Objetivos Generales:

•Identificar las variables angulares que permiten caracterizar el movimiento de unsólido rígido.•Reconocer que clase de movimiento efectúa un cuerpo rígido, estimando ocalculando el valor de las magnitudes cinemáticas, dinámicas y energéticas(posición, desplazamiento, distancia recorrida, velocidad media e instantánea,aceleración media e instantánea, torque) para un instante dado o un intervalo detiempo.•Identificar el tipo de esfuerzo y deformación producidos en el sistema en estudio,definiendo los módulos correspondientes•Aplicar razonamientos y procedimientos matemáticos adecuados para deducir lasecuaciones que describen el movimiento en estudio.•Reconocer y distinguir las magnitudes escalares y vectoriales.

S

r

θ𝜃 =

𝑠

𝑟 𝑠 = 𝜃. 𝑟

𝜃 =2𝜋𝑟

𝑟= 2𝜋(𝑟𝑎𝑑) ≡ 360𝑜

1(𝑟𝑎𝑑) = 1(𝑟𝑎𝑑).360𝑜

2𝜋(𝑟𝑎𝑑)= 57, 3𝑜

Medición de ángulos

𝜃 =𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

Además del sistema sexagesimal, los ángulos se pueden medir, teniendo en cuenta el arco subtendido por el ángulo y el radio

VELOCIDAD ANGULAR MEDIA

𝜔𝑚 =Δ𝜃

Δ𝑡=𝜃 − 𝜃0𝑡 − 𝑡0 𝜔𝑚 =

Δ𝜃

Δ𝑡 𝜔𝑚 𝑆𝐼 =𝑟𝑎𝑑

𝑠

La velocidad angular media ωm es el cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo

empleado en cubrir dicho desplazamiento

VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA

𝜔 = limΔ𝑡→0

Δ𝜃

Δ𝑡=𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝜔𝑚 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑓

VECTOR VELOCIDAD ANGULAR

Cuando un cuerpo gira respecto de un eje fijo con velocidad angular constante, el tiempo que

emplea en dar una vuelta completa recibe el nombre de periodo (T)

Frecuencia (f) es el número de vueltas que un cuerpo gira respecto de un eje en la unidad de

tiempo

𝜔 =Δ𝜃

Δ𝑡=2𝜋

𝑇𝜔 = 2𝜋. 𝑓

𝑓 =1

𝑇 𝑓 =1

𝑇 𝑓 =1

𝑠ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧

ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA

𝛼𝑚 =Δ𝜔

Δ𝑡=𝜔 − 𝜔0

𝑡 − 𝑡0 𝛼𝑚 =Δ𝜔

Δ𝑡𝛼𝑚 𝑆𝐼 =

𝑟𝑎𝑑

𝑠2

ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA

𝛼 = limΔ𝑡→0

Δ𝜔

Δ𝑡=𝑑𝜔

𝑑𝑡𝛼 =

𝑑𝜔

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡=𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

VECTOR ACELERACIÓN ANGULAR

𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼𝑚 𝜃 − 𝜃0

Movimiento de rotación uniforme y uniformemente variado

𝛼𝑚 =𝜔 − 𝜔0

𝑡 − 𝑡0⇒ 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑚 𝑡 − 𝑡0

𝜔𝑚 =𝜔0 + 𝜔

2

𝜃 − 𝜃0 = 𝜔𝑚Δ𝑡 =𝜔0 +𝜔

2𝑡 − 𝑡0

𝜃 − 𝜃0 =𝜔0 + 𝜔0 + 𝛼𝑚(𝑡 − 𝑡0)

2𝑡 − 𝑡0

𝜃 − 𝜃0 = 𝜔0 +1

2𝛼𝑚(𝑡 − 𝑡0)

2

𝜔 = 𝜔0

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 − 𝑡0

Movimiento de Rotación Uniforme

Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del

espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las

distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante

SÓLIDO RÍGIDO

Matemáticamente, un sólido rígido se caracteriza

por ser un sistema de partículas tal que la

distancia entre cada par de partículas que lo

componen permanece constante en cada

momentoԦ𝑟𝐴 − Ԧ𝑟𝐵 = 𝐴𝐵

→

= 𝑐𝑡𝑒

RELACIÓN ENTRE LA CINEMÁTICA LINEAL Y LA CINEMÁTICA ANGULAR

𝜃 =𝑠

𝑟𝑠 = 𝜃. 𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡→ 𝑣 = 𝑟𝜔

S

r

θ

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2𝑎𝑇 = 𝑟𝛼

•Todos los puntos del sólido describen el mismo ángulo, tienen la misma velocidad angular y la misma

aceleración angular.

•Dos puntos en el sólido describen diferentes arcos de circunferencia, tienen diferente velocidad (tangencial o

lineal) y diferente aceleración tangencial. Cuánto más alejado del eje de giro, mayor es el arco descrito, mayor es

la velocidad lineal y mayor, la aceleración tangencial y recíprocamente

RELACIÓN ENTRE LA CINEMÁTICA LINEAL Y LA CINEMÁTICA ANGULAR

𝑠 = 𝑟𝜃

𝑣 = 𝑟𝜔

𝑎𝑇 = 𝑟𝛼

𝑎𝑁 =𝑣2

𝑟= 𝜔2𝑟

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑇 𝑡 − 𝑡0

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑡0 +1

2𝑎𝑇 𝑡 − 𝑡0

2

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑇 𝑠 − 𝑠0

Movimiento de traslación con

aceleración constante

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼 𝑡 − 𝑡0

𝜃 = 𝜃0 +𝜔0 𝑡 − 𝑡0 +1

2𝛼 𝑡 − 𝑡0

2

𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼 𝜃 − 𝜃0

Movimiento de rotación con

aceleración constante

PROBLEMA Nº1

Una hélice de avión gira a 1900

rpm (rev/min). a) Calcule su velocidad

angular en rad/s. b) ¿Cuántos segundos

tarda la hélice en girar 35°?

𝜔𝑚 =Δ𝜃

Δ𝑡⇒ Δ𝑡 =

Δ𝜃

𝜔𝑚

Solución: La frecuencia representa la cantidad de vueltas del la hélice por unidad de tiempo

𝜔𝑚 =Δ𝜃

Δ𝑡= 2. 𝜋. 𝑓

Δ𝑡 =35𝑜

𝜋180𝑜

1903

𝜋(𝑟𝑎𝑑)𝑠

= 0,0031𝑠

s

rad

s

rad

ms

rev )()(97,198

3

190

60

min1

min1900..2 ===

PROBLEMA Nº6 Si el engranaje izador A tiene una velocidad angular inicial de 8rad/s y una aceleración de

(–1,5)rad/s2, determinar la velocidad y la aceleración del bloque C cuando t = 2s, rA =

100mm, rB = 200mm y rC = 50mm.

B

A

rA

rB

rC

C

ωA

Solución: en este ejercicio, los tres cuerpos, engranaje A,

engranaje b y bloque C, están vinculados.

Un diente del engranaje A, tiene la misma rapidez y aceleración

lineal que un diente del engranaje B.

𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 (1)

𝜔𝐴𝑟𝐴 = 𝜔𝐵𝑟𝐵 (3)

𝑎𝐴 = 𝑎𝐵 (2)

𝛼𝐴𝑟𝐴 = 𝛼𝐵𝑟𝐵 (4)

𝜔𝐴 = 𝜔0𝐴 + 𝛼𝐴 𝑡 − 𝑡0 𝜔𝐴 = 8(𝑟𝑎𝑑)

𝑠+ (−1,5

(𝑟𝑎𝑑)

𝑠2) 2𝑠 − 0𝑠 = 5

(𝑟𝑎𝑑)

𝑠

Todos los puntos del engranaje B, giran con la misma velocidad angular pero diferente

velocidad tangencial. El bloque C, se mueve con la misma rapidez y aceleración lineal que

un punto interior del engranaje B ubicado a una distancia rC del centro del engranaje

𝑣𝐶 = 𝜔𝐵𝑟𝐶 (5) 𝑎𝐶 = 𝛼𝐵𝑟𝐶 (6)

De (3)y (5) 𝑣𝐶 = 𝜔𝐵𝑟𝐶 =𝜔𝐴𝑟𝐴𝑟𝐵

𝑟𝐶 𝑣𝐶 =5(𝑟𝑎𝑑)𝑠

0,1𝑚

0,2𝑚0,05𝑚 = 0,125

𝑚

𝑠

De (4)y (6) 𝑎𝐶 = 𝛼𝐵𝑟𝐶 =𝛼𝐴𝑟𝐴𝑟𝐵

𝑟𝐶 𝑎𝐶 =−1,5

(𝑟𝑎𝑑)𝑠

0,1𝑚

0,2𝑚0,05𝑚 = 0,0375

𝑚

𝑠2

ENERGÍA CINÉTICA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL

m

r

Ԧ𝑣

𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣2

𝐸𝑐 =1

2𝑚 𝑟𝜔 2

𝐸𝑐 =1

2(𝑚𝑟2)𝜔2

𝐸𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2𝑚1𝑟1

2𝜔2 +1

2𝑚2𝑟2

2𝜔2 +1

2𝑚3𝑟3

2𝜔2+. . . . . . . . . . . . . .1

2𝑚𝑛𝑟𝑛

2𝜔2

𝐸𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2(

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2)𝜔2

𝐼 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2 Momento de inercia de un sistema de partículas con

respecto de un eje de rotación

El momento de inercia I se relaciona con la distribución de masa del cuerpo alrededor de un eje de giro

𝐸𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2𝐼𝜔2

𝐼 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 𝑚 𝑟 2 𝐼 𝑆𝐼 = 𝑘𝑔.𝑚2

m

Ԧ𝑣

Si se considera un grupo de partículas que rota respecto de un eje a una distancia r del eje de rotación y

moviéndose con rapidez v. La energía cinética del sistema de partículas es

El momento de inercia I es una medida de la inercia rotacional es decir, una medidade la resistencia de la partícula, sistema de partículas o cuerpo sólido a modificar el estado derotación del mismo respecto de un eje

Energía cinética de un sólido en rotación

La energía cinética de una partícula que se mueve por un camino circular con rapidez v, está dada por:

Recordando que 𝑣 = 𝑟𝜔

PROBLEMA Nº7

Cuatro esferas pequeñas, que pueden considerarse como puntos con masa

de 0,2 kg cada una, están dispuestas en un cuadrado de 0,4 m de lado,

conectadas por varillas muy ligeras. Calcule el momento de inercia del

sistema alrededor de un eje a) que pasa por el centro del cuadrado,

perpendicular a su plano (que pasa por O en la figura); b) que biseca el

cuadrado (pasa por la línea AB en la figura); c) que pasa por los centros de

las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O.

a) Para el caso de un eje que

pasa pos el centro del cuadrado

perpendicular al plano definido

por las 4 partículas el momento

de inercia es:

𝐼𝑧0 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

r𝑟 =

𝑎

2

2

+𝑎

2

2

=𝑎

2𝑟2 =

0,4𝑚

2

2

+0,4𝑚

2

2

= 0,08𝑚2

𝐼𝑧0 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 4.𝑚. 𝑟2

𝐼𝑧0 == 4.0,2𝑘𝑔. 0,08𝑚2

𝐼𝑧0 = 0,064𝑘𝑔.𝑚2

𝐼𝐴𝐵 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖′2

𝑟′2 =0,4𝑚

2

2

= 0,01𝑚2

𝐼𝐴𝐵 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟′𝑖2 = 4.𝑚. 𝑟′2

𝐼𝐴𝐵 = 4.0,2𝑘𝑔. 0,01𝑚2

𝐼𝐴𝐵 = 0,008𝑘𝑔.𝑚2𝑟′ =

𝑎

2

b) Para este caso de un eje que

pasa por el centro del cuadrado

que pasa por los puntos A y B

c) En este caso el eje de

rotación pasa por la diagonal

definida por 2 de las masas. Por

lo tanto al momento de inercia

contribuyen las otras 2

𝐼𝐷 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

𝑟 =𝑎

2

2

+𝑎

2

2

=𝑎

2𝑟2 =

0,4𝑚

2

2

+0,4𝑚

2

2

= 0,08𝑚2

𝐼𝑧0 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 2.𝑚. 𝑟2

𝐼𝑧0 == 2.0,2𝑘𝑔. 0,08𝑚2

𝐼𝑧0 = 0,032𝑘𝑔.𝑚2

Un cuerpo sólido se puede considerar como un sistema de infinitas partículas. Cada una de ellas contribuye al momento de Inercia con una momento 𝑑𝐼

dI= 𝑟2𝑑𝑚

I= 0𝑀𝑟2𝑑𝑚Por tanto si se extiende a las infinitas partículas la inercia rotacional es

Momentos de inercia para diferentes cuerpos

PROBLEMA Nº8

Calcular el momento de inercia de una barra uniforme de 2m de longitud y

3kg de masa: a) respecto a un eje perpendicular a la misma, que pase por su extremo; b)

respecto a un eje paralelo al anterior que pase por su centro de masas de la barra, c)

calcular el radio de giro en ambos casos.

z

x

dm y

yo

Radio de giro (κo) 𝜅0 =𝐼𝐶𝑀𝑀

ICM : momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masa del cuerpoM: masa del cuerpo

𝐼𝐶𝑀 = 𝑀𝜅02

a) Considero un elemento diferencial de masa dm

ubicado a una distancia y del eje z que pasa por O

𝑑𝐼𝐶𝑀 = 𝑦2𝑑𝑚 = 𝑦2𝜆𝑑𝑥

𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑦𝜆 =𝑑𝑚

𝑑𝑦=𝑀

𝐿

𝑑𝐼𝐶𝑉 = 𝑦2𝑑𝑚 = 𝑦2𝜆𝑑𝑦

𝐼𝐶𝑀 = න−𝐿/2

𝐿/2

𝑦2𝜆𝑑𝑦 = 𝜆𝑦3

3−𝐿/2

𝐿/2

=𝜆𝐿3

12

𝐼0 =𝜆𝐿3

12=𝑀𝐿3

𝐿12=

1

12𝑀𝐿2

𝐼0 =1

123𝑘𝑔(2𝑚)2 = 1𝑘𝑔.𝑚2

b) Considero un elemento diferencial de

masa dm ubicado a una distancia y del

eje z’ que pasa por el centro de la barra

homogénea

z’

𝜅0 =𝐼𝐶𝑀𝑀

𝜅0 =𝑀𝐿2

12𝑀=

𝐿

12

𝜅0 = 0,577𝑚

c) El radio de giro es

Radio de giro es la distancia del eje de rotación al punto donde debo colocar una masa puntualigual a la masa del cuerpo extenso para que tenga la misma inercia rotacional que el cuerpoextenso.