Semestre 02-2008, Algebra Lineal 37

Rectas, planos e hiperplanos

Recta

P punto de la recta L,

d vector no nulo de Rn (vector director de la recta)

X punto de la recta L PX paralelo a d (PX = td).

PX = OX − OP = x − p

x − p = td

ecuación vectorial de la recta

x = p + t d

x1

x2

...

xn

=

a1

a2

...

an

+ t

d1

d2

...

dn

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 38

ecuaciones paramétricas de la recta L

x1 = a1 + td1

x2 = a2 + td2

...

xn = an + tdn .

ecuaciones simétricas de la recta

x1 − a1

d1

=x2 − a2

d2

= · · · =xn − an

dn, di 6= 0, i = 1, 2, · · ·n

Si di = 0 para algún i,

a cambio dexi − ai

dise incluye la ecuación xi = ai

Rectas paralelas

L1, vector director d1

L2, vector director d2

L1 y L2 son paralelas (L1 ‖ L2)

si y solo si

d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 39

Rectas iguales

L1, vector director d1

L2, vector director d2

L1 y L2 son iguales

si y solo si

d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)

existe P ∈ L1 ∩ L2

Rectas ortogonales

L1, vector director d1

L2, vector director d2

L1 y L2 son ortogonales (L1 ⊥ L2)

si y solo si

d1 y d2 son ortogonales (d1 · d2 = 0)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 40

Ejemplos:

L1 :

x1 = −2 + 3t

x2 = −5t

x3 = 1

d1 =

L2 es la recta que pasa por los puntos

P =

0

−2

1

y Q =

6

−12

1

d2 =

L3 :x − 2

5=

y + 1

−3, z = 7 d3 =

Son las rectas L1 y L2 paralelas?

Son las rectas L1 y L2 iguales?

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 41

Son las rectas L1 y L3 ortogonales?

Encuentre una ecuación de una recta L4 que pase por el origen y

sea ortogonal a L1

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 42

Plano

P punto del plano

c y d vectores no nulos , no paralelos (vectores directores)

X punto del plano P PX combinación lineal de c y d

(PX = tc + sd para t, s ∈ R)

Así,

PX = OX − OP = x − p

x − p = tc + sd .

ecuación vectorial del plano

x = p + t c + s d

x1

x2

...

xn

=

a1

a2

...

an

+ t

c1

c2

...

cn

+ s

d1

d2

...

dn

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 43

ecuaciones paramétricas del plano

x1 = a1 + tc1 + sd1

x2 = a2 + tc2 + sd2

...

xn = an + tc2 + sdn .

P1, vectores directores c1, d1

P2, vectores directores c2, d2

L, vector director d

Planos paralelos

P1 y P2 son paralelos (P1 ‖ P2)

si y solo si

c1 y d1 son combinación lineal de c2 y d2

(c1 = λ1c2 + λ2d2 y d1 = µ1c2 + µ2d2 )

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 44

Planos iguales

P1 y P2 son iguales

si y solo si

P1 y P2 son paralelos y existe P ∈ P1 ∩ P2

Recta y plano paralelos

L y P1 son paralelos (L ‖ P1)

si y solo si

d es combinación lineal de c1 y d1

(d = λ1c1 + λ2d1, )

Recta contenida en un plano

L está contenida en P1 (L ⊂ P1)

si y solo si

L y P1 son paralelos y existe P ∈ L ∩ P1

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 45

Recta y plano ortogonales

L y P1 son ortogonales (L ⊥ P1)

si y solo si

d es ortogonal a d1 y a d2

(d · c1 = 0 y d · d1 = 0)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 46

Ejemplos:

L :

x1 = −2 − 3t

x2 = t

x3 = 1 + 11t

d =

P1 es el plano que pasa por los puntos

P =

1

1

1

, Q =

2

4

−4

y R =

−2

15

16

c1 = d1 =

P2 :

x1

x2

x3

=

2

0

−3

+ t

−1

2

3

+ s

0

5

−2

c2 = d2 =

Son los planos P1 y P2 paralelos?

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 47

Está la recta L contenida en el plano P2?

Es la recta L ortogonal al plano P1?

Encuentre la ecuación de un plano P3 que contenga a la recta L y

al origen

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 48

Hiperplano

P un punto

n un vector no nulo (vector normal),

X punto del hiperplano H PX ortogonal a n (PX · n = 0)

PX = OX − OP = x − p

ecuación vectorial del hiperplano

(x − p) · n = 0

x1

x2

...

xn

−

a1

a2

...

an

·

l1l2...

ln

= 0

ecuación general del hiperplano

l1(x1 − a1) + l2(x2 − a2) + · · · + ln(xn − an) = 0

ó equivalentemente,

l1x1+ l2x2+ · · ·+ lnxn = d con d = l1a1+ l2a2+ · · ·+ lnan = n ·p.

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 49

H1, vector normal n1

H2, vector normal n2

Hiperplanos paralelos

H1 y H2 son paralelos (H1 ‖ H2)

si y solo si

n1 y n2 son paralelos (n1 = λn2)

Hiperplanos ortogonales

H1 y H2 son ortogonales (H1 ⊥ H2)

si y solo si

n1 y n2 son ortogonales (n1 · n2 = 0)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 50

Ejemplos:

H1 :

x1

x2

x3

x4

−

2

0

−3

1

·

−1

2

3

−2

= 0

n1 =

H2 : 2x − 4y − 6z + 4w = 5

n2 =

H3 : 2x + 2y + w = 0

n3 =

Son los hiperplanos H1 y H2 paralelos?

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 51

Son los hiperplanos H1 y H3 ortogonales?

Encuentre la ecuación de un hiperplano H4 que contenga al origen

y sea ortogonal al hiperplano H2

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 52

Producto vectorial en R3

u =

u1

u2

u3

y v =

v1

v2

v3

de R3,

u × v =

u2v3 − u3v2

−(u1v3 − u3v1)

u1v2 − u2v1

.

Ejemplo:

−1

0

3

×

2

−5

0

=

0 · 0 − 3 · (−5)

−((−1) · 0 − 3 · 2)

(−1) · (−5) − 0 · 2

=

15

6

5

2

−5

0

×

−1

0

3

=

(−5) · 3 − 0 · 0

−(2 · 3 − 0 · (−1))

2 · 0 − (−5) · (−1)

=

−15

−6

−5

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 53

Propiedades del producto vectorial

u, v y w vectores de R3, λ escalar, entonces:

1. u × v = −v × u. Ley anticonmutativa

2. u × (v + w) = u × v + u × w. Ley distributiva para la suma

por derecha

3. (u + v) × w = u × w + v × w. Ley distributiva para la suma

por izquierda

4. λ(u × v) = (λu) × v = u × (λv).

5. u × 0 = 0 × u = 0.

6. u × u = 0.

7. u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.

8. (u × v) · u = (u × v) · v = 0.

9. u · (v × w) = w · (u × v).

Ejemplo: Dados

u =

2

−5

0

, v =

15

−7

2/3

, w =

5

8

−21

Calcule

[(2u × v) − (3v × u)] · (u + v)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 54

Magnitud del Producto Vectorial

u y v vectores de R3, θ ángulo entre u y v, entonces

1. ‖u × v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. [Identidad de Lagrange ]

2. ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ.

Demostración

2. ‖u × v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2.

= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ

= ‖u‖2‖v‖2(1 − cos2 θ)

= ‖u‖2‖v‖2 sen2 θ

Por tanto, ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ.

u y v vectores no nulos de R3 son paralelos

u × v = 0.

u y v vectores no paralelos de R3

El área del paralelogramo de lados u y v es ‖u × v‖.

(‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ.)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 55

u, v y w vectores no paralelos de R3

el volumen del paralelepípedo de lados u, v y w es |u · (v × w)|

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares

u · (v × w) = 0.

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 56

Ecuación Normal del Plano en R3

P en R3 que contiene a P con vectores directores c y d

H en R3 que contiene a P y es ortogonal a n = c × d

P=H

Rectas y Planos en R3

Recta L, vector director d ∈ R3

Plano P , vector normal n ∈ R3.

L ‖ P si y solo si d ⊥ n (d · n = 0)

L ⊥ P si y solo si d ‖ n (d = λn)

Semestre 02-2008, Algebra Lineal 57

Ejemplos:

L :

x1

x2

x3

=

2

−1

3

+ t

2

−7

−2

, t ∈ R

P plano que contiene a M =

5

−2

3

con vectores directores

c1 =

0

−2

1

y d1 =

2

0

−3

Es L paralela a P?

Es L ortogonal a P?

Encuentre la ecuación de un plano ortogonal a P que pase por el

origen.