θ
θ
12
M
44
1
8
1
5
120o
d 30
o
3
0
15
3
60o
MOVILES
Hay que considerar las fórmulas de velocidad
e=vt
donde e= espacio
v= velocidad
t= tiempo
1.- José se dirige de A a B, llegando en su auto en un timepo de 30 horas; si al regreso aumenta su velocidad en 4 km/h llegará en 6 horas menos que a la ida ¿Cuál es la distancia total
recorrida en Km?
Se trata de identificar los 3 elementos para cada tramo ( e, v y t ) y aplicar la formula ( e = v t ) e = x
v = V
t = 30
A B
v = V+ 4; t = 24 ; e = x
Luego x = 30V (1)
x = 24(V + 4) (2) De donde: V = 16 ; x = 480 km.
Nos pide 2x = 960 km.
2.- Dos moviles parte de un punto comun en direcciones que forman 120 grados con velocidades de 6 m/s y 10 m/s. Determine la distancia que están separados al cabo de tres
segundos?
d: distancia de los móviles después de
3 seg.
d = 2 2
15 3 15 18 = 1764 = 42m
45
3.- Un estudiante sale de su casa todos los días al a misma hora con velocidad constante,
llegando a clases a las 4 p.m. pero si duplica su velocidad llega 1 hora antes ¿A qué hora parte
de su casa?
Sale: T hrs llega: 16 hr
v = v e = x
t = 16 – T
v’ = 2v llega: 15hr e’ = x t ’ = 15 – T
aplicando la fórmula( e = vt ): x = v(16 – T) (1)
x = 2v(15 – T) (2) resolviendo el sistema: T = 14 hr < >
2pm.
4.- Un tren pasa delante de un observador en 8 segundos y demora 20 segundos en cruzar
completamente un puente de 180 metros de largo ¿Cuál es la longitud del tren en metros?
Observador. (justo antes de pasar)
TREN TREN
x x TREN PUENTE TREN
e = x x
v = V x + 180 t = 8
e ́= x + 180
v ́= V t ́= 20
x = 8V ( 1 )
x + 180 = 20V ( 2 ) resolviendo el sistema: x = 120m
5.- Un móvil recorre 961 kilómetros en tantas horas como kilómetros recorre por hora ¿Cuál es
su velocidad en kilómetros por hora?
e = 961 km.
Tantas horas cmo recorre por hora < > t = v = x
e = v t 961 = x.x x = 31 = V = 31
x
46
6.- En cuanto tiempo un tren de 200 metros dse largo y velocidad de 36 km/h pasará delante de
una estación de 80 m de frentera a la riel.
80m ( frentera de la estación a la riel )
v = 36 km/h = 36000 m / ( 3600 seg.) = 10
t = ?
Longitud del tren: 200m. Para lograr pasar por la frentera, el tren debe recorrer:
200 + 80 = 280 m = e. Luego e = vt 280 = 10t t = 28seg.
7.- Un tren emplea 6 segundos en pasar delante de un observador y le es necesario 28 segundos
para atravesar un tunel de 550 metros de longitud ¿Cuál es la longitud del tren?
Similar a la pregunta número 4. respuesta 150m
8.- Un tren demora 13 minutos en pasar delante de Doris y 23 minutos en cruzar un puente de
800 metros. ¿Calcular la longitud del tren y dar como repsuesta la suma de los valores de la
longitud y la velocidad del tren.
Ver la pregunta número 4, es similar respuesta: 1120m
9.- Dos autos salen a las 8 a.m. de dos ciudades M y N distantes 150 km y van uno hacia el otro.
El q ue sale de M a 30 km/h y el que sale de N a 20 km/h ¿A qué hora se encontraran y a que
distancia de M ¿Dar como respuesta la suma de los valores de la hora y la distancia
mencionada?
VM = 30 VN = 20
M x km
150 – x
N
150km
VM = 30 VN = 20 X = 30T …….(1)
EM = X EN = 150 – x 150 – X = 20T….. (2)
TM = T TN = T
Resolviendo el sistema ; T = 3 ; x = 90
Como parten a las 8 am, entonces se encuentran a las 8 + 3 = 11am.
11 + 90 = 101
47
10.- Un auto sube una cuesta a una velocidad de 4 km/h y desciende por la misma a 6 km/h si
demora en subir y bajar 20 horas ¿En cuanto disminuye el tiempo de subida si la velocidad
aumenta en 1 km/h ?
e b = x
t b = 20 - T
v b = 6
e s = x
t s = T
v s = 4
x = 4T (1)
x = 6(20 – T) (2) resolviendo el sistema: T = 12 X = 48
luego: e = 48; v = 4 + 1 = 5; t = ? ; t = e
v=
48
5
12 - 48
5 =
12
5 = (2 +
2
5)hr = 2hr
2
5(60min.) = 2h 24min.
11.- Durante tres horas un barco navega a la misma velocidad. En la siguiente hora baja su
velocidad a la mitad, si navega una idstancia total de 161 km ¿Cuál fue su velocidad inicial en
km/h?
x 161 – x
e = x e´= 161 - x
v = V v´= 1
2V
t = 3 t´ = 1
x = 3v (1)
161 – x = 1
2v (2) x = 138 ;
v = 46
48
12.- En una marathon el primer lugar corre a 4.5 km/h y lleva 15 km de ventaja al Segundo
lugar; pero este logra alcanzarlo en 1 hora y media. Hallar la velocidad del segundo movil en
km /hr.
15km x
ventaja P
Donde P es el punto de encuentro.
v 2 = v v 1 = 4.5
e 2 = 15 + x e 1 = x
t 2 = 1.5 t 1 = 1.5
15 + x = 1.5v ( 1 )
x = 1.5(4.5) ( 2 ) x = 6.75 ; v = 14.5 km/h
13.- Dos ciclcistas Manuel y Enzo parten simultáneamente de una ciudad a otra distante 60 km.
La velocidad del 1º es 4 km menos d ela de Enzo. Después de llegar Enzo a la 2ª ciudad
emprende el retorno inmediatamente y se encuentra con Manuel a 12 km de la segunda ciudad.
La velocidad de Manuel en Km/h es …?
60 km
A B
vM = V – 4 12
ve = V
punto de encuentro
para Manuel para enzo v M = V – 4 e e = 60 + 12 = 72
e M = 60 – 12 = 48 v e = V
t M = T t e = T
48 = (V – 4)T …..( 1 ) ; 72 = VT…. (2)
Entonces de (1) y (2) se tiene: T = 6. Luego vM = 48
6 = 8 km/h.
49
En un mismo sentido:
120 km v2
P punto de encuentro.
ventaja x
v1 = V1 ; e1 = 120 + x ; t1 = 8 ; v2 = V2 ; e2 = x ; t 2 = 8 ; luego:
120 + x = 8 V 1 …….(1)
x = 8 V 2 ..........(2) V 1 – V 2 = 15….. ( 3 ) ; V 1 > V 2
En sentidos contrarios:
120 km v2
120 – x x
v1 = V1 v2 = V2 e1 = 120 – x e2 = x
t1 = 5 t2 = 5
luego: 120 – x = 5 V1T……(4)
x = 5 V2T …...(5) V1 + V2 = 24…..(6)
de (3) y (6) por reducción se tiene: v1 = 39
2= 19.5 km/h
50
PROBLEMAS SOBRE LAS
OPERACIONES BÁSICAS
PROBLEMAS SOBRE DIFERENCIA UNITARIA METODO DEL RECTÁNGULO
Diferencia total y unitaria
Se aplica en problemas en que participan los términos:
GANA –PIERDE, QUEDA-SOBRA
GANARIA-GANARIA
CASO 1: Antagónico u opuestos (se suma, nos referimos a los de la derecha) En este caso se
suma A y B
Nº de elementos = A + B
a - b
CASO 2.- El mismo tipo (se resta, nos referimos a los de la derecha
Nº de elementos = A - B
a - b
1. Si vendemos portaminas a 4 soles cada uno ganamos 18 soles, pero si vendemos portaminas
en 2 soles perdemos 4 soles ¿De cuantos portaminas disponemos para la venta?
4 soles
portamina
2 soles
portamina
18 soles (gana)
4 soles (pierde)
+ –
a
b
A (gana)
B (pierde)
+ –
51
Cuando son diferentes (gana – pierde) se suma (+), si fuesen iguales se resta. El otro de la
izquierda, siempre es negativo.
Luego:
2. Si un comerciante vende a S/ 11.00 cada calculadora y gana S/( 75.00; pero si decide vender
cada calculadora a S/.6.00 cada una pierde S/.50.00 ¿Cuántas calculadoras tiene para
vender?
3. Tengo cierta cantidad de relojes, si los vendo a 12 dólares cada uno, obtengo 60 dólares de
ganacia y si los vendo a 15 dólares, obtengo 90 dólares de ganancia ¿Cuántos relojes tengo
para la venta?
(18 + 4) soles
(4 – 2) soles
portamina
= 11 portaminas
11 soles
calculadora
6 soles
calculadora
75 soles (gana)
50 soles (pierde)
+ –
(75 + 50) soles
(11 – 6) soles
calculadora
= 25 calculadoras
12 dólares
reloj
15 dólares
reloj
60 dólares (gana)
90 dólares (gana)
– –
(90 – 60) dólares
(15 – 12) dólares
reloj
= 10 relojes
52
4. Un estudiante dice: Para comprar una docena de lapiceros me faltan S/ 15.00 pero si compro
8 lapiceros me sobran S/. 3.00 ¿Cuánto cuesta cada lapicero y cuánto es lo que tiene?
Tiene: 12 x 4.5 – 15 = 39 soles
5. Un ingeniero quiere premiar a alguno de sus ayudantes. Dando 5 soles a cada uno le faltaría
3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles. Dar la suma del número de ayudantes y el
número total de soles.
Total de soles: 5 x 10 – 3 = 47 10 + 47 = 57
6. Si se venden cierta cantidad de carpetas a 54 soles cada una, se obtendría como ganacia 200
soles y si lo vendemos a 50 soles cada uno se ganaría 80 soles. ¿Cuántas carpetas se tien
para la venta?
12 lapiceros
8 lapiceros
15 soles (falta)
3 soles (sobra)
+ –
(15 + 3) soles
(12 – 8) lapiceros =
4.5 soles
lapicero Precio unitario: 4.5 soles
5 soles
ayudante
4 soles
ayudante
3 soles (falta)
7 soles (sobra)
+ –
(3 + 7) soles
(5 – 4) soles
ayudante
= 10 ayudantes
54 soles
carpeta
50 soles
carpeta
200 soles (gana)
80 soles (gana)
– –
(200 – 80) soles
(54 – 50) soles
carpeta
= 30 carpetas
53
7. Hemos decidido comprar un escritorio con mis socios aportando 45 soles cada uno, pero
nos dimos cuenta que nos faltaban 20 soles para dicha compra; entonces decidimos dar 10
soles más cada uno, así cobro 40 soles ¿Cuántos socios somos?
45 soles
persona
55 soles
persona
20 soles (falta)
40 soles (sobra)
+ –
(40 + 20) soles
(55 - 45) soles
persona
= 6 personas
54
RETROALGORITMO
1. Multiplicamos po 6 l a edad de Daniel añadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo
resultado entre 4 obtenemos por fin 25 ¿Cuál será la edad de Daniel?
Retroceder con operaciones inversas
2. Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y le cociente lo pmultiplico por 3
añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180 ¿Cuál es el número inicial?
3. La cantidad de alumnos de la sección A3 en el CFJavier de Luna Pizarro disminuído en 20
es tal que si su tercera parte, disminuye en 20, resulta 1; calcular la cantidad de alumnos en
cuestión.
4. Un estudiante tiene inicialmente un cuaderno con hojas en blanco. Cada día escribe la mitad
d elas hojas en blanco más 25 hojas de lo que sabía el día anterior, luego de 3 días gasto
todas la hojas ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno al inicio?
Cada día disminuye en su mitad y 25 hojas más. Luego recuperamos las hojas en blanco
sumando 25 hojas y duplicando .
x4
25
-28
100
6
72 12
-36
180
3
144
x10
48 60
8
480
+20
1
x3
21
+20
63 83 alumnos
+25
0
x2
25
+25
50 350
x2
75
+25
150
x2
175
3er día 2do día 1er día
55
5. El chofer de un microbús observa que en cada paradero siempre se baja la mitad más uno
de sus pasajeros y no sube pasajero al guno. Si para el quinto paradero ya no había ningún
pasajero ¿Cuántos pasajeros tenía al inicio de la ruta?
“Si para el quinto paradero ya no había ningún pasajero”, significa que todos ó los que
faltaban bajaron en el 4to.
Luego:
6. A un número se le multiplica por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se
eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica obteniendose 9 ¿Cuál es dicho
número?
Retrocedemos con operaciones inversas:
7. Felipe tiene una cantidad de soles ala que se le agrega 25, si se triplica la nueva cantidad y
al resultado se le resta 20; el nuevo resultado dividido entre 20 personas hace que cada una
reciba 5 soles. ¿Cuántos soles tendía Felipe al comienzo?
Retrocedemos con operaciones inversas:
8. La edad de Perico se multiplica por 4, el resultado se disminuye en 50, la diferencia
obtenida se eleva al cuadrado, este resultado se divide entre 5 para luego sumarle 40 y se
obtiene 60. ¿Cuál es la edad de Perico?
-40
60
x5
20
100 15 años
+50
10
4
60
+1
0
x2
1
+1
2 30
x2
3
+1
6
x2
7
3ro 2do 1er paradero
+1
14
x2
15
4to
( )3
9
+171
729
900 18
x8
30
5
240
+6
48
3
54
x20
5
+20
100
3
120 15
-25
40 soles
56
FALSA SUPOSICIÓN
N : Número de elementos que intervienen
M : Unidad mayor
m : Unidad menor
R : Total recaudado
1. Entre gallinas y conejos se cuenta en un corral 48 cabezas y 158 patas ¿Cuántas gallinas y
conejos hay?
Del enunciado, identificamos los 4 vértices
2. El valor de una entrada para adulto a un teatro es de S/. 8.00. Si un niño paga por boleto S/.
5.00 y la recaudación total fue de S/. 1260.00 ¿Cuántos boletos de un total de 195 fueron de
adultos?
Del enunciado:
R N
M
m
_
_ x
( de elementos asociados a m) = NxM – R
M - m
48
4 patas
2 patas
_
_ x
158 patas Gallinas = 48x4 – 158
4 - 2 = 17
Luego conejos = 48 – 17 = 31
195
8
5
_
_ x
1260 de niños = 195x8 - 1260
8 - 5 = 100
de adultos = 195 – 100 = 95
57
3. En una concentración de estudiantes había triciclos y bicicletas. Se contaron 85 timones y
185 llantas. ¿Cuántos eran los triciclos que había en dicha reunión?
Del enunciado:
4. Entre monedas de S/10.00 y S/ 5.00 se tiene 20 monedas. Si utilizamos todas estas
monedas en el pago de una deuda de S/ 130. ¿Cuántas monedas son de S/.10?
5. Halle el valor de “A” sabiendo que el número de elementos asociados a “A” es igual a 30.
6. Un examen consta de 120 preguntas. Por cada pregunta bien rersuelta se abona 4 puntos y
por cada problema mal contestado o no resuelto se resta un punto. ¿Cuál es la diferencia
entre el número de preguntas bien y mal resueltas, si se obtuvo un puntaje de 200 puntos?
85
3 llantas
2 llantas
_
_ x
185 llantas bicicletas =
85x3 - 185
3 - 2 = 70
de triciclos = 85 – 70 = 5
20
10
5
_
_ x
130 ( de monedas de 5) =
20x10 - 130
10 - 5 = 14
Luego: de monedas de 10 : 20 – 14 = 6
80
5
A
_
_ x
220 30 = 80x5 - 220
5 - A
A = – 1
120
4
–1
_
_ x
200
( de mal contestadas) = 120x4 - 200
4 – (-1) = 56
de bien contestadas = 120 – 56 = 64
64 – 56 = 8
58
7. Debo pagar 2050 con 28 billetes de 50 y 100 soles ¿Cuántos billetes de 50 soles debo
emplear?
8. un alumno del colegio obtuvo 71.25 puntos en un examen, luego de contestar la totalidad de
preguntas (140 preguntas) la respuesta correcta vale 1 punto, incorrecto ( -0,25). Hallar el
número de preguntas correctas que contesto dicho alumno.
9. En un oconcurso de Razonamiento Matemático que trae 100 preguntas, por la respuesta
correcta que s ele asigna 1 punto y por la incorrecta tiene un puntaje en contra de un cuarto
de punto; Arturo ha obtenido en dicha prueba 50 puntos habiendo respondido la totalidad de
preguntas planteadas ¿En cuántas se equivocó?
28
100
50
_
_ x
2050
( de billetes de 50) = 28(100)-2050
100 - 50 = 15
140
1
-0.25
_
_ x
71.25
( de mal contestadas) = 140(1) – 71.25
1 – (-0.25) = 55
140 – 55 = 85
100
1
-1/4
_
_ x
50
( de equivocadas) = 100(1) – 50
1 – (-1/4) = 40
59
10. En un corral hay 180 patas y 54 cabezas, si lo único que hay son gallinas y conejos ¿Cua´es
el número de alas?
11. Se han de repartir 180 galletas entre 48 niños de un salón, dándole 5 a cada varon y 3 a
cada niña. ¿Cuántos de los niños son varones?
54
4
2 patas
_
_ x
180
de gallinas = 54(4) - 180
4 - 2 = 18
18x2 alas = 36
48
5
3 galletas (niñas)
_
_ x
180
de niñas = 48(5) - 180
5 - 3 = 30
48 – 30 = 18 niñas
60
REGLA DE CONJUNTA
(EQUIVALENCIAS)
1. Dos libros de matemáticas equivalesn a 5 cuadernos. ¿Cuántos libros de matemáticas
equivalen a 10 libros de historia, sabiendo que 7 cuadernos equivalen a 2 libros de historia?.
Ordenando en zigzag teniendo en cuenta que en la siguiente fila debe ir a la izquierda, la
unidad con la cual se terminó la fila anterior:
2 libros de matem < > 5 cuadernos
7 cuadernos < > 2 libros de historia
10 libros de historia < > x libros de matem
2 (7) (10) = 5 (2) x x = 14
Nota: Las equivalencias (símbolos) se sustituyen por igualdad y los coeficientes se
multiplican.
2. Con dos motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines
obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos ¿Cuátas pelotas se obtendrán?
2 motos < > 15 bicicletas
5 bicicletas < > 49 patines
7 patines < > 16 pelotas
x pelotas < > 6 motos
(2) (5) (7) x = (15) (49) (16) 6 x = 1008 pelotas
3. Un herrero toma un aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años de trabajo, S/74
y un pantalón; al cabo de 1 año y 4 meses los despide dándole S/ 42 y el pantalón. ¿Cuánto
vale el pantalón?
Sea x soles el precio del pantalón
(74 + x) soles < > 24 meses
16 meses < > (42 + x) soles
16 (74 + x) = 24 (42 + x) x = 22 soles
61
4. Se contrato a un profesional por un año y al final del cual se le tenía que abonar 10800 soles
más un auto. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo sólo 17000 soles más el auto
¿Cuánto vale el auto?
Sea x el precio del auto
12 meses < > ( 10800 + x ) soles
(1700 + x) soles < > 5 meses
12 (1700 + x) = 5 (10800) x = 4800 soles
5. En un pueblo africano por cada tres espejos dan 5 diamantes, por cada 2 diamantes dan 30
monedas de oro. Por 888 espejos ¿Cuántas monedas de oro darán ?
3 espejos < > 5 diamantes
2 diamantes < > 30 monedas
x monedas < > 888 espejos
(3) (2) x = 5 (30) 888 x = 22200 monedas
6. Sabiendo que 12 varas de tela cuesta lo mismo que 10 metros y que 4 metros cuestan 60
nuevos soles ¿Cuánto costaran 8 varas?
12 varas < > 10 metros
4 metros < > 60 soles
x soles < > 8 varas
(12) (4) x = 10 (60) 8 x = 100 soles
7. En un zoológico se distribuyen las aves en jaulas. Si por cada 4 loros se colocan 10 pericos
y por cada 4 papagayos se ponen 14 pericos ¿Cuántos losros habrá en una jaula en la que se
contaron 20 papagayos?
4 loros < > 10 pericos
14 pericos < > 4 papagayos
20 papagayos < > x loros
(4) (14) 20 = 10 (4) x x = 28 loros
62
8. Se contrató a un profesro por un año y al final del cual se le tenía que abonar 24 000 soles y
un automóvil, luego de 5 meses se le rescinde el contrato recibiendo por ello 3700 soles más
el auto. ¿Cuánto vale el automóvil?
12 meses < > (24000 + x) soles ; x es el valor del auto
(3700 + x) soles < > 5 meses
12 (3700 + x) = 5(24000 + x) x = 10800 soles
9. En un restaurante, 4 lomos equivalen a 10 churrascos; 9 churrascos equivalen a tres secos
del mismo modo que ocho secos es a seis ceviches, por 160 nuevos soles nos dan 4 ceviches
¿Cuántos platos de lomo dan por 150 nuevos soles?
4 lomos < > 10 churrascos
9 churrascos < > 3 secos
8 secos < > 6 ceviches
4 ceviches < > 160 soles
150 soles < > x lomos
4(9)(8)(4)150 = 10(3)(6)(160) x x = 6 lomos
10. ¿Qué suma necesitará una empresa para pagar a 4 contadores, si el sueldo de 6 contadores
equivale al de 10 técnicos ; el de 5 técnicos al de 12 bachilleres; el de 6 bachilleres al de 9
empleadas, y si 4 empleados ganan 2 400 soles al mes?
6 contadores < > 10 técnicos
5 técnicos < > 12 bachilleres
6 bachilleres < > 9 empleados
4 empleados < > 2400 soles
x soles < > 4 contadores
6(5)(6)(4) x = 10(12)(9)(2400)4 x = 14400
63
PROBLEMAS DIVERSOS
1. En una librería por cada 3 lapiceros que se venden se obsequian 2. Si el stock disminuye en
180 lapiceros ¿Cuántos se obsequió?
2. Al dividir un número entre 50 el operador olvida el 0 de la derecha del divisor, hallando así
un cociente que se diferencia del verdadero en 135 ¿Cuál es el dividendo original?
Pero debió ser:
q > q’ ; luego : q – q’ = 135
3. Siete fichas están numeradas del 1 al 7 y se toman 2 sin importar el orden ¿En cuántos casos
la suma d elos números esacritos en ellos no seran ni 9 ni 7?
; ni suma 7, ni 9
Los casos son: 12, 13, 14, 15, 17, 23, 24, 26, 35, 37, 46, 47, 56, 57, 67
Rpta: 15
4. Si “n” se divide por 9 el residuo es 5, ¿Cuál será el residuo si “3n” se divide por 9?
n = 9q + 5 multiplicando por 3 ambos miembros
3n = 27q + 15 3n =
resto : 6
180 lapiceros
(3 + 2) lapiceros
vez
= 36 veces se regaló
36(2) = 72 lapiceros
N = 750
N 5
0 q
N = 5q q =
N
5
N 50
0 q
N = 50q’ q’ = N
50
N
5
N
50 _
= 135
1 2 3 4 7 6 5
9 + 9 + 6 3n = 9 + 9 + 6
3n = 9 + 6
64
5. La suma del minuendo, sustrayendo y diferencia de una resta es 64. Además el producto del
sustrayendo por la diferencia es sextuplo del minuendo. Indicar la resta del sustrayendo y la
diferencia.
M + S + D = 64 . . . (1) ; M : Minuendo, etc.
SD = 6M . . . (2)
Por teoría: M – S = D M = S + D . . . (3)
(3) en (1) M + M = 64 M = 32 . . . (4)
(4) en (3) S + D = 32 ; este último por “D”
SD + D2 = 32D pero SD = 6(32) = 192
192 + D2 = 32D D
2 – 32D + 192 = 0
D = = { 8 ó 24
Luego, si D = 8 S = 24 S – D = ? = 16
6. A una fiesta asistieron 53 personas entre varones y mujeres. Si en una pieza musical no
bailaron 8 mujeres y 15 varones. ¿Cuántas mujeres asistieron a dicha fiesta?
Sea V, número de varones y M el de mujeres.
V + M = 53 (1)
M – 8 = V – 15 (2)
Resolviendo el sistema se tiene: M = 23
7. Varias personas van a comer a un restaurante y al final por el consumo, cada uno debe pagar
80 soles; Pero sucede que cuatro de ellas no tienen dinero; por lo que cada una de las
restantes debe abonar 20 soles más. ¿Cuántas personas asistieron a dicha comida?
Sea x el número de personas al inicio.
4 no pagan, entonces x – 4 pagan todo
80(x – 4) + 20(x – 4) = 80x x = 20 personas
8. Lo que tiene Alberto es el doble d elo que tiene Manuel. Si lo de Alberto excede en el doble
de 100 a lo de Manuel ¿Cuánto tiene María si tiene el triple de Alberto?
A: lo que tiene Alberto ; M : lo que tiene Manuel
A = 2M
A = M + 2(100) 2M = M + 2(100) M = 200
A = 400
(Maria) = 3A = 1200 soles
32 ± 322 – 4(1)(192)
2
65
9. Se han comprado cigarros de S/ 100 y de S/ 30.00 la cajetilla por un total de S/ 9500; los
más baratos en conjunto cuestan 3/16 de lo que cuestan los restantes. ¿Cuántos cigarros se
han compraod en total, si cada cajetilla en general trae 20 cigarros?
Sean C: # de cajetillas de 100 soles
T: # de cajetillas de 30 soles
100C + 30T = 9500 10C + 3T = 950 . . . (1)
También: 30T = T = . . . (2)
(2) en (1) 10C + 3. = 950 C = 80 T = 50
80 + 50 = 130 cajetillas 130(20) = 2600 unidades
3 [100C]
16
5 C
8
5 C
8
66
CORTES
Nº de cortes = L t - 1
L u
1. Se tiene una barra de metal de 91 cm. De largo; que se desea dividir en trazos de 7cm de
largo cada uno. ¿Cuánto nos cobra el cortador por cada corte, sabiendo que recibí un total
de S/ 120.00?
Lt = 91 cm ; longitud total
Lu = 7 cm ; longitud unitaria
# cortes = – 1 # cortes = - 1 = 12 cortes
Luego: = Rpta: 10 soles
2. Cuáles la longitud total de una madera a la que se le aplica 17 cortes, si se obtienen reglitas
de 15 cm. Cada una.
# cortes = 17; Lu = 15 ; Lt = ?
# cortes = – 1 17 = - 1 Lt = 270 cm
Lt = 2m 70cm
3. Una varilla de oro de 96 cm. De largo debe ser cortada en retazos de 6 cm de longitud cada
uno. Si la persona que nos hara el trabajo noscobra S/.75 por todo. ¿Cuánto nos cuesta cada
corte?
Lt = 96 cm; Lu = 6 cm; # cortes = - 1
#cortes = - 1 = 15 cortes =
4. En una tienda se tiene un stock de 124 metros de tela y diario se vende un corte de tela de 4
metros. ¿En cuantos días cortaran totalmente la tela?
Lt = 124 m ; Lu = 4m. Pide número de cortes:
#cortes = - 1 = 30 cortes (30 días)
Nota: ¿En cuántos días se terminará de vender toda la tela? Rpta. 31 días
Lt
Lu
91
7
120 soles 12 cortes
10 soles 1 corte
Lt
Lu Lt
15
Lt
Lu
96
6
75 soles
15 cortes
5 soles
1 corte
124
4
67
5. Una larga soga debe dividirse en trrozos de 27 m de largo cada uno, si la soga mide 1215
metros. ¿Cuántos cortes debemos hacer?
Lt = 1215 ; Lu = 27 #cortes = - 1 = 44
6. Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 24 cm de largo, si se hicieran 11
cortes ¿Cuál erá l a longitud de la varilla?
Lt = 24 cm; # cortes = 11; Lt = ?
11 = - 1 Lt = 288 cm
7. Una regla de madera de 270 cm de longitud ha sido cortada 17 veces ¿Qué longitud tienen
las reglitas resultantes?
Lt = 270 cm; # cortes = 17 ; Lu = ?
17 = - 1 Lu = 15
8. Hemos trozado una madeja de lana logrando pedazos de 8 cm. Cada uno; si para esto fue
necesario obtener 20 cortes ¿Cuál fue la longitud inicial de la madeja?
Lu = 8 ; # cortes = 20 ; Lt = ?
20 = - 1 Lt = 168
9. Cuantos pedazos de soga de 3m, de longitud cada una se ha unido en uno solo, si para ello ha
sido necesario hacer dos nudos.
Rpta: 3
Lt
24
1215
27
270
Lu
Lt
8
68
POSTES
1. ¿Cuántas estacas se debe colocar en el borde de un rectángulo de 20 m de largo por 10 de
ancho si entre estaca y estaca debe haber 3 metros de distancia?
# estacas = = = 20
2. A lo largo de un pasaje se desea plantar árboles cada 6 m de tal modo que aparezca un árbol
en cada extremo del pasaje, que además tiene 138 metros de l ongitud. ¿Cuántos árboles se
requieren para tal fin?
Lu = 6m ; Lt = 138
# árboles = + 1 = + 1 = 24
3. Se desea plantar postes cada 15m a lo largo de una avenida de 645m. Si se nos ha cobrado
S/308 por el total de mano de obra ¿Cuántos nos han ocbrado por plantar cad poste,
sabiendo que hay uno al inicio y otro al final d ela avenida?.
Lu = 15 ; Lt = 645
# postes = + 1 = 44
=
4. Se tiene un terreno rectangular cuyo peímetro es de 60 cm. ¿Cuántos postes debería
colocarse cada 3 metros, si uno de estos postes mide 2 metrosa de longitud?
# postes = = = 20
No importa el tamaño del poste
20
10 Perímetro
Lu
2(20 + 10)
3
. . .
P a s a j e
Lt
Lu
138
6
A v e n i d a 645
15
308 soles
44 postes
7 soles
1 poste
perímetro
Lu
60
3
69
5. Alrededo r de una mesa circular se ubica sillas cada dos metros, Si el perímetro de la mesa
es de 16m, ¿cuántas personas se pueden sentar como máximo en la mesa?
# personas = = = 8
6. En una central telefónica, una telefonista recibe llamadas sin cesar y cada llamada atiende
en un intervalo de 4 minutos. Si su trabajo es de 7 horas, ¿Cuántas llamasa llega a atender?
Cada persona es atendida 4 minutos; luego:
# llamadas = # de personas = = 105
7. Se dispone de 3, 7, 8 y 6 personas respectivamente en cada lado de un terreno rectangular.
¿Cuántas personas hay en total, sabiendo que en cada vértice hay una persona?
Como en cada vértice hay una persona, la respuesta será:
3 + 7 + 8 + 6 – 4 = 20 personas
Nota: Se cuenta dos veces a los que están en los vértices, de ahí que se resta 4. Si hubiese 6
vértices, sería menos 6.
8. A lo largo de una avenida de “2b” kilómetros de longitud se van a plantar postes
equidistantes uno del otro, desde el inicio d ela avenida hasta el final; si para los “b”
primeros km ya se han plantado “n” pooostes ¿Cuántops postes ser´na necesarios plantar
para concluir el trabajo?
En toda la mitad se plantaron n postes, luego faltarían n – 1 postes puesto que en toda la
otra mitad también habría n postes y el del punto medio (el poste que está ahí) ya está
plantado.
n – 1
9. A lo largo de un pasaje de 138 metros de longitud se desea plantar árboles cada 6 metros
¿Cuántos árboles se requiere?
Lt = 138; Lu = 6m # árboles = + 1 = 24
10. Un terreno de 40 metros de ancho se requiere cercado, colocando 80 estacas cada 5 metros
en todo su perímetro. Calcular el largo del terreno
# estacas = = = 80
L = 160 m
Perímetro Lu
16
2
7 x 60 min
4 min
138
6
L
40 perímetro
Lu 2(L + 40)
5
70
11. Ocho postes de teléfono están situados a una distancia de 5 m cada uno del otro ¿Cuál es la
distancia del primewro al último poste?
# postes = + 1 8 = + 1 Lt = 35 m
12. En una autopista existen puentes peatonales en los kilómetros 3 y 33. Se desea instalar dos
puentes más entre los dos anteriores a igula distancia. ¿Cada cuántos kilómetros se
instalarán dichos puentes?
Lt = 33 – 3 = 30 ; Lu = ? ;
# puentes = 4, considerando los dos existentes
Luego: 4 = + 1 Lu = 10 Km
13. Para cercar un jardín de forma pentagonal se utilizó 100 postes; si se contó 20,21,22,23
postes en cuatro lados ¿Cua´ntos postes tiene el lado que no se contó, si en cada esquina
había un poste?
# postes = 100; Luego: 20 + 21 + 22 + 23 + x – 5 = 100
x = 19 (menos 5 porque tiene 5 vértices
y en cada vértice había un poste)
14. En una avenida se desea plantar árboles cada 6 m de tal modo que aparezca un árbol en
cada extremo y la avenida tiene 138 m. de longitud. ¿Cuántos árboles se requiere para tal
fin?
# árboles = + 1 = 24
15. Angel y Edy ws3e comprometieron a construir un muro en 12 días, pero luego de trabajr
junto duranmte 4 días, Edy se retiro del trabajo, por lo que Angel entregó la obra ocn 12
días de retraso. Si se hubiera retirado Angel ¿Con cu´
16. antos días de retrazo habría entregado la obra Edy?
# estacas = 28 = + 1 Lt = 81
No importa la longitud de las estacas
30
Lu
Lt
Lu
Lt
5
138
6
Lt
3
71
PASTILLAS
1. Yeni toma 2 pastillas cada 8 horas. Debido a una enfermedad durante 4 días. Si toma las
pastillas desde el inicio del primer día hasta el final del último día ¿Cuántas pasatillas
consumió?
Problemas de pastillas es de postes, estacas. El tiempo hace las veces de longitud. Se aplica
la fórmula de postes.
Lt = 4 días = 4 x 24 horas
Resolvemos primero para el caso en que toma de 1 en 1 pastilla, al final duplicamos.
# pastillas = + 1 = + 1 = 13 pastillas (1 en 1)
2(13) = 26 pastillas
2. Se le suministra a una persona 73 pastillas durante 15 días y cada ciewrto intervalo de
tiempo “x” horas. Hallar el valor de “x” si se le suministro desde inicio hasta le final.
73 = + 1 x = 5 hrs
3. Una enfermera le da una pastilla cada 24 minutos a su paciente durante 8 horas ¿Cuántas
pastillas tomará el paciente?
# pastillas = + 1 = 21 pastillas
REGLA DE TRES SIMPLE
Lu = 8 h . . .
Lt
Lu
4x24
8
15x24 hrs x hrs
8x60 min
24 min
72
1. Para pintar una pared de 120m de largo, se emplearon cierto número de obreros. Si la pared
fuese 40 m más larga, haría falta 5 obreros más ¿Cuántos obreros se emplearon?
120 m x obreros
160 m (X + 5)obreros; 160 = 120 + 40
Son directamente proporcionales; entonces multiplicamos en aspa :
120 (X + 5) = 160 X X = 15 obreros
2. Arquimides le regala a Lucy un cubo compacto de madera valorizado en 12 soles. Si le
regalara un cubo de la misma madera pero de doble arista ¿Cuánto costaría dicho cubo?
Sea “a” la longitud de su arista inicial en metros ; compacto significa “macizo”, sin huecos;
entonces interesa el volumen:
a3 m
3 12 soles
(2a)3 m
3 x soles
Son directamente proporcionales; entonces: x = 96 soles
3. Un barco tiene viveres para 22 días, silleva 69 TRIPULANTES, DIGA ¿Cuánto puede durar
un viaje de 33 tripulates?
69 tripulantes 22 días
33 tripulantes x días
Son magnitudes inversamente proporcionales; entonces multiplicamos en línea:
69 (22) = 33 x x = 46 días
4. un recipiente esférico de 6m de diámetro recepciona 200 kg de maíz. ¿Cuántos kilogramos
de maiz recepcionara otro recipiente esférico de 12 m de diámetro
Interesa el volumen esférico, entonces
V = 3
4 r
3; formula del volumen
3
4(3)
3 m
3 200 Kg ; 3 = 6 / 2
3
4(6)
3 m
3 X Kg ; son D.P.
3
4(6)
3. x = 200
3
4(6)
3 X = 1600 Kg