ABDELKADER BENHARIRECHERCHE OPERATIONNELLE ET AIDE A LA DECISIONOperations research is a scientific method of analysis of a problem. This methodology is a combination of analytical and mathematical methods in place to help a decision maker to make a decision. Founded in England during the Second World War, it was used to solve military problems (investment radar, convoy management, etc.)..She is to receive as much information about the problem in order to offer solutions but certainly not to decide which is best. The solution chosen depends primarily on the interests of the maker.______________________________________________________________________________Table des matiresINTRODUCTION...........................................................................5I. PRSENTATION DE LA RECHERCHE OPRATIONNELLE................................................................. 5 II. DOMAINES D'APPLICATION .................................................................................................... 5 2.1)Les problmes combinatoires.................................................................................52.2)Les problmes alatoires........................................................................................52.3)Les problmes de concurrence...............................................................................5III. PROPRITS DE LA R.O. INTERDISCIPLINAIRE......................................................................... 5 PROGRAMMATION LINEAIRE................................................7I. PROBLMATIQUE DE LA PROGRAMMATION LINAIRE................................................................... 7 1.1)Introduction............................................................................................................71.2)Exemple...................................................................................................................71.3)Forme canonique....................................................................................................81.4)Formulation gnrale...........................................................................................101.5)Interprtation gomtrique...................................................................................101.6)Forme standard.....................................................................................................12I. CONVEXIT....................................................................................................................... 13 II. MTHODE DU SIMPLEXE..................................................................................................... 13 3.1)Exemple avec deux variables................................................................................133.2)Mthode des tableaux...........................................................................................153.3)Mthode des 2 phases et mthode M....................................................................243.4)Paramtrisation des coeff. de la fn co.................................................................28III. DUALIT:...................................................................................................................... 35 PROBLEMES DE TRANSPORT................................................51I. EXEMPLE DE L'USINE........................................................................................................... 51 1.1)Problme : rpartition des expditions.................................................................511.2)Modlisation du problme....................................................................................521.3)Reprsentation graphique.....................................................................................531.4)Mthode plus rapide (des regrets)........................................................................541.5)Changement de base.............................................................................................541.6)Cas de dgnrescence.........................................................................................58I. RECHERCHE DUNE SOLUTION INITIALE .................................................................................. 58 2.1)Rgle du coin Nord-Ouest ("hasard")..................................................................582.2)Rgle de Balas-Hammer :.....................................................................................59___________________________________________________________________A.BENHARI Page 2______________________________________________________________________________LES GRAPHES.............................................................................63I. DFINITION VOCABULAIRE ................................................................................................ 63 1.1)Graphe..................................................................................................................631.2)Chemins................................................................................................................64I. MATRICES ASSOCIES UN GRAPHE ...................................................................................... 65 2.1)Matrice latine........................................................................................................652.2)Matrices boolenne et arithmtique.....................................................................66II. CONNEXIT FORTE CONNEXIT......................................................................................... 67 3.1)Connexit..............................................................................................................673.2)Forte connexit.....................................................................................................673.3)Fermeture transitive.............................................................................................683.4)Recherche des classes fortement connexes, des circuits hamiltoniens.................693.5)Mthode de Georges DEMOUCRON...................................................................69CHEMIN DE VALEUR OPTIMALE.........................................73I. ALGORITHME DE FORD....................................................................................................... 73 I. ALGORITHMEDE FORD-FULKERSON..................................................................................... 74 2.1)flot travers un rseau.........................................................................................742.2)Procdure..............................................................................................................752.3)Recherche dun flot complet initial.......................................................................76II. PROBLME DAFFECTATION................................................................................................. 79 ORDONNANCEMENT................................................................82I. INTRODUCTION................................................................................................................... 82 I. MTHODES DORDONNANCEMENT......................................................................................... 83 2.1)Mthode MPM......................................................................................................832.2)Mthode PERT......................................................................................................852.3)Comparaison des deux mthodes..........................................................................86I. INTRODUCTION......................................................................................................... 89 II. LES CHANES DE MARKOV ESPACE D'TATS DISCRET........................................................... 91 I. GRAPHE DES TRANSITIONS CLASSIFICATION DES CHANES....................................................... 93 II. PROCESSUS DE MARKOV TEMPS DISCRET........................................................................... 96 III. REPRSENTATION DUN PROCESSUS DE MARKOV .................................................................. 96 IV. EVOLUTION TEMPORELLE DUN PROCESSUS DE MARKOV ........................................................ 98 V. ANALYSE DUN PROCESSUS DE MARKOV SIMPLE .................................................................... 99 VI. COMPORTEMENT DUN PROCESSUS DE MARKOV LONG TERME ............................................ 102 VII. PROCESSUS DE MARKOV RCOMPENSE ............................................................................ 109 VIII. LES ALTERNATIVES ET LA POLITIQUE OPTIMALE ................................................................ 118 FIABILIT...................................................................................123I. INTRODUCTION....................................................................................................... 123 I. GENERALITES - TERMINOLOGIE ........................................................................ 123 2.1)Fonction de dfaillance et fn de fiabilit............................................................1232.2)Taux davarie ou taux de dfaillance.................................................................124II. LOIS UTILISEES ...................................................................................................... 127 3.1)Loi exponentielle.................................................................................................127___________________________________________________________________A.BENHARI Page 3______________________________________________________________________________3.2)Loi de Weibull.....................................................................................................127III. FIABILIT DUN SYSTME ET DE SES COMPOSANTS............................................................... 128 4.1)Systme structure en srie................................................................................1284.2)Systme structure parallle..............................................................................1284.3)Systmes structure mixte..................................................................................129IV. EXERCICES ............................................................................................................ 130 5.1)Exercice n 1.......................................................................................................1305.2)Exercice n 2.......................................................................................................1305.3)Exercice n 3.......................................................................................................130INTRODUCTIONINTRODUCTION___________________________________________________________________A.BENHARI Page 4______________________________________________________________________________INTRODUCTIONINTRODUCTIONI. Prsentation de la Recherche OprationnelleLarechercheoprationnelleest unemthoded'analysescientifiqued'unproblme. Cette mthodologie est un mlange d'analyse et de mthodes mathmatique runies pour aider un dcideur prendre une dcision. Cre en Angleterre durant la seconde guerre mondiale, elle servait rsoudre les problmes militaires (placements de radar, gestion des convois, etc.).Elleconsisterecevoir unmaximumd'informationsurleproblmeafindeproposerdes solutionsmaissurtout pasdedciderlaquelle estlameilleure.Lasolutionchoisie dpend surtout des intrts du dcideur.II. Domaines d'applicationLa recherche oprationnelle a maintenant de nombreux domaines d'application dont:2.1)Les problmes combinatoiresEssentiellement lorsque l'on a trop de combinaisons pour les traiter cas par cas. Par exemple 20! Pour un ordinateur qui traite 1M/sec, cela mettrai 77 096 ans!!! C'est le premier domaine dapplication avec l'utilisation des graphes et de la programmation linaire.2.2)Les problmes alatoiresNotamment lagestiondefilesd'attente. Parexemple: unguichet supporteunearrivede personne toutes les 4 minutes en moyenne et la sert en 3 minutes. On pourrait croire qu'un seul employsuffit mais unmodlemathmatiquepourradmontrer qu'il faut enfait 2 employs (pour grer les heures de pointes).2.3)Les problmes de concurrenceNotamment tout ce qui concerne la thorie des jeux.III. Proprits de la R.O. interdisciplinaire___________________________________________________________________A.BENHARI Page 5Recherche OprationnelleEconomieOutils mathmatiqueInformatiqueB.D.______________________________________________________________________________ProgrammationProgrammation LinaireLinaire___________________________________________________________________A.BENHARI Page 6______________________________________________________________________________PROGRAMMATION LINEAIREPROGRAMMATION LINEAIREI. Problmatique de la programmation linaire1.1)IntroductionUn programme linaire est un programme mathmatique, i.e. problme consistant trouver un extremum (maximum ou minimum) dune fonction plusieurs variables, vrifiant en outre un systme dquations ou dinquations, ces fonctions tant linaires.1.2)Exemplea) AgriculteurUn agriculteur possde 40ha, 63 000 euros et 840 jours de travail. Il dsire semer du mas, du bl et du soja qui ont les cots et les rapports suivants:Prix (euros/ha) Temps (jour) Rapports (euros/ha)Mas 1500 18 420Bl 1800 27 510soja 1050 15 360On peut synthtiser les contraintes de cette faon:1500 x1 + 1800 x2 + 1050 x3 63 00018 x1 + 27 x2 + 15 x3 840x1 + x2 + x3 40x1, x2, x3 IR+x1, x2, x3 0Et la fonction conomique max z = 420 x1 + 510 x2 + 360 x3___________________________________________________________________A.BENHARI Page 7______________________________________________________________________________b) UsineDe la mme faon, une usine produit du "A" et du "B" avec du "M1" et du "M2" avec les caractristiques suivantes:A B StocksM1 2 1 8M2 1 2 7M3 0 1 3gains 4 5Mise en quations avec x1 le nombre de "A" et x2 le nombre de "B" sachant que x1et x2 0Bilan de M1:2 x1 + x2 8Bilan de M2:x1 + 2 x2 7Bilan de M3:x2 3Le critre tant un max z = 4 x1 + 5 x21.3)Forme canoniqueTout programme linaire peut tre mis sous forme canonique, c'est dire un systme avec un ensemble d'inquation et une fonction optimiser.n j 1 pour , 0 xm i 1 pour , b x . ax . c z maxjin1 jj ijn1 jj j Il y a m contraintes propres et n contraintes impropres (de positivit), et n variables naturelles. Une solution admissible est un n-uplet qui vrifie toutes les contraintes ; parmi ces solutions admissibles celle(s) pour la(les)quelle(s) la fonction conomique est maximale, sappelle(nt) solution(s) optimale(s).Proprit: Tout programme linaire peut tre mis sous forme canonique.Min(z)=max(z)( )in1 jj ij in1 jj ijb x . a b x . a ( )' in1 jj i jin1 jj i jin1 jj i jb x . ab x . ab x . axj 0 xj 0 changement de variable xj = xj dans le PL___________________________________________________________________A.BENHARI Page 8Fonction conomiquem: contraintesn: nbre de variables x1,,xn______________________________________________________________________________si certaines variables nont pas de condition de signe, on pose xi = xi xi, avec xi 0 et xi 0.Remarque: 2 x1 + x2 12est impossible rsoudre avec cet outil.___________________________________________________________________A.BENHARI Page 9______________________________________________________________________________1.4)Formulation gnralemax Z(x) = (P) Ax bx 0 Remarques: = + c.x A IRmxnb IRm , c IRn , x IRn x 0V i xi 0 = {x IRn / x 0Ax b}ensemble des solutions ralisables On ne suppose pas priori qu'il existe un maximum = 0 le problme n'a pas de solution ralisableExemple: Max Z(x) = x= {x / x 0x -1} = 0 le problme a une solution optimaleExemple: Max Z(x) = x= {x / x 0} = 0 Z(x) non born sur Exemple: Max Z(x) = x= {x / x 0}1.5)Interprtation gomtriqueLe systme : 0 x , x4 x1 0 x 3 x1 x x 2x x z m a x2 112 12 12 1' + + + (PL1) est associ la reprsentation graphique suivante. Dans cet exemple, la solution optimale est x1=1, x2 = 3, z = 2___________________________________________________________________A.BENHARI Page 10______________________________________________________________________________0123400,30,60,91,21,51,82,12,42,7 33,33,63,9___________________________________________________________________A.BENHARI Page 11______________________________________________________________________________Soit le systme:-2x1 + x2 1x1 + 3x2 10x1 4max z = -x1 + x2D121D3D1-2x1 + x2 = 1x2 = 2x1 + 10D23x2 = 10 x1x2 = 10/3 (1/3)x1-1 AD3x1 4 D2x2 = 2x1 + 1kx2 x1 = kx2 = x1 + kz a pour maximum 2 atteint en x1 = 1, x2 = 3A x2 = 1 - 2 x1 + x2 + t1 = 1 t1:variable d'cart x1 = 0 x1 + 3x2 + t2 = 10x1+t3 = 41.6)Forme standardOn introduit des variables dites d'cart. La forme standard dun PL est telle que : On maximise une fonction conomique linaire des variables Les variables sont assujetties des contraintes : Propres : quations linaires (en introduisant des variables dcart, positives) Impropres : conditions de positivit (des variables naturelles et des variables dcart)Thorme:tout programmelinairepeut trecrit sousformecanoniqueousousforme standard.m i 1 pour , 0 xn j 1 pour , 0 xm i 1 pour , b x x . ax . c z maxi nji i nn1 jj ijn1 jj j +++___________________________________________________________________A.BENHARI Page 12______________________________________________________________________________Ecriture matricielle: max ( tc x)Ax=bx0avec : x =

,_

+m nn1xxx, c=

,_

0ccn1 x, c Rn+m, A =

,_

1 0 0 a a0 1 0 a a0 0 1 a amn 1 mn 2 21n 1 11 , A M m,n+m(R), b=

,_

m1bb, b Rm

I. ConvexitC IRnest convexeSSI x C , et y C , [0,1] x + (1- )y CL'intersection d'un nombre fini de convexes est convexe. Un polydre convexe est l'intersection d'un nombre fini d'ensembles du type A , B , C.Thorme: L'ensemble des solutions ralisables d'un programme linaire est convexe.x est un point extrmal d'un convexe (ou point anguleux, ou sommet) SSI il n'existe pas:x' , x Cx' x tels que x = x' + (1- )xavec ]0,1[Thorme:Tout point x d'un polydre convexe born IRn est combinaison linaire convexe de points extrmes de .Remarque:Dans le cas o est un polydre non born, il existe un thorme analogue utilisant la notion de rayons extrmaux.II. Mthode du simplexe3.1)Exemple avec deux variablesSoit le systme S1:-2x1 + x2 + t1= 1x1 + 3x2 + t2= 10x1+ t3 = 4x1 , x2 , t1, t2 , t30max z = -x1 + x2___________________________________________________________________A.BENHARI Page 13______________________________________________________________________________Ici, x1 = 0 , x2 = 0est une solution de base admissible avec z = 0, c'est dire qu'elle fait partie de la zone graphique concerne et qu'elle rpond toutes les conditions poses.On a les variables hors base: x1 , x2 et les variables en base: t1 , t2 , t3Essayons de faire crotre x2 , avec x1 = 0t1 = 1 x2 0 x2 1t2 = 10 3x2 0 x2 10/3t3 = 4 pas de contrainteOn trouve donc une deuxime solution admissible: x1 = 0 ,x2 = 1 ,t1 = 0,t2 =7 ,t3 = 4z = 1 = x2 - x1hors base baseOn veut crire tout le monde en fonction de x1 et de t1.Donc le systme S2:x2 = 1 + 2x1 - t1t2 = 10 - x1 3(1 + 2x1 t1)= 7 - 7x1 + 3t1t3 = 4 - x1x1 , x2 , t1, t2 , t30z = 1 + 2x1 - t1 - x1 = 1 + x1 t12 imetape: Faisons crotre x1 (avec t1 = 0):S2 devient donc avec t1 = 0:x2 = 1 + 2x1 0 x1 -1/2t2 = 7 - 7x1 0 x1 1t3 = 4 - x1 0 x1 4On fait rentrer x1 dans la base en posant x1 = 1, et on a donc hors base: t1 = 0 , t2 = 0 et en base x2 = 3 , t3 = 3 , z = 2Donc le systme S3:x1 = 1/7 ( 7 + 3t1 - t2)x2 = 1 + 2/7 (7 + 3t1 - t2) - t1t3 = 4 1/7 (7 +3t1 - t2)x1 , x2 , t1, t2 , t30z = 1 + 1 + 3/7 t1 1/7 t2 - t1 = 2 4/7 t1 1/7 t2Et ici la solution optimale est donc maximum !!!___________________________________________________________________A.BENHARI Page 14______________________________________________________________________________3.2)Mthode des tableauxa)PL1 sous forme standard0 x , x , x , x , x4 x x1 0 x x 3 x1 x x x 2x x z m a x5 4 3 2 15 14 2 13 2 12 1' + + + + + + Sous forme de tableau :coef bix1x2t1t2t31 1 2 1 1 0 010/3 10 1 3 0 1 04 1 0 0 0 1Z 1 1 0 0 0La solution admissible de base (solution initiale) est:x1=x2=0 (donc ce sont les variables Hors Base) et t1 =1, t2= 10, t3= 4(en base) avec z = 0.Comme le coefficient de x2 est le plus petit positif, on va faire entrer x2 en base:coef bix1x2t1t2t3-1/2 1 2 1 1 0 0 x21 7 7 0 -3 1 0 t2 L2 3L14 4 1 0 0 0 1 t3Z - 1 1 0 -1 0 0 L4 L1on va faire entrer x1 en base et en sortir t2:bix1x2t1t2t33 0 1 1/7 2/7 0 x21 1 0 -3/7 1/7 0 x13 0 0 3/7 -1/7 1 t3Z 2 0 0 -4/7 -1/7 0___________________________________________________________________A.BENHARI Page 15______________________________________________________________________________On a obtenu la solution optimale , puisque les coefficients de la fonction conomique sont tous ngatifs ou nuls, une augmentation de t2ou de t1, variables hors base entranerait une diminution de la valeur de Z.Conclusion: solution optimale : x1=1, x2=3, z =2___________________________________________________________________A.BENHARI Page 16______________________________________________________________________________b) Exercice 1Soit le programme linaire suivant sous sa forme canonique:x1+x214-2x1 + 3x2 12 avec x1, x2 0 2x1-x212max z = x1 + 3x21. Mettre sous forme standardOn introduit donc les variables d'cart t1, t2 et t3:x1+x2+ t1 = 14-2x1 + 3x2+ t2 = 12 avec x1, x2, t1, t2, t3 0 2x1-x2 + t3 =12max z = x1 + 3x22. Proposer une rsolution graphique D2D3D1 x1 + x2 = 14 30x2 = 14 x112D2 x2 = 2/3 x1 + 4D3 x2 = 2 x1 - 12 D1si x1 = 0 et k = 0 alors x2 = 0car x2 = (k x1) / 3donc 0 x2 = -(1/3) x10 12x2 = 4 = (1/3) k 30x2 = 8 x1 = 6Z = 30 pour x1 = 6 et x2 = 83. Trouver une solution optimale par la mthode des tableauxcoef(bi/ai1) bix1x2t1t2t3dfinit14 14 1 1 1 0 0 t14 12 -2 3 0 1 0 t2-2 2 2 -1 0 0 1 t3Z 1 3 0 0 0Solution de base admissible:x1 = x2 = 0t1 = 14t2 = 12t3 = 2___________________________________________________________________A.BENHARI Page 17______________________________________________________________________________On prend celui qui fait augmenter le plus Z donc ici on choisit de faire rentrer x2 en base car son coeff sur Z est de 3.coef bix1x2t1t2t3dfinit10*3/5 6 10 5/3 0 1 -1/3 0 t1 L1 - L24*(-3/2) -6 4 -2/3 1 0 1/3 0 x2 L2/316*3/4 12 16 4/3 0 0 1/3 1 t3 L3 + L2Z-12 3 0 0 -1 0 LZ - 3L2L1 :t1 en fonction de x1, x2L'2 :x2 en fonction de t2L'1 :t1 en fonction de t2, x2L114 1 1 1 0 0L'24 -2/3 1 0 1/3 0L'110 5/3 0 1 -1/3 0L'3 :t3 en fonction de t2, x2L312 2 -1 0 0 1L'24 -2/3 1 0 1/3 0L'316 4/3 0 0 1/3 1Donc x1 = 0 = t2 ; x2=4 ; t1=10 ; t3=16 ; z=12On fait maintenant sortir t1 de la base, et donc rentrer x1:bix1x2t1t2t3dfinit6 1 0 3/5 -1/5 0 x18 0 1 2/5 1/5 0 x216-(4/3)*6 = 8 0 0 -4/5 3/5 1 t3Z-12-18 0 0 -9/5 -2/5 0z=30 ; x1 = 6 ; x2=8 ; t1=t2=0 ; t3=8c) Exercice 2Soit le programme linaire suivant sous sa forme canonique:3x1+x28x1 + 2x26 avec x1, x2 03x1+ 2x2 9max z = x1 + x21. Mettre sous forme standardOn introduit donc les variables d'cart t1 et t2:3x1+x2 + t1 = 8x1 + 2x2+ t2 = 6 avec xi, ti 03x1+ 2x2 + t3 = 9max z = x1 + x2___________________________________________________________________A.BENHARI Page 18______________________________________________________________________________2. Trouver une solution optimale par la mthode des tableauxcoef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3dfinit8/3 8 3 1 1 0 0 t16 6 1 2 0 1 0 t29/3 9 3 2 0 0 1 t3Z 1 1 0 0 0Solution de base admissible:x1 = x2 = Z = 0t1 = 8t2 = 6t3 = 9On choisit alors celui qui a le coefficient le plus important pour faire augmenter Z. Ici, Coef x1 = Coef x2 = 1donc on le choisit au hasard.Faisons rentrer x1 en base:3x1 + t1 = 8 8 3x1 0 8/6 x1+ contraignante donc on fait sortir t1x1 + t2 = 6 6 x1 0 6 x13x1 + t3 = 9 9 3x1 0 3 x1et on fait sortir t1 de la base:coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3dfinit8 8/3 1 1/3 1/3 0 0 x1 L1/32 10/3 0 5/3 -1/3 1 0 t2 L2-L'11 1 0 1 -1 0 1 t3 L3-3L'1Z-8/3 0 2/3 -1/3 0 0L26 1 2 0 1 0-L'1-8/3 -1 -1/3 -1/3 0 0L'210/3 0 5/3 -1/3 0 0L39 3 2 0 0 1-3L'1-8 -3 -1 -1 0 0L'31 0 1 -1 0 1LzZ 1 1 0 0 0-L'1-8/3 -1 -1/3 -1/3 0 0L'zZ-8/3 0 2/3 -1/3 0 0Z-8/3 = 2/3 x2 1/3 t1Ici, la solution est donc x1 = 8/3 t2 = 10/3 t3 = 1 x2 = t1 = 0Ce n'est pas la solution optimale. On fait donc rentrer x2 en base et sortir t3A.BENHARI Page 19Z = 8/3______________________________________________________________________________coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3dfinit7/2 7/3 1 0 2/3 0 -1/3 x1 L'1-1/3L''35/4 5/3 0 0 4/3 1 -5/3 t2 L'2-5/3L''3-1 1 0 1 -1 0 1 x2Z-10/3 0 0 1/3 0 -2/3 Lz-2/3L''3L'18/3 1 1/3 1/3 0 01/3L''31/3 0 1/3 -1/3 0 1/3L'1-1/3L''37/3 1 0 2/3 0 -1/3L'210/3 0 5/3 -1/3 1 05/3L''35/3 0 5/3 -5/3 0 5/3L'2 5/3 L''35/3 0 0 4/3 1 5/3L'zZ 8/3 0 2/3 -1/3 0 02/3L''32/3 0 2/3 -2/3 0 2/3L'z-2/3L''3Z 10/3 0 0 1/3 0 -2/3Solution:x1 = 7/3 ;x2 = 1 ;t2 = 5/3 ;t1, t3=0Faisons rentrer t1et sortir t2de la base (on fait sortir t2car il a le coefficient le plus petit positif).bix1x2t1t2t3dfinit3/2 1 0 0 -1/2 1/2 x1 L''1-1/3L''35/4 0 0 1 -5/4 t1 L'2-5/3L''39/4 0 1 0 -1/4 x2Z-15/4 0 0 0 -1/4 -1/4 Lz-2/3L''3L''17/3 1 0 2/3 0 -1/3L'''25/4 0 0 1 -5/4L''1-2/3L''23/2 1 0 0 -1/2 1/2L''2-1 1 0 1 -1 0L'''25/4 0 0 1 -5/4L''3 L''29/4 0 1 0 -1/4L''zZ-10/3 0 0 1/3 0 -2/3L'''25/4 0 0 1 -5/4L''z+1/3L''2Z-15/4 0 0 0 -1/4 -1/4Ici, onalasolutionoptimalecar lescoefficientsdelafonctionconomiquesont tous ngatifs.Z = 15/4pour x1 = 3/2 ;x2 = 9/4 ;t1 = 5/4 ;t2, t3 = 0A.BENHARI Page 20Z = 10/3______________________________________________________________________________d) Exercice 3Soit le programme linaire suivant sous sa forme canonique:x1 -x23-x1 + 2x2 4 avec x1, x2 02x1 +x2 8max z = x1 + x21. Mettre sous forme standardOn introduit donc les variables d'cart t1 et t2:x1 -x2 + t1 = 3-x1 + 2x2+ t2 = 4 avec xi, ti 02x1+ x2 + t3 = 8max z = x1 + x22. Trouver une solution optimale par la mthode des tableauxcoef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3dfinit3 3 1 -1 1 0 0 t1-4 4 -1 2 0 1 0 t24 8 2 1 0 0 1 t3Z 1 1/2 0 0 0Solution de base admissible:x1 = x2 = Z = 0t1 = 3t2 = 4t3 = 8On fait rentrer x1 en base et sortir t1:coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3dfinit-3 3 1 -1 1 0 0 x17 7 0 1 1 1 0 t22/3 2 0 3 -2 0 1 t3Z-3 0 3/2 -1 0 0On fait rentrer x2 en base et sortir t3:bix1x2t1t2t3dfinit11/3 1 0 1/3 0 1/3 x1 L1+L'319/3 0 0 5/3 1 -1/3 t2 L2-L'32/3 0 1 -2/3 0 1/3 x2 L'3Z-4 0 0 0 0 -1/2Mais on voit que ce n'est pas la seule solution (notamment grce au graphique) et on peut donc continuer en faisant rentrer t1 et sortir t2.A.BENHARI Page 21B______________________________________________________________________________bix1x2t1t2t3dfinit12/5 1 0 0 -5 2 x119/5 0 0 1 3/5 -1/5 t116/5 0 1 0 2/5 1/5 x2Z-4 0 0 0 0 -1/2En fait, il y a une infinit de solutions optimales sur le segment [AB].e) Exercice 4Soit le programme linaire suivant sous sa forme canonique:-x1 + x2 + 5x3 2x4 5x1 - 3x3 +x4 = 7 avec xi 0x1 + x2 + 4x3 -3x4 = 4max z = 13x1 + 6x2 - 2x3 - 10x41. Mettre sous forme standardOn introduit donc une seule variable d'cart t1:-x1 + x2 + 5x3 2x4 - t1 = 5x1 - 3x3 +x4 = 7 avec xi, ti 0x1 + x2 + 4x3 -3x4 = 42. Trouver une solution optimale par la mthode des tableauxbix1x2x3x4t15 -1 1 5 -2 -17 1 0 -3 1 04 1 1 4 -3 0Z 13 6 -2 -10 0Si l'on veut que L1 dfinisse x2:on aura L2 ; L'3 L3 - L1 ; L'4 L4 - 6L1bix1x2x3x4t1dfinit5 -1 1 5 -2 -1 x27 1 0 -3 1 0-1 2 0 -1 -1 1Z-30 19 0 -32 2 6Si l'on veut que L2 dfinisse x1:on auraL'1 L3 + L2 ; L'3 L3 - 2L2; L'4 L4 - 19L2A.BENHARI Page 22A______________________________________________________________________________bix1x2x3x4t1dfinit12 0 1 2 -1 -1 x27 1 0 -3 1 0 x1-15 0 0 5 -3 1Z-163 0 0 25 -17 6Si l'onveut queL3dfinissex4(car lesecondmembreest ngatif doncx4ayant un coefficient ngatif, cela se simplifie):on auraL'3 L3/-3.bix1x2x3x4t1dfinit17 0 1 1/3 0 -4/3 x22 1 0 -4/3 0 1/3 x15 0 0 -5/3 1 -1/3 x4Z-78 0 0 -10/3 0 1/3On arrive donc ici un simplexe et maintenant, on peut chercher optimiser z. Pour cela, on fait rentrer t1 en base et on sort x1:on a doncL'1 L1 + 4/3 L2 ; L'2 3L2 ; L'3 L3 + 1/3 L2; L'4 L4 1/3 L2bix1x2x3x4t1dfinit25 4 1 -5 0 0 x26 3 0 -4 0 1 t17 1 0 -3 1 0 x4Z-80 -1 0 -2 0 0Et on obtient donc la solution optimale pour x2 = 25 , x4 = 7 , x1 = x4 = 0 (t1 = 6 ). z = 80 .Sinon en passant par le systme:1/3 x3 4/3 t1 + x2 = 17 4/3 x3 + 1/3 t1 + x1 = 2 5/3 x3 - 1/3 t1 + x4 = 5max z = 78 + (-10/3 x3 + 1/3 t1)Et si x1 = x4 = x2 = 0 , on a donc: 1/3 x3 4/3 t1 17 4/3 x3 + 1/3 t1 2 5/3 x3 - 1/3 t1 5max z = 18 -10/3 x3 + 1/3 t1A.BENHARI Page 23______________________________________________________________________________3.3)Mthode des 2 phases et mthode MCes mthodes sont utiliser si les second membres ne sont pas tous positifs.a) Exemple 1:Soit le Programme Linaire dont la forme canonique est la suivante : 0 x , x2 x x 24 x x 26 x xx 3 x 2 z m a x2 12 12 12 12 1' + ++ En le mettant sous la forme standard : 0 x , x , x , x , x2 x x x 24 x x x 26 x x xx 3 x 2 z m a x5 4 3 2 15 2 14 2 13 2 12 1' + + + + ++ La difficult de cette tude provient du fait que lon na pas une solution admissible initiale, en fixant x1=x2=0 (variables hors-base) car on aurait alors x3=6 0 (valable), mais x4=4 0 (non valable) et x5 = 2 0 (non valable). Il faut donc commencer par chercher une premire solution admissible. On pourrait essayer se ramener au simplexe.Oualors, onintroduit desvariablesartificielles : x6et x7, associesuncoefficient dela fonction conomique ngatif, (pour que la solution optimale du PL avec ces deux variables artificielles soit obtenue avec x6 et x7 nulles, cest--dire la solution optimale du nouveau PL est la mme que celle du PL sans ces deux variables artificielles).Le Programme Linaire devient :A.BENHARI Page 24______________________________________________________________________________ ' + + + + + + 0 , , , , , ,2 24 263 2 m a x7 6 5 4 3 2 17 5 2 16 4 2 13 2 17 6 2 1x x x x x x xx x x xx x x xx x xM x M x x x zOn a alors une solution initiale admissible: x3 = 6 , x6 = 6 , x7 = 2 , donc z = 0(x1 , x2 , x4 , x5 sont hors base).b) Mthode des 2 phases:Pour la suite de l'exemple, on utilisera les noms de variables suivants: x1 + x2 + t1= 62x1 + x2- t2 + V1 = 4 avec xi, ti 02x1 - x2- t3+ V2 = 2A.BENHARI Page 25______________________________________________________________________________o 1 rephase: Cherchons dans le systme maximiser une nouvelle fonction conomique z' = -V1 V2V1 = 4 2x1 x2 + t2V2 = 2 2x1 + x2 + t3z' = -4 + 2x1 + x2 - t2 - 2 + 2x1 x2 - t3 = -6 + 4x1 - t2 - t3coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3V1V2dfinit6 6 1 1 1 0 0 0 0 t124 2 1 0 -1 0 1 0 V11 2 2 -1 0 0 -1 0 1 V2Z'+6 4 0 0 -1 -1 0 0Z 2 3 0 0 0 0 0Ici,L1 L1 - L3coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3V1V2dfinit10/3 5 0 3/2 1 0 0 -1/2 t11 2 0 2 0 -1 1 1 -1 V1-2 1 1 -1/2 0 0 -1/2 0 x2Z'+2 0 2 0 -1 1 0 -2Z-2 0 4 0 0 1 0 -1V2 tant devenu nul, on limine sa colonne du tableau.coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3V1 dfinit14/3 7/2 0 0 1 - - t1-2 1 0 1 0 - x2-6 3/2 1 0 0 - - x1Z' 0 0 0 0 0 -1Z-6 0 0 0 2 -1 -2Fin de la premire phase: solution initiale de (S):x1 = 3/2 , x2 = 1 , t1 = 7/2 , z = 6o 2 imephase: simplexe classique sur (S) On a hors base: t2 et t3 , et en base: x1 , x2 et t1.bix1x2t1t2t3dfinit14/3 0 0 4/3 1 -1/3 t210/3 0 1 2/3 0 1/3 x28/3 1 0 1/3 0 -1/3 x1Z 46/3 0 0 -8/3 0 -1/3La solution optimale est donc pour x1 = 8/3 , x2 = 10/3 , t2 = 14/3 , etz = 46/3A.BENHARI Page 26______________________________________________________________________________c) Mthode M ou des perturbations:x1 + x2 + t1= 6-2x1 - x2+ t2 - V1 = - 4 avec xi, ti 0-2x1 + x2+ t3- V2 = - 2max z = 2x1 + 3x2 - MV1 - MV2 avec M > 0aussi grandcoef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3V1V2dfinit6 6 1 1 1 0 0 0 0 t144 2 1 0 -1 0 1 0 V1-2 2 2 -1 0 0 -1 0 1 V2Z 2 3 0 0 0 -M -MIci, nous n'avons pas tout fait un tableau du simplexe car les coefficients de z ne sont pas nul pour V1 et V2. On fait rentrer x2 dans la base et sortir V1: L'1 L1 - L2bix1x2t1t2t3V1V2dfinit2 -1 0 1 1 0 -1 0 t14 2 1 0 -1 0 1 0 x26 4 0 0 -1 -1 1 1 V2Z-12 -4 0 0 3 0 -M-3 -MOn fait rentrer t2 dans la base et sortir t1.bix1x2t1t2t3V2dfinit2 -1 0 1 1 0 0 t26 1 1 1 0 0 0 x28 3 0 1 0 -1 1 V2Z-18 -1 0 -3 0 0 -MErreur de raisonnement: Le premier tableau n'est pas un tableau du simplexe, il aurait donc fallu commencer par le ramener une forme de vrai tableau du simplexe.o Mthode correcte: Il faut modifier la ligne "z" pour obtenir un vrai tableau du simplexe:bix1x2t1t2t3V1V2dfinit6 1 1 1 0 0 0 0 t14 2 1 0 -1 0 1 0 V12 2 -1 0 0 -1 0 1 V2Z+4M 2+2M 3+M 0 -M 0 0 -ML'4 L4 + ML2Z+6M 2+4M 3 0 -M -M 0 0L'4 L4 + ML3A.BENHARI Page 27______________________________________________________________________________Le tableau initial du simplexe est donc:coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3V1V2dfinit6 6 1 1 1 0 0 0 0 t12 4 2 1 0 -1 0 1 0 V11 2 2 -1 0 0 -1 0 1 V2Z+6M 2+4M 3 0 -M -M 0 0On fait rentrer x1 dans la base et sortir V2.coef (bi/ai1) bix1x2t1t2t3V1V2dfinit10/3 5 0 3/2 1 0 0 - t11 2 0 2 0 -1 1 1 -1 V1-2 1 1 - 0 0 - 0 x1Z+2M-2 0 4+2M 0 -M 1+M 0 -1-2MOn fait rentrer x2 dans la base et sortir V1.bix1x2t1t2t3V1 dfinit7/2 0 0 1 - -3/4 t11 0 1 0 - x23/2 1 0 0 - - x1Z-6 0 0 0 2 -1 -2-M3.4)Paramtrisation des coeff. de la fn co.Pour moduler les rsultats obtenus par la mthode du simplexe, on peut paramtrer certains des coefficients.Exemple: (Faure : Guide de la R.O., T.2 : les applications)Un agriculteur veut mettre en valeur un espace de 40 hectares, il dispose dun montant annuel de 63 000 u.m.(units montaires), de 840 journes de travail et se propose de semer du mas, du bl et du soja. La prparation la culture cote 1500 u.m. par ha pour le mas, 1800 u.m. par ha pour le bl et enfin 1050 u.m. par ha pour le soja. La culture dun ha ncessite : 18 journesdetravail pourlemas, 27journespourleblet15journespourlesoja. Les rapports esprs sont respectivement proportionnels : 420 u.m. pour le mas, 510 u.m. pour le bl et 360 u.m. (compte tenu dune prime dencouragement) pour le soja.a. Quels sont les choix de lagriculteur ?b. Lagriculteur apprend que la prime dencouragement la culture du soja est susceptible dtre modifie. Il dsire savoir quel tauxde prime il devrait changer la distribution des cultures rvles par le P.L.c. Supposonsmaintenantqueles moyens sous la forme du travail humain se trouvent soumis une limitation variable. Quelle est alors la meilleure occupation des sols ?A.BENHARI Page 28______________________________________________________________________________o a. Forme Canonique: 0 x , x , x8 4 0 x 1 5 x 2 7 x 1 86 3 0 0 0 x 1 0 5 0 x 1 8 0 0 x 1 5 0 04 0 x x xx 3 6 0 x 5 1 0 x 4 2 0 z m a x3 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1' + + + + + ++ + On introduit les variables d'carts et on simplifie:x1 + x2 + x3 + t1= 4010x1 + 12x2 + 7x3 + t2 = 420 avec xi, ti 06x1 + 9x2 + 5x3+ t3 = 280max z = 420x1 + 510x2 + 360(1+ )x3coef (bi/ai1) bix1x2x3t1t2t3dfinit40 40 1 1 1 1 0 0 t160 420 10 12 7 0 1 0 t2280/5=56 280 6 9 5 0 0 1 t3Z 420 510 360+3600 0 0Si 360 (1+ ) 5101+510/360=17/12 5/12On fait rentrer x3 dans la base et sortir t1:bix1x2x3t1t2t3dfinit40 1 1 1 1 0 0 x3140 3 5 0 -7 1 0 t280 1 4 0 -5 0 1 t3Z-40(360+360 )60-360150-3600-360-3600 0Si > 5/12, la solution optimale est 40 ha de sojaSi =5/12:coef (bi/ai1) bix1x2x3t1t2t3dfinit40 40 1 1 1 1 0 0 t135 420 10 12 7 0 1 0 t2280/9 280 6 9 5 0 0 1 t3Z 420 510 510 0 0 0coef (bi/ai1) bix1x2x3t1t2t3dfinitA.BENHARI Page 29______________________________________________________________________________80/4=20 80/9 1/3 0 4/9 1 0 -1/9 t1140 140/3 2 0 1/3 0 1 -4/3 t2280/5=56 280/9 2/3 1 5/9 0 0 1/9 x2Z-510*210/980 0 680/3 0 0 -510/9A.BENHARI Page 30______________________________________________________________________________bix1x2x3t1t2t3dfinit20 3/4 0 1 9/4 0 -1/4 x340 7/4 0 0 - 1 -5/4 t280/9 1/4 1 0 -5/4 0 1/4 x2Z - 49300/3-120 0 0 -510 0 0Si < 5/12 mme dmarcheEn divisant la premire ligne par 30, la troisime par 150 et la dernire par 3, on trouve le tableau suivant :Z 14 17 12 0 0 040 1 1 1 1 0 0420 10 12 7 0 1 0280 6 9 5 0 0 1Z 420 510 360 0 0 040 1 1 1 1 0 063000 1500 1800 1050 0 1 0840 18 27 15 0 0 1z 14 17 12 0 0 0 Cff40 1 1 1 1 0 0 40420 10 12 7 0 1 0 35280 6 9 5 0 0 1 31,11z4760/9 2 2/3 0 2 5/9 0 0 1 8/9 Cff8 8/91/3 04/9 1 0 1/9 26,66646 2/3 2 01/3 0 1 1 1/3 23,3331 1/92/3 15/9 0 01/9 46,666z5320/9 0 0 2 1/9 0 1 1/3 1/9 cff1 1/9 0 02/5 1 1/61/9 2,857123 1/3 1 01/6 01/2 2/3 14015 5/9 0 14/9 0 1/35/9 35z4180/7 0 0 0 38/7 3/7 5/720/7 0 0 1 18/7 3/72/7160/7 1 0 0 3/74/7 5/7100/7 0 1 0 8/7 1/73/7Solution optimale : z = 4180/7, cest--dire 4180/7*60 u.m ; x1 = 160/7 22,85 ha, x2= 100/7 14,28 ha , x3 = 20/7 2,85 haRq : dans cet exemple, toutes les ressources sont puises (crdit, journes de travail) et la terre est intgralement occupe. Cela provient du fait que le premier P.L. mis sous forme dgalit est un systme de Cramer.A.BENHARI Page 31______________________________________________________________________________b. Pour paramtrer alors suivant la valeur de la prime accorde au soja, remplaons dans la matrice optimale le coefficient de x3 de la fonction conomique par 12(1+ ), avec 1.Le nouveau tableau est :Z4180/7240/7 0 0 0 38/7216/7 3/7+36/7 5/724/7 20/7 0 0 1 18/7 3/7 2/7160/7 1 0 0 3/7 4/7 5/7100/7 0 1 0 8/7 1/7 3/7La solution avant paramtrage tait x1 = 160/7, x2 = 100/7, x3 = 20/7. Cette solution nest optimale que si tous les coefficients de la fonction conomique sont ngatifs : 1 = 38/7 216/7 0 19/108 2 = 3/7 + 36/7 0 1/12 3= 5/7 24/7 0 5/24 Bilan: A.BENHARI Page 32______________________________________________________________________________1 5/2 19/108 1/121+ + 2 +3+ On va donc garder la solution prcdente si ]19/108, 1/12[Si 19/108,1est le plus coefficient positif de la fonction conomique, donc on fait rentrer x4 dans la base. Z4180/7240/7 0 0 0 38/7216/7 3/7+36/7 5/724/7 Coeff20/7 0 0 1 18/7 3/7 2/7 10/9160/7 1 0 0 3/7 4/7 5/7 6400/21100/7 0 1 0 8/7 1/7 3/7 25/2On fait donc sortir x3 et entrer x4.Z5320/9 0 0 19/9+12 0 4/3 1/910/9 0 0 7/18 1 1/6 1/970/3 1 0 1/6 0 2/3140/9 0 1 4/9 0 1/3 5/9Cettesolutionest stablesi 19/9+12 0, cestdiresi 19/108, cequi est justement le cas. Donc si 19/108, la solution optimale consiste cultiver 70/3 ha de mas et 140/9 ha de bl, il reste alors 10/9 ha non cultivs. Le profit est alors de 5320/9 u.m., indpendant de , mais cest un hasard.Si 1/12, Z4180/7240/7 0 0 0 38/7216/7 3/7+36/7 5/724/7 Coeff20/7 0 0 1 18/7 3/7 2/7 20/3160/7 1 0 0 3/7 4/7 5/7 40100/7 0 1 0 8/7 1/7 3/7 v1/100On va faire sortir x5 et rentrer x1.Z580/7240 9 0 0 23/4 27 3/7+36/7 5/724/7 20 0 1 9/4 0 1/440 7/4 0 0 3/4 1 5/420 1 0 5/4 0 1/4Les coefficients de la fonction conomique sont ngatifs si : 9 0 1/12 vrai 23/4 27 0vrai car 0 5/4 + 3 0 5/12Donc la solution pour [1/12, 5/12] est 20 ha de soja et 20 ha de bl, pour un gain de 580+240 Si 5/12, on fait rentrer x6, puisque le coefficient 5/4 + 3 est positif, et on fait sortir x2.Z680 212 512 0 1212 0 040 1 1 1 1 0 0140 3 5 0 7 1 080 1 4 0 5 0 1A.BENHARI Page 33______________________________________________________________________________Cette fois, les coefficients de la fonction conomique sont tous ngatifs et la solution optimale dans cecas est de cultiver 40 ha de soja, pour un gain de 480+480 u.m.A.BENHARI Page 34______________________________________________________________________________Bilan:19/108 1/12 5/12Mas70/3 160/7 0 0Bl140/9 100/7 20 0Soja0 20/7 20 40Gain5320/9 4180/7+240/7 580+240 480+480 Remarque : si prendexactement lesvaleurslimites :19/108, 1/12, 5/12, lessolutions optimales sont les mmes par les deux procds de calcul, pour les valeurs plus grandes et plus petites que la limite.III. Dualit :Reprenons lexemple ci-dessus : 0 x , x , x2 8 0 x 5 x 9 x 64 2 0 x 7 x 1 2 x 1 04 0 x x xx 1 2 x 1 7 x 1 4 z m a x3 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1' + + + + + ++ + Le dual du 1er PL est obtenu partir du tableau suivant : X1X2X3MinY11 1 1 40Y210 12 7 420Y36 9 5 280max 14 17 12Cest--dire : 0 y , y , y1 2 y 5 y 7 y1 7 y 1 7 y 1 2 y1 4 y 6 y 1 0 yy 2 8 0 y 4 2 0 y 4 0 ' z m i n3 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1' + + + + + ++ + 0 y , y , y , y , y , y1 2 y y 5 y 7 y1 7 y y 1 7 y 1 2 y1 4 y y 6 y 1 0 yy 2 8 0 y 4 2 0 y 4 0 ' z m i n6 5 4 3 2 16 3 2 15 3 2 14 3 2 13 2 1' + + + + + ++ + A.BENHARI Page 35______________________________________________________________________________ 0 y , y , y , y , y , y , y , y , y1 2 y y y 5 y 7 y1 7 y y y 9 y 1 2 y1 4 y y y 6 y 1 0 yM y M y M y y 2 8 0 y 4 2 0 y 4 0 ' z m i n9 8 7 6 5 4 3 2 19 6 3 2 18 5 3 2 17 4 3 2 19 8 7 3 2 1' + + + + + + + + ++ + + + + Onintroduit desvariablesdcart, sinononnapasdesolutioninitialeadmissible : y1=0, y2=y3=0 et y4= 14 et y5= 17 et y6= 12. Le coefficient M reprsente ici une valeur trs grande (plus grande que toutes les valeurs numriques apparaissant dans les calculs, et M )On a alors une solution admissible du nouveau PL : y1= = y6 = 0, y7=14, y8= 17, y9 = 12.On cherche minimiser z ou maximiser z=zZ 40 420 280 0 0 0 M M M14 1 10 6 1 0 0 1 0 017 1 12 9 0 1 0 0 1 012 1 7 5 0 0 1 0 0 1Ce tableau nest pas encore un tableau du simplexe car les variables de la base sont y7, y8 et y9 et la fonction conomique z dpend de ces variables ! ! !1re transformation : (la ligne de z est remplace par L1+ML2)Z +14M40 +M420 +10M280 +6M0M 0 0 0 M M14 1 10 6 1 0 0 1 0 017 1 12 9 0 1 0 0 1 012 1 7 5 0 0 1 0 0 12me transformation : (la ligne de z est remplace par L1+ML3+ML4)Z +43M40 +3M420 +29M280 +20MM M M 0 0 014 1 10 6 1 0 0 1 0 017 1 12 9 0 1 0 0 1 012 1 7 5 0 0 1 0 0 1Rq : comme M est trs grand, 420+29M > 0 et est le plus grand de tous les coefficient. Donc onfait rentrer y2danslabase. Pour voir quellevariablesort delabase, dterminons la colonne des coefficients relatifs :Coeff14/10=1,417/12 1,416612/7 1,7142Donc il faut faire sortir y7 de la base. Le tableau rsultant est :A.BENHARI Page 36______________________________________________________________________________Z+588 +12/5M 2 +M/10 0 28+13/5M 42+19/10M M M 4229/10M 0 0 coeffy27/5 1/10 1 3/5 1/10 0 0 1/10 0 0 7/3y81/5 1/5 0 9/5 6/5 1 0 6/5 1 0 1/9y911/5 3/10 0 4/5 7/10 0 1 7/10 0 1 11/4On limine la colonne de y7 puisque la variable est maintenant hors base.on limineZ +5320/9+19/9M 10/9+7M/18 0 0 70/3+1/6M 140/9+4/9M M 140/913/9M M coeffy24/3 1/6 1 0 1/2 1/3 0 1/3 0 1/8y31/9 1/9 0 1 2/3 5/9 0 5/9 0 1/1y919/9 7/18 0 0 1/6 4/9 1 4/9 1 7/38Pour liminer y9, on va choisir une variable HB ayant un coefficient dans la fonction conomique positifA.BENHARI Page 37______________________________________________________________________________Z +4180/7 0 0 0 160/7 100/7 20/7y23/7 0 1 0 4/7 1/7 3/7y35/7 0 0 1 5/7 3/7 2/7y138/7 1 0 0 3/7 8/7 18/7On a donc obtenu une solution de base admissible : y1= 38/7, y2= 3/7, y3=5/7, y4, y5, y6 tant des variables HB.De plus cette solution est optimale (ce ne sera pas toujours le cas), car tous les coefficients de la fonction conomique sont ngatifs.Pr. :les solutions optimales du dual et les solutions optimales du primal sont associes :n primal colonnes sol. primalx1x2x3x4x5x6Lignesx11 0 0 3/7 4/7 5/7 160/7 y4colonnesx20 1 0 8/7 1/7 3/7 100/7 y5x30 0 1 18/7 3/7 2/7 20/7 y6x40 0 0 1 0 0 0 y1x50 0 0 0 1 0 0 y2x60 0 0 0 0 1 0 y3coeff primal 0 0 0 38/7 3/7 5/7y4y5y6y1y2y3n duallignesNB : onaurait puneprendrequuneseulevariableartificielle entransformant lamatrice initiale du problme :' + + +1 4 x x 6 x 1 0 x1 7 x x 9 x 1 2 x4 3 2 15 3 2 10x1 + 2x2 + x3+ x4 x5=3(L2 L1)' + + +1 2 x x 5 x 7 x1 7 x x 9 x 1 2 x6 3 2 15 3 2 1 0x1 + 5x2 + 4x3 x5 + x6 = 5 (L2L3)Le tableau ne ncessite alors plus quune variable artificielle :z 40 40 280 0 0 0 M17 1 12 9 0 1 0 13 0 2 1 1 1 0 05 0 5 4 0 1 1 0Exercices :Mthode du SimplexeA.BENHARI Page 38______________________________________________________________________________S1) Ecrivez le problme PL suivant sous forme standard avec des M.d.D. non ngatifs:Max z = 2x1 + 3 x2+ 5 x3 Formulez son dual.S2) Considrons lensemble de contraintes suivant: x1 + 7 x2 + 3x3 + 7 x4 463 x1-x2+x3 + 2 x4 82 x1 + 3 x2 -x3 +x4 10Rsolvez par la mthode du simplexe le problme obtenu lorsque la fonction objectif est donne par:a) max z = 2x1+ x2-3x3+ 5x4b) max z = - 2x1+ 6x2+ 3x3-2x4c) max z = 3x1-x2+ 3x3+ 4x4d) min z = 5x1-4x2+ 6x3+ 8x4e) min z = 3x1+ 6x2-2x3+4x4S3) Rsolvez le problme suivant par la mthode du simplexemax z = 5x1 + 4x2 + 3x3s.c. 2 x1 + 3 x2 +x354 x1 +x2 + 2 x3 113 x1 + 4 x2 +2 x3 8x1,x2,x3 0S4) Rsolvez le problme suivant par simple inspection, puis par la mthode du simplexemax z = 5 x1 - 6 x2 + 3 x3 - 5 x4 + 12 x5s.c. A.BENHARI Page 39______________________________________________________________________________S5) Rsolvez le problme suivantpar la mthode du simplexe :Ondoit organiser unpont arienpourtransporter 1600personneset 90tonnesde bagages. Les avions disponibles sont de deux types: 12 du type A et 9 du type B. Le type A peut transporter, pleine charge, 200 personnes et 6 tonnes de bagages. Le type B,100personneset6tonnesdebagages. LalocationdunaviondutypeAcote 800.000 F; la location dun avion du type B cote 200.000 F. S6) Les dictionnaires ci-dessous ont t obtenus aprs excution de quelques itrations de lamthodedusimplexesurdiffrents problmes.Quellesconclusions pouvez-vous tirer sur base de linformation contenue dans ces dictionnaires?Les conclusions possibles sont par exemple:. la solution courante est optimale, et vaut ...;. le problme est non born parce que ...;. le problme est non ralisable parce que ...;. la solution courante nest pas optimale; dans ce cas, calculez la solution optimale.a) min z b) max z c) max zs.c. Dualit & SensibilitDS1) Suite de lexercice S6a).Quel est le cot rduit de chacune des variables du problme?DS2) Suite de lexercice S3).a)Si le coefficient de la variable x2 dans la fonction objectif augmentait de 2 units, quel serait leffet produit sur la solution optimale et la valeur optimale du problme? Et si cette augmentation tait de 4 units?b) Quel est le cot rduit de chacune des variables du problme?c) Quel est le prix dual de chacune des contraintes dingalit du problme?DS3) Considrons le programme linaire suivant, exprim sous forme standard:A.BENHARI Page 40______________________________________________________________________________min z =2x1+x2s.c. a) Calculer le dictionnaire associ la base B dfinie par les variables de base x1, x2, x5 . b) La solution de base associe B est-elle ralisable et optimale?DS4) Soit le problme (P):max z = 2x1 + 4x2 + 4x3 - 3x4 La base optimale de (P) est et son inverse a) Formulez le problme dual de (P).b) Sur base des informations fournies (et donc,sans utiliserla mthode du simplexe ni la mthode graphique), calculez la solution optimale de (P) et celle de son dual. Expliquez la mthode que vous utilisez.c) Si la fonction objectif de (P) est remplace parmax z = 3x1 + 4x2 + 4x3 - 3x4 ,la base B donne ci-dessus reste-t-elle optimale? Justifiez votre rponse.DS5) Soit le problme suivant (P):max z = 100x1 + 50x2 + 25 x3 A.BENHARI Page 41______________________________________________________________________________ La base optimale de (P) est a) Ecrivez le dual de (P)b) Quelle est la solution optimale du programme (P) et celle de son dual?c) Dansquel intervallepeut varier lemembrededroitedelacontrainte(2)sans affecter loptimalit de B ?DS6) Soit le problme de programmation linairemax z = 60x1 + 30x2 + 20x3 La rsolution de ce problme par la mthode du simplexe permet de calculer la base optimale a) Calculez la solution optimale et la valeur optimale du problme.b) Calculez et interprtez le prix dual de la contrainte (2).DS7) Soit le problme de programmation linairemax z = 30 x1+20x2 a) Rsolvez le problme graphiquement.b) Sur base de a), dterminez la base optimale B.c) Pourrait-on dduire les prix duaux sur base de cette information?DS8) Soit le problme de programmation linaire (P):minz = 500x1 + 500x2 + 500x3 + 300x4 + 425x5 A loptimum de (P), on ax1=x2= x3= x5 =0a) Trouvez la solution optimale et la matrice de base optimale pour (P).b) A partir de la matrice de base, calculez la valeur optimale des variables duales.c) Ecrivez le problme dual de (P).A.BENHARI Page 42______________________________________________________________________________DS9) Soit le problme de programmation linairemaxz = 4x1 + 5x2 + 6x3 a) Formulez le dual et rsolvez-le (par inspection)b) Utilisez a) et le thorme de dualit forte pour rsoudre le primal.DS10) Soit le problme de programmation linaire:min z = 2x1 + 3x2 A.BENHARI Page 43______________________________________________________________________________Son dual scritmaxw=30y1+10y2 Dterminez si les solutions suivantes sont ralisables et optimales:a) ( x1 = 10, x2 = 10/3; y1 = 0, y2 = 1, y3 = 1)b) (x1 = 20, x2 = 10;y1 = 1, y2 = 4, y3 = 0)c) (x1 = 10/3, x2 = 10/3; y1 = 0, y2 = 5/3, y3 = 1/3)DS11) Considrons le programme linaire suivantmaxz=5x1+2x2+3x3 La solution optimale est donne par le dictionnaire finalmax z2 31 2 32 3 223 7 1505 2 30. . 10 8 10, 0z x xx x xs c x x sx s+ + + + + ' a) Ecrivez le problme dual associ.b) Dterminez la matrice de base optimale B. Dduisez-en la solution optimale du dual.c) Dans quelintervallepeut varier c1(idem c2, c3) sans affecter loptimalit de la solution?d) Dans quel intervalle peut varier b1(idem b2) sans affecter loptimalit de la base B? e) Dterminez les prix duaux.DS12) Considrons le problme de lexercice DS11.a) Supposons que le M. de D. des contraintes devienne (30 + , 40 - ), o est un paramtre non ngatif. Dterminez les valeurs de pour lesquelles la base B reste optimale.b) Pour chacune des fonctions objectif suivantes, trouvez la nouvelle solution optimale en utilisant la procdure danalyse de sensibilit.i) max z = 12x1 + 5x2 + 2x3ii) min z = 2x2 - 5x3A.BENHARI Page 44______________________________________________________________________________DS13) Voici laformulationdunpetit problmedetransport impliquant 3entreptset 2 clients:min z = 3x11 + 2x12 + 4x21 + x22 + 2x31 + 3x32 (remarquez que le problme est non quilibr).Ce problme a t mis sous forme standard en introduisant des variables dcart s1 , s2 et s3dans les trois premires contraintes, puis rsolupar unlogiciel utilisant la mthode du simplexe. Voici quelques informations sur la solution optimale: les variables en base loptimum sont x11, x12, x22, x31 et s1; le cot rduit de x21 et celui de x32sont gaux 2; les prix duaux des contraintes sont donns par (y1, y2, y3, y4, y5) = (0, -1, -1, 3, 2).a) Mettez le problme sous forme standard (comme suggr ci-dessus) et formulez son problme dual.b) Utilisezlinformationdonneplus haut pour calculer lasolutionoptimaledu problme et le cot de transport correspondant.c) Si le cot unitaire de transport entre lentrept 2 et le client 1 diminuait de 1 unit (passant ainsi de 4 3), quelle serait lincidence de ce changement sur la solution optimale et la valeur optimale calcules prcdemment?d) Legestionnairedutroisimeentrept saperoit quil acommisuneerreur en valuant ses stocks: il possde en fait 55 units en stock. En supposant que la base optimale ne soit pas affecte, quel sera leffet de cette correction sur le cot de transport optimal?A.BENHARI Page 45______________________________________________________________________________ Files dattenteF1) Le responsabledunparking du centre-ville a compt le nombre de voitures gares dans son parking diffrents instants de la journe. En moyenne, il en a trouv 150. Il saitparailleursque, toujoursenmoyenne, 40voituresparheurepntrent dansle parking et y trouvent une place.Estimez letemps moyen pass par chaque voiture dans le parking. Expliquez votre approche.F2) Des clients arrivent dans un restaurant selon un processus de Poisson au taux de 20 clients par heure. Le restaurant ouvre ses portes 11 heures.Trouvez:a) la probabilit davoir 20 clients dans le restaurant 11 h 12 sachant quil y en avait 18 11 h 07.b) la probabilit quun nouveau client arrive entre 11 h 28 et 11 h 30 sachant que le dernier client est arriv 11 h 25.F3) Despatientsarrivent unecliniqueselonunprocessusdePoisson. Ondisposede linformation suivante: si X reprsente lintervalle de temps coul entre deux arrives successives, alorsPr [x > 30|x > 15] =0,6Soit N(t) le nombre de clients qui se prsentent durant un intervalle de t minutes.Calculez Pr [ N(15) = 0 ]. Justifiez votre rponse.F4) Les articles dun stock sont vendus selon un processus de Poisson au taux de 5 articles par jour. Le stock initial est de 80 articles.a) Trouvez la probabilit que 10 articles soient vendus durant les 2 premiers jours.b) Dterminez la probabilit quil ny ait plus darticles en stock aprs 4 jours.c) Dterminez le nombre moyen darticles vendus sur une priode de 4 jours.A.BENHARI Page 46______________________________________________________________________________F5) Des clients se prsentent une agence de banque au rythme moyen de 10 clients par heure. Ils y sont servis par lunique employ de lagence, auprs duquel chaque client passe 5 minutes en moyenne. Selon les donnes recueillies par le directeur de lagence, les arrives de clients et les temps de service semblent caractristiques de processus de Poisson.a) Quel modle dcrit adquatement ce systme? Expliquez.b) Estimez le temps moyen pass par chaque client dans le systme.Le directeur de lagence dcide de licencier son employ et de le remplacer par un employ plus qualit, x fois plus rapide que lemploy actuel, o x est un paramtre au moins gal 1.c) Estimez le temps moyen pass par chaque client dans ce nouveau systme.d) Que doit valoir x pour que le temps ainsi calcul en c) soit rduit 5 minutes?F6) Un aroport possde une seule piste rserve aux dcollages (et une autre rserve aux atterissages).En moyenne,la tour de contrle reoit 15 demandes dautorisation de dcoller par heure; ces demandes surviennent selonunprocessusdePoisson. Par ailleurs, la dure moyenne de chaque dcollage est de 3 minutes, mais varie de faon alatoire selon une loi exponentielle (par dure de dcollage , on entend le temps coul entrelemoment o la tour donne un avion lautorisation de dcoller et le moment o elle peut accorder cette autorisation un (ventuel) avion suivant).a) Quel modle dcrit adquatement ce systme? Expliquez.b) Estimez le nombre moyen davions en file dattente, cest--dire ayant demand, mais pas encore reu, lautorisation de dcoller.c) Estimez le temps moyen pass par chaque avionenfile dattente (dfini comme en b)).d) Quelle est la probabilit quun avion qui demande lautorisation de dcoller ne reoive pas immdiatement cette autorisation, et doive donc attendre?e) Par mesuredescurit, onvoudrait rduire2lenombremoyendavions grspar latour decontrle(cest--dire, enfiledattenteouencoursde dcollage) tout instant. Acombien faut-il rduire la dure moyenne de chaque dcollage pour atteindre ce but?F7) Desvoituresarrivent unpostedepageselonunprocessusdePoissonavecune moyenne de 90 voitures par heure. Le temps moyen de passage ce poste est de 38 secondes. Les automobilistes se plaignent de longues attentes ce poste. Les autorits locales dsirent alors rduireletemps depassage30secondes eninstallant un nouveaudispositifautomatique. Maiscettemodificationserajustifieseulement si, sous lancien systme, le nombre moyen de voitures dans la file dpasse 5. De plus, le pourcentage de temps creux (cest--dire sans voitures) sous le nouveau systme ne devrait pas excder 10%.Le nouveau dispositif peut-il tre jusitifi?F8) Linfirmerie dunegrosseentreprise emploie deuxinfirmires qui soccupent des incidents bnins (petits accidents, malaises, etc.) survenant durant les heures de travail. Lesarrivesdespatientslinfirmerie forment approximativement un processusde A.BENHARI Page 47______________________________________________________________________________Poisson; en moyenne, il arrive deux patients par heure. Chaque patient est soign par une seule infirmire (elles ont des qualifications identiques) et le traitement dure une demi-heure en moyenne (la dure du traitement suit une loi exponentielle).a) Quel modle de files dattente dcrit-il adquatement cette situation? Prcisez tous les paramtres du modle.b) Enmoyenne, combiendepatientssetrouvent-ilsdanslafiledattenteun instant quelconque de la journe? Combien de temps doivent-ils attendre avant dtre pris en charge par une des infirmires?F9) Uneagencedebanqueest modlise par un systme de files dattente M/M/2.Les clients sy prsentent au rythme de 8 clients par heure. Le temps de service est de 5 minutes par client.a) Quelle est la distribution de probabilit de la variable alatoire temps coul entre deux arrives de clients successives ?b) Calculez la probabilit quun client qui se prsente lagence soit servi sans attendre.c) Calculez le temps dattente moyen par client.d) Interprtezcesystme M/M/2commeun processus denaissance et demort particulier.(Quelle est la valeur des paramtres de ce processus?)F10) Dans un systme de files dattente M/M/2 le temps de service moyen est de 5 minutes et la dure moyenne entre deux arrives successives est de 8 minutes.a) Quelle est la probabilit quun client qui se prsente doive attendre?b) Quelle est la probabilit quun serveur au moins soit libre?c) Quelle est la probabilit que les deux serveurs soient libres?F11) Etablissez le diagramme de transition et les quations dquilibre dun systme de files dattenteM/M/3danslequel unmaximumde5clientspeuventtresimultanment prsents.Dterminez les probabilits long terme pn (n 0).F12) Un systme de files dattente ne peut contenir plus de 4 clients. Le taux darrive est = 10 clients par heure et le taux de dpart est = 5 clients par heure. Ces deuxtauxsont indpendants dunombre nde personnes dans le systme. Nous supposons que les processus darrive et de dpart suivent une distribution de Poisson. Dessinez le graphe de transition; puis dterminez ce qui suit:A.BENHARI Page 48______________________________________________________________________________a) les quations dquilibre dcrivant le systme;b) les probabilits stationnaires;c) le nombre moyen Ls de clients dans le systme;d) le taux darrive moyen eff;e) le temps moyen Wq pass dans la file.f)Solutions des exercicesS2) d) Solution optimale: (z*, x*, s*)=(-40/3, 0, 10/3, 0, 0, 68/3, 34/3, 0).S3) Solution optimale: (z*, x*, s*)=(13, 2, 0, 1, 0, 1, 0).S4) Solution optimale: (z*, x*, s*)=(450, 90, 0, 0, 0, 0, 0).S5) Solution optimale: (z*, x*, s*)=(4600, 7/2, 9, 0, 22, 17/2, 0).S6) a) Il existe une infinit de solutions optimales; b) Dictionnaire nonoptimal; c) Dictionnaire non optimal.DS1) Cot rduit de x1=1, de x5=5; les autres sont nuls.DS2) a) i)Pas de changement; ii) x2 peut entrer en base. Nouvelle solution optimale:(z*, x*, s*)=(14, 0, 1, 2, 0, 6, 0); b) Cot rduit de x2=3; c) Prix duaux=1, 0, 1 resp.DS3) b) Oui.DS4) b) x*=(0, 2, 2, 0), y*=(4, 0); c) Oui.DS5) b) (x*, s*)=(15/4, 25/4, 0, 0, 35/4, 0, 40), y*=(25/2, 0, 75/2, 0); c) [65/4, +[.DS6) a) (z*, x*)=(280, 2, 0, 8, 24, 0, 0); b) y2*=10.DS7) b) xB=(x1, x2, s3); c) y*=(5, 5, 0).DS8) a) x4*=150, s1*=0, s2*=0; b) y*=(300,0).DS9) a) y*=4/3; b) x1*=11/3.DS10) a) Ralisables; b) Pas ralisables; c) Ralisables et optimales.DS11) b) y*=(5, 0); c) c1[3/2, +[, c2]-, 25], c3]-,10]; d) b1[0, 40], b2[30, +[.DS12) a) [0,5]; b) i) La solution optimale est inchange; ii) Faire entrer x3 en base.DS13) b) z*=290, xB*=(40, 10, 50, 50, 10); c) Pas de changement; d) Valeur optimale: 285.F1) WS=3h45.F2) a) 0,2623; b) 0,4866.F3) 0,6.F4) a) 0,1251; b) 0,000137; c) 20,0055.F5) a) M/M/1; b) WS=30 minutes; c) WS=30/(6x-5) minutes; d) x=11/6.F6) a) M/M/1; b) Lq=9/4; c) Wq=9 minutes; d) 1-p0=3/4; e) 1/=2,66 minutes.F7) p0=1/4. Le systme amlior est rejet.F8) a) M/M/2; b) Lq=1/3; Wq=10 minutes.F9) b) 5/6; c) Wq=37,5 secondes.F10) a) 0,1487; b) 0,8513; c) 0,5238.F12) b) pi=2i/31, i=0,...,4; c) LS=3,16; d) eff=4,84; e) Wq=27,2 minutes.A.BENHARI Page 49______________________________________________________________________________Problmes deProblmes de TRANSPORTTRANSPORTA.BENHARI Page 50______________________________________________________________________________PROBLEMES DE TRANSPORTPROBLEMES DE TRANSPORTI. Exemple de l'usinem usines fournissent n clients : lusine i (1 i m) produit aiunits, le client j rclame bj units. On supposeque lecotdetransport de lusine i au client j est proportionnel la quantit transporte et que le cot unitaire de ce transport est cij, la quantit transporte de i vers j tant linconnue xij.1.1)Problme: rpartition des expditions Objectif: Il faut trouver la rpartition des expditions qui coule la production et satisfait la demande, tout en rendant le cot total du transport minimal.Le problme nadmet des solutions que si la demande totale gale la production totale cest--dire si iiiib a. Si cette condition nest pas vrifie initialement, on cherchera satisfaire au mieux les exigences de chacun, en crant, soit un client fictif qui rclamerait le surplus de la production, soit une usine fictive qui fournirait la quantit manquante.Client disponibilitUsine cijajDemande bjAvec iiiib aExemple:grille des cotsOn essaye de rpartir les transports pour un cot minimal en tenant compte de la grille des cots:Clients Disponibilit des usines Usine8 11 2 8 93 7 1 4 102 0 10 5 7Demande des clients6 9 8 3 26A.BENHARI Page 51______________________________________________________________________________1.2)Modlisation du problmexij=quantit fournie par l'usine i pour le client jCij=cot de transport d'une unit de l'usine vers le client jmin z=c11 x11 + c12 x12 + + c34 x34min j , iij ijx . ccontraintes de production :in1 jija x pour 1 i mcontraintes de consommation : jm1 iijb x pour 1 j ncontraintes de signe : xij 0cest--dire :' + + + + + + + + + + + + + + + + +3 x x x8 x x x9 x x x6 x x x7 x x x x1 0 x x x x9 x x x x3 4 2 4 1 43 3 2 3 1 33 2 2 2 1 23 1 2 1 1 13 4 3 3 3 2 3 12 4 2 3 2 2 2 11 4 1 3 1 2 1 1Dans cet exemple, il y a 7 (=n+m) contraintes propres avec 12 inconnues.Le tableau pourrait donc devenir un tableau du simplexe : x11x12x13x14x21x22x23x24x31x32x33x34bi1 1 1 1 91 1 1 1 101 1 1 1 71 1 1 61 1 1 91 1 1 81 1 1 38 11 2 8 3 7 1 4 2 0 10 5Mais jjiij iiji jijb a x xDonc on peut liminer une des contraintes, do il y a m+n-1 quations indpendantes, m+n-1 variablesdansunebaseet unesolutiondebasecomporteraauplusm+n-1variablesnon nulles.A.BENHARI Page 52(pour l'usine 1)(pour l'usine 2)(pour l'usine 3)______________________________________________________________________________1.3)Reprsentation graphiqueOn va rechercher une solution initiale:6 3 / / 9/ 6 4 / 10/ / 4 3 76 9 8 3Ici le cot est de 6x8 + 3x11 + 6x7 + 4x1 + 4x10 + 3x5 = 182 mais on ne sait pas s'il s'agit de la solution optimaleSous forme dun arbre, on peut reprsenter autre solutionusines clients6 3 99 1 107 76 9 8 3Remarque : Dans cet exemple, m=3, n=4, toutesolutiondebasecomporteraauplus 6 variables non nulles. Cette solution est une solution admissible. Pour cette distribution, le cot est 206. Cette solution de base comporte sept variables nulles. Pour avoir une autre solution de base, on doit garder hors base 6 de ces variables et mettre la 7me en base.On doit exprimer la fonction conomique en fonction des variables hors base :Min z - =j , iij ijx . coijcest la variation du cot total , rsultant dune modification dune unit de la quantit transporte sur la route hors base. Si cette variation est positive, on a intrt ne rien transporter sur cette route (xijreste Hors Base), sinon on peut transporter une quantit aussi grande que possible, le cot total diminuant proportionnellement ( xij).Ex. : route (3, 2) : incidence sur le cot total de lenvoi dune unit supplmentaire sur (3, 2) : la production delusine3estinchangedoncletransport (3, 3) doit dcrotreduneunitdoncletransport (2, 3) crotdune unitetle transport (2,2)dcrot dune unit.Do 32c= 1c32 1c33 1c22 + 1c23 =- 16. On appelle 32cla somme des regrets. On gagne ici 16 units, la dmarche consiste donc essayer toutes les possibilits pour diminuer les cots. Pour cela, on interprte ces coefficients en posant cij= ui+ vj(d'o 32c= -c22+ c23 c33+ c32). On va poser ces quations sur des chemins non nuls (autrement dit, hors bases).Cette mthode permet pour chaque variable de dterminer un cycle de rquilibrage si cest possible.A.BENHARI Page 532=93=84=31231=6 63 9782=93=84=31231=6 637-11+1 +19-1On met le maximum dans la case et on annule ensuite les lignes et les colonnes suivantes______________________________________________________________________________1.4)Mthode plus rapide (des regrets)Dcomposons cij en somme ui + vj. Dans notre exemple, on cherche ui, vj pour 1 i 3, 1 j 4.' + + + + + +3 2 2 32 3 3 22 2 2 21 4 4 11 3 3 11 1 1 1c v uc v uc v uc v uc v uc v uIl y a donc 6 quations et 7 inconnues. Ce systme a donc une infinit de solutions. On peut trouver une de ces solutions en choisissant une des inconnues au hasard (u1 = 0)Alors( ) ( ) ( ) ( )2 1 12 2 2 3 2 3 1 12 12v u c v u v u v u c c + + + + + , Plus gnralement, ( )j i ij ijv u c c + , pour (i,j) HBEffectuons ces calculs grce des tableaux.Regrets pour la solution initiale: ( )1 1 11 11v u c c + = 0( ) 16 16 0 c v u c c32 2 3 32 32 + Ici plusieurs coefficients sont ngatifs, donc plusieurs routes permettent doptimiser le transport. Lasolutionnestdoncpasoptimale(lasolutionoptimaleseratrouvlorsquele tableaudes regrets necontiendraquedes coefficients positifs). Amliorons-laenfaisant entrer enbase la variable x32(car cest celle qui rapporte la plus grande diminution). Autrement dit, on fait passer le maximum par le chemin (3,2).1.5)Changement de baseFaisons donc entrer x32 : on choisit, tant que cela est possible, de nutiliser quun nouveau chemin, ici (3,2) et donc de faire dcrotre des chemins existants.6 0 3 nouvelle grille des transports: 6 0 39- 1+2 87-7A.BENHARI Page 548 2 8 87 1 710 160 0 - 6 0. 3 . . 8-4 . . -3 7-14 -16 . -11 160 0 - 6 0______________________________________________________________________________Prenons maximum : = 7. Le cot de cette rpartition est 206 7x16 = 94.A.BENHARI Page 55______________________________________________________________________________Dterminons le tableau des regrets pour savoir si cette solution est optimale :8 3 0 8 8-4 7 1 -3 72 0 16 5 00 0 - 6 0Comme un regret est encore ngatif, la solution nest pas optimale : elle peut tre amliore enutilisant lechemin(1,2). Onfait alorslarecherchedunombremaximal dunitsde transport qui peuvent transiter par ce chemin. Dans ce cas, on ne peut utiliser que des chemins existants sauf (1,2), donc on va comparer les diverses solutions:6- 3 Ou 6-32 8-2-87 7Dans la premire solution, prenons le maximum (= 6).Le gain est de 6x3 - 6x8 + 6x2 - 6x1= 6x(-4) = -24Dans la seconde solution, prenons le maximum (= 2). Le gain est de :2x(3 8 + 11 - 7) = 2x(-1) = -2, ce qui est plus faible que dans le premier cas. Continuons donc avec la premire solution. On a donc une nouvelle grille des transports : 6 36 2 27Pour cette rpartition, le cot est de 94 24 = 70La solution est-elle optimale ?Pour le savoir, on ralise le tableau des regrets:4 3 2 8 43 7 1 -3 36 0 16 5 -40 4 -2 4Comme un coefficient est encore ngatif, on peut encore optimiser la solution en faisant entrer (2,4) dans les chemins utiliss. Ce qui donne la grille des transports suivante:6+3- donc = 28 16 22- 6 2 27 7Le cot de cette rpartition est de 64.Le tableau des regrets est : 1 0 2 8 73 7 3 4 36 0 19 8 -40 4 -5 4A.BENHARI Page 56En gris, apparat le calcul des u et v______________________________________________________________________________Cettefois-ci, onaatteint lasolutionoptimalepuisquetous les regrets sont positifs. Cependant, cettesolutionnest pasuniquecar certainsregretssont nuls. Eneffet, onne changerait rien en utilisant le chemin (1,2) plutt que (2,4).A.BENHARI Page 57______________________________________________________________________________1.6)Cas de dgnrescenceAu cours dun changement de base, il peut arriver que plusieurs variables sannulent simultanment. Une seule de ces variables sortant de base, les autres restent en base avec une valeur nulle ; la nouvelle solution est alors dgnre. Dans ce cas, on a le choix de la variable sortante, on prfre en gnral faire sortir celle qui correspond au cot le moins lev.Exemple: On vient de trouver une solution dans laquelle un des regrets est nul. Cela signifie que si le chemin (1,2) tait utilis, le gain serait nul.Le cot de cette nouvelle solutionest 70. Cest galement une solution optimale.I. Recherche dune solution initiale2.1)Rgle du coin Nord-Ouest ("hasard")Quantit disponible12 27 61 49 83 35 1823 39 78 28 65 42 3267 56 92 24 53 54 1471 43 91 67 40 49 9Quantit demand par les clients9 11 28 6 14 5 73La mthode consiste choisir de partir en haut gauche (nord ouest donc).9 9 / / / / 18, 9/ 2 28 2 / / 32, 30, 2/ / / 4 10 / 14, 10/ / / / 4 5 99 11 28 6, 4 14, 4 5Ici, on a 9 quations avec 24 inconnues dont 9 sont hors base et 15 en base. Le cot est de:9x12 + 9x27 + 2x39 + 28x78 + 2x28 + 4x24 + 10x53 + 4x40 + 5x49 = 3 700Ce n'est pas la solution optimale!A.BENHARI Page 5881- = 11 862- 2+6 1 37 7______________________________________________________________________________2.2)Rgle de Balas-Hammer:12 27 61 49 83 35 1823 39 78 28 65 42 3267 56 92 24 53 54 1471 43 91 67 40 49 99 11 28 6 14 5Onchoisit lecheminayant lecot leplusfaibleet onlutilisepourfairetransiter le maximumde marchandises : ici, cest le chemin (1,1), on y fera passer 9 units de marchandises.9 18-9=9321490 11 28 6 14 5Donc le premier client (cest--dire la premire colonne) est servi.12 27 61 49 83 35 1823 39 78 28 65 42 3267 56 92 24 53 54 1471 43 91 67 40 49 99 11 28 6 14 5On recommence avec le plus faible cot de transport restant, cest--dire 24 et le chemin (3,4) est utilis pour faire transiter 6 units, la quatrime colonne est alors sature.9 9326 14-6=890 11 28 0 14 512 27 61 49 83 35 1823 39 78 28 65 42 3267 56 92 24 53 54 1471 43 91 67 40 49 99 11 28 6 14 5Puis le chemin (1,2) (coeff. 27) pour faire passer 9 units et saturer la premire ligne, puis le chemin (2,2) (coeff. 39) pour faire passer 2 units et saturer la deuxime colonne , puis le chemin (4,5) (coeff. 40) pour faire passer 9 units et saturer la quatrime ligne; puis le chemin (2,6) (coeff. 42) pour faire passer 5 units et saturer la dernire colonne, puis le chemin (3,5) (coeff. 53) pour faire passer 5 units et saturer la cinquime colonne, puis le chemin (2,3) (coeff. 78) pour faire passer 25 units et saturer la deuxime ligne ; enfin, le chemin (3,3) pour faire passer les trois units restantes.9 9 02 25 5 32-2=30 ; 30-5=25 ; 25-25=03 6 5 14-6=8 ; 8-5=3 ; 3-3=09 9-9=00 0 28-25=3 3-3=00 14-9=5 ; 5-5=0012 27 61 49 83 35 1823 39 78 28 65 42 3267 56 92 24 53 54 1471 43 91 67 40 49 99 11 28 6 14 5A.BENHARI Page 59______________________________________________________________________________La solution obtenue a un cot de 3634.A.BENHARI Page 60______________________________________________________________________________Regrets :12 27 -5 51 56 5 12-1 39 78 18 26 42 2429 3 92 24 53 -2 3846 3 12 56 40 6 250 15 54 -14 15 18Cot de cette solution : 3634 5*9= 358912 5 61 56 61 10 12-6 39 78 18 26 42 2924 3 92 24 53 -2 4341 3 12 56 40 6 300 10 49 -19 10 13Cette solution nest pas optimale.Cot de cette solution : 3589 6*9 = 35356 9 61 56 61 10 623 39 78 18 26 42 2330 3 92 24 53 -2 3747 3 12 56 40 6 240 16 55 -13 16 19Cette solution nest pas optimale.Cot de cette solution : 3535 3*2= 35296 5 61 54 59 10 623 39 78 16 24 42 2332 5 2 24 53 54 3549 5 14 56 40 8 220 16 55 -11 18 19Cette solution est optimale.Grille des transports :9 9- 182+25-5 323 6 5 149 99 11 28 6 14 5= 9, donc :9 9 1811 16 5 323 6 5 149 99 11 28 6 14 59-9+1811 16-5 323 6 5 149 99 11 28 6 14 5 =9, donc :18 189 11 7 5 323 6 5 149 99 11 28 6 14 518 189 11 7+5-323-6 5149 99 11 28 6 14 5 =3, donc :18 189 11 10 2 326 5 3 149 99 11 28 6 14 5___________________________________________________________________DI GALLO Frdric Page 61 03/12/2011LESLESGRAPHESGRAPHESLES GRAPHESLES GRAPHESCes mthodes utilisant les graphes permettent, en gnral, de trouver le chemin le plus court, ou de faire passer le maximumpar un chemin (d'eau par exemple). Les cas concret d'utilisation sont videntsI. Dfinition vocabulaire1.1)GrapheDfinition:Soit Xunensemble fini et dnombrable : X={x1, , xn}. Soit une applicationdeXdanslui-mme( est l'ensembledesarcsou trajetsexistants = {(x1,x2), (x1,x3), (x1,x6), (x2,x3), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5), (x4,x5), (x6,x5), (x6,x5)}.On appelle lensemble (X, ) un graphedordre n (n est le nombre de sommets= card X). Un graphe est donc un ensemble de liaisons entre des points.Reprsentation sagittale :On peut noter + lapplication successeur : + : X P(X) (ensemble des parties de X). Par exemple,+(x1) = {x2, x4, x6}.De mme, on peut dfinir-, lapplication prdcesseur , : X P(X). Ex. : -(x2)={x1}Prcdents Suivantsx1x2, x4, x6x2x1x3, x4x3x2x4, x5x4x1, x2, x3, x6x5x5x3, x4, x6x6x1x4, x5Deux sommets relis sappellent sommets adjacents.x6x1x2x3x4x51.2)CheminsUn graphe peut tre orient ou non orient.Ex. :artecycleGraphe orient graphe non orientDans un graphe orient, on parle darcs reliant deux sommets.Onappellechemin unesuiteordonnedarcsdanslesquelslextrmitterminaledunarc concide avec lextrmit initiale du suivant : [x1x2], [x2 x3] =x1 x2 x3 (chane si non orient).Un chemin pour lequel u1 = uP sappelle circuit.Chemin circuitLongueur dun chemin = nombre darcs du cheminBoucle = chemin de longueur 1Un chemin est simple lorsquil ne passe quune seule fois par chacun de ses arcsUn chemin est lmentaire sil ne rencontre pas plus dune seule fois chaque sommet.(abcd) = chemin lmentaire(abbcd) = chemin non lmentaire(bb) = boucle et circuit lmentaire(abca) =circuit lmentaire(abcabc) = circuit non lmentaireUn chemin qui passe une fois exactement par chaque sommet est hamiltonienEx. : (a,b,c,d) est un chemin hamiltonien. Mais il ny a pas de circuit hamiltonien : il faudrait que d aNB : dans un graphe dordre n, un circuit hamiltonien est de longueur n, un chemin est de longueurn 1.Dans un graphe non orient :On appelle un arc non orient une arte. Le chemin devient chane, le circuit cycle.x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4x5x1x2x3x4x5aa bc dI. Matrices associes un grapheOn crit tous les chemins possibles d'un graphe pour trouver les chemins hamiltoniens.2.1)Matrice latineA B C D EA AB AC AEB BB BCC CDD DA DEE EA ECPour trouver les chemins de longueur 2, on calcule M ; pour les chemins de longueur 3, on calcule M3 et ainsi de suite.M =Recherche des chemins lmentaires : avec la multiplication latine, il suffit de ne considrer que les chemins de Mn-1qui nont pas de rptition de lettres ; dans lexemple, matrice des chemins lmentaires de longueur 4, ici chemins hamiltoniens.M =AEA ABBABCAECACDBBB BBC BCDCDA CDEDEA DABDACDECDAEEAB EAC ECD EAEAEAEAABCDAAECDAACDEAAEABBABBBBACDABAEABCAEAECABBBCACDACACDECAEACDABBCDABCDEAECDEACDAEBBCDABCDEABBBBBBCDABBBBBCBCDACBCDECBBBCDBBCDEBCDAECDAEACDABBCDEABCDABCCDAECCDEACCDACDCDECDCDEAEDEAEADACDADECDADEABBDABBBDAEABDEABCDEAECDABBCDAEACDEACDDABCDDAECDDACDEDAEAEDECDEEACDAECDEAEABBBECDABEAEABEABBCECDACECDECEAEACEABCDEAECDEACDEECDAEEAEAEA CD EB2.2)Matrices boolenne et arithmtiquea) Matrice arithmtique: M = Si M est symtrique, le graphe est symtrique.Si dans M, il y a un 1 (ex. : (A,B)) alors: il y a un chemin de longueur 1 de A B, sil y a un 2 (ex. : (A,C)), il y a un chemin de longueur 2, etc. On peut connatre l'existence et le nombre de chemin d'une longueur donne mais on ne peut pas prciser s'il est hamiltonien, simple ou autreRappel:B= 1x2 + 3x8 = 261x5 + 3x7 = 26. = A= 2x2 + 4x8 = 362x5 + 4x7 = 38N'oublions pas que BA AB !A=B=b) Matrice boolenne:

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,_

,_

1 1 1 11 1 1 01 1 1 11 1 1 1M1 1 1 00 1 1 11 1 1 01 1 1 1 M0 1 1 11 0 0 00 1 1 01 1 1 0M3Ici, la prsence d'un 1 reprsente l'existence d'un chemin. Dans M, sil y a un 1 cela signifie quil existe un chemin de longueur au plus 2 entre les deux sommets. Les matrices boolennes permettent daider lors de la recherche des composantes connexes.Remarque: si le graphe a une entre (point de dbut, c'est dire que les arcs partent de ce sommet mais aucun n'y arrive), il y a une colonne de 0 associe ce sommet ; et si le graphe a une sortie, il a une ligne de 0.1 1 2 1 00 1 1 1 01 0 0 0 11 1 2 0 10 1 1 1 1ABCDM =A CDEB2 58 71 32 42 58 726 2636 381 32 426 2636 382 58 71 32 412 2622 52II. Connexit forte connexit3.1)ConnexitUn graphe est dit connexe sil existe au moins un chemin entre toute paire de sommets.Exemple: Ce graphe estnon connexe, mais il a 3 composantes connexes.Df.de composante connexe:On dfinit une relation dquivalence par xi xj si xi et xj (confondus ou non) sont relis par une chane (On a videmment : xi xi)Ex:X= {A, B, C, D, E, F}Ce graphe contient deux composantes connexes : {E} et {A, B, C, D, F}Dmo : Cette relation est bien une relation dquivalence :A Adonc la relation est rflexive.A B et B A : car il existe une chane de A vers B ou de B vers A (lordre ne compte pas), donc la relation est symtriqueA B et B C A C, donc la relation est transitiveOn parle alors des classes dquivalence de cette relation : la classe de x est lensemble des sommets quivalents x, on lappelle composante connexe de x.Remarque: un sommet est toujours li lui-mme.3.2)Forte connexitUn graphe est dit fortement connexe si entre toute paire de sommets, il existe un chemin de A vers B et un chemin de B vers A.Soit G =(X, U) un graphe. Si quels que soient A, B X, il existe un chemin de A vers B et un chemin de B vers A, alors le graphe est fortement connexe. Sinon on dfinit des composantes fortement connexes.Exemple:dans lexemple prcdent, il y a quatre composantes fortement connexes qui sont : {A}, {B, C, D}, {F} et {E}. Dans la suite, on a une composante fortement connexe.B -> C B -> DC -> B D -> C -> BRemarque: ondfinit lencoreunerelationdquivalence(enadmettant queAest en relation avec lui-mme).A BC D EFGEA B CD FA B CD F3.3)Fermeture transitiveFermeture transitivedun sommet x :{ensemble des sommets relis x par un chemin de longueur n 1} = {x} {t(x)} {tn-1(x)}, o tk(x) = t(tk-1(x)).A partir dun graphe G, on dfinit une matrice boolenne M, puis on calcule les puissances Mk. Entre xI et xj, il existe au moins un chemin de longueur k si le terme (i,j) de la matrice Mk vaut 1. Alors dans M+M[2]++M[k-1], on trouvera 1 en place (i,j) sil existe un chemin de longueur k-1 entre xi et xjLa fermeture transitive de lensemble X des sommets du graphe G est obtenue en calculant I+M++M[n-1] = (I+M)[n-1]Exemple : M =

,_

0 1 0 0 00 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 01 0 1 1 0, I+M=A=

,_

1 1 0 0 00 1 0 0 01 1 1 0 00 0 1 1 01 0 1 1 1, A=

,_

1 1 0 0 00 1 0 0 01 1 1 0 01 1 1 1 01 1 1 1 1, A3= A=Ak pour k 2La fermeture transitive du graphe est donc obtenue en permutant lignes et colonnes :

,_

1 0 0 0 01 1 0 0 01 1 1 0 01 1 1 1 01 1 1 1 1et le graphe a cinq composantes fortement connexes.Remarque : on nest pas toujours oblig de calculer jusqu (I+M)(n-1), on peut sarrter ds que (I+M)(k-1) = (I+M)(k)1235412 3 5 43.4) Recherche des classes fortement connexes, des circuits hamiltoniensSoit le graphe dordre 7 suivant :M=

,_

0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 11 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0(I+M)6 =

,_

1 0 1 1 1 0 01 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1Aprs rorganisation des lignes et des colonnes, on dtermine les classes fortement connexes :I IIIIRecherche des chemins hamiltoniens:LaclasseII naquedes arcs incidents intrieurement. Doncsil existeunouplusieurs chemins hamiltoniens, leur origine doit se trouver dans la classe I et leur extrmit dans la classe II.FABGCDE ; ABFEGCD sont les deux chemins hamiltoniens de ce graphe.3.5)Mthode de Georges DEMOUCRONOnvaessayer dedterminer les successeurs et prdcesseurs deApar des chemins de longueur quelconque: t-(A) et t+(A)

,_

1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1GEDCFBAA B GF ECDA B GF ECDA BCDEFJIHG c1c2c6 c3 c4 c5 c7A B C D E F G H I J t-(A)A 1 1 1 0B 1 1C 1 1D 1E 1 1F 1 1G 1 2H 1 1I 1 1J 1t+(A) 0 1 5 3 2 1 1 4 2 5A est le point de dpart de chemin qui vont vers tous les points: t+(A) = {A B C J}A est l'arrive de chemin qui proviennent de G et de I: t-(A) = {A, I, G}A n'est li "dans les 2 sens" qu'avec I, G et A: 1re composante fortement connexe: (A, I,G)t+(A) t-(A)= classe dquivalence ou composante fortement connexe du graphe Arcs dont lextrmit initiale est A : AB, AF, AG : 1Arcs dont lextrmit initiale est B, F, G : BE, BF, FB, FE, GI : 2 (si non marqus)Arcs dont lextrmit initiale est E ou I : ED, EF, IA : 3Arcs dont lextrmit initiale est D : DH : 4Arcs dont lextrmit initiale est H : HC, HJ : 5Pour t-(A), mme travail sur les colonnes, cest--dire recherche des extrmits initiales des arcs finissant en A, puis en I, puis en G.t+(A) t-(A) = {A, G, I} Pour B : Pour C :t-(B)t-(C)X (1) A X (5) A0 B X (4) BC 0 CD 2 D2 E X (3) E1 F X (4) FX (3) G X (7) GH 1 HX (2) I X (6) IJ 3 Jt+(B) X 0 4 2 1 1 X 3 X 4Composante connexe de B: t+(B) t-(B) = {B, E, F}t-(B) = {A, B, E, F, G, I} t+(B) = {B, C, D, E, F, H, J} 1 chemin de long. 2 de G A 1 chemin de long. 1 de I APour C :t+(C) t-(C) = {C, D, H, J}t+(C) X X 0 1 X X X 2 X 3t+(C) t-(C) = {C, D, H, J}Conclusion :Il y a deux chemins hamiltoniens : GIABFEDHCJGIAFBEDHCJNB : sil y avait un circuit hamiltonien, il ny aurait quune seule classe dquivalence.Graphique : I II IIIAGIBEFD HC JCHEMIN deCHEMIN de VALEURVALEUR OPTIMALEOPTIMALEABC DE FG232563223188ABCDEFG232632231885A = 0C =2 D =5B =7F = 6G =3E=5CHEMIN DE VALEUR OPTIMALECHEMIN DE VALEUR OPTIMALEI. Algorithme de FordOn a un graphe quelconque, valu par des grandeurs positives.Problmeduvoyageur decommerce : aller deABenpassant par uncertainnombre dautres villes, en effectuant un minimum de km.Algorithme : 1. On numrote les sommets dans un ordre quelconque (sauf le x1 et xn)2. i = + sauf 1 = 03. pour tout sommet xj pour lequel j - i > V(xi, xj), V reprsentant la valuation de larc, remplacer j par i + V(xi, xj)4. sarrter lorsque aucun i ne peut plus tre modifi.Le but est de trouver un chemin de A vers B associ la valuation totale la plus faible.ACDB = 2+3+2=7AEDB = 5+8+2=15AEFB = 5+2+1=8Chemins de valeur minimale : ACDB, ou AGFB, cot : 7I. Algorithmede Ford-Fulkerson2.1)flot travers un rseauTrois chteaux deau A, B, C alimentent quatre villages D, E, F, G. Le chteau deau A dispose dun dbit de45 litres/secLe chteau deau B dispose dun dbit de25 litres/secLe chteau deau C dispose dun dbit de 20 litres/secLe village D aurait besoin dun dbit de30 litres/secLe village E aurait besoin dun dbit de10 litres/secLe village F aurait besoin dun dbit de20 litres/secLe village G aurait besoin dun dbit de30 litres/secDans la canalisation entre le chteau A et le village D, le dbit maximum est : 10 litres/secDans la canalisation entre le chteau A et le village E, le dbit maximum est : 15 litres/secDans la canalisation entre le chteau A et le village G, le dbit maximum est : 20 litres/secDans la canalisation entre le chteau B et le village D, le dbit maximum est : 15 litres/secDans la canalisation entre le chteau B et le village E, le dbit maximum est : 5 litres/secDans la canalisation entre le chteau B et le village F, le dbit maximum est : 15 litres/secDans la canalisation entre le chteau C et le village F, le dbit maximum est : 10 litres/secDans la canalisation entre le chteau C et le village G, le dbit maximum est : 10 litres/sec.On appelle rseau de transporttout graphe fini, sans boucle, avec une source (ou point de dpart) et un puits (ou point darrive), o tout arc est valu par un entier positif c(u), nomm capacitde larc.Source = entre, sommet sans prdcesseur (ou ajout)Puits = sortie, sommet sans successeur (ou ajout)On appelle flux de larc u la quantit (u) (entier naturel) telle que 0 (u) c(u)Loi de Kirchoff:( ) ( ) + x xU u U uu u pour tout sommet x diffrent de lentre et de la sortieOUx-estlensembledesarcsincidents intrieurement x et Ux+est lensemble des arcs incidents extrieurement x.On appelle flot : flux mis par la source = ( )+0xU uu = flux recueillis par le puits = ( )nxU uu [5][15][20]OABCDEFGS[45][25][20][10][15][15][10][10][30][10][20][30]2.2)Procdure1. Trouver un flot complet: flot dont tous les chemins menant de x0 xn ont au moins un arc satur.Exemple: OCGXn :O CGXnCG = 10 satur 20 10 30 OC = GXn =10OCFXn : CF satur puis OC satur (CF=10, donc OC= 10+10=20)OBFXn : OB F XnFXn= 10 satur 25 15 10 OB = BF = 10OBEXn :O B EXnBE = 5 155 10 OB = (10+)5=15, EXn = 5OBDXn :O B D XnOB = (25+)1010 1530 BD=DXn= 10OAGXn : OAGXnAG = GXn = 20 45 20 (30-10)=20 OA = 20OAEXn : O A E XnEXn= 5 25 15 10-5 OA = AE = 5OADXn : OADXnAD = 1020 10 20 OA = DXn = 10(Selon la principe du bas vers le haut)On a dtermin un flot complet dont la valeur est V( ) = 80(mais n'est pas maximale).2. Marquage: on va chercher si ce flot est maximal ou non. Marquer lentre du rseau : +O Marquer toute extrmit terminale J dun arc non satur (I, J) dont lextrmit initiale I est marque. On crira +I ct de J. Marquer lextrmit initiale Kdetout arc(K, L) transportant unflot nonnul dont lextrmit finale L est marque. On crira L ct de KSi on narrive pas marquer la sortie du rseau, le flot est maximal. Si on arrive marquer la sortiedurseau, leflot nest pasmaximal. Dans cecas, il faut considrer unesuitede sommets marques, formant unechaneentrelentreet lasortieet amliorer leflot en augmentant le flux des arcs joignant les sommets de la suite, en respectant la loi de Kirchoff. Recommencer tant quil sera ncessaire pour quon ne puisse plus marquer la sortie.OABCDEFGS1020352520105101010201020305352510510 20105+O+A-E+B+D+A1020402010 1015101025102030+O25Exemple : On fait partir de O: 80 et sortir de S: 80. Comme le sommet S est marqu, le flot nest pas maximal. Isolons une chane de sommets marqus pour essayer daugmenter le flot allant de O S.En augmentant larc BD de 10 15, on augmentera DS de 20 25, mais il faut annuler le flot entre B et E et donc pour quilibrer E, augmenter AE puis OA.Do voil une meilleure solution :Les antcdents par un arc nul ne peuvent pas tre marqus. Les sommets marqus sont relis aux autres par des arcs saturs ou nuls.2.3)Recherche dun flot complet initialprocdure de Manuel Bloch (cf. Raynaud)Cette mthode est plus mcanique, donc plus facile programmer!OABCDEFGS1020352520105101010201020305+O+A-E+B+B+D-FOABDESOABCDEFGSarcs bloqus : ondoitbloquertoutarc incidentintrieurement un sommet si tous les arcs incidents extrieurement ce sommet sont saturs ou bloqus : on doit bloquer tout arc incident extrieurement un sommet si tous les arcs incidents extrieurement ce sommet sont saturs ou bloqus :Procdure de la recherche: Posons (i,j) = c(i,j) - (i,j), pour i, j{1, , n}, o c(i,j) est la capacit de larc xixjet (i,j) le flux de ce mme arc. ij est appel capacit rsiduelle de (i,j)Au dpart (i,j) =0 on dtermine dans la liste des arcs praticables celui qui a la plus faible capacit rsiduelle, soit (i0, j0) ( sil y en a plusieurs, on ordonne les arcs soit par lordre lexicographique, soit par lordre numrique croissant et on choisit le premier de ces arcs) on dtermine un chemin simple (sans rptition darcs) passant par (i0, j0) form darcs praticables (cd arcs de capacit rsiduelle au moins gale i0,j0.Si cest un chemin lmentaire (sans rptition de sommets), on fait passer le flux i,j = i0, j0 sur tous les arcs (i,j) de ce chemin et on remplace i,j par i,j = i,j - i0,j0(les arcs de capacit rsiduelle nulle devenant des arcs saturs) si ce chemin nest pas lmentaire, on bloque les arcs de capacit la plus faible du circuit et on recommence. Pour tous les sommets, il faut ensuite examiner sil reste encore des blocages effectuer, les effectuer et revenir au dbut.Arrt de la procdure:la procdure est termine lorsque tous les arcs incidents extrieurement lentre du rseau (ou incidents intrieurement la sortie du rseau) sont saturs ou bloqus.Remarque: on obtient souvent le flot optimal.Exemple:AXAXABCDEFHGI[5][8][9][1][7][4][5][5][5][5][10][4][5][4][6]+C +A+C-C +D1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11AB 5 5 5 5 5 5 1 0 0 0 0AC 8 8 5 5 5 5 5 5 5 1 XAD 9 8 8 8 6 6 X X X X XBC 7 7 7 7 7 7 7 6 X X XBE 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0CF 10 9 9 9 9 9 9 8 8 4 XCH 5 5 2 X X X X X X X XDC 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0DG 5 5 5 5 3 X X X X X XDH 4 4 4 X X X X X X X XEI 5 5 5 5 5 5 1 X X X XFH 5 4 4 X X X X X X X XFI 5 5 5 5 5 5 5 4 4 0 0GI 6 5 2 2 0 0 0 0 0 0 0HG 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0Col. 1 : situation initiale ; DC est satur et laisse passer 1.Col. 2 : chemin ADCFHGI ; on refait passer 3 units dans HGCol. 3 : chemin ACHGI.Col. 4 : HG satur, donc tous les arcs se terminant par H sont bloqus : CH, DH, FH ; on fait encore passer 2 units parGICol. 5 : chemin ADGI.Col. 6 : comme GI est satur, tous les arcs se terminant par G sont bloqus : DG ; comme tous les arcsissus deDsont soit bloqus, soit saturs, tous les arcs seterminant enDsont bloqus : AD; BE est satur 4 Col. 7 : chemin ABEI ; AB reoit encore 1 unit et est satur.Col. 8 :cheminABCFI. CommeBEest satur, touslesarcs menantEsontbloqusou saturs et les arcs issus de E doivent ltre aussi : EICol. 9 : lesarcsmenant B(AB)sont saturs, donclesarcsissusdeBsont satursou bloqus : BC ; FI reoit encore 4 units et est saturCol. 10 : chemin ACFI.Col. 11 : tous les arcs sont bloqus ou saturs. Fin de la procdure.On obtient donc le flot complet suivant :Est-il optimal ? Marquage. On s'aperoit que I nest pas marqu donc le flux est maximal.ABCDEFHGI57[8]3[9]144[5]54[5]52[5]46Exemple de marquage:Si AC < CD :Si AC > CD :II. Problme daffectationExemple : une administration dsire procder aux mutations de 5 personnes : A, B, C, D et E et leur offre les postes a, b, c, d et e. Ces fonctionnaires dsirant maximiser leur satisfaction dcident deffectuer chacununclassement despostesofferts( de1 : trsbien5 : peu souhait).a b c d eA 1 2 3 4 5B 1 4 2 5 3C 3 2 1 5 4D 1 2 3 5 4E 2 1 4 3 50 1 2 3 40 3 1 4 22 1 0 4 30 1 2 4 31 0 3 2 40 1 2 1 20 3 1 2 02 1 0 2 10 1 2 2 11 0 3 0 2Essai : affection A a (0 en (A,a)), B e (O en (B,e), C en c (0 en (C,c)) et E en b (0 en (E,b)), alors il faut aussi affecter D d (ce qui est le choix qui lui dplat le plus)Peut-on affecter les postes de faon satisfaire mieux les dsirs des cinq fonctionnaires ?Avec lessai ci-dessus, lindice de satisfaction est : 1 + 3 + 1 + 5 + 1 = 11 (sil y avait une solu