reazioni nucleari d’interesse...
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ReazioniNuclearid’interesseatrofisico
Introduzione
Iprocessipiùimportan7sono:Ca:uradineutroni:n+AZ->A+1Z+γReazionifranuclei:A1Z+A2Z->AZ+XLeprimesiverificanonellefasiavanzatedellacombus7onestellare(stelleAGB–Supernovae)Lesecondeduranteiprocessidifusione
Lasezioned’urtoLasezioned’urtoèlaprincipaleosservabilemediachecara:erizzalacollisioneA+B->C+D
IlfascioAècara:erizzatodalla“corrente”I(numerodipar7celleprodo:eperunitàditempo),dal%podipar%celleedallaloroenergia.IlbersaglioBècara:erizzatodalladensitàdibersagli(numerobersagli/volume)nedallospessoreh
Laquan7tàmisurabileèilnumerodireazioniperunitàditempoΔN/ΔtSeilbersaglioèsoVle(cioèpiccolaprobabilitàcheilproieVlefacciaunacollisione)ilnumerodireazionicheavvengononell’unitaditempoèdatodallarelazione:ΔN/Δt=Inhσ
lacostantediproporzionalità,espressain[L]2,sichiamasezioned’urto
Lasezioned’urtoSupponiamochelareazioneavvengaquandolepar7celleAeBsitrovinoaunadistanzad<r,conunaprobabilitàw.
Perciascunapar7cellaicheentranelbersaglio,laprobabilitàPidieffe:uareunareazionesaràdatadalnumerodiincontriNicheavvengonocondistanzad<r,mol7plicataperlaprobabilitàdireazionew,Pi=NiwSemediosutantepar7celle<N>=πr2nhequindi<P>=πr2nhw
SeIèilnumerodipar7cellecheentranonelbersaglionell’unitàditempo,ilnumerodiinterazioninell’unitàditemposaràI<P>edunque:ΔN/Δt=Inhπr2wConfrontandoconladefinizonediσ:ΔN/Δt=InhσSioVene:σ=πr2w
Lasezioned’urtorappresentailprodo@odell’areageometricaincuiavvienel’interazioneperlaprobabilitàstessacheavvenga
Risonanzediformazione
• Ilprocessodisca:eringavvienetramitelaformazionediunostatointermedioRrisonante:
• Larisonanzapuòdecadere:nellestessepar7celledellostatoinizialea+b->R->a+b(processoelas7co)oppureinpar7cellediversea+b->R->X(processoinelas7co)
• Larisonanzaèdescri:adalformalismodellamatriceR(R-matrix)
Formalismodellamatrice-RL’ideadifondodelformalismodellaR-matrixèdiusarelafunzioned’ondadelsistemadi2par7cellequandoessesonosufficientementevicinedaformareunnucleocomposto.Sebbenelafunzioned’ondadelnucleocompostoèestramamentecomplicata,sipuòespandereneisuoiautosta7.Ilformalismodellamatrice-Rfacoincidereleondeentran7euscen7conlefunzionid’ondainterne,fornendounmododidescriverelasezioned’urtodellareazioneinterminidellaproprietàdegliautosta7delnucleocomposto.Leproprietàdegliautosta7sonofondamentalmente:l’energie,spin,parità,eunsetdilarghezzeparzialilegateallelarghezzedeimodididecadimentodelnucleocomposto.Questometododidescriverelasezioned’urtodireazione,usandosololeproprietàdeilivellidieccitazionenucleare,èaltempostessoanchelapiùimportantelimitazione.Nessunainformazionedelleforzeall’internodelnucleosononecessarie.Ilnucleoètra:atocomeunascatolaneradicuileproprietàdegliautosta7devonoesseremisura7perdescriverelasezioned’urto.
Sca:eringelas7coa
b
a
b
R
Inastrofisica->limitedellebasseenergiedescrizionenonrela7vis7ca
Ingenerelafunzioned’ondaΨ(r)chedescriveilmotorela7vodelleduepar7celleincollisionesoddisfaun’equazionediSchroedingeramoltecomponen7,incorrispondenzadeidiversicanalidireazione(elas7ciedinelas7ci).
Conm=(ma*mb)/(ma+mb),Eenergiadicollisione(energianelc.m.).LecondizioneAlcontornosono:
Sca:eringelas7coabassaenergiaa
b
a
R
b
Lafunzioned’ondaΨpuòesseresviluppatainautofunzionidelmomentoangolare.LosviluppoinarmonichesferichediΨcorrispondeaunosviluppodelleampiezzadisca:ering:
Perl’ortogonalitàdelleautofuzionidelmomentoangolarelasezioned’urtointegratapuòesserescri:a: σ=Σ σl=Σ4π(2l+1)|fl|2
Sidimostrachenellimitedellebasseenergie,perpotenzialichedecresconorapidamenteconr,quindiilcontributodominantevienedal=0.Neseguecheperk->0:A) lasezioned’urtodifferenzialeèisotropicaB) lasezioned’urtoelas7catendeaunacostante
Sca:eringinelas7ciA
B
C
D
Ra bReazioneesoenerge7ca:MA+MB>MC+MDReazioneendoenerge7ca:MA+MB<MC+MD
Ψ=(Ψa,Ψb,…)
Ψ! = !(!!!!) + !!!(Θ) !!!!!
! !! canaleelas7co
Ψ! = !!!!!!!!!!!!!!!!!"(Θ) !!!!!
! !! neglialtricanali(b≠a) !!!ℏ = !2!!! = !!!!!!!!!!!
!!
kimpulsoassociatoalmotorela7vodelleduepar7celle
dσ!! = !!!!"!! !!!! !Ω! !!dovepAepCsonol’impulsodelproieVleedellapar7cellaprodo:arispeVvamente
Sca:eringinelas7ciabassaenergiaA
B
C
D
Ra b
Nellimitedellebasseenergiesolol’ondaScontribuisceetu:eleampiezzefabtendonoavaloricostan7(purchéilpotenzialedecrescavelocemeteconr)
dσ!! = !!!!"!! !!!! !Ω! !!A) perreazioniesotermichechepossoavvenireadenergiearbitrariamentepiccole,poichéfabtendeaunvalorecostanteepCaunlimitefinito
σ!! = ! !"#$! !!B)perreazioniendotermiche,esisteunasogliadienergiaΔ.
! = !! !!!!!!
> Δ!! impulsostatofinaleèdatoda: !! !!!!!!
= ! − Δ!!L’impulsopCnellostatofinaleèproporzionaleakbedunquea(E-Δ)1/2.CiòimplicacheinunprocessoinondaSilcomportamentodellasezioned’urtoinprossimitadellasogliaè:
σ!" = !!"#$!(! − Δ)!!!!
Sca:eringinelas7ci
Reazionirisonan%:Avvengonoinduestep1. Formazionedelnucleocomposto2. Decadimentodelnucleocomposto
Reazionidire:e:Transizionedire:anellostatolegatoQuestetransizionipossonoavvenireaqualsiasienergiadelproieVle
Questereazionipossonoavveniresoloadeterminateenergie:risonanze
Breit-Wigner
Sezionid’urtoevelocitàdireazioneLasezioned’urtoesprimelaprobabilitàd’interazioneperunafissataenergiadicollisione.Inunplasma,sihageneralmenteunadistribuzionedienergiedicollisione,inquestocasoinvecedisezioned’urtoèmegliou7lizzareilconce:odivelocitàdireazione.
IndicandoconnpenTlepar7celleproieVleebersaglioperunitàdivolume,sevèlalorovelocitàrela7va,ilnumerodiinterazioniperunitàditempoèdatada:R=npnTσpT(v)VReazionepersecondor=npnTσpT(v)velocitàdireazionepersecondoecm3
Sef(v)èladistribuzionedellevelocitàrela7ve,Ilnumerodiinterazioneperunitàditempoedivolumeè:
! ! !! = !1!!
< ! >!= !!!!! !!" ! !" ! !" = !!!! < !!"! >!!dove<σpTv>èdefinitacomelavelocitàdireazioneperlacoppiadipar7celle
DistribuzionedivelocitàdeinucleiPerlamaggiorpartedelleapplicazioni(peresempionellestelle)proieVliebersagliosonosempreinequilibriotermicofraloroeseguonoladistribuzionedellevelocitàdiMaxwell-Boltzmann.Laprobabilitàf(v)ditrovareunapar7cellaconvelocitàcompresafravev+dvè
! ! !! = !1!!!(!) = !4! !!!"#
!! !!!!
!!!!!" !! con
DistribuzionedivelocitàdeinucleiSipuòdimostrarechelevelocitàrela7vafraduepar7celleèdistribuitanellostessomodo.
! = ! !!!!!!!!!
!!!(!) = !4! !!!"#
!! !!!!
!!!!!"!! con
Poichélesezionid’urtosonoingenereespresseinterminidell’energiadicollisione,ÈpiùconvenienteesprimereladistribuzionediMaxwell-Boltzmanninfunzionedell’energia.ConsiderandocheEèfunzionediv(E=½mv2)quindidv=vdEricavo
!! ! !" = !!! ! !"# = !! ! 2!"!" ⇒ !! ! = !!(!) !!! !!
!!(!)!" = ! !!"
!!
!! !
! !!"!"!!
VelocitàdireazionemediatesullaMaxwell-Boltzmann
< !! >= ! !!!
!! !!"
!!! ! !!!
!!"!"!!
Questaequazioneènecessariaperstabilirel’evoluzionechimicadelplasma.Ilmassimodell’integrandoesprimel’energiaallaqualeèpiùprobabileilprocesso
Collisionifrapar7cellecariche
!! ! = !!!!!!! !!
RepulsioneCoulombiana
adistanzenucleari(Rn=r0A⅓)conr0≈1fm,larepulsionecolumbianaèdata:
!! = !! !! = !!!!!!
!!!!!!!
Perlareazionep+po:eniamo:εc=550keVèT=6.4x109°K
Sequestafosselatemperaturadell’ammassogassoso,tu:ecoppieppsubirebberolareazionecontemporaneamente(oquasi)equindilastellainvecedibruciarel’H“lentamente”lobrucerebbemoltovelocemente.Sequestofosseilcasononavremmopiùstelle
Collisionifrapar7cellecaricheSecondolafisicaclassica,laminimadistanzaRCallaqualepossonoavvicinarsinucleiconEnergiaEèdatadata
!! = !!!!!!! !!
poichéquestaquan7tàèingenerale>>RN,classicamentelereazioninuclearinonpossonoavvenirealleenergie7pichedeiplasmiastrofisici
Nellestelle,comenelbigbang,lapossibilitàdireazioninuclearièstre:amentecollegataall’effe:otunnel
Osservazioni
Lafrazionedi(coppiedi)par7cellepercuil’energiadicollisioneèpiùgrandediεCèdatadall’integraledidP/dEoltreεC
PerεC≈550keVeT≈1keV(nell’internodelsole)εC/kT≈550equindif<103exp(-1000)≈10-275,daconfrontarsiconilfa:ochenelsoleilnumerodipar7celleèdell’ordinedi1057(eintu:ol’universovisibilecirca1070)
!(!!)!" = ! !!"
!!
!! !
! !!"!"!
!! !!
Lapenetrazionea:raversolabarieraCoulombiana
Ilproblemadifaravvicinareduenuclei,finoadistanzenuclearipereffe:otunnel,èanalogoaldecadimentoα,spiegatodaGamowinterminediuncoefficienteditrasmissionedatoda
! = !!!!!!!!!!!
ℏ! !!
DovePènotocomefa:orediGamowe! = !!!
!!!!
L’equazionepuòesserescri:a:
! = !!!!!!!ℏ! !! dove !! = ! !!!!!
!
ℏ !!
Questaespressioneèo:enutainun’approssimazionesemiclassicatrascurandol’estensionedelnucleo.(Perunatra:azionepiùprecisavedereLandaueRolfs)
Scaledell’energieCoulombiane
! = !!!!!!
!!!! !! = !!!!!!!!!con
!! = ! !!!!!!
ℏ !! ! = !!!!!!!!!!!!
!!
mNmassadelnucleone
!! = !!!!! !!!!!!!!!
!! !!
!! = !!!!!!!!! ≈ 500!!"#!! αcostantedistru:uraiperfine
Sezionid’urtodifusioneLesezionid’urtodifusionedinucleicontengono3termini:
untermineproporzionaleallalunghezzadiDeBrogliealquadrato(1/k2),edunqueinversamenteproporzionaleall’energiadicollisioneE
laprobabilitàdia:raversamentodellabarriera,P(E)
unterminecheesprimelaprobabilitàdiinterazionenucleare,unavoltasuperatalabarriera
! ! = ! ! !! !!
!!! !!
Ilfa:oreS(E)sichiamafa@oreastrofisico,edesprimel'intensitàdell’interazione.LesuedimensionisonoL2E,l’unitadimisurapiùcomunementeu7lizzataèMeVbarn
Esempio! ! = ! ! !! !!
!!! !!
Lasezioned’urtoσ(E)diunareazioneindo:adapar7cellecarichedecrescerapidamentealdiminuiredell’energia.Quindiperavereilvaloredellasezioned’urtoabasseenergiesifaun’estrapolazione.
Ordinedigrandezzadeifa:oriastronomiciE’convenienteconsiderareS(E),chehauncomportamentodebolmentevariabileconl’energia,rispe:oaσ,checambiadiordinidigrandezzaperpiccolevariazionidell’energiadicollisione
Perciascunareazioneilfa:oreastrofisicocara:erizzal’intensita’dellaforzaingioco.
IlpiccodiGamow! ! = ! ! !! !!
!!! !!Sitra:adiinserire
nell’espressioneperlavelocitàdireazione
< !! >= ! !!!
!! !!"
!!! ! !!!
!!"!"!!
< !" >= ! !!"
!! !!"
!!! ! ![!
!!"!!!
!!!
!!]!"!!
S(E)èunafunzionedebolmentevariabile,mentreidueesponenzialivarianomolto,econtendenzecontrastan7:-ilterminedipenetrazionefavorisceleenergiealte-ladistribuzionediMB,chedecresceesponenzialmentealcresceredell’energia
Quindilarapidadecrescitadellasezioned’urtoabassaenergiaèdovutaall’esponenziale,chevienechiamatofa:oredivelocitàGamow,edèproporzionaleallaprobabilitàdipenetrazionedellarepulsionecoulombiana
PosizionedelmassimodelpiccoGamow
Nell’ipotesicheSsiaunafunzionelentamentevariabile,
< !" >= ! !!"
!! ! !!!"
!!
![!!!"!!!
!!!
!!]!"!
! !!
Pertrovarelaposizionedelmassimodevodunquestudiarelafunzioneentroilsegnodiintegrale.Poichél’esponenzialeèunafunzionemonotona,bastatrovareilpuntodistazionarietàdi
! = ! !!" +!!!
!!!!
!"!" = !0!!
!! = !! !"
!! !!
!! !!!
PoichéEC>>kTsihaE0>kT
Ades,perT=1.5x1070KsihakT=1.2keVe:p+p:E0=5.9keVα+12C:E0=56keV16O+16O:E0=237keV•NotarecomeE0crescarapidamenteall’aumentarediZ
AltezzadelpiccoGamowIlvaloredell’integrandoI(E)nelpuntodimassimo,Imax,sioVenedalvaloredifperE=E0:
!!"# = !!!! !! = ! !!!!!" !!
Ladipendenzadallatemperaturaètramitelavariabile
! = !!!!" = (!!)
!! !!
!"
!!!!
Nellestessecondizionidiprima(T=1.5x1070KossiakT=1.2keV)p+p:E0=5.9keV;Imax=1.110-6α+12C:E0=56keV;Imax=310-5716O+16O:E0=237keV;Imax=610-239
Poiché’<σv>e’proporzionaleaImax,ques7numerimostranolagerarchiadellacombus7onenellestelle
LarghezzadelpiccoOgnifunzioneacampanapuòesserelocalmenteapprossimataconunaGaussianaintornoalsuomassimo:
! ! = ! !!"#!!!!!! !!! !!
Lasemilarghezzaδdellagaussianacorrispondeaquandolafunzionesiriducea1/erispe:oalvaloredimassimo.
Sviluppandoilfa:oredivelocitàdiGamowf(E)siricavache
! = − !!" !!
!! = !
! !!!"!!!!
CioèδècircalamediageometricafraE0ekTLasuadipendenzadallatemperatura:poichéE0αT2/3nesegueδαT5/6
Valoredell’integraleNell’approssimazioneGaussiana! ! = ! !!"#!!
!!!! !!! !!
< !" >= ! !!"
!! ! !!!"
!!
![!!!"!!!
!!!
!!]!"!
! !!
! ! !!!! = ! !!"# ![!
!!!!!
!! ]!"!! !! Seδ <<Epossospostarel’estremoinferiorea-∞
< !" >!≅ !2 !!
!! ! !! !
!"!!!!
!!!!" !!
ilcontributoallavelocitàdireazionevienedallecollisionivicinoaEo;èquestalaregionecheoccorrestudiareinlaboratorioperpredirel’efficienzadiunareazione
Lavelocitàdellereazionitermonuclearidipendefortementedallatemperatura,principalmentetramiteiltermineesponenziale
!!"#! ! = !!!!!!!!" !!!
Velocitàdireazioneinfunzionedellatemperatura
< !" >!≅ !2 !!
!! ! !! !
!"!!!!
!!!!" !! ! = !
! !!!"!!!! !! = !
! !"!! !!
!! !!!
Ognifunzioney,perpiccolevariazionidiunparametroxintornoax0puòessereespressainterminidiunapotenza:y=y(xo)(x/xo)α
Perdeterminarel’esponenteαosservochederivandoamboImembri:dy/dx=α(y/x)
Dacuiαèladerivatalogaritmicanelpuntoxo:α=(dy/dx)x/y=dlny/dlnx
Ladipendenzadallatemperaturadi<σv>e’principalmenteneltermineesponenziale,percui
ln<σv>=cost–3Eo/kT=cost-3AT-1/3
Pergliesempiconsue7(kT=1.2keV)p+p:E0=5.9keVαpp=4.9;α+12C:E0=56keVαC=4716O+16°E0=237keVαΟ=20
! = !"(!"!!"!)!" != !!!
!! = !!
!"!!
Velocitàdireazioneinfunzionedellatemperatura
< !" >!≅ !2 !!
!! ! !! !
!"!!!!
!!!!" !! ! = !
! !!!"!!!! !! = !
! !"!! !!
!! !!!
Abbiamovistochelevelocitàdireazione,intornoaunatemperaturaT,possoessereparametrizzatecome<σv>=cTα
Doveilcoefficienteαèdatoapprossima7vamentedaα=Eo/kT=c’T-1/3
Poichéαvarialentamenteconlatemperatura,αcara:erizzalareazione
Ivaloridiαcresconoalcresceredellecarichedeinucleireagen7epossonoesseregrandi
Quindipiccolevariazioniditemperaturadannograndivariazionidellevelocitàdireazione,dacui:unastellanonbruciaundeterminatoelementofinchénonharaggiuntounatemperaturadiinnescolestellesonorela7vamenteinsensibiliaivaloridiS,poichél’efficaciadiunareazionedipendeprincipalmentedaT
sesimisuranolevelocitàdireazioneinunastella(adesempiorivelandoineutriniemessinellareazione)sistamisurandolatemperaturadellastellanellazonadiproduzione