recuperação 9o. ano 2009
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Recuperaçãode Geometria
9º ano - Escola NovaProf. Andréa Thees
Teorema de Tales
Retas paralelas (r, s e t) Retas transversais (m e n) Segmentos proporcionais
EF
DE
BC
AB
EF
DF
BC
ACou ou
EF
BC
DE
AB
EF
BC
DF
ACou
É possível estabelecer outras proporções?
90 m
180 m
1. Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de 1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros, qual a altura da árvore?
2. Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas pelas transversais a e b. Descubra o valor de x.
3.
Exercícios
12185,1
1 x
x
2114420
)32(7)15(47
15
4
32
xx
xx
xx
6
25
256
4211420
x
x
xx
40
60
804090
18040203040
180
z
y
x
x
x
Teorema de Tales nos triângulos
Teorema de Tales nos triângulos
Teorema de Tales nos triângulos
Teorema de Tales nos triângulos
Valem as mesmas relações de proporção do Teorema de Tales, e além disso...
O que mais é proporcional?
CF
AC
BE
AB
Exercício4. Qual a medida de no
lago da figura?AB
245
120120
1
5120
15
75
Teorema da bissetriz interna
Teorema da bissetriz interna
NC
AM
BN
BA
ACAM
Traçamos CM // NA.Pelo Teorema de Tales,
Como o ΔACM é isósceles,
Logo,
NC
AC
BN
BA
Exercício5. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m.
Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o maior lado.
Teorema da bissetriz interna
27 m18 m
30 m
x 30 - x
xx 30
2718
)30.(1827 xx
xx 1830.1827
30.181827 xx
30.1845 x
122.63
2.1845
30.18
x
x
x
Resposta: 12 m e 18 m.
)(2
3
2
3
18
27
12
18V
Conferindo:
Teorema da bissetriz externa
Teorema da bissetriz externa
Exercício6. Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm.
Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a bissetriz externa do ângulo Â.
BC
CA
CD
BA
BD
ou
b
n
c
m
Teorema da bissetriz externa
5 cm4 cm
6 cmA B
C
x
46
5 xx
)5(46 xx
2046 xx
202 x
10x
Resposta: 10 m.
)(4
10
6
15
4
10
6
510V
Conferindo:
Figuras e polígonos semelhantes
Figuras semelhantes têm formas iguais e tamanhos diferentes.
Essas figuras são semelhantes? Por que?
Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).
Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).
Exercício7. As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm
aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm. Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos perímetros das duas flores?
3
5k k
p
P
P
p
3
5
15
25
2
2
252
152
Triângulos semelhantesTeorema fundamental de semelhançaToda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.
Exercício8. Determine x e y, sendo .MNBC //
6
122
12330
12
10
x
x
xx
xx
24
12
2
1
12
12
6
y
y
y
Casos de semelhança
Caso AA: (Ângulo – Ângulo)
Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado)
Caso LLL: (Lado – Lado – Lado)
Exercício9. Ver livro página .......
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo Maior ? Triângulo Médio ? Triângulo Menor ?
Maior lado ?
Lado médio ?
Menor lado?
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC
Hipotenusa aCatetão bCatetinho c
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC
Hipotenusa aCatetão bCatetinho c
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC
Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC
Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
ambmabbm
b
b
a 2..
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
ancnaccn
c
c
a 2..
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
mnhnmhhn
h
h
m 2..
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
cbhah
b
c
a..
Relações métricas - RESUMO
Teorema de Pitágoras
Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa.
Altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos.
O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.
Lembre-se que cateto, hipotenusa, altura e projeções são medidas!
Exercícios10. Determine as incógnitas indicadas na figura:
11. Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível. Calcule o comprimento da estrada que será construída.
AC BC
80
100
(3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km.a . h = b . c => 100.h = 80.60Logo h = 48A estrada medirá 48 km.
TrigonometriaEla está em todo lugar!
Trigonometria – seno, cosseno e tangente
Ângulo θ -> ângulo theta (letra do alfabeto grego)
Exercícios14. O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas.
...923,013
12ˆ h
cobsen
...384,013
5ˆcos h
cab
...384,013
5ˆ
h
cocsen
...923,013
12ˆcos
h
cac
4,25
12ˆ ca
cobtg ...416,0
12
5ˆ
ca
coctg
Exercícios15. Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e
determine a medida dos ângulos em graus.
16. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m é de 200 m.
º67ˆ...923,0ˆ bbsen
º67ˆ...384,0ˆcos bb
º67ˆ4,2ˆ bbtg º23ˆc
º10ˆ18,0200
36ˆ
ca
cotg
17. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta?
18. Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de 76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada?
4
5,0.88
5,0
8º30
x
x
x
xsen
Resposta: O foguete está a 4 km de altura.
1616,1
242,0.8,4
8,4242,0
8,4º76cos
x
x
x
x
Resposta: Aproximadamente 1 m.
6,5
07,0.8080
07,0
80º4
x
x
x
xtg
2,52
48,3.1515
48,3
15º74
x
x
x
xtg
Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km.
Resposta: O ponta A está a 52,2 m do solo.
19.
20.
x
Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60°
x sen x cos x tg x
30°
45°
60°
2
1
2
2
2
3
2
3
3
3
1
32
1
2
2
21. De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre?
22. Qual a altura do prédio da figura ao lado?
Exercícios
xh
x
hx
htg
T
T
T
3
3
º60
x
20 + x3,2710310)13(
)13(.)13(
20
20)13(
203
320
x
x
xx
xx
3,473,272020 xhT
30602
160
º30
P
P
P
h
h
htg
Resposta: A altura da torre é 47,3 maproximadamente.
Resposta: A altura do prédio é 30 m.
Circunferência e arcos
rCdCd
C..2.
dCd
C.14,3...14,3 rd .2 ...14,3
a
r
a
C º3602º360
Relações métricas na circunferência
Exercícios23. O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big
Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres, na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são enormes e medem dois metros e setenta centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta centímetros, o dos minutos. Qual é a distância que a ponta de cada ponteiro percorre num intervalo de tempo de 6 horas?
4,5
7,2..2
.2
H
H
HH
C
C
rC
6,8
3,4..2
.2
M
M
MM
C
C
rC
5,87,22
4,5
HP 1626,516.6,8 MP
Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos.
Exercícios24. Calcule o valor de x nas figuras.
4
4
334
3).1().14(
2
22
x
xx
xxxx
xxxx
2
80)2).(8(
0166
032122
8.4)122(
)44.(4)12.(
2
2
x
xxx
xx
xx
xx
xxx
4
80)4).(8(
0324
06482
64)82(
8)8.(
2
2
2
x
xxx
xx
xx
xx
xxx
Relações métricas polígonos regulares
Apótema Lado
Triângulo
Quadrado
Hexágono
23
ra
224
ra
326
ra
33 r
24 r
r6
Exercícios25. Na figura temos um quadrado inscrito e outro circunscrito a uma
circunferência de raio 5 cm. Determine:
a medida do lado do quadrado inscrito;
a medida do lado do quadrado circunscrito;
o apótema do quadrado inscrito;
o apótema do quadrado circunscrito.
254
104 L
22
54 a
54 A
10 cm
Área das figuras planas
Polígono regular: S = p.a
Exercícioso lado do pentágono regular mede 8 cm e seu apótema mede 2,8 cm; as diagonais do losango medem 12 e 18 cm; o lado do triângulo isósceles mede 5 cm e sua base mede 6; os lados do retângulo e do paralelogramo medem 3 e 10 cm; o ângulo agudo do paralelogramo mede 45°; e o raio da circunferência mede 3 cm.
26. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que:
Reptiles – M.C. Escher
2568,2.20
20
405.82
cmS
p
p
1- Pentágono regular
2- Losango
21082
12.18cmS
3- Triângulo isósceles
2
222
122
4.6
453
cmS
hh
4- Retângulo2303.10 cmS
5- Paralelogramo
2
22222
2
230
2
23.10
2
23
2
33
cmS
xxxx
6- Círculo22 93. cmS
27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados?
28. Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja diagonal mede 12 cm?
04,1134
4.36.14,3)26.(14,3.
4
1.
º360
º90 22 rSSC
56,124.14,3222 rSC
26
212
2
d
362
26.26
2
.
hbS ABD
04,773604,113 ABDSCT SSS
Resposta: 12,56 m2
Resposta: 77,04 m2
FIM
Feliz 2010!