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Práctica #1:Ley de la Reflexión y Ley de la Refracción

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Práctica #1Ley de la Reflexión y Ley de la Refracción.

Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Oscilaciones y ÓpticaProf. Jesús Manuel Picazo Rojas.

1. Objetivos

Comprobar que en un espejo plano se cumple la ley de la Reflexión. Calcular el índice de refracción de un cuerpo acrílico, aplicando a Ley

de Snell. Calcular el índice de refracción de un prisma de 90°, aplicando el

fenómeno de la reflexión total interna.

2. Introducción.

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θi 𝜃𝑟

h1 h2

d

d-xx

Fig. 1 Diagrama de la Ley de Reflexión.

2.1. Ley de la Reflexión.

Si un rayo de luz incide en una superficie lisa podemos decir que hay reflexión especular; pero si la reflexión no es un conjunto paralelo se le conoce como reflexión difusa.

Cuando un rayo de luz incide sobre una superficie lisa, el ángulo incidente será igual al ángulo de reflexión (Fig1); y a esto se le conoce como la Ley de la Reflexión.

l 1 l 2


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Para comprobar esta ley, lo primero que haremos será definir el tiempo, ya que ocuparemos el principio de Fermat y este nos dice que:

dtdx

=0(1)

Para poder obtener el tiempo total del sistema (Fig1), será la suma del tiempo del rayo que incide más el tiempo del rayo que se refleja:

tT=t 1+t 2(2)

Sabemos que el tiempo lo podemos calcular mediante la siguiente fórmula:

t=dv(3)

Entonces de la ecuación 3 tenemos que:

t 1=l1vt 2=

l2v

Para poder calcular l1 y l2 (Fig.1, utilizaremos el teorema de Pitágoras por lo que la ecuación 2, nos queda de la siguiente manera:

tT=√ x2+h12v

+√(d−x )2+h2

2

v

Ahora aplicaremos el principio de Fermat (ecuación 1), a la ecuación 2:

d tTdx

=d

√x2+h12v

+√(d−x)2+h2

2

vdx

(4)

Al hacer la derivada del tiempo total, la ecuación 4 queda de la siguiente manera:

1v[( x2+h12)¿¿ 12−( (d−x )2+h2

2 )12 (d−x )]=0¿

x

(x2+h12)12

−(d−x )

((d−x )2+h22)12

=0(5)

Por medio del teorema de Pitágoras la ecuación 5 queda así:

xl1−

(d−x)l2

=0

xl1=

(d−x)l2

Como se ve en la fig. 1, tenemos dos triángulos rectángulos uno para el rayo que incide y otro para el rayo que se refleja. Entonces podemos decir que:

sinθi=xl1;sinθr=

(d−x)l2

sin θi=sinθ r ;θi=θ r

0≤θi ,θ r≤90 °

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2.2. Ley de la Refracción

La segunda ley que rige uno de los comportamientos básico de la luz, es la ley de la refracción, como ya se mencionó, si la luz incide contra un medio especular el rayo se refleja, y se comporta según la ya mencionada ley de la refracción, sin embargo prácticamente, cuando un rayo de luz incide sobre un material, no solo se refleja, si no que una parte del rayo de luz incidente se refleja y la otra se refracta a través del medio incidente.

Este resultado fue descubierto experimentalmente por primera vez por Willebrod Snell en 1621, y posteriormente descubierto independientemente por Rene Descartes, un matemático francés, la ley de la refracción, es también conocida como ley de la refracción de Snell, o simplemente ley de Snell.

La expresión matemática de esta ley puede estar en función de los índices de refracción, o en función de las velocidades de la luz a través de los distintos medios, siendo estas:

1v1sin θ1=¿ 1

v2sinθ2(5)¿

En función de la velocidad de la luz a través del medio, o:

n1 sin θ1=¿n2sin θ2(6)¿

En función del índice de refracción.

El índice de refracción es una propiedad de los materiales; esto implica que varía de un material a otro, y se define como la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz a través del material; se denota a través de la letra n.

n= cv

(7 )

La figura 2, ilustra gráficamente la ley de la refracción.

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θ1

Normal

Mat 1

Mat 2

θ2

Fig. 2 Ley de Refracción


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2.3. Reflexión total interna.

2.3. Reflexión total interna.

2.4. Mínimos cuadrados.

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x y y se relacionan a través de una ecuación lineal:

y=mx+b (8)

Donde las constantes b (ordenada en el origen) y m (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados. Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), ..., (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados. El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros m y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales.

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θi θi θi

θt=90 °θt θt

θc θc

Fig. 3 Diagrama de la reflexión total interna

Utilizando la ley de Snell que nos dice:

ni sin θi=nt sin θt

Pero como θt=90°, tenemos entonces que:

ni sin θc=nt sin 90 °ni sin θc=nt ;sin θc=ntni

Donde: ni>nt

La reflexión total interna ocurre cuando un rayo de luz pasa de un medio con mayor índice de refracción a uno con menor índice de refracción.

Existe un ángulo crítico (Fig2), en el cual el rayo refractado se propaga paralelamente a la superficie. Entonces para ángulos mayores a θt los rayos se reflejan totalmente en la superficie de incidencia, y a este fenómeno se le conoce como reflexión total interna.


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y i= y+d id i= yi− yd i= yi−(mx i+b )d i2=[ y¿¿i−(m xi+b)]

2¿

∂Σd i2

∂m= ∂∂m

∑i=1

n

¿¿

∑i=1

n

{2 [ y i−(m x i+b ) ] (−x i )}=0

∑i=1

n

x i y i=m∑i=1

n

xi2+b∑

i=1

n

x i

∂Σd i2

∂b= ∂∂m

∑i=1

n

¿¿

∑i=1

n

{2 [ y i−(m x i+b ) ] (−1 ) }=0

∑i=1

n

yi=m∑i=1

n

x i+bnΔm=|∑i=1n

x i y i ∑i=1

n

x i

∑i=1

n

y i n |Δm=n∑

i=1

n

x i y i−∑i=1

n

y i∑i=1

n

x i

Δ b=|∑i=1n

xi2 ∑

i=1

n

xi y i

∑i=1

n

x i ∑i=1

n

y i |Δ b=∑

i=1

n

x i2∑i=1

n

y i−∑i=1

n

x i∑i=1

n

x i y i

Δ=|∑i=1n

x i2 ∑

i=1

n

x i

∑i=1

n

x i n |Δ=n∑i=1n x i2−∑i=1

n

x i2

m= ΔmΔ

=n∑

i

n

x i y i−∑i

n

y i∑i

n

x i

n∑i

n

x i2−∑

i

n

x i2

(9)

b= ΔbΔ

=∑i

n

x i2∑i

n

y i−∑i

n

x i∑i

n

x i yi

n∑i

n

x i2−∑

i

n

x i2

(10)

Con las ecuaciones 9 y 10 obtenidas de este desarrollo es posible obtener

la pendiente m y la ordenada al origen b.

3. Desarrollo.

4. Conclusiones.

En la práctica realizamos distintos experimentos que nos permitieron

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Fig. 4 Gráfica ajustada por mínimos cuadrados

Fig. 5 Métodos de mínimos cuadrados


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observar el comportamiento de un rayo de luz bajo distintos experimentos que nos ayudaron a reafirmar los conocimientos adquiridos en las clases teóricas sobre la ley de reflexión y refracción, además de que fue un excelente complemento en el sentido de que además de la reafirmación teórica, manejamos equipo practico, y tuvimos acercamiento con otros interesantes dispositivos como las lentes.

Para finalizar, los experimentos nos mostraron que ambas leyes se cumplen prácticamente, y que es importante tener precisión en la calibración de los dispositivos, ya que aunque las leyes son muy acercadas a la realidad, hubo un pequeño margen de error atribuido a los errores experimentales, aunque estos pueden ser tomados en cuanto en los resultados, utilizando métodos como el método de mínimos cuadrados.

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