rectasyplanos r3

Geometría enel espacio

LauraHidalgo Solís

Planos en elespacio

Rectas en elespacio

Geometría en el espacioPlanos y Rectas

Laura Hidalgo Solís

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad Iztapalapa

19 de Marzo de 2012


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Planos en el espacio

Anteriormente vimos que es posible encontrar un númeroinfinito de vectores, no paralelos entre si, que seanperpendiculares a un vector dado en R3, y que lasrepresentaciones geométricas ordinarias de estos vectoresestén en el mismo plano. Usando éstos hechos se puedeespecificar un plano en el espacio.

Plano

Si P es un plano y S un punto en P, y si ~n es un vector nonulo cuya representación geométrica es perpendicular a P,entonces un punto U(x , y , z) está sobre P si y sólo si

(~u − ~s) · ~n = 0 (1)

La ecuación 1 es una ecuación del plano P.


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P


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Puesto que U(x , y , z) es cualquier punto de P, la ecuación1 es simplemente una afirmación de que el vector ~n tieneuna representación geométrica que es perpendicular a todovector geométrico cuyo punto inicial sea S y este sobre P.Un vector no nulo perpendicular a un plano P recibe elnombre de vector normal a P.Si U(x , y , z), ~n = (A,B,C) y ~s · ~n = −D, la ecuación 1puede reescribirse como

AX + BY + CZ + D = 0 (2)


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Nótese que la ecuación Ax + By + Cz = D es una ecuaciónde primer grado con respecto a las variables x , y , z, y quelos coeficientes de estas variables son las componentesrespectivas del vector normal ~n.Recíprocamente, si T (x2, y2, z2) es un punto cuyascoordenadas satisfacen la ecuación 2 y, por tanto, a laecuación 1, se verifica que

A(x2 − x1) + B(y2 − y1) + C(z2 − z1) = 0

y como esta igualdad establece que la recta ` , que pasapor los puntos T y S es perpendicular al vector normal ~n y,por tanto, está sobre el plano P, resulta que el punto T queestá sobre ` está también sobre el plano. Por tanto, laecuación 2 es la ecuación del plano. Se le llama la ecuacióncartesiana general del plano .


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Esto es:

Teorema

La ecuación general de un plano es de la forma

Ax + By + Cz + D = 0,

en donde A,B,C y D son constantes, y ~n = (A,B,C) son essu vector normal.

Reciprocamente:

Teorema

Toda ecuación lineal de la forma

Ax + By + Cz + D = 0

en la que por lo menos uno de los tres coeficientes A,B y Ces diferente de cero, representa un plano cuyo vectornormal es ~n = (A,B,C).


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Ejemplo 1

Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano quepasa por S(1,2,3) y tiene vector normal ~n = (−1,3,5)como sigue:De la ecuación 1 tenemos:

(~u − ~s) · ~n = 0 o equivalentemente, ~u · ~n = ~s · ~n

Si U(x , y , z), sustituyendo los valores tenemos

−x + 3y + 5z = −1 + 6 + 15 = 20

Por lo que, la ecuación cartesiana del plano que pasa porS(1,2,3) y tiene vector normal ~n = (−1,3,5) está dadacomo

−x + 3y + 5z = 20


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Ejemplo 2De geometría euclidiana sabemos que tres puntos nocolineales determinan un plano, si A(3,4,1), B(−1,−2,5) yC(1,7,1) podemos encontrar la ecuación del plano P quecontiene a estos puntos de, al menos, dos formas distintas.Primeramente, sean ~v1 = ~b − ~a = (−4,−6,4),~v2 = ~c − ~a = (−2,3,0).entonces

~n = ~v1 × ~v2 =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k−4 −6 4−2 3 0

∣∣∣∣∣∣= (−12,−8,−24)

de donde, una ecuación de P es

−12x − 8y − 24z = (3,4,1) · (−12,−8− 24) = −92

o equivalentemente

3x + 2y + 6z = 23


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Nuesto segundo método, como A,B y C no son colineales,estos se encuentran en un plano, cuya ecuación es de laforma

Ax + By + Cz + D = 0

y por tanto, satisfacen esta ecuación, es decir,

3A + 4B + C + D = 0−A− 2B + 5C + D = 0

A + 7B + C + D = 0

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones en 4 variablestenemos:

a =32

t , b = t , c = 3t , d = −232

t , t ∈ R.

Tomando b = 2, tenemos a = 3, c = 6 y d = −23, por loque, una ecuación para P es

3x + 2y + 6z − 23 = 0.


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Definiciones

Si P1 es un plano con vector normal ~n1, y P2 es otro planocon vector normal ~n2, entonces

1 P1 y P2 son paralelos si y sólo si ~n1 × ~n2 = ~0.2 P1 y P2 son perpendiculares si y sólo si ~n1 · ~n2 = 0.

Obsérvese que de esta definición, todo plano es paralelo asi mismo, ya que, para todo vector ~n se tiene que ~n × ~n = ~0.


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Rectas en el espacio

Si S(x1, y1, z1) y T (x2, y2, z2) son dos puntos distintos, ellosdeterminan una recta `, así el vector~v =~t − ~s = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) tiene unarepresentación geométrica que está sobre ` y que por lotanto es paralela a `. Entonces el vector ~v =~t − ~s es unvector de dirección de `.Mediante un razonamiento análogo al realizado en R2

podemos demostrar que si U(x , y , z) representa un puntoen el espacio entonces

~u = ~s + λ(~t − ~s), λ ∈ R

es una ecuación paramétrica vectorial de `.


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Esto es, si U(x , y , z) es un punto en la recta `, entonces elvector ~w = ~u − ~s tiene una representación geométrica quetambién está sobre `, y por lo tanto, ~w es paralelo a ~v , estoes, ~w = λ~v para algún λ ∈ R, es decir:

~w = λ~v~u − ~s = λ(~t − ~s)∴ ~u = ~s + λ(~t − ~s)

Así, podemos decir que la recta ` es

{U ∈ R3;~u = ~s + λ(~t − ~s), λ ∈ R}

o equivalentemente

{U ∈ R3;~u = ~s + λ~v , λ ∈ R}


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Así, una ecuación paramétrica vectorial de la recta ` quepasa por S(x1, y1, z1) y T (x2, y2, z2) es:

(x , y , z) = (x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

o bien

(x , y , z) = (x1 + λ(x2 − x1), y1 + λ(y2 − y1), z1 + λ(z2 − z1)

La recta ` tiene asociado el siguiente sistema deecuaciones paramétricas cartesianas:

x = x1 + λ(x2 − x1)

y = y1 + λ(y2 − y1)

z = z1 + λ(z2 − z1)


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Si las diferencias x2 − x1, y2 − y1, y z2 − z1 no son todascero entonces ~v = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) es un vector dedirección de `, y por lo tanto x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 sonnúmeros directores de `. Si x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 sontodos distintos de cero entonces

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1

son las ecuaciones simétricas de la recta ` dada. Si elvector de dirección ~v se escribe como ~v = (v1, v2, v3)entonces:

x − x1

v1=

y − y1

v2=

z − z1

v3

son las ecuaciones simétricas de `.


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Notamos que podemos reescribir las ecuaciones simétricasde ` como:

x − x1

v1=

y − y1

v2x − x1

v1=

z − z1

v3

o equivalentemente

v2x − v1y + (v2y1 − x1v1) = 0v3x − v1z + (v3z1 − v1x1) = 0

Pero cada una de estas ecuaciones corresponde a unplano, es decir, en R3 podemos visualizar una recta como laintersección de dos planos.


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Si una recta es paralela a un eje de coordenadas, entoncesdos de los números directores son cero, y en lugar de lasecuaciones simétricas se tiene simplemente las ecuacionesque expresan las dos coordenadas constantes en cadapunto sobre la recta.De esta manera,

1 si la recta ` que es paralela al eje z pasa por el puntoS(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante lasecuaciones

x = x1, y y = y1

2 si la recta ` que es paralela al eje y pasa por el puntoS(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante lasecuaciones

x = x1, y z = z1

3 si la recta ` que es paralela al eje x pasa por el puntoS(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante lasecuaciones

y = y1, y z = z1


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Si una recta es paralela a un plano de coordenadas,entonces uno de los números directores es cero, en estecaso tenemos sólo una ecuación simétrica, y la otraecuación expresa simplemente la coordenada constante deun punto sobre la recta.

1 si la recta ` que es paralela al plano xy pasa por el puntoS(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante lasecuaciones

x − x1

v1=

y − y1

v2, y z = z1.

2 si la recta ` que es paralela al plano yz pasa por el puntoS(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante lasecuaciones

y − y1

v2=

z − z1

v3, y x = x1.

3 si la recta ` que es paralela al plano xz pasa por el puntoS(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante lasecuaciones

x − x1

v1=

z − z1

v3y y = y1.


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Ejemplo 1

Deseamos obtener las ecuaciones paramétrica vectorial, elsistema de ecuaciones paramétricas cartesianas y lasecuaciones simétricas de la recta ` que pasa por los puntosS(2,3,−1) y T (1,0,3).Como S 6= T , entonces ~v =~t −~s = (−1,−3,4) es un vectorde dirección de `.Por lo que, un punto U(x , y , z) ∈ ` si, y sólo si

~u = ~s − λ~v λ ∈ R∴ (x , y , z) = (2,3,−1) + λ(−1,−3,4) λ ∈ R

es la ecuación paramétrica vectorial de la recta `.


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La recta por S(2,3,−1) yT (1,0,3)


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De la ecuación (x , y , z) = (2,3,−1) + λ(−1,−3,4)podemos deducir el sistema de ecuaciones paramétricascartesianas de la recta `.

x = 2− λy = 3− 3λz = −1 + 4λ con λ ∈ R

Despejando el parámetro λ tenemos:

x − 2−1

=y − 3−3

=z + 1

4= λ

obteniéndose así las ecuaciones simétricas de la recta `.

x − 2−1

=y − 3−3

=z + 1

4


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De la igualdadx − 2−1

=y − 3−3

obtenemos la ecuación del

plano3x − y − 3 = 0,

y de la igualdadx − 2−1

=z + 1

4obtenemos la ecuación del

plano4x + z − 7 = 0.

Por lo que, en particular podemos ver a la recta ` como laintersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 7 = 0.

También podemos usar la ecuacióny − 3−3

=z + 1

4, por lo

que la recta ` también está sobre el plano

4y + 3z − 9 = 0.


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La recta por S(2,3,−1) y T (1,0,3) vista como laintersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 2 = 0.


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Ejemplo 2Si S(1,2,3) y T (3,4,3), entonces ~v =~t − ~s = (2,2,0), porlo que, la ecuación paramétrica cartesiana de la recta ` quepasa por S y T es

(x , y , z) = (1,2,3) + λ(2,2,0)

El sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas estádado por

x = 1 + 2λ, y = 2 + 2λ, z = 3

de donde,

x − 12

=y − 2

2, z = 3

Así, ` es la intersección de los planos

x − y + 1 = 0, z = 3


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La recta por S(1,2,3) yT (3,4,3)


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Ejemplo 3

Si S(2,3,4) y T (3,3,4), entonces ~v =~t − ~s = (1,0,0), dedonde la ecuación paramétrica vectorial de la recta ` quepasa por S y T está dada como

(x , y , z) = (2,3,4) + λ(1,0,0)

De aquí, deducimos el sistema de ecuaciones paramétricascartesianas

x = 2 + λ, y = 3, z = 4

de donde, podemos ver a ` como la intersección de losplanos y = 3 y z = 4.


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La recta por S(2,3,4) yT (3,3,4)


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Rectas dirigidas

Tal como sucede en R2, si un vector ~v ∈ R2 es un vector dedirección de una recta `, entonces −~v es también un vectorde dirección de ` y se puede considerar que la dirección de` es la de ~v o la de −~v .Cuando se asocia una recta `, a un vector de direcciónparticular ~v , se dice que ` es una recta dirigida, y que sudirección es la de ~v .Por ejemplo la recta ` que pasa por S(2,3,−1) y que tieneal vector ~v = (−1,−3,4) como vector de dirección es lamisma recta que pasa por S y que tiene al vector−~v = (1,3,−4), como vector de dirección; pero estas dosdescripciones de ` especifican dos rectas dirigidas distintaspuesto que sus sentidos son opuestos.


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Rectas en elespacio

El ángulo que forman dos rectas dirigidas se define como elángulo φ, con 0 ≤ φ ≤ π, que forman sus vectores dedirección.Nótese que esta definición se aplica a todas las rectasdirigidas en el espacio, sin importar si se intersecan o no.Por ejemplo, si `1 y `2 son las rectas cuyos vectores dedirección son ~v1 = (−1,−1,0) y ~v2 = (1,1,

√6,

respectivamente, entonces

cosφ =~v1 · ~v2

‖~v1‖‖~v2‖= −1

2

de donde φ = 2π/3.


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Rectas en elespacio

Una recta ` es paralela a un plano P, si y sólo si un vectorde dirección de ` es perpendicular a un vector normal a P.Nótese que ` puede estar contenida en P.Una recta ` es perpendicular a un palno P, si y sólo si unvector de dirección de ` es paralelo a un vector normal deP.

Definiciones

Si ~v es un vector de dirección de la recta ` y ~n es un vectornormal al plano P, entonces

1 ` es paralela a P si y sólo si ~v · ~n = 02 ` es perpendicular a P si y sólo si ~v × ~n = ~0.


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Recta paralela a un plano


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Recta perpendicular a unplano


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Relaciones entre rectas yplanos

Al estudiar geometría notamos que dos planos dados o sonparalelos (coinciden o nunca se cortan), o se intersectan enuna recta.

Propiedad

Dos planos cuyos vectors normales no sean paralelos seintersectan en una recta.Esta recta recibe el nombre de recta de intersección de losplanos.


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Rectas en elespacio

Si P1, P2 son tales planos, con vectores normales ~n1 y ~n2respectivamente, entonces cualquier recta contenida en Pjdebe tener vector de dirección perpendicular a ~nj paraj = 1,2. Por tanto, un vector de dirección ~v de la recta deintersección de estos planos no paralelos debe serperpendicular a las normales a ambos planos, puesto queel producto cruz de dos vectores dados es un vectorperpendicular a cada uno de los vectores dados, entonces~v = ~n1 × ~n2 es un vector de dirección de la recta deintersección de dichos planos.


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Rectas en elespacio Propiedad

Si ~n1 es un vector normal al plano P1 y ~v2 es un vectornormal al plano P2, y si P1 y P2 se intersectan en una recta`, entonces ~v = ~n1 × ~n2 es un vector de dirección de `.Si se desea determinar `, entonces deberá obtenerseademás las coordenadas de un punto S en `.


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EjemploDeseamos obtener una ecuación paramétrica vectorial de larecta ` de intersección de los planos x + 2y − 6 = 0, z = 4.Un vector normal al plano x + 2y − 6 = 0 es ~n1 = (1,2,0), yun vector normal al plano z = 4 es ~n2 = (0,0,1), de donde,un vector de dirección ~v de ` es

~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 2 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = (2,−1,0)

Una solución particular del sistema de ecuaciones

x + 2y = 6 z = 4

es S(6,0,4), por lo que, una ecuación paramétrica vectorialde la recta ` es

` : (x , y , z) = (6,0,4) + λ(2,−1,0).


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Existen varias relaciones posibles entre las posicionesrelativas y las intersecciones comunes de tres planos en elespacio:

1 Si los tres planos son paralelos: entonces no existeintersección común a menos que los tres planoscoincidan, en cuyo caso la intersección común es todoel plano.

2 Si dos, pero no los tres, planos son paralelos entoncesno existe intersección común a menos que los dosplanos paralelos coincidan, en cuyo caso laintersección común es una recta.

3 Si no hay un par de planos paralelos, pero sus rectasde intersección (por pares) son paralelas, entonces noexiste intersección común, a menos que las rectas deintersección coincidan, en cuyo caso la interseccióncomún es una recta.


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4 Si no hay ningún par de planos paralelos y sus rectasde intersección no son paralelas, entonces los planosse intersectan en un único punto.En este caso, las coordenadas del punto se puedenobtener resolviendo tres ecuaciones linealessimultáneas, que representan a los planos.

Las intersecciones de un plano con los ejes decoordenadas resultan también útiles para trazar una gráficadel plano. Estas intersecciones tienen coordenadas de laforma (a,0,0), (0,b,0) y (0,0, c), respectivamente. Puestoque estas intersecciones son también los puntos donde lastrazas cortan a los ejes de coordenadas, se puedentambién emplear para trazar las gráficas de las trazas.


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Intersecciones de rectas yplanos

Dados una recta y un plano en el espacio hay tres posiblesconfiguraciones:

1 La recta es paralela al plano pero no lo intersecta.2 La recta es paralela al plano y está completamente

contenida en el plano.3 La recta intersecta al plano en un sólo punto.

Pero la recta es paralela al plano si y sólo si un vector dedirección de la recta es perpendicular a un vector normaldel plano.


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Rectas en elespacio Propiedad

Si ` no es paralela a P, entonces ` intersecta a P en unsólo punto.Si ~v es un vector de dirección de ` y ~n es un vector normala P esto sucede si ~v · ~n 6= 0.


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Ejemplo

Encuentre las coordenadas del punto S de intersección dela recta ` : x − 2 = −y − 1 = −z − 6 y el plano3x − 2y + 3z + 16 = 0.Notamos que ~v = (1,−1,−1) y ~n = (3,−2,3), así

~v · ~n = (1,−1,−1) · (3,−2,3) = 3 + 2− 3 = 2 6= 0

Por lo que ` no es paralela a P, de donde, se intersectaránen un único punto.Para obtener este punto, consideremos a ` como laintersección de los planos x − 2 = −y − 1 y x − 2 = −z − 6,despejando y y z en términos de x obtenemos x − 1 = −y ,x + 4 = −z o equivalentemente y = 1− x , z = −x − 4.


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Rectas en elespacio

Sustituyendo estos valores en la ecuaciónP : 3x − 2y + 3z + 16 = 0 obtenemos

0 = 3x − 2(1− x) + 3(−x − 4) + 16= 3x − 2 + 2x − 3x − 12 + 16 = 2x + 2

Por lo cual x = −1, sustituyendo en los valores de y y ztenemos y = 2, z = −3, ∴ S(−1,2,−3).Comprobación: S ∈ ` : −1− 2 = −2− 1 = 3− 6 y−3− 4− 9 + 16 = 0.


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F órmulas de distancia

Distancia de un punto a un plano

Si S es un punto y P es un plano, si T es cualquier puntosobre P, y ~n es un vector normal a P, entonces la distanciaque separa a S de P, que denotaremos d(S,P), es igual alvalor absoluto de la componente escalar de ~s −~t paralela a~n. Es decir

d(S,P) = |(~s −~t) · ~n|‖~n‖

.


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Rectas en elespacio

Para obtener una expresión cartesiana de d(S,P), nóteseque la ecuación cartesiana Ax + By + Cz + D = 0 de P sepuede escribir como (x , y , z) · (A,B,C) + d = 0; es decir,para cualquier punto T sobre P, se tiene~t · ~n + d = 0, o sea~t · ~n = −d . Tomando en cuenta esto, sea S(x1, y1, z1) ysustitúyanse estas coordenadas en la ecuación

d(S,P) =|(~s −~t) · ~n|‖~n‖

=|(x1, y1, z1) · (A,B,C) + d√

A2 + B2 + C2

=|Ax + By + Cz + D|√

A2 + B2 + C2


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Ejemplo

Deseamos encontrar el lugar geométrico de los puntosU(x , y , z) ∈ R3 que son equidistantes de los planos cuyasecuaciones son P1 : 2x + 2y − z − 1 = 0 yP2 : x − 2y + 2z + 1 = 0.Esto es L : {U(x , y , z);d(U,P1) = d(U,P2)}.Usando la fórmula de la distancia de un punto a un planotenemos:

|2x + 2y − z − 1|√22 + 22 + 12

=|x − 2y + 2z + 1|√

12 + (−2)2 + 22

de donde |2x + 2y − z − 1| = |x − 2y + 2z + 1| oequivalentemente: 2x + 2y − z − 1 = ±(x − 2y + 2z + 1)Por lo cual L = {(x , y , z) ∈ R3; x + 4y − 3z − 2 =0} ∪ {(x , y , z) ∈ R3;3x + z = 0}es decir, L es la unión de dos planos perpendiculares.


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Distancia de un punto a unarecta

La distancia de un punto S a una recta ` se define como lalongitud del segmento perpendicular a la recta que va de larecta al punto. Para calcular la distancia de S a` : ~u =~t + λ~v , λ ∈ R, que denotaremos d(S, `),procederemos de la siguiente forma:La distancia de S a un punto T en ` es ‖~s −~t‖, y que

d(S, `) = ‖~s −~t‖ sen θ

Pero, como demostramos anteriormente, para cualesquierdos vectores ~u, ~v ∈ R3 se tiene que ‖~u × ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖ sen θ.

Entonces, si ~v 6= ~0, ‖~u‖ sen θ =‖~u × ~v‖‖~v‖

Sustituyendo en

esta ecuación ~u = ~s −~t tenemos

d(S, `) =‖(~s −~t)× ~v‖

‖~v‖


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Ejemplo7,6,5 Calculemos la distancia que separa el punto S(7,6,5)

de la recta ` :x − 1

6=

y − 17

=z − 1

8.

Notamos que un punto T ∈ ` es T (1,1,1), y un vector dedirección ~v de ` es ~v = (6,7,8), de donde

~s −~t = (7,6,5)− (1,1,1) = (6,5,4)

Así

(~s −~t)× ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k6 5 46 7 8

∣∣∣∣∣∣ = (12,−24,12)

de donde ‖(~s −~t)× ~v‖ =√

122 + (−24)2 + 122 =√

864 y‖~v‖ =

√62 + 72 + 82 =

√149

Por lo que,

d(S, `) =

√864149

' 2.408

rectasyplanos r3

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