registros de representaÇÃo semiÓtica e atividades de
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REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E ATIVIDADES DE
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EMPREENDIDAS E RELATADAS POR PROFESSORES PARTICIPANTES DO PDE: O QUE SE
REVELA?
RECORDS OF SEMIOTIC REPRESENTATION AND MATHEMATICAL RESEARCH
ACTIVITIES EMPLOYED AND REPORTED BY TEACHERS PARTICIPATING IN THE PDE:
WHAT IS REVEALED?
Paulo Wichnoski Doutorando em Educação em Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual do Oeste do Paraná [email protected] Tânia Stella Bassoi Doutora em Educação Universidade Estadual do Oeste do Paraná [email protected]
PAULO WICHNOSKI E TÂNIA STELLA BASSOI
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Resumo
De natureza qualitativa, a pesquisa teve o objetivo de compreender o que se revela sobre a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica e atividades de Investigação Matemática,
empreendidas e relatadas por professores participantes do PDE. Articulados em três categorias,
os dados revelaram generalidades sobre os registros semióticos mobilizados; sobre as
coordenações das representações dos objetos e sobre a congruência e a não congruência
semântica. As atividades desenvolvidas em face das tarefas investigativas se mostraram mais
auspiciosas à mobilização da representação dos objetos matemáticos nos diferentes Registros
de Representação Semiótica do que as atividades desenvolvidas em face das tarefas
exploratórias e; contribuíram para desenvolver a forma operatória e predicativa do
conhecimento. Isso sinaliza para o cuidado de não limitar a mobilização de alguns registros em
face das tarefas ou da postura do professor em sala de aula.
Palavras-chave: Didática da Matemática. Investigação Matemática. Registros de
Representação Semiótica.
Abstract
Of qualitative nature, the research had to understand what is revealed about the Theory of
Semiotic Representation Records and Mathematical Research activities, undertaken and
reported by teachers participating in the PDE. Articulated in three categories, the data revealed
generalities about the mobilized semiotic records; on the representations of object coordinates
and on semantic congruence and non-congruence semantics. The activities developed in the
face of the investigative tasks were more auspicious to the mobilization of the representation of
the mathematical objects in the different Registers of Semiotic Representation than the activities
developed in the face of the exploratory tasks; contributed to develop the operative and
predicative form of knowledge. This signals to the care not to limit the mobilization of some
records before the tasks or the posture of the teacher in the classroom.
Keywords: Didactics of Mathematics. Mathematical Research. Registers of Semiotic
Representation.
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1 INTRODUÇÃO
O ensino de Matemática é a principal preocupação entre aqueles que pesquisam em
Educação Matemática, dado que ele se constitui o próprio objeto de estudo da área. Diversos
são os esforços para compreender como ele ocorre, quais as variáveis envolvidas, qual a sua
relação com a aprendizagem, entre outras questões, que se dão de modo amplo em torno da
Didática da Matemática.
A Epistemologia, de modo geral, preocupa-se com a relação existente entre sujeito e
objeto na construção do conhecimento. Em analogia, sendo o objeto um objeto matemático e o
sujeito um sujeito aluno, a pergunta que se coloca é: como se dá a relação entre o sujeito (aluno)
e o objeto (matemática) na construção do saber matemático (conhecimento)? A esta relação
podemos chamar de processo de ensino e aprendizagem e, sobre ela, debruçam-se as teorias
cognitivistas. Entendidos ao longo do tempo como processos cognitivos e sociais, o ensino e a
aprendizagem têm recebido contribuições de outras áreas como a Psicologia, a Antropologia, a
Filosofia, a Linguística e a Sociologia, não sendo redutível ao domínio clássico destas.
Parece consensual que a construção do conhecimento, seja ele matemático ou não, não se
dá nas mesmas circunstâncias, nem segundo os mesmos processos cognitivos. Por exemplo, a
geometria, a álgebra ou as probabilidades não tem a mesma gênese e nem a mesma organização,
logo, o ensino e aprendizagem desses conceitos mobilizará diferentes estruturas, situações e
formas de organização e representação do pensamento.
Segundo D´Amore (2007) a aprendizagem é um conjunto de modificações de
comportamento balizado por diversos aspectos, tais como: os conhecimentos prévios, as
situações (tarefas) propostas e as diferentes linguagens e formas de representações. Desse
modo, é imprescindível compreender quais são as influências desses aspectos no processo de
ensino e aprendizagem, papel que se propunha à didática. Quando particularizamos estes
aspectos ao ensino e aprendizagem da Matemática, este papel é relegado à Didática da
Matemática.
No Brasil, a Didática da Matemática têm recebido significativas contribuições da Didática
da Matemática francesa e das suas diferentes teorias, dentre elas, a Teoria da Transposição
Didática (YVES CHEVALLARD, 1991), das Situações Didáticas e do Contrato Didático
(GUY BROUSSEAU, 1986), da Engenharia Didática (MICHÈLE ARTIGUE, 1998), da
Dialética-Ferramenta-Objeto (REGINE DOUADY, 1986), da Teoria dos Campos Conceituais
(GERARD VERGNAUD, 1990) e da Teoria dos Registros de Representação Semiótica
(RAYMOND DUVAL, 1995).
Raymond Duval, filósofo e psicólogo, busca na psicologia cognitivista amparos para
desenvolver seus trabalhos desde os anos de 1970. No ano de 1995 em sua obra Sémiosis et
Pensée Humaine, trouxe significativa contribuição para a Educação Matemática ao tematizar a
influência das representações dos objetos matemáticos no processo de ensino e aprendizagem
de Matemática e desenvolver a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Segundo
Duval, em entrevista a Freitas e Rezende (2013), os objetos matemáticos são unicamente
acessíveis por meio da produção de representações, de modo que a atividade matemática
repousa, fundamentalmente, nesse caráter semiótico, implicando na concepção de que a
conceituação, ao contrário do que propunha Piaget, ocorre a partir da linguagem e não de
esquemas de ação. Nas palavras de Duval
A matemática é a única disciplina em que se trabalha exclusivamente com
representações semióticas, haja vista que não existe outro modelo de acesso aos
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objetos matemáticos. Isso põe a matemática em uma situação epistemológica que é
totalmente diferente da das outras disciplinas científicas. O conhecimento matemático
não se fundamenta em abstração, mas na mobilização de diferentes sistemas
semióticos que são unicamente utilizados para preencher a função de tratamento, e
não a função de comunicação (DUVAL, 2016, p.17).
Em face disso, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica busca configurar o
ensino e aprendizagem da Matemática num cenário de mobilização da representação de um
mesmo objeto em diferentes registros (pelo menos dois), sejam quais forem as situações
didáticas propostas. As situações didáticas para o ensino e aprendizagem da Matemática têm
sido amplamente discutidas e apoiadas nas tendências em Educação Matemática, dentre elas, a
Investigação Matemática. Baseada no paradigma investigativo, esta metodologia defende que
o ensino e a aprendizagem da Matemática ocorram por meio de situações (tarefas) que permitam
aproximar a Matemática escolar da Matemática pura.
Conforme já dissemos, Segundo Duval (1995), o acesso aos objetos matemáticos é
possível, exclusivamente, pela representação semiótica destes e, portanto, qualquer atividade
de matemática é propícia e fará uso dos registros semióticos, não sendo uma característica
restrita às atividades de Investigação Matemática. Todavia, considerando os diferentes tipos de
tarefas matemáticas – exercícios de reconhecimento, exercícios algorítmicos, problemas de
aplicação, problemas de pesquisa aberta e situações problema (BUTTS, 1997) – e assumindo
que elas apresentam diferentes epistemologias, diferentes bases estruturais e consequentemente
diferentes implicações metodológicas durante as atividades, há razões para supor que os
registros semióticos tem a possibilidade de se manifestarem em maior ou menor grau,
dependendo do tipo da tarefa que dispara a atividade prática.
Dessa premissa e considerando a Teoria dos Registros de Representação Semiótica
enquanto um conjunto de ideias que fornece alguns princípios de base para o estudo do processo
de ensino e aprendizagem da Matemática e, a Investigação Matemática enquanto teoria que
possui situações didáticas (tarefas) específicas, emergiu a inquietação de compreender como
ela (a Investigação Matemática) contribui para o desenvolvimento e a aprendizagem das
habilidades relacionadas à Matemática, dentro do quadro teórico de Duval (1995). Em razão
disso, algumas perguntas se colocaram como propulsoras de inquietações, dentre elas: quais
aspectos próprios da Investigação Matemática favorecem o surgimento de diferentes registros?
Quais elementos da Teoria dos Registros de Representação Semiótica são potencializados em
atividades de Investigação Matemática? Qual a relação entre a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica e a Investigação Matemática?
Dessas inquietações fomos conduzidos a buscar por um lócus de manifestação do
fenômeno interrogado e o itinerário de pesquisa traçado até o momento pelo primeiro autor
deste artigo, possibilitou adentrarmos a seara das produções1 dos professores participantes do
PDE2 que trabalharam com a Investigação Matemática durante a formação. Desse modo, abriu-
se a possibilidade de encontrar atividades empreendidas sob essa perspectiva e nelas buscar
1 Trabalho produzido pelos professores participantes do PDE compreendido em Produção Didático-pedagógica
enquanto organização de um material didático com o objetivo de implementação na escola e Artigo Final enquanto
atividade de divulgação da implementação. 2 O PDE é um Programa de Capacitação Continuada implantado como uma política educacional de caráter
permanente, que prevê o ingresso anual de professores da Rede Pública Estadual de Ensino para a participação em
processo de formação continuada com duração de 2 (dois) anos, tendo como meta qualitativa a melhoria do
processo de ensino e aprendizagem nas escolas públicas estaduais de Educação Básica (Art. 1o, Lei Complementar
130 - 14 de julho de 2010).
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pela manifestação daquilo que interrogamos, a saber: o que se revela sobre a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica e atividades de Investigação Matemática, empreendidas
e relatadas por professores participantes do PDE?
Pontes, Finck e Nunes (2017) ao realizarem uma pesquisa do tipo estado da arte com
publicações científicas brasileiras que tiveram como pano de fundo a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica, entre os anos de 2010 e 2015, apontaram que as pesquisas, em geral,
contemplam a Modelagem Matemática e as Tecnologias da Informação e Comunicação para
desenvolverem as práticas de ensino e, buscam nelas, a manifestação da teoria de Duval (1995).
Porém não evidenciaram a utilização de outras tendências, a exemplo da Investigação
Matemática; o que nos faz levantar a hipótese de que elas não foram abrangidas nas pesquisas
empreendidas.
Além disso, ao reunir literaturas que pudessem nos auxiliar no entendimento e construção
deste trabalho, acessamos a base de dados Scientific Electronic Library Online – SciELO3 e
combinando os descritores Investigação Matemática, Registros de Representação Semiótica,
Duval e Semiótica, orientamos a busca, que resultou em nenhum trabalho encontrado. Isso é
um indicativo da carência de estudos que abordam esses temas simultaneamente e da
originalidade do trabalho ora apresentado. Portanto, tematizar a Investigação Matemática e a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica confere-lhe certa excepcionalidade,
diferenciando-o. Justificada a relevância do artigo, a próxima seção tem por objetivo discorrer
sobre as regiões em que a pesquisa se locomove, a saber, a Investigação Matemática e a Teoria
dos Registros de Representação Semiótica.
2 SOBRE A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
A Investigação Matemática no contexto da Educação Matemática é uma área de pesquisa
emergente e por isso ainda não desvelada em sua totalidade. Poucas são as discussões
tematizadas em pesquisa que buscam compreendê-la e situá-la enquanto subárea da Educação
Matemática. Dentre os autores que se dedicam a esta temática, Wichnoski e Klüber (2017) a
definem como “[...] uma atividade que está no cerne da produção do conhecimento em
matemática, como um processo de levantamento de hipóteses, testes, argumentação e validação
de um conhecimento novo” (p. 169) e salientam que “[...] em contextos de ensino e
aprendizagem não é suficiente que ela permita somente o resultado e a demonstração, mas que
num movimento parecido com o trabalho dos matemáticos o aluno possa, entre confrontos,
conjecturas, erros e verdades, “fazer” matemática” (p. 169). Ao buscar compreendê-la do ponto
de vista da epistemologia de Lakatos (1979)4, os autores supracitados concluem que
[...] a Investigação Matemática no âmbito da Educação Matemática repousa sobre
uma estrutura básica, constituída por aspectos fundamentais como a matemática, o
ensino, a aprendizagem, a comunicação e atividades investigativas. Esses aspectos
constituem aquilo que a Investigação Matemática possui em sua essência, portanto
são irrefutáveis (WICHNOSKI; KLÜBER, 2015, p. 72).
Ante a isso, ela pode ser entendida como uma metodologia de ensino e aprendizagem que,
por meio de tarefas próprias, busca a aproximação entre a Matemática escolar e a Matemática
pura, cuja característica inata é a inquirição e o fazer. Ponte et al. (2013) atribuem-na o estilo
conjectura – teste – demonstração como característica que fortemente a caracteriza. Todavia,
3 https://search.scielo.org/?lang=pt 4 Cf. Wichnoski, Klüber, 2015.
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esse aspecto é particularizado e diz respeito a uma das formas da Investigação Matemática se
manifestar em sala de aula, a saber, quando as tarefas tendem a ser algebrizadas. Um
contraexemplo típico dessa particularidade são as tarefas de Investigação Matemática que se
encontram na esfera estatística. As informações decorrentes da situação não serão
demonstráveis, uma vez que essas tarefas envolvem somente “[...] a organização, representação,
sistematização, e interpretação dos dados, e culmina com o tirar conclusões finais” (PONTE;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2013, p. 105).
Em situações de ensino e aprendizagem, a Investigação Matemática pode assumir
diferentes facetas, apresentando-se de modos distintos. Isso lhe atribui certa pluralidade em
termos de características, as quais se manifestam na estrutura e nos objetivos intrínsecos às
tarefas, na percepção daquele que as interpreta, na postura do professor e no engajamento dos
alunos e, se pensadas em sentido pragmático, podem levar à sua descaracterização. Dito de
outro modo, há diferentes tarefas de Investigação Matemática e que requerem diferentes atos
investigativos. Por exemplo, há tarefas que buscam a conceitualização, outras que buscam a
extração de informações ou de propriedades, outras que objetivam a generalização e a prova
matemática e outras que contemplam esses aspectos simultaneamente. Há, portanto, uma
variedade de tarefas que se doam à ação inquiridora de modo um tanto quanto aberto e sem
objetivos prefixados.
Há na literatura uma classificação quanto ao grau de dificuldade e abertura, que culmina
na classificação das tarefas de Investigação Matemática em exploratórias e investigativas
(PONTE, 2003). As tarefas do tipo exploratórias possuem “uma estrutura enunciativa que
sugere algumas atitudes para nortear procedimentos, conjecturas e validações [...] e contêm em
seu enunciado as conjecturas necessárias à investigação de um problema posto” (WICHNOSKI;
KLÜBER, 2018, p. 62), enquanto que as tarefas investigativas possuem uma estrutura mais
aberta, cabendo ao investigador escolher por onde iniciar e nortear a investigação. É com este
entendimento que olhamos para o material de análise e selecionamos as tarefas da pesquisa.
3 SOBRE A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Em entrevista a Freitas e Rezende (2013), Raymond Duval explica que as primeiras
inquietações que o fizeram pensar sobre a sua teoria surgiram de observações empíricas com
alunos e professores, nas quais as diferentes vertentes discursivas da linguagem propostas pelo
Movimento da Matemática Moderna causavam sérias incompreensões dos conteúdos
matemáticos, relacionadas não aos conceitos “[...] mas à variedade de representações semióticas
utilizadas e o uso “confuso” que fazem delas” (FREITAS; REZENDE, 2013, p. 15).
A teoria de Duval repousa sobre a Semiótica, entendida como “[...] ciência dos signos e
dos processos significativos” (NÖTH, 2008, p. 2) e possui em sua essência a representação
semiótica dos objetos matemáticos enquanto “[...] representação de uma ideia ou um objeto do
saber, construída a partir da mobilização de um sistema de sinais. Sua significação é
determinada, de um lado pela sua forma no sistema semiótico e, de outro, pela referência do
objeto representado” (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016, p. 467). Nesse sentido, um
gráfico, uma expressão numérica ou uma escrita na linguagem natural, revelam-se registros no
campo da Matemática que manifestam diferentes representações semióticas.
Para Henriques e Almouloud (2016) um registro semiótico equivale a um sistema,
composto por signos que permitem identificar uma representação de um objeto. Signos, para os
autores supracitados, são sinais a serem mobilizados para identificar um sistema ou registro de
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representação semiótica, como por exemplo, letras de variáveis, números articulados por um
símbolo de operação, traçados gráficos, símbolos de operação e, são apenas representações do
objeto, não devendo ser confundidos com o próprio objeto.
Essas representações semióticas são externas e enlaçadas pelo sujeito que as percebe
intencionalmente, isto é, elas manifestam a compreensão do objeto enfocado conscientemente,
que se mostra na correspondência existente entre as várias formas de registro de representação.
É sobre isso que Duval (2012a, p. 270) afirma: “Se é chamada “semiose” a apreensão (externa)
ou a produção de uma representação semiótica, e “noesis” a apreensão (interna) conceitual de
um objeto, é preciso afirmar que a noesis é inseparável da semiose”.
Duval (1995) distingue três atividades cognitivas fundamentais ligadas à semiose e
essenciais para que um sistema semiótico possa ser considerado um registro de representação,
são elas: a formação, a conversão e o tratamento. A formação consiste numa representação
semiótica considerando a seleção de relações e de dados no conteúdo a ser representado e
respeitando as regras de linguagens com as quais se afinam, como por exemplo, regras
gramaticais para as línguas naturais. Exemplo: descrever a solução de um sistema linear. A
conversão diz respeito às transformações de uma representação em uma representação de outro
registro, conservando a referência aos mesmos objetos. Exemplo: a transformação da forma
algébrica de uma função para a forma gráfica e vice-versa. O tratamento consiste em
transformações de uma representação dentro de um mesmo registro. Exemplo: diferentes
formas algébricas de representar a solução de uma equação (DUVAL, 1995).
Tais atividades devem ser mobilizadas concomitantemente no processo de ensino e
aprendizagem para que um conceito matemático seja compreendido. Apesar de os objetos
matemáticos serem abstratos, a atividade cognitiva sobre esses objetos só é possível por meio
das representações semióticas e as transformações de representações que transitam por essas
diferentes atividades cognitivas são vitais à atividade matemática (DUVAL, 2012a).
Para Duval (1995) existem quatro diferentes registros para os sistemas de representações
semióticas, são eles: língua materna, simbólico (algébrico e numérico), gráfico e figural, os
quais se dividem em monofuncionais e multifuncionais. Nos registros monofuncionais
(registros simbólico e gráfico) os tratamentos possuem algoritmos próprios e os registros
multifuncionais (língua materna/natural e figural) não são algoritmizáveis. O Quadro 1
apresenta uma síntese de cada um desses sistemas de representações, seguida de exemplos.
Quadro 1: Linguagens dos sistemas de representações semióticas segundo Duval (1995)
Sistemas de representações Síntese Exemplo
Registro Língua Materna
São associações verbais conceituais,
formas de raciocínio argumentativo,
falados ou escritos.
João tem 5 lápis e ganhou mais 6 do
seu colega. Com quantos lápis João
ficou?
Registro Figural Correspondem as figuras geométricas
planas ou em perspectiva.
Registro
Simbólico
Algébrico Sistemas de escritas algébricas, como
equações. 𝑦 = 𝑥2 + 1
Numérico Sistemas de escritas numéricas (binárias,
decimal, fracionária e outras). 2 + 3 = 5
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Registro Gráfico
Correspondem aos gráficos cartesianos.
Mudanças de sistema de coordenadas.
Interpolação, extrapolação.
Fonte: os autores
Desse modo, há a possibilidade de transitar entre estes diferentes sistemas de registros
(conversão) ou dentro de um mesmo sistema utilizando diferentes representações (tratamento).
Portanto, o ensino e a aprendizagem da Matemática pautado nesta teoria perpassa pela
construção do conhecimento mediante conversões e tratamentos estabelecidos entre as diversas
formas de representação, ou seja, “[...] a compreensão em Matemática implica na capacidade
de mudar de registro” (DUVAL, 2003, p.21). Em suma, Duval (2012) defende que a
compreensão total de um conteúdo matemático do ponto de vista conceitual repousa sobre a
coordenação (tratamento ou conversão) da representação do objeto em ao menos dois registros
semióticos.
Ressaltamos que a mudança de registro ao representar um mesmo objeto matemático,
deve ocorrer de forma bilateral, acompanhada da capacidade de identificar e explicitar as
propriedades matemáticas destes objetos, isto é, da capacidade de fazer corresponder as
unidades de sentido de duas ou mais representações semióticas. Portanto, é necessário atingir
dois patamares de compreensão, os quais podem ser assim descritos:
As atividades relativas ao primeiro patamar visam desenvolver a sinergia entre dois
registros de tal modo que desapareçam as dificuldades de compreensão que têm
origem no não reconhecimento de um mesmo objeto em duas representações
semióticas distintas. As atividades relativas ao segundo patamar visam à
conscientização do funcionamento cognitivo próprio de cada um dos registros, uma
vez que esses registros podem não permitir que se efetuem os mesmos tratamentos
matemáticos (DUVAL, 2016, p. 4).
A conceitualização de um objeto matemático vai enfrentar o fenômeno de congruência
ou de não-congruência semântica entre as representações semióticas. Do ponto de vista de
Duval (1995), a congruência se mostra quando as situações explicitam, na mesma ordem, as
mesmas unidades significantes, isto é, quando há a possibilidade de colocarmos em
correspondência semântica elementos significantes - as unidades significantes simples. O
fenômeno da não-congruência se mostra caso contrário, ou seja, quando não há a mesma ordem
ou quando apresentam mais de uma unidade de informação.
Ao que concerne especificamente aos registros figurais, Duval (2012b) apresenta algumas
formas de apreensão da figura, de modo que as suas possíveis modificações se descrevem pela
apreensão operatória, a qual pode ser mereológica, ótica ou de posição. A modificação
mereológica se faz em função da relação parte e todo; a modificação ótica se faz ao transformar
uma figura em outra e a modificação posicional se faz ao deslocar uma figura em relação a um
referencial dado (DUVAL, 2012b).
No tocante a atividade matemática, Duval (1995) atribui-lhe duas faces: 1) face exposta,
ligada à ideia de utilizar os reconhecimentos em busca de novos resultados matemáticos,
apresentando-se na forma de teoremas, definições, algoritmos de operações com números, etc.;
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e 2) face oculta, ligada aos gestos intelectuais que caracterizam o pensamento e o modo de
trabalhar em Matemática e que “[...] expõe uma análise cognitiva da atividade matemática em
termos de registros” (DUVAL, 2016, p. 27).
Explicitados os aspectos teóricos das regiões de inquérito desta pesquisa, passamos a
descrever, na próxima seção, a metodologia e os procedimentos metodológicos que a
sustentaram.
4 METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS
A pesquisa seguiu uma abordagem predominantemente qualitativa, conforme nos
orientam Lüdke e André (1986), ao perseguir o objetivo de compreender o que se manifesta da
Teoria dos Registros de Representação Semiótica em atividades de Investigação Matemática,
empreendidas e relatadas nas produções de professores participantes do PDE e o que isso revela.
Ao perguntarmos o que se revela?, abrimo-nos às diversas possibilidades de manifestação
do interrogado, dentro do quadro teórico considerado. Nos debruçamos sobre as atividades de
Investigação Matemática atentos a manifestação da Teoria dos Registros de Representação
Semiótica, não no sentido de identificação de aspectos pontuais da teoria como comprovação
de premissas a priori, mas como busca intencionada dos diversos modos que ela (a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica) tem de aparecer. Dessa forma, é possível se deparar
com manifestações que poderiam ser ocultadas ao direcionar o olhar sob categorias prévias.
Após construída a interrogação de pesquisa e em face do que nos é dado a aparecer, foi o
momento de buscar pelos dados significativos da pesquisa. Assim, do lugar e da perspectiva de
onde olhamos o interrogado, fomos conduzidos à seara das produções dos professores
participantes do PDE que trabalharam com a Investigação Matemática durante a formação,
especificamente os artigos finais e, neles encontramos atividades que ofereceram a
possibilidade de o que interrogamos se manifestar.
Com um universo de 33 artigos finais coletados no portal eletrônico da Secretaria de
Estado da Educação – SEED, numa leitura inicial, filtramos aqueles que relatavam as atividades
desenvolvidas trazendo elementos que nos permitissem a construção dos dados significativos.
Dessa busca reduzimos o universo para 12 artigos e olhando-os em sua totalidade, selecionamos
as atividades disparadas por tarefas que, ao nosso ver, se caracterizavam como de Investigação
Matemática, uma vez que algumas tarefas não foram construídas nessa perspectiva, conforme
evoca Wichnoski (2016). Esse movimento permitiu que analisássemos um total de 36 tarefas e
as atividades a elas relacionadas, apresentadas no Quadro 12, em anexo, tal como foram
nomeadas nos materiais de origem, seguidas do link de acesso.
Ao nos voltarmos atentivamente para aquilo que foi descrito dessas atividades, enfocamos
as falas dos alunos, transcritas em linguagem proposicional, os registros produzidos no decorrer
do processo, os relatos dos professores ao narrar as práticas empreendidas e os enunciados das
tarefas, de modo a colocar em evidência os sentidos articulados ao interrogado. Procedemos ao
destacamento de excertos e estabelecimento de unidades significativas, entendidas como
sentenças que traduzem a interpretação do pesquisador em face do excerto destacado, de modo
a reunir os sentidos postos em evidência, visando as convergências que explicitam o sentido
mais geral do interrogado. O Quadro 2 exemplifica este momento da pesquisa.
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Quadro 2: Exemplo de unidades de significados
Excerto do texto Unidade significativa
O enunciado da tarefa contemplou
o registro figural e o registro
língua natural.
O aluno explicitou a generalização
representando-a no registro língua
natural.
A tarefa possibilitou a construção
de duas representações semióticas
do objeto matemático prisma de
base triangular dentro do registro
figural (tratamento), bem como
possibilitou trabalhar com a face
oculta da matemática.
Ao movimentar um dos vértices as medidas dos ângulos e dos lados
mudam nas duas janelas, mas não muda a soma das medidas de seus
ângulos internos.
O aluno conseguiu fazer a
correspondência das unidades de
sentido entre duas representações
semióticas (figural e numérica)
Fonte: os autores
Procedemos à categorização, reunindo as unidades significativas convergentes, de modo
a articular as ideias mais abrangentes, as quais expressam a generalidade do interrogado. Essa
articulação se deu em três categorias que dizem 1) Sobre os registros semióticos mobilizados;
2) Sobre as coordenações da representação dos objetos efetuadas entre os registros e 3) Sobre
a congruência semântica. Salientamos que as categorias não foram pré-definidas, mas se
constituíram enquanto produto do movimento efetuado dentro do quadro teórico de Duval
(1995). O Quadro 3 sintetiza o manifestado por cada uma das categorias.
Quadro 3: Categorias de análise
Categorias de análise Síntese
C1 - Sobre os registros semióticos mobilizados
Esta categoria manifesta as Linguagens dos
sistemas de representações semióticas que
aparecerem no enunciado das tarefas e durante a
realização das atividades.
C2 - Sobre as coordenações da representação dos
objetos
Esta categoria manifesta as coordenações efetuadas
entre os registros semióticos na realização das
atividades, isto é, as atividades cognitivas ligadas à
semiose (conversão e tratamento) e que apareceram
nas atividades analisadas.
C3 - Sobre a congruência e a não congruência
semântica
Esta categoria traz a manifestação da congruência e
não congruência, ou seja, explicita se houve e quais
as correspondência que apareceram entre as
unidades significantes do registro de saída e os de
chegada, na mesma ordem, simultaneamente.
Fonte: os autores
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A próxima seção explicita a descrição dos aspectos manifestados pelas categorias à luz
da interrogação o que se revela sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica e
atividades de Investigação Matemática, empreendidas e relatadas por professores
participantes do PDE?
5 DESCRIÇÃO DO MANIFESTADO
A categoria C1 - Sobre os registros semióticos mobilizados explicita os registros de
representação semiótica que apareceram na estrutura enunciativa das tarefas e no decorrer das
atividades, os quais se mostraram variados. Em geral, o enunciado das tarefas contemplou os
registros língua natural, figural e simbólico (numérico). O registro língua natural apareceu na
estrutura enunciativa de todas as tarefas, com exclusividade em 16 delas. Em 12 tarefas houve
a associação do registro língua natural com o registro figural e em 7 tarefas a associação do
registro língua natural com o registro simbólico (numérico). Revelou-se a ausência de tarefas
construídas exclusivamente no registro figural e no registro simbólico (numérico), bem como a
ausência dos registros gráfico e simbólico (algébrico) exclusiva ou associadamente a outros
registros. O enunciado de uma tarefa explicitou a utilização de desenhos e de construções
figurais para representar os números triangulares e os números quadrados, conforme
exemplificado no Quadro 4. Do ponto de vista de Duval (1995), essas representações não são
consideradas um registro semiótico, mas representações intermediárias.
Quadro 4: exemplo de desenhos utilizados na estrutura enunciativa das tarefas
Fonte: os autores
Durante a realização das atividades manifestaram-se os quatro tipos de registros
enunciados por Duval (1995), a saber, língua materna ou natural, figural, gráfico e simbólico
(numérico e algébrico), além de esquemas e desenhos, enquanto registros intermediários, como
dados subjacentes e intuitivos que auxiliaram os alunos no processo de investigação das tarefas
analisadas. Um exemplo disso segue no Quadro 5.
Quadro 5: exemplos da utilização de desenhos para a representação do objeto
matemático
Fonte: os autores
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Em várias outras atividades, a fala se constituiu como ferramenta para que os alunos
pudessem descrever os procedimentos efetuados, justificar e organizar seus pensamentos, o que
nos faz supor que o registro língua natural (fala) se presentificou enquanto um modo de
aprender Matemática. Isso pode ser percebido na descrição do momento que os alunos relataram
o modo como efetuaram a atividade, conforme o excerto: Nós quadriculamos um hexágono,
multiplicamos por 6 e encontramos a área ou ainda quando expressam: Não! Deixe-me ver, do
Q4 para o Q5 aumenta nove... Já sei, é sempre o dobro mais um!
A categoria C2 - Sobre as coordenações da representação dos objetos manifesta as
coordenações (tratamento ou conversão) efetuadas durante a realização das atividades ao
representar um mesmo objeto matemático e se estas coordenações atendem ao princípio da
bilateralidade, isto é, a ida e a volta das representações entre os registros. Utilizaremos os
símbolos ↔ e → para designar quando houve a conversão do objeto matemático entre os
registros, atendendo ao princípio da bilateralidade e quando houve a conversão de um registro
para outro de modo unilateral, respectivamente.
A conversão da representação dos objetos matemáticos ocorreu de modo diversificado e
mostrou-se possível entre os registros língua natural ↔ simbólico (numérico), língua natural
↔ figural, língua natural → simbólico (algébrico), figural ↔ simbólico (algébrico), figural →
simbólico (numérico), simbólico (numérico) → simbólico (algébrico). Iniciamos a discussão
com a tarefa enunciada no Quadro 6.
Quadro 6: Tarefa de Investigação Matemática
A seguinte sequência apresenta prismas constituídos por cubos brancos e cinzentos.
a) Quantos cubos brancos tem o prisma 4? E cinzentos?
b) Verifique se existe um prisma com 36 cubos no total. Caso exista, diga qual o número desse prisma.
c) Indique uma fórmula que represente o número de cubos cinzentos do prisma n.
d) Apresente uma fórmula para o número total de cubos do prisma n.
e) Verifique se a fórmula 4(n + 2) também representa o número total de cubos do prisma n. Justifique a
sua resposta.
Fonte: Ferreira (2009, p. 18)
A atividade desenvolvida em face dessa tarefa, se mostrou significativa pelo fato de a
tarefa estar sequencialmente organizada, de modo a contemplar a conversão da representação
do objeto na ordem: registro figural → língua natural → registro simbólico (numérico) →
registro simbólico (algébrico) → registro gráfico. O Quadro 7 exemplifica esta situação com
alguns dos excertos extraídos do material analisado.
Quadro 7: sequência de conversões realizadas em uma atividade de Investigação
Matemática
Registro Excertos
Registro
figural
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Registro
misto
(língua
natural e
simbólico
numérico)
Registro
numérico
Descreveram a sequência dizendo que o prisma 1 tem quatro cubos cinzentos isto é 4 x 1, o
prisma 2 tem oito cubos cinzentos que é 4 × 2 e o prisma 3 tem doze cubos cinzentos que é 4 × 3.
Registro
Simbólico
algébrico
Registro
Gráfico
Fonte: os autores
Em face do exposto no Quadro 7, há evidências de que o princípio da bilateralidade não
foi atendido, uma vez que a cada etapa da tarefa proposta, apenas um registro de representação
semiótica foi priorizado. Além disso, a conversão da representação do objeto matemático no
registro simbólico (algébrico) para o registro gráfico não aconteceu, embora reconheçamos uma
tentativa de efetuá-la. A não ocorrência se deve ao fato de que o objeto matemático em questão
é uma função discreta, cuja representação algébrica é dada pela expressão 𝐶 = 4. 𝑛, onde C é o
número de cubos cinzentos em cada figura e n é a posição da figura, porém a representação
contida no registro gráfico é de uma função contínua.
Em geral, a conversão da representação do objeto na ordem língua natural → simbólico
(algébrico) se revelou em atividades cujo objetivo era a generalização, conforme o excerto a
seguir: Do primeiro para o segundo quadrado a diferença é de 8. A diferença do 2º para o
terceiro é 12. Do 3º para o 4º é 16. E a diferença do 4º para o 5º é 20. E essas diferenças são
múltiplos de 4. E as diferenças das diferenças é 4 [...] Pegando o número de palitos do lado e
multiplicando pelo seu sucessor, dá a metade dos palitos. Multiplicando por 2 dará o resultado
final de palitos”. E outro aluno veio ao quadro e escreveu a fórmula que tinha escrito, seguindo
o mesmo raciocino da dupla anterior, ou seja: p(p+1) + p(p+1).
A conversão da representação do objeto matemático na ordem registro figural →
simbólico (algébrico), apareceu comumente em atividades que buscavam generalizar uma
sequência representada por figuras geométricas em R2 ou R3. Além disso, se manifestou em
atividades que objetivavam generalizar resultados da geometria, como por exemplo, a soma das
medidas dos ângulos internos de um polígono e o teorema de Euler, inclusive com a utilização
de softwares de geometria dinâmica e construções manipuláveis, atendendo ao princípio da
bilateralidade. A bilateralidade também se mostrou presente entre as representações de objetos
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matemáticos nos registros simbólico (algébrico) e gráfico, como por exemplo, reta,
circunferência e funções.
Houve indícios da conversão da representação na ordem registro simbólico (numérico)
→ língua natural (escrita) para generalizar uma situação, conforme explicita o excerto do
Quadro 8. Frisamos que esta tarefa foi enunciada no registro língua natural, logo, a ordem de
conversão foi língua natural → simbólico (numérico) → língua natural.
Quadro 8: exemplos de conversão da representação do objeto na ordem simbólico
(numérico) → língua natural
Fonte: os autores
Ainda que nas tarefas com características de generalização, tenha se manifestado a
transição da representação do objeto matemático na ordem registro figural → simbólico
(algébrico) e simbólico (numérico) → língua natural, comumente, a conversão ocorreu na
ordem língua natural → simbólico (algébrico) e simbólico (numérico) → simbólico (algébrico).
Portanto, há indícios de que o processo de generalização, nas tarefas de Investigação
Matemática analisadas, se iniciou pelo registro língua natural ou simbólico (numérico) para
posteriormente transitar para o registro algébrico. Ao que concerne à conversão da
representação do objeto entre os registros língua natural e figural, ela se mostrou bilateral,
inclusive para descrever desacertos nas conjecturas, invalidando-a, conforme Quadro 9.
Quadro 9: exemplos de conversão da representação do objeto na ordem língua natural
↔ figural
Fonte: os autores
Houve manifestações da representação de um objeto na ordem registro figural →
simbólico (numérico), quando, por exemplo, o aluno escreve que o perímetro da figura é dado
pela expressão 10 + 10 + 2 + 2 = 24 𝑐𝑚 a partir da representação deste conceito em figuras
geométricas. Intrinsecamente, há a compreensão de que o perímetro é a medida do contorno de
um objeto bidimensional.
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No tocante ao tratamento da representação dos objetos matemáticos, as manifestações
ocorreram no registro língua figural e no registro simbólico (numérico e algébrico), conforme
o Quadro 10. Sublinhamos o tratamento dado ao hexágono regular, com o objetivo de calcular
a sua área, que usualmente é encontrada dividindo-o em seis triângulos equiláteros. Contudo,
na atividade realizada, ela foi encontrada dividindo o hexágono regular em três quadrados,
procedimento que foi possível recorrendo-se à equivalência de triângulos.
Quadro 10: exemplos de tratamento da representação do objeto no registro figural
Tratamento no registro figural
Tratamento no registro simbólico (numérico)
Tratamento no registro simbólico (algébrico)
Fonte: os autores
A categoria C3 - Sobre a congruência semântica traz a manifestação da congruência
semântica entre a representação dos objetos no enunciado das tarefas e nas representações
efetuadas durante a inquirição delas. O fenômeno da congruência semântica se mostrou de
modo moderado e, quando manifestado, foi em tarefas que utilizaram registros figurais, língua
natural (fala) e registros intermediários em sua estrutura enunciativa. A não congruência se
manifestou segundo as mesmas condições. O Quadro 11 traz um exemplo dessa manifestação.
Quadro 11: exemplo de congruência e não congruência semântica Congruência Não congruência
Construa, em uma folha, os triângulos retângulos cujas
dimensões estão descritas nos desenhos abaixo
Primeiramente os alunos deveriam observar o
triângulo construído com 3 palitos de fósforos
(figura abaixo) e, em seguida construir dois
triângulos com 5 palitos e três triângulos com 7
palitos.
Fonte: os autores
Houve tarefas cujos enunciados se mostraram semanticamente congruentes à figura a ser
construída. Isso se revelou nos encaminhamentos das tarefas analisadas, uma vez que os alunos
construíram a figura geométrica de acordo com o que estava escrito no enunciado da tarefa.
Por exemplo, ao ser solicitado que os alunos representassem, no registro figural, retângulos
com diferentes dimensões e com 24 cm de perímetro, não houve a construção do quadrado (que
também é um retângulo) com dimensões 6 × 6. Esse aspecto de congruência entre a ação
realizada em face do enunciado e o enunciado também foi contemplado em atividades
realizadas com jogos e softwares.
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Em algumas tarefas não foi possível identificar a congruência e a não congruência
semântica, dado o caráter aberto do enunciado, como por exemplo, investigue a sequência de
números, procure elaborar afirmações observando a tabela de números e outros com
características similares.
6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES METACOMPREENSIVAS
Ao perguntarmos o que se revela, é possível afirmar que as atividades de Investigação
Matemática analisadas revelaram, em diferentes graus de manifestação, a coordenação
(conversão e tratamento) da representação dos objetos matemáticos, a possibilidade de fazer
corresponder as unidades de sentido de duas ou mais representações semióticas, bem como a
manifestação do fenômeno da congruência e não congruência semântica. Possibilitaram, em 20
das 36 tarefas analisadas, contemplar mais de um registro de representação semiótica em sua
estrutura enunciativa, o que contribuiu para mover distintos esquemas de inquirição.
Acreditamos que essa acentuada e diversificada manifestação de registros semióticos, se deve
às características de abertura das tarefas de Investigação Matemática.
As transições ao representar os objetos matemáticos entre diferentes registros se
mostraram variadas. Em particular, a transição do registro língua natural para o simbólico
(algébrico) e do registro simbólico (numérico) para o simbólico (algébrico), se mostrou
repetidamente em atividades de generalização e/ou demonstração, o que pode revelar que, em
tarefas com o objetivo de generalizar e/ou demonstrar, a coordenação da representação dos
objetos matemáticos segue uma transição mais ou menos regular. Isto se apresenta como ensejo
para novos estudos que clarifiquem estes indícios, isto é, por quais Registros de Representação
Semiótica perpassa o processo de generalização e/ou demonstração em tarefas de Investigação
Matemática? De modo mais abrangente, há a possibilidade de investigar quais registros se
mostram mais auspiciosos para as representações dos objetos matemáticos nos diferentes tipos
de tarefas de Investigação Matemática.
O modo de proceder, do registro simbólico (numérico) para o registro simbólico
(algébrico), além de poder estar sustentado numa concepção herdada da história da matemática
– primeiro o número, depois a abstração – pode ter origem na estrutura enunciativa das tarefas,
conforme explicita o excerto: a questão "2", que necessitaria da “descoberta” da fórmula; na
literatura estudada, a qual sugere que “A compreensão da álgebra [...] exige que a turma repense
saberes que funcionavam bem com as operações aritméticas” (RASI; DOMINGUES, 2009,
s/p); bem como na concepção de ensino do professor disparador da prática.
A coordenação da representação dos objetos matemáticos entre diferentes registros
apareceu, com maior intensidade, nas atividades disparadas pelas tarefas investigativas e, nas
atividades desenvolvidas em face das tarefas exploratórias, a manifestação dos diferentes tipos
de coordenação ficou condicionada aos encaminhamentos propostos pelas próprias tarefas e,
em outras atividades, ficou condicionada aos encaminhamentos propostos pelo professor no
momento da prática, tolhendo a liberdade do aluno em transitar por diferentes registros.
Desse modo, inferimos que a coordenação da representação dos objetos matemáticos
entre diferentes registros, depende da estrutura da tarefa proposta e, também, da postura do
professor no momento da prática. Quanto mais livres os alunos estiverem para transitar entre
os diferentes tipos de registros de representações semióticas, seja do ponto de vista da estrutura
das tarefas ou da postura e condução da aula pelo professor, mais possibilidades encontram para
identificar e explicitar as propriedades matemáticas dos objetos investigados. Isto tem relação
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com o princípio da bilateralidade, que conforme depreendemos de Duval (1995), enriquece a
atividade matemática ao possibilitar a correspondência entre as unidades de sentido, nos
diferentes níveis de organização dos conteúdos.
A língua natural (escrita e fala) se apresentou como um registro forte nos apontamentos
feitos pelos alunos para explicar o que haviam feito e, inclusive, para expressar as generalidades
observadas. Isso está diretamente ligado às duas funções da língua natural, quais sejam:
comunicação e conhecimento, o que nos permite inferir que o conhecimento sempre é possível
por meio da língua natural. Nesse sentido, destaca-se a forma predicativa (VERGNAUD, 1990)
imbricada nas atividades de Investigação Matemática, transformando o conceito em um
instrumento de pensamento livre das situações (tarefas) e aberto a outros contextos. Sobre isso
Vergnaud (1996) evoca que
[...] um dos problemas do ensino de matemática é desenvolver ao mesmo tempo a
forma operatória do conhecimento, isto é, o saber-fazer, e a forma predicativa do
conhecimento, isto é, saber explicar os objetos matemáticos e suas propriedades (p.
13, inserções nossas).
Em face disso, as tarefas e atividades de Investigação Matemática se mostram como uma
alternativa para atender ao proposto pelo autor supracitado, a saber, desenvolver a forma
operatória e predicativa simultaneamente, o que é salutar se quisermos promover o ensino e a
aprendizagem da Matemática de modo mais qualitativo, reflexivo e não arraigado em métodos
e algoritmos. Além disso, proporcionaram desenvolver a face oculta da Matemática, que
segundo Duval (2016, p. 26-27) “refere-se aos gestos intelectuais, que são especificamente
ligados à mobilização de registros e que caracterizam a maneira matemática de pensar e de
trabalhar”. Desse modo, a atividade matemática se mostrou não amparada somente em
teoremas, definições e algoritmos, mas também na atividade cognitiva.
O exemplo de tratamento no registro figural contido no Quadro 10 permitiu a apreensão
operatória, que de acordo com Duval (2012b, p. 125) “é uma apreensão centrada nas
modificações possíveis de uma figura inicial e nas reorganizações possíveis destas
modificações” e desempenha um papel heurístico importante na resolução da tarefa. A atividade
possibilitou modificar a figura em questão a partir da modificação mereológica – “[...]
modificação que faz surgir uma forma como um todo fracionado em partes homogêneas ou em
partes heterogêneas” (DUVAL, 2012b, p. 127) – mobilizando diferentes tratamentos para
explorar a medida de área através da soma das partes elementares, a equivalência de áreas e
figuras, propriedades topológicas, etc.
Particularizando as atividades realizadas com softwares, a não congruência entre a língua
natural e o registro figural do software, pode ter sido propulsora do erro cometido pelos alunos
ao tentar representar, no registro figural, o teorema de Pitágoras utilizando um triângulo
qualquer, conforme o excerto: Sendo a, b e c medidas dos lados do triângulo, como é possível
representar a área de cada um desses quadrados?
O caráter de abertura das tarefas e a mobilização de diferentes habilidades, tais como,
levantamento de hipóteses, testes, argumentação, comunicação, confrontos entre erros e acertos
e validação dos resultados, favoreceram e potencializaram o surgimento de diferentes registros,
uma vez que os alunos pensaram e registraram com certa liberdade. Isso faz das tarefas de
Investigação Matemática, com ênfase nas tarefas exploratórias, profícuas à manifestação dos
registros de representação semiótica. Além disso, ainda que o enunciado das tarefas analisadas
tenha se estruturado, predominantemente, fazendo o uso dos registros língua natural, figural e
simbólico (numérico), há a possibilidade de estruturá-lo de modo não usual, a exemplo da tarefa
contida no Quadro 4, que se utilizou de registros intermediários para disparar a atividade.
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Nesse sentido, mesmo que a manifestação da Teoria dos Registros de Representação
Semiótica não seja exclusividade das atividades de Investigação Matemática, revela-se uma
estreita relação entre ambas e que pode ser potencializada à medida que os enunciados prezem
por registros não usuais na sua estrutura enunciativa, como por exemplo, registros gráfico e
simbólico (algébrico) exclusiva ou conjuntamente a outros registros. Priorizar esta diversidade
de registros semióticos na estrutura enunciativa das tarefas de Investigação Matemática, leva a
modos não corriqueiros de organizar o pensamento, o qual “se revela inseparável da existência
de uma diversidade de registros semióticos” (DUVAL, 2012a, p. 270).
Por fim, ressaltamos a importância de não limitar, tanto na estrutura enunciativa das
tarefas quanto nos encaminhamentos práticos, a transição na representação dos objetos
matemáticos de um registro para outro de forma única. É preciso dar condições para que essa
transição ocorra entre os diversos registros, inclusive em ordens não usuais, como por exemplo,
partindo do registro gráfico para o registro simbólico (algébrico), do registro simbólico
(algébrico) para a língua natural e outras combinações.
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ANEXOS
Quadro 12: tarefas analisadas Título das Tarefas analisadas Título das Tarefas analisadas
Números Triangulares e Quadrados (P.13)
Quantidade de Dinheiro no Cofrinho: (Qual a Melhor
Opção?) (P. 19)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematic
a_artigo_elisangela_cristina_perugini_maza.pdf
Tarefa 01 (p. 9)
Tarefa 02 (p.12)
Tarefa 03 (p.14)
Tarefa 08 (p.24)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_uel_mat_
artigo_conceicao_geni_nicoli.pdf
Um velho problema de otimização, de Euclides (p. 14)
Tarefa7: (p.17)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematic
a_artigo_sandra_maria_pimenta_ferreira.pdf
Conjectura de Goldbach (p.13)
Tarefa 7 – Explorando Números Naturais (p.21)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematic
a_artigo_maria_aparecida_semeghini_bernard.pdf
1ª Atividade (p.14)
2ª Atividade (p.16)
3ª Atividade (p.17)
5ª e 6ª Atividades (p.22)
8ª atividade (p.24)
12ª e 13ª atividades (p. 27)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2009_unioeste_mate
matica_artigo_clecimara_da_silva_medeiros.pdf
Tarefa 1 (p.6)
Tarefa 2 (p.7)
Tarefa 3 (p. 8)
Tarefa 4 (p. 10)
Tarefa 6 (p. 11)
Tarefa 7 (p. 12)
Tarefa 8 (p.13)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_
artigo_jose_mario_lenartovicz.pdf
Segundo momento (p.18)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_unicentr
o_mat_artigo_maria_ines_tomal_surmas.pdf
Tarefa 1 (p.4)
Tarefa 2 (p.8)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_
artigo_janete_guiraldeli_lenartovicz.pdf
Atividades com triângulos e quadriláteros: lados,
ângulos, semelhança, razão e soma das medidas dos
ângulos internos de um polígono (p. 8)
Terceira Trajetória –Sólidos Geométricos (p. 11)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_
artigo_sonia_terezinha_sgobero_abudi.pdf
PAULO WICHNOSKI E TÂNIA STELLA BASSOI
76 ISSN – 1982-4866. REVISTA DYNAMIS. FURB, BLUMENAU, V.25, N.2 – P.56 - 76
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ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_
artigo_mara_lucia_rodrigues.pdf
Atividade 2 - Investigando com palitos de fósforo (p.
12)
Atividade 3 - Investigando com palitos de dente e
palitos de fósforo (p. 13)
Atividade 4 (p. 15)
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern
ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_unicentr
o_mat_artigo_regiane_gomes_de_araujo.pdf
Atividade2 – Hexágonos (p.11)
Atividade 3 – Cubos, cubos e mais cubos (p.15)
Atividade 4 – Dobrando e triplicando (p.16)
Atividade 5 – Pintura de faces (p.17)
Atividade 6 – Investigando Esqueleto de cubos (p.18)
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ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_unioeste_
mat_artigo_tavania_suzer_da_silva.pdf
Fonte: os autores