referát o clánku: goguen, j.a., ``the logic of inexact concepts

Referát o článku: Goguen, J.A., “The logic of inexact concepts”.Synthese 19(3/4):325–373, 1969

Jan Konečný (UPOL)

Palacky University, Olomouc, Czech Republic

!

!

!

POSSIBILISTIC INFORMATION:

A Tutorial

George J. Klir

State University of New York (SUNY)

Binghamton, New York 13902, USA

[email protected]

prepared for International Centre for Information and Uncertainty, Palacky University, Olomouc!

!

!

!

!

!

Konečný J. (DAMOL) Goguen: The logic of inexact concepts 16. března 2012 1 / 19

J. A. Goguen – The Logic of Inexact Concepts

I IntroductionII A paradoxIII Resolution of the paradoxIV Representing inexact conceptsV Algebra of inexact predicatesVI Optimization and the truth setVII Implication and negationVIII The logic of inexact concepts


I. Introduction

hard sciences vs. přirozený jazyknavrhuje metodu, jak konstruovat a studovat modely tak, jak používáme slova.podobné teorie – pravděpodobnost a intuicionistická logika

We approach philosophy as an applied mathematician might approachmagnetohydrodynamics or operations research: we do not assume there is someunique best theory, much less that we know it. We give general (but vague) methodfor modelling, clarifying and criticizing sufficiently well-codified ‘language games’.The models are subject to the process of experimental verification and subsequentmodification usual in specific scientific research.


II. ParadoxParadox sorites (resp. falakros): „Pokud přidám jeden kámen na malou hromadu, hromadabude pořád malá. Hromada o jednom kameni je malá. Takže (indukcí) každá hromada jemalá.“

Matematická forma – malý muž:X – množina mužů; S ⊆ X – množina malých mužů; h(x) – výška muže x ve stopách.Ukážeme, že S = X, tedy všichni muži jsou malí.Tři předpoklady

S 6= ∅Pro x ∈ S, y ∈ X t.ž. 0 ≤ h(y)− h(x) ≤ 10−3, pak y ∈ S (H)Pro x ∈ S, y ∈ X t.ž. h(y) ≤ h(x) pak y ∈ S

Mějme x ∈ S, y ∈ X. Opakovanou aplikací modus ponens ukážeme, že y ∈ S

x1 = x ∈ Snajdeme x2 ∈ X t.ž. h(x2)− h(x1) = 10−3, a tedy x2 ∈ Snajdeme x3 ∈ X t.ž. h(x3)− h(x2) = 10−3, a tedy x3 ∈ S. . .Až k xk, pro které platí h(xk) ≥ h(y)


It seems, that we must abadon some cruical part of traditional logic, modus ponens,or else the Law of the Excluded Middle; or more precisely, that we are forced toabandon the idea that these parts of traditional logic apply to inexact concepts suchas ‘short’.(. . . )The conclusion we wish to draw from all this is merely that representing concepts bysets and deduction by methods of traditional logic does not yield an adequate modelof our customary use of inexact concepts and deductions.(. . . )We propose a different representation of ’short’ which avoids the paradox byrendering the deduction on which it is based invalid. In fact, we suggest a measureof validity for the deduction which actually decreases as the number of applicationsof modus ponens increases.


III. Resolution of the paradoxJ – jednotkový intervalDef. J-množina (J-set) je funkce S : X → JDef. J-relace je funkce R : D → J , kde D je nějaká podmnožina X × Y

Měli jsme

H(x, y) = [x ∈ S ⇒ y ∈ S] = 1 pokud 0 ≤ h(y)− h(x) ≤ 10−3

Když je S fuzzy, (H) by mělo poskytovat pravdivostní hodnotou S(y) z pravdivostníhodnoty S(x).Např.

H(x, y) =S(y)

S(x)=

f(h(y))

f(h(x))

Dostáváme základní deduktivní vztah:

S(y) = H(x, y) · S(x)

Vezměme x, t.ž. S(x) = 1. Stejně jako předtím můžeme zkonstruovat posloupnostx1, x2, . . . , xN , t.ž. (xi, xi+1) ∈ D pro 1 ≤ i < n.

S(y) =

n∏i=2

H(xi−1, xi)Konečný J. (DAMOL) Goguen: The logic of inexact concepts 16. března 2012 6 / 19

We certainly do not want to claim there is some absolute J-set representing ‘short’.We expect variation with user and context. But we do show that any not identicallyzero function which is continuous decreasing and asymptotic to zero yields arepresentation of ‘short’ which avoids the paradox. It appears that many argumentsabout fuzzy sets to not depend on particular values of function, but only on suchgeneral properties.(. . . )We believe that this phenomenon corresponds to our feeling that the deductiveprocess of Section II is ‘fairly valid’ for x and y of similar height, but becomes lessand less valid as the number of applications of modus ponens incresases. In fact, thevalidity of the deductive process is measured by H(x, y).(. . . )J-set theory is very different from probability theory, even thought both usefunctions with values in J . We are not concerned with the likelihood that a man isshort, after many trials; we are concerned with the shortness of one observation. Thevariation of the function in J measures the inherent vagueness or ambiguity of theword; it makes possible ‘fuzzy boundaries’ for concepts.


IV. Representing inexact concepts

věta o reprezentaciparadoxybohatost J-množin

Despise these arguments and promises, one must not expect too much of fuzzy setsand logic. Ordinary set theory and logic have been of greatest importance inproviding a convenient language for mathematical thought. They have not made theexercise of creative intelligence unnecessary either in mathematics or its applications.Similarly we should not expect more of fuzzy sets and logic than that they facilitatethe development and study of models in the inexact sciences, and that they be aninteresting area for pure mathematical investigation.


Definice průniku a sjednocení J-množin

A(z) = 0.7, B(z) = 0.6Vlastnosti průniku a sjednocení J-množin (idempotence, komutativita, asociativita,absorpce, distributivita, prázdná množina).

Zatímco zákon vyloučeného třetího nefunguje a podmnožiny nemají komplementy.


Notice how different situation really is from probability theory. Certainly all theproperties of Theorem 1 are shared by events in a probability space; but beforethought that J-sets looked more like density functions. And furthermore, there is norule in probability anything like (A∩B)(x) = A(x)∧B(x); the allowable operationsupon distributions do not include minimum, since A ∩B cannot in general havetotal probability one.


V. Algebra of inexact predicatesDef. Fuzzy množina je funkce A : X → L.

Max Black rozlišuje tři druhy nepřesnosti

obecnost (generality) – slovo se aplikuje na různé situace,nejednoznačnost (ambiguity) – popisuje více než jeden rozpoznatelný pojem,vágnost (vagueness) – nejsou přesné hranice pojmu.

Všechny tyto druhy nepřesnosti jsou reprezentovány fuzzy množinami:obecnost – když je univerzum nebo část univerza, kde stupeň příslušnosti velká, není jenjeden bod;nejednoznačnost – když je vice než jedno lokální maximum funkce příslušnosti;vágnost – funkce příslušnosti nabírá i jiných hodnot než 0,1.

We use the word fuzzy in such a way as to include both ambiguity and vagueness,which is any case slide graually into each other; and we assume generality alreadytaken for granted.


Def. n-ární predikát na X je funkce P : Xn → L pro nějakou částečně uspořádanoumnožinu L.

Příklad: X - množina mužů, příslušnost do J-množiny S malých mužů je unární predikát.„vypadá jako“ (podobnost dvou mužů) je binární J-predikát R na X.Pokud L má binární operaci ∗ získáme binární operaci ~ nad unárními L-predikáty jako

(P ~Q)(x) = P (x) ∗Q(x)

~ má stejné vlastnosti jako ∗;Proto je vhodnější značit operace nad unárními L-predikáty přímo ∗ namísto ~.

Theorem: The set of all unary L-predicates over a fixed universe admits the sameoperations L does, and these satisfy the same equations as in L.


Příklad: Predikát P (y): „být malý a vypadat jako x“ . . .S(y) ∧R(x, y)

It might actually be more desirable to model ‘and’ by multiplication on J , since thenboth the shortness of y and his similarity to x efect the truth of P (y), rather thanjust the smallest of these two when ‘and’ is modelled by ∧. In this sense, · is acontext operation allowing each J-predicates to take account of the context set bythe other.

Pokud R a S jsou J-relace na X, složení R ◦ S je definováno

R ◦ S(x, y) =∨z∈X

S(x, z) ·R(z, y)

kde · je násobení v J .

Příklad:Predikát K(y): „vypadat jako muž, který žije blízko x“Predikát „žije blízko“ : pomocí J-relace N(x, y) = f(d(x, y)), kde d(x, y) je vzdálenostmezi x a y – domovy x a y. f je nějaká rozumné klesající zobrazení.Predikát K(y) můžeme modelovat relací N ◦R(x, y) (pro fixní x)

Vlastnosti skládání; Definice symetrie, reflexivity, tranzitivityKonečný J. (DAMOL) Goguen: The logic of inexact concepts 16. března 2012 13 / 19

Optimalization anA the truth set

Optimalizační úlohy jako argument pro nelineární struktury.Úplný distributivní svaz a Booleovská algebra

Pokud chceme mít sjednocení a průniky splňující základní zákony musí být množinapravdivostních hodnot svaz.

Pokud chceme mít sjednocení a průniky nekonečných kolekcí, musí to být úplný svaz.

Pokud chceme úplný distributivní zákon, musí to být úplný distributivní svaz.

Intuicionistická implikace → charakterizovaná ajdunkcí

a→ b ≥ c p.k. a ∧ c ≤ b

Pomocí úplnsti a uplné distributivity

a→ b =∨

c | a ∧ c ≤ b


U rozřešení paradoxu se používalo násobení pri aplikaci modus ponensKonkrétně [P ] · [R⇒ Q] = [Q] když [P ] ≥ [Q], t.j.

[P ⇒ Q] = [Q]/[P ]předp. [P ] ≥ [Q]

Tento způsob ohodnocování implikace měl tu vlastnost, že platnost řetězu téměř platnýchdedukcí klesala, jak rostla délka řetězu.

Implikace v CLD tuto vlastnost ale nemá. . . platnost by zůstávala konstantní.

Užitečnost násobení v J navádí k zavedení nové binární operace ∗ nad L. Musí býtvztažena k implikaci nerovností

a ∗ (a→ b) ≤ b

We want algebraic formalism for the logic of inexact concepts similar to that cdl’sgive intuicionistic logic. This formalism must include the properties of implicationsused in Section III, and ought to include cdl’s and Boolean algebras as special cases.Theorem 3 suggests we do this through the truth set: it should have the samestructure as the algebra of inexact predicates. Implication in this system mustbecome division for the truth set J when [P ] ≥ [Q]; and we would also like a generaldefinition which omits this condition.


All this is possible.

Def. closg je úplný svaz s dodatečnou asociativní binární operací ∗ t.ž.

a ∗ I = I ∗ a = a a ∗∨i

bi =∨i

a ∗ bi

pro všechna a, biDef. Nechť L je closg a a, b ∈ L. Pak pravé residuum a→ b je

∨{x | a ∗ x ≤ b}. (Duálně

levé residuum)

closg = complete lattice ordered semigroup

It is interesting, but less simple, to consider non-conplete residuated partially orderedsemigroups, in which for each a, b is an element a→ b satisfying the adjointnesscondition. This generalizes Brouwerian semilattices.

Příklady: J , Jn, 2J

closg’s neposkytují ten nejobecnější zajímavý formalismus; možnostiresiduované svazově uspořádané pologrupy (s vhodnými dodatečnými podmínkami)třídy, které nějsou množiny (třída všech J-množin)kategorie jako pravdivostní hodnoty, topologické prostory, posety . . .


VII. Implication and negationdedukce závěru Q z dat P je platná p.k. tvrzení P ⇒ Q je platné.residuum je přirozená volba pro implikaci v closg.přirozenost na příkladualgebraické vlastnostipseudo-komplement

U J-množin, negace 1− a se dost liší od pseudo-komplementu, který je

a =

{1 pokud a = 0

0 jinak

Tato operace je je anti-isomorfismus.

Pojem komplementu ve fuzzy logice je poněkud nejednoznačný. Každý closg mápseudo-komplement; některé mají více přijatelných operací komplementu.

Vyhovující možnost je uvažovat closg s negací, dodatečnou operací N : L→ L, kteráobrací uspořádání v L, a může splňovat nějaké dodatečné podmínky.


The Law of the Excluded Middle will probably fail in all interesting cases.(. . . )Thus any reasoning in everyday life which depends on the Law of Excluded Middle(’Either you’re with us or you’re not’) is of extremely doubtful validity, and anyreasoning depending on contradiction (a′′ = a) is at least somewhat suspect.

It would be difficult to overestimate the practical importance of this observation.How often have politicians and used-car salesmen used twisted logic to win ourconsent to their doubtful conclusions?


The Logic of Inexact conceptsJazyk:

symboly A,B,C . . .log. spojky ∧,∨,¬,⇒, někdy ∗

Pravdivostní hodnoty z clog s negací N .

Pravidla:

[A ∧B] = [A] ∧ [B] (1)[A ∨B] = [A] ∨ [B] (2)[A⇒ B] = [A]→ [B] (3)

[¬A] = N([A]) (4)

Kvantifikátory

[∃xP ] =∨x∈X

[P (x)] [∃xP ] = N(∏x∈X

N([P (x)]) (5)

[∀xP ] =∧x∈X

P (x) [∀xP ] =∏x∈X

[P (x)] (6)


referát o clánku: goguen, j.a., ``the logic of inexact concepts

Documents