re6enii primerni zada4i po elektrotehnika

НОВ БЪЛГАРСКИ УНИВЕРСИТЕТ ТСМВ 104 - УВОД В ЕЛЕКТРОТЕХНИКАТА

РЕШЕНИ ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ ПО ЕЛЕКТРОТЕХНИКА

1. Определяне на параметрите на хармонични и импулсни електрически сигнали.

1.1. Описание на хармоничните сигнали посредством функции в реалната област (x,t).

Хармоничните електрически сигнали обикновено се описват с реални функции на времето, т.н. моментни стойности, а именно: електрическо напрежение u(t)=umsin(ωt+Ψu )V (с плътна линия на фиг.1.1), електрически ток i(t)=imsin(ωt+Ψi ) A, (с прекъсната линия на фиг.1.1), електрическa мощност p(t)=u(t).i(t)=

)]2cos()[cos(21

iuiumm tiu Ψ+Ψ+−Ψ−Ψ ω VA

Амплитудни параметри: амплитудна стойност um V, съответно im A, размах (върхова стойност) upp=2um V, ipp=2im A, ефективна стойност U=um/ 2 V, I=im/ 2 A, средна стойност uav=2um/π V, iav=2im/π V, начална стойност u(0) V, i(0) A.

Фиг.1.1.Фазови параметри:

пълна фаза θu =ωt+Ψu, съответно θi =ωt+Ψi rad, текуща фаза ωt rad, начална фаза Ψu=ωt0 =360t0/T °, Ψi=ωt0 =360t0/T °,

ъглова (кръгова) честота ω rad/s, честота f = ω /2π Hz, период Т=1/f = 2π/ω s, фазова разлика между напрежението u(t) и тока i(t) φ= θu-θi =Ψu-Ψi °.

Аналогично се описват параметрите на електрическата мощност.

1.2. Описание на хармоничните сигнали посредством функции в комплексната област (+1, +j).

Хармоничните електрически сигнали във времевата област са функции-оригинали, които могат да бъдат представени в комплексната област с функции–образи, т.н. комплексни стойности:

комплексна ефективна стойност на напрежението ujeUU Ψ= .

V,

1-1

u(t) u

m u

pp

u(0) 0 t t

0

i(t) T


комплексна ефективна стойност на тока ijeII Ψ= .

A,

комплексна мощност ϕϕ jjjj eSeIUeIeUIUS iu ...... ==== Ψ−Ψ∗ VA,

j= 1− е т.н. имагинерна единица, e =2.718281 е основата на натуралния логаритъм.

Комплексните стойности X могат да бъдат представени в две форми:

(а) алгебрична форма jbaX += и (б) показателна форма αjeXX =

.

Правило за преобразуване на оригинал в образ: x(t)= 2 .Xsin(ωt+α) →

αjeXX .=

.

Правило за преминаване от (а) в (б): αjabarctgj

eXebajbaX .22 =+=+=

Правило за преминаване от (б) в (а): jbajXeXX j +=+== )sin(cos. ααα.

Правило за сумиране (изваждане):

)()()()( 2121221121 bbjaajbajbaXXX ±+±=+±+=±=

.

Правило за умножение: ααααα jjjj eXeXXeXeXXXX .)..(.. )(212121 2121 ==== +

.

Правило за деление: ααααα jjjj eXeXXeXeXXXX .).( )(212121 2121 ==== −

.

Правило за преобразуване на образ в оригинал: αjeXX .=

→ x(t)= 2

.Xsin(ωt+α).

1.3. Описание на нехармоничните сигнали във вид на функции на честотата ω и на времето t.

За целта се използва представяне на всеки периодичен нехармоничен сигнал x(t) с период на повторение Т във форма на ред на Фурие:

(1) ( ) ,sincos2

)(1

0 ∑∞

=

++=k

kk tkbtkaa

tx ωω

където коефициентите ak и bk се определят предварително посредством т.н. хармоничен анализ:(2)

∫∫∫ ===TT

kk

T

dttktxT

bdttktxT

adttxT

a

000

0 .sin)(2

,cos)(2

,)(2 ωω

Напрежението u(t) или токът i(t) могат да бъдат записани като сума от N на брой хармоници (k=1,2,3,…,N) посредством реда на Фурие:(3)

∑∑ Ψ++=Ψ++=N

kikm

N

kukm tkiItitkuUtu1

)()()0(

1

)()()0( ).sin()(),sin()( ωω

В тези изрази с (k) са означени номерата на хармониците. Амплитудните стойности um(k) или im(k), както и началните фази Ψu(k) или Ψi(k) се изчисляват от следните зависимости:

(4) )(

)()(

22)(

0)0( ,,

2 k

kkukkkm b

aarctgbau

aU =Ψ+== ,

)(

)()(

22)(

0)0( ,,

2 k

kkikkkm b

aarctgbai

aI =Ψ+==

Общата ефективна стойност на напрежениетоU или на тока I се определя с

1-2


(5) ∑+=N

kmuUU

1

2)(,2

)0( 2 V, ∑+=

NkmiII

1

2)(,2

)0( 2 A.

1.4. Описание на правоъгълни импулсни периодични сигнали в областта на времето t.

Параметри на идеални правоъгълни импулси (на напрежение - фиг.1.2а): максимална стойност на импулса umax V, минимална стойност на импулса umin V, размах на импулса upp= umax - umin V, период на повторение Тп s,

честота на повторение fп=1/Tп Hz, продължителност на импулса tи s, коефициент на запълване kз=tи/Тп, преден фронт на импулса а-b, заден фронт на импулса c-d.

а. б.Фиг.1.2.

Параметри на реални правоъгълни импулси (на напрежение - фиг.1.2б): максимална стойност на импулса umax V, минимална стойност на импулса umin V, размах на импулса upp= umax - umin V, минимално ниво 0,1 на отчитане u0.1= 0,1umax V, мaксимално ниво 0,9 на отчитане u0.9= 0,9umax V, период на повторение Тп s,

честота на повторение fп=1/Tп Hz, време за нарастване на импулса tr = tr 0,9 -tr 0,1 s, време за намаляване на импулса tf = tf 0,1 -tf 0,9 s, продължителност на импулса tи = tf 0,9 -tr 0,9 s, коефициент на запълване kз=tи/Тп, скорост на нарастване на импулса vr=(u0,9-u0,1)/tr V/s, скорост на намаляване на импулса vf=(u0,9-u0,1)/tf V/s.

Задача 1.1.Дадено е хармонично напрежение с ефективна стойност U=220V и честота

f=50 Hz, началната стойност e u(0)=100 V (фиг.1.1). Да се определят параметрите на напрежението като реална функция на времето и като комплексна стойност.

1-3

umax

u(t)

b c t

и

u

min a d

0 t T

п

u(t) u

max

u

0,9

u

0,1

u

min t

r0 1 t

r 09 t

f 09 t

f 01 t

0 t

r t

и t

f

T

п


Решение:(а) определят се амплитудните параметри (§1.1):

максимална стойност um= 2 .U=311,13 V,

върхова стойност upp=2um = 622,26 V, средната стойности uav=2um/π=198,07 V;

(б) намират се фазови параметри (§1.1.): период T=1/f = 0,02 s = 20 ms, ъглова честота ω = 2πf =100π rad/s, начална фаза Ψu=arcsin[u(0)/um]=18,75° .

Окончателно, за моментната стойност сe записва: u(t)=umsin(ωt+Ψu )= 311,13sin(100πt+18,75° ) V;

(в) за комплексната стойност (§1.2) следва 75,18220 jj eeUU u == Ψ V.

Задача 1.2. Дадена е графиката на хармонично напрежение ( с плътна линия на фиг.1.3), от която са отчетени следните параметри: размах upp= 20 V, два последователни минимума отстоят по абсцисната ос на t1= -4,10 μs и t2= 8,40 μs, a началното отместване е t0= -1,78 μs. Да се намерят числено моментната стойност на напрежението и моментната мощност, определена от u(t) и ток i(t)=0,1sinωt A, означен с прекъсната линия (дребен щрих) на същата фигура.

Фиг.1.3.

Решение:(а) определят се амплитудни параметри (§1.1):

амплитудна стойност um= upp/2=10 V, ефективна стойност U=um/ 2 = 7,071V;

(б) намират се фазови параметри (§1.1): период T= t2-t1=12,50 μs, честота f= 1/T= 8.104 Hz = 80 kHz, ъглова честота ω = 2πf =16.104π rad/s, начална фаза Ψu= 360t0/T = 51,26°.

(в) в резултат се получава u(t)=umsin(ωt+Ψu )= 10sin(16.104πt + 51,26°) V;(г) моментната мощност (§1.1), показана на фиг.1.3 (кривата с едър щрих)

е равна на p(t)=u(t).i(t)=0,5[0,6258-cos(32.104πt + 51,26°)] VA ;(д) за комплексните ефективни стойности се получават (§1.2):

26,51.071.7 jj eeUU u == Ψ V, AeII ij 0707,0. == Ψ

, VAeIUS j 26,51.5,0==

∗.

Задача 1.3.

1-4

u(t) p(t) u

m

u(0) t

1 t

0 0 t

2 t

i(t) -u

m


За правоъгълните импулси на фиг.1.4а са отчетени: размах imax= -imin= 1,52 mA, два последователни предни фронта (вж. фиг.1.2а) отстоят по абсцисната ос на t0=0 и t2= 0,25 μs, а задният фронт между тях - на t1= 0.164 μs. За триъгълните импулси (фиг.1.4б) данните са: imax= 3,04 mA, imin=0, t0=0, t1=0,164 μs, t2= 0,25 μs. Да се определят останалите параметри на тези идеални импулсите.

аа. б.

Фиг.1.4.Решение:

(а) за импулсите на фиг. 1.4а се определят (§1.4): размах ipp= imax - imin= 3,04 mA, период на повторение Тп=t2-t0=250ns= 250.10-9 s, честота на повторение fп=1/Tп=4.106 Hz = 4 MHz, продължителност на импулса tи=t1-t0=164 ns= 164.10-9 s, коефициент на запълване kз=tи/Тп =0,656;

(б) за импулсите на фиг. 1.4б се определят (§1.4): размах ipp= imax - imin= 3,04 mA, период на повторение Tп= t2-t0=250 ns = 250.10-9 s, честота на повторение fп=1/Tп = 4.106 Hz = 4 MHz, време за нарастване tr = t1=164 ns = 164.10-9 s, скорост на нарастване vr=(imax - imin)/tr= 1,854.104 A/s, време за намаляване tf =t2-t1= 86 ns = 86.10-9 s, скорост на намаляване vf =(imax- imin)/tf = 3,535.104 A/s.

Задача 1.4. Дадена е графиката на реални правоъгълни напрежителни импулси (фиг.1.2б), за които са отчетени следните данни: umax= 8 V, umin= 0, tr 0,1= 0,01 μs, tr

0,.9= 0,153 μs, tf 0,9= 0,475 μs, tf 0,1= 0,772 μs, Tп= 1 μs. Да се определят останалите параметри на импулсите.

Решение:Определят се следните параметри (§1.4):

размах на импулса upp= umax - umin = 8 V, минимално ниво на отчитане u0,1= 0,1umax = 0,8 V, максимално ниво на отчитане u0,9= 0,9umax = 7,2 V, честота на повторение fп = 1/Тп= 1 MHz, време за нарастване tr = tr 0,9 -tr 0,1= 143 ns, време за намаляване tf = tf 0,1 -tf 0,9 = 297 ns, продължителност tи = tf 0,.9 -tr 0,.9 = 322 ns, коефициент на запълване kз=tи/Тп= 0,322, скорост на нарастване vr=(u0,9-u0,1)/tr = 44,76 106 V/s, скорост на намаляване vf =(u0,9-u0,1)/tf = 21,55 106 V/s.

1-5

imax

i(t)

0

t

t

0 t

1 t

2

i

min

imax

i(t)

imin

0 t1

t2

t


Задача 1.5. Дадено е импулсно напрежение, т.н. меандър, с коефициент на запълване kз=0,5, честота на повторение fп= 1 kHz, максимална стойност umax= 12 V и минимална стойност umin= 0. Да се определят останалите параметри на импулсите и хармониците на напрежението u(t) с индекс до N< 20, както и ефективната стойност на u(t).

Фиг.1.5.

Решение:(а) определят се следните параметри (§1.4):

периодът на повторение Tп=1/fп=1 ms = 10-3 s, моментите t2=T=1 ms, t1=T/2=0,5 ms, това следва от условието kз=t1/T=0,5;

(б) определят се коефициентите ak и bk с формули (2) (§1.3) в символен вид като се отчитат паузите във времето между t1 и t2:

∫∫ ====2

0

maxmax

0

0 122

22)(

2T

TT

uT

dtuT

dttuT

a ,

∫∫ ====2

0

20

maxmax

0

02

sin2

cos2

cos)(2

TT

T

k tT

kkT

utdtku

Tdttktu

Ta

πω

ωω за k=1,2,3,…

N,

∫ ∫ −=−===T

TT

k kk

ut

Tk

kT

utdtku

Tdttktu

Tb

0

max20

max2

0

max ).cos1(2

cos2

sin2

sin)(2 π

ππ

ωωω

(в) от последната формула, за k=1,2,3,… се изчисляват коефициентите bk, при това всички bk с четни индекси (2,4,6,...) се получават равни на нула. Остана-лите коефициенти bk са с нечетни индекси и имат следните числени стойности:b1= 2umax/π = 7,639, b7= 2umax/7π = 1,091, b13= 2umax/13π =0,588,b3= 2umax/3π = 2,546, b9= 2umax/9π = 0,849, b15= 2umax/15π =0,509, b5= 2umax/5π = 1,528, b11= 2umax/11π =0,694, b17= 2umax/17π =0,449, b19= 2umax/19π =0,402;

(г) параметрите на самите хармоници на напрежението u(t) се определят с формули (4), които в този случай се опростяват така:

(4а) 0,,2 )(

)()(

22)(

0)0( ==Ψ=+==

k

kkukkkkm b

aarctgbbau

aU .

Окончателно, в символен и числен вид описанието по формули (3) добива вида:

(3а) ∑∑=

+=Ψ++=19

,..3,11

)()()0( 2000sin124

6)sin()(k

N

kukm tkk

tkuUtu ππ

ω V;

(д) по формула (5) се определя ефективната стойност на u(t):

1-6

umax

u(t)

u

min t

0 t

1 t

2


VU 442,8)402,0449,0509,0588,0694,0849,0091,1528,1546,2639,7(6 2222222222212 =++++++++++=

Задача 1. 6 . Дадено е импулсно напрежение, т.н. меандър, с коефициент на запълване kз=0,25, честота на повторение fп= 1 MHz, максимална стойност umax= 1 V и минимална стойност umin= 0. Да се определят останалите параметри на импулсите (§1.4) и хармониците на напрежението u(t) с индекс до N< 6, а също и неговата ефективна стойност.

Фиг.1.6.

Решение:(а) определят се следните параметри (§1.4):

период на повторение Tп=1/fп=1 μs = 10-6 s, моментите t2=T=1 μs, t1=T/4=0,25 μs от условието kз=t1/T=0,25;

(б) определят се коефициентите ak и bk с формули (2) (§1.3) в символен вид като се отчитат в паузите по време между t1 и t2:

∫∫ ====4

0

maxmax

0

0 5,04

22)(

2T

TT

uT

dtuT

dttuT

a ;

2sin

2sin

2cos

2cos)(

24

0

40

maxmax

0

ππ

πω

ωω k

k

ut

Tk

kT

utdtku

Tdttktu

Ta m

TT

T

k ∫∫ ==== ;

∫ ∫ −=−===T

TT

kk

k

ut

Tk

kT

utdtku

Tdttktu

Tb

0

max40

max4

0

max ).2

cos1(2

cos2

sin2

sin)(2 π

ππ

ωωω

(в) от тези зависимости, за k=1,…,5 се изчисляват коефициентите ak и bk: a1= umax/π =1/π, b1= umax/π =1/π, a2= 0, b2= umax/π =1/ π, a3= -umax/3π = -1/3π, b3= umax/3π =1/3π, a4= 0, b4= 0, a5= umax/5π =1/5π, b5= umax/5π =1/5π;

(г) параметрите на самите хармоници на напрежението u(t) се определят с формули (4), които в този случай придобиват вида:

25,042

max0)0( === ua

U V,

,451,2)()()1(

)1()1(

max2max2max21

21)1(

===Ψ=+=+= arctgb

aarctg

uuubau um πππ

,00,)(0)2(

)2()2(

max2max22

22)2( ===Ψ=+=+= arctg

b

aarctg

uubau um ππ

1-7

umax

u(t)

u

min t

0 t

1 t

2


,451

1,2

3)

3()

3(

)3(

)3()3(

max2max2max23

23)3(

−=−==Ψ=+−=+= arctgb

aarctg

uuubau um πππ

,024

24)4( =+= baum

451,25

)5

()5

()5(

)5()5(

max2max2max25

25)5( ===Ψ=+=+= arctg

b

aarctg

uuubau um πππ

;Окончателно, моментаната стойност на напрежението u(t) се записва така:

++−++++= )4510.5sin(

5

2)4510.3sin(

3

210.2sin

1)4510sin(

2

4

1)( 6666

max ttttutu π

ππ

ππ

ππ

π

;(д) по формула (5) се определя ефективната стойност на u(t):

Vu

U 479,05

1

3

1

2

11

4

2222max =

+

+

++

= π

π.

1-8


2. Определяне на токоветe и напреженията в електрически вериги посредством основните закони

2.1. Величини и елементи на електрическите вериги в постоянен режим.Електрическите величини във вериги в постоянен работен режим са:

електрическо напрежение u, определя се между два възела на веригата, електрически ток i, определя се в клон на веригата, електродвижещо напрежение е на източник на е.д.н., електродвижещ ток je на източник на е.д.т., електрическа мощност p, определя се за всеки елемент от веригата.

Фиг.2.1.

Основните елементи на вериги при постоянен режим (постоянен ток): източник на постоянно напрежение е (фиг.2.1а), източник на постоянен ток je (фиг.2.1б), резистор със съпротивление R или проводимост G=1/R (фиг.2.1в).

2.2. Основни закони за електрическите вериги в постоянен режим.

а. б.Фиг.2.2.

Основните закони за вериги в постоянен режим са: закон на Ом за пасивен клон u=R.i, съответно i=G.u, обобщен закон на Ом за последователен активен клон (фиг.2.2a) ui+ei=R.i, за паралелен активен клон (фиг.2.2б) iu=je u+ G.u, първи закон на Кирхоф (за възлите) Σ(ik+ je,k)=0, втори закон на Кирхоф (за контурите) Σuk= Σek.

2.3. Величини и елементи на електрическите вериги в хармоничен режим.Електрическите величини във вериги при хармоничен работен режим са:

електрическо напрежение u(t)=umsin(ωt+Ψu ), в комплексен вид ujeUU Ψ= .

,

електрически ток i(t)=imsin(ωt+Ψi ), респ., ijeII Ψ= .

,

електродвижещо напрежение е(t)=еmsin(ωt+Ψе), респ., ejeEE Ψ= .

,

3-1

ie i

je i

R

u

e u

je u

R

e j

e R

a б в

e i R i G u j

e

u


електродвижещ ток je(t)= je msin(ωt+Ψje), респ., jejee eJJ

Ψ= .

,

електрическa мощност p(t)=u(t).i(t), респ.,

jQPeSeIUIUS jj +====∗ ϕϕ ...

.

Фиг.2.3.

Основните елементи на вериги в хармоничен работен режим са следните: източник на е.д.н. (фиг.2.3а) с напрежение е(t), източник на е.д.т. (фиг.2.3б) с ток je(t), резистор (фиг.2.3в) със съпротивление R, респ., проводимост G, бобина (фиг.2.3г) с индуктивност L, съпротивление XL=ωL, респ., BL=1/ωL, кондензатор (фиг.2.3д) с капацитет C, съпротивление XC=1/ωC, респ.,BC=ωC

2.4. Основни закони за електрическите вериги в хармоничен режим.

a. бФиг.2.4.

Основните закони за вериги в хармоничен режим са:

закон на Ом IZU .= за пасивен клон с съпротивление Z=R+jX ,

UYI .= за пасивен клон с проводимост Y=G-jB ,

обобщен закон на Ом IZEU II .=+ за последователен активен клон

(фиг.2.4а),

UYJI UeU ., += за паралелен активен клон (фиг.2.4б).

Правило 1: индексът I означава, че положителната посока се определя от тока. Правило 2: индексът U означава, че че положителната посока се определя от напрежението;

първи закон на Кирхоф (за възлите) 0)( , =+∑ kek JI

- важи за един възел,

втори закон на Кирхоф (за контурите) ∑ ∑= kk EU

- важи за един контур.

Задача 2.1.Да се определи напрежението u2 в изхода на напрежителен делител R1-R2

(фиг.2.5). Дадени са: е=5V, R1=8 kΩ, R2=2 kΩ.

3-2

ie(t) j

e(t) i

R(t) i

L(t) i

C(t)

e(t) j

e(t) R L C

u

e(t) u

je(t) u

R(t) u

L(t) u

C(t)

а б в г д

i R1

e u

1 Σ u

2

R2

Z Y=1/Z


Фиг.2.5.

Решение: (а) записва се зависимост по втория закон на Кирхоф за означения контур:

uR1+ u2 = e;(б) по закона на Ом uR1=R1.i и u2 =R2.i. и се изразява токът i=e/(R1+R2);

(в) замества се токът обратно в u2 =R2.i и се намира:

VRR

Ru

RR

Reu 1

10.210.8

10.25

33

3

21

21

21

22 =

+=

+=

+= .

Така се получава формулата за напрежителния делител 21

212 RR

Ruu

+=

Задача 2.2.Да се определи токът i1 в изхода на токовия делител R1-R2 (фиг.2.6).

Дадени са: jе=10mA, R1=3 kΩ, R2=2 kΩ.


(а) записва се зависимост по втория закон на Кирхоф за означения контур:uR2-uR1=0;

(б) заместват се uR1=R1.i1 и uR2 =R2.i2 и се изразява токът i2 :i2= i1.R1/R2;

(в) съставя се уравнение по първия закон на Кирхоф:i-i1-i2=0;

(г) в това уравнение се замества i2 от т. б и се определя търсеният ток:

.410.410.210.3

10.210.10 3

33

33

21

2

21

21 mA

RR

Rj

RR

Rii e ==

+=

+=

+= −− .

Така се получава формулата за токовия делител 21

21 RR

Rii

+= .

Задача 2.3.Да се определят токовете във веригата на фиг.2.7, да се направи баланс на

мощностите. Дадени са: e1=5 V, e3=2 V, R1=1 kΩ, R2=R3=2 kΩ.

3-3

R1 R

3

e

1 R

2 i

2 e

3

Σ Σ i

1 i

3

i R

1 R

2

je u Σ

i

1 i

2



(а) съставят се система от 3 уравнения по законите на Кирхоф:(i) i- i1 - i2 = 0 за единия възел,(ii) R1.i1 + R2.i2 = e1, R3.i3 - R2.i2 = e3 за двата контура;

(б) решава се системата от уравнения (i) и (ii):

.32233

12211

321

..

,..

,0

eiRiR

eiRiR

iii

=−=+=++−

намират се числените стойности .2

,1

,3

3

2

1

mAi

mAi

mAi

===

(в) проверява се балансът на мощностите: консумирани мощности

mWiRiRiRpppp RRRконс 19829... 233

222

211321 =++=++=++= ,

генерирани мощности mWieieppp eeген 19415.. 331131 =+=+=+= .

Задача 2.4.Да се определят токовете във веригата на фиг.2.8, да се провери балансът

на мощностите. Дадени са: e=15 V, je=0,25 A, R1=100 Ω, R2=150 Ω.


(а) съставят се система от 3 уравнения по законите на Кирхоф:(i) -i1 + i2 - je=0 за единия възел,(ii) R1.i1+ R2.i2 = e, uje- R2.i2 = 0 за двата контура;

(б) решава се системата от уравнения (i) и (ii):

.0.

,..

,0

22

2211

21

=−=+=−+−

iRu

eiRiR

jii

je

e

намират се числените стойности .24

,16,0

,09,0

2

1

Vu

Ai

Ai

je ==−=

(в) проверява се балансът на мощностите: консумирани мощности WiRiRppp RRконс 65,484,381,0.. 2

2221121 =+=+=+= ,

генерирани мощности Wjuieppp ejejeeген 65,4635,1.. 11 =+−=+=+= .

Задача 2. 5 . Да се определи напрежението u2(t) в изхода на напрежителен делител Z1-

Z2 (фиг.2.9). Дадени са: е(t)=5. 2 .sinωt V, Z1= 2 Ω, Z2=2.ej45°Ω.


3-4

i1 R

1

e R

2 j

e

Σ Σ i

2 u

je

4

Z1

Σ Z

2


(а) записва се e(t) като комплексна ефективна стойност VUЕ 51 ==

;

(б) съставя зависимост по втория закон на Кирхоф за означения контур:

(i) EUU Z =+ 21 ;

(в) по закона на Ом IZU Z .11 = и

IZU .22 = се заместват в (i) и се изразява

I :

(ii) )( 21 ZZEI +=

;

(г) замества се обратно токът от (ii) в IZU .22 = и се получава:

( )Ve

e

e

j

e

j

e

ZZ

ZU

ZZ

ZEU j

j

jjj

44,18

56,.26

454545

21

21

21

22 .1623,3

.1623,3

.25

)22

.25

2

2

2

222

.25 ==

+=

++

=+

=+

=

,

Така се получава формулата за напрежителния делител 21

212 ZZ

ZUU

+=

.Накрая се преминава към запис на реална функция u2(t)=4,469 sin(ωt+18,44°) V.

Задача 2.6.Да се определи токът i2(t) в изхода на токовия делител Z1-Z2 (фиг.2.10).

Дадени са: jе(t)=10 2 .sin(ωt-30°) mA, Z1=2.ej45° kΩ, Z2=2 kΩ.


(а) записва се je(t) като комплексна ефективна стойност 30.10 j

e eIJ −•

==mA;

(б) съставя зависимост по втория закон на Кирхоф за означения контур:

(i) 012 =−

ZZ UU ;

(в) по закона на Ом

111 .IZU Z = и

222 .IZU Z = се заместват в (i) и се

изразява 2

I :

(ii)

2112 /. ZZII = ;

(г) съставя се уравнение по първия закон на Кирхоф:

(iii) 021 =−−III ;

(г) замества се токът2

I от (ii) в (iii) и се определя търсеният ток:

3-5

Z

1 Σ Z

2


mAee

e

j

ee

e

ee

ZZ

ZII j

j

jjj

j

jj

50,7

50,22

154530

45

4530

21

12 4118,5

.8478,1

.10

12

2

2

2.10

2.2

.2.10 −−− ==

+

+

=+

=+

=

;

. Така се получава формулата за токовия делител 21

12

ZZ

ZII

+=

.

Накрая се преминава към запис на реална функция i2(t)=7,6535 sin(ωt-7,50°) mA.

Задача 2.7.Да се определят токовете във веригата на фиг.2.11 и да се направи баланс

на мощностите. Дадени са: e1(t)=5. 2 sinωt V, e3(t)=2. 2 .sin(ωt-90°) V, Z1=1 kΩ, Z2=j kΩ, Z3=-j kΩ.


(а) записват се e1(t) и e3(t) като комплексни стойности

2.2,5 9031 jeEE j −=== −

;

(б) съставят се зависимости по законите на Кирхоф:

(i) 0321 =++−III ,

(ii) 3223312211 ..,..EIZIZEIZIZ =−=+ ;

(в) решава се системата от 3 уравнения (i) и (ii):

.32233

12211

321

..

,..

,0

EIZIZ

EIZIZ

III

=−

=+

=++−

намират се:

..6056,332

,.33

,2

31,563

902

1

mAejI

mAejI

mAI

j

j

=+=

=−=

=

− или

.)31,56sin(.099,5)(

,)90sin(.2426,4)(

,sin.8284,2)(

3

2

1

mAtti

mAtti

mAtti

+=

−=

=

ω

ωω

(г) проверява се балансът на мощностите: консумирана:

mVAjjjZIZIZISSSS ZZZконс 441394... 3232

221

21321 −=−+=++=++=

,

генерирана мощност:

mVAjjIEIESSS EEген 444610.. 331131 −=−−=+=+=∗∗

.

Задача 2.8.Да се определят токовете във веригата на фиг.2.12, резултатите да се

потвърдят от баланса на мощностите. Дадени са: e(t)=15 2 .sinωt V, je(t)=0,25 2

.sin(ωt-90°) A, Z1=100 Ω, Z2=j100 =100.ej90° Ω.

3-6

Z1

Z

2

Σ Σ

Z1 Z

3

Σ Z

2

Σ



(а) записват се e(t) и je(t) като комплексни стойности

25,0.25,0,15 90 jeJE je −=== −

;

(б) съставят се зависимости по законите на Кирхоф:

(i) 021 =−+− eJII

,

(ii) 0.,.. 222211 =−=+IZUEIZIZ je ;

(в) решава се системата от 3 уравнения (i) и (ii):

.0.

,..

,0

22

2211

21

=−

=+

=−+−

IZU

EIZIZ

JII

je

e

следва

04,14

96,752

451

.615,20520

,.20615,02,005,0

,.0707,0)1(05,0

jje

j

j

ejU

ejI

ejI

−

−

=−=

−=−−=

−=−−=

.)04,14sin(.154,29)(

,)96,75sin(.2915,0)(

,)45sin(.1)(

2

1

Attu

Atti

Atti

je

−=

+−=

−−=

ωω

ω

(г) проверява се балансът на мощностите: консумирана:

VAjjZIZISSS ZZконс 25,44998,0100.20615,0100.0707,0.. 222

221

2121 +=+=+=+=

, генерирана:

.25,450,025,0).520()05,005,0(15.. 1 VAjjjjJUIESSS eJeJеEген +=−+−−=+=+=∗∗

.

Задача 2. 9 . Да се определи общият ток i(t) и токовете през елементите във веригата на

фиг.2.13а, резултатите да се потвърдят от баланса на мощностите. Дадени са: u(t)=umsinωt V, U=5V, ,50 Ω=R ,2 mHL = FC µ3= , ω=104 rad/s.Упътване: да се използват основните закони за непосредствено решение в областта на времето.

а. б.Фиг.2.13.

3-7

i(t) i

G(t) i

L(t) i

C(t)

u(t) R L C

i(t) G B u(t)


Решение: (а) определят се отделните проводимости (§ 2.3) G=R-1=0,02 S, BL=(ωL)-

1=0,05 S, BC=ωC=0,03 S;(б) определят се общата реактивна проводимост (фиг.2.13б) B=BL-BC=0,02

S и пълната проводимост по големина SBGy 202,022 =+= и по аргумент 45)( −=−= GBarctgϕ ;

(в) определя се общият ток по закона на Ом (§ 2.4) по големина - Ayui mm 2,0202,0.5.2. === и по начална фаза 45450 =+=−Ψ=Ψ ϕUI .

Окончателно, за общия ток се записва Attiti Im )4510sin(.2,0)sin(.)( 4 +=Ψ+= ω ,

за тока през резистора - AttGuti mG410sin.2.1,0sin..)( == ω ,

за тока през бобината - AttButi LmL )9010sin(.2.25,0)90sin(..)( 4 −=−= ω,

за тока през кондензатора - AttButi CmC )9010sin(.2.15,0)90sin(..)( 4 +=+= ω ;

(г) проверява се балансът на мощностите: генерирана: активна мощност WIUP 5,045cos)2/2,0.(5cos.. === ϕ , реактивна мощност VArIUQ 5,045cos)2/2,0.(5sin.. === ϕ , пълна мощност ;707,0)2/2,0.(5. VAIUS ===

консумирана: активна мощност WGUP 5,002,0.5. 22 === , реактивна мощност VArBUQ 5,002,0.5. 22 === , пълна мощност VAQPS 707,02.5,022 ==+= . Задача 2. 10 .

Да се определят моментните стойности на тока i(t) и на напреженията uR(t), uC(t) и uL(t) в схемата на фиг.2.14. Дадени са: Ω=100R ,9 mHL =

FC µ111,1= , tttutuUtu mm

44)3()1()0( 10.3sin410sin5,12103sinsin)( ++=++= ωω .

Фиг.2.14.Упътване: да се използват основните закони за непосредствено решение в областта на времето.

Решение:(а) решение за нулевия хармоник (честота ω= 0):

определят се реактивните съпротивления (§ 2.3) XL(0)=ωL=0, XC(0)=(ωC)-1→ ∞, определя се общото реактивно съпротивление X(0)=XL(0) - XC(0)=→-∞ и пълното

съпротивление −∞→+= 2)0(

2)0( XRz ,

oпределя се съставката i(0)(t) на тока i(t) по закона на Ом (§2.4) 0/ )0()0()0( == zui ,

3-8

uR(t)

i(t) R u(t) C u

C(t)

L u

L(t)


oпределя се съставката uR(0)(t) на напрежението uR(t) - 0)0()0( == RiuR , oпределя се съставката uL(0)(t) на напрежението uL(t) - 0)0()0()0( == LL Xiu , oпределя се съставката uC(0)(t) на напрежението uC(t) по втория закон на

Кирхоф (§2.4) VuuC 10)0()0( == ;

(б) решение за първия хармоник (честота ω=10 4 ): определят се реактивните съпротивления (§ 2.3) XL(1)=ωL=90 Ω,

XC(1)=(ωC)-1=90 Ω, определят се общото реактивно съпротивление X(1)=XL(1)-XC(1)=0 и импедансът

по големина Ω=+= 1002)1(

2)1( XRz и аргумент 0)/( )1()1( == RXarctgϕ ,

oпределя се съставката i(1)(t) на тока i(t) по закона на Ом (§2.4) по големина Azui mm 125,0/ )1()1()1( == и по аргумент 0)1()1()1( =−Ψ=Ψ ϕui ,

oпределя се съставката uR(1)(t) на напрежението uR(t) по закона на Ом по големина VRiu mmR 5,12)1()1( == и аргумент 0)1()1( =Ψ=Ψ iuR ,

oпределя се съставката uL(1)(t) на напрежението uL(t) по закона на Ом по големина VXiu LmmL 25,11)1()1()1( == и аргумент 9090)1()1( =+Ψ=Ψ iuL ,

oпределя се съставката uC(1)(t) на напрежението uC(t) по закона на Ом по големина VXiu CmmC 25,11)1()1()1( == и аргумент 9090)1()1( −=−Ψ=Ψ iuC ;

(в) решение за третия хармоник (честота 3 ω=3.10 4 ): определят се реактивните съпротивления (§ 2.3) XL(3)=3ωL=270 Ω,

XC(3)=(3ωC)-1=30 Ω, определят се общото реактивно съпротивление X(3)=XL(3)-XC(3)=240 Ω и

импедансът по големина Ω=+= 2602)3(

2)3( XRz и аргумент

96,68)/( )3()3( == RXarctgϕ ,

oпределя се съставката i(3)(t) на тока i(t) по закона на Ом (§2.4) по големина Azui mm 01538,0/ )3()3()3( == и аргумент 96,68)3()3()3( −=−Ψ=Ψ ϕui ,

oпределя се съставката uR(3)(t) на напрежението uR(t) по закона на Ом по големина VRiu mmR 538,1)3()3( == и аргумент 96,68)3()3( −=Ψ=Ψ iuR ,

oпределя се съставката uL(3)(t) на напрежението uL(t) по закона на Ом по големина VXiu LmmL 1538,4)3()3()3( == и аргумент 04,2190)3()3( =+Ψ=Ψ iuL

, oпределя се съставката uC(3)(t) на напрежението uC(t) по закона на Ом по

големина VXiu CmmC 4615,0)3()3()3( == и аргумент 96,15890)3()3( −=−Ψ=Ψ iuC ;

(г) общото решение представлява сума от съставките на величините:

Attiiiti )96,6810.3sin(01538,010sin125,0)( 44)3()1()0(

−+=++= ,

Attuuutu RRRR )96,6810.3sin(538,110sin5,12)( 44)3()1()0(

−+=++= ,

Attuuutu LLLL )04,2110.3sin(1538,4)9010sin(25,11)( 44)3()1()0(

+++=++=

Attuuutu CCCC )96,15810.3sin(4615,0)9010sin(25,1110)( 44)3()1()0(

−+−+=++=

.

3-9


3. Двуполюсни електрически вериги. Резонанс.

Двуполюсник е електрическа верига, която се разглежда спрямо два нейни извода (полюса). По-долу са разгледани задачи от вериги с източници в хармоничен работен режим. Задачите за анализ на вериги при постоянен режим и на пасивни вериги всъщност представляват частни случаи.

3.1. Взаимни преобразувания на елементарни двуполюсници.1. Пасивни двуполюсници.

Последователна еквивалентна схема Паралелна еквивалентна схема (фиг.3.1а). (фиг.3.1б).

jXRjzzezIUZ j +=+=== ϕϕϕ sin.cos..

jBGjyyUIZY −=−=== − ϕϕ sin.cos.1

а. б.Фиг.3.1.

Преобразуване на паралелна в Преобразуване на последователна последователна еквивалентна схема в паралелна еквивалентна схема

( ).,

,,

22

222222

RXarctgXRz

BG

B

y

BX

BG

G

y

GR

=+=

+==

+==

ϕ

( )GBarctgBGy

XR

X

z

XB

XR

R

z

RG

−=+=

+==

+==

ϕ,

,,

22

222222

2. Активни двуполюсници.Последователна еквивалентна схема Паралелна еквивалентна схема (фиг.3.2а). (фиг.3.2б).

а. б.Фиг.3.2.

Преобразуване на паралелна в Преобразуване на последователна последователна еквивалентна схема в паралелна еквивалентна схема

.,1

Je

e

JeE Y

JE

YZ

== .,1

Ee

EJe Z

EJ

ZY

==

Правило 1: източник на е.д.н. се изключва като се замени с късо съединение! 3-10

Y

Je

ZE

R

jX

G -jB


Правило 2: източник на е.д.т. се изключва като се прекъсне (не се означава)!

3.2. Еквивалентни канонични схеми на съединения от активни двуполюсни вериги без индуктивна връзка.

1. Последователно съединение от последователни двуполюсници.

Последователно съединение от двуполюсници с параметри kk ZЕ −

(фиг.3.2а) се преобразува в канонична схема с параметри ∑= kZZ и е.д.н.

∑= kЕE

.

Фиг.3.3.

Пример: съединението на фиг.3.3а се преобразува в канонична схема (фиг.3.3б) с

параметри 21 ZZZ += и 21

ЕЕE −= .

2. Последователно съединение от паралелни двуполюсници.

Двуполюсници с параметри kJeke YJ ,, −

(фиг.3.2б) предварително се

преобра-зуват в двуполюсници с последователна еквивалентна схема (фиг.3.2а), после преобразуването в канонична схема продължава по реда, даден в §3.2, т.1 по-горе.

3. Паралелно съединение от паралелни двуполюсници.

Паралелно съединение от двуполюсници с параметри kJeke YJ ,, −

(фиг.3.2б) се преобразува в канонична схема с параметри ∑= kYY и е.д.т.

∑= kee JJ ,

.

а. б.Фиг.3.4.

Пример: съединението на фиг.3.4а се преобразува в канонична схема (фиг.3.4б) с

параметри 21 YYY += и 2,1, eee JJJ

−= .

4. Паралелно съединение от последователни активни двуполюсници.

Двуполюсници с параметри kk ZЕ −

(фиг.3.2а) предварително се преобра-

зуват в двуполюсници с паралелна еквивалентна схема (фиг.3.2б), после преобразуването в канонична схема продължава по реда, даден в §3.2, т.3 по-горе.

3-11

Z1

Z2

а.

а.

Z

б.

Y

Y

1 Y

2


3.3. Еквивалентни канонични схеми на съединения от пасивни двуполюсни вериги с индуктивна връзка.

1. Последователно съединение. Последователно съединение с Двуполюсна еквивалентна схема взаимна индуктивна връзка (фиг.3.5а). без индуктивна връзка (фиг.3.5б).

а. б.Фиг.3.5.

.

,

,

222

111

MjZ

LjRZ

LjRZ

M ωω

ω

=+=

+=

)2(

2

)(2121

)(21

MLLjRRZ

илиZZZZ M

±+++=

±+=

ω .

Знакът “плюс” важи, когато индуктивното съединение е съгласувано, т.е. токът в двете бобини е насочен към едноименните им краища (означени с *).

В противен случай, при разменен край на Z2, означен с (*), индуктивното съединение е несъгласувано и важи знак “минус”.

2. Паралелно съединение. Паралелно съединение с Двуполюсна еквивалентна схема взаимна индуктивна връзка (фиг.3.6а). без индуктивна връзка (фиг.3.6б).

а. б.Фиг.3.6.

.

,

,

222

111

MjZ

LjRZ

LjRZ

M ωω

ω

=+=

+=

M

M

ZZZ

ZZZZ

2

.

)(21

221

+−

=

Горният знак се отнася за съгласувано съединение, а долният – за несъгласувано съединение.

3. Триполюсно съединение. Триполюсно съединение с Триполюсна еквивалентна схема взаимна индуктивна връзка (фиг.3.7а). без индуктивна връзка (фиг.3.7б).

а. б.Фиг.3.7.

3-12

Z

* Z

M *

Z

1 Z

2

(*)

Z

Z1

a * Z

2 Z

M

c

b *

(*)

Za

a Zc

Z

b

c

b

ZM

Z1 Z

2

* (*) *


.

,

,

222

111

MjZ

LjRZ

LjRZ

M ωω

ω

=+=

+=

.

,

,

2

1

Mc

Mb

Ma

ZZ

ZZZ

ZZZ

±===

Горният знак се отнася за съгласувано съединение, а долният – за несъгласувано съединение.

4. Трансформаторно съединение (фиг.3.8а).

.

,

,

222

111

MjZ

LjRZ

LjRZ

M ωω

ω

=+=

+=

Фиг.3.8a.Четириполюсна еквивалентна схема Двуполюсна еквивалентна схема без индуктивна връзка (фиг.3.8б). без индуктивна връзка (фиг.3.8в).

T

Me ZZ

ZZZ

+−=

2

2

11

Фиг.3.8б. Фиг.3.8в.

Във формулата за еквивалентния импеданс Z1e на втората схема (фиг.3.8в) участва товарно съпротивление ZT, включено в изхода на трансформаторното съединение.

3.4. Резонанс на напрежения в двуполюсни вериги.

Условие за фазов резонанс: φр=0. От формулата за аргумента φ = arctg(X/R) следват условията (фиг.3.9): Xр=0, XLр=XCр, Uр=URр, ULр=UCр, Qр=0.

Фиг.3.9.

Резонансни параметри: честота LCp 1=ω , характеристично

съпротивление CLXX CpLp ===ρ , качествен фактор RQ /ρ= , запасена

енергия 22. ppp CUILW == .

3-13

1

2

* ZM

*

Z

1 Z

2

1’ 2’

Z

1е

1

2

Z1-Z

M Z

2-Z

M

Z

M

1’ 2’

R L R C

1 I/I

p

0.707 2Δω

1

2Δω

2

0 ω ω

2’ ω

1’ ω

p ω

1” ω

2”


Фиг.3.10.

Честотни параметри: абсолютна разстройка ω..2 ∆ , относителна разстройка pωωδ ..2 ∆= , обобщена разстройка Qa .δ= , лента на пропускане

707.0..2 ω∆ . Определят се по честотните характеристики, напр., I/Ip (фиг.3.10).

3.5. Резонанс на токове в двуполюсни вериги.

Условие за фазов резонанс: φр=0. От формулата за аргумента φ=arctg(B/G) следват условията (фиг.3.10): Bр=0, BLр=BCр, Iр=IGр, ILр=ICр, Qр=0.

Фиг.3.11.

Резонансни параметри: честота LCp 1=ω , характеристична

проводимост LCBB CpLp /===γ , качествен фактор GQ /γ= , запасена енергия 22. ppp CUILW == .

Честотнитe параметри се определят от характеристиката U/Up(ω), подобна на тази на фиг.3.10.

Задача 3.1.Да се определят токът

I и напрежението

U , както и параметрите R,L,C

(фиг.3.12). Дадени са: eJ

=1 А, Y=0,4.ej60° S, YJe=0,2 S, ω=2.105 rad/s.


(a) определя се токът I съгласно правилото за токовия делител:

Aee

e

e

e

YY

YJI j

j

j

j

j

Jee

11,19

89,40

60

60

60

.7559,0.529,0

.4,0

2,0.4,0

.4,0 ==+

=+

=

(б) определя се токът I след преобразуване на паралелния двуполюсник

eJ

-YJe в последователен двуполюсник EZE−

(§ 3.1, фиг.3.2):

3-14

Y

Je

Y

G L C

1 I/Ip

0.707 2Δω

1

2Δω

2

0 ω ω

2’ ω

1’ ω

p ω

1” ω

2”


;.7559,03229,1

1

433,025,01

1

5.25

5

,52,0/11,5,24,0/11,52,0/1/

11,19

11,1960

6060

AeejeZZ

EI

YZeeYZVYJE

j

jjE

JeEjj

Jee

==−+

=+

=+

=

Ω===Ω======

−−

−

(в) определя се напрежението ;8898,14,0

.7559,0 89,40

60

11,19

Vee

e

Y

IU j

j

j

−===

(г) определят се параметрите на елементите:

eJ

=1 А означава je(t)= 2 .sinωt;

YJe=0,2 S означава резистор със съпротивление RJe=5Ω, Y=0,4.ej60°=0,2+j0,3464 описва проводимост на паралелен двуполюсник,съставен от резистор с R=5Ω и кондензатор с C=BC/ω= 0,3464/2.105=1,732 μF.

Задача 3. 2 . Да се определи напрежението

U на входа на схемата (фиг.3.13а), като преди това схемата се преобразува в елементарен активен двуполюсник

(фиг.3.13б). Дадени са:I =6 mA, 1,eJ

=5 mА,Y1=0,2.ej45°mS,

2E =10 V, Z2=1 kΩ,

3E =15.ej30° V, Z3=1 kΩ,

4E =5.ej60° V, Z4=1 kΩ.

а. б.Фиг.3.13.

Решение:

(a) преобразува се двуполюсникa 1,eJ

-Y1 в последователен

1E -Z1

(§3.1,фиг.3.2а)

;535,3535,3.5/1,678,17678,17.252,0/5/ 4511

454511,1 Ω−===−==== −− kjeYZVjeeYJE jjj

e

(б) преобразува се съединението в клон 1-3 в канонична схема

13E -Z13 (§ 3.2,

фиг.3.3):

;535,3535,4,678,17678,2710)1(678.17 21132113 Ω−=+=−=+−=+= kjZZZVjjЕЕЕ

(в) преобразува се съединението между възли 3-4 в последователна канонична

схема

34E -Z34 в следния ред:

всеки от двата двуполюсника се преобразува в паралелен (§ 3.1, фиг.3.2б):

;1/1,33,450,210.510/.5/

;1/1,50,799,1210.1510/.15/

44603360

444,

33303330

333,

mSZYmAjeeZEJ

mSZYmAjeeZEJ

jje

jje

==+====

==+====

−

−

двата паралелни двуполюсника обединяват се в обща схема 34,eJ

-Y34 (§ 3.2,

3-15

Z2

1 Y

1

3

Z3 Z

4

4 2

1

Z

12

2


фиг.3.4):

;2,.959,1017,349,10 433481,16

4,3,34, mSYYYmAejJJJ jeee =+==+=−=

така получената схема се преобразува в последователна

34E -Z34

(§3.1,фиг.3.2а):

;5,010.2/1/1,585,1245,5479,52/959,10/ 33434

81,1681,163434,34 Ω===+==== − kYZVjeeYJЕ jj

e

(г) обединяват се двата двуполюсника

13E -Z13 и

34E -Z34 (§ 3.2, фиг.3.3):

;535,3035,5,263,1943,22)585,1245,5(678,17678,27 341312341312 Ω−=+=−=+−−=−= kjZZZVjjjEЕЕ

(д) накрая се определя напрежението U по обобщения закон на Ом (фиг.3.13б)

..017,847,19777,710).535,3035,5.(10.6)263,1943,22(. 06,14331212 VejjjZIЕU

−− =−=−+−−=+−=

Задача 3. 3 .

Да се определят токът 'I и мощността '

S при съгласувано свързване, както

и "I и "

S при несъгласувано свързване на двата индуктивни

двуполюсника (фиг.3.14). Да се сравнят стойностите на двата резултата. Дадени са: Vttu )3010sin(2.10)( 5 += , ,11 Ω= kR ,22 Ω= kR ,101 mHL =

,82 mHL = .6 mHM = Упътване: да се използва преобразуване в схема без индуктивна връзка (§ 3.3, фиг.3.5).


(а) oпределят се комплексните параметри: 30.10 jеU = ,

Ω=+=++++= kejMLLjRRZ j 452121

' .2426,4)33()2(ω и

Ω=+=−+++= kejMLLjRRZ j 31,112121

" .0594,3)6.03()2(ω;

(б) oпределят се токовете:

mAeeeZUI jjj 154530 .357,2.2426,4.10'/' −=== и

mAeeeZUI jjj 69,1831,1130 .2686,3.0594,3.10"/" ===

(в) oпределят се мощностите:

mVAjeeeIUS jjj 67,1667,16.57,23.357,2..10'.' 451530 +====∗

и

mVAjeeeIUS jjj 41,605,32.686,32.2686,3..10"." 31,1169,1830 +==== −∗

3-16

B

R1 (*) L

1 * M L

2 * R

2


Задача 3.4.

Да се определят токът I и мощността

S на паралелното индуктивно

съединение (фиг.3.15). Дадени са: Vttu )3010sin(2.10)( 5 += , ,11 Ω= kR ,22 Ω= kR ,101 mHL = ,82 mHL = .6 mHM =

Упътване: да се използва преобразуване в схема без индуктивна връзка (§ 3.3, фиг.3.6).


(а) oпределят се комплексните параметри: 30.10 jеU = и

Z1=R1+jωL1= 103+j1.10-2.105= (1+j)1000 Ω = 1,4142.ej45° kΩ, Z2=R2+jωL2= 103+j8.10-3.105= (1+j0,8)1000 Ω = 1,28.ej38,66° kΩ, ZM=jωM= j6.10-3.105= j600 Ω = 0,6.ej90° kΩ;

(б) изчислява се еквивалентното съпротивление Z (§ 3.3, фиг.3.6б) на каноничната схема при несъгласувано паралелно съединение (§ 3.3, фиг.3.6а):

;.5227,0.606,3

.885,1

32

8,156,0

6,028,011

)6,0()8,01).(1(

2

. 41,16

31,56

72,722

21

221 Ω==

++

=++++−++

=++−

= kee

e

j

j

jjj

jjj

ZZZ

ZZZZ j

j

j

M

M

(в) определя се токът ;.13,19.5227,0.10/ 59,1341,1630 mAeeеZUI jjj ===

(г) определя се мощността

mVAeeеIUS jjj 41,1659,1330 .3,191.13,19..10. === −

∗.

Задача 3.5.

Да се определят токът I и мощността

S на паралелното индуктивно

съединение (фиг.3.15). Дадени са: Vttu )3010sin(2.10)( 5 += , ,11 Ω= kR

,22 Ω= kR ,101 mHL = ,82 mHL = .6 mHM = Упътване: да се използва преобразуване в триполюсна схема без индуктивна връзка (§ 3.3, фиг.3.7).Решение:

(а) oпределят се комплексните параметри: 30.10 jеU = и

Z1=R1+jωL1= 1+j kΩ, Z2=R2+jωL2 =1+j0,8 kΩ, ZM=jωM=j0,600 kΩ;(б) изчисляват се параметрите на еквивалентната схема без индуктивна

връзка (§ 3.3,фиг.3.7б) при несъгласувано триполюсно съединение (§ 3.3,фиг.3.7а):Ω+=+= kjZZZ Ma 6,111 , Ω+=+= kjZZZ Mb 4,112 ,

.6,0 Ω−=−= kjZZ Mc ; (в) изчислява се еквивалентното съпротивление Z на цялата верига (§ 3.3,

фиг.3.7б) при изводи а и b свързани накъсо:

;.5227,032

8,156,06,0

32

324,16,0

4,116,11

)4,11).(6,11(. 41,16 Ω=++

=−+

+−=−

+++++

=++

= kej

jj

j

jj

jj

jjZ

ZZ

ZZZ j

cba

ba

(г) определя се токът ,.13,19.5227,0.10/ 59,1341,1630 mAeeеZUI jjj ===

3-17

*

M L

1 L

2

* R

1 R

2


(д) определя се мощността

mVAeeеIUS jjj 41,1659,1330 .3,191.13,19..10. === −

∗.

Задача 3.6.

Да се определят токът10I на трансформаторно съединение (фиг.3.16) при

прекъсната верига в страна 2 и токътkI1

при късо съединение в страна 2. Дадени

са: Vttu )3010sin(2.10)( 51

+= , ,11 Ω= kR ,22 Ω= kR ,101 mHL =

,82 mHL = .6 mHM = Упътване: да се използва преобразуване в схема без индуктивна връзка (§ 3.3,

фиг.3.8б) за определяне на тока10I , а схемата на фиг.3.8в – за определяне на

тока kI1

.

Фиг.3.16. Решение:

(а) oпределят се комплексните параметри (вж. задача 3.4): 30

1 .10 jеU = и

Z1=R1+jωL1=1,4142.ej45° kΩ , Z2=R2+jωL2=1+j0,8 kΩ, ZM=jωM=j0,6 kΩ;

(б) определя се 10I по схемата на фиг.3.8б като се отчете, че Z10=Z1-ZM+

ZM:

mAeeеZUI jjj 154530

1110 .071,7.4142,1.10 −===

(в) определя се токът кI1

по схемата на фиг.3.8в като се вземе предвид, че

,.957,0712,064,0)8,01()6,0(1 05,4822

211 Ω=+=+−+=−= kejjjjZZZZ j

Me

следва: mAeeеZUI jjjek

05,1805,4830

111 .449,10.957,0.10 −=== .

Задача 3.7.Да се определи честотата, на която във веригата (фиг.3.17а) настъпва

резонанс на напрежения. Дадени са: L1=4 mH, L2=3 mH, C=5 μF. Да се определи честотната лента на пропускане 707,0..2 ω∆ (§ 3.4), ако последователно на схемата се включи резистор със съпротивление R=5 Ω .


(а) записват се съпротивленията в символен вид: Z1=jωL1, Z2=jωL2 и ZС=1/jωС, както са означени на схемата (фиг.3.17б).

3-18

R1 R

2

M * * L

1 L

2

L2

L

1

а. C

Z2

Z

1

Z

C

б.


(б) формулира се изразът за еквивалентното съпротивление Z на тази схема по следния ред: записва се съпротивлението Z2C на параленото съединение Z2-ZC (§3.2,фиг.3.4б):

CC ZZZ

111

22+= , откъдето следва

CL

Lj

CjLj

CjLj

ZZ

ZZZ

C

CC

22

2

2

2

2

22

11

1..

ωω

ωωωω

−=

+=

+= ;

записва се съпротивлението Z на последователното съединение (§ 3.2,фиг.3.3б):

jXXXjCL

CLLj

CL

LLj

CL

LCLLLj

CL

LjLjZZZ CpLpC =−=

−−

−+=

−+−=

−+=+= )(

1.

111 22

214

22

21

22

2212

1

22

2121 ω

ωωω

ωω

ωωωωω

; (в) полага се условието за резонанс на напрежения X=0 (§ 3.4). Това условие се изпълнява, когато изразът в числителя се приравни на нула. Получават се три решения :

( )s

radCLL

LL10801

10.5.10.3.4

10.34

..,0

66

3

21

213,21 ±=+±=

+±==

−−

−ωω ,

но физически смисъл има само честотата ω2= 10801 rad/s, f2 =1719 Hz. (г) определя се честотната лента на пропускане 2Δω0,707=δ.ωр както следва: резонансно съпротивление

Ω=−

+=−

+===

−−

−82,100

10.5.10.3.108011

10).34(.10801

1 632

3

222

212

CL

LLXX CpLp

ωωρ

, качествен фактор Q=ρ/R=100,82/5=20,16 обобщена разстройка δ на ниво 0,7071 (a0,707=1), δ=a0,707/Q=0,0496, честотна лента 2Δω0,707= δ.ω2=535,73 rad/s, 2Δf0,707=2Δω0,707/2π= 85,26 Hz.


резонанс на токове. Дадени са: L1=4 mH, L2=3 mH, C=5 μF.

Решение: (а) записват се съпротивленията в символен вид: Z1=jωL1, Z2=jωL2 и ZС=1/jωС,

както са означени на схемата (фиг.3.17б).(б) формулира се изразът за еквивалентното съпротивление Z на тази схема по

следния ред: записва се съпротивлението Z2C на параленото съединение Z2-ZC (§3.2,фиг.3.4б):

CC ZZZ

111


CL

Lj

CjLj

CjLj

ZZ

ZZZ

C

CC

22

2

2

2

2

22

11

1..

ωω

ωωωω

−=

+=

+= ;

записва се съпротивлението Z на последователното съединение (§ 3.2,фиг.3.3б):

jBCL

LCLLLj

CL

LjLjZZZ C

1

11 22

2212

1

22

2121 −=

−+−=

−+=+=

ωωω

ωωω

(в) полага се условието за резонанс на токове В=0 (§ 3.5). Това условие се изпълнява, когато изразът в знаменателя се приравни на нула. Получават се две решения :

srad

CL8165

10.5.10.3

1

.

1

6322,1 ±=±=±=

−−ω ,

3-19


но физически смисъл има само честотата ω1= 8165 rad/s, f1 =1299,5 Hz.


резонанс на напрежения. Дадени са: L1=4 mH, L2=3 mH, M=2 mH, C=5 μF.


(а) формулира се изразът за еквивалентното съпротивление Z на тази схема по следния ред: прилага се преобразуване на схемата (фиг.3.18а) в триполюсно съединение без индуктивна връзка (§ 3.3,фиг.3.7б), получава се веригата на фиг.3.18б; записват се импедансите в символен вид съобразно означенията на фиг.3.18б:

Z1=jω(L1 М), Z2=jω(L2 М), ZС=1/jωС ±jωМ, ; записва се импедансът Z2C на параленото съединение Z2-ZC (§ 3.2, фиг.3.4б):

CC ZZZ

111


CL

MCMLj

CjLj

MjCjMLj

ZZ

ZZZ

C

CC

22

22

2

2

2

22

1

)1).((1

)1).((.

ωωω

ωω

ωωω

−=

+

±=

+=

;

записва се импеданса Z на последователното съединение (§ 3.2, фиг.3.3б):

jXCL

CMLLMLLj

CL

MCMLjMLjZZZ C =

−−−+=

−+=+=

22

221

221

22

22

1211

)(2

1

)1).(()(

ωωω

ωωωω

; (б) полага се условието за резонанс на напрежения X=0 (§ 3.4). Това условие се изпълнява, когато изразът в числителя се приравни на нула. Получават се пет решения:

;15000,11180,10.5.10).23.4(

10).234(

).(

2,0 5,43,2662

3

221

215,4,3,21 ±±=

−

+±=

−

+±==

−−

−ωωωω

CMLL

MLL

но физически смисъл имат само две честоти: ω2=11180 rad/s, f2=1779 Hz при съгласувано съединение и ω4=15000 rad/s, f4 =2387 Hz при несъгласувано. Задача 3.10.

Да се определи капацитетът С на кондензатора, за който във веригата (фиг.3.18а) настъпва резонанс на токове при честота f=1300 Hz. Дадени са: L1=4 mH, L2=3 mH, M=2 mH. Да се определи честотната лента 707,0..2 ω∆ (§ 3.5), ако паралелно на входа на схемата се включи резистор със съпротивление R=200 Ω .

Решение: (а) формулира се изразът за еквивалентното съпротивление Z на тази схема по

следния ред: определя се ъгловата честота ωp=2πf=2π1300=8168 rad/s; прилага се преобразуване на схемата (фиг.3.18а) в триполюсно съединение без индуктивна връзка (§ 3.3, фиг.3.7б), получава се веригата на фиг.3.18б;

3-20

M L2

L

1 * b

a c (*) * a. C

L2 M

L1 M b

a c б. ± M C


записват се импедансите в символен вид съобразно означенията на фиг.3.18б: Z1=jω(L1 М), Z2=jω(L2 М), ZС=1/jωС ±jωМ; записва се съпротивлението Z2C на параленото съединение Z2-ZC (§3.2,фиг.3.4б):

CC ZZZ

111

22+= , следва

CL

MCMLj

CjLj

MjCjMLj

ZZ

ZZZ

C

CC

22

22

2

2

2

22

1

)1).((1

)1).((.

ωωω

ωω

ωωω

−=

+

±=

+=

;

записва се импеданса Z на последователното съединение (§ 3.2, фиг.3.3б):

YCL

CMLLMLLjZZZ C

1

1

)(2

22

221

221

21 =−

−−+=+=ωωω

или

jBBBjCMLLMLLCMLLMLL

CLjY CL −=−−=

−−+−

−−+−= )(

])(2[

1

)(2 221

221

221

221

2

ωωωω

(б) полага се условието за резонанс на токове В=0 (§ 3.5). Това условие се изпълнява, когато изразът в знаменателя на Z се приравни на нула. Получава се:

FL

Cp

µω

996,410.3.8168

1132

22

===− .

(в) определя се честотната лента на пропускане в следния ред: резонанснa проводимост γ=BCp= BLp:

,3672,0]10.996,4.10.8.816810.3[8168

1

])(2[

166232

212

21

SCMLLMLL

=−

=−−−+

=−−−−

ωωγ

,01933,0]10.996,4.10.8.816810.10[8168

1

])(2[

166232

212

21

SCMLLMLL

=−

=−−++

=−−−+

ωωγ

качествен фактор Q-=γ-/G= γ-.R=0,3672.200=73,44, Q+=3,866, обобщена разстройка δ0,707=a.Q за a=1, δ-=a/Q-=0,01362, δ+= a/Q+=0,2587, честотна лента 2Δω0,707-= δ-.ωp =111,3 rad/s, 2Δf0,707-= 17,71 Hz, 2Δω0,707+= δ+.ωp = 2113,06 rad/s, 2Δf0,707+=336,30 Hz.

Числените резултатите потвърждават връзката между стойностите на Q и честотната лента 2Δω0,707, по-тясна лента се определя посредством по-голям качествен фактор и обратно (§ 3.4, фиг.3.10).

Задача 3.11.Да се определи резонансната честота на трансформаторната схема

(фиг.3.19а). Дадени са: L1=9 mH, L2=4 mH, M=3 mH, C=0,2 μF.Упътване: да се преобразува трансформаторното съединение (фиг.3.8а) в четириполюсна схема без индуктивна връзка (§ 3.3, фиг.3.8б).

a. б. в.Фиг.3.19.

Решение:

3-21

* M * L

1 L

2 C

L

1-M L

2 -M

M C

Z1

Z

M Z

2


(а) формулира се изразът за еквивалентното съпротивление Z на двуполюс-ника по следния ред: прилага се преобразуване на схемата (фиг.3.19а) в трансформаторно съедине-

ние без индуктивна връзка (§ 3.3,фиг.3.8б), получава се веригата на фиг.3.19б; записват се импедансите в символен вид съобразно означенията на фиг.3.19в:

Z1=jω(L1-М), Z2=jω(L2-М)+1/jωС, ZM=jωМ, записва се импедансът Z2М на паралелното съединение Z2-ZМ (§3.2, фиг.3.4б):

CL

CMLMj

MjCjMLj

MjCjMLj

ZZ

ZZZ

M

MM

22

22

2

2

2

22

1

])(1.[1)(

].1)([.

ωωω

ωωω

ωωω

−−−=

++−

+−=

+= ;

записва се съпротивлението Z на последователното съединение Z1-Z2М (§3.2, фиг. 3.3б):

jBjX

CL

CMLLLj

CL

CMLMjMLjZZZ M

1

1

)(

1

])(1[)(

22

221

21

22

22

121 −==−

−−=

−

−−+−=+=

ωω

ωω

ωωω

; (б) полага се условието за резонанс на напрежения X=0 (§ 3.4). Това условие се изпълнява, когато изразът в числителя се приравни на нула. Получават се три решения:

,/4082510.2,0.10).34.9(

10.9

).(,0

662

3

221

13,21 srad

CMLL

L±=

−±=

−±==

−−

−ωω

но физически смисъл има само честотата ω2=40825 rad/s, f2=6947 Hz; (в) полага се условието за резонанс на токове В=0 (§ 3.5).. Това условие се изпълнява, когато изразът в знаменателя се приравни на нула, получават се две решения :

,/3535510.2,0.10.4

1

.

1

6325,4 srad

CL±=±=±=

−−ω

но физически смисъл има само честотата ω4= 35355 rad/s, f4 =5627 Hz.

Задача 3.12.Да се определи коефициентът на взаимна индукция М, за който в

трансформаторната схема (фиг.3.19а) натоварена с кондензатор, настъпва резонанс на честота f=10 kHz. Дадени са: L1=9 mH, L2=4 mH, C=0,2 μF.Упътване: Да се преобразува трансформаторното съединение (фиг.3.8а) в двуполюсна схема без индуктивна връзка (§ 3.3, фиг.3.8в).

Решение: (а) формулира се еквивалентното съпротивление Z на двуполюсника:

определя се числено кръговата честота ω=2πf=2π.104=62832 rad/s; записват се съпротивленията в символен вид: Z1=jωL1, Z2=jωL2, ZM=jωМ, формулира се изразът на съпротивлението Z1e ((§ 3.3, фиг.3.8в):

jBjX

CL

CMLLLj

CL

MCjLj

CjLj

MjLj

ZZ

ZZZ

C

Me

1

1

)(

1

)(1)(

22

221

21

22

2

12

2

12

2

11 −==−

−−=−

+=+

−=+

−=ω

ωωω

ωωωωω

ωω

; (б) полага се условието за резонанс на напрежения X=0 (§ 3.4). Това условие се изпълнява, когато изразът в числителя се приравни на нула,

3-22


mHHC

LLLM 96,410.96,4

10.2,062832

10.910.4.9 3

62

36

21

21 ±=±=−±=−±= −−

−−

ω

,знакът ± показва, че резонансът се запазва независимо от вида на съгласуване.

3-23


4. Методи и теореми за анализ на разклонени електрически вериги.

4.1. Методи за анализ на електрически вериги.Всяка електрическа верига се състои от m клона, свързани в n възли, които

определят топологична структура от k независими контура и n-1 независими възела. Тези данни представляват топологичната (структурната) спесификация на веригата.

Специфичен е анализът при вериги, в които има особености: схема, в която има клон с идеален източник, схема, в която има съединение с взаимноиндуктивни връзка, схема, в която има клон със зависим източник.

Метод с клоновите токове.

Неизвестни са токовете pI

във всички m клонове на конкретна верига (p=1,

…,m). Те се намират от решението на система от m уравнения, а именно: n-1 уравнения съставени по първия закон на Кирхоф от вида:

∑=

=

+

m

p

pep JI1

, 0

,

k=m-(n-1) уравнения - по втория закон на Кирхоф: ∑∑==

=m

q

q

m

q

q EU11

, за qqq IZU

.= .

Метод с контурните токове.Неизвестни са k фиктивни контурни токове, всеки от които преминава в

един от k на брой независими контури на конкретна верига.Решението се търси по следния ред:

(а) избират се k контура, те и прилежащите им токове pcI ,

се номерират

се с p=1,…,k, означават се еднообразно посоките на движение по контурите.

Забележка1: токът на идеален източник на е.д.т. peJ ,

задължително се избира за

контурен ток pcpe IJ ,,

= , така се намалява общият брой на неизвестните.

Забележка2: за токовете в клоновете, свързани към възел 0, се избират посоки, насочени към този възел;

(б) за всеки контур се определят следните контурни параметри: собствено контурно съпротивление Zpp, равно на сумата от съпротивленията в

р-тия контур ∑=

=m

s

spp ZZ1

,

взаимно контурно съпротивление pqZ , съпротивлението между два съседни контура р-ти и q-ти,

контурно е.д.н. ∑=

±=m

s

spp ЕЕ1

, алгебрична сума от е.д.н. в контур р, знакът

“плюс” се записва, ако посоките на контурния ток pcI ,

и е.д.н. sЕ

съвпадат;

5-1


(в) съставят се k уравнения pp

m

qp

pqqcpppc EZIZI

=±+ ∑=≠ 1

,, .. ,по едно за

всеки контур, знакът “плюс” се записва, ако посоките на контурните токове pcI ,

и qcI ,

през съпротивлението Zpq съвпадат ;

(г) решава се системата от k, намират се контурните токове, които най- често съвпадат с клоновите токове във външните клонове на веригата;

(д) накрая по първия закон на Кирхоф се намират останалите n-1 неизвестни тока във вътрешните клонове.

Метод с възловите потенциали (напрежения). Неизвестните са n-1 възлови потенциали, равни на напреженията между

всеки от тези възли и n-тия (основния, нулевия) възел в конкретна верига. Решението се търси по следния ред:(а) избира се n-ти възел (с индекс 0) този с най-много разклонения, номери-

рат се останалите n-1 възли и прилежащите им потенциали pV

с p=1,…,n-1.

Забележка: ако единият извод q на източник на е.д.н.

qpЕ се избере за възел 0,

т.е. pp EV 0

= , тогава с едно намалява общият брой на неизвестните;

(б) за всеки възел се определят следните възлови параметри:

собствена възлова проводимост към p-тия възел ∑=

=m

s

spp YY1

,

взаимни възлови проводимости pqY между р-тия и q-тия възел,

възлов е.д.т. ∑=

±=m

s

spepe JJ1

,,

, алгебрична сума от е.д.т., свързани към възел

р, знакът “плюс” се записва за източник на е.д.т., насочен към възела р;

(в) съставят се n-1 уравнения pe

n

qp

pqqppp JYVYV ,

1

1

..

=− ∑−

=≠, по едно за

всеки възел;(г) решава се системата, намират се възловите потенциали;

(д) накрая, по обобщения закон на Ом )( pqqppqpq EVVYI

+−= се намират

всички клонови токове pqI

, при това редът на индексите показва посоката на

тока.

4.2. Теореми за анализ на електрически вериги.

Теорема с наслагването (суперпозицията).Мотивира се със свойството линейност, съгласно което всеки клонов ток

може да бъде представен като сума от две съставки, всяка от тях предизвикана от определен източник или група източници ( на е.д.н. или е.д.т.) във веригата.Тогава

неизвестни са съставките pI '

иpI "

на тока pI

в p-тия клон

на веригата. Общото решение се търси по следния ред:

5-2


(а) намират се съставките pI '

на всички клонови токове (p=1,2,…,m),

обусловени от единия източник (източници) във веригата, когато другият източник (източници) е изключен (вж. § 4.1 по-горе). След това веригата се възстановява в първоначалния си вид;

(б) аналогично се определят съставките pI "

(p=1,2,

…,m), обусловени от другия източник (източници), когато първият източник (източници) е изключен;

(в) накрая, съставките pI '

и pI "

на тока pI

във

всеки клон се сумират алгебрично и се намират окончателните резултати:

"'

ppp III

+= .

Теоремата се прилага по същия ред за определяне и на напрежения.

Теорема на Тевенен.

Прилага се за определяне на ток I на активен последователен клон между

възлите a-b в сложна верига, която се замества равностойно с елементарен активен двуполюсник. Теоремата дава възможност да се определят

еквивалентните параметри EE

и ZE на този двуполюсник в следния ред:

(а) представя се клонът между възлите a-b в действителен вид, останалата верига се означава като блок А на активен двуполюсник (фиг.4.1а);

(б) заменя се А с еквивалентен двуполюсник EE

- ZE (фиг.4.1б);

a. б.Фиг.4.1.

(в) намират се стойностите на еквивалентните параметри EE

и ZE в следния

ред: отстранява се клонът а-b (фиг.4.2), намира се съпротивлението ZE между изводите а-b при изключени източници във веригата, означена като блок-схема П на фиг.4.2а (вж правилата в § 3.1);

определя се е.д.н.EE

= 0,abU

, с 0,abU

се означава напрежението между изводите

а-b при включени източници и отстранен клон а-b (блок-схема А на фиг.4.2б);

5-3

a Z

E Z

b

a

Z b

A

a Z

E

b

П

a b

A


а. б. Фиг.4.2.

(г) накрая се намира токът I от схемата на фиг.4.1б:

ZZ

EEI

E

E

++=

.

Теорема на Нортън.

Прилага се, аналогично на теоремата на Тевенен, за определяне на ток I

на активен паралелен клон в сложна верига, която се замества равностойно с елементарен активен двуполюсник. Теоремата дава възможност да се определят

еквивалентните параметри eEJ

и ZE на този двуполюсник в следния ред:

(а) представя се клонът между два възела a-b в действителен вид, останалата верига се означава като блок А на активен двуполюсник (фиг.4.3а);

(б) заменя се еквивалентно активният двуполюсник А с двуполюсник eEJ

- ZE (фиг.4.3б);

a. б.Фиг.4.3.

(в) намират се стойностите на еквивалентните параметри eEJ

и ZE :

отстранява се клонът а-b (фиг.4.4), намира се съпротивлението ZE между изводите а-b при изключени източницивъв веригата, получава се блок-схемата на фиг.4.4а (вж правилата в § 3.1);

определя се е.д.т. eEJ

= скI .

, скI .

е токът на късо съединение между

изводите а-bпри включени източници във веригата (фиг.4.4б);

a. б.Фиг.4.4.

5-4

a Z

E

b

A

Z b

A

a Z

E

b

П

a b

A

a

Z

E Z

b


(г) определя се токът I от схемата на фиг.4.3б:

ZZ

ZJJI

E

EeeE

+−= )(

.

Теорема за предаване на максимална активна мощност.Доказателството на тази теорема дава възможност да се определят

параметрите на активен последователен клон Е - Z, (Z=R+jX) така, че към него

да се предаде максимална активна мощност E

EZ R

EEP

4

22

max,+

= . Този резултат се

постига, когато се спазят две условия: X=-XE, R=RE, където EE

и ZE=RE+jXE

представляват параметрите на еквивалентния двуполюсник, определен по теоремата на Тевенен.

Задача 4.1.Да се определят всички токове във веригата (фиг.4.5) със законите на

Кирхоф (§ 4.1). Дадени са: E =10 V, eJ

=1 А, R=XL1=XC=5 Ω, XL2=10 Ω.


(a) съставя се топологичната спецификация на схемата: m=6, n-1=3, k=3;(б) формулират се 3 уравнения по първия и само 2 – по втория закон на

Кирхоф, защото токът на източника на е.д.т. eJ

е известен:

.

,.

,0

,0

,0

2211

21

2

EIjXIjX

EIjXIR

JII

III

JII

LLLL

CCR

eLL

LEC

eCR

=+−

−=−−

=+−−

=++−

=−+

(в) решава се сиcтемата, например, чрез заместване: изразяват се RI

- от

първото уравнение, EI

- от второто уравнение и

1LI

- от третото уравнение, и се

заместват в последните две уравнения. Окончателно се получават:

AjI C 5,05,0 −−=

, AjI L 667,0333,02 −=

, AjI R 5,05,1 +=

,

AjI E 167,0833,0 −=

, AjI L 667,0667,01 +=

.

5-5

1

R Σ

-jXC

0 2

Σ

3 jX

L1 jX

L2


Задача 4.2.Да се определят всички токове във веригата (фиг.4.6) по метода с

контурните токове (§ 4.1). Дадени са: E =10 V, eJ

=1 А, R=XL1=XC=5 Ω, XL2=10

Ω.


(a) съставя се топологичната спецификация на схемата: m=6, n-1=3, k=3;(б) отчита се, че във веригата има клон с идеален източник на е.д.т. и се

избира контурен ток ec JI

=1, ;

(в) избират се посоки и се номерират другите два контурни тока 2,cI

и

3,cI

съгласно метода с контурните токове. Определят се контурните параметри

(§4.1) и се съставя се следната система уравнения, по едно за всеки възел:

.)(

,)(

,

1,13,21

1,2,

1,

EIjXIjXjX

EIRIjXR

JI

cLcLL

ccC

ec

=−+

−=−−

=

(г) решава се системата, намират се

Cc IAjI

=−−= 5,05,02, , 23, 667,0333,0 Lc IAjI

=−= ;

(д) по първия закон на Кирхоф се намират останалите клонови токове:

AjI R 5.05.1 +=

, AjI E 167.0833.0 −=

, AjI L 667.0667.01 +=

.

Задача 4.3.Да се определят всички токове във веригата (фиг.4.7) по метода с възлови-

те потенциали (§ 4.1). Дадени са: E =10V, eJ

=1 А, R=XL1=XC=5 Ω, XL2=10 Ω.


5-6

1

R -jXC

0 2

3

jXL1

jXL2

1

R -jXC

0 2

jXL1

jXL2

3


(a) съставя се топологичната спецификация на схемата: m=6, n-1=3, k=3;(б) отчита се, че в схемата има клон с идеален източник на е.д.н., избира се

основен възел 0, от това следва, че потенциалът на възел 2 е EV =2

;

(в) означават се и се номерират потенциалите на другите два възела 1

V и

3

V съгласно метода с възловите потенциали. Съставя се следната система:

.111

,

,111

22

213

2

21

eLLL

eCC

JjX

VjXjX

V

EV

JjX

VjXR

V

−=−

+

=

=−

−

−

+

(г) решава се системата, намират се:

Vejj

jV j

43,181 .5097,75,25,7

)1(2,0

21 =+=+

+= ,

Vejj

jV j

453 .7136,4)1(333,3

3,0

1 −=−=+= ;

(д) токовете се определят по обобщения закон на Ом:

CC IjXVV

−=− 21 , следва AjI C 5,05,0 −−=

, 2232 LL IjXVV

=− , следва

AjI L 667,0333,02 −=

;

(е) останалите токове се определят съгласно първия закон на Кирхоф:

AjIJI CeR 5,05,1 +=−=

, AjIII CLE 167,0833,02 +−=+−=

,

AjIJI LeL 667,0667,021 −−=+−=

.

Задача 4.4.Да се определят всички токове във веригата (фиг.4.5) посредством теоре-

мата с наслагването (§ 4.2).Дадени са: E =10 V, eJ

=1 А,R=XL1=XC=5 Ω,XL2=10

Ω.

а. б.Фиг.4.8.

Решение: (a) от схемата на фиг.4.5 се изключва източникът на е.д.н. (фиг.4.8а),

намират се първите съставки '

pI на токовете, които се дължат на източника eJ

:

по правилото за токовия делител (§ 2.4, задача 2.2) се определят:

5-7

R -jXC

jXL1

jXL2

R -jXC

jXL1

jXL2


AjjjXR

RJI

CeC 5,05,0

55

5.1

'

+=−

=−

=

,

Ajj

j

jXjX

jXJI

LL

LeL 333,0

105

5.1

21

1'

2 =+

=+

=

,

по първия закон Кирхоф се определят:

AjIJI CeR 5,05,0''

−=−= , AIJI LeL 667,0

'

2

'

1 =−= ,

AjIII LRE 5,0167,0'

1

''

−−=−= ;

(б) от схемата на фиг.4.5 се изключва източникът на е.д.т. (фиг.4.8б),

намират се вторите съставки "

pI

на токовете които се дължат на източника

E :

по втория закон на Кирхоф се съставят следните зависимости:EIRIjX RCC =+−−

""

.)( , оттук

AjII CR +=−= 1"" ,

EIjXIjX LLLL =−

"

11

"

22, оттук

AjII LL 667,0"

1

"

2 −=−= ,

по първия закон Кирхоф се определя

AjIII LRE 333,01"

1

""

+=−=

;

(в) сумират се съставките'

pI и

"

pI

на всички токове по посоките

на(фиг.4.5):

AjII RR 5,05,1"'

+=+

, AjII CC 5,05,0

"'

−−=+

, AjII LL 6 6 7,03 3 3,0

"

2

'

2 −=+

,

AjII LL 6 6 7,06 6 7,0"

1

'

1 +=+

, AjII EE 1 6 7,08 3 3,0

"'

−=+

.

Задача 4.5.

Да се определи токътRI

във веригата (фиг.4.5) посредством теоремата

на Тевенен (§ 4.2). Дадени са: E =10 V, eJ

=1 А, R=XL1=XC=5 Ω, XL2=10 Ω.

5-8


а. б.Фиг.4.9.

Решение: (a) отстранява се пасивния клон с резистора R, означават се двата възела а

и b (фиг.4.9а);(б) намира се еквивалентното съпротивление ZE (фиг.4.1б) при изключени

източници във веригата (фиг.4.9б): ZE= -jXC= -j5 Ω;

(в) определя се напрежението на прекъсване 0,abU

е между изводите а-b

при включени източници (фиг.4.9а), за целта се прилага теоремата с наслагването:

изключва се е.д.н. E от схемата на фиг.4.9а, получава се схемата на

фиг.4.10а, по втория закон на Кирхоф се определя едната съставка на напрежението:

VjJjXU eCab 5.'

0, −=−= ,

изключва се е.д.т. eJ

от схемата на фиг.4.9а, получава се схемата на

фиг.4.10б,

a. б.Фиг.4.10.

по втория закон на Кирхоф за означения контур се определя другата съставка

на напрежението VЕU ab 10

"

0, ==

,

сумират се двете съставки:

Eababab EVjUUU

=−=+= 510"

0,

'

0,0,;

5-9

a -jX

C

b jX

L1 jX

L2

a Z

E -jX

C

b jX

L1 jX

L2

a -jX

C

b

jXL1

jXL2

a -jX

C

b jX

L1 jX

L2


(г) накрая по формулата на Тевенен (§ 4.2) се намира токът RI :

Ajj

j

RZ

EI

E

ER 5,05,1

55

510+=

−−

=+

=

.

Задача 4.6.

Да се определи токътRI

във веригата (фиг.4.5) посредством теоремата

на Нортън (§ 4.2). Дадени са: E =10 V, eJ

=1 А, R=XL1=XC=5 Ω, XL2=10 Ω.

Решение: (a) отстранява се пасивния клон с резистора R, означават се двата възела а

и b (фиг.4.9а);(б) намират се еквивалентното съпротивление ZE (фиг.4.1б) при изключени

източници във веригата (фиг.4.9б): ZE= -jXC= -j5 Ω;

(в) определя се токът на късото съединение ..скI

между изводите а-b при

включени източници, за целта се прилага теоремата с наслагването:

a. б.Фиг.4.11.

изключва се е.д.н. E от схемата на фиг.4.9а, получава се схемата на

фиг.4.11а, определя се непосредствено едната съставка на тока: AJI eск 1

'

.. == ,

изключва се е.д.т. eJ

от схемата на фиг.4.9а, получава се схемата на

фиг.4.11б, определя се другата съставка на тока по втория закон на Кирхоф за означения

контур: EIjX скC =−

"

..., оттук следва

AjjXEI Cск 2"

.. =−=

,

5-10

a -jX

C

b jX

L1 jX

L2

a -jX

C

b jX

L1 jX

L2


сумират се двете съставки

eEскскск JAjIII

=+=+= 21"

..

'

....;

(г) накрая по формулата на Нортън (§ 4.2) се намира токът RI :

Ajj

jj

RZ

ZJI

E

EeER 5,05,1

55

5)21( +=

−−+=

+=

.

Задача 4.7.Да се определят комплексното съпротивление Z2 в схемата на фиг.4.12 и

активната мощност P2,max, предадена към Z2. Дадени са: E =50.ej30° V, eJ

=1.e-j45° А,

Z1=5 Ω, Z3=10-j5 Ω.

Упътване: да се използва условието за предаване на максимална активна мощност

съгласно едноименната теорема (§ 4.2).


(a) отстранява се пасивния клон със съпротивлението Z2, означават се двата възела а и b (фиг.4.13а);

(б) намира се еквивалентното съпротивление ZE между възлите a-b при изключени източници във веригата (фиг.4.13б): ZE= Z3=10-j5 Ω =RE+jXE;

a. б.Фиг.4.13.

(в) определя се напрежението на прекъсване 0,abU

е между изводите а-b

при включени източници (фиг.4.13a). За целта се записва зависимост по втория закон на Кирхоф за означения контур:

EJZU eab =+ .30, ,

откъдето се получава

Ejjj

eab EVeejeJZEU

==−−=−= − 84,41453030, .3764,53.1).510(.50. ;

(г) определят се параметрите на съпротивлението Z2=R2+jX2 от условията

за предаване на максимална мощност: R2=RE, X2=-XE, получава се Z2=10+j5 Ω;

5-11

Z

2

Z1

Z3

a b

Z1

Z3

a ZE b

Z

3


(д) по теоремата на Тевенен се изчислява токът2

I :

Aee

ZZ

EI j

j

E

E

84,41

84,41

22 .6688,2

20

.3764,53 ==+

= ;

(е) по теоремата за предаване на максимална активна мощност се определя

WR

EP

E

E 226,7140

3764,53

4

22

max,2 === .

5. Анализ на магнитни вериги при постоянен ток.

5.1. Променливи величини в магнитните вериги.

Най-съществените магнитни променливи величини са: магнитна индукция В, измерва се в Т (тесла); поток Ф на магнитната индукция през повърхността s на една навивка на бобината Ф=B.s, , измерва се във Wb (вебери); пълен магнитен поток Ψ=wФ обхваща магнитните потоци през w навивки, от друга страна по закона за електромагнитната индукция важи u = dΨ/dt; магнитен интензитет Н, измерва се в А/m; магнитовъзбудителен ток (м.в.т. или м.в.н.) Fμ = i.w, с i е означен токът през възбудителя – бобина с w на брой навивки, Fμ се измерва в А.нав. По закона за пълния ток важи H.l=i.w , където с l означена дължината на средната магнитна линия; материална връзка B=μH между индукцията и интензитета за определена материална среда, μ е абсолютната (пълната) магнитна проницаемост, μr - относителната магнитна проницаемост, а μ0=4π.10-7 H/m е магнитната константа;

магнитнатa енергия в обем Vμ e равна на µµ VHBW ..21= .

5.2. Анализ на магнитни вериги при постоянен ток.

За целта се използва съществуващата електромагнитна аналогия между зависимости за електрическите величини и връзките между тях от една страна, и съответните изрази и връзки за магнитните величини – от друга (табл.5.1). Таблица 5.1.Електрически величини и зависимости

Формули и изрази

Магнитни величини и зависимости

Формули и изрази

електрически ток електрическо напрежениеелектродвижещо напрежениеелектрическо съпротивление

i Au Ve VR=l/ γs Ωu=R.i ui + ei=RiΣik = 0

магнитен потокмагнитно напрежениемагнитовъзбудителен токмагнитно съпротивление

Ф Wbuμ A.нав Fμ=i.w A.навRμ =l/ μ s H -1

uμ =Rμ.Ф=H.l uμ + Fμ=H.lΣФk = 0

5-12


закон на Омобобщен закон на Омпърви закон на Кирхофвтори закон на Кирхоф

ΣRk.ik=Σek закон на Омобобщен закон на Омпърви закон на Кирхофвтори закон на Кирхоф

ΣHk.lk=ΣFμ,k

Анализът на дадена магнитна верига да се изпълнява в следния ред: съставя се еквивалентна “електрическа” схема на магнитната верига, означават се съответните магнитни елементи и величини в схемата, прилагат се правилата за преобразуване (ако се налага) на веригата, съставят се уравнения съгласно основните закони (и/или методи), решава се системата, намира се търсеното решение.

5.3. Определяне на електромагнитната сила чрез енергията.

Електромагнитна сила на взаимодействие възниква между възбудител (електромагнит или постоянен магнит) и подвижно феромагнитен обект. Обектът се привлича със сила, определена посредством работата ΔА=f.Δl, извършена от силата f за неговото физическо изместване на определено разстояние Δl. Тази работа е равна на изменението на магнитната енергия ΔА=ΔWμ, което се намира като разлика между магнитната енергия '

µW , запасена първоначално в системата

и енергията "µW , останала в системата след изместването на обекта

"'µµµ WWW −=∆ . Тази разлика зависи от изменението на обема ΔVμ между

възбудителя и обекта (§5.1 по-горе), в който фактически действа магнитното поле на взаимодействие, в случай на изместване на обекта на разстояние Δl. Тогава, силата на взаимодействие се намира непосредствено от баланса ΔА=ΔWμ , т.е. f= ΔWμ / Δl.

Задача 5.1. Да се определи стойността на тока i, необходима за възбуждане на

магнитно поле с индукция В=0.2 Т в тороидален (пръстеновиден) затворен магнитопровод (фиг.5.1а). Дадени са: d=2 cm, D=3 cm, μr=20, w=2500 навивки.

а. б.

5-13

Ф F

μ R

μ

i s d D u w

ℓср


Фиг.5.1. Решение:

(а) съставя се еквивалентната електрическа схема (фиг.5.1б);(б) изчисляват се геометричните параметри:

дължина ℓср на средната геометрична дължина на магнитопровода, която се приема равна на средната магнитна линия

ℓср= mdD 310.54,78

2

02,003,0

2−=+=+ ππ ,

площта на сечението s, през което преминават магнитните силови линии,

2522

10.854,72

02,003,0

2m

dDs −=

−=

−= ππ ;

(в) изчисляват се магнитните параметри и величини (§ 5.2, таблица 5.1): магнитното съпротивление

1757

3

010.879,3

10.854,7.20.10..4

10.54,78

..−

−−

−=== H

s

lR

r

ср

πµµµ

магнитният поток WbsB 55 10.5708,110.854,7.2,0. −− ===Φ ; (г) определя се м.в.т. Fμ . по втория закон на Кирхоф (§ 5.2, таблица 5.1):

Fμ =Rμ.Ф=3,879.107.1,5708.10-5=609,31 А.нав (д) накрая се намира токът i от формулата за м.в.т. Fμ= i.w:

i=Fμ/ w=609,31/2500=0,2437 A.

Задача 5.2. Да се определи броят на навивките w, необходим за възбуждане на

магнитно поле с индукция ВB =0.1 Т във въздушната междина на П-образен отворен магнитопровод (фиг.5.2а) от електрически ток i=0.5 A. Дадени са: a=1 cm, b1=5 cm, b2=4 cm, c1=3 cm, c2=2 cm, ℓ2=1 mm, μr=40.

б.Фиг.5.2.

Решение:(а) съставя се еквивалентната електрическа верига (фиг.5.2б);

(б) изчисляват се геометричните параметри: дължина ℓ1 на средната геометрична дължина на магнитопровода като средна линия на външния и вътрешния периметър на магнитопровода:

ℓ1 =

mlccbb

139,0001,02

)02,003,0(2)04,005,0(2

2

)(2)(22

2121 =−+++=−+++,

площта s като правоъгълник със страни а и 0,5(b1-c1)=0.5(b2-c2): 24

21

1121 10.1)03,005,0(.01,0)(. mcbas −=−=−= ;

5-14

Rμ1

Ф F

μ R

μ2

ℓ1 s

i b

1

u c1

ℓ2

a c

2

b

2 а.


(в) изчисляват се магнитните параметри и величини (§ 5.2, таблица 5.1): магнитното съпротивление на магнитопровода:

1747

0

11 10.765,2

10.1.40.10..4

139,0

..−

−− === Hs

lR

r πµµµ

магнитното съпротивление на въздушната междина:17

470

22 10.7958,0

10.1.10..4

001,0

.−

−− === Hs

lR

πµµ

магнитният поток WbsBB54 10.110.1.1,0. −− ===Φ ;

(г) определя се м.в.т. Fμ . по втория закон на Кирхоф (§ 5.2, таблица 5.1):

Fμ =(Rμ1+ Rμ2).Ф =(2,765+0,7958).107.1.10-5=356,08 А.нав

(д) накрая се намира броят на навивките w от формулата за м.в.т. Fμ= i.w:w=Fμ /I =356,08/0,5=712 навивки.

Задача 5.3. Да се определи магнитната индукция ВB във въздушната междина на . Ш-

образен отворен магнитопровод със затварящ клон (фиг.5.3а), възбудена от електрически ток i=0,5 A. Дадени са: a= 2 cm, s= 2 cm2 (s4= 4 cm2 на средния стълб), ℓ1= 3 cm, ℓ2= 1 mm, ℓ3= 5 cm, ℓ4=2 cm, μr=50, w=320 навивки..

Решение:(а) съставя се еквивалентната електрическа верига (фиг.5.3б);(б) изчисляват се магнитните параметри и величини (§ 5.2, таблица 5.1):

магнитното съпротивление Rμ1 на едната половина на затварящия клон:

1647

0

11 10.387,2

10.2.50.10..4

03,0

..−

−−=== H

s

lR

r πµµµ ,

а. б.Фиг. 5.3.

магнитното съпротивление Rμ2 на междината над единия страничен стълб:16

470

22 10.979,3

10.2.10..4

001,0

.−

−−=== H

s

lR

πµµ ,

магнитното съпротивление Rμ3 на единия страничен клон:

1647

0

33 10.979,3

10.2.50.10..4

05,0

..−

−−=== H

s

lR

r πµµµ ,

магнитното съпротивление Rμ4 на средния клон:

5-15

Rμ1

Rμ1

Ф

1 Ф

2

Rμ5

Ф

3 R

μ4

R

μ2 R

μ2

R

μ3 F

μ R

μ3

s а ℓ

1 ℓ

1

ℓ

2

s ℓ

3 ℓ

4 ℓ

3


1647

40

44 10.7958,0

10.4.50.10..4

02,0

..−

−−=== H

s

lR

r πµµµ ,

магнитното съпротивление Rμ5 на междината над средния клон:16

470

55 10.989,1

10.4.10..4

001,0

.−

−−=== H

s

lR

πµµ ,

определя се магнитовъзбудителния ток Fμ (§ 5.2, таблица 5.1):Fμ=i.w=0,5.320=160 А.нав.

(в) съставя се система уравнения по законите на Кирхоф (§ 5.2, таблица 5.1):

µµµµµµ

µµµµµµ

FФRRФRRR

FФRRФRRR

ФФФ

=++++

=++++=−+

3542321

3541321

321

)()(

)()(

,0

;

(г) определят се потоците като се отчита симетрията в страничните клонове, от която следва Ф2=Ф1, а от първото уравнение се получава Ф3 =2Ф1. Тогава от второто уравнение направо се определя Ф1:

66

543211 10.054,10

)989,17958,0(2979,3979,3387,2

10.160

)(2)(−

−=

++++=

++++=Φ

µµµµµ

µ

RRRRR

F

(д) определя се магнитната индукция B1=Ф1/s=10,054.10-6/10-4=0,10054 T =BB.

Задача 5.4. Да се определи токът i, необходим за повдигане на котвата на електромаг-

нитното устройство с отворен магнитопровод (фиг.5.4а) със сила f на разстояние, равно на въздушната междина ℓ3 . Дадени са: s=25 cm2, ℓ1=0,4 m, ℓ2=0,25 m, ℓ3=2 cm , μr=100, f=300 N, w=10000 навивки.

Решение: (а) определя се работният обем във въздушната междина (§ 5.3):

ΔVμ=2.s. ℓ3 =2.5.10-4.0,02=2.10-5 m3; (б) намира се извършената работа (§ 5.3):

ΔA = 2f.l3 =2.300.0,02=12 J;

а. б.Фиг. 5.4.

(в) отчита се връзката между индукцията и интензитета във въздушната междина HВ=BВ/μ0 (§ 5.1) и се замества в израза за баланса ΔA = ΔWμ (§ 5.3), т.е.

02

21

3..2 µµVBlf B= ,

откъдето се определя индукцията:

5-16

Rμ1

F

μ

R

μ3 R

μ3

Ф R

μ2

i

s ℓ

1

f f ℓ

3

s ℓ

2


Тs

f

sl

flBB 3016,0

10.25

300.10.4.22

2

44

70

3

30 ==== −

−πµµ;

(г) изчислява се магнитният поток:WbsBB

44 10.54,710.25.3016,0 −− ===Φ ;(д) съставя се еквивалентната електрическа верига (фиг.5.4б);(е) изчисляват се магнитните съпротивления (§ 5.2, таблица 5.1): магнитното съпротивление Rμ1 на електромагнита:

1647

0

11 10.273,1

10.25.100.10..4

4,0

..−

−−=== H

s

lR

r πµµµ ;

магнитното съпротивление Rμ2 на котвата:16

470

22 10.7958,0

10.25.100.10..4

25,0

..−

−−=== H

s

lR

r πµµµ ;

магнитното съпротивление Rμ3 на въздушната междина:

1647

0

33 10.366,6

10.25.10..4

02,0

.−

−−=== H

s

lR

πµµ ;

(ж) заместват се величините в уравнение по втория закон на Кирхоф: ( ) µµµµ FRRR =++Φ 321 2

и се определя търсеният ток i:

Aw

RRRi 116,1

10

10).366,6.27958,0273,1.(10.54,7)2.(4

64321 =

++=

++Φ=

−µµµ .

5-17


6. Анализ на трифазни електрически вериги.

6.1. Променливи величини и елементи в трифазни вериги.Променливите величини при трифазните вериги (k=1,2,3) са както следва:

- напреженията uk(t) = um, k sin (ωt +Ψu, k), еk(t) = em, k sin (ωt +Ψe, k), - токовете ik(t) = im, k sin (ωt +Ψi, k), je, k(t) = je, k sin (ωt +Ψje, k),- мощностите pk(t) = uk(t).ik(t).

При хармоничен работен режим са валидни комплексните стойности:

kujkk eUU ,.

Ψ=

, kEjkk eEE ,.

Ψ=

, kijkk eII ,.

Ψ=

, kjejkeke eJJ ,.,,

Ψ=

,

kkj

kk IUeSS k∗

== .. ϕ .

6.2. Трифазни генератори и консуматори по схема “звезда”

На фиг.6.1а. е дадена трифазна схема на генератор с четири извода, а на

фиг.6.1б – на трифазен консуматор. Означени са фазовите токове I 1, I 2,

I 3,

токът в неутралния проводник I N , фазовите напрежения спрямо звездния

център Ů1, Ů2, Ů3 и източниците на е.д.н. 1

E ,

2E ,

3E . Допълнително, на фиг.6.1б

са означени линейните напрежения Ů12 ,Ů23 , Ů31. Таблица 6.1.

Симетрични трифазни генератори и консуматори по схема “звезда” (*)Величина \ фаза 1 2 3Съпротивления на генератора

Z1 = Z Z2 = Z Z3 = Z

Съпротивления на консуматора

Z1k = Zk Z2k = Zk Z3k = Zk

Фазови токове I ф1 =

I 1

I ф2 =

I 2 =

I 1 e-

j120°

I ф3 =

I 3 = I 1 e-

j240°

Линейни токове I л1 = I ф1

I л2 = I ф2

I л3 = I ф3

Фазови е.д.н.Ė1 Ė2 = Ė1 e-j120° Ė3 = Ė1 ej120°

8-1

1 1 Z

1 Z

1k

0

0

Z

3 Z

2 Z

3k Z

2k

2 3

3

2

а. б. Фиг.6.1.


Фазови напреженияŮф1 = Ů1 Ůф2 =Ů1 e-j120° Ůф3 =Ů1 ej120°

Линейни напреженияŮ12 Ů23 = Ů12 e-j120° Ů31 = Ů12 ej120°

Активна мощност P*=3Uф Iф cos φРеактивна мощност Q*=3Uф Iф sin φПълна мощност S*=3Uф Iф

При симетрични вериги токовете, респ., напреженията са дефазирани помежду си на равни ъгли от 120° и са еднакви по големина. В таблица 6.1 са поместени изрази, валидни за симетрични вериги, свързани по схема “звезда”.Забележка: в симетрични схеми тип “звезда” са валидни следните връзки между ефективните стойности на фазовите и линейните величини: Iф=Iл, Uл= 3 Uф .

6.3. Трифазни генератори и консуматори по схема “триъгълник” На фиг.6.2а. е дадена трифазна схема на генератор с три извода, а на фиг.

6.2б – на трифазен консуматор. Означени са фазовите токове I 12 , I 23 ,

I 31,

линейните токове I 1 , I 2 , I 3, фазовите напрежения Ů12 ,Ů23 , Ů31 и

източниците на е.д.н. Ė12, Ė23, Ė31 .

Фиг. 6.2.

При симетрични вериги токовете, респ., напреженията са дефазирани помежду си на равни ъгли от 120° и са еднакви по големина. В таблица 6.2 са дадени изрази, валидни за симетрични вериги, свързани по схема “триъгълник”.Забележка: в симетрични схеми тип “тригълник” са валидни следните връзки между стойностите на фазовите и линейните величини: Iл = 3 Iф , Uл = Uф .

Таблица 6.2.Симетрични трифазни генератори и консуматори по схема “триъгълник”(Δ)Величина \ фаза 1 2 3Съпротивления на генератора

Z12 = Z Z23 = Z Z31 = Z

Съпротивления на консуматора

Z12k = Zk Z23k = Zk Z31k = Zk

Фазови токове I ф1 =

I 12

I ф2 =

I 23 = I 12 e-

j120°

I ф3 =

I 31 = I 12 e-

j240°

Линейни токове от генератора

I 1 = I 31 -I 12

I 2 = I 12 -

I 23

I 3 = I 23 -

I 31

8-2

31

1

1

1

1

12

Z

31 Ė

12 Ů

31 Ů

12 Ů

31 Ů

12 Z

12 к

Z

12

12 Z

31к

Ė

31 Z

23

2

2

3

3

31 Z

23к 23

23 Ė

23

3 Ů

23 Ů

23

2

3

2

а. б.


Фазови е.д.н.Ė12 Ė23 = Ė12 e-j120° Ė31 = Ė12 ej120°

Фазови напреженияŮф1 = Ů12 Ůф2 =Ů12 e-j120° Ůф3 =Ů12 ej120°

Линейни напреженияŮф1 = Ů12 Ůф2 =Ů23 Ůф3 = Ů31

Активна мощност PΔ=3Uл Iл cos φРеактивна мощност QΔ=3Uл Iл sin φПълна мощност SΔ=3Uл Iл

6.4. Преобразуване на схема “триъгълник” в схема “звезда” Консуматор по схема “триъгълник” (фиг.6.2б) се преобразува в консуматор

по схема “звезда” (фиг.6.1б), чиито съпротивления се изчислят по ф-ла (1):

(1)312312

31233

312312

23122

312312

12311

.,

.,

.

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

++=

++=

++= .

Генератор по схема “триъгълник” (фиг.6.2а) се преобразува в генератор по схема “звезда” (фиг.6.1а), чиито елементи се намират по ф-ли (1) и (2):

(2)

−=

−=

−=

31

31

23

2333

23

23

12

1222

12

12

31

3111 ,,

Z

Е

Z

ЕZЕ

Z

Е

Z

ЕZЕ

Z

Е

Z

ЕZЕ

.

6.5. Преобразуване на схема “звезда” в схема “триъгълник” Консуматор по схема “звезда” (фиг.6.1б) се преобразува в консуматор по

схема “триъгълник” (фиг.6.2б), чиито съпротивления се изчисляват по ф-ла (3): (3)

2

13322131

1

13322123

3

13322112

...,

...,

...

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

++=++=++=

.Генератор по схема “звезда” (фиг.6.1а) се преобразува в генератор по схема

“триъгълник” (фиг.6.2а), чиито елементи се намират по ф-ли (3) и (4):

(4) 313123231212 ,,ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ −=−=−= .

Задача 6.1. Да се определят токовете, напреженията и консумираните мощности в

симетрична трифазна трипроводна верига (фиг.6.3а) с генератор по схема “звезда”

и консуматор по схема “звезда” (§ 6.2) . Дадени са: 1

Е =220 V, Zл=j2 Ω, Zk=10 Ω.

a. б. Фиг.6.3.Решение:

8-3

Ė1

1 Z

л Z

k

O N

Ė1

1 Z

л Z

k

Ė

2

2 Z

л Z

k

O N Ė

3

3 Z

л Z

k


(а) съгласно свойството на звездните центрове на симетрични трифазни

вериги, напрежението между възлите N и О е 0=NOU

. Решението се свежда до

анализ само на първата фаза, като се отчита виртуалното късо съединение между

възлите N и О. Токът 1

I и напрежението kU 1

(фиг.6.3б) се намират както следва:

;.73,215.,.573,21231,4154,21210

220 31,1111

31,1111 VeZIUAej

jZZ

EI j

kkj

kл

−− ===−=

+=

+=

(б) определят се останалите токове и напрежения (табл. 6.1 по-горе):

VeeUUAeeII jjk

jj 31,131120

1231,131120

12 .73,215.,.573,21. −−−− ==== ,

VeeUUAeeII jjk

jj 69,108120

1369,108120

13 .73,215.,.573,21. ==== ;

(в) определят се мощностите на консуматора (табл. 6.1 по-горе) при товар резистор (φk=0):

∗∗∗∗ ======== PIUSIUQkWIUIUP kk 1111111111 ..3,0sin...3,962,13573,21.73,215.3.3cos...3 ϕϕ.

Задача 6.2. Да се определят токовете на консуматора в симетрична трифазна

трипроводна верига (фиг.6.4а) с генератор по схема “звезда” (§ 6.2) и консуматор

по схема “триъгълник” (§ 6.3) . Дадени са: 1

Е =220 V, Zл=j2 Ω, Zk=12 Ω.

a. б. Фиг.6.4.Решение:

(а) преобразува се схемата на консуматора на фиг. 6.4а от “триъгълник” в “звезда” (§ 6.4), определят се съпротивленията Z1, Z2, Z3:

Ω===++

==== 43

12

3

.321

k

kkk

kk Z

ZZZ

ZZZZZZ ;

(б) преобразуваната верига е дадена на фиг. 6.4б. По-нататък решението продължава, както в задача 6.1 – определят се токовете в схемата на фиг.6.3б:

;104,49952,2.193,49.

,108,27050,41.193,49.

,.193,49224424

220

44,9312013

56,14612012

56,2611

AjeeII

AjeeII

AejjZZ

EI

jj

jj

j

л

+−===

−−===

=−=+

=+

=

−−

−

(в) по тези данни се определя токът kI 1

от уравнение, съставено по втория

закон на Кирхоф за означения контур в първоначалната схема на фиг.6.4а:

8-4

Ė1

1 Z

л Z

1

Ė

2

2 Z

л Z

2

O N Ė

3

3 Z

л Z

3

Ė1

1 Z

л

Ė

2

2 Z

л Z

k

O Z

k

Ė

3

3 Z

л Z

k


,... 21211EEZIZIZI лkkл −=−+

откъдето се намира:

AejZ

ZIZIEEI j

k

ллk

44,321211 .401,28702,135,28

.. =+=+−−= ;

(г) останалите два тока се определят по изразите от таблица 6.2:

.7,23651,15.401,28.

,403,25701,12.401,28.

44,12312013

56,11612012

AjeeII

AjeeII

jjkk

jjkk

+−===

−−=== −−

Задача 6.3. Да се определят токовете на генератора в симетрична трифазна

трипроводна верига (фиг.6.5) с генератор по схема “триъгълник” (§ 6.3) и

консуматор по схема “звезда” (§ 6.2) . Дадени са: 12

Е =220 V, Z12=3 Ω, Zл =j2 Ω,

Zk=9 Ω. Решение:

(а) преобразува се схемата на генератора от “триъгълник” в “звезда” (§ 6.4): определят се съпротивленията Z1, Z2, Z3 (фиг.6.1а):

Ω===++

==== 13

3

3

. 12

121212

1212321

Z

ZZZ

ZZZZZZ ;

определят се напреженията на източниците на е.д.н. 1Е , 2

Е , 3

Е (§ 6.4):

Фиг.6.5.

( ) ,.02,12751,631101866,05,03

220

3

220

3

.220.1 150

120

12

12

31

3111 Vejj

e

Z

Е

Z

ЕZЕ j

j

=+−=−+−=

−=

−=

а по изразите в таблица 6.1 се намират и другите две напрежения:

;02,127.02,127..02,127.

,51,63110.02,127..02,127.

27012015012013

3012015012012

VjeeeeЕЕ

VjeeeeЕЕ

jjjj

jjjj

−====

+==== −−

8-5

Ė1 Z

1

1 Z

л Z

k

Ė

2 Z

2 Z

л Z

k

О 2

N

Ė3

Z3

3 Z

л Z

k

Ė31

Z31

1 Z

л Z

k

Ė12

Z

23 Z

12 Z

л Z

k

2

N

Ė23

3 Z

л Z

k


Фиг.6.6.

(б) получава се схемата, показана на фиг. 6.6. По-нататък решението

продължава, както в задача 6.1 - определя се токът1

I в схемата на фиг.6.3б:

,2222,83558,9.455,12.198,10

.02,127

129

.02,127 69,138

31,11

150150

1

11 Aje

e

e

j

e

ZZZ

EI j

j

jj

kл+−===

++=

++=

а по изразите от таблица 6.1 се намират останалите два тока:

;2135,124427,2.455,12.

,991,3799,11.455,12.

69,25812013

69,1812012

AjeeII

AjeeII

jj

jj

−−===

+=== −

(в) по тези данни се определя токът 12

I от уравнение, съставено по втория

закон на Кирхоф за означения контур в първоначалната схема на фиг.6.5:

,.)()( 12121221EZIZZIZZI kлkл −=−+−+

откъдето се намира:

,.83,10476,1995,102))(( 14,169

12

211212 Aej

Z

ZZIIEI jkл

=+−=+−+

=

(г) останалите два тока се определят по изразите от таблица 6.2:

;035,99371,34.83,104.

,28,7958,68.83,104.

14,2891201231

14,491201223

AjeeII

AjeeII

jj

jj

−===

+=== −

Задача 6.4.

Да се определят токовете I 1 , I 2 , I 3 и I N в непълно симетрична

трифазна четирипроводна верига “симетричен генератор - несиметричен

консуматор” (фиг.6.7) по законите на Кирхоф. Дадени са: 1

Е =220 V,

2Е =220.e-

j120° V, 3

Е =220.ej120° V, Z1=2 Ω, Z2 =10 Ω, Z3 =ZN =1 Ω.


(а) съставя се система от m уравнения (m=4, n-1=1, k=3):

8-6

Ė1

1 Z

1

1

Ė2

2

2 Z

2

O Ė

3

3

3 Z

3 N

0

N Z

N


...

,..

,..

,0

333

222

111

321

EZIZI

EZIZI

EZIZI

IIII

NN

NN

NN

N

=+

=+

=+

=−++

(б) решава се тази система като се замести I N от първото в останалите

уравнения:

,)(..

,)(.

,)(

33321

23221

13211

EZZIZIZI

EZIZZIZI

EZIZIZZI

NNN

NNN

NNN

=+++

=+++

=+++

а след заместване на стойностите се получава:

,53,1901102

,53,19011011

,2203

321

321

321

jIII

jIII

III

+−=++

−−=++

=++

или в матричен запис

211

11 11

113.

3

2

1

I

I

I

=

+−−−

5 3,1 9 01 1 0

5 3,1 9 01 1 0

2 2 0

j

j .

Решението на системата посредством детерминанти е

,577,124769,10552

02,64785500

,648,25577,1052

71,1333550

,976,32115,11252

77,17145830

33

22

11

Ajj

I

Ajj

I

Ajj

I

+−=+−=∆

∆=

−−=−−=∆

∆=

−=−

=∆∆

=

a от първото уравнение се намира .953,65231,4321 AjIIII N +−=++=

8-7


Задача 6.5.



консуматор” (фиг.6.7) по метода с контурните токове. Дадени са: 1

Е =220 V,

2Е =220.e-j120° V,

3Е =220.ej120° V, Z1=2 Ω, Z2 =10 Ω, Z3=ZN=1 Ω.


(а) съставя се система от k уравнения (m=4, n-1=1, k=3) относно контурни

токове I c,1,

I c,2,

I c,3 , означени на схемата (фиг.6.8):

,)(..

,)(.

,)(

333,2,1,

23,22,1,

13,2,11,

EZZIZIZI

EZIZZIZI

EZIZIZZI

NcNcNc

NcNcNc

NcNcNc

=+++

=+++

=+++

(б) решението на тази система съвпада с решението на задача 6.4 , т.(б) по-горе, тъй като избраните три контурни тока съвпадат съответно с клоновите

токове I 1, I 2,

I 3 а след заместване на данните се достига до същите резултати:

,577,124769,105,648,25577,10,976,32115,112 321 AjIAjIAjI +−=−−=−=

a от уравнение по първия закон на Кирхоф за т.N се намира

.953,65231,4321 AjIIII N +−=++=

Задача 6.6.



консуматор” (фиг.6.7) по метода с възловите потенциали. Дадени са: 1

Е =220 V,

2Е =220.e-j120° V,

3Е =220.ej120° V, Z1=2 Ω, Z2 =10 Ω, Z3=ZN=1 Ω.

8-8

Ė1 Z

1

1

c,1

Ė2

2 Z

2

c,2

O Ė

3

3 Z

3 N

c,3

0 Z

N

Ė1

1

1 Z

1

Ė

2

2

2 Z

2

Ė3

3

3 Z

3

0

N Z

N


Фиг.6.9.

Решение:(а) съставя се n-1=1 уравнениe (m=4, n-1=1, k=3) относно възловия потен-

циал NV

, означен на схемата на фиг.6.9, приема се 00 =

V :

3

3

2

2

1

1

321

1111

Z

E

Z

E

Z

E

ZZZZV

NN

++=

+++ ;

(б) заместват се числените данни в тази зависимост:

1

.220

10

.220

2

220

1

1

1

1

10

1

2

1 120120 jj

Nее

V ++=

+++

−

и се определя NV

:

( ) VjjjV N 9489,65231,4866,05,00866,005,05,0615,84 +−=+−−−=

;

(в) накрая, по обобщения закон на Ом за всеки клон се намират токовете:

.9489,65231,4,.

,571,124769,10552,1901109489,65231,4,.

,647,255769,10)52,1901109489,65231,4(1.0,.

,9744,32115,112)2209489,65231,4(5.0,.

0

33330

22220

11110

AjIIZVV

AjjjIIZEVV

AjjjIIZEVV

AjjIIZEVV

NNNN

N

N

N

+−==−

+−=+−−==+−

−−=−−−==+−

−=+−==+−

Проверка по първия закон на Кирхоф:

.0034,00001,0321 AjIIII N −=−++

Задача 6.7.


трифазна четирипроводна верига “несиметричен генератор - симетричен

консуматор” (фиг.6.9) по метода с възловите потенциали. Дадени са: 1

Е =24 V,

2Е =24.ej160° V,

3Е =24.e-j75° V, Z1=Z2 =Z3=1 Ω, ZN=10 Ω.

Решение:(а) съставя се n-1=1 уравнениe (m=4, n-1=1, k=3) относно възловия

потенциал NV

, означен на схемата на фиг.6.9, приема се 00 =

V :

8-9


3

3

2

2

1

1

321

1111

Z

E

Z

E

Z

E

ZZZZV

NN

++=

+++ ;

(б) заместват се числените данни в тази зависимост:

1

.24

1

.24

1

24

10

1

1

1

1

1

1

1 75160 jj

Nее

V−

++=

+++

и се определя NV

:

( ) VjjjV N 83,447,29659,02588,03420,09397,01742,7 −=−++−=

;

(в) накрая, токовете се определят по обобщения закон на Ом:

.483,0247,0)83,447,2(1,0,.

,3522,187417,31822,232117,683,447,2,.

,0384,130226,252084,85526,2283,447,2,.

,83,453,212483,447,2,.

0

33330

22220

11110

AjjIIZVV

AjjjIIZEVV

AjjjIIZEVV

AjjIIZEVV

NNNN

N

N

N

−=−==−

−=−++−==+−

+−=+−+−==+−

+=++−==+−

Проверка по първия закон на Кирхоф:

.0008,00021,0321 AjIIII N −=−++

8. Анализ на електрически вериги с превключватели.

8.1. Основни величини и определения.В електрическите вериги често възникват т.н. преходни процеси, които се

дължат на комутация (превключване) на схемните елементи, вследствие на което скокообразно се променят топологията (конфигурацията) на веригата и/или стойностите на някои от елементите, а оттам – токовете и напреженията.

Основни величини и параметри са: променливи на състоянието са моментните стойности iL(t) и uC(t), второстепенни променливи са iR(t), uR(t), uL(t), iC(t), начални стойности са iL(0-) и uC(0-), iL(0+) и uC(0+). За тях са формулирани

следните две правила:- първи закон на комутацията - при комутация във верига с бобина в

момент t=0, токът iL(t) се изменя плавно, т.e., iL(0-) = iL(0+) ;- втори закон на комутацията - при комутация във верига с кондензатор в

момент t=0, напрежението uC (t) се изменя плавно, uC(0-) = uC(0+) ; независими начални условия са стойностите на iL(0+) и uC(0+); зависими начални условия са, напр., uL(0+), iC(0+), [diL /dt]0 , [duC / dt]0; стационарни стойности са iL,ст и uC,ст; са онези стойности на iL(t) и uC(t); оценка на продължителността tпр на преходния процес:

- за tпр = t0,05=3τ важи 0,95.iL,ст ≤ iL(3τ) ≤1.05.iL,ст, 0,95.uC,ст ≤ uC (3τ)≤1,05.uC,ст,- за tпр = t0,001=5τ важи 0,999.iL,ст≤ iL(5τ)≤1.001.iL,ст, 0,999.uC,ст≤ uC (5τ)≤1,001.uC,ст.

8-10


8.2. Анализ на преходните процеси.Основните етапи в анализа по т.н. класически (времеви) метод са следните:

(а) идентификация на основните променливи iL(t) и uC(t);(б) определяне на независимите начални условия iL(0+) и uC(0+);(в) определяне на стационарните стойности iL,ст и uC,ст;(г) съставяне на система диференциални уравнения спрямо основните

променливи съгласно основните закони;(д) формулиране и решаване на характеристично уравнение;(е) определяне на интеграционните константи в стандартната форма на

решение за една от основните променливи величини;(ж) определяне на останалите величини, търсени в заданието.

Задача 8.1. Да се определи в символен вид и числено напрежението uR(t) във веригата

на фиг.8.1 след комутация 1 → 2. Дадени са: R=100 Ω, L=0,1 H, E0= 10 V.

Фиг. 8.1.Решение:

(а) ще се търси моментната стойност на тока iL(t) (вж. § 8.2 по-горе);(б) определя се началното условие: iL(0+)=iL(0-)=E0/R=0,1 A;(в) определя се стационарната стойност iL,ст=0; (г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф iL(t)-iR(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)+uR(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uL(t)=L.diL/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат iR(t), uR(t) и uL(t) се получава

диференциално уравнение спрямо iL(t): 0=+ LL iR

dt

diL , а от него - характеристично

уравнение: 0=+ RLk , с корен е k=-R/L=-1000 s-1 и времеконстанта τ = L/R=1 ms;(е) за iL(t) важи следната стандартна форма iL(t)=Aekt+iL,ст , А се

намира като във формата се положи t=0+ , т.е. A= iL(0+)-iL,ст= E0 /R - 0 = 0,1 А. Окончателното решение е

AeeR

Eti t

tL

R

L10000 .1,0)( −−

== ;

(ж) търсената променлива величина uR(t) се определя по закона на Ом:

VeeEtiRtu tt

L

R

LR1000

0 .10.)(.)( −−=== .

Задача 8.2. Да се определи в символен вид и числено напрежението uR(t) във веригата

на фиг.8.1 след комутация 2 → 1. Дадени са: R=100 Ω, L=0,1 H, E0= 10 V.

Решение:(а) ще се търси моментната стойност на тока iL(t) (вж. § 8.2 по-горе);(б) определя се началното условие: iL(0+)=iL(0-)=0;(в) определя се стационарната стойност iL,ст=E0 /R=0,1 A;

8-11

iL(t) L

1

2

E0 u

R(t) R


(г) анализ на веригата след комутацията: по първия закон на Кирхоф iL(t)-iR(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)+uR(t)= E0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uL(t)=L.diL/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат iR(t), uR(t) и uL(t) се намира 0ЕiRdt

diL L

L =+

а от него 0=+ RLk , с корен k=-R/L=-1000 s-1 и времеконстанта τ = L/R=1 ms;(е) за iL(t) важи следната стандартна форма iL(t)=Aekt+iL,ст , А се

намира като в iL(t) се положи t=0+ , т.е. A= iL(0+) - iL,ст=0 - E0/R = - 0,1 А. Окончателното решение е

( ) AeeR

Eti t

tL

R

L10000 11,01)( −−

−=

−= ;

(ж) търсената променлива величина uR(t) се определя по закона на Ом:

VeeEtiRtu tt

L

R

LR )1(101)(.)( 10000

−−−=

−== .

Задача 8.3. Да се определи в символен вид и числено продължителността tпр на

преходния процес на тока iL(t)) в схемата на фиг.8.2 след комутация 1→2. Дадени са: R=100 Ω, L=10 μH, je,0=10 mA.


(а) ще се търси моментната стойност на тока iL(t) (вж. § 8.2 по-горе);(б) определя се началното условие: iL(0+)=iL(0-)=0;(в) определя се стационарната стойност iL,ст= je,0=10 mA; (г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф je,0-iL(t)-iR(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)-uR(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uL(t)=L.diL/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат iR(t), uR(t) и uL(t) се намира

0,.. eLL jRiR

dt

diL =+ , а от него 0=+ RLk , с корен k=-R/L=-107 s-1 и

времеконстанта τ = L/R=0,1 μs;

(е) за iL(t) важи следната стандартна форма iL(t)=Aekt+iL,ст , А се намира като се положи t=0+ , т.е. А= iL(0+)- iL,ст=0 - je0 = -0,01 А.

Окончателното решение е

Aeejti tt

L

R

eL

−=

−= −− 710

0, 101,01)( ;

(ж) търсената продължителност (вж. § 8.1 по-горе) tпр се оценява така:- интервал t0,05=3τ = 0,3 μs, за който iL(t) нараства над ниво 95% iL,ст = 9,5 mА, - интервал t0,001=5τ = 0,5 μs, за който iL(t) нараства над ниво 99,9% iL,ст = 9,99 mА.

Задача 8.4.

8-12

iL(t)

j

e,0

2 R L 1 u

L(t)


Да се определи в символен вид и числено продължителността tпр на преходния процес на тока iL(t) в схемата на фиг.8.2 след комутация 2→1. Дадени са: R= 4 kΩ, R0= 1 kΩ, L= 0,2 mH, je,0= 4 mA.

Фиг.8.2.

Решение:(а) ще се търси моментната стойност на тока iL(t) (вж. § 8.2 по-горе);(б) определя се началното условие: iL(0+)=iL(0-) = je,0 = 4 mA;(в) определя се стационарната стойност ( ) mARRRji eстL 8,0. 000,, =+= ;(г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф je,0 -iL(t)-iR0(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)+uR(t)- uR0(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iL(t), uR0(t)= R0.iR0(t), uL(t)=L.diL/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат uR(t), uR0(t), iR0(t) и uL(t), се получава

0,00 .).( eLL jRiRR

dt

diL =++ , а от него 0)( 0 =++ RRLk , с корен k=-(R+R0)/L =

-25.106 s-1 и времеконстанта τ = L/(R+R0)=40.10-9 s =40 ns;(е) за iL(t) важи следната стандартна форма iL(t)=Aekt+iL,ст , А се

намира като се положи t=0+ , т.е. A= iL(0+)- iL,ст = je,0 - je,0.R0/(R0+R) = 4-0,8=3,2 mA.


mAeRR

Re

RR

Rjti t

tL

RR

eL

+=

++

+

−= −+

− 60

10.25

0

0

0

00, .8,02,041)( ;

(ж) търсената продължителност (вж. § 8.1 по-горе) tпр се оценява така:- интервал t0,05=3τ =120 ns, за който iL(t) намалява под ниво 105% iL,ст = 0,84 mА, - интервал t0,001=5τ = 200 ns, за който iL(t) намалява под 100,1% iL,ст = 0,8008 mА.

Задача 8.5. Да се определи напрежението uC(t) във веригата на фиг.8.3 след комутация

1→2, както и момента t2, след който важи условието uC(t) ≤ 2V . Дадени са: R=R0=100 Ω, C=100 μF, E0=8 V.


(а) ще се търси моментната стойност на напрежението uC(t) (вж. § 8.2);(б) определя се началното условие: ( ) VRRREuu CC 4.)0()0( 00 =+== −+ ;

8-13

R

0

1 i

C(t)

2 R

E

0 u

C(t) C

i(t) i

R(t)

iL(t)

je,0

R R

0 L

2

1


(в) определя се стационарната стойност 0, =стCu ;(г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф iC(t)-iR(t)=0, по втория закон на Кирхоф uC(t)-uR(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), iC(t)=C.duC/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат uR(t),iR(t) и iC(t) се получава

0=+ CC u

dt

duRC , а от него 01 =+RCk , с корен k=-1/RC=-100 s-1 и времеконстанта

τ = CR=0,01 s;(е) за uC(t) важи следната стандартна форма uC(t)=Aekt+uC,ст , А се

намира като се положи t=0+, т.е. А=uC(0+)- uC ,ст, = E0.R/(R+R0) - 0= 4 V. Окончателното решение е

VeeRR

REtu t

tRC

C100

1

00 4)( −−

=+

= ;

(ж) търсеният момент t2 се определя, като в израза за uC(t) се положи t=t2:

2.4)( 21002 ≤= − t

C etu или 2ln100 2 ≥t , а след логаритмуване - t2 ≥ 6,93 ms.

Задача 8.6. Да се определи токът iC(t) във веригата на фиг.8.3 след комутация 2→1.

Дадени са: R=R0=100 Ω, C=100 μF, E0=8 V.

Решение:(а) ще се търси моментната стойност на напрежението uC(t) (вж. § 8.2);(б) определя се началното условие: uC(0+)=uC(0-)=0;(в) определя се стационарната стойност VRRREu стC 4)(. 00, =+= ;(г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф i(t) -iC(t)-iR(t)=0, по втория закон на Кирхоф uC(t)-uR(t)=0, uR0(t)+ uC(t)=E0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uR0(t)= R0.i(t), iC(t)=C.duC/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат uR(t), uR0(t), i(t), iR(t) и uL(t) се получава

уравнението 00

0 .1 EuR

R

dt

duCR C

C =

++ , а от него 0)/1( 00 =++ RRCkR , с корен

равен на k=-(R+R0)/RR0C=-200 s-1 и времеконстанта τ = CRR0/(R+R0)=0,005 s;

(е) за uC(t) важи следната стандартна форма uC(t)=Aekt+uC,ст , А се намира като се положи t=0+ , т.е. A =uC(0+ ) - uC,ст =0 -E0.R/(R+R0) = - 4 V.


( )VeeRR

REtu t

tCRR

RR

C200

00 141)( 0

0

−+

−−=

−

+= ;

(ж) търсената променлива величина iC(t) се определя по закона на Ом:

AeeCR

Edt

duCti t

tCRR

RR

CC

200

00 .800

1)( 0

0

−+−

=== .


2→1, както и момента t2, след който важи условието uC(t) ≥ 4V. Дадени са: R0=1 kΩ, R=4 kΩ, C=500 nF, je,0=5 mA.

8-14


Фиг.8.4.

Решение:(а) ще се търси моментната стойност на напрежението uC(t) (вж. § 8.2);(б) определя се началното условие: uC(0+)=uC(0-)=0;(в) определя се стационарната стойност VRju eстC 5. 00,, == ;(г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф je,0 -iC(t)-iR0(t)=0, по втория закон на Кирхоф uR(t)+uC(t)-uR0(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iC(t), uR0(t)= R0.iR0(t), iC(t)=CduC/dt;

(д) ако от тези изрази се изключат uR(t), uR0(t), iR0(t) и iC(t) се получава

0,00 .)( eCC jRu

dt

duCRR =++ , а от него 01)( 0 =++ CkRR , с корен k=-1/

(R+R0)C=-400 s-1 и времеконстанта τ = C(R+R0)=0,0025 s;(е) за uC(t) важи следната стандартна форма uC(t)=Aekt+uC,ст , А се

намира като се положи t=0+ , т.е. A= uC(0+) - uC,ст =0 -je,0.R0 = - 5 V. Окончателното решение е

( )VeeRjtu tt

CRReC

400)(

1

00, 151)( 0 −+−

−=

−= ;

(ж) търсеният момент t2 се определя, като в израза за uC(t) се положи t=t2:

Vetu tC 4)1.(5)( 2400

2 ≥−= − или 5ln400 2 ≥t , а след логаритмуване - t2 ≥ 4,024 ms.


2→1, както и продължителността tпр на преходния процес. Дадени са: R=2 Ω, L= 12,5 μH, C=500 nF, E0=5 V.

Фиг. 8.5.

Решение:(а) ще се търсят моментната стойност на тока iL(t) и на напрежението uC(t)

(вж. § 8.2 по-горе);(б) определят се началните условия: iL(0+)= iL(0-)=0, uC(0+)=uC(0-)=0;(в) определят се стационарните стойности VЕui стCстL 5,0 0,, === ;(г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф iC(t)-iR(t)=0, iR(t)-iL(t)=0, по втория закон на Кирхоф uR(t)+uL(t)+uC(t)=E0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t),uL(t)=L.diL/dt, iC(t)=C.duC/dt;

8-15

R 1

je,0

2 C

R

0 u

C(t)

1 R L i

L(t)

E0

2 C

uC(t)


(д) ако от тези изрази се изключат uR(t), uL(t), iR(t) и iC(t) се получава система от две диференциални уравнения от първи ред:

,.

,0

0Eudt

diLiR

dt

duCi

CL

L

CL

=++

=+−а от нея следва характеристична детерминанта

+

−=∆

1

.1

L kR

kC.

Изчислява се Δ и след като се положи Δ=0 се формира характеристичното уравнениe k2+(1/RC)k+1/LC=0, в числен вид k2+106k+16.1010=0, което има два реални корена k1,2 =-(5±3)105, k1= -8.105 s-1, k2= -2.105 s-1 .

Времеконстантата τ се определя от по-малкия корен, τ =1/k2

=5.10-6

s; (е) за uC(t) важи следната стандартна форма uC(t)=A1.ek1t+A2.ek2t+uC,ст ,

константите А1 и А2 се намират в следния ред: определя се зависимото начално условие [duC/dt]0+ от първото уравнение в системата - C[duC/dt]0+=iL(0+): за iL(0+)=0, следва [duC/dt]0+ =0, записва се система от зависимости за uC(t) и нейната производна duC/dt:

,....

,..)(

,2211

,21

21

21

dt

dueAkeAk

dt

du

ueAeAtu

стCtktkC

стCtktk

C

++=

++=

в нея се полага t=0+ :

,0..

,)0(

22110

,21

++=

++=

+

+

AkAkdt

du

uAAu

C

стCC

заместват се числените данни

,.10.2.10.80

,50

25

15

21

AA

AA

−−=

++=

от тази система се намират константите ,3/20,3/5 21 −== AA Окончателното решение е

Veetu ttC 5

3

20

3

5)(

55 10.210.8 +−= −− ;

(ж) търсената продължителност (вж. § 8.1 по-горе) tпр се оценява така:- интервал t0,05=3τ = 15 μs, за който uC(t) нараства над ниво 95% uC,ст = 4,75 V, - интервал t0,001=5τ = 25 μs, за който uC(t) нараства над ниво 99,9% uC,ст = 4,995 V. Задача 8.9.

Да се определи токът iL(t) във веригата на фиг.8.6 след комутация 2→1, както и продължителността tпр на преходния процес. Дадени са: R=50 kΩ, L= 312,5 mH, C=20 pF, E0=10 V.

8-16

iL(t) L

1

E0

2 C

R u

C(t)

iR(t)


Фиг. 8.6.Решение:

(а) ще се търсят моментната стойност на тока iL(t) и на напрежението uC(t) (вж. § 8.2 по-горе);

(б) определят се началните условия: 0)0()0(,200/)0()0( 0 ===== −−+− CCLL uuAREii µ ;

(в) определят се стационарните стойности: VЕuAREi стCстL 10,200/ 0,0, ==== µ ;

(г) анализ на веригата след комутацията: по първия закон на Кирхоф iL(t)-iR(t)-iC(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)+uC(t)=E0, -uR(t)+uC(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uL(t)=L.diL/dt, iC(t)=C.duC/dt;


,

,0

0Eudt

diL

dt

duC

R

ui

CL

CCL

=+

=−−

а от нея следва характеристична детерминанта

−−=∆

1

.1

1

L k

kCR .

Изчислява се Δ и след като се положи Δ=0 се формира характеристичното уравнениe k2+(1/RC)k+1/LC=0, в числен вид k2+106k+16.1010=0, което има два реални корена k1,2 =-(5±3)105, k1= -8.105 s-1, k2= -2.105 s-1 .

Времеконстантата τ се определя от по-малкия корен τ =1/k2

=5.10-6

s =5 μs; (е) за iL(t) важи стандартната форма iL(t)=A1.ek1t+A2.ek2t+iL,ст,

константите А1 и А2 се намират в следния ред: определя се зависимото начално условие [diL/dt]0+ посредством второто уравнение в системата L[diL/dt]0+=E0-uC(0+), следва [diL/dt]0+ =32 A/s=32.106 μA/s, записва се система от зависимости за iL(t) и diL/dt:

,....

,..)(

,2211

,21

21

21

dt

dieAkeAk

dt

di

ieAeAti

стLtktkL

стLtktk

L

++=

++=

в нея се полага се t=0+:

8-17


,..

,)0(

22110

,21

AkAkdt

di

iAAi

L

стLL

+=

++=

+

+


,.10.2.10.810.32

,200200

25

156

21

AA

AA

−−=

++=

от тази система се намират константите AAAA µµ 333,53,333,53 21 =−= ; Окончателното решение е

Aeeti ttL µ200)(333,53)(

55 10.210.8 +−−= −− ;

(ж) търсената продължителност (вж. § 8.1 по-горе) tпр се оценява така:- интервал t0,05=3τ = 15 μs, за който iL(t) намалява под ниво 105% iL,ст = 210 μA, - интервал t0,001=5τ= 25 μs, за който iL(t) намалява под ниво 100,1% iL,ст= 200,2 μA. Задача 8. 10 .

Да се определи токът iL(t) във веригата на фиг.8.6 след комутация 2→1, както и продължителността tпр на преходния процес. Дадени са: R=62,5 kΩ, L= 312,5 mH, C=20 pF, E0=10 V.

Решение:(а) ще се търсят моментната стойност на тока iL(t) и на напрежението uC(t)

(вж. § 8.2 по-горе);(б) определят се началните условия:

0)0()0(,160/)0()0( 0 ===== −−+− CCLL uuAREii µ ;(в) определят се стационарните стойности:

VЕuAREi стCстL 10,160/ 0,0, ==== µ ;(г) анализ на веригата след комутацията:

по първия закон на Кирхоф iL(t)-iR(t)-iC(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)+uC(t)=E0, -uR(t)+uC(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uL(t)=L.diL/dt, iC(t)=C.duC/dt;


,

,0

0Eudt

diL

dt

duC

R

ui

CL

CCL

=+

=−−а от нея следва характеристична детерминанта

−−=∆

1

.1

1

L k

kCR .

Изчислява се Δ и след като се положи Δ=0 се формира характеристичното уравнениe k2+(1/RC)k+1/LC=0, в числен вид k2+8.105k+16.1010=0, което има един двоен корен k1,2 =k= -4.105 s-1.

Времеконстантата τ се определя от този корен τ =1/k =2,5.10

-6

s =2,5 μs; (е) за iL(t) важи стандартната форма iL(t)=(A1+A2.t)ekt+iL,ст ,

8-18


константите А1 и А2 се намират в следния ред: определя се зависимото начално условие [diL/dt]0+ посредством второто уравнение в системата L[diL/dt]0+=E0-uC(0+), следва [diL/dt]0+ =32 A/s =32.106 μA/s, записва система от зависимостите за iL(t) и diL/dt:

,)]([

,)..()(

,212

,21

dt

dietAAkA

dt

di

ietAAti

стLktL

стLkt

L

+++=

++=

в нея се полага се t=0+ :

,.

,)0(

120

,1

AkAdt

di

iAi

L

стLL

+=

+=

+

+

заместват се числените данни 1

52

6

1

.10.410.32

,160160

AA

A

−=

+=,

от тази система се намират константите .10.32,0 621 AAA µ== .


Aetti tL µ160..10.32)(

510.46 += − ;

(ж) търсената продължителност (вж. § 8.1 по-горе) tпр се оценява така:- интервал t0,05=3τ = 7,5 μs, за който iL(t) намалява под ниво 105% iL,ст = 168 μA, - интервал t0,001=5τ =12,5 μs, за който iL(t) намалява под 100,1% iL,ст =160,16 μA.

Задача 8.1 1 . Да се определи токът iL(t) във веригата на фиг.8.6 след комутация 2→1,

както и продължителността tпр на преходния процес. Дадени са: R=94,5 kΩ, L= 312,5 mH, C=20 pF, E0=10 V.Решение:

(а) ще се търсят моментната стойност на тока iL(t) и на напрежението uC(t) (вж. § 8.2 по-горе);

(б) определят се началните условия:0)0()0(,83,105/)0()0( 0 ===== −−+− CCLL uuAREii µ ;

(в) определят се стационарните стойности:VЕuAREi стCстL 10,83,105/ 0,0, ==== µ ;

(г) анализ на веригата след комутацията: по първия закон на Кирхоф iL(t)-iR(t)-iC(t)=0, по втория закон на Кирхоф uL(t)+uC(t)=E0, -uR(t)+uC(t)=0, по закона на Ом uR(t)= R.iR(t), uL(t)=L.diL/dt, iC(t)=C.duC/dt;


8-19


,

,0

0Eudt

diL

dt

duC

R

ui

CL

CCL

=+

=−−, a от нея следва характеристична детерминанта

−−=∆

1

.1

1

L k

kCR .

Изчислява се Δ и след като се положи Δ=0 се формира характеристичното уравнениe k2+(1/RC)k+1/LC=0 или k2+5,2916.105k+16.1010=0, което има два комплексно-спрегнати корена k1,2 = -b±jΩ= -2,64575.105±j3.105 s-1.

Времеконстантата τ се определя от реалната част, τ =1/b =3,78.10-6

s; (е) за iL(t) важи стандартната форма iL(t)=(A1.cosΩt+

A2.sinΩt)e-bt+iL,ст ,

константите А1 и А2 се намират в следния ред: определя се зависимото начално условие [diL/dt]0+ посредством второто

уравнение в системата L[diL/dt]0+=E0-uC(0+), следва [diL/dt]0+ =32 A/s=32.106 μA/s, записва се система от зависимости за iL(t) и diL/dt:

( )dt

dietAtAbtAtA

dt

di

ietAtAti

стLbtL

стLbt

L

,2121

,21

]sin.cos.[]cos.sin.[

,).sin.cos.()(

+Ω+Ω−Ω+Ω−Ω=

+Ω+Ω=

−

−

;

в нея се полага се t=0+ :

120

,1

..

,)0(

AbAdt

di

iAi

L

стLL

−Ω=

+=

+

+


15

256

1

.10.64575,2.10.310.32

,83,10583,105

AA

A

−=

+=,

от тази система се намират константите AAA µ67,106,0 21 == . Окончателното решение е

Ateti tL µ83,105)300000sin(..67,106)( 264575 += − ;

(ж) търсената продължителност (вж. § 8.1 по-горе) tпр се оценява така:- интервал t0,05=3τ =11,34 μs, за който iL(t) намалява под 105% iL,ст =111,12 μA, - интервал t0,001=5τ =18,9 μs, за който iL(t) намалява под 100,1% iL,ст =105,9358 μA.

8-20

re6enii primerni zada4i po elektrotehnika

Documents