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SEPPStatikebener Plattenund Scheiben

Version 10.70

� SOFiSTiK AG, Oberschleissheim, 2000

SEPP Statik Platten und Scheiben

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Statik Platten und Scheiben SEPP

i

1 Aufgabenbeschreibung 1−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Theoretische Grundlagen 2−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Allgemeines 2−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Plattenelement 2−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Scheibenelement 2−10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Stabelement 2−11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Plattenbalken 2−11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fachwerk und Seil 2−12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Federn 2−12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Randelement 2−13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Halbraum 2−14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Plattenrandbedingungen 2−14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Scheibenrandbedingungen 2−15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Starre Körper 2−16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Knotenergebnisse 2−17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Nichtlineare Berechnungen 2−17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Literatur 2−18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Eingabebeschreibung 3−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Eingabesprache 3−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Eingabesätze 3−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. ECHO − Steuerung der Ausgabe 3−2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. STEU − Steuerung Rechenverfahren 3−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. SYST − Globale Steuerwerte 3−9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. KRIE − Kriechen und Schwinden 3−11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. GRUP − Gruppenauswahl Elemente 3−12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. BEW2 − Zweibahnenbewehrung 3−14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. BEWQ − Bewehrung QUAD−Element 3−16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. STEX − Externe Steifigkeit 3−19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. LF − Lastfall 3−20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. LAST − Einzellasten bzw. −massen 3−21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. KL − Knotenlast 3−23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. RLAS − Linienlast auf Knoten 3−25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. FLAS − Elementbelastung 3−27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16. Freie Lasten 3−31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17. ELAS − Freie Einzellast 3−32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18. LLAS − Freie Linienlast 3−34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19. BLAS − Freie Blocklast 3−36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20. LAG − Lasten aus Auflagerkräften 3−39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ii

3.21. LC − Lasten kopieren 3−40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Ausgabebeschreibung 4−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Kontrollliste des Systems 4−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Kontrollliste der Lasten 4−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Gleichungslösung 4−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Ergebnisse in den Elementen 4−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Ergebnisse in den Knoten 4−2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Verteilte Auflagerreaktionen 4−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Fehlerschätzungen 4−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Beispiele 5−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. Patch−Test Platte 5−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Rechteckplatte nach Timoshenko 5−5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Rhombusplatte 5−7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Pilzkopfplatte 5−8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Winkelplatte 5−10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Punktgestützte Deckenplatte 5−16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Wandscheibe im Brückenbau 5−23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Beispiele im Internet 5−29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1−1Version 10.70

1 Aufgabenbeschreibung

Das Programm ermöglicht die Schnittkraftermittlung beliebig geformterebener Flächentragwerke, die senkrecht zu ihrer Ebene als Trägerrost oderin ihrer Ebene als Scheibe belastet sind. Eine gleichzeitige Platten− undScheibenbeanspruchung ist dem Programm ASE vorbehalten.

Der Anwender muß das Tragwerk in einzelne drei− oder viereckige Elementezerlegen, die an Knoten untereinander gekoppelt sind. Es kann starr oderelastisch gelagert werden. Eine elastische Lagerung kann sowohl flächenhaftals auch linienförmig erfolgen. Starre Elemente oder schiefe Lagerungenkönnen berücksichtigt werden.

SEPP existiert in verschiedenen Versionen. Mit der Grundversion SEPP wer�den die grundlegenden linearen Berechnungsmöglichkeiten u.a. von linien�gestützten Platten nach Plattenbalkentheorie und von punktgestütztenPlatten einschließlich des automatischen Durchstanznachweises abgedeckt.Die erweiterte Version SEPP1 erlaubt die Ermittlung von Einflußflächenund enthält erweiterte Bemessungsmöglichkeiten. Die nichtlineaere Berech�nung von elastisch gebetteten Platten mit Ausschluß der Zugspannung istmit SEPP2 möglich, SEPP4 erlaubt die Berechnung von Stahlbetonplattenim gerissenen Zustand II.


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2−1Version 10.70

2 Theoretische Grundlagen

2.1. Allgemeines

Die einzelnen Elemente sind eben und liegen in der XY−Ebene, die Z−Achsezeigt nach unten.

SEPP1.

Koordinatensystem

Ein Flächentragwerk kann als statisch oder geometrisch unendlichfach un�bestimmtes Tragwerk aufgefaßt werden. Wenn keine analytische Lösung be�kannt ist, beruht jedes numerische Näherungsverfahren darauf, dieses un�endliche (infinite) System in ein endliches (finites) umzuwandeln, es zudiskretisieren.

Die Stärke der Finiten Elemente liegt in ihrer universellen Anwendbarkeitauf jede geometrische Form und fast jede Belastung. Dies wird durch einBaukastenprinzip erreicht. Einzelne Elemente, die ein Stückchen Tragwerkvereinfacht aber computergerecht beschreiben, werden zum Gesamttrag�werk zusammengesetzt.

Das kontinuierliche Flächentragwerk wird somit durch viele aber endlichviele Elemente repräsentiert. Anstelle der kontinuierlichen Lösung wird einediskrete Lösung, bestehend aus n Unbekannten, errechnet. Dabei bleibt si�


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chergestellt, daß die Näherungslösung im allgemeinen die exakte Lösungumso besser darstellen kann, je mehr Elemente verwendet werden. Dabeidürfen die einzelnen Elemente einer Fläche in ihren Abmessungen beliebigklein im Vergleich zur Plattendicke werden, ohne daß irgendwelche Wider�sprüche zur angesetzten Theorie entstehen.

Die in SEPP verwendete Finite−Element−Methode (FEM) ist ein Weggrö�ßenverfahren, das heißt, die Unbekannten sind Verformungsgrößen in eini�gen ausgewählten Punkten, den sogenannten Knoten. Die Verformungen imgesamten Gebiet erhält man durch elementweise Interpolation der Knoten�werte.

Der Berechnung des mechanischen Verhaltens liegt generell ein Energie�prinzip (Minimum der Formänderungsarbeit) zugrunde. Es resultiert einesogenannte Steifigkeitsmatrix. Diese Matrix beschreibt für ein Element dieReaktionskräfte in den Knoten, wenn die Verschiebungen der Knoten be�stimmte Werte annehmen.

Zur Ermittlung der Unbekannten wird nun das globale Kräftegleichgewichtfür jeden Knoten aufgestellt. Jeder Verschiebung entspricht eine Kraft ingleicher Richtung, die eine Funktion dieser und anderer Verschiebungen ist.Dies führt zu einem Gleichungssystem mit n Unbekannten, wobei n typischsehr groß werden kann. Da jedoch die elementweise Interpolation lokalenCharakter hat, ergeben sich die numerisch vorteilhaften Bandmatrizen.

Die gesamte Methode gliedert sich also in vier Hauptteile:

1. Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrizen.

2. Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix und Zerlegung desentstandenen Gleichungssystems.

3. Aufstellung von Lasten und Ermittlung der zugehörigen Ver−schiebungen.

4. Ermittlung der Elementspannungen und Auflagerkräfte infolgeder errechneten Verschiebungen.

Von diesen ist der zweite Schritt der rechenintensivste. Er kann bis zu 90 Pro�zent der gesamten Rechenzeit betragen, muß für ein statisches System je�doch nur ein einziges Mal durchgeführt werden.


2−3Version 10.70

Die Spannungen sind von Element zu Element sprunghaft und man kann zei�gen, daß die Größe des Sprungs ein direktes Maß für die Güte der FE− Be�rechnung ist.

2.2. Plattenelement

2.2.1. AllgemeinesPlattenelemente stellen auch heute noch eine besondere Herausforderung andie Theoretiker dar. Der Grund liegt darin, daß die normale Kirchhoff ’schePlattentheorie Ableitungen bis zur Stufe drei verwendet und gerade Ablei�tungen innerhalb der finiten Elemente besonders schlechte Genauigkeit ha�ben. Einige Versuche, höherwertige Elemente zu schaffen, indem weitere Un�bekannte für die Ableitungen eingeführt wurden, konnten sich wegen ihrerUnanschaulichkeit nicht durchsetzen. Heute sind deshalb zwei Methodenallgemein verbreitet.

− Hybride Elemente

Diese Elemente verwenden zusätzliche Ansatzfunktionen fürSpannungen bzw. Schnittgrößen und minimieren ein allgemeine�res Funktional. Die Genauigkeit ist gut, die Elemente folgen inder Regel der Kirchhoff ’schen Theorie und sind relativ aufwendigzu implementieren.

− Elemente nach der Mindlin’schen Theorie

Der andere Weg führt über eine andere Plattentheorie nach Mind�lin bzw. Reißner. Wenn nämlich die Schubverformungen mit ein�bezogen werden, kommt man mit zwei einfachen gekoppelten Dif�ferentialgleichungen aus, die nur erste Ableitungen benötigen.Elemente dieses Typs sind einfach zu implementieren, habenrecht genaue Querkräfte, sind auch für dicke Platten geeignet,sind aber mit einer ganzen Reihe von Problemen behaftet.Die ersten Elemente zeigten einen schweren Fehler bei dünnenPlatten. Die Verformungen waren viel zu gering. Dieser Effektwurde "locking" genannt und mit einem Kunstgriff der reduzier�ten Integration behoben. Leider zeigte es sich, daß dadurch aberein neues Problem eingeführt worden war, welches unter den Be�griffen "spurious modes", "Escher modes" oder "zero energy mo�des" in die Literatur eingegangen ist. Der nächste Schritt brachte


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dann die Lösung, indem die sogenannten Kirchhoff modes defi�niert wurden. Diese letzte Bedingung stellt im wesentlichen si�cher, daß die Querkraft immer gleich der Ableitung der Momenteist, zumindest in den wichtigsten Punkten.

2.2.2. Das SEPP−ElementDas SEPP−Element für die Plattentragwirkung basiert auf der Mindlin�schen Plattentheorie in der von Hughes, Tessler und Crisfield (2,3,4) be�schriebenen Implementierungen.

Diverse Modifikationen gegenüber den Veröffentlichungen bestehen in ei�nem Korrekturterm für die Schubverformungen, der es gestattet auch sehrdünne Platten zu berechnen und in der Erweiterung mit nichtkonformen An�sätzen, die lineare Momentenverläufe besser beschreiben können.

Das Element ist sowohl als Dreiecks als auch als Viereckselement implemen�tiert. Das Dreieckselement ist wesentlich schlechter als das Viereckselementund sollte nur verwendet werden, wenn keine andere Wahl der Netzeintei�lung gefunden werden kann. In der Nähe von Auflagerungen sollte es gene�rell nicht verwendet werden.

2.2.3. ElementgeometrieDas SEPP−Element ist als allgemeines Viereck definiert. Die Genauigkeitder Lösung hängt jedoch von der Elementgeometrie ab, weshalb nicht alledenkbaren Elementformen erlaubt sind.

Das optimale Element ist das Quadrat bzw. das gleichseitige Dreieck. Recht�ecke und Parallelogramme gelten als zweitbeste Formen, und das allgemeineViereck als drittbeste Form. Allgemeine Vierecke mit einspringender Eckesind im Ansatz des Elementes nicht erlaubt.

Ein Rechteck mit einem großen Seitenverhältnis a/b hat Schwierigkeiten beider Darstellung der Drillmomente und somit auch bei Biegung über Eck. EinVerhältnis von 1:5 wird in GENF noch toleriert und sollte auch nur in Aus�nahmefällen überschritten werden. Das Größenverhältnis zweier benach�barter Elemente sollte auch etwa den Wert 1:5 nicht unterschreiten, der Wertist jedoch relativ unkritisch.

Das Verhältnis Dicke zu Elementabmessung ist unkritisch, da ein Schubkor�rekturfaktor angesetzt wird. Der Benutzer muß sich jedoch darüber im kla�ren sein, daß bei dicken Platten durch die Schubverformungen immer Abwei�


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chungen zur Kirchhoff ’schen Theorie auftreten. Das Verhältnis der Dickenzweier benachbarter Elemente sollte wegen des kubischen Einflusses dieserGröße den Wert 1:10 auf keinen Fall unterschreiten.

Für die Größe des Elements selbst gibt es verschiedene Randbedingungen,die zu beachten sind:

1. Das Netz muß mit seinem linearen Ansatz der Verschiebungen dietatsächliche Biegeform genügend genau berücksichtigen können.Deshalb sind 5 bis 7 Elemente in Tragrichtung pro Feld als untereGrenze sinnvoll.

2. Aus numerischen Gründen sollten nicht mehr als 20 Elemente proFeldrichtung angeordnet werden.

3. Beim Nachweis der Querkräfte unter Einzellasten oder bei Aufla−gern machen sich Elementgrößen kleiner als die Elementdicke(Durchstanzradius!) in störenden großen Querkräften bemerkbar.In solchen Fällen sollten keine Punktlager oder einzelne Knoten−lasten mehr verwendet werden.

2.2.4. Verschiebungen und KrümmungenDie Querschnitte bleiben auch bei der Mindlinschen Theorie eben, jedochnicht mehr senkrecht zur neutralen Achse. Für die zusätzlichen Schubver�drehungen werden nun die gleichen Formfunktionen wie für die Verschie�bungen verwendet. Die Gesamtverdrehung ist dann die Summe aus Schub�deformation und Biegeverdrehung.

�x� �� w��x�� −Sx

wobei

w = Durchbiegung� = Gesamtverdrehung�−S = Schubverdrehung�.../�x = Ableitung nach x (y analog)

Für die Krümmung bzw. Schubwinkel erhält man dann

kx�� x��x

ky�� y��y


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kxy�� x��y��y��x

�−Sx� �� x��w��x

�−Sy� �� y��w��y

2.2.5. SchnittgrößenFür die Schnittgrößen wird ein allgemeiner orthotroper Ansatz gemacht, derüber ideelle Dicken für die einzelnen Anteile gesteuert wird.

m−x� �� −Bx� kx��Bxy�ky

m−y� �� −By� ky��Bxy�kx

m−xy� �� −Bd� kxy

und

v−x� �� Sx� �−Sx

v−y� �� Sy� �−Sy

mit den Steifigkeiten

Bx� �� Ex� dx3

12� �1−�2��Sx�� 56�G�dx

By� ��Ey�dy3

12� �1��2��Sy� �� 56�G� dy

Querbiegesteifigkeit

Bxy� ��Ex�dxy3

12� �1−�2�

Torsionssteifigkeit

Bd�� G� dd3

12

wobei


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Ex,Ey = E−ModuliG = Schubmodul� = Querdehnzahldx,dy,dxy,dd = Plattendicken

Im isotropen Fall ist dx=dy=dxy=dd=d und Ex=Ey=E zu setzen. Der Faktorder Schubsteifigkeiten 5/6 wird bei dünnen Platten modifiziert. Eine aniso�trope Querdehnzahl wird nicht berücksichtigt.

Die orthotropen E−Moduli und Dicken werden durch eine Eingabe eines Or�thotropie−Winkels OAL in Satz MAT gedreht!

a) Für orthotropes Material (z.B. ideeller Querschnitt von Spannbetonoder Holz) kann gesetzt werden:

Bxy� ��Bd� �� Bx � By�

Um dies zu erreichen muß neben der orthotropen Eingabe von Ex undEy eine ideelle Dicke für txy und td eingegeben werden mit:

dxy� �� dd� �� dx�3 Ey�Ex�

mit Ex>Ey und dy=dx

b) Bei Wellblech kann gesetzt werden

z� �� f� sin�� x�l�

Bx� �� 1s �

E�d3

12� �1��2�� Bd By=EI ; Bxy=0

c) Bei Rippenplatten (y−Achse in Längsrichtung) kann gesetzt werden: (a/b=Abstand/Breite der Rippen,tx/to=Dicke der Platte/Rippe)

dy� �� dx��1� �� b � do3

a � dx3�1�3

dxy� �� dx

Bd� ��Dd�dx��C��2�a�

C=Torsionssteifigkeit der Rippe

2.2.6. Nichtkonforme AnsätzeDas normale 4−knotige Element zeichnet sich dadurch aus, daß es einen bili�nearen Ansatz der Verschiebungen und Verdrehungen aufweist, der durch


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eine Modifikation einen konstanten Verlauf der Querkraft und des Momentsbeschreibt. Dieses Element heißt konform, da die Verschiebungen und Ver�drehungen zwischen den Elementen keine Sprünge aufweisen. Die Ergeb�nisse im Schwerpunkt des Elements beschreiben den tatsächlichen Schnitt�größenverlauf recht gut, die Ergebnisse in den Ecken sind jedoch relativunbrauchbar, insbesondere an Rändern und Ecken des Gebiets.

Von Taylor und Wilson stammt eine Idee, durch Verwendung zusätzlicherFunktionen, deren Wert in allen Knoten Null ist, weitere Spannungszu�stände zu beschreiben. Diese Funktionen bringen in der Regel wesentlicheVerbesserungen der Ergebnisse, verletzen aber die Stetigkeit der Verschie�bungen zwischen den Elementen und werden deshalb nichtkonforme Ele�mente genannt.

Im Programm SEPP sind zwei Elementvarianten verfügbar. Die Auswahl ge�schieht über die STEU−Option QART .

QART 0 normales konformes Element nach Hughes (2) QART 1 nichtkonformes Element mit zwei Funktionen basierend auf Hughes (2)

Das Element mit QART 0 kann konstante Momente innerhalb des Elementsbeschreiben.

Das Element mit QART 1 kann einen linearen Momentenverlauf beschrei�ben, wenn es in rechteckiger Form vorliegt, das allgemeine Viereck kann diesaber nur angenähert. Ein entsprechendes nichtkonformes Dreieckselementexistiert nicht, weshalb dieses Element möglichst nicht mit Dreiecken zu�sammen eingesetzt werden sollten.

Voreingestellt ist STEU QART 1. Diese Option wird bei der Erstellung derSteifigkeitsmatrix ausgewertet. Eine Angabe erzwingt eine Neubildung derSteifigkeiten.

Im Kapitel 5 ist das Verhalten der Elemente unter verschiedenen Lastfällenund Netzformen beschrieben.

2.2.7. Elastische BettungDas Plattenelement ist um Steifigkeitsglieder zur Beschreibung einer ela�stisch gebetteten Platte erweitert.

Eine elastische Bettung ist ein ingenieurmäßiger Kunstgriff, um nachgiebigeStrukturen näherungsweise berücksichtigen zu können. Bekannt ist das


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Verfahren aus dem Grundbau, es kann jedoch auch zur Beschreibung vonAuflagerbedingungen im Hochbau eingesetzt werden.

Eine wirklichkeitsnähere Berechnung des Setzungsverhaltens nach demSteifezifferverfahren ist in Verbindung mit Programm HASE möglich, dasden Baugrund als elastischen Halbraum abbildet.

Bei dem hier beschriebenen einfacheren Bettungsmodulverfahlern gibt dieBettungskonstante an, welche Spannung entsteht, wenn ein Punkt eine ge�wisse Verschiebung erfährt. Sie ist keine Materialkonstante, sondern wirdaus einer Setzungsberechnung ermittelt. Ihr Wert setzt sich prinzipiell stetsaus einem E−Modul und einer geometrischen Abmessung zusammen. DieVerformungen benachbarter Punkte sind voneinander unabhängig, da beidiesem Verfahren die Schubverformungen unberücksichtigt bleiben.

Der einfachste Fall ist eine kompressible Schicht konstanter Dicke h. Zur Er�mittlung der Bettungszahl wird eine konstante Spannung aufgebracht unddie daraus resultierende Verschiebung ermittelt. Bei behinderter Seitendeh�nung ergibt sich:

C� ��Eh

��1��

�1�� 1�2�� Es

h

Ist die Seitendehnung nicht behindert, so ergibt sich:

C� ��Eh

Analog kann man bei mehrschichtigen Systemen sich Bettungszahlen be�schaffen. Diese Zahlen sind umso brauchbarer, je dünner die Schicht im Ver�gleich zu ihrer Ausdehnung wird. Ist die Schicht jedoch relativ dick im Ver�gleich zu der belasteten Fläche oder ist die Schicht gar unendlich dick, so mußdie Bettung über eine Setzungsberechnung des kennzeichnenden Punktesabgeschätzt werden.

Wird die Bettung zu steif, verringert sich die Lastverteilungsfunktion derPlatte immer mehr, der Ansatz des Bettungszahlverfahrens verliert dadurchseine Voraussetzungen und die Ergebnisse werden nicht mehr realistisch.Numerische Schwierigkeiten ergeben sich hier jedoch nicht.

Die Bettung kann wahlweise als Einzelfedern in den Knoten der Elementeoder als verteilte Bettung mit einer Matrix berücksichtigt werden. Die Ver�wendung von Einzelfedern kann bei sehr steifer Bettung und starken Last�


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konzentrationen angebracht sein. Die Steuerung erfolgt mit einer EingabeSTEU BART.

STEU BART >0 konsistente Bettungs−Matrix (Voreinstellung)STEU BART <0 Einzelfedern

Voreingestellt ist STEU BART 1. Diese Option wird nur bei der Erstellungder Steifigkeitsmatrix ausgewertet. Eine Angabe erzwingt noch keine Neu�bildung der Steifigkeiten.

Bei Verwendung der elastischen Bettung zur Definition von Stützenköpfenoder Wandlagerungen ist zu beachten, daß eine flächenhafte Bettung eine ge�wisse Drehfederwirkung entwickelt, die für die Beanspruchung der Plattewichtiger ist als die Senkfeder.

Ist die Platte jedoch auf der Stütze oder einer Wand gelenkig gelagert, so darfeine Bettung wegen ihrer einspannenden Wirkung auf keinen Fall angesetztwerden. In einem solchen Falle sollte immer eine elastische Punkt− oder Li�nienlagerungen eingegeben werden (vgl. Randbedingungen).

2.3. Scheibenelement

Das Scheibenelement kann keine Momente senkrecht zu seiner Ebene auf�nehmen. Punktuelle Momente müssen stets über ein Kräftepaar auf zweioder mehr Knoten aufgebracht werden. Bei der Kopplung von Scheiben mitStabelementen ist zu beachten, daß Verdrehungen einzelner Stabknotenkeine Momente an die Scheibe übertragen.

Die Formulierung des Scheibenelementes erfolgt mit dem von Wilson undTaylor entwickelten nichtkonformen, vierknotigen Element (9). Dieses Ele�ment kann reine Scheiben−Biegezustände und lineare Spannungsverteilun�gen exakt erfassen, wenn es als Rechteck oder Parallelogramm vorliegt.

Allgemeine nichtkonforme Vierecke verhalten sich bezüglich konstanterSpannungen genauso wie die konformen, das heißt, sie erfüllen den soge�nannten Patch−Test. Bei linearer Spannungsverteilung können die allgemei�nen Vierecke den theoretischen Zustand zwar nicht mehr exakt erfassen,aber immer noch besser approximieren als die konformen Elemente.

Für Dreieckselemente werden die nichtkonformen Ansätze unterdrückt.

Es werden wiederum sowohl die Dicken wie auch die E−Moduli in unter�schiedlichen Richtungen berücksichtigt. Eine anisotrope Querdehnzahl wirdnicht berücksichtigt:


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n−xx� �� Sx� �x��Sxy � �y

n−yy� �� Sy � �y��Sxy � �x

n−xy� ��G� dxy� �xy

mit den Steifigkeiten

Sx� ��Ex�dx��1��2�

Sy� ��Ey�dy��1��2�

Sxy� ��Ex�dxy��1��2�

2.4. Stabelement

Das Stabelement in SEPP ist ein beliebig gevoutetes Stabelement inklusiveSchubverformungen und Gelenkwirkungen.

Schiefe Hauptträgheitsachsen (Iyz ungleich 0) sollten nicht verwendet wer�den, da sie zu ungewollten Einspannungen führen können.

Bei Scheibenberechnungen arbeitet das Stabelement als eigenständiges Ele�ment, bei Plattenberechnungen ist die mit den QUAD−Elementen ver�knüpfte Plattenbalkenphilosophie voreingestellt. Dabei werden für in Plat�ten liegenden Stäben mit definierten Querschnittsbreiten aus AQUA oderGENF bei der Steifigkeitsermittlung der Stäbe die Plattenanteile automa�tisch abgezogen. Im Ergebnis der Stabschnittgrößen werden dann dieSchnittkraftanteile der Platte für eine nachfolgende Bemessung addiert. Nä�here Einzelheiten sind im Satz STEU zu finden, eine genauere Beschreibungdes Verfahrens ist im SOFiSTiK−Statik−Kundenbrief NR. 15 abgedruckt.

2.5. Plattenbalken

Bei in Platten liegenden Stäben mit definierten Querschnittsbreiten ausAQUA oder GENF werden bei der Steifigkeitsermittlung die Plattenanteileautomatisch abgezogen. Im Ergebnis der Stabschnittgrößen werden dann dieSchnittkraftanteile der Platte für eine nachfolgende Bemessung addiert. Nä�here Einzelheiten sind im Satz STEU zu finden, eine genauere Beschreibung


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des Verfahrens ist im SOFiSTiK−Statik−Kundenbrief NR. 15 und im Inter�net unter www.sofistik.de/bibliothek.htm abgedruckt.

2.6. Fachwerk und Seil

Fachwerk und Seilelemente sind nur bei Scheibenberechnungen sinnvoll. Siekönnen nur Normalkräfte übertragen. Bei nichtlinearer Rechnung könnenSeile keine Druckkräfte aufnehmen. Ein innerer Seildurchhang wird nichtberücksichtigt.

2.7. Federn

Federelemente idealisieren Tragwerksteile durch eine vereinfachte Kraft−Verformungsbeziehung. Im Normalfall ist diese durch eine Federkonstantegegebene lineare Gleichung:

P�C� u

Die Feder wird durch eine Richtung ( dX, dY, dZ ) und drei Federkonstantendefiniert.

Das hier implementierte Element erlaubt folgende nichtlineare Effekte, dienatürlich nur bei einer nichtlinearen Berechnung zum Tragen kommen:

− Vorspannung (linearer Effekt)− Reißen− Fließen− Reibung mit Kohäsion− Schlupf

GENF61.


2−13Version 10.70

Federkennlinien

GENF161.

Eine Vorspannung verschiebt die entsprechenden Effekte und erzeugt immereine Belastung auf das System. Eine vorgespannte Feder wird sich bei Abwe�senheit von äußeren Belastungen oder Zwängen entspannen. Die nichtlinea�ren Effekte werden sowohl für Dreh− wie für Senkfedern angesetzt. Reibungkann mit einer Querfeder definiert werden. Die Kraftkomponente senkrechtzur Wirkungsrichtung der Feder ergibt sich aus Verschiebungskomponentein Querrichtung mal Querfederkonstante. Diese Kraft ist jedoch maximal sogroß wie die Kraft in Hauptrichtung multipliziert mit dem Reibungsbeiwertzuzüglich der Kohäsion. Fällt die normalgerichtete Feder aus, so wird auchdie Querfeder eliminiert.

2.8. Randelement

Die elastischen Randbedingungen stellen keine eigentlichen Elemente dar.Sie beschreiben zusätzliche Steifigkeiten des Systems. Die Wirkung der Ele�mente erscheint direkt in Form von Auflagerkräften an den entsprechendenKnoten.

Bei Randelementen mit Nummer (vgl. GENF) werden verteilte Auflager�reaktionen ermittelt. Werden an einer Kante zwei Ränder definiert, werdendie verteilten Auflagerreaktionen nur einmal berechnet und bei dem Randmit der niedrigeren Randnummer ausgegeben.

Ein Randelement interpoliert die Verschiebungen linear zwischen zwei Kno�ten. Dadurch ergibt sich eine Verteilung der Steifigkeitsmatrix auf die zweiKnoten

CR�3�CL��CR�CL

CR�CL��CL�3�CR

mit

CR�CA�L�12��CL�CB�L�12

CA,CB = Federkonstanten Anfang/EndeL = Abstand der Knoten


Version 10.702−14

2.9. Halbraum

Für Plattenberechnungen nach dem Steifezifferverfahren kann mit der Ein�gabe STEX einen Halbraumsteifigkeit aus Programm HASE übernommenwerden. Damit wird der Baugrund als elastischer Halbraum abbildet.

2.10. Plattenrandbedingungen

Plattenelemente sind in der Formulierung der Randbedingungen nicht un�kritisch. Insbesondere hat das Mindlin−Element einige Besonderheiten, diezu beachten sind.

Bei der Kirchoff ’schen Theorie ergeben sich am Rand zwei Schnittgrößen,nämlich das Biegemoment und die Ersatzquerkraft. In der letzteren stekkendie Querkraft und das Torsionsmoment, weshalb beide am freien Rand vonNull verschiedene Werte haben können. Im Gegensatz dazu kennt die Mind�lin−Theorie drei Auflagerbedingungen für die drei Schnittgrößen Biegemo�ment, Torsionsmoment und Querkraft. Eine Lagerung für das Torsionsmo�ment unterdrückt z.B. die Verdrehungen senkrecht zum Rand.

2.10.1. Freie RänderFreie Ränder haben keine Festhaltungen irgendwelcher Art. Die Auflager�kräfte an solchen Rändern sind im Rahmen der Rechengenauigkeit Null. In�nerhalb der Elemente werden die Schnittgrößen jedoch, bedingt durch dasnumerische Verfahren, nicht immer genau verschwinden.

2.10.2. Eingespannte RänderVollkommen eingespannte Ränder sind unproblematisch einzugeben. Fürdie Interpretation der Ergebnisse ist es jedoch wichtig zu wissen, daß die Auf�lagertorsionsmomente aufgenommen werden müssen. Im Zweifelsfalle istanalog der Kirchhoff ’schen Annahme eine zusätzliche Belastung aus der Ab�leitung des Torsionsmomentes zu bilden.

2.10.3. Gelenkig gelagerte RänderGelenkige gelagerte Ränder sollten immer als elastische Linienlagerungüber die Eingabe RAND eingegeben werden. Dadurch werden Singularitätenan einspringenden Ecken und Wandenden abgeschwächt. Die oft am zweitenKnoten hinter dem Wandende oder der einspringenden Ecke auftretendenabhebenden Kräfte werden reduziert oder treten erst gar nicht auf. Außer�dem verläuft eine nachfolgende Bemessung problemloser.


2−15Version 10.70

Der Wert der Federkonstanten c einer Linienlagerung ergibt sich dabei ausdem E−Modul E, der Dicke b und der Höhe h der Auflagerwand zu

c� ��E� bh

[kN/m2]

Aus Konsistenzgründen können bei elastischer Wandlagerung auch die Stüt�zenlagerungen als elastische Einzelfeder mit C=E⋅A/h (Stützenhöhe h) einge�geben werden.

Die sogenannte feste Navier−Lagerung kann als einfache PZ−Festhaltungeingegeben werden, führt aber bei einspringenden Ecken zu Problemen. DieErgebnisse sind dann der Kirchhoffschen Theorie am nächsten. Auf eine zu�sätzliche Festhaltung der Verdrehung um die Richtung senkrecht zum Randsollte auf jeden Fall verzichtet werden, da dies nicht nur den Nachteil der ent�stehenden Auflagertorsionsmomente hat, sondern bei stumpfen Ecken auchzu ungewollten Einspannungen führt.

2.10.4. StützenNachdem in Programm BEMESS zusammen mit dem Durchstanznachweiseine Momentenausrundung über der Stütze für die Bemessung erfolgt, kanneine Stützenlagerung durch eine einfache Knotenfesthaltung eingegebenwerden. Wurden Wände mit elastischer Lagerung eingegeben, sollten auchdie Stützenknoten mit einer Einzelfeder definiert werden.

Neben dieser einfachen Knotenlagerung besteht noch die Möglichkeit, einPlattenelement über einem zentralen Stützknoten anzuordnen und die Ek�ken dieses Elementes über Kopplungen an den zentralen Stützknoten anzu�schließen.

Weitere Erläuterungen zur Stützenbemessung bzw. zum Durchstanznach�weis sind dem BEMESS−Handbuch zu entnehmen. Zusätzliche Erläuterun�gen sind im SOFiSTiK−Statik−Kundenbrief Nr. 17 zu finden.

2.11. Scheibenrandbedingungen

Wie Platten sollten auch Scheiben nach Möglichkeit elastisch gelagert wer�den.

Über eine Einflußbreite verschmierte Linienlagerung ist auf jeden Fall einerPunktlagerung vorzuziehen.

Da die Scheibenelemente keine Momente senkrecht zu ihrer Ebene aufneh�men können, sind Verdrehungsfesthaltungen oder Drehfedern nur in Verbin�dung mit Stabelementen wirksam.


Version 10.702−16

2.12. Starre Körper

Starre Körper können über Kopplungen definiert werden. (Vgl. GENF)

Eine häufige Anwendung ist durch starre Körper auf Fundamentplatten ge�geben. Ein Hochhauskern ist am einfachsten als separater Knoten imSchwerpunkt seines Querschnitts zu beschreiben. Die Verbindungs−Knotender Platte zum Kern werden dann alle auf diesen Kernknoten mit KP oderKF gekoppelt. Alle Belastungen können direkt die Schnittgrößen im Schwer�punkt auf den Referenzknoten aufgebracht werden.

Wandscheiben haben gegenüber starren Körpern einen Verdrehungsfrei�heitsgrad um ihre Achse noch frei beziehungsweise nur wenig behindert. Einsolches Verhalten kann mit der Kopplung KL beschrieben werden.

Die Eingabe der beiden unabhängigen Wandscheiben des folgenden Beispie�les erfolgt in GENF mit den Kopplungen:

KNOT (2 3 1) FIX KL 1 (8 9 1) FIX KL 7

SEPP3.

Ausschnitt aus einem Netz

Sind die beiden Wandscheiben jedoch miteinander gekoppelt, so muß derKnoten 7 zusätzlich mit einer entsprechenden Kopplung auf den Knoten 1 be�zogen werden.

KNOT 7 FIX KPZ 1 ; 7 FIX KMY 1


2−17Version 10.70

Jetzt haben Knoten 1 und 7 die gleichen Verschiebungen und gleiche Verdre�hungen um die y−Achse. Die Kopplungen können hier addiert werden, da siesich gegenseitig nicht beeinflussen. Dies führt zu einer rekursiven Kopplungder Knoten 8 und 9, welche bei mehrfacher Anwendung erheblichen Spei�cherbedarf hat. Eventuell kann mit einem kleinen Kunstgriff deren Kopp�lung auch einfach definiert werden:

KNOT (8 9 1) FIX KL 1 DY 0.

Jetzt sind die Knoten 8 und 9 vollkommen gleichwertig wie 2 und 3 auf denKnoten 1 gekoppelt, die Verdrehungen um die Y−Achse sind somit in allenKnoten gleich, die Verdrehungen um die X−Achse sind nicht behindert.Würde die Eingabe DY 0. entfallen, so wären die Knoten 8 und 9 mit 1 schiefgekoppelt und der Benutzer hätte nicht den gewünschten Effekt.

2.13. Knotenergebnisse

Für jeden Knoten werden die Schnittgrößen der benachbarten Elemente ge�mittelt und abgespeichert bzw. ausgegeben.

An Knoten, an denen die Dicke der angrenzenden Elemente oder die Mate�rialnummer springt, werden die Ergebnisse nicht gemittelt. An solchen Kno�ten werden dann zwei oder mehr Ergebnisse an ein und demselben Knotenausgegeben. In BEMESS werden die zwei Ergebnisse dann mit der zugehöri�gen Dicke bemessen.

An Gruppengrenzen werden die Ergebnisse ebenfalls gemittelt, sofern keinSprung in der Materialnummer oder der Dicke vorliegt.

Kopplungen werden bei der Mittelung mit Ausnahme der Zwischenknotenignoriert. Bei Bedarf kann deshalb eine bekannte Unstetigkeitsstelle durchdoppelte Knoten, die gekoppelt sind (KF), beschrieben werden.

Die Knotenergebnisse werden vor allem für die grafische Ausgabe in Formvon Isolinien oder Schnitten benötigt. Außerdem sollte über dünnen Innen�wänden die Ausgabe der Bemessungsergebnisse der Platte in den Knoten er�folgen. Eine Ausrundung über die Auflagerbreite erfolgt dann zunächstnicht, kann aber über Programm GRAF mit Hilfe von Schnitten quer zurWand leicht abgeschätzt werden.

2.14. Nichtlineare Berechnungen

Mit dem Aufbaupaket SEPP2 sind folgende nichtlinearen Effekte erfaßbar:


Version 10.702−18

− Nichtlineare Federn bei Platten− und Scheibenberechnungen − Ausfall der Bettung bei Plattenberechnungen − Ausfall von Seilen bei Scheibenberechnungen

Mit dem Aufbaupaket SEPP4 ist möglich:

− Stahlbetonplatten nach Zustand II (vgl. Satz BEW2) − Stahlscheiben mit plastischem Materialverhalten

Stab− Fach− und Seilelemente werden nicht auf Materialnichtlinearitätüberprüft.

Geometrisch nichtlineare Berechnungen sind nur mit Programm ASE mög�lich.

2.15. Literatur

(1) O.C.Zienkiewicz (1984) Methode der finiten Elemente 2. Auflage , Hanser Verlag München

(2) T.J.R.Hughes,T.E.Tezduyar (1981) Finite Elements Based Upon Mindlin Plate Theory WithParticular Reference to the Four−Node Bilinear Isoparametric Element. Journal of Applied Mechanics,48/3, 587−596

(3) A.Tessler,T.J.R.Hughes (1983) An improved Treatment of Transverse Shear in theMindlin−Type Four−Node Quadrilateral Element. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 39,311−335

(4) M.A.Crisfield (1984) A Quadratic Mindlin Element Using Shear Constraints Computers & Structures, Vol. 18, 833−852

(5) K.J.Bathe,E.N.Dvorkin (1985) A Four−Node Plate Bending Element Based onMindlin/Reissner Plate Theory and a Mixed Interpolation. Int.Journal.f.Numerical Meth. Engineering Vol.21 367−383


2−19Version 10.70

(6) T.J.R.Hughes,E.Hinton (1986) Finite Elements for Plate and Shell Structures Pineridge Press International, Swansea

(7) Timoshenko/Woinowsky−Krieger (1959) Theory of Plates and Shells, MacGraw−Hill, New−York

(8) Stieda/Katz (1992) Praktische FE−Berechnungen mit Plattenbalken Bauinformatik ,Vol.3 Heft 1, S 30−34

(9) Taylor,Beresford,Wilson (1976) A Non−Conforming Element for Stress Analysis,International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 10,1211−1219


Version 10.702−20


3−1Version 10.70

3 Eingabebeschreibung

3.1. Eingabesprache

Die Eingabe erfolgt im freien Format in der CADINP Eingabesprache. (Vgl.Allgemeines Handbuch)

3.2. Eingabesätze

Folgende Satznamen sind definiert:

Satzname Kennworte

ECHO

STEU

SYST

OPT WERT

OPT WERT

ART PROB ITER TOL FMAX FMIN EMAX EMIN PLF

FAKV NMAT

KRIE

GRUP

BEW2

BEWQ

STEX

NKRI RO

NR WERT FAKS PLF GAM H K SIGN SIGH

FAKL FAKG FAKP FAKT HW GAMA RADA RADB MODD

BA VORX VORY PHI EPS RELZ PHIF

NRG NREL OBEN UNTE HO HDO HU HDU ASO

ASOQ ASU ASUQ BSO BSOQ BSU BSUQ DO DOQ

DU DUQ

LFB FAKT LFBS

NAME

LF

LAST

KL

RLAS

FLAS

ELAS

LLAS

BLAS

LAG

LC

NR FAKT EGX EGY EGZ BET2 BEZ

KNR PX PY PZ MX MY MZ

NR TYP P1 P2 P3 PF

VON BIS DELT TYP PA PE MESS

VON BIS DELT TYP P DPZ ETYP VBA

NKB X Y Z TYP P NRG

NKB XA YA ZA DX DY DZ TYP PA

PE NRG

NKB XA YA ZA DX DY DZ DXS DYS

DZS DXT DYT DZT TYP P1 P2 P3 NRG

LFNR FAKT TYP Z PROJ

NR FAKT NRG KVON KBIS KDEL MSEL


Version 10.703−2

Siehe auch: STEU, SYST, GRUP

3.3. ECHO − Steuerung der

Ausgabe

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

ECHO

Wert Bedeutung Dimension Voreinst.

OPT Bereich der ECHO−OptionKNOT KnotenwerteGRUP GruppenparameterMAT MaterialwerteELEM ElementwerteLAST LastenVERS VerschiebungenSCHN SchnittgrößenNOST Schnittgrößen in KnotenBETT BettungsspannungenREAK AuflagerkräfteAUFL Verteilte AuflagereaktionenPLAB Statistik PlattenbalkenanteileRESI Restkräfte bei IterationenERIN FehlerschätzungenSTAT Statistik + GruppensteuerungVOLL Alle Optionen setzen

LIT −

WERT Umfang der AusgabeAUS nichts rechnen / ausgebenNEIN Keine AusgabeJA Normale AusgabeVOLL Erweiterte AusgabeEXTR Extrem erweiterte Ausgabe

−/LIT VOLL

Die Voreinstellung ist NEIN für KNOT und MAT sowie JA für alle anderen.Der Satzname ECHO sollte in jedem Satz angeführt werden, damit keineVerwechslungen mit den gleichartigen Satznamen vorkommen können. Ver�gleiche Abschnitt 4. zur Wirkung von ECHO.


3−3Version 10.70

Siehe auch: ECHO, SYST, GRUP

3.4. STEU − Steuerung

Rechenverfahren

ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ

STEU


OPT SteuerungsoptionSOLV Lösung des SystemsBART Ansatz elastische BettungQART Ansatz QUAD−ElementeAFIX Behandlung von Verschie−

blichkeitenQKNO Querkräfte in KnotenNSCH Anzahl Scheiben beim

QUAD−BetongesetzTAU2 Max. zul. Schubspannung

beim QUAD− BetongesetzSCHU Schubspannungen beim

QUAD−StahlgesetzPLAB Plattenbalkenanteile

LIT −

WERT Wert der Option − −

SOLV Gleichungslöser

STEU SOLV 0: Gleichungssystem nicht lösen. Zweck: − Kontrolle der Lastaufbringung − Check der Paramter des GleichungssystemsSTEU SOLV 1: Gauss−Skyline Gleichungslöser (Voreinstellung)STEU SOLV 2: Iterativer GleichungslöserSTEU SOLV 3: Iterativer Gleichungslöser mit "Krylow−Spaces"

STEU SOLV 2 oder 3 erfordern eine zusätzliche Berechtigung.Die neuen iterativen Solver erlauben die schnelle Berechnungsehr großer Systeme. Sie erfordern zwar viel weniger Platz aufder Festplatte, dafür aber mehr Arbeitsspeicher. Da das Pro�gramm selbst fehlenden Speicher nachfordert, ist es vorteilhaftASE mit der Standardspeicheranforderung zu starten.

Die iterativen Solver rechnen einen Lastfall zwar schneller, bei


Version 10.703−4

vielen Lastfällen ist der normale Gleichungslöser aber effektiver.

Die itertiven Solver können mit weiteren Parametern optimiertwerden: STEU SOLV 2 W2 W3 W4:

W2: maximale Anzahl Itertionen Gleichungslöser W3: Toleranz in Stellen (5 bis 15) W4: Weiterer Steuerparameter: 0 = Standard MGS 1 = Iterativ IMGS 2 = Classical CGS 3 = Iterativ ICGS +4 = ohne Cholesky Vorkonditionierung +256 * max krylow space (für SOLV 2 nur Option 4)

In einem kleineren Beispiel mit 20.000 Unbekannten erwies sichSOLV 3 um 30 % schneller als SOLV 2. Bei einem räumlichen Bei�spiel mit 230.000 Unbekannten war SOLV 3 um den Faktor 10schneller.

Weitere Infos zum Gleichungslöser sind im Kundenbrief Nr. 15 zufinden.

BART Steuert den Ansatz der Bettung bei QUAD−Elementen

Die elastische Bettung der QUAD−Elemente kann wahlweise alsEinzelfedern in den Knoten oder als verteilte Bettung realisiertwerden. Die Verwendung von Einzelfedern kann bei sehr steiferBettung angebracht sein.

Option BART hat folgende Werte: +1 immer verteilt (Voreinstellung) −1 immer EinzelfedernDieser Wert wird nur bei der Erstellung der Steifigkeitsmatrixausgewertet.

QART Steuert den Ansatz der QUAD−Elemente

Die verschiedenen Zusatz−Optionen der QUAD−Elemente wer�


3−5Version 10.70

den als Summe der folgenden Werte definiert.

0 Standardelement 1 nicht konforme Ansätze +10 Rotationsmassen ansetzen (nur Dynamik)

Voreinstellung (1)

Eine Angabe zu QART erzwingt eine neue Erstellung der Steifig�keitsmatrix.

AFIX Steuert, wie verschiebliche Freiheitsgrade behandelt werden sol�len.

Erkennbar undefinierte Freiheitsgrade (z.B. Knotenverdrehun�gen in einem Fachwerk) erhalten vorab eine kleine Steifigkeit.Lasten auf solche Freiheitsgrade ergeben dann sehr große Ver�schiebungen.0 = Freiheitsgrade, die exakt verschieblich sind, werden mit

einem Fehler gemeldet und der Programmlauf wird abge−brochen.

1 = Freiheitsgrade, die innerhalb der Rechengenauigkeit ver−schieblich sind, werden mit einem Fehler gemeldet und derProgrammlauf wird abgebrochen.

2 = Freiheitsgrade die exakt verschieblich sind werden mit ei−ner Warnung unterdrückt und der Programmlauf wirdfortgesetzt.

3 = Freiheitsgrade, die innerhalb der Rechengenauigkeit ver−schieblich, sind werden mit einer Warnung unterdrücktund der Programmlauf wird fortgesetzt.

4 = wie 0, jedoch werden erkennbar undefinierte Freiheits−grade mit einem festen Auflager versehen.




Voreinstellung (1)


Version 10.703−6

QKNO Steuert die Mittelung der Querkräfte in den Knoten

QKNO=+1: Die Querkräfte werden im Knoten immer positiv ge�rechnet. An Zwischenauflagern ist die Querkraft in den Elemen�ten auf der einen Seite positiv, auf der anderen negativ. Mitteltman diese Ergebnisse mit Vorzeichen, ergäbe sich an den Knotendie Querkraft etwa zu 0. Werden jedoch die absoluten Werte ge�mittelt, so erhält man für die Auflagerknoten trotzdem realisti�sche Querkräfte. Bilder in GRAF zeigen also bei Verwendung derKnotenwerte nur positive Werte, bei der Darstellung aus Ele�mentwerten in GRAF (STYP ELEM) werden pos. und neg. Wertedargestellt.

Ein negativer Effekt ist die Überlagerung der absoluten Werte ineinem Knoten: Ist in einem Lastfall die Querkraft pos. und im an�deren eigentlich negativ werden bei QKNO=+1 die absolutenWerte addiert. Dieser Fehler ist jedoch meist vernachlässigbarund die Querkraftbemessung erfolgt sowieso meist im Elementund nicht in den Knoten.

QKNO=−1: Die Querkräfte werden auch in den Knoten mit Vor�zeichen gemittelt.

(Voreinstellung: +1, bei Systemen mit Spanngliedern −1)

PLAB Plattenbalkenschnittgrößen:

Bei in Platten liegenden Stäben mit definierten Querschnittsbrei�ten aus AQUA werden bei der Steifigkeitsermittlung die Platte�nanteile automatisch abgezogen. Im Ergebnis der Stabschnitt�größen werden dann die Schnittkraftanteile der Platte für einenachfolgende Bemessung addiert.

Restriktionen:

− Bearbeitung nur für mit AQUA eingegebene Querschnitte mitdefinierter Querschnittskontur (QB,QNR...)

− Alle QUAD−Elemente müssen in der X−Y−Ebene liegen, da an−dernfalls Knotenergebnisse unsicher (Koord−System). Paral−lele Decken mit Stützen sind erlaubt.


3−7Version 10.70

− Es werden auch über Kopplungen an die Platte angeschlosseneStäbe bearbeitet, allerdings nur, wenn sie in der Plattenebeneliegen (MONET−STAB−abs+kopp).

Details:

− Bei der Ermittlung der Plattenanteile werden Plattenschnitt−kräfte im Stabknoten mit der Querschnittsbreite multipliziert.Über Stützen sollte die Stabbreite daher nicht zu groß gewähltwerden.

− Stoßen an einem Knoten mehrere QUAD−Gruppen zusammen,wird der Mittelwert der Plattenschnittgröße verwendet.

Steuerung:

STEU PLAB +1 = Momente MY werden addiert +2 = auch Querkräfte VZ werden addiert+4 = auch Normalkräfte N werden addiert+8 = auch Torsionsmomente MT werden addiert

Voreinstellung 7 = MY + VZ + NMit STEU PLAB 0 wird die Bearbeitung ausgeschaltet.

Ausgabe:

− Im Ausdruck der Stabschnittgrößen sind die Anteile der Plattebereits enthalten. Daher erfolgt der Ausdruck erst nach denPlattenknotenergebnissen!

− Nach den Stabschnittgrößen folgt eine Statistik der Plattenan−teile. Die max. Plattenanteile werden den max. Stabschnitt−größen gegenübergestellt. Steuerung der Statistik mit ECHO PLAB 0−1−2.

NSCH Anzahl Scheiben beim QUAD−Betongesetz

Voreinstellung: 10

TAU2 Max. zul. Schubspannung beim QUAD−Betongesetz

Bei punktgestützten Platten wird in den auflagernahen Elemen�ten oft die zulässige Schubspannung überschritten und es kommt


Version 10.703−8

zu Schubplastizieren. Eine Erhöhung von TAU2 auf z.B. 9.9N/mm2 beseitigt diesen manchmal unerwünschten Effekt.Voreinstellung: 2.40 [N/mm2]

SCHU Schubspannungen beim QUAD−Stahlgesetz

Eingabe 1: Schubspannungen aus Querkraft werden im Fließ−gesetz mit berücksichtigt (Voreinstellung)

Eingabe 0: Sie werden nicht berücksichtigt


3−9Version 10.70

Siehe auch: STEU, GRUP

3.5. SYST − Globale SteuerwerteÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

SYST


ART

PROB

ITERTOL

FMAXFMINEMAXEMIN

PLFFAKV

NMAT

Steuerungsoption* Diese Angabe wird nicht ausgewer− tet, der Wert wird aus GENF über− nommen.

Art der BerechnungLINE Lineare BerechnungNONL Nichtlineare Berechnung

Anzahl der IterationenToleranz der IterationDie Toleranz bezieht sich auf die maxi�male Last der Rechnung.

Max. f−Wert Crisfield−Verfahren > 0.1Min. f−Wert Crisfield−Verfahren > 0.1Max. e−Wert Crisfield−Verfahren ≥ 0.0Min. e−Wert Crisfield−Verfahren ≤ 0.1

Primärlastfall System (nur bei ASE)Faktor für Verschiebungen des PLF (nurbei ASE)

Fließgesetz für QUAD− und BRIC−Ele�mente

JA Fließgesetze werden ange−setzt.

NEIN Fließgesetze werden nichtangesetzt.

LIT

LIT

−−

−−−−

−−

LIT

*

LINE

200.001

4.000.250.60−0.40

−−

NEIN

Die Bedeutung der nichtlinearen Steuerparameter ist im ASE−Handbuchnäher erläutert. Für SEPP−Berechnungen sind im allgemeinen Eingaben zuITER und TOL ausreichend.


Version 10.703−10

Nichtlineare Berechnungen sind mit der Grundversion nicht möglich.


3−11Version 10.70

Siehe auch: STEU, SYST, GRUP

3.6. KRIE − Kriechen und

Schwinden

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

KRIE


NKRI

RO

Anzahl der Kriechstufen (1−99)

Relaxationsbeiwert nach Trost

−

−

5

0

Zusatzeingaben sind erforderlich in Satz GRUP ... PHI EPS RELZ PHIF:

PHI = Gesamt−Kriechfaktor der NKRI−KriechstufenEPS = Gesamt−Schwindmass der " (negativ)RELZ = Spannstahlrelaxation (wird nur in der ersten Kriechstufe

voll angesetzt)PHIF = Gesamt−Kriechfaktor für Federn+Bettung

Kriechen und Schwinden wird in SEPP bei Plattenberechnungen nach Zu�stand II für Langzeitverformungen verwendet. Vereinfachend werden dieKriech− und Schwindeffekte in einem Schritt berücksichtigt, die EingabeNKRI=1 ist hier zwingend erforderlich. Die Berechnung läuft folgenderma�ßen ab:

− Der E−Modul des Betons wird auf E=E0/(1+PHI) abgemindert − Dem Beton wird eine Vordehnung von EPS gegeben

Da die Schwindverkürzung bei gerissenem Querschnitt nur auf der Druck�seite wirkt verursacht Schwinden auch bei Platten eine Vergrößerung derDurchbiegung. Auf der gerissenen Zugseite wirkt Schwinden nur auf dieRissweite. Die Kriech− und Schwindwerte PHI+EPS wirken auf alle Mate�rialien und Elemente, PHIF wirkt auf Federn, Ränder und QUAD−Bettun�gen, ebenfalls mit einer Abminderung der Steifigkeit von 1/(1+PHIF).


Version 10.703−12

Siehe auch: LF

3.7. GRUP − Gruppenauswahl

Elemente


GRUP


NR

WERT

FAKS

PLF

GAMHKSIGNSIGH

Gruppennummer

AuswahlNEIN nicht verwendenJA verwendenVOLL verwenden + Ergebnisse aus−

geben

Faktor für Steifigkeiten der Gruppe (nurASE)

Nummer desPrimärlastfalles (nur ASE)Voreinstellung wie SYST

Parameter eines zusätzlichen analyti�schen Primärzustandes (nur ASE)

σ−z = GAM ⋅ (Z−H) + SIGNσ−x = σ−y = K ⋅ σ−z + SIGH

−

LIT

−

−

kN/m�

m−

kN/m�

kN/m�

−

VOLL

−

*

00100

FAKL

FAKG

FAKP

(FAKT

Faktor der Lasten aus PrimärspannungPLF (nur ASE)Faktor Eigengewicht in positiver z−Rich�tung (nur ASE)Faktor Spannung aus Primärlastfall PLF(nur ASE)Temperatur aus HYDRA durch SatzTEMP ersetzt) (nur ASE)

−

−

−

1

0

FAKL


3−13Version 10.70

Wert Voreinst.DimensionBedeutung

HW

GAMA

RADA

RADB

MODD

Ordinate des Grundwasserspiegels (nurASE)Wichte unter Wasser (nur ASE)

Raleigh−Dämpfungsfaktor für Massen�proportionale Dämpfung (nur ASE)Raleigh−Dämpfungsfaktor für Steifig�keitsproportionale Dämpfung (nur ASE)Lehrscher Dämpfungsfaktor (nur ASE)

m

kN/m�

1/sec

sec

−

999.

γ−10

0.

0.

0.

BA

VORX

VORY

PHIEPSRELZPHIF

Bauabschnittsnummer für Spannglieder(nur ASE)Elementvorspannung in lokaler x−Rich�tung (nur ASE)QUAD−Vorspannung in lokaler y−Rich�tung (nur ASE)

Kriechzahl (vgl.Satz KRIE)SchwindmaßSpannstahlrelaxationKriechzahl für Federn und Bettung

−

kN,m

kN,m

−−−−

−

0

0

0000

Mit dem Satz GRUP werden die beteiligten Elemente definiert.

Die Gruppennummer jedes Elements erhält man, indem die Elementnum�mer durch den Gruppendivisor GDIV dividiert wird (vgl. GENF−HandbuchSYST..GDIV). Voreinstellung ist die Gruppenauswahl des zuletzt gerechne�ten Aufrufs bzw. Eingabeblocks. Ohne Eingaben werden alle Elemente ver�wendet. Bei einer Eingabe werden nur die angegebenen Gruppen aktiviert.

Wenn Gruppen ausgewählt werden, wird das Gleichungssystem der Steifig�keiten neu gebildet.


Version 10.703−14

Siehe auch: SYST, GRUP, BEWQ

3.8. BEW2 −

ZweibahnenbewehrungÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

BEW2


NRGNREL

GruppennummerElementnummer

−−

0−

OBENUNTE

HODHOHUDHU

Bewehrungswinkel obenBewehrungswinkel untenOhne Eingabe: Übernahme der Richtungaus BEMESS (vgl. BEWQ)

Bewehrungsabstand obenBewehrungsabstand der Lagen obenBewehrungsabstand untenBewehrungsabstand der Lagen unten

GRADGRAD

mmmm

−−

0.060.010.060.01

ASOASOQASUASUQ

Mindestbewehrung oben HauptrichtungMindestbewehrung oben QuerrichtungMindestbewehrung unten HauptrichtungMindestbewehrung unten Querrichtung

cm�/mcm�/mcm�/mcm�/m

−−−−

BSOBSOQBSU

BSUQ

Maximalbewehrung oben HauptrichtungMaximalbewehrung oben QuerrichtungMaximalbewehrung unten Hauptrich�tungMaximalbewehrung unten Querrichtung

cm�/mcm�/mcm�/m

cm�/m

−−−

−

DODOQDUDUQ

Bewehrungsdurchmesser obenBewehrungsdurchmesser oben querBewehrungsdurchmesser untenBewehrungsdurchmesser unten quer

mmmm

0.0100.0100.0100.010

Nur erforderlich bei nichtlineaeren Berechnungen von Platten nach ZustandII.

Ohne Eingabe zu NREL werden alle Element der Gruppe NRG mit den Ein�gaben belegt. Bei einer Eingabe zu NREL wird ungeachtet einer Eingabe zuNRG nur das Element NREL mit den Eingaben belegt.


3−15Version 10.70

Eine Eingabe zu BSO,BSOQ,BSU,BSUQ begrenzt eine aus BEMESS einge�lesene Bewehrung − vgl. BEWQ.

OBEN,UNTE = Winkel zw. lokaler x−Achse und 1. Bewehrungsrichtung

Aus AQUA oder GENF werden nur symmetrische bi− und trilineare Stahl−Arbeitslinien akzeptiert. Z.B. BST 500/550 mit trilinearer Arbeitslinie imBruchzustand bei 1.75−fachen Lasten:

PROG AQUA (oder GENF) BETO 1 B 25 FC 17.5 QC 0.2 FCT 3.21 FCTK 1.00 STAH 2 BST 500 ARBL EPS SIG TYP=POL −10 −550 ; −4.62 −550 ; −2.38 −500 ; 0 0 ; 2.38 500 ; 4.62 550 ; 10 550

FCT ist die Betonzugfestigkeit für tension−stiffening, FCTK die Zugfestig�keit des nackten Betons. Für Nachweise im Bruchzustand sollte FCTK mög�lichst klein eingegeben werden (z.B. 0.04 N/mm2).

Die eingegebenen Bewehrungen werden in der Datenbasis abgespeichert(vgl. BEWQ) und können mit Graf zur Kontrolle dargestellt werden.

Beispiele zum Betongesetz sind im Internet unter www.sofistik.de /biblio�thek.htm zu finden.


Version 10.703−16

Siehe auch: SYST, GRUP, BEW2

3.9. BEWQ − Bewehrung

QUAD−Element

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

BEWQ


LFB

FAKT

LFBS

Bemessungslastfall aus BEMESS(Nummer einer Bewehrungsverteilung)

Multiplikationsfaktor

Speichernummer der Bewehrungsvertei�lung

−

−

−

1

1.0

99

Mit BEWQ kann für eine nichtlineare Berechnung von Platten oder Schalennach Zustand II eine Bewehrung aus BEMESS übernommen werden. LFBist die zu übernehmende Bewehrung des Bemessungslastfalles LFB aus BE�MESS (ohne Eingabe zu STEU LFB in BEMESS ist dies die Nummer 1).

Die unter Berücksichtung einer Eingabe zu BEW2 (oder entsprechender Da�ten in der Datenbasis z.B. aus SOFIPLUS) zusammengestellte Bewehrungwird dann unter Bemessungslastfall LFBS abgespeichert.

Für die Betondeckung, die Stabstahldurchmesser und die Bewehrungsrich�tungen gelten folgende Regelungen:

Betondeckung (Schwerpunktsabstand der Eisen): Diese Werte werden nicht aus BEMESS übernommen sondern:− entweder aus einer SOFIPLUS−Definition aus der Daten−

basis übernommen− oder aus der Eingabe eines Satzes BEW2 in ASE− oder als Voreinstellung mit 6 cm verwendet

Stabstahldurchmesser: Vorgehen wie beim Schwerpunktsabstand − Voreinstellung 10 mm

Bewehrungsrichtungen:Sie werden:− zunächst aus einer SOFIPLUS−Definition übernommen.− Falls Eingabe im Satzes BEW2 in ASE vorliegen, werden

diese genommen− Falls Übernahme von BEMESS−Ergebnissen und noch


3−17Version 10.70

keine Richtung aus SOFIPLUS oder Eingabe BEW2 definiert sind:Richtung aus BEMESS übernehmen (Es können trotzdem inASE−BEW2 Eingaben zum Stabdurchmesser und zu Mindest−und Maximal−Bewehrungsmengen gemacht werden − bei derBewehrungsrichtung ist ein "−" für "keine Eingabe" einzuge−ben)Andernfalls:Die Bewehrungsrichtung aus SOFIPLUS oder ASE−BEW2wird verwendet, eine Bewehrung aus BEMESS wird den be−reits definierten Richtungen mit der kleinsten Winkelabwei−chung zugeschlagen.

− Falls nichts definiert ist, werden 0 und 90 Grad−Eisen ange−nommen.


3−19Version 10.70

Siehe auch: STEU, GRUP

3.10. STEX − Externe Steifigkeit


STEX


NAME Name der externen Steifigkeitsdatei LIT24 *

Mit STEX kann eine komplette externe Steifigkeit addiert werden. ExterneSteifigkeiten werden derzeit nur von Programm HASE für den Halbraum(Steifezahlverfahren) und für Substructures erzeugt.

Für NAME ist der Projektname voreingestellt. In der Regel genügt daher dieschlichte Eingabe von STEX (ohne Name).


Version 10.703−20

Siehe auch: LAST, KL, FLAS, RLAS, ELAS, LLAS, BLAS, LAG, LC

3.11. LF − Lastfall


LF


NRFAKT

EGX

EGY

EGZ

BET2

BEZ

LastfallnummerFaktor für alle Lasten

Faktor Eigengewicht in globaler X−Rich�tungFaktor Eigengewicht in globaler Y−Rich�tungFaktor Eigengewicht in globaler Z−Rich�tung

Beiwert β2 Lastdauer (Heft 400 DAfStb)

Bezeichnung des Lastfalls

−−

−

−

−

−

LIT24

11.0

0.0

0.0

0.0

0.5

*

Mit LF wird ein Lastfall aktiviert. Alle Lasten, die hinter dem LF−Satz ange�geben werden, werden diesem Lastfall zugeordnet. Der Faktor FAKT wirktauf alle Lasten RLAS, LAST und FLAS sowie ELAS, LLAS und BLAS, aller�dings nicht auf Temperatur−, Dehnungs− und Vorspannlasten! Er wirkt auchnicht auf die EGX, EGY, EGZ Eigengewichtslasten. Die Lasten werden in derDatenbank ohne Faktor gespeichert.

Die Eingaben EGX, EGY werden für Scheibenberechnungen, die EingabeEGZ für Plattenberechnungen ausgewertet.


3−21Version 10.70

Siehe auch: LF, RLAS, FLAS, ELAS, LC

3.12. LAST − Einzellasten bzw.

−massen


LAST


KNR

PXPYPZ

MXMYMZ

Knotennummer, an dem die Last angreift

Last in X−RichtungLast in Y−RichtungLast in Z−Richtung

Moment um die X−RichtungMoment um die Y−RichtungMoment um die Z−Richtung

−

kNkNkN

kNmkNmkNm

!

000

000

Mit LAST werden Belastungen in einzelnen Knoten definiert.

Die Eingabe von Auflagerverschiebungen erfolgt mit dem an STAR2 angegli�chenen Eingabessatz KL −> siehe nächste Seite.


3−23Version 10.70

3.13. KL − Knotenlast


KL


NR

TYP

P1P2P3

PF

Nummer des Knotens

Lastart und Richtung

Lastwerte bzw. Richtungskomponente

Faktor für P1 bis P3

−

LIT

kN,mkN,mkN,m

−

1

!

000

1

Für TYP kann angegeben werden:

P = Last (P1,P2,P3) in (X,Y,Z)−RichtungPX = Last P1 in X−RichtungPY = Last P1 in Y−RichtungPZ = Last P1 in Z−Richtung

M = Moment (P1,P2,P3) in (x,y,z)−RichtungMX = Moment P1 um X−RichtungMY = Moment P1 um Y−RichtungMZ = Moment P1 um Z−Richtung

WX = Auflagerverschiebung in X−Richtung in mWY = Auflagerverschiebung in Y−Richtung in mWZ = Auflagerverschiebung in Z−Richtung in m

DX = Auflagerverdrehung um X−Richtung in radDY = Auflagerverdrehung um Y−Richtung in radDZ = Auflagerverdrehung um Z−Richtung in rad

Die Eingabe kann auch benutzt werden, um elastisch gelagerte Knoten miteiner Zwangsverschiebung zu beaufschlagen. Dafür folgende Fallunterschei�dung für eine beispielhafte Eingabe KL 318 WZ=0.01 :

Fall 1:Knoten 318 ist in PZ−Richtung starr gelagert:Der Knoten wird um uz = 1 cm zwangsverschoben


Version 10.703−24

Fall 2:Knoten 318 ist über eine steife Feder mit der Federsteifigkeitcp=1E20 gelagert:Der Knoten wird um uz = 1 cm zwangsverschoben

Fall 3:Knoten 318 ist über eine Feder mit einer Federsteifigkeit von z.B.cp=1E6 elastisch gelagert:Der Fusspunkt der Feder wird um uz = 1 cm zwangsverschoben,der Knoten selber kann bei statisch unbestimmter Lagerung eineetwas geringere Verschiebung erhalten. Die Feder erhält eineZugkraft aus der Zwangsverschiebung des Fusspunktes (Fall 3wird in STAR2 anders behandelt!)

Fall 4:Knoten 318 ist überhaupt nicht gelagert:Der Knoten wird um uz = 1 cm zwangsverschoben und wird einezugehörige Auflagerkraft erhalten.


3−25Version 10.70

Siehe auch: LF, LAST, FLAS, LLAS

3.14. RLAS − Linienlast auf Knoten

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

RLAS


VONBISDELT

TYP

PAPE

MESS

AnfangsknotennummerEndknotennummerInkrement

Richtung der Belastung

Lastwert am AnfangLastwert am Ende

Achse für den ZuwachsXX Globale X−AchseYY Globale Y−AchseS abgewickelte Länge

−−−

LIT

kN,mkN,m

LIT

1VON+1

1

PZ

−PA

*

SEPP14.

Linienlast

SEPP114.

Mit RLAS können Linienlasten definiert werden. Es wird die Kette aller Kno�ten von VON bis BIS in Schritten von DELT belastet. Die Belastung wird li�near zwischen den Knoten angesetzt und in entsprechende Knotenlasten um�gerechnet.

Die Richtung der Belastung kann folgende Eingaben haben:

Bei Plattenberechnungen:

PZ Linienlast in globaler Z−Richtung in kN/mMX Moment um die globale X−Richtung in kNm/m


Version 10.703−26

MY Moment um die globale Y−Richtung in kNm/mM Krempelmoment um die Knotenlinie in kNm/m

Bei Scheibenberechnungen:

PXP Kraft in X−Richtung in kN/mPYP Kraft in Y−Richtung in kN/mPX oder PXS Kraft in X−Richtung in kN/mPY oder PYS Kraft in Y−Richtung in kN/mPS Kraft in Längsrichtung in kN/m

MX Moment um die X−Richtung in kNm/mMY Moment um die Y−Richtung in kNm/m

Die Lasten PXP und PYP beziehen sich als Lasten pro projezierte Länge (z.B.Wind oder Schnee). Die anderen Lasten beziehen sich jeweils auf die wahreLänge (z.B. Eigengewicht oder Wasserdruck).

Die Angabe von MESS ist nur erforderlich für PE ungleich PA und geknick�tem Verlauf des Randes.


3−27Version 10.70

Siehe auch: LF, BLAS

3.15. FLAS − Elementbelastung


FLAS


VONBISDELT

TYP

P

DPZ

ETYP

AnfangselementnummerEndelementnummerInkrement

Typ der Belastung

Lastwert

Lastzuwachs in z−Richtung (nur QUAD−Elemente im Programm ASE)

ElementtypSTAB Last nur auf STAB−ElementeQUAD Last nur auf QUAD−Ele−

menteFACH Last nur auf FACH−ElementeSEIL Last nur auf SEIL−Elemente

−−−

LIT

*

*,m

LIT

1VON

1

PZ

−

0

QUAD(STAB)

Es werden alle Elemente von VON bis BIS in Schritten von DELT belastet.

Kommen QUAD−Elemente im System vor, ist für ETYP ’QUAD’ die Vorein�stellung, kommen keine QUAD−Elemente vor, ist ’STAB’ die Voreinstellung.Die Belastung auf andere Elemente als vom Typ der Voreinstellung muß ex�plizit mit ETYP definiert werden. Es können nur solche Elemente belastetwerden, die mit der aktuellen Zusammenstellung von Gruppen und Elemen�tansätzen aktiviert sind.

Es sind folgende Lasttypen vorgesehen:


Version 10.703−28

Wert Bedeutung Dimension Q B S F

PX PY PZ PXP PYP PZP PXS PYS PZS

TEMP DT

DTY

Belastung lokal x Belastung lokal y Belastung lokal z Belastung global X Belastung global Y Belastung global Z Belastung global X Belastung global Y Belastung global Z

Temperaturerhöhung Temperaturunterschied (oben–unten) Temperaturunterschied (rechts–links)

kN/m* kN/m* kN/m* kN/m* kN/m* kN/m* kN/m* kN/m* kN/m*

grad grad

grad

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * * *

*

m*: Die Dimension der Last richtet sich nach dem belasteten Elementtyp.Bei Stäben, Seilen und Fachwerkstäben lautet die Dimension kN/m, beiQUAD−Elementen kN/m2.

Es sind nur die für das jeweilige System (Platte oder Scheibe) sinnvollenLasttypen zulässig.

In dieser Tabelle ist jeweils vermerkt, welcher Lasttyp auf welchen Element�typ wirkt. (Q=Quad, B=BRIC, S=STAB, F=Fachwerk,Seil). Die SpalteB=BRIC hat in SEPP keine Bedeutung.

Der Unterschied zwischen PXP und PXS besteht darin, daß PXS als Last be�zogen auf die tatsächliche Elementfläche (z.B. Eigengewicht) und PXP bezo�gen auf die Projektion der Elementfläche in die Y−Z−Ebene (z.B. Schnee) an�gesetzt wird.

Lasten DTY und DTZ sind nur bei Stäben mit geometrisch definierten Quer�schnitten sinnvoll.

Es sind weiter noch folgende Lasttypen vorgesehen:


3−29Version 10.70

Wert Bedeutung Dimension Q B S F

EX EY EZ

KX KY KZ

VMX VMY VMXY VQX VQY VNX VNY VNXY VQZ VMZ

EMX EMY EMXY EQX EQY ENX ENY ENXY

Dehnung lokal x Dehnung lokal y Dehnung lokal z

Krümmung lokal x Krümmung lokal y Krümmung lokal z

Vorspannung m–xx Vorspannung m–yy Vorspannung m–xy Vorspannung v–x Vorspannung v–y Vorspannung n–x Vorspannung n–y Vorspannung n–xy (nicht implementiert) Vorspannung M–z

Einflußfläche m–x Einflußfläche m–y Einflußfläche m–xy Einflußfläche v–x Einflußfläche v–y Einflußfläche n–x Einflußfläche n–y Einflußfläche n–xy

0/00 0/00 0/00

1/km 1/km 1/km

kNm/m,kNm kNm/m,kNm kNm/m kN/m kN/m,kN kN/m,kN kN/m kN/m kNm

– – – – – – – –

* * * * * * *

* * * *

* * * * * * * * * * * *

* * * * * * * *

Die Lastarten Vorspannung erzeugen einen entsprechenden Spannungszu�stand und die zugehörigen Dehnungs− und Krümmungslasten zur Berech�nung statisch unbestimmter Anteile. Die Vorspannung der FLAS−Eingabehat keinen Einfluß auf die Anfangssteifigkeit der Elemente (vgl. Satz GRUP).


Version 10.703−30

Im Gegensatz zu STAR2 kann sich in ASE auch das STAB−Element bei sta�tisch bestimmter Lagerung durch Verkürzung der Beanspruchung entzie�hen. Es verbleiben dann keine Schnittgrößen im Stab (in STAR2 verbleibt dieVorspannung trotz Verkürzung).

Mit den Typen EMX bis EQY werden Singularitäten im Element eingebautund in eine Belastung generiert, die die Einflußfläche für die entsprechendeSchnittgröße erzeugen. Der Lastwert ist dann normalerweise 1.0 und es sollpro Lastfall auch nur ein Element belastet werden.

Nach Ausgabe der Verformung uz des Einflußflächenlastfalles in Höhenli�niendarstellung (Programm GRAF − HOEH VZ) kann die Einflußflächeleicht von Hand für Einzellasten z.B. für einen SLW ausgewertet werden. Fürandere Lasten (Blocklasten) liefert die Höhenliniendarstellung die zu bela�stenden Flächen, die dann in einem weiteren SEPP−Lauf eingegeben werdenmüssen (vgl. auch Kundenbrief Nr. 9).

Einflußflächen können nur mit der erweiterten Version SEPP1 berechnetwerden.


3−31Version 10.70

3.16. Freie Lasten

Die freien Lasten sind ein sehr benutzerfreundliche Möglichkeit Lasten anbeliebigen Stellen des Tragwerks aufzustellen. Die Lasten werden in äquiva�lente Knotenlasten umgerechnet. Momente werden nicht in Kräftepaare um�gerechnet sondern analog in Knotenmomente umgerechnet. Für die Bela�stung werden alle QUAD Elemente untersucht, also auch die ohneElementsteifigkeiten.

Alle Lasten können in absoluten globalen Koordinaten oder auf einen beliebi�gen Knoten der Struktur bezogen werden.

Das Problem der mehrdeutigen Belastung kann auftreten, wenn der Benut�zer mehrere Elemente übereinander definiert hat oder gekoppelte Knotenmit identischen Koordinaten im System existieren. Bei Einzellasten und Li�nienlasten bereitet es wenig Aufwand, die Last nur ein einziges Mal aufzu�bringen. Das Programm nimmt hier das erste in Frage kommende Element.Bei Flächenbelastungen ist dies jedoch nicht allgemein möglich, deshalb wer�den hier alle in Frage kommenden Elemente belastet. Der Benutzer kannjeoch über die Vergabe von Gruppennummern bei den Elementen und Bela�stungen in gewissem Maße steuernd eingreifen.

Bei allen Lasten wird eine zusätzliche Zahl PRZ errechnet und ausgegeben,die das Verhältnis der belasteten Fläche zur definierten Lastfläche be�schreibt. Ein Wert der von 1.0 abweicht führt zu einer Warnung im Ausdruck.

Mit ECHO LAST können die erzeugten Knotenlasten ausgedruckt und über�prüft werden.


Version 10.703−32

Siehe auch: LF, LAST, LLAS, BLAS

3.17. ELAS − Freie Einzellast


ELAS


NKB

XYZ

TYPP

NRG

Bezugsknoten

Globale Koordinaten der Lasteventuell bezogen auf den Knoten

Lastart und RichtungLast

Gruppennummer Elementefalls mehrere in Frage kommen

−

mmm

LITkN

−

−

0.0.0.

PZP0.

−

SEPP31.

Freie Einzellast

SEPP131.

Mit ELAS beschreibt man Einzellasten, die unabhängig vom Elementrasteraufgestellt werden.


3−33Version 10.70


Wert Bedeutung Dimension

PX PY PZ PXP PYP PZP

MX MY MZ MXX MYY MZZ

Belastung lokal x Belastung lokal y Belastung lokal z Belastung global X Belastung global Y Belastung global Z

Momentbelastung lokal x Momentbelastung lokal y Momentbelastung lokal z Momentenbelastung global X Momentenbelastung global Y Momentenbelastung global Z

kN kN kN kN kN kN

kNm kNm kNm kNm kNm kNm


Falls mehrere Elemente in Frage kommen, kann die Elementauswahl mitNRG genauer spezifiziert werden. Kommen trotzdem mehrere Elemente inFrage, wird das erste gefundene Element verwendet.

Das Programm rechnet die Last in Knotenlasten für die benachbarten Kno�ten um. Mit ECHO LAST können die erzeugten Knotenlasten ausgedrucktund überprüft werden, mit WINGRAF ist ein PLOT der tatsächlich getroffe�nen Elemente möglich.


Version 10.703−34

Siehe auch: LF, RLAS, ELAS, BLAS

3.18. LLAS − Freie Linienlast

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

LLAS


NKB

XAYAZA

DXDYDZ

TYP

PAPE

NRG

Bezugsknoten

Koordinaten des Lastanfangspunkteseventuell auf NKB bezogen

Abmessungen der Last


Lastwert AnfangLastwert Ende


−

mmm

mmm

LIT

kN/mkN/m

−

−

0.0.0.

0.0.0.

PZP

0.PA

−

SEPP32.

Freie Linienlast

SEPP132.


3−35Version 10.70

Mit LLAS beschreibt man Linienlasten, die unabhängig vom Elementrasteraufgestellt werden. Das Programm rechnet die Last in Knotenlasten für diebenachbarten Knoten um.






Momentbelastung lokal x Momentbelastung lokal y Momentbelastung lokal z Momentenbelastung global X Momentenbelastung global Y Momentenbelastung global Z

kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m

kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m


Der Unterschied zwischen PXP und PXS besteht darin, daß PXS als Last be�zogen auf die tatsächliche Lastlänge in der Elementebene (z.B. Eigenge�wicht) und PXP bezogen auf die Projektion der Lastlänge in die Y−Z− Ebene(z.B. Schnee) angesetzt wird.

Die Auswahl belasteter Elemente erfolgt mit NRG wie bei ELAS. Es wird je�weils nur das zuerst gefundene Element belastet.


Version 10.703−36

Siehe auch: LF, FLAS, ELAS, LLAS

3.19. BLAS − Freie Blocklast


BLAS


NKB

XAYAZA

DXDYDZ

DXSDYSDZS

DXTDYTDZT

TYP

P1P2P3

NRG

Bezugsknoten

Koordinaten des ersten Lasteckpunkteseventuell bezogen auf NKB

Koordinatendifferenzen des drittenLasteckpunktes

Koordinatendifferenzen des zweitenLasteckpunktes

Koordinatendifferenzen des viertenLasteckpunktes


Lastwert Eckpunkt 1Lastwert Eckpunkt 2 Lastwert Eckpunkt 3


−

mmm

mmm

mmm

mmm

LIT

kN/m�

kN/m�

kN/m�

−

−

0.0.0.

!!0.

DX0.0.

0.DY0.

PZP

0.P1P1

−

Mit BLAS beschreibt man allgemeine Blocklasten, die unabhängig vom Ele�mentraster aufgestellt werden. Das Programm rechnet die Last in Knotenla�sten für die benachbarten Knoten um.

Die Auswahl belasteter Elemente erfolgt mit NRG wie bei ELAS. Kommen je�doch mehrere Elemente in Frage, werden bei BLAS auch mehrere Elementebelastet. Der Wert PROZ wird dann größer 1.


3−37Version 10.70

Die Eingabe von Lasten auf Elementraster kann auch effektiv mit FLAS erfol�gen.

Die Lastfläche darf keine einspringende Ecken haben. Bei rechteckiger Last�fläche sind nur die Werte DX und DY zu definieren. Bei einem Parallelo�gramm sind die Beziehungen DY=DYS+DYT und DX=DXS+DXT einzuhal�ten.

Der Umlaufsinn ist frei, der 2. Lastwert gilt jedoch immer für den mit DXS,DYS und DZS eingegebenen Lasteckpunkt. Bei unterschiedlichen Lastwer�ten P1, P2 und P3 wird der Lastwert im 4. Lasteckpunkt linear extrapoliert,d.h. die Lastfläche bleibt eben. Der Lastwert im vierten Eckpunkt ist deshalbvon der Geometrie der Lastfläche abhängig.

SEPP41.

Blocklast

SEPP141.



Version 10.703−38





Momentbelastung lokal x1)

Momentbelastung lokal y Momentbelastung lokal z Momentenbelastung global X Momentenbelastung global Y Momentenbelastung global Z

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kN/m�

kNm/m�

kNm/m�

kNm/m�

kNm/m�

kNm/m�

kNm/m�


Der Unterschied zwischen PXP und PXS besteht darin, daß PXS als Last be�zogen auf die tatsächliche Elementfläche (z.B. Eigengewicht) und PXP bezo�gen auf die Projektion der Elementfläche in die Y−Z−Ebene (z.B. Schnee) an�gesetzt wird. Bei ebenen Systemen (RAHM, ROST, EBEN) werden dieLasten immer auf die Elementfläche bezogen.

1) Moment um die lokale x−Achse


3−39Version 10.70

Siehe auch: LF, LAST, LC

3.20. LAG − Lasten aus

Auflagerkräften

ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ

LAG


LFNR

FAKT

TYP

Z

PROJ

Nummer des Lastfalls mit Auflagerkräf�ten

Faktor für Lasten

Auswahl zu übernehmender Auflager�kräfte

PZ nur PZ−Auflagerkräfte über−tragen

PP nur PP−Auflagerkräfte über−tragen

VOLL Kräfte und Momente über−nehmen

Z−Koordinate (nur ASE)

Name des Projektes, aus dem die Aufla�gerkräfte entnommen werden sollen

−

−

LIT

m

LIT

!

1.0

PZ

−

−

Mit LAG können die Auflagerkräfte eines höheren Stockwerkes auf das ak�tuelle tieferliegende Stockwerk aufgebracht werden. Es können somit die La�sten vom Dach bis zum Keller aufsummiert werden. Die Auflagerkräfte desuntersten Stockwerkes können dann zur Bemessung der Gründung herange�zogen werden. Wandlasten sind dabei in jedem Stockwerk mit anzusetzen.

Ohne Angabe eines Projektnamens werden die Lagerlasten des LastfallesLFNR der aktuellen Datenbasis als Knotenlasten auf den aktuellen mit LFspezifizierten Lastfall aufgebracht (die Lagerlasten sind die mit −1 multipli�zierten Auflagerkräfte).

Bei Angabe eines Projektnamens werden die dortigen Lagerlasten als freieELAS−Lasten mit den Koordinaten der Auflagerknoten dieser externen Pro�jekt−Datenbasis aufgebracht.

Die Z−Koordinate wird im Programm SEPP nicht verwendet.


Version 10.703−40

Siehe auch: LF, LAST, LAG

3.21. LC − Lasten kopieren


LC


NR

FAKT

NRG

KVONKBISKDEL

MSEL

Nummer eines bereits definierten Last�falles

Faktor für Lasten

Gruppennummer für belastete Elemente

kleinste Knotennummergrößte KnotennummerInkrement der Knotennummern

Selektor für Massenerzeugung (nur ASE)

−

−

−

−−−

−

!

1.0

−

−KVON

1

−

Mit LC können Lasten aus anderen Lastfällen in den aktuellen Lastfall ko�piert werden. Es werden alle Lasten vom Typ LAST, RLAS, FLAS, ELAS, LLAS,BLAS und LAG übernommen. Nicht übernommen werden Eigengewichtsla�sten EGZ des Satzes LF.

Der Lastfall NR kann in einem vorigen Berechnungslauf definiert wordensein oder auch im gleichen Eingabeblock erst erscheinen. Im zweiten Fallmüssen sie jedoch vor dem aktuellen Lastfall definiert worden sein.

Alle Lasten können beim Kopieren mit einem Faktor versehen werden. DieLasten wurden in der Datenbank jeweils ohne den Lastfall−Faktor gespei�chert.

Zusätzlich können bei Knotenlasten (LAST, RLAS) gezielt nur bestimmte La�sten durch Auswahl eines Bereiches KVON bis KBIS in Schritten von KDELkopiert werden. Bei Lasten auf Elementen (FLAS) können mit NRG gruppen�weise Lasten ausgefiltert werden. Dies gilt auch für die freien Lasten (ELAS,LLAS, BLAS).


4−1Version 10.70

4 Ausgabebeschreibung

Ergebnisse der FE−Berechnung sind:

4.1. Kontrollliste des Systems

Die Tabelle der Knotenwerte ist mit der Tabelle von GENF weitgehend iden�tisch und wir bei ECHO KNOT JA ausgegeben. Zur Beurteilung instabilerSysteme können mit ECHO KNOT VOLL auch die Gleichungsnummern aus�gedruckt werden.

Mit ECHO MAT JA wird die Ausgabe der Materialwerte aktiviert.

4.2. Kontrollliste der Lasten

Tabelle der Randlasten (ECHO LAST JA)

Tabelle der Knotenlasten (ECHO LAST JA)

Tabelle der Elementlasten (ECHO LAST JA)

Summe der Lasten (ECHO LAST JA)

Bei ECHO LAST VOLL erscheint zusätzlich die Tabelle aller aufgebrachtenKnotenlasten.

4.3. Gleichungslösung

Die Ausgaben zur Lösung des Gleichungssystems werden in die Protokollda�tei geschrieben. Wird STEU SOLV 0 eingeben, so wird der Programmlaufnach der Ausgabe der Lasten abgebrochen (Schnelle Kontrolle der Lasten).

4.4. Ergebnisse in den Elementen

Für jedes QUAD−Element werden die Schnittkräfte im Schwerpunkt desElementes ausgegeben. Dies sind bei Platten:

− Momente m−x, m−y und m−xy− Querkräfte v−x und v−y− Hauptmomente m−I und m−II− Bettungsspannung und resultierende Kraft


Version 10.704−2

ALPHA ist der Winkel zwischen der Richtung von m−I und der x−Achse. Posi�tive Momente erzeugen Zugspannungen auf der Plattenunterseite. Das Mo�ment m−X wirkt am Schnittufer X um die Richtung Y.

Bei Scheiben fallen folgende Ergebnisse an:

− Normalkräfte n−x, n−y und n−xy− Hauptnormalkräfte n−I und n−II

GENF33.

Schnittgrößen

Sofern ECHO SCHN EXTR angegeben wurde, werden auch die Ergebnissein den Integrationspunkten der Elemente ausgegeben. Diese erscheinen inden folgenden vier Zeilen.

Für jedes Stabelement werden die Schnittgrößen am Stabanfang und Endeausgegeben.

4.5. Ergebnisse in den Knoten

Die Verschiebungen und Verdrehungen der Knoten werden in mm bzw. o/ooin den globalen Koordinatenrichtungen ausgegeben. Verdrehungen sindrechtsdrehend positiv.

An allen Knoten mit Auflagern, Kopplungen oder elastischen Rändern ent�stehen Kräfte. Diese werden mit ECHO REAK JA ausgegeben, wenn sie einebestimmte Toleranz überschreiten. Mit ECHO REAK VOLL werden zusätz�lich alle Kräfte der Kopplungen ausgegeben.

Treten an freien Knoten Kräfte auf, so ist entweder irrtümlich ein Auflagervorhanden, oder die vorhandene Maschinen−Genauigkeit reicht nicht aus,


4−3Version 10.70

um das System zu lösen. In letzterem Fall muß das Verhältnis der Steifigkei�ten innerhalb des Systems überprüft werden.

Die Summe der Auflagerkräfte ist ein wichtiges Indiz für die Vollständigkeitder Lasten.

The sum of the support reactions is an important index for the completenessof the loads.

Für jeden Knoten werden die Schnittgrößen der benachbarten Elemente ge�mittelt und abgespeichert bzw. ausgegeben. Dies wird mit der ECHO OptionNOST gesteuert. Wird ECHO NOST AUS definiert, so unterbleibt die Be�rechnung und Speicherung der Knotenschnittgrößen. Bei ECHO NOSTNEIN werden die Werte gerechnet, aber nicht gedruckt, bei ECHO NOST JAwerden die Werte auch gedruckt.

4.6. Verteilte Auflagerreaktionen

Für Ränder, für die eine Bezeichnung eingegeben wurde, werden folgende Er�gebniswerte ausgegeben:

V E R T E I L T E A U F L A G E R R E A K T I O N E N I NR Ä N D E R NLastfall LastfallNr Randnummer und −bezeichungKnoten Knotennummerp−X, p−Y, p−Z verteilte Auflagerreaktion in kN/mm−n " Einspannung in kNm/m um Auflagerachsem−n 2. Wert falls Knick im RandMittel mittlere Auflagerkraft in kN/mSumme Gesamtauflagerkraft des Randes

in kNLaenge RandlängeSumme aller Raender Gesamtauflagerkraft aller Ränder

in kN

4.7. Fehlerschätzungen

Die Mittelwertbildung der Ergebnisse an den Knoten erlaubt eine Abschät�zung des Fehlers in einzelnen Elementen. Diese wird vom Programm durch�geführt, wenn ECHO ERIN JA oder VOLL definiert wurde.


Version 10.704−4

Mit ECHO ERIN JA wird für jeden Lastfall die maximalen Beträge derSchnittgrößen und der vermutete maximale Fehler ausgegeben. Mit ECHOERIN VOLL werden die Fehler in allen Elementen ausgegeben.

Die Fehlerschätzungen werden in der Datenbasis gespeichert und könnengrafisch ausgegeben werden. Der Benutzer sollte sich Bereiche mit erhöhtenFehlerschätzungen genauer ansehen und eventuell verfeinern.


5−1Version 10.70

5 Beispiele

5.1. Patch−Test Platte

Die folgenden Ergebnisse sollen das Verhalten des Elementes und seiner un�terschiedlichen konformen und nichtkonformen Formulierungen unter ein�fachen Lastzuständen erläutern. Dazu wird eine einfache Kragplatte mitverschiedenen Netzeinteilungen untersucht. Der eigentliche Patch− Test be�zieht sich nur auf den Zustand konstantes Moment (I), im folgenden werdenauch die Lastfälle konstante Querkraft (II) und lineare Querkraft = Eigenge�wicht (III) aufgebracht.

SEPP8.

Elementnetze Kragplatte

Die folgenden Berechnungen wurden mit verschiedenen Elementformulie�rungen durchgeführt.

Die untersuchten Elementtypen sind im einzelnen:


Version 10.705−2

QART 0 normales konformes Element nach Hughes (2)

QART 1 nichtkonformes Element mit zwei Funktionen basierend auf Hughes (2)

QART 2 nichtkonformes Element mit vier Funktionenbasierend auf Hughes (2)

QART 4 normales konformes Element nach Hughes (3)

QART 5 nichtkonformes Element mit zwei Funktionen basierend auf Hughes (3)

QART 6 nichtkonformes Element mit vier Funktionenbasierend auf Hugehs (3)

Die Elemente 0 und 4 können beide nur konstante Momente innerhalb desElements beschreiben. Die Elemente 1 und 5 können einen linearen Momen�tenverlauf beschreiben, wenn sie in rechteckiger Form vorliegen, das allge�meine Viereck kann dies aber nur angenähert. Die Elemente 2 und 6 mit vierFunktionen können noch bessere Ergebnisse liefern, sie erfüllen aber den so�genannten Patch−Test nicht.

Im ausgelieferten Programm sind davon nur die beiden ersten ElementtypenQART 0 und QART 1 verfügbar, die anderen wurden wegen verschiedenerNachteile nicht übernommen!

Die Belastung I ist der eigentliche Patch−Test. Man nimmt an, daß ein Ele�ment den Zustand konstantes Moment in jeder Lage und Form erfüllensollte, damit Konvergenz des Verfahrens gesichert ist. Alle Elemente erfüllendiesen Test mit Ausnahme von QART 2 und 6 im deformierten Netz B. Diemaximalen Abweichungen zur theoretischen Lösung (mx=100,my=20) sind:

m–x m–y m–xy v–x v–y

QART 2

QART 6

1.8 4.6 5.3 87.6 77.714.3 14.1 6.8 58.1 56.86.0 8.3 3.5 41.2 36.3

13.9 13.5 10.4 30.5 26.7


5−3Version 10.70

Obwohl dies den Schluß nahelegt, daß die Elemente nicht brauchbar wären,ergeben sich in manchen Fällen mit diesen Elementen durchaus bessere Er�gebnisse, wie in den folgenden Beispielen deutlich werden wird.

Belastung II erzeugt einen linearen Momentenverlauf, der beim Netz mitrechteckiger Einteilung von den Elementen des Typs 1,2,5,6 und 215 exakterfaßt werden kann. Bei QART 0 bzw. 4 ergeben sich im Falle des Netzes Afür die Knoten jeweils die Werte des nächsten Elementschwerpunkts.

Die folgende Tabelle stellt die Einspannmomente und Momente am freienEnde, sowie die maximalen Werte von Drillmoment und Querkraft für dasNetz B gegenüber.

theoret. QA 0 QA 1 QA 2 QA 4 QA 5 QA 6

m–xx (1)m–xx (2)m–xx (3)m–xx (4)max v–xmax v–xmax m–xymax v–y

100. 100. 0. 0. 100. 100. 0. 0.

59.0 57.5 41.7 43.5 111.3 58.3 4.3 8.4

70.0 68.4 31.0 32.0 94.5 80.5 5.0 4.2

84.7 85.9 11.3 7.3 137.3 69.9 8.5 32.8

58.3 56.8 42.7 44.5 106.1 68.5 2.9 10.3

69.8 69.0 31.5 31.7 92.6 73.7 3.1 14.8

79.8 80.2 16.4 17.4 98.4 69.4 8.2 26.7

Elementnetz C und D ergeben hier folgende Werte:

theoret. Netz C QA 0

Netz DQA 0 QA 1 QA 4 QA 5

m–xx (1) m–xx (3) max v–x max v–x max m–xy max v–y

100. 0. 100. 100. 0. 0.

57.3 42.7 100.0 100.0 2.9 0.0

92.2 92.0 81.1 83.313.1 14.2 16.5 16.9

120.4 159.7 180.1 213.085.4 55.3 67.3 114.14.3 4.9 1.9 3.18.7 29.7 24.3 14.8

Es wird hier deutlich, wie problematisch die Mischung von Dreiecken undVierecken ist, offensichtlich sollte QART 0 in schwierigen Fällen verwendetwerden.


Version 10.705−4

Belastung III erzeugt einen linearen Querkraftverlauf, der bei keinem Netzexakt erfaßt werden kann. Bei rechteckiger Einteilung ergibt sich im Ele�mentmittelpunkt jeweils der exakte Wert, an den Rändern ergeben die An�sätze 1,2 bzw 5,6 die richtigen Momente, jedoch weicht die Querkraft durchdie Einleitung der Kräfte in die Knoten vom exakten Wert um die jeweiligeKnotenkraft ab.

Die folgende Tabelle stellt die Schnittgrößen an der Einspannstelle sowie diemaximalen Werte von Drillmoment und Querkraft in Querrichtung für dasNetz B gegenüber.


m–xx (1)m–xx (2)v–x (1)v–x (2)max m–xymax v–y

25. 25. 50. 50. 0. 0.

13.1 12.3 33.4 30.0 2.1 7.2

16.4 15.4 29.2 27.9 2.4 4.5

19.6 19.6 35.0 38.7 3.0 2.4

12.4 11.9 33.1 30.3 1.0 4.8

15.9 15.3 26.7 25.6 1.4 6.1

18.0 18.1 30.9 26.7 2.1 3.8

Hier ist nun das Element 2 bzw. 6 ohne Einschränkungen besser geeignet alsdie anderen Varianten.

Das Netz E wurde von Bathe (5) verwendet, um extreme Seitenverhältnisseund verschiedene Dicken zu untersuchen. In seiner Veröffentlichung wurdedas Verhältnis zwischen den Seiten a/b und das zwischen Dicke und Länget/l variiert. Die Querdehnzahl ist zu Null definiert.

Die folgende Tabelle zeigt die Abweichungen der Verschiebungen in Prozentfür eine Belastung mit zwei Einzellasten am freien Ende:

a/b t/l Bathe QA 0 QA 1 QA 2 QA 4 QA 5 QA 6

1.

5.

58.

0.10 0.01 0.10 0.01 0.10 0.01

0.69 0.69 1.58 1.75 2.57 2.96

0.5 0.0 0.0 0.2 0.2 0.20.5 0.1 0.0 0.2 0.5 0.20.6 0.7 3.8 0.6 0.4 14.71.0 1.4 0.1 0.8 0.5 3.60.7 1.1 7.4 1.2 1.2 28.61.1 12.9 5.2 1.4 1.8 4.2


5−5Version 10.70

Das Element QART 0 hätte ohne Schubkorrektur beim verzerrtesten NetzFehler von über 50 Prozent für die dünne Platte.

5.2. Rechteckplatte nach Timoshenko

In diesem Fall wird eine rechteckige Platte mit einem Seitenverhältnis b/a= 3 und einer Dicke t/a = 0.01 unter verschiedenen Randbedingungen sowiewahlweise unter einer Einzellast oder einer Gleichlast berechnet. Idealisiertwird ein Viertel der zweifach symmetrischen Platte mit Dreiecks− (D) undViereckselementen (0−6).

Gleichlast:

QART Teil.

Navierlagerung (SS)w–maxmy–maxmx–max

eingespannt (CL)w–maxmy–maxmx–max my–min mx–min

theoretisch 19.57 47.56 16.24 4.11 16.60 5.32 –33.24 –22.84

D 2x2 4x4 8x8

15.13 33.1 9.819.54 46.4 15.619.93 47.7 15.6

1.35 6.0 2.3 –4.2 0.03.84 15.2 4.9 –21.4 –4.04.05 16.0 4.7 –27.1 –13.5

0 2x2 4x4 8x8

19.82 46.6 17.619.46 46.8 16.019.57 47.4 16.2

4.69 17.5 7.0 –16.9 –2.24.02 15.7 4.5 –22.0 –6.54.16 16.5 5.0 –27.5 –11.5

1 2x2 4x4 8x8

19.85 48.7 18.019.58 48.0 16.419.53 47.6 16.3

4.68 19.4 7.0 –24.4 –2.84.18 17.0 5.0 –31.6 –10.34.19 16.9 5.1 –33.4 –19.4

2 2x2 4x4 8x8

19.76 50.0 15.219.63 48.2 16.219.53 47.5 16.1

5.43 19.4 3.7 –32.6 –8.64.22 17.3 5.0 –33.0 –16.44.20 16.9 5.1 –33.4 –20.8

4 2x2 4x4 8x8

18.32 45.5 18.019.23 46.6 16.319.48 47.3 16.2

3.67 15.3 5.9 –14.9 –1.44.11 16.2 5.1 –22.4 –4.54.15 16.5 5.0 –27.5 –9.7

5 2x2 4x4 8x8

19.12 51.6 20.019.48 48.1 16.919.46 47.5 16.3

4.23 20.6 7.6 –25.7 –4.64.21 17.1 5.2 –31.5 –11.14.19 16.9 5.1 –33.3 –19.4

6 2x2 4x4 8x8

19.23 44.3 16.519.33 47.9 16.319.58 47.8 16.3

3.67 16.9 4.1 –25.8 +3.34.18 17.4 5.1 –32.4 –9.84.19 16.9 5.1 –33.3 –19.7

Die Ergebnisse zeigen die Stärke der nichtkonformen Elemente für Ergeb�nisse auf dem Rand. Interessant ist, daß manchmal die Ergebnisse beim


Version 10.705−6

mittleren Netz gegenüber dem gröberen Netz bzw. feineren Netz einen Ein�bruch haben. Dies ist ein Effekt, der bei diesem Beispiel und dem ursprüngli�chen Mindlin−Elementen entdeckt wurde, wo der Einbruch bis zu 60 Prozentder Lösung ausmachen konnte.

Einzellast in Plattenmitte :

QART Teil.

Navierlagerung (SS)w–maxmy–maxmx–max

eingespannt (CL)w–maxmy–maxmx–max my–min mx–min

theoretisch 270.4 ∞ ∞ 115.7 ∞ ∞ –502.8

D 2x2 4x4 8x8

166.4 389. 161.210.2 617. 288.255.0 964. 592.

25.4 116. 45. –76.1 –2.167.2 348. 157. –290.6 –14.699.1 666. 408. –500.5 0.9

0 2x2 4x4 8x8

250.5 644. 310.264.6 911. 521.269.5 1191. 780.

72.5 271. 109. –261.4 –30.5107.9 615. 348. –471.5 4.0113.9 896. 593. –563.5 1.4

1 2x2 4x4 8x8

251.9 719. 361.271.9 1047. 675.274.4 1404. 1190.

75.9 360. 165. –337.4 –1.2113.5 744. 483. –578.8 4.8118.7 1106. 891. –661.1 2.9

2 2x2 4x4 8x8

296.5 1155. 717.285.0 1438. 1033.276.6 1725. 1328.

124.5 845. 493. –716.1 83.9126.1 830. 1139. –717.6 10.6120.6 1428. 1132. –680.4 4.0

4 2x2 4x4 8x8

185.8 495. 198.236.4 789. 408.261.5 1085. 683.

56.3 228. 86. –221.8 –19.387.5 497. 246. –435.0 0.9

106.9 789. 496. –575.6 0.1

5 2x2 4x4 8x8

206.7 679. 318.248.3 1014. 625.267.4 1375. 1052.

68.7 382. 179. –360.3 –26.799.4 722. 450. –602.8 6.7

113.0 1078. 855. –690.0 1.7

6 2x2 4x4 8x8

364.9 1119. 162.248.1 1131. 681.271.2 1695. 1341.

144.5 818. 169. –851.8 79.595.2 833. 505. –593.7 2.1

114.8 1395. 1142. –676.5 1.7

Hier kann man sehen, daß die Größe der Singularität maßgeblich von Anzahlder Elemente und Ansatz derselben abhängt. Das bedeutet aber auch, daßder Benutzer darauf achten muß, ob eine von ihm definierte Einzellast auchwirklich vorliegt, oder ob vielleicht die Beschreibung mit einer Flächenlastadäquater wäre.

Zur Verfügbarkeit der Elementansätze QART 2−6 siehe Beispiel 5.1.


5−7Version 10.70

5.3. Rhombusplatte

Dieses Beispiel stammt von Morley und ist ein ganz gefährlicher Test fürPlattenelemente. Untersucht wird eine dünne schiefwinklige Platte unterallseitiger Navierlagerung.

SEPP11.

Rhombusplatte

Die gesamte Platte wird mit RAST in ein gleichmäßiges schiefwinkliges Ele�mentnetz von 8 x 8 Elementen unterteilt. Die Ränder werden nur in Z− Rich�tung gehalten.

Die Eingabe dieses Systems erfolgt z.B. mit folgender GENF Eingabe:

PROG GENF KOPF RHOMBUS PLATTE 30 GRAD SS1 SYST ROST KNOT 1 0 0 ; −9 100. −75 ; −81 100. 75 RAST 1 9 M 8 ; 1 81 M 8 ; UNRA 1 81 10 9 1 MNR 1 D1 1.00 KNOT (1 9 1) fix PZ ; (81 89 1) == ; (1 81 10) == ; (9 89 10) == MAT 1 1.E7 0.3 ENDE

Die folgende Tabelle zeigt die Biegemomente auf der X−Achse in den Knoten.


Version 10.705−8


m–xx (1)m–xx (2)m–xx (3)m–xx (4)m–xx (5)

m–yy (1)m–yy (2)m–yy (3)m–yy (4)m–yy (5)

– ∞ 24. 120. 169. 188.

+ ∞ 88. 92. 97. 106.

–195.7 26.8 115.5 167.2 184.4

8.5 69.8 89.3 102.3 106.9

–203.0 11.5 115.8 166.6 183.9

46.4 64.9 87.2 100.6 105.6

–191.6 17.0 115.9 168.0 179.9

53.8 57.4 86.4 100.7 105.6

–250.0 36.6 118.0 163.8 179.9

–10.7 67.7 82.5 93.0 97.1

–205.8 42.0 136.6 182.1 198.7

34.5 73.2 108.7 119.9 124.0

–99.8 44.3 117.3 167.1 182.8

100.9 118.1 123.6 133.7 136.2

Zur Verfügbarkeit der Elementansätze QART 2−6 siehe Beispiel 5.1.

In der stumpfen Ecke ist eine Singularität, die dem QART 4 Element schwerzu schaffen macht. Die Elemente selbst vertragen die Deformation auf 30Grad relativ problemlos, jedoch ist die Biegebeanspruchung über Eck für dieElemente 2 bzw. 6 ausgesprochen schlecht. Diese Elementtypen sind für die�ses Beispiel eigentlich nicht geeignet.

Wie empfindlich das System ist, zeigt sich auch, wenn die klassische Navier�lagerung eingeführt wird und die Torsionsmomente gehalten werden. In derstumpfen Ecke ergibt sich eine Einspannung und die Momente m−xx steigenauf Werte von −500 bis −530, während die m−yy Momente für alle VariantenWerte zwischen −111 und −160 annehmen. Die Feldmomente sinken dafürauf Werte von 150 für m−xx und 70 für m−yy.

5.4. Pilzkopfplatte

Aus einer unendlichen Pilzkopfplatte mit regelmäßigem Stützenraster wirdein Viertel herausgeschnitten.


5−9Version 10.70

SEPP12.

Netzeinteilung Pilzkopfplatte

Eine theoretische Lösung kann bei Timoshenko/Woinowsky−Krieger (7) ge�funden werden. Diese Lösung geht von einer Gleichgewichtsgruppe aus, diePlatte ist dann im Stützenbereich frei verformbar. Eine solche Lösung ist si�cher angebracht, wenn die Platte auf weichem Mauerwerk gelagert ist, undwird am besten mit einer elastischen Bettung realisiert.

In (7) sind auch Werte für starre Stützenköpfe angegeben. Bei monolithi�schem Verbund kommt es mehr darauf an, die Schnittgrößen am Rand richtigzu erfassen; der Zuwachs des Momentes bis zur Stützenmitte wird normaler�weise durch den Zuwachs der statischen Höhe ausgeglichen. Wird die ge�samte Stütze ein Element groß, so ist die ideale Beschreibung dieses Zustan�des durch eine Lagerung nach Absatz 2.3 mittels Mittelknoten undKopplungen KP bzw. KQ. Bei der Ermittlung der Schnittgrößen in den Kno�ten wird die Querkraft durch das Stützenelement verfälscht, da die Quer�kraft in diesem Element fast Null ist. Die Querkraft sollte in diesem Fallebesser aus der Auflagerkraft und dem Stützenumfang ermittelt werden.

Wird die Stütze breiter und soll die Stützenfläche durch vier Elemente be�schrieben werden, so entfällt zwar das vorige Problem der Querkraftermitt�lung, aber nun wird das Biegemoment in der Stützenmitte nicht mehr richtigermittelt, da die korrekte Lagerungsbedingung des mittleren Knotens nichtdefinierbar ist.


Version 10.705−10

Im folgenden werden acht Lagerungsbedingungen vorgestellt.

a) Theoretische Lösung (Gleichgewichtsgruppe)b) Theoretische Lösung (Starrer Stützenkopf)c) Punktlagerung des Eckknotens sd) Punktlagerung des Stützenrandes

(entspricht der KP−Kopplung mit fixiertem Mittelknoten)e) Punktlagerung aller Stützenknotenf) Einspannung des Stützenrandesg) Elastische Bettung der Stütze C = 100 · D / ah) Elastische Bettung der Stütze C = 100000 · D / a

Fall a) b) c) d) e) f) g) h)

m–s m–e m–r m–n

m–m

–65.5 –24.0 –40.2 –8.9 24.4 16.0

– ∞ –31.3 –7.3 17.4 13.2

–118.2 –45.3 –38.6 –8.3 26.8 16.0

+7.7 –46.2 –31.3 –6.1 19.9 13.3

+21.1 –43.2 –34.4 –6.3 20.0 13.4

– –46.6 –40.0 –6.4 18.4 12.7

–64.5 –34.7 –41.4 –7.9 25.0 15.3

+18.8 –44.2 –38.9 –6.7 20.9 13.8

v–s v–e v–r ≈ 60

68.3 39.2 52.0

42.9 36.6 27.3

54.2 8.5 12.6

– 18.5 27.4

21.6 24.2 28.8

51.6 4.3 9.8

Es ist deutlich zu sehen, daß die Feldmomente nur gering beeinflußt werden.Die Punktstützung erzeugt Beanspruchungen, die bis zu 50 Prozent zu großoder zu klein sind. Die kleine Bettung (Fall g) erbringt sehr gute Werte fürden elastischen Fall. Für den starren Stützenkopf erscheint Fall d) am bestengeeignet. Das Stützmoment ist in diesem Falle wenig aussagekräftig. Beigroßer Bettung ergibt sich ein ähnliches Bild wie bei starrer Lagerung.

5.5. Winkelplatte

Eine winkelförmige Platte mit sehr unterschiedlichen Lagerbedingungensoll untersucht werden.


5−11Version 10.70

SEPP13.

Winkelplatte

Bei diesem System kann ein völlig regelmäßiges Elementnetz verwendetwerden. Die Eingabe für GENF ist deshalb sehr einfach:

PROG GENFKOPF SEPP BEISPIEL 1 WINKELPLATTE$ SEPP−Handbuch Seite 5−11, Beispiel 5SYST ROST$ ECKKNOTEN DES RASTERSKNOT 1 9.00 0.00 ; 7 = 6.00 ; 12 = 11.00 61 4.00 0.00 ; 67 = 6.00 ; 72 = 11.00 115 0 6.00 ; 120 = 11.00$ MATERIAL UND PLATTENDICKEMAT 1GRUP 0 D 0.24$ GENERIERUNG DES RASTERSRAST 61 67 7 1 6 5 1 ; 67 72 12 7 5 5 1 ; 115 120 72 67 5 4 1$ NACHTRAGEN DER RANDBEDINGUNGENKNOT (61 66 1) FIX PPMX ; 67 FIX F ; (79 115 12) FIX PPMY (1 3 1) FIX PPMX ; (9 11 1) == ; 12 FIX F ; (24 36 12) FIX PPMY 115 FIX F ; (116 120 1) FIX PPMX$ EINSPANNENDE WIRKUNG DER RAENDER$ DREHBETTUNGSKONSTANTE D = 3EI/L = 3*3E7*0.24**3/12/3RAND 1 BEZ ’RAND 1−3’ ; RAND 1 3 1 RAND 1 3 1 DN 34560


Version 10.705−12

RAND 2 BEZ ’RAND 61−67−115’ ; RAND 61 67 1 ; 67 115 12 RAND 61 67 1 DN 34560 ; 67 115 12 DN 34560RAND 3 BEZ ’RAND 9−12−36’ ; RAND 9 12 1 ; 12 36 12 RAND 9 12 1 DN 34560 ; 12 36 12 DN 34560RAND 4 BEZ ’RAND 115−120’ ; RAND 115 120 1 RAND 115 120 1 DN 34560ENDE

Damit ergibt sich folgendes System:

SEPP46.

Netzeinteilung

Zur Berechnung des ersten Lastfalls (Eigengewicht) kann nun die folgendeEingabe herangezogen werden.

PROG SEPP KOPF Platte voll belastet


5−13Version 10.70

LF 1 1 EGZ 1.60 BEZ STÄNDIGE_LAST ENDE

Damit erscheint nun folgende Ausgabe:

L A S T F A L L 1 STÄNDIGE_LAST Eigengewicht in Z−Richtung 1.600

S U M M E D E R L A S T E N LF PXX[kN] PYY[kN] PZZ[kN] MXX[kNm] MYY[kNm] MZZ[kNm] 1 0.00 0.00 720.00 0.00 0.00 0.00

P L A T T E N S C H N I T T K R A E F T E Lastfall 1 STÄNDIGE_LAST El−Nr. m−xx m−yy m−xy v−x v−y m−I m−II alfa [kNm/m] [kNm/m] [kNm/m] [kN/m] [kN/m] [kNm/m] [kNm/m] [grad] 13 −5.08 −1.76 0.95 −20.00 −0.63 −1.50 −5.33 75.05 14 −1.68 −4.73 5.08 −22.13 0.59 2.10 −8.51 36.65 15 2.31 −17.16 −3.26 −25.71 34.38 2.84 −17.69 −9.25 16 6.33 8.99 −9.08 −9.73 15.86 16.84 −1.51 −49.17 17 5.12 15.94 −2.29 −5.69 4.64 16.41 4.66 −78.52 18 5.04 15.96 3.26 −5.51 −5.80 16.86 4.14 74.56 19 5.95 9.28 9.96 −9.15 −16.33 17.71 −2.48 49.74 20 1.10 −16.45 3.21 −24.56 −34.36 1.67 −17.02 10.04 21 −3.95 −2.90 −7.75 −18.41 −0.76 4.34 −11.19 −46.94 22 −5.97 0.12 −7.34 −10.66 −0.67 5.03 −10.87 −56.26 23 −2.17 −2.54 −6.97 −2.28 −3.36 4.61 −9.33 −44.24 25 11.40 −0.41 0.44 −10.30 −0.11 11.42 −0.43 2.11 26 13.60 −3.37 −0.66 −10.69 −0.04 13.63 −3.40 −2.22 27 14.86 0.19 −4.56 −8.09 9.80 16.17 −1.12 −15.93 28 13.74 5.12 −5.54 −5.07 7.36 16.44 2.42 −26.06 29 13.26 11.15 −2.32 −1.29 1.50 14.75 9.66 −32.80 30 13.28 10.73 3.37 −1.02 −2.87 15.60 8.41 34.65 31 13.00 5.04 7.41 −4.55 −7.04 17.43 0.61 30.89

. . .

K N O T E N V E R S C H I E B U N G E N UND K R A E F T E Lastfall 1 STÄNDIGE_LAST Knoten u−Z PHI−X PHI−Y P−ZZ M−XX M−YY Nr [mm] [o/oo] [o/oo] [kN] [kNm] [kNm] 1 0.000 0.000 0.421 −11.463 −1.558 −7.343 2 0.000 0.000 0.432 −25.793 −4.362 −16.604 3 0.000 0.000 0.733 −69.558 −29.543 −10.934 4 0.594 0.899 0.636 5 1.367 0.524 0.232 6 1.650 0.003 0.159 7 1.368 −0.519 0.265


Version 10.705−14

8 0.595 −0.901 0.694 9 0.000 0.000 0.773 −68.881 31.355 −11.015 10 0.000 0.000 0.367 −21.439 8.479 −14.038 11 0.000 0.000 0.196 −11.059 5.079 −6.637 12 0.000 0.000 0.000 1.567 3.212 −3.333 13 0.534 0.016 0.540 14 0.569 0.059 0.587

S U M M E DER A U F L A G E R K R A E F T E UND L A S T E N Last P−X P−Y P−Z M−X M−Y M−Z Fall [kN] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] 1 0.0 0.0 −720.0 0.0 0.0 720.0 0.0 0.0 0.0

P L A T T E N S C H N I T T K R A E F T E I N K N O T E N Lastfall 1 STÄNDIGE_LAST Gruppe 0 Knoten m−xx m−yy m−xy v−x v−y m−I m−II alfa [kNm/m] [kNm/m] [kNm/m] [kN/m] [kN/m] [kNm/m] [kNm/m] [grad] 1 −14.38 −2.70 0.38 20.00 0.63 −2.69 −14.39 88.14 2 −16.61 −3.09 3.09 21.07 0.61 −2.42 −17.28 77.72 3 −11.94 −26.31 5.98 23.92 17.49 −9.78 −28.47 19.87 4 −1.17 −5.34 −10.31 17.72 25.12 7.26 −13.77 −39.28 5 0.68 18.66 −5.79 7.71 10.25 20.36 −1.02 −73.62 6 3.30 21.10 0.47 5.60 5.22 21.11 3.29 88.48 7 0.70 18.61 6.66 7.33 11.06 20.82 −1.50 71.69 8 −1.37 −5.44 10.72 16.86 25.34 7.51 −14.32 39.63 9 −12.45 −26.40 −7.34 21.49 17.56 −9.30 −29.55 −23.23 10 −16.20 −2.47 −7.38 14.53 0.71 0.74 −19.42 −66.47 11 −6.67 −0.79 −6.97 6.47 2.01 3.83 −11.30 −56.45 12 −1.98 −2.34 −5.39 2.28 3.36 3.24 −7.56 −44.05

. . .

Damit ist der erste Lastfall berechnet. An dieser Stelle empfiehlt es sich, dieBiegelinie und Hauptmomente grafisch darzustellen und zu kontrollieren.


5−15Version 10.70

SEPP47.

Biegefläche


Version 10.705−16

SEPP48.

Hauptmomente

5.6. Punktgestützte Deckenplatte

Im folgenden Beispiel soll jetzt ein reales System aus der Entwurfspraxisdargestellt werden. Statisches System und Vorgaben sind der folgenden Ab�bildung zu entnehmen.


5−17Version 10.70

SEPP65.

Deckenplatte

PROG GENFKOPF Praxis Beispiel PilzkopfplatteECHO VOLL NEIN$ SEPP−Handbuch Seite 5−17, Beispiel 6SYST ROST$LET#1 5.28+6.56+.2 $ Y−Koordinate rechter Rand$ Y−Koordinaten fester Knoten


Version 10.705−18

KNOT 1 0 0 ; 2 = .55 ; 6 = 5.28−.35 ; 7 = 5.25+.35 ; 12 = #1MAT 1 3.0E7GRUP 0 D .3$ Generierung der dazwischenliegenden KnotenRAST 2 6 M 4 ; 7 12 M 5$$ X−Koordinaten fester KnotenKNOT 141 6.25−.35 0 ; 161 6.25+.35 = ; 261 6.25+5.5−.35 = 281 6.25+5.5+.35 = ; 401 6.25+5.5+3.8$ Generierung der dazwischenliegenden KnotenRAST 1 141 M 7 ; 161 261 M 5 ; 281 401 M 6$ Knoten 101 exakt 1.65 m unter Knoten 141 wegen ZusatzlastKNOT 101 −1.65 0 KREF 141$ RasterUNRA 1 12 1 401 20 1$ Korrekturen$ Knoten Achse 4/DKNOT 412 6.25+5.5+6.44 #1−3.36−.4$ Kante Achse DRAST 401 412 M 11$ Verschieben der Knoten 292 und 312 WandkanteSECT 292 281 282 192 412 ; 312 301 302 192 412$ Erneutes Rastern der schiefen BereicheRAST 301 307 407 401 6 5 mnr 0 ; 307 312 412 407 5 5 mnr 0 188 192 292 288 4 5 mnr 0$ Festhaltungen AussenwandKNOT (1 12 1) FIX PZ ; (401 412 1) == ; (12 412 20) ==$ Festhaltungen StuetzenKNOT 13 6.25 .2 PZ ; 14 = 5.28 = 15 6.25+5.5 .2 PZ ; 16 = 5.28 =$ Kopplung der Stuetzen an die AuflagerknotenKNOT 141,142,161,162 FIX KP 13 146,147,166,167 FIX KP 14 261,262,281,282 FIX KP 15 266,267,287,286 FIX KP 16$ elastische Einspannung der RandstuetzenFEDE 113,115 13,15 DX 1 CM 28000FEDE 213,215 13,15 DY 1 CM 28000$$ elastische Einspannung AussenwandRAND 1 BEZ ’Wand Achse A’ ; RAND 1 12 1 RAND 1 12 1 DN 58000RAND 2 BEZ ’Wand Achse 5’ ; RAND 12 192 20 RAND 12 192 20 DN 60000RAND 3 BEZ ’Wand Achse 4’ ; RAND 192 412 20 RAND 192 412 20 DN 60000RAND 4 BEZ ’Wand Achse D’ ; RAND 401 412 1


5−19Version 10.70

RAND 401 412 1 DN 62000ENDE

Um die maximalen Feld− bzw. Stützmomente infolge feldweiser Verkehrsbe�lastung korrekt zu erhalten, wurden 4 Verkehrslastfälle definiert und be�rechnet.

PROG SEPPKOPF SchnittgroessenECHO SCHN,VERS,REAK,NOST NEINLF 1 ; FLAS 1 999 1 PZ 27.4LF 2 ; FLAS ( 1 5 1) (121 1) 20 PZ 7 FLAS (266 271 1) (386 1) 20 == FLAS (101 105 1) (121 1) 20 PZ 4.2LF 3 ; FLAS ( 6 11 1) (126 1) 20 PZ 7 FLAS (261 265 1) (381 1) 20 == FLAS (106 111 1) (126 1) 20 PZ 4.2LF 4 ; FLAS (141 145 1) (241 1) 20 PZ 7LF 5 ; FLAS (146 151 1) (246 1) 20 PZ 7ENDE

PROG GRAFSIZE LP 0 ; SCHR FAKB 0.55BEOB STAN 0 0 −1 ACHS POSYSTRU MARK 0lf 1HOEH W VON −1 10 0.5QUAD HM 50lf 1 ; KNOT RZ DTYP PPLASIZE LP 0BEOB STAN 2 3 −1.1 POSZlf 1 ; KNOT RZ DTYP POSZENDE

PROG MAXIMAKOPF Ueberlagerung SchnittgroessenECHO VOLL NEIN ; ECHO TABU JAQUADQUAKLF 1 G ; 2,3,4,5 PUEBE MAMI MOM ; LFSP 801ENDE

PROG MAXIMAKOPF Ueberlagerung AuflagerreaktionenECHO VOLL NEIN ; ECHO TABU JAKNOT


Version 10.705−20

LF 1 G ; 2,3,4,5 PUEBE MAMI PZ ; LFSP 905ENDE

PROG BEMESSKOPF Bemessung incl. DurchstanznachweisECHO VOLL NEIN ; ECHO PARA,DUST VOLLDUST D 0.40 B 0.40 KOPF 1.20 DKOP 0.65LF 801,802,803,804,805,806,905,906; GEO − 3 1 3 1 ; RICH 0 0ENDE

Das System mit der Knoten− und Elementeinteilung sowie die Höhenliniender Verformung und die Momententensoren aus dem Lastfall Eigengewichtsind in den weiteren Abbildungen dargestellt.


5−21Version 10.70

SEPP66.

Elementnetz Deckenplatte


Version 10.705−22

SEPP67.

Verschiebungen Lastfall 1 Deckenplatte


5−23Version 10.70

SEPP68.

Hauptmomente Lastfall 1 Deckenplatte

5.7. Wandscheibe im Brückenbau

Der unten dargestellte Pfeiler einer Plattenbalkenbrücke ist auf 3 Pfählengelagert. Da das System nicht symmetrisch ist und zudem auf eine hohe Ge�nauigkeit Wert gelegt wurde, erfolgt eine Berechnung nach der Methode derFiniten Elemente.

Da die maximal zulässigen Pfahlkräfte bekannt sind, erfolgt die Lasteinlei�tung über die Pfähle, die Lager werden festgehalten.


Version 10.705−24

ASS7.

Wandscheibe

Da das System unregelmäßig ist, müssen relativ viele Koordinaten eingege�ben werden.

Im folgenden die Eingabe, beginnend mit der Eingabe für GENF:

PROG GENF KOPF PFEILER ACHSE 1 $ ECKKNOTEN DES RASTERS KNOT 1 −4.65 −8.65 ; 3 −3.65 = ; 5 −3.05 = ; 8 −0.65 = 17 4.65 = ; 15 3.65 = ; 13 3.05 = ; 10 0.65 = 101 −4.65 −12.268 ; 103 −3.75 −12.368 ; 105 −3.15 = 108 −.65 −12.474 117 4.65 −12.537 ; 115 3.75 −12.637 ; 113 3.15 = 110 .65 −12.531 $ RASTER IN 7 BEREICHEN MAT 1 ; GRUP 0 D 1.5 RAST 1 3 103 101 2 5 1 ; 3 5 105 103 2 5 1 ; 5 8 108 105 3 5 1 8 10 110 108 2 5 1 ; 10 13 113 110 3 5 1 ; 13 15 115 113 2 5 1 15 17 117 115 2 5 1 $ NACHTRAEGLICHE DEFINITION DER FESTHALTUNGEN KNOT (103 105 1) − − PY ; (113 115 1) − − PY ; 9 − − PX ENDE


5−25Version 10.70

Jetzt kann die Eingabe durch einen Plot der Struktur überprüft werden. Mitdem Programm GRAF wird folgende Darstellung erzeugt:

ASS16.

Strukturplot

Die Berechnung wird mit folgender Eingabe gestartet:

PROG SEPP KOPF PFEILER ACHSE 1 $Lasteintragung über Streckenlasten LF 1 ; RLAS 1 4 1 P −3845 ; 8 10 1 == ; 14 17 1 == ENDE

Im folgenden sind wesentliche Teile der Ausgabe abgedruckt:

EBENER SPANNUNGSZUSTAND (PLAIN STRESS)

R A N D L A S T E N VON BIS INC LF TYP MESS PA PB 1 4 1 1 P XX −3845.00 −3845.00 8 10 1 1 P XX −3845.00 −3845.00 14 17 1 1 P XX −3845.00 −3845.00

Es folgen die Ergebnisse in den Elementen und Knoten:


Version 10.705−26

S C H E I B E N S C H N I T T K R A E F T E Lastfall 1 n−x n−y n−xy n−I n−II alpha Nummer (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (grad) 1 −10.10 −3899.81 −75.98 −8.61 −3901.30 −1.1 2 33.13 −3602.56 63.62 34.24 −3603.67 1.0 3 275.89 −2714.04 634.46 404.95 −2843.10 11.5 4 594.69 −1212.07 650.79 804.70 −1422.07 17.9 5 666.58 −271.27 −79.14 673.21 −277.90 −4.8 6 261.31 24.44 −335.07 498.26 −212.51 −35.3 7 −710.76 −774.63 −791.47 49.42 −1534.81 −43.8 8 −1680.35 −2736.85 −657.62 −1365.09 −3052.11 −25.6 9 −1668.97 −2732.17 665.00 −1349.20 −3051.93 25.7 10 −702.72 −778.12 795.92 56.39 −1537.24 43.6 11 227.75 12.75 334.03 471.15 −230.65 36.1 12 593.74 −290.82 68.84 599.07 −296.14 4.4 . . . . 93 −1564.24 −6117.07 −165.76 −1558.21 −6123.09 −2.1 94 −1431.28 −5684.63 −440.55 −1386.13 −5729.78 −5.9 95 −732.11 −3309.99 −1664.31 84.01 −4126.11 −26.1 96 −128.67 −424.19 −209.97 −19.68 −533.18 −27.4

K N O T E N V E R S C H I E B U N G E N UND K R A E F T E Lastfall 1 Knoten u−X u−Y Phi−Z P−X P−Y M−Z [mm] [mm] [o/oo] [kN] [kN] [kNm] 1 −0.026 −0.331 0.000 2 −0.018 −0.321 0.000 3 −0.013 −0.305 0.000 . . . . 101 −0.042 −0.120 0.000 102 −0.040 −0.099 0.000 103 −0.047 0.000 0.000 0.00 2247.29 0.00 104 −0.066 0.000 0.000 0.00 1815.35 0.00 105 −0.086 0.000 0.000 0.00 3435.51 0.00 106 −0.100 −0.207 0.000 107 −0.067 −0.267 0.000 108 −0.033 −0.303 0.000 109 −0.005 −0.311 0.000 110 0.024 −0.304 0.000 111 0.059 −0.268 0.000 112 0.093 −0.208 0.000 113 0.086 0.000 0.000 0.00 3423.91 0.00 114 0.067 0.000 0.000 0.00 1828.79 0.00 115 0.050 0.000 0.000 0.00 2244.67 0.00 116 0.043 −0.097 0.000 117 0.044 −0.117 0.000


5−27Version 10.70

In der nächsten Tabelle ist noch die Summe der Auflagerkräfte der Summeder Belastungen gegenübergestellt. Sofern das System nicht numerisch pro�blematisch ist, was zum Beispiel durch sehr große Steifigkeitsunterschiedemöglich wäre, sind die Summen entgegen gesetzt gleich groß. Eine der wich�tigsten Kontrollen, ob die Summe der Auflagerkräfte stimmt und ob nur anden festgehaltenen Knoten Auflagerkräfte entstehen, sollte an dieser Stelleerfolgen.

SUMME DER AUFLAGERKRAEFTE UND LASTEN LAST P−XX P−YY M−ZZ FALL (KN) (KN) (KNM) 1 0.0 14995.5 0.0 −14995.5 0.0

Als letzte Tabelle folgen die Spannungen in den Knoten.

S C H E I B E N S C H N I T T K R A E F T E I N K N O T E N Lastfall 1 Gruppe 0 n−xx n−yy n−xy n−I n−II alpha Knoten (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (grad) 1 −138.1 −4064.3 −75.8 −136.6 −4065.7 −1.1 2 −188.9 −3732.4 −4.9 −188.9 −3732.4 −0.1 3 −11.1 −3471.0 341.6 22.3 −3504.4 5.6 4 676.2 −1930.9 643.5 826.3 −2081.1 13.1 5 1299.5 −492.4 291.2 1345.6 −538.5 9.0 6 1189.1 −120.0 −209.4 1221.8 −152.6 −8.9 7 101.5 110.1 −561.8 667.6 −456.0 −45.2 8 −1824.1 −1658.2 −723.5 −1012.9 −2469.4 −48.3 9 −2922.4 −3714.3 9.2 −2922.3 −3714.4 0.7 10 −1807.0 −1661.0 734.9 −995.5 −2472.5 47.8 11 97.9 94.4 560.7 656.9 −464.6 44.9 12 1141.2 −123.4 197.2 1171.3 −153.4 8.7 . . . . 101 −41.0 −254.4 178.2 59.9 −355.3 29.5 102 −984.0 −529.7 1013.2 281.6 −1795.2 51.3 103 −2886.2 −6036.5 1070.4 −2557.0 −6365.8 17.1 104 −4093.9 −5439.5 309.8 −4026.0 −5507.4 12.4 105 −2699.3 −6689.7 −797.7 −2545.7 −6843.3 −10.9 106 481.5 734.5 −880.0 1497.0 −281.0 −49.1 107 1947.1 −185.2 −177.5 1961.7 −199.9 −4.7 108 1919.8 9.9 −141.2 1930.2 −0.5 −4.2 109 1947.8 −72.0 −67.2 1950.1 −74.2 −1.9 110 1864.7 −0.1 7.7 1864.7 −0.1 0.2 111 1789.0 −195.6 65.4 1791.1 −197.7 1.9 112 256.3 546.6 847.9 1261.7 −458.8 49.9 113 −2708.8 −6636.1 809.6 −2548.5 −6796.4 11.2 114 −3933.4 −5433.8 −314.9 −3870.0 −5497.2 −11.4


Version 10.705−28

115 −2788.5 −5932.8 −1080.7 −2452.9 −6268.4 −17.3 116 −982.6 −624.5 −1016.2 228.3 −1835.4 −50.0 117 −83.6 −303.5 −206.3 40.2 −427.3 −31.0

Bedingt durch die numerische Approximation werden die Spannungen anden freien Rändern in der Regel nicht exakt Null.

Die zeichnerische Darstellung der Ergebnisse mit dem Programm GRAF er�folgt mit folgender Eingabe:

PROG GRAF SIZE 4 0 ; BEOB STAN − − 1 POSY HOEH QUAD HS 2 ENDE

Damit ergeben sich die folgenden Darstellungen:

1. Isolinien der resultierenden Verschiebungen aus u−X und u−Y:

ASS17.

2. Hauptspannungen:


5−29Version 10.70

ASS18.

5.8. Beispiele im Internet

Im Internet sind unter www.sofistik.de/bibliothek.htm verschiedene Statik�beispiele zu finden.


Version 10.705−30

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