1

Rekenen op StendenEenmalige uitgave van Stenden Hogeschool (School of Education)

01-2013

R E K E N E N

O P S T E N D E N

4

InhoudsopgaveOp Stenden kun je rekenen 12 Rekenen gaat niet alleen meer volgens Bartjens. Een rondreis langs

de Stendenlocaties

16

18

2011 28

22

24

7

8

Als je deelt, krijg je meer

Editorial, Ingrid Janssen

Rekenen met zout Internationale rekenaars zetten

NS op het goede spoor

Meer leeropbrengsten met

Miertje Maniertje

Interview met Marloes Sterk

Op een onbewoond (reken)eiland Rekenen op Youtube

Wacht niet op een dyscalculie-

verklaring bij het behandelen

van rekenproblemen

Interview met Ceciel Borghouts

Buiten rekenen Goed rekenonderwijs begint met

kijken naar kinderen

Interview met Wil Oonk

5R E K E N E N O P S T E N D E N

Opleiding tot rekencoördinator

(advertentie) 27

Volgens Bartjens

(advertentie) 31

Levend rekenen.

Skateboards in de klas 56

Master Special Educational Needs

(advertentie) 61

Eindeloos experimenteren

met repeterende breuken 62

Oplossingen breinkrakers 65

Rekenen op het web 65

Colofon

Rekenen op StendenGedachtenvol oefenen 30 En verder...

40 53

32 44

35 50

Minder fouten door gedachtenvol

oefenen

Gedachtenvol oefenen.

Mini-lesjes en oefenen met

relaties tussen sommen

Gedachtenvol oefenen. Werken

aan een houdingsverandering

Scholen in Noordoost Drenthe

rekenen zich sterk. Interview met

An te Selle en Francien Garssen

Praktijkscholen van Stenden

Pabo Meppel ontdekken de

kracht van gedachtenvol oefenen

Als je niet kunt rekenen,

ben je de klos

Interview met Maarten Dolk

6

...door het delen van ervaringen en inzichten...

‘Vijf voor twaalf voor het rekenonderwijs’, kopte het Dagblad van het Noorden op

19 november 2012. Met deze rekenglossy willen wij als pabo’s van Stenden laten zien

hoe wij het rekenonderwijs op de basisscholen een impuls kunnen geven.

Wij doen dat door aandacht te vragen voor:

• de actualiteit van het rekenonderwijs (kennisbasis en dyscalculie);

• de verandering van de rekendidactiek;

• de kracht van het gedachtenvol oefenen en van het levend rekenen;

• het nut van wetenschappelijk onderzoek voor de praktijk in de basisschool;

• het nascholingsaanbod van Stenden op het gebied van rekenonderwijs.

Wij gaan ervan uit dat goed rekenonderwijs begint met goed getrainde leerkrachten

en met goed kijken naar kinderen. Rekenonderwijs kan heel leuk zijn - ook voor de

leerkracht en ook voor zwakke rekenaars.

Stenden wil zijn ervaringen graag delen met het primair onderwijs. Wij doen dat

vanuit onze maatschappelijke opdracht, maar vooral ook vanuit de overtuiging

dat door het delen van ervaringen en inzichten de opbrengsten van het

rekenonderwijs vermenigvuldigd worden.

Wat ons betreft is het geen vijf

voor twaalf, maar drukken

wij met deze rekenglossy

de stopwatch opnieuw in.

Ingrid Janssen,

Head of School of Education

Als je deelt, krijg je meer

R E K E N E N O P S T E N D E N 7

8

Meer leeropbrengsten

9

Een rij van witte kaarten met steeds zes zwarte stippen

vormen een spoor door de klas van groep 1 / 2 en lijken

naar de kast te voeren. Van welk dier is het spoor? Welk

dier heeft zes poten? En waar heeft het zich verstopt? Het

is Miertje Maniertje, het hulpje van juf Marloes, stagiaire

op basisschool de Eshorst in Beilen.

Marloes Sterk (22) van Stenden Pabo De Eekhorst uit Assen

heeft een serie van vijf ‘rekenlessen’ uitgevoerd om de kleuters

om te leren gaan met ruimtelijke getalstructuren en zo een

betere basis voor het rekenonderwijs in groep 3 te leggen.

De lessenserie is gebaseerd op een proefschrift uit 2009 van

Fenna van Nes, Young Children’s Spatial Structuring Ability

and Emerging Number Sense. De lessen zijn voor de website

Leraar24 eerder uitgevoerd door Merel Sprong. De theorie

komt erop neer dat expliciete aandacht voor ruimtelijke

en numerieke structuren bij het jonge kind leidt tot betere

rekenprestaties.

Getallen en structuren herkennen

Voor de lessenserie heeft Marloes, die voorafgaande aan de

pabo de mbo-opleiding voor onderwijsassistent heeft gedaan,

zelf met veel liefde de materialen gemaakt. In de lessen werkt

ze achtereenvolgens met grote, zachte dobbelstenen, met

eierdozen, met kralenkettingen van ‘playmais’, met torens

van grote duplo blokken (‘mierenhopen’) en met kaarten met

bloemen. Leerlingen leren structuren te herkennen en leren

te vertrouwen op wat ze zien. Een ‘vier’ op een dobbelsteen

kun je zo herkennen als ‘vier’, daarvoor hoef je de stippen

niet steeds opnieuw te tellen. En met de kralenkettingen

leren de leerlingen structuren te herkennen, na te maken

en te voorspellen. Miertje Maniertje (een zelfgemaakte,

zwarte handpop) is de verbindende schakel die de kinderen

‘maniertjes’ leert om snel getallen en structuren te herkennen.

Het praten via de mier blijkt een didactische vondst. “Miertje

denkt dat jullie de les van gisteren vergeten zijn!”. De hele klas

in koor: “Neehuhh!”

Onderwijs ontwerpen vanuit de beginsituatie

Voor Marloes maakt de lessenserie deel uit van het derdejaars

thema ‘Onderwijs ontwerpen vanuit de beginsituatie’.

Uitgaande van een wetenschappelijk onderzoek of experiment

moeten de studenten een lessenserie ontwerpen die aansluit

bij de beginsituatie van de leerlingen in hun stageklas. In het

verslag dat zij hierover maken, beschrijven zij de beginsituatie,

de opzet van de lessenserie, de theorie die erachter zit en

de eindsituatie. Uiteraard refl ecteren zij op het verloop van

de lessen en formuleren zij conclusies of aanbevelingen naar

aanleiding van het experiment. >

met Miertje Maniertje

R E K E N E N O P S T E N D E N

Miertje Maniertje helpt om getalstructuren te herkennen

10

De opzet van de lessenserie heeft Marloes dus ‘uit de boeken’,

maar zij heeft alle materialen zelf ontworpen (“duurzaam”),

heeft bedacht om de kralen met ‘playmais’ te maken, waardoor

de structuren goed en blijvend zichtbaar gemaakt kunnen

worden en heeft het initiatief genomen een Miertje-Maniertje-

hoek in de klas in te richten. Vooral het maken van de

kralenkettingen was erg populair, ook bij de stoere jongens. Na

twee dagen was de voorraad playmais al op. “Juf, kun je geen

nieuwe kopen?”

Opbrengstgericht onderwijs is niet saai

Marloes vond het prachtig om te doen. “Ik vind het heerlijk

om voor de klas te staan!”. De kinderen vonden “Miertje

Maniertje” het leukste onderdeel van de hele stage. Ook de

vaste leerkracht van de groep noteerde: “Gedurende de hele

les waren de kinderen betrokken en enthousiast”. En achteraf

constateerde de school waar de lessenserie is uitgevoerd dat

de kinderen op de verwante onderdelen boven verwachting

scoorden op de cito-toets. Begeleidend pabodocent Francien

Garssen concludeert: “Opbrengstgericht onderwijs hoeft niet

saai te zijn en begint al in de kleutergroep!” ■

En achteraf constateerde de school dat de kinderen op de verwante onderdelen

boven verwachting scoorden op de cito-toets.

11

In juni 2011 plofte bij alle basisscholen in

Nederland een groen boekje op de mat: het

Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en

Dyscalculie. Wat moeten scholen daarmee en hoe

zit het nu precies met dyscalculie? Een gesprek

met één van de auteurs, Ceciel Borghouts.

Waarom dit protocol?

“In de jaren vijftig dook de term dyscalculie voor het eerst

op. Daarna was het een paar decennia stil, maar sinds een

jaar of vijf heeft iedereen het over dyscalculie. Er was een

complete spraakverwarring over wat dyscalculie nu eigenlijk

was. Scholen en begeleidingsdiensten gingen er allemaal op

een verschillende manier mee om. Dyscalculieverklaringen

schoten als paddenstoelen de grond uit. De minister drong

aan op eenduidigheid en het terugdringen van de uitval bij

het rekenonderwijs. Dat was de aanleiding om Mieke van

Groenesteijn, Christien Janssen en mij te vragen een protocol

op te stellen.”

Wat is de kern van het protocol?

“Achter de titel van het boekje (Ernstige RekenWiskunde-

problemen en Dyscalculie) schuilt een heel program. Wij gaan

ervan uit dat er een continuüm is van zeer goede rekenaars

aan de ene kant tot kinderen met rekenproblemen, ernstige

rekenproblemen en dyscalculie aan de andere kant. Kinderen

met dyscalculie zijn dus geen aparte diersoort. Inhoudelijk is er

geen verschil is tussen ernstige rekenproblemen en dyscalculie.

Er is alleen een gradueel verschil. Het gaat ook niet alleen

om problemen met automatiseren. De problemen kunnen op

meerdere terreinen liggen.”

Wij gaan ervan uit dat problemen ontstaan als de leerkracht

niet goed afstemt op de ondersteuningsbehoefte van de

leerling. Als je (te) lang niet goed afstemt, ontstaan er ernstige

problemen. Zodra een rekenprobleem ontstaat, moet er dus

worden ingegrepen. Wanneer bij ernstige rekenproblemen een

half jaar deskundige begeleiding plaatsvindt met nauwelijks

resultaat, dan spreken wij van dyscalculie. In die zin zou je met

enige overdrijving kunnen zeggen dat een dyscalculieverklaring

ook een brevet van onvermogen voor de leerkracht is. Het lukt

niet (meer) om goed af te stemmen.

“Nee, het is dus geen routekaart naar een dyscalculieverklaring.

Sommigen vinden dat jammer. Het is een pleidooi voor beter

rekenonderwijs en voor goed kijken naar kinderen. Een heel

klein rekenprobleem in groep drie, een haarscheurtje, >

Wacht niet op een dyscalculieverkaring bij het behandelen van rekenproblemen!

R E K E N E N O P S T E N D E N

Ceciel Borghouts (1961) volgde

na het VWO eerst de Academie

voor Lichamelijke Opvoeding.

Zij stond een paar jaar voor de

klas als docente Lichamelijke

Opvoeding. Na een studie

orthopedagogiek, was ze

werkzaam voor een School-,

Advies- en Begeleidingsdienst.

Inmiddels is ze ruim twintig jaar

actief binnen de rekenwereld,

als ontwikkelaar van

rekenmethodes, als adviseur

van scholen bij het verbeteren

van hun rekenonderwijs en als

diagnosticus bij het onderzoeken

en begeleiden van kinderen

met rekenproblemen. Zij is

verbonden aan het Freudenthal

Instituut in Utrecht, waar zij in

samenwerking met de I-Pabo de

opleiding voor rekencoördinator

verzorgt. Daarnaast heeft zij haar

eigen adviesbedrijf Borghouts

Rekenadvies

(www.borghoutsrekenadvies.nl).

Zij is een van de auteurs van het

ERWD protocol.

breinkraker

12

kan in groep vijf of zes een enorme barst van een

rekenprobleem worden, als het probleem niet goed wordt

aangepakt en als de leerkracht geen of onvoldoende

interventie(s) pleegt. Dat is de kern van het protocol. Het

rekenonderwijs afstemmen op de behoeften van de leerling.

Groepjes maken. Kijken naar je leerstof. Leerkrachten toetsen

zich suf, maar ze doen er te weinig mee. ”

Wat moeten scholen ermee?

“Teams zouden op basis van dit protocol naar hun onderwijs

kunnen kijken: welke winst kunnen wij nog boeken in de

preventie? Daarvoor kan een één- of tweedaagse training

op basis van het protocol een prima start zijn. Het gaat

om het ontwikkelen van een visie op rekenonderwijs. Met

behandelen van rekenproblemen, moet je niet wachten op een

dyscalculieverklaring! Rekencoördinatoren - voor zover nog niet

wegbezuinigd - zouden hier het voortouw in moeten nemen.

Uiteindelijk is het voor de leerkracht niet meer werk, maar

minder. En het wordt vooral leuker!”

Nature of Nurture?

Tijdens het gesprek wordt duidelijk dat er in rekenland een

richtingenstrijd gaande is. Het is de strijd tussen Nature en

Nurture. Zijn rekencapaciteiten aangeboren of worden zij

vooral verklaard door de invloed van de omgeving? Worden

ernstige rekenproblemen en dyscalculie verklaard door

‘kindfactoren’ of door rekenonderwijs dat niet adaptief genoeg

is? Ceciel Borghouts neemt een middenpositie in en betreurt

de tegenstelling. Natuurlijk spelen altijd ook kindfactoren

een rol. Maar de kunst is om steeds weer te kijken wat dit

kind nodig heeft om verder te komen. Ceciel Borghouts wil

de kracht bij het onderwijs leggen. De leerkrachten zijn de

enigen bij wie het kind nog kans heeft om verder te komen

in zijn rekenontwikkeling. Die mogen het niet opgeven! Zij

heeft eens als antwoord op een artikel met de titel ‘Een kind

met dyscalculie, in iedere klas heb je er wel een’ een artikel

geschreven met de titel ‘Een kind met dyscalculie, ik heb er

nog nooit een gezien’. “En dat is ook echt waar. Alle kinderen

met toch zeer ernstige rekenproblemen die op mijn pad zijn

gekomen kon ik weer behoorlijk vooruit helpen.”

Nog veel onduidelijkheden

Het is duidelijk dat Borghouts toe zou juichen dat er extra

geld zou komen voor de begeleiding met kinderen waarbij

we spreken van dyscalculie en dat een dyscalculieverklaring

recht zou geven op die extra begeleiding, net zoals dat nu met

dyslexie het geval is. Maar ze ziet het er niet van komen. En ze

onderstreept nog maar eens dat er wetenschappelijk nog veel

onduidelijkheden zijn.

“Extra toetstijd voor dyscalculie? Geen onderzoeksgegevens

dat het helpt! Vaker het gebruik van een rekenmachine

toestaan? Geen bewijs dat het helpt, behalve bij de automati-

seringsopgaven dan. Bovendien: het mág niet. Niet bij de Cito-

toetsen en niet bij de rekentoetsen die vanaf volgende jaar in het

middelbaar en voortgezet onderwijs worden afgenomen”. >

“Uiteindelijk is het voor de leerkracht niet meer werk, maar minder.

Verplaats twee lucifers zodanig

dat je geen vijf vierkanten hebt,

echter vier vierkanten.

Antwoorden op pagina 65

1

R E K E N E N O P S T E N D E N 13

Hoe verder met het ERWD-protocol?

Ceciel Borghouts verzorgt trainingen

op maat: van oriëntatie van één

dagdeel (Wat betekent het protocol

voor onze school?) tot tweedaagse

trainingen en ook meerjarige

begeleidingstrajecten.

www.borghoutsrekenadvies.nl

Ook Stenden Hogeschool verzorgt

een Workshop ERWD (Ernstige

Reken en Wiskunde problemen en

Dyscalculie). De workshop duurt

2 x 2 uur en vindt plaats op de eigen

basisschool of op een locatie van

Stenden Hogeschool. De kosten

bedragen €75 per persoon bij

minimaal zes deelnemers.

Inlichtingen

Lumius

T (058) 244 1550

E lumius@stenden.com

En het wordt vooral leuker!”

“Ik ben op zoek

naar wat ze wel kunnen,

niet naar een verklaring.”

Ik praat met een optimist…

Borghouts begint te stralen. “Er zit zoveel emotionaliteit rond

rekenen. Vrouwen die zeggen ‘dat doet mijn man altijd’, erg

vind ik dat. Als ik onderzoek doe met kinderen, vinden ze

rekenen op het eind altijd leuk. Ik ben op zoek naar wat ze

wel kunnen, niet naar een ‘verklaring’. Je hebt te dealen met

de mogelijkheden van elk kind. En ieder kind kan beter leren

rekenen”. ■

14

Rekenen gaat niet meer Op Stenden kun je rekenen

15

Het onderwijs is de laatste jaren ingrijpend

veranderd. In de basisscholen hebben het krijtje

en het zwarte schoolbord plaats gemaakt voor

digiborden en computers. Ook het onderwijs op de

pabo’s is veranderd. Competenties zijn niet meer

weg te denken, maar kennis blijft als noodzakelijk

bestanddeel van die competenties onveranderd

belangrijk. Wat opvalt bij een rondgang langs de

pabo’s van Stenden Hogeschool is de prominente

rol van onderzoek en van nieuwe media, ook in het

rekenonderwijs.

Wij nemen u mee op een reis door Noord-Nederland.

In Emmen doen wij een rekeneiland aan. In Assen en

in Emmen wordt gerekend met zout. In Groningen

zien wij hoe het rekenen wordt verbonden met de

directe omgeving van de school. In Meppel hebben

wij een internationale ontmoeting. En in Leeuwarden

worden de hoorcolleges via Youtube gegeven.

Met bijdragen van Rob van ’t Veer, Crista Casu, Henk Stapert, Frits Barth en An te Selle

alleen volgens Bartjens

R E K E N E N O P S T E N D E N

Een koude voorjaarsochtend in

Emmen. Op de parkeerplaats van

Stenden staat de Zoutbus van AKZO.

Ruim honderd tweedejaarsstudenten

van Pabo Assen en Emmen starten

de themaweek ‘De krachtige

leeromgeving’. Gedurende deze week

bereiden zij de grote eindopdracht

‘Rekenen met zoutkristallen’ voor,

een uitdagende rekenochtend

voor respectievelijk 250 Assense,

en 150 Emmense scholieren uit

de groepen 5-6 van basisscholen.

Een hele ochtend lang zijn de

leerlingen enthousiast in de weer

met verschillende activiteiten die

te maken hebben met rekenen en

kristallen.

Rekenen met zoutkristallen,

hoe gek wil je het hebben?

Je moet er even opkomen, maar zo raar

is het niet. Ons woord ‘salaris’ is immers

afgeleid van het Latijnse woord voor

zout: het ‘salarium ‘was oorspronkelijk

het zoutrantsoen dat de Romeinse

soldaten meekregen als ze onderweg

waren. En leg een zoutkristal maar eens

onder de microscoop. Je ziet prachtige

meetkundige vormen.

Het is het vijfde jaar dat Stenden zo’n

rekenochtend organiseert. Vond het

evenement oorspronkelijk alleen in

Assen plaats, het afgelopen jaar werd

het voor het eerst ook in Emmen

georganiseerd. Een uitbreiding naar de

andere locaties van Stenden is voorzien

voor begin 2013.

Rekenen met zoutEen zakje met zout

Rekendocenten Rob van ’t Veer (49)

en Crista Casu (42) hebben het project

samen bedacht. Maar de voorbereiding,

vormgeving en uitvoering zijn helemaal

in handen van de tweedejaars pabo-

studenten, die het project uitvoeren als

onderdeel van het thema ‘De krachtige

leeromgeving’. De studenten openen

de ochtend met een toneelstuk, die de

leerlingen terugbrengt in de Romeinse

tijd. Daarna gaan de leerlingen in

kleine groepjes langs een carrousel van

verschillende activiteiten. Ze verdiepen

zich in de eigenschappen van kristallen.

Zij maken een koepel van vijf- en

zeshoeken. Ze maken zelf modellen van

kristallen met satéprikkers en spekjes.

Ze ontwerpen kunststof kristallen met

de 3D-printer in het geavanceerde

My Concept, het lab van de afdeling

Techniek van Stenden. Zij ontwerpen

een zoutloper en verdiepen zich zo

spelenderwijs in het tijdmeetsysteem.

En in het winkeltje ontwerpen ze een

metriek zoutstelsel om te betalen met

zakjes zout. ‘Dat wordt dan twee zout

en drie decizout’. >

Op Stenden kun je rekenen

Voorbereiding en uitvoering in handen van… … tweedejaars studenten

16

17

De kinderen zijn enthousiast en lijken

de tijd te vergeten. Een leerling vraagt

ongerust: “Wij moesten toch gaan

rekenen, maar wij hebben de hele

morgen nog niet gerekend”.

Rob van ’t Veer: “Ondertussen zijn ze

de hele ochtend met hoeveelheden,

verhoudingen en meten bezig geweest.

Dat maakt het nu zo mooi!”

“Waarom wij dit project doen?

Allereerst omdat wij het zelf zo leuk

vinden. Maar ook om de kinderen te

laten ervaren dat rekenen vooral te

maken heeft met alledaagse dingen.

Wij willen de studenten laten zien hoe

je onderwijs ontwerpt en hoe je een

krachtige leeromgeving creëert. En de

leerkrachten ervaren inspiratie voor

enthousiasmerende en uitdagende

rekenactiviteiten naast de methode”. ■

R E K E N E N O P S T E N D E N

“Routinematige

handelingen leiden

nauwelijks tot

hersenactiviteit”

De zoutbus

Wij hebben de hele morgen nog niet gerekend!

Pabo 3 studenten van de Stenden Pabo in Emmen doen mee

aan een project “Anders leren” op basisschool de Delftlanden

in de gelijknamige wijk van Emmen.

Op een onbewoond Op Stenden kun je rekenen

Wij en

de wereld Techniek

Mens en

Maatschappij Geschiedenis

Natuur

en Milieu

18

breinkraker

Op een feest waren vijftien kinderen: jongens en meisjes.

Toen de helft van de jongens naar huis was gegaan,

bleven er nog tien kinderen over.

Hoeveel jongens en meisjes waren oorspronkelijk op het feest?

Antwoorden op pagina 65

2

In de ochtend worden de basisvaardigheden aangeboden en

hebben de leerlingen individuele leertaken. In de middag gaan

de leerlingen thematisch werken.

Er zijn verschillende eilanden waaruit de leerlingen mogen

kiezen. Zo is er een rekeneiland, een taaleiland, een

wereldeiland, een moet-je-doen-eiland, een natuureiland

en een ontdekeiland. Op die eilanden gaan de kinderen zelf

dingen ontdekken. De leerkrachten coachen de leerlingen in

de verschillende eilanden. De resultaten van het leerproces en

de leeropbrengsten krijgen een plaats in het portfolio van de

leerling.

Boeiend onderwijs voor avontuurlijke kinderen

Basisschool de Delftlanden wil boeiend onderwijs bieden voor

avontuurlijke kinderen!

In het rekeneiland wordt de leerlingen een rijke leeromgeving

aangeboden. De leerkracht is hierbij de coach die de

leerlingen in hun leerproces begeleidt, waarbij ontdekkend

leren, samenwerken en verantwoordelijkheid belangrijke

uitgangspunten zijn.

Binnen de thema’s ontwerpen de studenten rekenactiviteiten

voor de groepen 3 tot en met 8. Gedurende het jaar komen de

volgende thema’s aan bod:

• Wij en de wereld

• Techniek

• Mens en Maatschappij

• Natuur en Milieu

• Geschiedenis

Een voorbeeld. Binnen het thema ‘Wij

en de wereld’ werkt groep 3 aan het

onderwerp Emmen. Er is post voor de

leerling, maar de postbode weet de weg

niet. De leerling ontwerpt een routekaart

voor de postbode. De routekaart wordt

gepost in een speciale brievenbus op school. Als de leerling

een juiste route heeft getekend, ontvangt die een kaart van de

postbode. ■

R E K E N E N O P S T E N D E N

(reken)eiland…

19

20

‘De wereld als speelveld’, dat

is een van de thema’s uit het

eerste jaar van de Pabo’s van

Stenden. Als onderdeel van

dat thema krijgen studenten

de opdracht om geïntegreerde

lessen te geven over

Wereldoriëntatie en Rekenen.

Daarbij moeten zij zo veel

mogelijk werken aan de hand

van de leerlijnen voor meten en

meetkunde.

Voor de kinderen op de stageschool

kan dat resulteren in een opdracht als

deze.

Zo’n opdracht is ook voor de

studenten geen gesneden koek,

legt docent Henk Stapert (58) uit.

De eerstejaars krijgen daarom van

de docenten Rekenen, Wiskunde

en Didactiek een practicum om

hun inspiratie te geven voor

omgevingsgerichte opdrachten, om

zelf te oefenen met de bijbehorende

rekenvaardigheden en om na te

denken over de didactiek.

De studenten krijgen natuurlijk

opdrachten die op hun niveau liggen.

Henk Stapert en zijn collega’s zochten

voorbeelden in de directe omgeving >

Op Stenden kun je rekenen

?

Hoe hoog is deze boom?

Reken uit op twee manieren en

leg beide manieren uit.

Buiten rekenen

21

van de school. Hiernaast drie

voorbeelden uit de binnenstad van

Groningen.

Wat hebben de studenten nu van dit

practicum geleerd? Henk Stapert komt

bijna vingers te kort om de redenen

op te sommen: “Zij hebben geleerd

dat rekenen op straat ligt en dat het

hartstikke leuk kan zijn als je niet

alleen maar uit het rekenboek rekent.

Zij hebben vooral ook leren nadenken,

zij hebben naar hun omgeving leren

kijken door een meetkundebril en zij

hebben geleerd om de juiste vragen

te stellen. Zij hebben zich gerealiseerd

dat je rekenen ook nodig hebt bij

bijvoorbeeld biologie (de hoogte

van een boom) en aardrijkskunde

(plaatsbepaling).” ■

één ton?

m2

Hoeveel zakken van

25 kg potaarde passen

er in deze pot?

Wat kost het schoonmaken

van de ramen van

deze uitbouw van de

Remonstrantse kerk.

De glazenwasser moet een

offerte maken. Help hem mee.

Hij wil € 1,00 per vierkante

meter verdienen.

Als je deze ton vol

zou gooien met

1-euromunten,

zou deze afvalton

dan € 100.000 kunnen

bevatten?25

R E K E N E N O P S T E N D E N

22

Zes nationaliteiten

Er heerst een zinderende sfeer. Wij horen

veel verschillende talen, hoewel Engels

de voertaal is. Meer dan vijftig studenten

uit Turkije, Polen, Zweden, Denemarken,

Duitsland en Nederland zijn op

dinsdagochtend gestart met twee weken

leren van en met elkaar. Leren over

onderwijs en ontwerpen van onderwijs.

Onderwijs waarbij het verbindende

element naast “Math” (wiskunde), het

European Railway System is en waarbij

het gaat om het oplossen en ontwerpen

van grotere reken-wiskundige problemen.

Onderwijs ontwerpen en uitvoeren

De eerste week zijn de studenten

hoofdzakelijk in en om Pabo Meppel aan

het werk. Hierbij wordt er samengewerkt

in verschillende samenstellingen en

verschillende nationaliteiten, tijdens

hoor- en werkcolleges. Elk dagdeel

laat een reken- of wiskundedocent

uit een van de landen de studenten

kennismaken met zijn of haar

expertise, steeds in relatie met het

ontwerpen van onderwijs dat in de

tweede week centraal staat. Op de

eerste donderdagmiddag maken de

studenten kennis met de school en de

groep waar ze in de tweede week les

gaan geven. Zodoende kunnen ze met

een eerste beeld van een school/groep

kinderen in Nederland starten met het

ontwerpen van onderwijs.

De studenten uit de verschillende

landen gaan samen rekenonderwijs

maken en dat gedurende drie dagen

uitvoeren, zodat er tijd is om een en

ander te optimaliseren. Er is steeds

gekozen voor groepen van zes om

zodoende alle landen samen te laten

smelten. Voor het lesgeven splitsten

deze groepen zich op in drietallen.

Op deze manier is er nadien een goede

uitwisseling van praktijkervaringen

mogelijk. Verschillende scholen

in en om Meppel verlenen hun

medewerking. Voor de studenten

een mooie ervaring, maar voor de >

Internationale Pabo

In samenwerking met partners uit Zweden,

Denemarken en Noorwegen heeft

Pabo Meppel een nieuwe specialisatie

ontwikkeld: ‘Leraar basisonderwijs,

Specialisatie Internationaal’. Een Europese

primeur.

Deze studie wordt sinds september

2012 aangeboden onder de naam ITEPS

(International Teacher Education for

Primary Schools). ITEPS richt zich in

het bijzonder op de vaardigheden en

uitdagingen die horen bij het werken op

een internationale school, maar leidt even

zo goed op voor het reguliere Nederlandse

diploma Leraar Basisonderwijs.

De opleiding werkt met onderdelen van

de belangrijkste lesprogramma’s die in

internationale scholen worden gebruikt

en besteedt uitgebreid aandacht aan het

wereldburgerschap en het lesgeven in

een multiculturele klas. Onderwijservaring

doen de studenten niet alleen op in

Nederlandse scholen, maar ook in

geselecteerde, internationale scholen in

het buitenland.

De studenten zijn verplicht een half

jaar onderwijs te volgen bij een van de

partners in Scandinavië, waar ook stages

worden gelopen. De voertaal is Engels.

Met deze specialisatie speelt Stenden in

op de toenemende vraag uit het werkveld

naar internationale leraren. Voor meer

informatie kijk op: www.iteps.eu.

Internationale rekenaars zetten NS op het goede spoor

Op Stenden kun je rekenen

Internationalisering is niet meer weg te denken uit het hoger

onderwijs. Voor Stenden hogeschool is internationalisering een

speerpunt, ook voor de pabo’s. Sommige studenten lopen zelfs stage

in een township in Zuid-Afrika. De Pabo uit Meppel doet regelmatig

mee aan internationale uitwisselingsprojecten.

Het is voorjaar 2012. In de mooie, natuurlijke tuin van Pabo Meppel

zitten de ooievaars al weer op hun post. Wij nemen een kijkje binnen.

222

u t ee a de a de de stude te

R E K E N E N O P S T E N D E N 23

kinderen en hun leerkracht is het

spannend. Ze krijgen immers les in het

Engels en gaan werken aan een groot

rekenprobleem.

“Wij hebben genoten van de

ontdekkingen die ze deden”

Rekendocent Douwe-Jan Douwes

van Stenden vertelt hoe hij het

ervaren heeft: “Wij hebben genoten

van het leren van de studenten,

van de ontdekkingen die ze deden.

Studenten hebben genoten van elkaar,

van de verschillen binnen onderwijs

in de diverse landen. Kinderen

hebben genoten van het werken

aan grote wiskundige problemen in

tweetallen en dan ook nog in het

Engels. Leerkrachten in het basis- en

voortgezet onderwijs hebben genoten

van de motivatie om zich in het Engels

proberen uit te drukken en van de

intensiteit van het oplossen van de

voorgelegde problemen.”

Organisator An te Selle noemt

het een groot succes. “Wij gaan

vaker meedoen aan zo’n Intensive

Programme, zoals zo’n Europese

uitwisseling heet. Volgend jaar gaan

wij met een groep studenten uit

Meppel naar Nürnberg.” ■

Samenwerken over

grenzen heen

24

In zijn lessen Rekenen-wiskunde& didactiek aan de Stenden

pabo’s van Leeuwarden, Groningen en Emmen maakt Frits

Barth (62) regelmatig gebruik van digitale media. Zo geeft hij

een aantal van zijn hoorcolleges vorm via korte videoclips, die

op Youtube te bekijken zijn.

Waarom geef je die hoorcolleges niet gewoon in de collegezaal?

“Tot ruim vijf jaar geleden deed ik dat op die manier, maar er

kwamen vanwege roosterproblemen vaak weinig studenten

opdagen en dat werd mede voor mij de aanleiding om te gaan

experimenteren met een digitaal informatieaanbod. Ik zie

enorm veel mogelijkheden op dat gebied en daarnaast heeft

het leren door mensen binnen en buiten de schoolmuren - in

het bijzonder dat door kinderen - me altijd gefascineerd. Wat

is er mooier dan het observeren hoe mensen nieuwe kennis en

vaardigheden opdoen en gaan gebruiken? Zeker wanneer dat

gebeurt met behulp van digitale media.”

Maar waarom videoclips op Youtube, leren ze daar iets van? je

hebt zo toch geen contact met je studenten?

“Leren is een complex proces en kan op allerlei manieren en

met behulp van diverse middelen. Als je een college aan een

grote groep studenten in de zaal geeft, is er nog enige, zij het

beperkte interactie tussen docent en studenten mogelijk. Die

interactie is er niet bij het bekijken van een clip. Het bekijken

van zo’n clip doe je meestal in je eentje en het voordeel is dan

wel dat je je veel beter kunt concentreren op wat je ziet en

hoort. Daarnaast kun je zo’n clip bekijken wanneer jij dat wilt

en ook nog meer dan één keer”.

Maar tijdens een college kun je vragen stellen, dat kan niet bij

een videoclip.

“Dat is waar, maar in het geval van videoclips kunnen de

studenten die vragen stellen tijdens de werkcolleges en

practica, die ze daarnaast krijgen. Verder stel ik zelf in een clip

soms een of meer vragen aan de studenten om ze tot nadenken

te stemmen. Komen ze er dan nog niet uit, dan kunnen ze me

altijd nog even individueel vragen stellen”.

Hoe zien die clips er dan uit, krijgen de studenten een docent in

beeld die, staande voor een bord, uitleg geeft?

“Ik maak presentaties in Prezi, die ik als ‘screen-recordings’

opneem, waarna ik mijn tekst als een voice-over bij de beelden

inspreek. Die presentaties bevatten PowerPointachtige dia’s,

maar ook videofragmenten van basisschoolsituaties. Ik heb er

voor gekozen om zelf niet in beeld te komen, dat heeft mijns

inziens geen meerwaarde en bovendien maakt het de clips

onnodig groot qua bestandsgrootte. Als voorbeeld wil ik de clip

over handelingsgericht werken1) noemen, daarin geef ik uitleg

over de aanpak van handelingsgericht werken zoals die in het

Protocol ernstige reken-wiskundeproblemen en dyscalculie2)

wordt beschreven.”

Dus geen hoorcolleges meer in een zaal en alleen nog maar

clips op Youtube?

“Nee, zeker niet! Ik geloof in een veelkleurig palet als het

gaat om het onderwijzen en leren. Dat houdt dat het leren

en onderwijzen met behulp van videoclips slechts één van >

Rekenen op YoutubeOp Stenden kun je rekenen

Reacties van studenten

‘Ik vond de fi lmpjes echt fantastisch!’

‘De fi lmpjes waren helder en duidelijk.

Ik heb daar veel van geleerd.’

Frits Barth

25R E K E N E N O P S T E N D E N

veel mogelijke aanpakken is. Denk bijvoorbeeld maar aan

probleemgestuurd onderwijs en projectonderwijs, het zijn

onderwijsvormen die op Stenden veelvuldig worden toegepast.”

Niet onbelangrijk: wat vinden de studenten van het leren met

behulp van videoclips?

“Zo lang ik deze aanpak hanteer, heb ik iedere keer de

studenten in een enquête gevraagd naar hun ervaringen en

iedere keer waren die overwegend positief.”

Kun je daar iets meer over vertellen?

“De studenten gaven de laatste keer, in april van dit jaar, aan

dat ze zeer tevreden waren over de presentaties via Youtube.

Op de vraag wat ze liever willen, hoorcolleges in de collegezaal

of de inhoud van die colleges in videoclips op Youtube, geeft

ruim 80 % van de respondenten aan de laatste mogelijkheid

te prefereren. Ruim 80 % van deze studenten gaf ook aan

dat de inhoud van de clips zeer helder gepresenteerd werd.

Gevraagd naar een cijfer voor de module gaf ruim 60 % van de

respondenten een 8.”

Is dit de toekomst?

“Een dergelijke uitkomst geeft me vertrouwen om op deze voet

voort te gaan, niet als dé weg naar goed onderwijs, maar als één

van de vele wegen die daarheen leiden. Dit experimenteren met

andere onderwijsleervormen motiveert me enorm. Eigenlijk ben ik

mijn hele loopbaan al bezig met het ontwerpen en onderzoeken

van onderwijsleersituaties en leeromgevingen. Daarbij hanteer

ik altijd als stelregels dat ten eerste dit experimenteren nooit

ten koste van de studenten mag gaan en ten tweede dat ik hun

inbreng en commentaar op de vernieuwingen altijd uiterst serieus

neem. Ik merk ook dat mijn professionaliteit groeit door deze

onderzoekende houding. Ik houd mijn studenten dan ook voor

dat zij later ook hun onderwijs moeten blijven vernieuwen. Dat

motiveert jezelf, het houdt je scherp en het draagt sterk bij aan je

professionele ontwikkeling.

Een simpel advies is verder: kijk goed naar (het leren van)

kinderen, ik ben nog regelmatig verbaasd over wat kinderen

ook op vroege leeftijd al kunnen en kennen. Zo startte ik laatst

voor de anderhalf jaar oude Norah een telspelletje op de iPad.

Ze heeft nog weinig tot geen idee van hoe het tellen in zijn

werk gaat, maar ik stond versteld van de snelheid waarmee ze

zich de niet heel eenvoudige bediening van het spelletje eigen

maakte. Na één keer voordoen, pakte ze dat direct op.

Juist zulk soort onverwachte (re)acties maken het fenomeen

leren zo geweldig interessant. Als ik die interesse kan losmaken

bij studenten is dat een prachtig resultaat, dat naast de andere

beroepsvaardigheden, bijdraagt aan hun ontwikkeling van

student tot refl ectieve leraar.” ■

1) RW&D 3.3-3.D. Handelingsgericht werken: www.youtube.com/watch?v=QQ-S640dCzM2) Groenestijn, M. van, C. Borghouts & C. Jansen (2011). Protocol ernstige Rekenwiskunde- problemen en dyscalculie. Assen: Van Gorcum.

Reacties van studenten

‘Het is fi jn dat je tijdens de clips zelf kan bepalen welk onderdeel je wel beluistert

en welk onderdeel je over kan slaan omdat je het bijvoorbeeld al weet.’

26

InleidingDe post-HBO opleiding tot coördinator rekenen is een product van Het Landelijk Platform Nascholing Primair Onderwijs (LPNPO). Deze gecertifi ceerde opleiding is door een landelijke werkgroep in samenwerking met het Freudenthal Institute for Science en Mathematics Education (FIsme) ontwikkeld. De opleiding is in 2011 geactualiseerd en gereviseerd. Naast de bestaande inhouden als didactiek en leerlijnen van reken-wiskundeonderwijs sluit de opleiding nu ook aan op actuele ontwikkelingen als:

• de referentieniveaus rekenen;

• resultaatgericht werken, rekenbeleidsplannen en rekenverbetertrajecten;

• rekenen in de een-zorgroute (handelingsgericht werken);

• het protocol Ernstige Reken-WiskundeProblemen en Dyscalculie (ERWD).

DoelDe post-HBO opleiding tot coördinator rekenen heeft tot doel leerkrachten te scholen voor de taak van coördinator rekenen in de eigen basisschool of op bovenschools niveau. Een coördinator bewaakt en bevordert de inhoudelijke kwaliteit van het onderwijs in reken-wiskunde. Door een van de teamleden deze taak te laten vervullen – en de opleiding te laten volgen – komt het reken-wiskundeonderwijs op een hoger niveau.

In de opleiding is veel aandacht voor taken als:

• het ondersteunen van collega’s in hun dagelijkse onderwijs bij het realiseren van interactief, rijk en uitdagend rekenen-wiskundeonderwijs;

• het informeren van collega’s over de nieuwste ontwikkelingen, ideeën en materialen;

• het initiëren en medevormgeven van kwaliteitszorg en schoolbeleid op het gebied van het onderwijs in rekenen-wiskunde;

• het enthousiasmeren van collega’s voor het vak rekenen/wiskunde;

• het onderzoeken en stimuleren van resultaatgerichtheid van het rekenonderwijs.

InhoudAl tijdens de opleiding werkt de deelnemer aan de verbetering van de kwaliteit van het reken-wiskundeonderwijs op de eigen school. Vandaar dat de betrokkenheid van de schoolleiding van belang is. Ook voert de deelnemer activiteiten uit in de eigen school die horen bij de taak. De deelnemers ontwikkelen zich als coördinator rekenen op de volgende terreinen:

• gecijferdheid;

• vakdidactiek;

• collegiale consultatie;

• onderzoek en ontwikkeling van rekenbeleid.

In de eerste helft van de opleiding ligt de nadruk op ontwikkeling van de persoonlijke competenties. Interactieve presentaties, practica en praktijkopdrachten zijn gericht op versterking van de eigen gecijferdheid en verdieping van de vakdidactische kennis

en vaardigheden. Een centrale vraag is steeds: hoe pas ik het geleerde toe in mijn eigen school?In de tweede helft van de opleiding blijven gecijferdheid en vakdidactiek belangrijke pijlers van de opleiding, maar nu meer in relatie tot collegiale consultatie en rekenbeleid. De aandacht verschuift naar de ontwikkeling van de gehele school. Centrale vragen zijn dan:

• wat hebben mijn collega´s nodig om hun rekenonderwijs te verbeteren?

• hoe kan ik hen ondersteunen?

• hoe enthousiasmeer ik mijn team voor rekenwiskunde-onderwijs?

• hoe zet ik onderzoek in om vragen naar bijvoorbeeld verhoging van resultaat te kunnen beantwoorden?

• hoe komen we als school tot een helder rekenbeleid?

StudiebelastingDeze post-HBO opleiding heeft een belasting van 200 studiebelastingsuren. De studiebelasting is onder te verdelen in:

• 50 uur contacttijd;

• 150 uur zelfstudie, portfolio en praktijkopdrachten.Naast het bijwonen van de 15 bijeenkomsten moeten er ook huiswerkopdrachten uitgevoerd worden.

DuurDe opleiding duurt 1½ jaar. De 15 bijeenkomsten worden ongeveer eens per maand gepland. In overleg kan er een aanpassing gemaakt worden in de tijdstippen van de contacttijd. De 15 bijeenkomsten kunnen ook aangeboden worden in 8 studiedagen.

KostenDe kosten van de opleiding zijn € 2.195,- per persoon. Als een schoolbestuur een groep deelnemers aanmeldt, kan de opleiding tegen een gereduceerd tarief worden aangeboden.

AfrondingElke deelnemer bouwt een portfolio op met uitwerkingen van praktijkopdrachten en ontwikkeling van het rekenonderwijs op de eigen school. Het portfolio en de feedback van de docent(en) dienen als basis voor de assessments. Hierin toont de deelnemer de eigen ontwikkeling op het terrein van de specifi eke competenties aan.

ContactgegevensLumiusPostbus 12988900 CG LeeuwardenT (058) 244 1550E lumius@stenden.comI www.lumius.nl

27R E K E N E N O P S T E N D E N

Rekencoördinator

Woensdagmiddag op basisschool

Op ‘e hichte (Op de hoogte) in

Scharnegoutum, onder de rook van

Sneek. De school is uit. In de hal

staan de werkjes voor Moederdag

te wachten. In de bibliotheek

annex personeelskamer tref ik

Wil Oonk, eindredacteur van de

wiskundemethode Rekenen-

wiskunde in de praktijk voor de

pabo en Frits Barth, rekendocent bij

Stenden en een van de tien auteurs

van de boekenserie. Zij hebben

‘s ochtends fi lmopnames gemaakt

tijdens de rekenlessen. Wat hebben

rekendidactiek en video met elkaar

te maken?

Goed rekenonderwijs begint

Dertig kerninzichten

Het heeft alles te maken met de opzet

van de methode Rekenen-wiskunde in de

praktijk. Opleidingen die deze methode

gebruiken, hebben naast de boeken de

beschikking over een grote hoeveelheid

fi lmpjes. Studenten ontdekken op die

manier hoe kinderen op de basisschool

leren en welke rol hun leraar daarbij

speelt. Er zijn inmiddels drie boeken

in gebruik: een boek voor het reken-

wiskundeonderwijs van de onderbouw

en van de bovenbouw en het boek

Kerninzichten. In het laatstgenoemde

boek wordt in dertig kerninzichten

beschreven wat de belangrijkste inzichten

zijn die leerlingen van de basisschool

moeten verwerven. Een boek over

handelingsgericht werken is in de maak.

Oonk: “ Wij gaan letterlijk uit van de

praktijk door opnames van het reken-

wiskundeonderwijs als uitgangspunt

voor refl ectie te gebruiken. Hoe zorg

Wil Oonk

28

Wil Oonk (1940) was leraar

basisonderwijs, docent wiskunde

in het voorgezet onderwijs,

pabodocent en cursusleider van

een parttime lerarenopleiding

voor wiskunde. Hij promoveerde

in 2009 aan de Universiteit van

Leiden op het onderwerp ‘Met

theorie verrijkte praktijkkennis

in de lerarenopleiding voor

het vak rekenen-wiskunde &

didactiek’. Tegenwoordig is

hij gastonderzoeker aan het

Freudenthal Instituut en geeft

mede leiding aan een landelijke

opleidersgroep. Wil Oonk is

coauteur van Reken Vaardig en

redactielid van het tijdschrift

Reken-wiskundeonderwijs:

onderzoek, ontwikkeling, praktijk.

met kijken naar kinderen

je er nu voor dat kinderen die dertig

kerninzichten verwerven, bijvoorbeeld

het inzicht hoe je handig referentiematen

bij het meten kunt gebruiken? De

manier waarop dat gebeurt en de theorie

erachter, hangen wij op aan de praktijk.

Beelden van de onderwijspraktijk zijn

daarbij essentieel. Als je het boek

gebruikt, krijg je een voucher die je

toegang verschaft tot de website met de

videoclips.”

Barth: “Die clips kunnen op diverse

manieren in het opleidingsonderwijs

worden ingezet, onder meer als startpunt

van een onderwerp. Een voorbeeld: In een

clip over procenten als gestandaardiseerde

verhouding komt een leerling in beeld

die verschillende procentopgaven oplost.

Aan die beelden is veel te ontdekken voor

studenten: wat moet je als leerling weten

en beheersen om deze opgaven te kunnen

oplossen? Hoe presteert deze leerling bij

die opgaven, etc. Een dergelijke clip kan

dan ook veel leeractiviteiten bij studenten

oproepen.”

’Theorie beklijft door praktijkverhalen’

Kenmerkend voor de methode is dat de

theorie is opgehangen aan de praktijk.

“Met theorie verrijkte praktijkkennis”,

noemt Oonk dat. “In onze boeken

wordt de theorie vertegenwoordigd

door lijsten met theoretische begrippen.

Die begrippen komen terug in de

praktijkvoorbeelden en onze refl ecties

daarop, in de kantlijn en in de index van

de boeken; verder ook in de peilingen,

aan het begin en aan het einde van elk

hoofdstuk. De beginpeiling is bedoeld

om studenten meteen ervan bewust te

maken om welke theoretische begrippen

het in dat hoofdstuk gaat. Er wordt hun

dan bijvoorbeeld gevraagd: “Weet je

wat ‘ankerpunt’ betekent en kun je er

een praktijkverhaal bij vertellen?” Bij de

eindpeiling moeten ze aangeven of dat

begrip hun beter bekend is geworden en of

zij er een praktijkverhaal bij kunnen vertel-

len waarin het begrip betekenis krijgt. >

R E K E N E N O P S T E N D E N

Vincent, een leerling uit groep 4 die hoog

scoort in het Cito-leerlingvolgsysteem,

wordt gevraagd het aantal puzzelstukjes

te berekenen van een puzzel van 6 bij 7

stukjes.

V = Vincent

I = Interviewer

V: (Leest de opdracht voor) Uit hoeveel stukjes

bestaat de puzzel?

I: Vertel maar en denk maar hardop.

V: Ik doe eerst deze rand, dat zijn er 6 en deze

rand, dat zijn er 7, dus dan doe ik 7x6......

I: Hoeveel komt daar uit?

V: Eh...doe ik eerst 5x6...weet ik... en dan doe ik

eerst 5x7 die is makkelijker, dan kom je eerder bij

6x7 ...dan doe ik eerst 6x5 wel...en dat is 30 plus

dan nog 5...en dan kom je uit op 35...en dan doe

ik er nog...eh...7 bij...en dan kom je uit op...eh...

tweeën...eh...42.

Als de interviewer daarna vraagt waarom je al-

leen maar de randen (van 7 en 6 stukjes) hoeft

te gebruiken om te weten hoeveel stukjes de

hele puzzel bevat, wijst Vincent onmiddellijk één

voor één de 7 rijen van 6 stukjes in de puzzel

aan als verklaring.

De praktijksituatie van maar enkele minuten

is uitdagend en leerzaam voor studenten in

meerdere opzichten. Ze worden onder andere

uitgedaagd de simpel lijkende maar niet zo

eenvoudige redeneringen van Vincent te volgen

door gerichte observatie en ook om ken-

nis, inzichten en vaardigheden van Vincent te

plaatsen op een leerlijn. Ze maken kennis met

vraagtechnieken en er wordt van hen verwacht

dat ze vermoedens kunnen uitspreken over

een (hypothetisch) leertraject voor Vincent. Zo

te zien gaat hij bijvoorbeeld fl exibel om met

rekenstrategieën, maar kan hij kennelijk de tafels

van vermenigvuldiging – in ieder geval die van

zes – nog niet memoriseren. Het is een vaak

voorkomend verschijnsel: goede rekenaars

zoals Vincent die allerlei strategieën kunnen

toepassen, ook bij grotere vermenigvuldi-

gingen, maar de tafels nog onvoldoende

kennen, tegenover sommige zwakke reke-

naars die de tafels van vermenigvuldiging

feilloos beheersen maar niet in staat zijn die

in te zetten bij het handig rekenen. Uiter-

aard is het streven dat leerlingen zowel het

memoriseren als het handig rekenen op het

voor hen hoogste niveau leren beheersen.

Als deze praktijksituatie van Vincent onder

goede leiding bediscussieërd wordt met

studenten, kan het een ‘praktijkverhaal’

voor hen opleveren waarin de hiervoor

genoemde theorie kan beklijven; het zal

leiden tot het verwerven van ‘met theorie

verrijkte praktijkkennis’.

Praktijksituatie

29

Frits Barth (62), rekendocent bij de Opleiding

tot Leraar basisonderwijs van Stenden

Hogeschool in Leeuwarden en mede-opsteller

van de Kennisbasis Rekenen en Wiskunde, is

een van de auteurs van Rekenen-wiskunde in

de praktijk. Dictafoon en videocamera behoren

tot zijn standaarduitrusting. Hij heeft niet

alleen tientallen opnames voor de methode

gemaakt, maar biedt ook een deel van zijn eigen

hoorcolleges in de vorm van Youtubefi lmpjes aan

zijn studenten aan.

Oplossingsmethoden tot 100 (6:55 min)

Deze clip laat de oplossingsmethoden voor het

optellen en aftrekken tot 100 zien.

http://www.youtube.com/watch?v=NszdM1lYeFE

Diagnostisch gesprek (4:37 min)

Een korte toelichting op de vorm en inhoud van

een diagnostisch gesprek met een voorbeeld van

een diagnostische toets uit Maatwerk Rekenen.

http://www.youtube.com/watch?v=4UPVvRXSK6Q

Handelingsgericht werken (4:12 min)

In deze clip wordt in het kader van handelings-

gericht begeleiden het handelingsmodel uit het

Protocol ERWD besproken.

http://www.youtube.com/watch?v=QQ-

S640dCzM

Dat geeft henzelf een idee van ‘ik ben

verder gekomen. Ik weet nu meer’.

Uiteindelijk is het de bedoeling dat er een

cognitief netwerk bij die studenten ontstaat

dat de samenhang tussen de begrippen

geeft. Die samenhang ontstaat door de

praktijkverhalen, maar onder andere ook

door de bijbehorende colleges van de

opleider, bijvoorbeeld over de leerlijn tellen

bij jonge kinderen. Die theorie beklijft door

de praktijkverhalen”. Op de bij de boeken

behorende website zijn voor de opleider

lessuggesties, powerpointpresentaties en

uitwerkingen beschreven.

Leren is refl ecteren

De ideeën achter de methode zijn

gebaseerd op het onderzoek dat Wil Oonk

heeft gedaan aan de universiteit Leiden.

Via zijn werk als wiskundedocent op de

pabo van Amsterdam en als ontwikkelaar

en onderzoeker bij onder meer het

toonaangevende Freudenthalinstituut,

raakte hij betrokken bij het MILE-project,

een multimediaproject om de kwaliteit

van de opleiding tot leraar basisonderwijs

te verbeteren. Dat wekte bij hem

nieuwsgierigheid naar de vraag op welke

manier studenten leren en welke rol hun

eigen refl ectie daarbij speelt. “Toen ben ik

gaan onderzoeken hoe studenten theorie

en praktijk verbinden en hoe je hun

vermogen om te refl ecteren kunt meten en

in beeld kunt brengen”.

Veertig jaar nadat hij als onderwijzer

in het basisonderwijs begon, heeft Wil

Oonk een onverminderde passie voor

het basisonderwijs. Hij is ervan overtuigd

dat theorie voor (aanstaande) leraren

basisonderwijs alleen betekenis krijgt

door de koppeling met de praktijk en

dat kennisverwerving begint met kijken

naar kinderen. “Eigenlijk zouden de drie

hoofdvakken op de pabo (taal, rekenen en

onderwijskunde) veel meer samen moeten

werken. Een geïntegreerde aanpak van

theorieverwerving werkt in het voordeel

van vooral ook die vakgebieden. Ook mijn

Refl ectie Analyse Instrument (RAI) kun je

bij de andere vakken toepassen.” ■

breinkraker

30

De broers Alexander en Bernard staan op

2 kilometer afstand van elkaar. Ze wandelen

elkaar tegemoet met een snelheid van 5 km/uur.

Hun hond rent heen en weer van de een naar

de ander met een snelheid van 15 km/uur.

Hoeveel meter heeft de hond afgelegd als de

broers elkaar ontmoeten?

In bedrijf A werken negen personen. Hun

gemiddelde leeftijd is 25 jaar.

In bedrijf B werken elf personen met een

gemiddelde leeftijd van 45 jaar.

Bedrijf A en B fuseren. Niemand wordt

ontslagen. Wat wordt de gemiddelde leeftijd

van het personeel in het nieuwe bedrijf?

3

4

Driehoeksommen5

2

11

9 5

7

14

8

12 9

18

26

15 12 11

9

In de bovenstaande driehoeken worden steeds getallen in

twee cirkels opgeteld en de uitkomst in het tussenliggende

vierkantje gezet. In de eerste is het voorgedaan. Probeer jij

bij de andere driehoeken de cirkels en vierkanten eens te

vullen met de juiste getallen.

Antwoorden op pagina 65

Volgens Bartjens is de combinatie

van een tijdschrift en een website,

vol met informatie en inspiratie voor

reken-wiskundeonderwijs op de

basisschool. Volgens Bartjens is voor

bestemd voor basisschoolleerkrachten,

pabostudenten, schoolbegeleiders,

opleidingsdocenten, onderzoekers en

verder voor iedereen die zich inzet voor

nog beter reken-wiskundeonderwijs

voor kinderen van 4 tot 14 jaar.

Volgens Bartjens wordt uitgegeven

door de Nederlandse Vereniging tot

Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde

Onderwijs (NVORWO) en Koninklijke

Van Gorcum BV.

Het tijdschrift

Het tijdschrift Volgens Bartjens biedt

lesideeën en -verslagen, stellingen,

meningen en standpunten, informatie

over lesmaterialen, studiedagen en

actuele ontwikkelingen, puzzels,

raadsels en rekenproblemen, interviews

en columns, onderzoeksresultaten

van vakspecialisten, ervaringen van

pabostudenten.

In Volgens Bartjens vindt u antwoorden

op vragen zoals:

• Hoe ga ik om met verschillen tussen

leerlingen?

• Hoe geef ik interactief onderwijs in een

klas vol verschillende leerlingen?

• Hoe maak ik mijn onderwijs concreet?

• Wat zijn goede computerprogramma’s?

• Kunnen zwakke rekenaars zelf

oplossingsmanieren construeren?

De website

Op de www.volgens-bartjens.nl vindt u

als abonnee, behalve de digitale versie

van het blad:

• een digitaal archief om te zoeken in

oude nummers

• artikeluitbreidingen

• achtergrondinformatie

• lesmateriaal

• agenda met evenementen en

nascholingscursussen

• informatie over de NVORWO

• antwoorden op de puzzels in het blad

• links voor verdere verdieping of

praktische ideeën.

Gratis Rekenkalender 2013 bij een abonnement op Volgens Bartjens

Na de succesvolle introductie in 2012

verschijnt in 2013 weer de Volgens

Bartjens Rekenkalender. Als u nu een

abonnement neemt op Volgens Bartjens

ontvangt u gratis de Rekenkalender!

Profi teer nu van deze actie en vul het

abonneeformulier in op

www.volgens-bartjens.nl en gebruik

de kortingscode STENDEN2012.

Deze actie loopt tot 31 januari 2013

en is niet geldig in combinatie met een

studentenabonnement.

abostudenten. praktische id

R E K E N E N O P S T E N D E N

Volgens BartjensArtikelen en nieuws over de didactiek en praktijk van rekenonderwijs

31

Herkent u dit? U kijkt rijtjes opgaven

van uw kinderen na en merkt dat ze

regelmatig antwoorden geven die

volkomen onlogisch zijn: 36 + 18 = 24

(het antwoord kan nooit lager dan

36 zijn) of 489 – 167 = 522 (het

antwoord kan niet hoger dan 489

zijn). Het lijkt wel of uw kinderen

bewerkingen met getallen uitvoeren,

zonder na te denken!

Rendement verhogen

Als bovenstaand voorbeeld voor u

herkenbaar is, dan bent u niet de

enige. Veel kinderen refl ecteren niet

tijdens het oefenen. Zij beginnen links

bovenaan met een rijtje opgaven en

gaan bijna gedachteloos de opgaven

bij langs. Voor bepaalde aspecten

van het rekenonderwijs, zoals het

automatiseren, is het belangrijk

dat kinderen niet te veel en te lang

nadenken tot ze tot een antwoord

komen. Maar veel van de oefenstof in

methodes is juist bedoeld om kinderen

getalinzicht te laten verwerven en

Minder fouten door vlot te leren rekenen met behulp ván

relaties. Bij dit soort oefenstof is het

belangrijk dat kinderen refl ectief bezig

zijn en na blijven denken. Dat oefenen

is niet gedachteloos maar zit vol met

gedachten: gedachtenvol oefenen.

Gedachtenvol oefenen is een manier

om het rendement van het oefenen te

verhogen. Uit recent hersenonderzoek

blijkt dat routinematige handelingen

nauwelijks leiden tot hersenactiviteit.

Het is dus te verwachten dat leerlingen

die routinematig sommen maken,

zonder verbanden te leggen en

zonder te refl ecteren, weinig zullen

verbeteren door oefenactiviteiten. Dit

‘gedachteloos’ oefenen kan met vrij

eenvoudige middelen omgezet worden

in gedachtenvol oefenen, waarin

kinderen meer bewust zijn, meer

nadenken en meer refl ecteren.

Een voorbeeld: gedachtenvol

oefenen in groep 4

Laten we eens kijken naar een

opgave uit Pluspunt voor groep 4

(afbeelding 1). De oefening komt uit

een fase waarin het belangrijk is dat

kinderen oefenen met de relaties

tussen verschillende tafelproducten.

Het gebruiken van deze relaties is

belangrijk voor het uiteindelijke

automatiseren van de tafels. De

kans is echter groot dat kinderen

de relaties die in deze opgave zitten

niet uit zichzelf zien en dus ook niet

gebruiken. In dit stadium van het leren

van de tafels is dat niet wenselijk. Het

is juist de bedoeling dat er gewerkt

wordt aan de opbouw van een rijk

relatienetwerk dat de kinderen kan

helpen om uiteindelijk vlotter te >

Gedachtenvol oefenenen

Afbeelding 1

“Routinematigexx

handelingen leiden

nauwelijks tot xx

hersenactiviteit”xxxxx

32

gedachtenvol oefenengaan automatiseren en memoriseren.

Juf Gertie vroeg zich af hoe ze

kinderen zélf meer bewust kon

maken van de vele relaties die in deze

oefening verwerkt zitten. Zij koos

voor de volgende opdracht: “Voordat

je deze sommen gaat maken, geef je

sommen die elkaar kunnen helpen

dezelfde kleur. Straks wil ik dat je

kan vertellen hoe die sommen elkaar

kunnen helpen.” Zij formuleert deze

opdracht bewust op deze manier. Zij

verwacht dat haar kinderen zich gaan

oriënteren op de opgave: wat zijn dat

eigenlijk voor opgaven die daar staan?

Welke ken ik al en welke opgaven

weet ik dan eigenlijk ook? Bovendien

weet ze, dat als ze aankondigt dat

kinderen de relaties ook moeten

verwoorden, ze nog meer nadenken

tijdens het zoeken van de relaties.

Gertie verwacht dat haar kinderen

relaties zullen vinden en benoemen

zoals: 4x3 is het dubbele van 2x3,

10x3 het dubbele van 5x3 (eerste

rijtje). In haar voorbereiding ziet

ze zelf dat het tweede rijtje heel

veel mogelijkheden tot het zien en

bespreken van relaties geeft: 5x5 en

3x5 is samen 8x5, 4x5 is de helft van

8x5. Ook hoopt ze dat kinderen de

relatie tussen het eerste (x3) en het

laatste rijtje (x6) zullen ontdekken en

verwoorden.

In afbeelding 2 is representatief

leerlingenwerk te zien. Gertie koos

ervoor om na de bespreking van de

gevonden relaties (gekleurde vakjes)

de kinderen alle opgaven te laten

maken. De antwoorden zijn (dus)

ingevuld na het zoeken en benoemen

van de relaties tussen de verschillende

opgaven.

Opdrachten en resultaten

In een pilot met leerkrachten

binnen het HaVERproject1, zijn

meerdere opdrachten bedacht en

uitgeprobeerd die op eenvoudige

wijze ingezet kunnen worden bij

allerlei oefenrijtjes. Hier ziet u enkele

voorbeeldopdrachten:

• Zoek vier tweetallen sommen die

voor jou bij elkaar horen. Schrijf

op waarom deze sommen bij elkaar

horen. Reken deze uit. >

Afbeelding 2

33R E K E N E N O P S T E N D E N

• Je kunt niet alle sommen af krijgen.

Begin met de rode / groene pen met

de sommen die je makkelijk kunt

maken. Ga, als ik de bel laat horen,

met de blauwe pen verder.

• Schrijf drie makkelijke en drie

moeilijke sommen in je schrift.

Schrijf op waarom je die makkelijk/

moeilijk vindt. Of: vertel aan je

buurkind waarom je die makkelijk/

moeilijk vindt. Reken nu acht

sommen uit in een door jou gekozen

volgorde. (In de nabespreking

interessant om te kijken of er

sommen zijn die het ene kind

makkelijk vindt en een ander kind

moeilijk.)

De leerkrachten van CONOD

(Christelijk Onderwijs Noord en Oost

Drenthe) die aan de ontwikkeling

van deze opdrachten meewerkten,

ontdekten dat hun kinderen bewuster

gingen rekenen, meer gebruik maakten

van relaties en dat het aantal ‘domme’

fouten zoals 36 + 18 = 24 , 489 – 167 = 522

drastisch verminderde.

Verder lezen

In dit dossier over gedachtenvol

oefenen treft u twee artikelen aan die

eerder verschenen zijn in ‘Volgens

Bartjens’, tijdschrift voor reken-

wiskundeonderwijs in de basisschool.

In deze artikelen vindt u nog een

aantal voorbeelden van gedachtenvol

oefenen uitgewerkt. Na ieder artikel

volgt een verslag van een project

waarin Stenden geprobeerd heeft

het basisonderwijs mee te nemen in

deze ontwikkeling. Het sluitstuk van

deze serie over gedachtenvol oefenen

is een interview met Maarten Dolk,

oud-lector van Stenden hogeschool

en mede-ontwikkelaar van het

gedachtenvol oefenen. ■

HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit was een project van het Freudenthal Instituut waarin Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meewerkten.

FRANCIEN GARSSEN

breinkrakerHoeveel vierkanten zitten er in het vierkant?6

a. 13

b. 14

c. 19

d. 21

e. 23

Een dóóóóodvermoeide slak7

Er was eens een slak in een diepe put van wel 20 meter gevallen.

Gelukkig had hij zich niet bezeerd, maar hij wou er toch wel heel

graag uit. Elke dag klom hij met veel moeite 3 meter omhoog.

Maar als hij ‘snachts doodmoe in slaap viel, gleed hij ongemerkt

steeds 2 meter naar beneden. Na hoeveel dagen was hij

ééééindelijk uit de put?

Antwoorden op pagina 65

34

In reken-wiskunde boeken staan veel rijtjes met sommen.

Deze rijtjes staan er niet voor niets; ook bij rekenen

is het belangrijk dat kinderen veel oefenen. Maar

hoe worden deze rijtjes vaak gemaakt? Hoeveel leren

kinderen van deze rijtjes, hoe bewust of ‘gedachtenvol’

zijn ze bezig? Gedachtenvol oefenen kan leerlingen meer

ondersteunen. In dit artikel geven de auteurs u ideeën

hoe u de leerlingen eerst kunt laten denken voordat ze

gaan oefenen. De ideeën in dit artikel zijn in het HaVER-

project1) ontstaan en in de klas uitgeprobeerd.

Praktijkervaring

‘Een paar weken geleden was ik in de bouwmarkt voor de aanschaf van 25 rollen glaswol. De glaswol was in de aanbieding. In plaats van €19,99 moest ik nu €18,49 voor een rol betalen. Bovendien had ik een bon uitgeknipt waarmee ik nog eens 15% extra korting kreeg. Bij de servicebalie maakte ik een afspraak voor de bezorging, onze bestelling werd ingevoerd en ik moest €477,25 (incl. €15,00 bezorgkosten) afrekenen. Ik reageerde daarop vrij direct met ‘Dat kan niet’. De jongen die me hielp keek verschrikt op zijn scherm en begon de aantallen te controleren ‘25 rollen, toch?’. Toen ik bevestigend knikte was zijn reactie: ‘Nou, ik heb alles goed ingevoerd, hoor’. Ik vroeg hem even met mij mee te denken. ‘Die glaswol kost normaal bijna 20 euro per rol. Ik koop 25 pakken, dus dat is 500 euro. Als ik 15% bereken, dan zou daar 75 euro afgaan. Dat is 425 en met bezorgkosten kom ik dan op 440 euro. Maar die rollen kosten nu niet eens 20 euro, dus moet het bedrag nog lager zijn dan 440 euro.’ Ik had niet het idee dat de jongen tegenover mij dit verhaal helemaal kon volgen. In ieder geval bleek dat niet uit zijn reactie, want nadat hij nog een tijd naar het computerscherm had gekeken zei hij: ‘Nou, het klopt wel hoor, want ik heb alles goed ingevoerd.’

Gedachtenvol oefenen

Rekenhouding

In een tijd waarin we steeds meer rekenwerk aan computers en rekenmachines overlaten, is het belangrijk om dit gedachtenvol te blijven doen. De jongen uit de bouwmarkt vertrouwde volledig op zijn computer. Kennelijk was hij niet in staat of niet van plan om mijn gedachtegang te volgen want hij bleef volharden in zijn aanpak: ingevoerde gegevens controleren. Als hij de ingevoerde getallen op hun waarde had geschat en beter naar de bewerkingen had gekeken, had hij kunnen ontdekken dat er toch ergens iets fout was gegaan. Dit kritisch kunnen beoordelen van het rekenwerk van een computer of een rekenmachine vraagt om bepaalde inzichten en vaardigheden en om inzet van een relatienetwerk. Het vraagt vooral ook om een bepaalde houding. Een houding waarin je ook naar getallen en bewerkingen kijkt, in plaats van je te beperken tot het uitvoeren van procedures. In dit artikel zullen we ingaan op het bevorderen van een houdingverandering bij het maken van oefenrijtjes. Het gaat daarbij om een houding waarin kinderen eerst naar de getallen kijken en naar de relaties tussen verschillende opgaven, voordat ze antwoorden gaan zoeken. We beschrijven een voorbeeld uit de praktijk waarin geprobeerd wordt om deze verandering bij kinderen te bewerkstelligen. Het bevorderen van deze houdingverandering kan er voor zorgen dat kinderen niet alleen gericht zijn op het vinden van het antwoord van afzonderlijke opgaven. Het helpt kinderen bij het leggen van relaties tussen bewerkingen. Het stelt hen ook in staat om gebruik te maken van deze relaties. >

Gedachtenvol oefenenen

Werken aan een houdingverandering

Aanbieding

€19,99€18,49

35R E K E N E N O P S T E N D E N

Informatie verzamelen over de houding van kinderen

Voor je aan het werk gaat met de houding van kinderen is het belangrijk om hier als leerkracht zicht op te krijgen. Dat kan je doen door goed naar kinderen te luisteren, hen te observeren tijdens hun werk en hen vragen te stellen tijdens het werken. In de groep 8 van juf Anneke verzamelden we houdingsinformatie via een schriftelijke toets. We gaven de kinderen uit Anneke’s groep de opdracht de sommen uit fi guur 1 te maken:

De rijtjes zijn zo samengesteld dat het heel veel mogelijkheden tot handig, verstandig, effectief rekenen geeft. Er staan opgaven tussen die de meeste leerlingen uit groep 8 vrij vlot kunnen maken. Er zijn opgaven waarbij handig rekenen heel voor de hand liggend is, maar er zijn ook opgaven waarbij dit minder het geval is. Er zitten verschillende opgaven in die met dezelfde strategie zijn op te lossen en opgaven die onderling gerelateerd zijn (zoals 80x11 en 80x33). In een volgend nummer zullen we nog verder ingaan op het werken met twee pennen. In dit geval lieten we de twee pennen vooral gebruiken om te onderzoeken of kinderen de opgaven op volgorde, van linksboven naar rechtsonder maakten of niet.

Wat kun je leren van het werk van leerlingen?

Na bestudering van het twee pennenwerk konden we een viertal uitspraken doen over de rekenhouding bij het maken van oefenrijtjes:

1. Het overgrote deel van de kinderen (elf van de vijftien) maakte de opgaven in de aangegeven volgorde. Ze leken niet de tijd en/of de vrijheid te nemen om alle sommen te bekijken voordat ze aan de slag gingen. In ieder geval vertaalden ze dat niet naar een zelfgekozen volgorde van oplossen.

2. Er lijkt onder veel kinderen het beeld van rekenen te bestaan dat je de keus hebt tussen uit je hoofd rekenen of cijferend oplossen. Er werd heel weinig gebruik gemaakt van handig rekenen. Uit een analyse van de uitwerkingen blijkt dat tussenantwoorden nauwelijks werden genoteerd.

3. Vooral de kinderen die de sommen in volgorde hadden opgelost, gebruikten overwegend cijferende aanpakken. Ook een opgave als 25x999 waarin handig rekenen erg voor de hand liggend lijkt, werd door 2/3 van de kinderen cijferend opgelost. De opgaven 80x11 en 100x25 werden soms cijferend uitgerekend maar bij het merendeel van de kinderen ontbrak hierbij een bewerking op papier. Kennelijk zijn deze uit het hoofd uitgerekend. Handige strategieën kwamen sporadisch voor. Van de vier kinderen die de opgaven niet op volgorde hadden opgelost, gebruikten drie kinderen waarschijnlijk handige strategieën. Ze maakten namelijk geen cijferende uitwerkingen maar noteerden ook nauwelijks tussenantwoorden.

4. De kinderen leggen weinig tot geen relaties tussen opgaven. >

Figuur 1

36

Francien Garssen

Elf van de vijftien kinderen legden bijvoorbeeld geen relatie tussen de opgaven 75x484 en 0,75x484. Dit werd onder andere zichtbaar door een volledige cijferende uitwerking van beide opgaven (fi guur 2). Ook na het oplossen van beide opgaven werd er geen verband gelegd. Antwoorden als 75x484 = 36510 en 0,75x484 = 323 bleven ongecorrigeerd naast elkaar staan. Een uitzondering hierop vormt Leo, bij wie het gebruik van de twee pennen goed zichtbaar maakt wat er is gebeurd. Leo rekent eerst 75x484 onder elkaar uit. Hierbij maakt hij een notatiefout. Hij schrijft 42 in plaats van 24. Daardoor komt hij op een verkeerd antwoord. Later maakt hij (met een groene pen) 0,75x484 door 75x484 opnieuw uit te rekenen. Dit keer zonder notatiefout. Dit is vermoedelijk de aanleiding om het eerdere antwoord te corrigeren.

Hoewel ze een uitzondering vormen zitten er in deze klas ook kinderen die de opgaven niet in een vaste volgorde aanpakken. Er zijn kinderen die de kenmerken van de getallen gebruiken om mee te rekenen. Er zijn ook kinderen die gebruik maken van de relaties tussen verschillende opgaven. En van deze kinderen en van hun aanpak kan je als leerkracht gebruik maken bij het bewerkstelligen van een houdingverandering.

Werken aan een houdingverandering. Een praktijkvoorbeeld

Anneke besluit om de volgende week de kinderen nog eens precies dezelfde opgaven voor te leggen. Ze verandert een paar dingen waarvan ze verwacht dat die de kinderen zullen stimuleren keuzen te maken in de volgorde van oplossen. Om te beginnen heeft ze de opgaven kriskras op het papier gezet, zoals te zien in fi guur 3 (volgende pagina). Ze verwacht dat, nu er geen dwingende structuur in rijtjesvorm aanwezig is, de kinderen eerder de vrijheid zullen nemen om te kiezen met welke opgave ze zullen beginnen.

Verder gebruikt Anneke een driestappen aanpak. Eerst vraagt ze de kinderen naar de opgaven te kijken, dan laat ze de kinderen enkele minuten met de zwarte pen werken en vervolgens maken ze het werk met de groene pen af. Ze verwacht dat de startopdracht ‘Kijk een tijdje naar de opgaven’ de kinderen zal aanzetten om beter naar de sommen te kijken. In de tijd dat de kinderen naar de opgaven kijken, observeert Anneke wat er gebeurt. Ze ziet dat de meeste kinderen heel vluchtig naar het blaadje kijken, sommige kinderen kijken nog even naar de (lege) achterkant en al snel zitten alle kinderen om zich heen te kijken. Als ze ziet dat de kinderen de opgaven niet echt gaan bestuderen vraagt Anneke om de zwarte pen te pakken en te beginnen. Terwijl de kinderen aan het werk zijn, loopt Anneke rond. Ze ziet al snel dat de meeste kinderen nu met de opgave 3x7 beginnen, terwijl deze helemaal onder aan het papier staat. Ze is blij dat de vorm waarin ze de opgaven heeft >

Figuur 2: Eérst met de zwarte pen, daarná met groenFiguur 2: Eérst met de zwarte pen daarná met groen

R E K E N E N O P S T E N D E N 37

gezet kennelijk uitlokt dat niet alle kinderen links bovenin beginnen, maar eerst een makkelijke opgaven maken. Als de snellere leerlingen ongeveer de helft van de sommen hebben gemaakt, geeft Anneke het teken om van pen te wisselen. Na een tijdje vraagt Anneke om de pen neer te leggen. Lang niet alle kinderen hebben dan alle opgaven gemaakt, maar dat vindt Anneke in dit geval niet belangrijk. Zij heeft als doel de kinderen in gesprek te brengen over de volgorde van oplossen en andere keuzes die kinderen hebben gemaakt bij het maken van de opgaven. Doordat de kinderen met twee verschillende kleuren hebben gewerkt, kan Anneke hen de volgende opdracht geven: ‘Ga elkaar in tweetallen uitleggen met welke sommen je bent begonnen, en vooral: waarom met die som?’. Terwijl de kinderen elkaar -met behulp van hun blaadje- vertellen hoe ze tot een bepaalde volgorde zijn gekomen, loopt Anneke rond en luistert naar de gesprekken. Ze leert uit deze gesprekken dat veel kinderen zich hebben laten leiden door de grootte van de getallen; ‘het is gemakkelijker uitrekenen met getallen met twee cijfers dan met drie cijfers’. Een aantal kinderen vertelt dat ze de opgaven met de breuken overslaan omdat ze breuken moeilijk vinden. Anneke hoort

ook een aantal kinderen zeggen dat ze zich door andere kenmerken hebben laten leiden. ‘25x999 dat is eigenlijk gemakkelijk als je eerst 25x1000 doet’ en ‘800x12 lijkt wel moeilijk, maar 8x12 , nou dan weet je dat 2x12 dat is 25 en dan is het eigenlijk 4x25’. Als Anneke het gevoel heeft dat alle kinderen zich bewust zijn geworden van de redenen achter de gekozen volgorde, vindt ze dat het tijd is voor de volgende stap: een klassikale bespreking.

Klassikale bespreking

Ze vraagt de kinderen eerst een aantal opgaven te noemen die ze uit hun hoofd kunnen uitrekenen. Daarna focust Anneke het gesprek al snel op relaties tussen opgaven. Zij haakt in op Theo die inbrengt dat ‘Nou ehh….. 75x484, het antwoord daarvan en 0,75x484 dat is twee nullen minder. Want als je het 10x doet, 0,75 dan heb je 7 en als je het 100x doet is het 75, dus moeten er twee nullen achter.’ Om de andere kinderen te helpen om deze gedachtegang te volgen gebruikt Anneke een projectie van het werkblad op het digitale schoolbord. Ze omcirkelt de opgaven waar Theo naar verwijst en ze trekt een lijn tussen deze twee cirkels. Hiermee wil ze laten zien dat het gesprek gaat over de relatie tussen deze twee opgaven. Vervolgens vraagt ze andere kinderen om in hun eigen woorden te vertellen wat Theo heeft gedacht. ‘Kun jij vertellen wat de gedachte van Theo is, Sarien?’ Sarien: ‘Nou hij heeft 75x484 gedaan en dat is bijna hetzelfde als 0,75x484 maar dan met twee nullen minder’ Anneke laat regelmatig kinderen herhalen wat een ander heeft gezegd of gedacht. Dit doet ze omdat ze het belangrijk vindt dat kinderen goed naar elkaar luisteren. De kinderen in de klas van Anneke weten dit langzamerhand en gaan elkaar daardoor ook vaker vragen stellen. Als je niet begrijpt wat een ander kind vertelt, kun je het immers ook niet navertellen. Nu Theo een relatie tussen verschillende opgaven heeft ingebracht, vraagt Anneke de kinderen om nog eens goed te kijken of ze nog meer opgaven zien die met elkaar te maken hebben. Mark staat te springen om zijn idee te vertellen: ‘Die 100x25 en die 25x999 die hebben eigenlijk met elkaar te maken. Want die 100x25 daar doe je dan een 0 bij en dat is dan 1000x25. En 25x999 dat is alleen maar eh…… 25 meer, nee….mìnder.’ En Annet: ‘Nou, 80x11 en 80x33 want als je 80x11 hebt, dan kan je ook gewoon x3 doen’. Anneke koppelt terug naar de opgave 25x999 door Marks strategie te benoemen. ‘Mark gebruikt 25x1000 om 25x999 uit te rekenen. Hij rekent eerst een beetje teveel uit en doet er dan weer iets van af. Zien jullie meer opgaven die je ook op die manier kunt uitrekenen?’ Anneke stelt telkens vragen die de kinderen weer op een andere manier naar dezelfde opgaven laat kijken. Marion: ‘Je kan 80x11 ook wel zoiets doen want dan doe je 80x10 en dan nog 80 erbij, maar dat doe ik niet zo want ik ken de tafel van 11 gewoon uit mijn hoofd’ Joke: ‘446x51, als je eerst 446x50 doet en dan 446 erbij’. >

38

Figuur 3

Anneke is ook nog benieuwd naar het effect van deze bespreking van een aantal handige strategieën op de kinderen. Ze vraagt daarom of er kinderen zijn die bepaalde opgaven nu anders zouden aanpakken als ze deze nog eens zouden krijgen. Door deze vraag lukt het haar om iets van de rekenhouding van deze kinderen boven tafel te krijgen. Julia weet het wel ‘25x999’. Een aantal kinderen legt uit waarom zij zullen blijven cijferen. Rob: ‘Nou ja, je gaat meestal toch cijferen want dat ben je gewend’ en Annet: ‘Nou, en bij cijferen dan zie je de getallen op papier en je vergeet niet... want heel vaak als je een getal hebt en je schrijft dat niet op, dan vergeet je er weer eentje. Het is heel moeilijk om die getallen, in je hoofd net als op papier te onthouden.’

Terug- en vooruitblik

Anneke heeft een stap gezet om een houdingverandering te bewerkstelligen door: • een situatie te creëren waarin kinderen ervaren dat je niet

altijd bovenaan hoeft te beginnen met rekenen; • kinderen met elkaar over hun aanpakken te laten praten;• een klassikale bespreking te houden waarin alle kinderen

nadachten over relaties tussen opgaven; • kinderen te laten refl ecteren op hun eigen aanpakgedrag

tot nu toe.Ze kan nu bewuster situaties gaan creëren waarin kinderen ontdekken dat er nog een middenweg is tussen uit het hoofd rekenen en cijferen. Ook hebben de kinderen een gemeenschappelijke ervaring waarop Anneke terug kan komen. Zo kan ze nu bijvoorbeeld vragen om uit een rijtje uit het boek twee opgaven te kiezen die je niet-cijferend kan oplossen. In de nabespreking kan ze dan focussen op het noteren van tussenantwoorden. Verder neemt Anneke zich voor om bij oefenen in tabelvorm kinderen opdrachten

te geven die ze meer laten nadenken over de relaties tussen de kolommen en de rijen. Hierbij kan ze terug verwijzen naar de relaties die kinderen zagen tussen de opgaven. Een cultuurverandering is moeilijk en kost veel tijd, maar Anneke heeft met haar groep een stap vooruit gemaakt.

Eerst denken, dan doen

In het HaVER-project zoeken wij naar een aantal eenvoudige opdrachten die leraren bij oefenrijtjes kunnen benutten waarmee het oefenen gedachtenvol wordt. In dit artikel beschreven we hoe je kunt peilen in hoeverre de kinderen in je groep al gedachtenvol oefenen. Gedachtenvol oefenen vraagt om een bepaalde houding. Een houding waarin wordt gedacht voordat wordt gedaan. We lieten in dit artikel zien hoe je de eerste stappen op weg naar gedachtenvol oefenen zou kunnen zetten. ■

Francien Garssen is werkzaam bij Stenden hogeschool

1) HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit is een project van het Freudenthal Instituut waaraan ook Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meedoen.

R E K E N E N O P S T E N D E N 39

Sommen maken met twee kleuren

40

Hé meester, als je kijkt naar die som

in het eerste rijtje en die in het tweede,

dan zie je dat het precies dezelfde som is,

maar dan andersom.

Gedachtenvol oefenenen

R E K E N E N O P S T E N D E N 41

Praktijkscholen van Stenden Pabo Meppel ontdekkende kracht van ‘gedachtenvol oefenen’

“Moet je kijken. Sven, leerling

van groep 7, zit te rekenen alsof

hij snoept eet”. Jeroen Wouter,

rekencoördinator op O.B.S. De

Dissel in Ruinerwold wijst naar

een jongen met blosjes op zijn

wangen. Sven, bepaald geen

rekentijger, gaat helemaal op in zijn

rekenopgaven. Dit is leuk! Jeroen

is verrast. Hij heeft vele andere

geluiden over Sven vernomen

in de afgelopen jaren. Sven mag

zelf kiezen met welke som hij

gaat beginnen. Hij maakt eerst de

sommen met een groene pen, en

als de juf haar pieper afgaat, mag

hij verder met een blauwe pen.

Juf Sabrina, student van Pabo

Meppel, vindt het goede antwoord

belangrijk. Ze is echter nog veel

meer geïnteresseerd in de reden

waarom hij met welke sommen is

begonnen en waarom hij bepaalde

sommen makkelijk of juist moeilijk

vindt.

Studenten ervaren gedachtenvol oefenen aan den lijve

Juf Sabrina is één van de dertig

studenten van Pabo Meppel die op

haar praktijkschool intensief met de

kinderen “gedachtenvol oefent”. De

start is tijdens de rekenlessen op de

opleiding gelegd. Daar heeft zij met haar

medestudenten aan den lijve ervaren

hoe je “gedachtenvol” kunt oefenen.

Ze begon net als vele medestudenten

gewoon bovenaan de opgaven één voor

één te maken, ook al luidde de opdracht:

“Maak alleen die sommen waarvan het

antwoord gelijk of meer is dan 1000”.

Er was één medestudent die eerst de

opgaven scande en vervolgens kriskras

de opgaven ging maken. Waarom had

ze dat zelf eigenlijk niet gedaan? Het

zelf ervaren verraste haar en maakte haar

nieuwsgierig naar hoe het kinderen dan

zou vergaan. Zou een groep 4 leerling

anders aan het werk gaan dan een groep

7 leerling? Wat zou er veranderen met het

maken van de rijtjes ‘snel en vlug’, ‘reken

uit’, ‘even handig rekenen’ als je elke

week één of twee keer gedachtenvol gaat

oefenen? Welke relaties gaan kinderen

leggen, wat kun je doen om kinderen naar

de getalswaarde te laten kijken?

Juf, als ik de bovenste som

uitreken,dan hoef ik de rest niet

meer te doen.

Kijk, 2+3=5, 3+3 = 6, 4+3 = 7,

er komt er gewoon steeds een bij.

Opbrengstgericht werken – een project van de PO-raad

In studiejaar 2011-2012 heeft An te

Selle van Pabo Meppel (Stenden) samen

met leerkrachten van O.B.S. Commissaris

Gaarlandt Nijeveen, O.B.S. De Dissel in

Ruinerwold, O.B.S School B in Steenwijk

en O.B.S De Sprinkels in Heerenveen een

module “gedachtenvol oefenen” voor de

pabostudent ontworpen. Het betreft een

vorm van oefenen die leidt tot hogere

opbrengsten. Deze samenwerking is een

project dat wordt gesubsidieerd door de

PO-raad, die op deze wijze de verbinding

tussen opleiding en basisscholen voor

opbrengstgericht werken wil stimuleren.

Met dit project heeft Stenden drie doelen:

• de opbrengsten van het handelen van

de studenten verhogen;

• in bovengenoemde vier basisscholen het

“gedachtenvol oefenen” introduceren;

• alle andere praktijkscholen van de

derde jaarsstudenten informeren over

“gedachtenvol oefenen”.

De nieuw ontworpen module wordt in

het nieuwe curriculum van de Stenden

pabo’s opgenomen en uiteindelijk ook

beschikbaar gesteld voor andere pabo’s in

het land. Op de vier projectscholen wordt

het gedachtenvol oefenen schoolbreed

ingevoerd in het rekenonderwijs. Tot

slot zal ook samen met betrokkenen

en belanghebbenden in het studiejaar

2012-2013 verder gewerkt worden aan

een bronnenboek met interventies die

geschikt zijn om de rijtjes in de methode

‘gedachtenvoller’ te benaderen. Het

bronnenboek bevat ook vragen die

geschikt zijn om te stellen en werkvormen

die aanzetten tot samen leren tijdens het

gedachtenvol oefenen. >

An te Selle

42

Derdejaars studenten als ambassadeurs

Hoewel de kern van het project gevormd

wordt door vier basisscholen die

volgend jaar het gedachtenvol oefenen

schoolbreed gaan invoeren, zijn alle

studenten van het derde studiejaar

van Stenden Pabo Meppel betrokken

bij het project. Zij hebben zich allemaal

vanaf april intensief beziggehouden

met ‘gedachtenvol oefenen’, zowel

in de opleiding als in de praktijk. Het

heeft ogen doen openen. Zoals student

Petra zegt: “Ik denk dat ik uit mezelf

nooit zo met de rijtjes aan de slag was

gegaan”. Petra heeft vijf keer met haar

groep 7 van O.B.S. Het Spectrum in

Hoogeveen gedachtenvol geoefend. Ze

heeft bij de ‘plus- en minrijtjes’ met twee

verschillende pennen laten werken, ze

heeft bij een mix van vermenigvuldigen

en delen de drie makkelijkste sommen en

drie moeilijkste sommen een stip laten

geven en daarna 8 andere sommen laten

maken. Of zoals in het kinderwerk te zien

is, alle sommen laten doorstrepen waarvan

het antwoord kleiner is dan 10. Daarna

hebben de kinderen de andere sommen

gemaakt.

De kinderen in de groep van Petra

gingen verschillend aan het werk. Inciana

zag meteen wanneer een antwoord

kleiner was dan 10, ze keek goed naar

de getallen. Haar klasgenootje Wendy

rekende elke som uit en kwam er dan

achter dat het antwoord kleiner dan 10

was en dus de som doorgestreept mocht

worden.

In de nabespreking geeft Petra Inciana

een beurt. Zij vertelt dat ze ziet dat bij

402 – 397 dat 397 erg dicht bij de 400

ligt, dus dat het antwoord nooit meer dan

10 kan zijn. Daarna geeft Petra de beurt

aan enkele kinderen die de sommen eerst

hadden uitgerekend voodat ze een streep

zetten. “Dit ging goed, ze vertelden

steeds hoe ze aan de getallen konden zien

dat het antwoord nooit hoger dan 10 kon

zijn”.

“Ik ben er trots op dat ik in korte tijd verbetering heb bereikt”

Petra heeft hierna de kinderen

in tweetallen enkele sommen die

uitgerekend zijn, aan elkaar laten

vertellen. Petra is erg trots op de kinderen

en ook op zichzelf.

“Als ik terug kijk op het gedachtenvol

oefenen, ben ik er trots op dat ik in een

korte periode verbetering heb bereikt. De

kinderen kijken ‘gedachtenvoller’ naar de

getallen. Er is natuurlijk nog veel meer uit

te halen, maar er is een begin. Ook mijn

mentor is er helemaal enthousiast over.

En de leerkracht van groep 8, waar de

kinderen volgend schooljaar heen gaan,

heb ik ook ingelicht over het gedachtenvol

oefenen. Ik hoop dat ze er mee verder

gaat.”

Kinderen hebben baat bij gedachtenvol oefenen

Maaike loopt stage in groep 3 op O.B.S.

Het Slingertouw in Heerenveen en heeft

ervaren dat het in deze groep ook prima

mogelijk is om gedachtenvol te oefenen.

Samen met Lisa, die stage loopt in een

andere groep 3 op deze school, heeft

ze vijf keer gedachtenvol oefenen

uitgevoerd.

Maaike over het project: “Het waren

interessante opdrachten, waar ik tijdens

mijn loopbaan veel aan zal hebben. Hoe

je de activiteiten opbouwt en uitvoert.

Na de gegeven les de resultaten bekijken

en evalueren. Hieruit conclusies trekken

voor de volgende keer en daar weer mee

aan de slag gaan. Ik wil in mijn verdere

loopbaan zeker nog veel meer doen met

gedachtenvol oefenen. Ik heb gemerkt

aan een aantal kinderen in de klas dat >

Zo hebben zij de kinderen drie moeilijke

en drie makkelijke sommen laten kiezen.

En ze lieten kinderen met verschillende

kleuren werken op een kriskrasblad en

relaties leggen.

R E K E N E N O P S T E N D E N 43

ze baat hebben bij de verschillende

opdrachten van gedachtenvol oefenen.

Door het maken van deze opdracht heb ik

geleerd dat je goed gaat nadenken over

hoe je het wiskundige aspect het beste

kunt aanpakken. Hierbij houd je rekening

met je doel en de literatuur die je hebt

gebruikt. Aan deze opdracht heb ik met

veel enthousiasme gewerkt”.

Ook de andere studenten zijn ronduit

enthousiast over deze aanpak en geven

aan dat ze zelf nu anders tegen de rijtjes

en het rekenonderwijs aankijken. Allard

Tabak: “Ik kijk nu zelf anders naar de

rijtjes ‘snel en vlug’ en ‘reken uit’. Ik

bereid mijn lessen bewuster voor. Voordien

liet ik kinderen de rijtjes maken en keek ik

het werk na. Waarom komt dit pas in Pabo

3 aan de orde? Ik had dit veel vroeger

willen hebben”

Jeroen Wouter

Basisscholen positief over gedachtenvol oefenen

Het project wordt in de basisscholen

positief onthaald. Jeroen Wouter van

der Vlist, O.B.S. De Dissel, Ruinerwold:

“Eerlijk gezegd was ik eerst sceptisch.

Oh jee, dat komt er ook nog bij. Het

is echter in plaats van. Het is heel

mooi om te zien hoe de verschillende

kinderen rekenen. En uiteindelijk lijkt

het me dat het ook tijdwinst gaat

opleveren! “

Ingrid Bakker, O.B.S. Het Slingertouw

Heerenveen. “Ik zou het fi jn vinden

dat onze basisschool zich het

gedachtenvol oefenen eigen maakt

en dat het onderdeel wordt van ons

rekenonderwijs. Toekomstmuziek is

misschien nog dat het gedachtenvol

oefenen ook in andere vakgebieden

gaat doorwerken”. ■

“Toekomstmuziek is misschien nog dat het gedachtenvol oefenen

ook in andere vakgebieden gaat doorwerken”

44

In reken-wiskunde boeken staan veel rijtjes met sommen.

Deze rijtjes staan er niet voor niets, want bij rekenen

is het belangrijk dat kinderen veel oefenen. Maar

hoe worden deze rijtjes vaak gemaakt? Hoeveel leren

kinderen van deze rijtjes, hoe bewust of ‘gedachtenvol’

zijn ze bezig? Gedachtenvol oefenen kan leerlingen meer

ondersteunen. In dit artikel geven de auteurs u ideeën om

leerlingen éérst te laten denken en dán te laten oefenen.

De ideeën in dit artikel zijn in het HaVER-project1)

ontstaan en in de klas uitgeprobeerd.

Praktijkervaring

Thijs is op de computer aan het oefenen met keersommen

zoals 6 x 14 = 3 x… Hij vraagt Saskia, een stagiaire die in

de klas rondloopt, om hulp: ‘Ik wil een getal vinden,’ zegt

hij, ‘dat keer 3, als uitkomst 84 heeft’. Saskia kijkt naar de

krabbels die Thijs in zijn schrift heeft gemaakt. Ze wacht of

Thijs zelf verder gaat. Als hij stil blijft en hoopvol naar haar

kijkt, zegt ze: ‘Thijs, ik denk dan aan zakjes knikkers. Je hebt

hier 6 zakjes met 14 knikkers. En nu doe ik al die knikkers in

slechts drie zakjes. Dan wil ik weten hoeveel knikkers in elk

zakje zit.’ Thijs kijkt even voor zich uit en mompelt langzaam:

‘3 zakjes, uh… de helft van de zakjes.’ Luider en meer

zelfverzekerd gaat hij verder ‘dus in de zakjes zitten nu twee

keer zoveel knikkers. 6 x 14 is dan uh… hetzelfde als 3 x 28.’

Deze som is gericht op het oefenen van handig rekenen. Als

Thijs zonder deze interventie tot het goede antwoord was

gekomen, hadden we vermoedelijk gedacht dat hij de relatie

tussen 6 x 14 en 3 x 28 doorziet. Hij had echter bijvoorbeeld

6 x 14 kunnen uitrekenen en het antwoord 84 door 3 kunnen

delen. Het gesprekje met Saskia brengt aan het licht dat

hij zich niets bij de opgave voorstelde. Door de zakjes met

knikkers heeft Thijs de relatie tussen de sommen 6 x 14 en 3

x 28 betekenis gegeven en kon hij de opgave maken zonder

veel rekenwerk.

Gedachtenvol oefenen

Relaties inzetten bij handig rekenen

Thijs wilde de opgave via uitrekenen aanpakken. Op zich

een goede aanpak. Het is hier echter niet de meest handige

en het leidt niet tot een verbetering van het getalbegrip. Na

Saskia’s interventie ziet Thijs ook een andere aanpak:

6 zakjes van 14 knikkers, dan heb je de helft van de zakjes,

dus twee keer zoveel knikkers in elk zakje.

Leerlingen kunnen deze strategie ook in andere situaties

inzetten om sommen handig aan te pakken. Neem

bijvoorbeeld de opdracht 2,5 x 14. In eerst instantie vinden

leerlingen het nogal moeilijk om dit handig en snel op te

lossen. Wanneer ze de relatie met 5 x 7 (= 2,5 x 14) leggen, is

deze opgave heel eenvoudig op te lossen is. Eigenlijk gebruikt

Thijs de associatieve eigenschap en het ‘verdubbelen en

halveren’. Je zou zijn denken als volgt kunnen opschrijven:

6 x 14 = (3 x 2) x 14 = 3 x (2 x 14) = 3 x 28. Met ‘verdubbelen

en halveren’ kan je zonder rekenen laten zien dat ‘6 x 14’

en ‘3 x 28’ gelijkwaardig zijn. We hoeven de som niet uit te

rekenen om dit te laten zien. We kunnen op deze manier ook

uitleggen dat (6 x 14) + 3491 gelijkwaardig is met (3 x 28)

+ 3491. Als we de gelijkwaardigheid van de twee objecten

via een redenering zien en niet via het uitrekenen van beide

expressies maken we een stap van rekenen naar algebra.

Handig rekenen vraagt om goed naar getallen te kijken en

relaties tussen de getallen te onderzoeken. Het voorbeeld

van Thijs laat ook zien dat handig rekenen en oefenen goed

samen gaan. In dit artikel gaan we in op een manier om in de

klas aan oefenen te werken en tegelijk over relaties tussen

getallen en relaties tussen bewerkingen na te denken.

Gerichte aandacht voor relaties - het gebruik van minilesjes

Een miniles is een korte gezamenlijke activiteit van ongeveer

10 minuten waarbij kinderen een samenhangende serie

sommen in een redelijk tempo gaan oplossen.

De sommen in een minilesje zijn steeds aan elkaar gerelateerd

doordat ze bijvoorbeeld handig op te lossen zijn met een

bepaalde strategie, of omdat de ene som juist helpt om de

volgende som op te lossen. Deze strategie of handige aanpak

wordt echter niet vooraf aan de kinderen verteld. Het is juist

de bedoeling van een miniles dat kinderen redenen gaan zien

om die strategieën of handige aanpakken te gaan gebruiken

en dat ze uitgelokt worden daarover te gaan praten.

Je maakt dit – als leerkracht – mogelijk door iedere opgave

apart aan de orde te stellen. Na elke som moeten de

leerlingen kunnen uitleggen hoe ze tot het antwoord zijn

gekomen en waarom hun aanpak klopt. Daarom vraag je na

elke som een of twee kinderen te vertellen hoe ze de opgave

hebben opgelost, je noteert deze aanpak van de leerling zo

Gedachtenvol oefenenen

Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen

R E K E N E N O P S T E N D E N 45

Fotografi e Jasper Oostlander

inzichtelijk mogelijk op het bord. Je probeert je visualisering

te laten aansluiten bij een (denk)model dat de leerlingen al

eerder hebben ontwikkeld. Deze visualisering helpt aan de

ene kant de aanpak te verantwoorden (doordat de leerlingen

kunnen ‘zien’ waarom het werkt) en tegelijkertijd vormt het

een lage drempel om er met begrip over te praten. Bovendien

worden hiermee de achterliggende relaties die vaak worden

toegepast concreter en zichtbaar gemaakt voor leerlingen die

anders moeilijk mee kunnen doen aan de bespreking. Ook

ondersteunt de visualisering leerlingen om over de relaties

tussen de opgaven na te denken.

Om zo’n interactie te ondersteunen worden de leerlingen

steeds gestimuleerd met het hoofd te rekenen. Ze worden

aangemoedigd op een kladblad aantekeningen te maken

die hun helpen. Natuurlijk kunnen en mogen ze dan een

meer algoritmische aanpak hanteren, maar ze worden ook

gestimuleerd om naar de getallen kijkend een handige aanpak

te gebruiken.

Een praktijk ervaring met een miniles

VoorbereidingKarin, leerkracht in groep 5, had de leerlingen opgaven laten

maken waarbij steeds het verschil gelijk blijft. Denk aan sommen

als 95 – 50; 94 – 49; 93 – 48; 92 – 47; 91 – 46 en 90 - 45.

Tijdens het bekijken van kinderwerk ontdekte ze dat veel

kinderen elke opgave opnieuw hadden uitgerekend. Daarbij

werden ook veel fouten gemaakt. Doordat die leerlingen de

relatie tussen de opgaven niet opmerkten, functioneerden

de eerste en de laatste opgave niet als controle op het totale

rekenwerk. Ze besluit een aantal keren een minilesje te geven

om de relatie tussen zulke opgaven voor het voetlicht te

brengen. Het eerste minilesje ziet er zo uit:

70 - 35

71 - 36

72 - 37

69 - 34

79 - 44

De Miniles

Karin schrijft 70 - 35 op het bord en vraagt de kinderen het

uit te rekenen. Ze hebben al vaker met een minilesje gewerkt

en weten dat het helpt als ze eerst naar de getallen kijken.

Ze weten ook dat ze het probleem op een voor hen handige

manier mogen aanpakken. Ze maken op papier notities, ze

moeten straks namelijk wel kunnen vertellen hoe ze het

opgelost hebben. Dit noteren hoeft echter niet netjes, het

gaat er immers om dat ze het straks zelf nog weten. Het gaat

er ook om dat ze niet alles in het hoofd hoeven uit te rekenen.

Tussenresultaten mogen ze best opschrijven.

Karin kijkt rond, terwijl de leerlingen nadenken, een deel

van het rekenwerk of tussenantwoorden opschrijven en

tekeningen maken. Ze ziet dat Johan de getallen onder elkaar

zet en cijferend de aftrekking maakt. Hij doet het goed, maar

Marijke maakt bij deze aanpak een rekenfout. Saskia, Chelsea

en Fleur tekenen een getallenlijn. Dat doen meer kinderen

maar deze drie kinderen halen 5 in kleine stapjes er af. Als

zo goed als iedereen het af heeft, zegt Karin: ‘Laten we eens

luisteren naar twee kinderen die vertellen wat ze gedaan

hebben. Saskia, begin jij?’ ‘Ik heb een getallenlijn getekend en

er eerst 30 afgedaan. Toen heb ik er nog 5 afgehaald en dat is

35’, zegt Saskia tegen de klas. Karin tekent op een getallenlijn

wat ze Saskia hoort zeggen. ‘Ja, dat heb ik ook in mijn schrift’

en Saskia houdt haar schrift omhoog. ‘Dat deed ik ook’, zegt

Namir, ‘maar ik deed die vijf stapjes in een keer.’ Karin tekent

een nieuw boogje om het idee van Namir te laten zien en kijkt

naar Saskia. Deze twijfelt even en zegt opeens, ‘Ja natuurlijk,

dat kan ook.’ Karin besluit hier vandaag niet op door te gaan.

Dat laat ik volgende week nog eens terugkomen, denkt ze.

Jeroen krijgt als tweede de beurt. ‘Ik weet dat 35 de helft

is van 70, dus is het 35’. Karin is verrast door de opmerking

van Jeroen en beseft meteen dat dit een kans is om meer

leerlingen anders naar de som te laten kijken. Ze beseft ook

dat veel kinderen deze aanpak niet in een keer door hebben.

Daarom vraagt ze ‘Wie kan in eigen woorden vertellen hoe

Jeroen de som heeft opgelost?’ Mike doet dit even snel, het

blijkt dat hij ook deze manier van Jeroen heeft ingezet. Emma

zegt het ook in eigen woorden ‘35 en 35 is 70, hè’. Ook hier

beseft Karin dat Emma niet in de gaten heeft dat de beide

jongens het toch net anders doen.

Een minilesje duurt kort, Karin gaat daarom snel verder en

schrijft op het bord onder 70 – 35 de som 71 – 36. Juist

door de eerdere som te laten staan biedt ze de kinderen de

mogelijkheid om de relatie te zien. Alle kinderen gaan meteen

weer aan de slag. Karin loopt intussen rond en blijft bij Iwan

staan. Ze ziet dat hij in zijn schrift de relatie met de eerdere

som heeft gelegd. Ze laat hem daarom als eerste vertellen

hoe hij het doet. ‘Ik kijk naar de vorige’ zegt hij. Karin vraagt

onmiddellijk verduidelijking, ze weet dat lang

niet alle kinderen weten waar Iwan naar kijkt. ‘Vertel eens

meer, wat zie je dan wanneer je dat doet?’ ‘Het is eentje meer

en er gaat ook eentje meer af- dan is het antwoord weer 35.’

Ook bij Iwan’s uitleg, schrijft ze mee op het bord.

Afbeelding 1

46

Aan de denkende gezichten ziet ze dat niet iedereen Iwan’s

uitleg begrepen heeft, laat staan dat ze het in eigen woorden

kunnen vertellen. Ze vraagt daarom aan de klas: ‘Wie kan in

eigen woorden vertellen hoe Iwan de som heeft opgelost?’

Jasper legt de strategie van Iwan uit. Karin had bij het

rondlopen gezien dat Jasper in eerste instantie anders had

aangepakt. Hij had er eerst 6 afgehaald en vervolgens 30.

Karin is tevreden dat Jasper zo snel weet te volgen wat Iwan

heeft gedaan. Terwijl Jasper praat, wijst Karin mee op de

getallenlijn (afbeelding 2). ‘Je haalt één van 71 en één van

de 36 af, dan krijg je 70 – 35. Omdat je aan beide kanten

hetzelfde doet blijft het antwoord uh… kijk die sprong van

71 naar 36 en 70 naar 35 is even groot.’ Karin wijst naar beide

bogen en ziet veel kinderen knikken. Iwan straalt. ‘Dat is wat

ik deed,’ zegt hij. ‘71 – 36 is even veel als 70 – 35’ zegt Karin,

‘en dus gelijk aan 35’ en ze schrijft 35 achter de som.

Afbeelding 2

Karin zet de derde opgave op het bord: 72 – 37. Ze loopt

weer rond en merkt dat sommige kinderen de relatie tussen

de sommen proberen te gebruiken. Ook ziet ze dat anderen

dit niet doen. Ze besluit om Sanne een beurt te geven. Sanne

heeft de som -net als de vorige twee- weer helemaal opnieuw

uitgerekend. Sanne zegt: ‘Ik doe er eerst 7 af en dan nog eens

30 eraf. Dat is dan 35.’

Karin zet de oplossing van Sanne op een nieuwe getallenlijn,

terwijl ze ondertussen Sanne om verduidelijking vraagt. ‘Je

doet er eerst 7 af, waar kom je dan?’ ‘65’. ‘Okay, dus je landt

op 65. En dan haal je er nog 30 af, waar land je dan?’ ‘65 –

30 = 35’.

Afbeelding 3: 72 – 35 via rijgen

Karin wil Sanne’s aanpak waarderen, en tegelijkertijd wil ze

de leerlingen ook over de relaties tussen de sommen laten

nadenken. Daarom vraagt ze alle kinderen: ‘Wat valt jullie

op?’ Corien reageert direct: ‘Er komt weer 35 uit.’ Omdat er

verder geen andere reactie of verklaring komt, vraagt Karin:

‘Is dat toeval, of hadden we dit nu van te voren kunnen zien?

Hadden we nu zonder deze som uit te rekenen dit kunnen

weten? Ga maar in tweetallen hierover praten.’

Karin kiest bewust voor dit ‘praten-in-tweetallen’, omdat

hiermee meer kinderen tegelijk praten en denken. Tessa

vertelt daarna: ‘Ik weet dat het weer eentje meer en eentje

minder is, dan moet het dus 35 worden. Of als ik naar de

eerste som kijk, weet ik dat het twee meer en twee minder

zijn’. Karin schrijft en tekent mee op het bord (afbeelding 4)

Afbeelding 4

De laatste twee opgaven die ze gepland had, 69 - 34 en 79 -

44, gaan niet meer lukken. Karin houdt zich strikt aan de tijd

die ze voor deze miniles heeft uitgetrokken; de tien minuten

zijn om.

Om de onderlinge relaties tussen opgaven als 70-35, 71-

36 en 72-37 te kunnen benoemen en te gebruiken bij het

oplossen ervan, heeft Karin de leerlingen laten nadenken over

deze relaties en er de leerlingen mee laten oefenen. Karin

weet ook dat nog niet alle leerlingen deze relaties hebben

begrepen. Ze besluit morgen nog een keer met het herkennen

en gebruiken van deze relaties aan de slag te gaan in een

miniles. Ze heeft de opgaven al in haar hoofd:

90 – 45, 92 – 46 en 89 – 44. Ze neemt zich ook voor over een

week opgaven zoals ‘70-35 = 72-37 waar of niet waar?’ en

‘71- 36 = 69 – 30 waar of niet waar’ aan de orde te stellen en

dan de vraag te stellen: Kunnen we dit weten zonder alles uit

te rekenen?

De rol van de leerkracht

Een gerichte interventie van de leerkracht helpt om niet

alleen de antwoorden maar ook de relaties tussen de opgaven

aan de orde te laten komen. Natuurlijk zijn er verschillende

manieren om dat te doen. Karin heeft er in dit mini-lesje

enkele gebruikt:

• kinderen denktijd geven;

• oplossingen van kinderen op het bord tekenen en

beschrijven;

• kinderen in eigen woorden laten navertellen wat een

ander kind heeft verteld;

• ‘praten-in-tweetallen’.

R E K E N E N O P S T E N D E N 47

48

Een andere interventie is om leerlingen expliciet te vragen een

opdracht op een specifi eke manier te bekijken: ‘Overleg met

je buur hoe je de volgende opgave handig kunt oplossen?’of

‘Kun je de volgende opgave net zo oplossen als Iwan?

Probeer het samen uit te zoeken’.

Afsluiting: de kracht van een miniles

Kenmerkend voor de miniles is gedurende een korte tijd

werken aan een klein aantal aan elkaar gerelateerde opgaven.

Hoewel de nadruk bij een minilesje ligt op het gezamenlijk

doordenken van rekenstrategieën, worden deze sommen

steeds eerst door de kinderen individueel opgelost. In de

bespreking en de visualisering van iedere opgave op het bord

ligt het accent op de ontwikkeling van die rekenstrategie en

het ondersteunen van het getalbegrip. Door opgave voor

opgave te maken en te bespreken kunnen kinderen inzichten

verwerven die ze direct in de volgende opgave kunnen

toepassen en zich op die manier snel eigen kunnen maken.

Hierbij staat voorop dat elke miniles één bepaalde relatie

als focus heeft, waardoor niet elke aanpak centraal komt

te staan. Juist het gesprek over de onderliggende relatie

tussen de opgaven maakt het mogelijk het getalbegrip van de

leerlingen te ondersteunen.

Een belangrijke meerwaarde heeft de miniles voor de minder

sterke rekenaars. Het som voor som aan de orde stellen en

bespreken en visualiseren zorgt dat de minder sterke rekenaar

kan instappen. Ze kunnen meteen iets proberen en ervaren.

Eerst denken, dan doen

In het HaVER-project zoeken wij naar een aantal eenvoudige

opdrachten die leraren bij oefenrijtjes kunnen benutten

waarmee het oefenen gedachtenvol wordt. In dit artikel

beschreven we hoe je in een miniles met de kinderen

kunt oefenen en tegelijk hen over relaties tussen getallen

en relaties tussen bewerkingen kunt laten nadenken.

Gedachtenvol oefenen vraagt om een bepaalde houding. Een

houding waarin wordt gedacht voordat wordt gedaan.

AN TE SELLE, NISA F IGUEIREDO EN MAARTEN DOLK

Noot:

1. HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen.

Dit is een project van het Freudenthal Instituut waaraan ook

Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meedoen.

Literatuur

Dolk, M. & Fosnot, C.T. (2004). Addition and Subtraction

Minilessons, Grades PreK-3 (CD-Rom). Portsmouth NH:

Heinemann.

Fosnot, C. T., & Dolk, M. (2001). Young Mathematicians at

Work (Vol I):

Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction.

Portsmouth NH: Heinemann.

Fosnot, C. T. & Uittenbogaard, W. (2007). Minilessons

for Early Addition and Subtraction. Context for Learning

Mathematics. Portsmouth NH: Heinemann.

Fotografi e Jasper Oostlander

R E K E N E N O P S T E N D E N 49

breinkrakerWelk fi guur klopt niet?8

9

10

11

12

Pindakaasvloer

Het Rotterdamse museum Boijmans van Beuningen heeft de

befaamde pindakaasvloer van Wim T. Schippers gekocht.

Hoeveel potten pindakaas van 0,3 liter heb je nodig voor een

pindakaasvloer van 2 m × 3 m met een laagdikte van 5 cm?

Gratis SMS’jes

In een klas zitten 15 leerlingen. Een lerares heeft 125 gratis

sms’jes. Zij geeft alle meisjes hetzelfde aantal sms’jes en houdt

dan 6 sms’jes over (de jongens krijgen niks). Hoeveel jongens

zitten er in die klas?

Hieronder staan vijf sommen. Welk getal krijg je als je de vijf

uitkomsten bij elkaar optelt?

200 x 78 =

400 x 39 =

624 x 25 =

(40 x 312) + (20 x 156) =

26 x 600 =

Welk getal hoort op de eerste plaats te staan?

….… 15 – 29 – 44 – 73 - 117

Antwoorden op pagina 65

1 2 3

4 5 6

Scholen in Noordoost Drenthe Het rekenonderwijs moet beter,

vonden en vinden ze op het

Ministerie van Onderwijs. Binnen

Stenden werd al langere tijd

gehamerd op het belang van de

bewustwording van de leerkrachten

als het om rekenen gaat. En op de

noodzaak van een rekencoördinator

op iedere school. De onderwijsgroep

CONOD (Christelijk Onderwijs

Noordoost Drenthe), met elf

basisscholen in de provincie

vertegenwoordigd, wilde graag

meedoen. Via een subsidie voor een

rekenverbetertraject vonden de drie

partijen elkaar.

Wij praten met de begeleiders van

Stenden, An te Selle (rekendocent

Pabo Meppel) en Francien Garssen

(rekendocent pabo De Eekhorst uit

Assen).

50

rekenen zich sterkWat hield het rekenverbetertraject

precies in?

Het begeleidingstraject liep van begin

2009 tot medio 2011. Het was gericht

op leerkrachtgedrag en had als doel

rekenzwakke scholen te veranderen in

rekensterke scholen en rekensterke

scholen nog beter maken. Om scholen

van elkaar te laten leren werd ervoor

gezorgd dat er zowel rekenzwakke

scholen als rekensterke scholen

meededen.

Het traject kende twee sporen:

• een training waarin de leerkrachten

bewust werden gemaakt van het

effect van hun handelen op het

gedrag van leerlingen;

• het opleiden van rekencoördinatoren

voor alle deelnemende scholen.

Het ene spoor bestond uit een serie

trainingen waarin leerkrachten bij

elkaar werden gezet op grond van

de jaargroep waarin ze lesgaven. De

scholing werd tijdens werktijd gedaan,

op een centrale locatie, in een luxe

omgeving. Het eerste uur van iedere

scholingsdag bestond uit het oplossen

van een wiskundig probleem op het

eigen niveau van de leerkrachten. In

deze fase mochten ze nog niet aan

de kinderen denken. De oplossing

van het probleem werd per tweetal

gepresenteerd, bijvoorbeeld in de

vorm van een posterpresentatie. Tot

slot werd op het probleem en de

oplossingsstrategie gerefl ecteerd. De

centrale vraag van de cursusleiders was

dan steeds: “Wat was het effect van

mijn handelen op jou?”

Vanaf het tweede uur van iedere

trainingsdag begon de transfer naar

de praktijk van de leerkrachten. Zij

gingen onderwijs ontwerpen voor hun

groep, waarbij ze zich lieten inspireren

door de manier waarop ze zelf aan hun

rekenprobleem hadden gewerkt en door

het handelingsrepertoire dat ze uit het

gedrag van de cursusleiders hadden

afgeleid. De verschillende vormen

van gedachtenvol oefenen maakten

deel uit van dit repertoire (zie ook de

artikelen over Gedachtenvol oefenen

in dit nummer: ‘Werken aan een

houdingsverandering’ en ‘Minilesjes en

werken aan relaties tussen getallen’).

De uitvoering op hun eigen school van

het in de cursus ontworpen onderwijs,

werd zo mogelijk opgenomen of er

werd uitvoerig verslag van gedaan. Dit

was steeds weer de input voor een

intensieve bespreking in de volgende

bijeenkomst.

Het andere spoor bestond uit de

opleiding van rekencoördinatoren, voor

iedere school één. Met als doel om

rekenen binnen de school duurzaam op

de kaart te zetten en het gedachtegoed

R E K E N E N O P S T E N D E N 51

De uitvoering op de eigen school wordt geëvalueerd

52

achter de trainingen binnen de scholen

te verspreiden. Alle leerkrachten

raken door deze opzet meer en

meer doordrongen van de manieren

waarop je goed rekenonderwijs kunt

bevorderen. En wat is er mooier dan

wanneer er in ieder team een collega

is die het rekenen in zijn portefeuille

heeft en een rol speelt bij het maken

van het (reken)beleid en dit onderwerp

inbrengt in de ‘bouwvergaderingen’?

Wat was het resultaat van het traject?

Zowel het schoolbestuur als de

leerkrachten waren zeer enthousiast

over het begeleidingstraject. Aan het

begin van het traject waren vijf van de

elf scholen rekenzwak, aan het einde

van het traject geen een meer.

Wat waren de succesfactoren?

Een belangrijke verklaring voor het

succes ligt in de omstandigheden

waarin de training gegeven werd.

Onder werktijd, zes maanden lang

een volle dag per maand, op een

centrale en representatieve locatie.

Maar nog belangrijker was ons

inziens de didactische aanpak, waarbij

wij systematisch uitgingen van

rekenproblemen op het niveau van de

leerkrachten en voortdurend focusten

op het effect dat hun handelen heeft

op de leerlingen. Het denken van de

kinderen was de kern van wat wij

deden. Ook het feit dat het ontwerp

door de cursisten zelf werd uitgevoerd

en vervolgens werd nabesproken, vaak

aan de hand van een video-opname,

heeft heel goed gewerkt.

Hebben jullie er zelf ook iets van

geleerd?

Nou en of! Wij zijn ons ook bewuster

geworden van ons eigen handelen. Wij

hebben die methodieken vervolgens

toegepast in onze lessen voor de

studenten van de Pabo.

Hebben alle scholen in het Noorden deze

training inmiddels gevolgd?

Was het maar waar! Wij zouden niets

liever willen. Tot dusver weten wij ons

nog onvoldoende in de kijker te spelen.

Hopelijk gaat dat nu veranderen door

de nauwere samenwerking met Lumius,

de tak van Stenden die training,

onderzoek en advies verzorgt! Wij

kunnen zorgen voor een mooi aanbod

om leerkrachten de focus te laten

leggen op het denken van de kinderen

door over hun eigen ontwerpen en

handelen na te denken.

Ook geïnteresseerd in zo’n

begeleidingstraject voor uw school?

Neem contact op met:

Lumius

T (058) 244 1550

E lumius@stenden.com

Wat nemen de cursisten mee naar

hun school? Een greep uit de

reacties.

‘Rekenen kan echt heel leuk zijn!’

‘Ik had geleerd me te laten leiden

door de handleiding van de methode,

maar heb nu ervaren dat er veel meer

mogelijkheden zijn….’

‘Ik heb accenten verlegd. Van

uitleg naar vragen. Van correctie

naar feedback. Van antwoorden

naar berekening en betekening’.

Betekening? ‘Ja, je helpt de leerlingen

vaak enorm door hen een tekening of

schets van het rekenprobleem te laten

maken!’ ■

R E K E N E N O P S T E N D E N 53

Als je niet kunt rekenen, “Als je niet kunt rekenen, doe je jezelf

te kort bij de hypotheker, neem je een

abonnement met belachelijk veel belminuten

om die iPhone te ‘krijgen’ en begrijp je niet

waarom er ‘Geld lenen kost geld’ staat bij

de advertentie voor die auto die je pas over

een jaar hoeft te betalen. En als er nog

zoveel mensen zijn, die dat niet door hebben,

betekent dat er nog veel meer en veel beter

rekenonderwijs moet komen!” >

Aan het woord is Maarten Dolk (59), onderzoeker bij

het Freudenthal Instituut in Utrecht en voormalig lector

Geïnspireerd Leren bij Stenden Hogeschool, Hogeschool

Zuid en Helicon. Wij spreken met hem over het belang van

het rekenonderwijs, over de opbrengsten van het lectoraat

Geïnspireerd Leren, over ‘gedachtenvol oefenen’ en over de

stand van het rekenonderwijs in Nederland.

Van 2002 tot 2010 was Maarten Dolk lector Geïnspireerd

Leren. Hoewel hij zelf wiskundige is, bestond de kenniskring

rond de lector uit docenten van verschillende disciplines van

de drie samenwerkende hogescholen. Wat heeft het lectoraat

opgeleverd?

Het lectoraat heeft het denken over nascholing veranderd

“In de eerste plaats heeft het lectoraat bijgedragen aan de

wetenschappelijke oriëntatie van de deelnemende docenten.

Een aantal mensen is gestimuleerd om een proefschrift te

schrijven. Voor zeker de helft van de leden van de kenniskring

geldt dat ze zich binnen hun school hebben ontwikkeld van

stille luisteraar tot actieve meeprater. In de tweede plaats

heeft het lectoraat het denken over nascholing veranderd.

HAVER (het project HAndig en VErstandig Rekenen) is daar

een mooi voorbeeld van. Wij hebben een model van nascholing

ontwikkeld, dat tot enthousiasme in de school leidt en dat

– vermoedelijk – tot beter onderwijs leidt. Dit model behelst

zowel de nascholing van de leraar als het neerzetten van een

structuur in de school. Een ander uitvloeisel van het lectoraat

is dat onderzoek via studenten in de basisschool komt. Wij

noemen dat ontwerpend onderzoeken en onderzoekend

ontwerpen. Op die manier leren de studenten zelf iets, maar

brengen ze ook kennis over. Het is een mooie manier om

invulling te geven aan de scriptie”.

Het model van nascholing waar Dolk op doelt, is bijvoorbeeld

toegepast bij de scholen die deel uitmaken van CONOD

(Christelijk Onderwijs Noordoost Drenthe), zie ook het artikel

‘Scholen in Noordoost Drenthe rekenen zich sterk’.

Succesvol rekenverbetertraject

“Het Ministerie van Onderwijs stelde subsidie beschikbaar voor

rekenverbetertrajecten, die sterke en zwakke scholen samen tot

verbetering moesten brengen. De aanpak lag in het verlengde

van HAVER. Wij wilden geen nieuwe methode maken, maar

als het ware schrijven in de marge van de bestaande methode.

Samen met het bovenschools management van CONOD zijn

wij tot een model gekomen om alle leraren van die scholen te

betrekken bij het rekenonderwijs. Wij zijn begonnen om leraren

die in dezelfde groepen lesgeven samen te nemen en met die

leerkrachten wiskundige activiteiten te doen. Wij lieten ze

zien hoe wij die voorbereiden en hoe wij anticiperen op wat er

in de les kan gebeuren. Van daaruit wordt dan doorgepraat

over wat er in hun klas zou kunnen gebeuren. Anticiperend en

refl ecterend lesgeven dus”. >

Maarten Dolk is in 1952 in Rot-

terdam geboren. Hij herinnert zich

het frontale onderwijs op de basis-

school als ‘individueel’ onderwijs.

“De meester legde tien minuten voor

het bord iets uit en daarna zat je een

uur alleen aan je tafeltje sommetjes

te maken. Tot mijn verbazing ging

ik aan het einde van de rit naar de

HBS en het jongetje naast mij naar

de LTS, terwijl ik geen idee had

dat er zo’n verschil tussen ons zat.

Wij kenden elkaar alleen van de

speelplaats”.

Na de HBS was de studie wiskunde

een voor de hand liggende keuze.

Maarten Dolk gaf kortstondig les

in het voortgezet onderwijs, maar

raakte al gauw verzeild op de Stich-

ting Opleiding Leraren (wat nu de

Faculteit Educatie van Hogeschool

Utrecht is). Als wiskundige wilde hij

graag een bredere onderwijskundige

achtergrond, maar de studie peda-

gogiek stelde hem wat dat betreft

teleur. Gelukkig kreeg hij een subsi-

die om bij het IVLOS te promoveren

op ‘onmiddellijk onderwijsgedrag’.

“Wat bepaalt dat een leraar in de

klas een bepaald gedrag vertoont?

Er gebeurt iets in de klas en hij moet

ogenblikkelijk reageren. De leraar

kan niet zeggen: Kom morgen maar

terug, ik zoek het even uit”. Je hebt

al gedrag getoond voor je het weet.

Hoe kan je zorgen dat dat gedrag

bewust wordt en dat je dat kunt

verbeteren en verfi jnen op grond

van nieuwe inzichten? En hoe kun je

dat gedrag tot routinematig gedrag

maken?”.

Tijdens en na zijn promotie was hij

ook aan het Freudenthal Instituut

verbonden als docent en onderzoe-

ker. Van 2002 tot 2010 was Maarten

Dolk lector Geïnspireerd Leren voor

drie samenwerkende hogescholen

(Stenden, Zuyd en Helicon). De

lectoren zijn als het ware de ‘profes-

soren’ van het hoger beroepson-

derwijs.

Als je niet kunt rekenen,

54

Het Freudenthal Institute for Science

and Mathematics Education is

een onderzoeksinstituut van de

Universiteit Utrecht. Het heeft als

doel de kwaliteit van het onderwijs

in rekenen, wiskunde, informatica en

natuurwetenschappen te bevorde-

ren, met name in het primair en het

secundair onderwijs.

Het instituut is genoemd naar Hans

Freudenthal (1905 – 1990) een

Duits-Nederlandse wiskundige en

pedagoog, die wordt beschouwd als

de grondlegger van het realistisch

rekenen.

Gedachtenvol oefenen = automatische piloot uitzetten

In het project met CONOD ging het om de professionalisering

van leerkrachten. Een belangrijk middel dat daarvoor werd

ingezet was ‘gedachtenvol oefenen’. Dolk legt uit: “In het

Nederlandse rekenonderwijs moeten kinderen heel veel rijtjes

sommen maken. Kinderen zetten dan de automatische piloot

aan en maken sommetjes zonder heel diep na te denken. Dat is

nooit de bedoeling van de auteurs geweest, maar het gebeurt

wel op die manier! Wat wij wilden is - gebruikmakend van dat

rijtje - de leraar net dat steuntje te geven dat de kinderen

ertoe brengt over de sommetjes na te denken. Een extra stap in

het oefenen. Vol gedachten oefenen”.

Wij stelden ons de vraag hoe je het rekenen zo op kon zetten,

dat de kinderen niet meteen naar de antwoorden gaan, maar

dat je ze ook goed naar de getallen laat kijken. Wij zetten

ze een beetje op het verkeerde been, om ze te dwingen na

te denken. Dus als er 30 vermenigvuldigsommetjes stonden,

vroegen wij ze om bijvoorbeeld alleen de sommen maken met

een antwoord onder de 400. Bij de nabespreking ging het dan

om de vraag: ‘Hoe wist je dat het antwoord onder de 400 lag?’

Wij ontwikkelden met leraren allerlei varianten daarop. Wij

probeerden van sommetjes maken denkend rekenen te maken.

Met respect voor het boek kleine varianten op het boek maken.

Geen taak waar je een hele avond mee bezig was, maar iets wat

de leerkracht in vijf minuten kan bedenken”.

De vraag stelt zich bijna zelf. Wat vindt Dolk van het huidige

rekenonderwijs in Nederland?

Meer theorievorming

“Rekenonderwijs waar de nadruk ligt op het geven van een

antwoord op een sommetje is niet voldoende. Rekenonderwijs

waarbij wordt gewerkt aan theorievorming, zou heel goed zijn.

Dat laatste gebeurt te weinig, wereldwijd”.

Kennisbasis en referentieniveaus zijn maar een deel van het

verhaal, zo maakt de onderzoeker duidelijk. “Er zou meer

nadruk moeten liggen op het doordenken van de wiskundige

theorie. Ik zou willen dat de kinderen thuis kwamen en zeiden:

‘Wij hebben het gehad over de vraag of 23 x 37 hetzelfde is

als 37 x 23’ en niet met de dooddoener: ‘Ik heb sommetjes

gemaakt’. Het is niet of-of maar en-en”.

Er is te weinig respect voor de leraar

“Dat maakt onderwijs alleen maar moeilijker in een tijd dat

er te weinig respect is voor de leraar. Dat blijkt uit de manier

waarop kranten en politici spreken over het onderwijs en

uit het gemak waarmee ze zeggen dat de leraar niet goed is

opgeleid. Zonder daarbij te vermelden waarvoor die leraar

precies opgeleid moet zijn. Niemand analyseert de verzwaring

van het beroep van leraar. Ik vat dat samen onder de kop

‘leraartje pesten’. De nadruk op meer feiten in het onderwijs

past niet bij de kennismaatschappij. Echt opleiden voor een

kennismaatschappij is veel moeilijker dan iedereen die er iets

over roept, denkt. Ik daag iedereen uit om zelf eens les te

geven. Dat uurtje dat Rutte voor de klas staat is sympathiek.

Het is jammer dat hij zelf zo weinig de spreekt over de zwaarte

en moeilijkheid van het beroep en zo de status van leraren niet

verdedigt”.

Je moet kinderen niet alleen trucjes leren

Wat vindt Maarten Dolk ten slotte van het realistisch rekenen?

“De vraag die Freudenthal zich ooit stelde is wat de volgorde

is tussen toepassing en theorie. Van oudsher kreeg je eerst

de theorie en daarna pas de toepassing. Freudenthal stelde

voor dat om te draaien en te beginnen met de toepassing.

De bedoeling was dat kinderen, geleid door hele goede

contexten en een leraar die ze stevig ondersteunt, hun eigen

theorie maken of de theorie die al bestaat reconstrueren. Deze

leertheorie zit perfect in elkaar, maar wordt door scholen in

Nederland niet goed toegepast. Als mensen zeggen ‘Realistisch

rekenen werkt niet’, bedoelen ze “Zoals het in Nederland gaat,

werkt het niet’. Ik geloof niet dat wij realistisch rekenen moeten

afrekenen op de manier waarop dat in Nederland gaat. Als

wij realistisch rekenen echt willen toepassen, moeten wij het

onderwijs verbeteren. Als je kinderen alleen maar trucjes leert,

leer je ze nooit om naar getallen te kijken”. ■

ben je de klos

R E K E N E N O P S T E N D E N 55

5656

‘Dat telt’ is de titel van een boek over levend

rekenwiskundeonderwijs op de basisschool en bevat

behalve achtergrondinformatie over levend rekenen

ook leerlijnen, brevetten en veel inspirerende

voorbeelden. Het boek werd in 2010 geschreven door

een werkgroep onder leiding van Stendendocent Jimke

Nicolai.

Wat telt nou echt bij het rekenwiskundeonderwijs? Het lijken

de opbrengsten te zijn op de eenzijdige testen die we afnemen

aan onze kinderen. De makers van ‘Dat telt’ laten een ander

geluid klinken: opbrengsten defi niëren ze vanuit werkdoelen,

die zijn gekoppeld aan rekengenres en rekenwiskunde-situaties

in de klas en daarbuiten. Levend rekenen is het devies. Er wordt

daarbij geput uit vier brongebieden: het leven van de klas en

het kind, de actualiteit, de andere vakken en de wiskunde.

Voor scholen die willen werken vanuit het perspectief van het

kind en zijn situatie en die tegelijkertijd de kerndoelen serieus

nemen, ontwikkelde de werkgroep levend rekenen op basis

van bovenstaande uitgangspunten een aantal leerlijnen met

brevetten. Vlaamse en Nederlandse pedagogische georiënteerde

vernieuwingsscholen hebben hiermee een stevige basis gelegd

voor de ontwikkeling van hun levend rekenwiskundeonderwijs.

Skateboards voor de klas. Levend rekenen in de bovenbouw.

Dit artikel is een uitwerking van de leerlijn onderzoek

& experiment voor de bovenbouw.

De aanleiding voor Levend Rekenen in dit artikel is de

belangstelling van de kinderen voor skateboards. Er is al langere

tijd de wens om voor het buitenspelen als groep een eigen

skateboard te hebben. Maar welk type gaan we kopen? Het

spreekt vanzelf dat de klasse!kas van de groep voor de kosten

van deze investering aangesproken zal worden. >

Waarom levend leren?

Binnen modern onderwijs circuleren

verschillende aanduidingen voor het

leren van kinderen. Ontdekkend,

functioneel, natuurlijk, interactief

leren. Ontdekkend leren; het kind

als een jonge onderzoeker die

tastender-, spelender-, lerender- en

werkenderwijs probeert zicht te

krijgen op zijn leven en zijn wereld.

Functioneel leren benadrukt dat

kinderen weten waarmee ze bezig

zijn en waarom ze doen wat ze

doen, dat ze zinvol bezig zijn.

Natuurlijk leren gebeurt vanuit de

natuurlijk behoefte om te kunnen

wat anderen ook kunnen. Interactief

leren benadert het leren als een

communicatieproces tussen het

lerende kind en de leeromgeving

(onderwijsruimte, leraar, kinderen,

leergebieden).

Waarom levend leren? Omdat het

de essenties van ontdekkend,

functioneel, natuurlijk en interactief

leren bundelt; onderstreept dat

leren ingebed is in het groeps- en

schoolleven; laat zien dat je leert

voor het leven en dat je je hele

leven blijft leren; accentueert dat

leren moet leven, dus spannend en

uitdagend kan zijn; duidelijk maakt

dat het leven zelf onze leerschool is.

Levend leren is net zo echt als het

leven zelf. Leren schrijven is even

echt als leren lopen. Je kunt er

iets mee: iets noteren dat je niet

wilt vergeten. Je gaat gedichten

maken omdat je je verwondering

wilt uitdrukken. En levend rekenen?

Je berekent de oppervlakte van

een stukje tuin, omdat je plantuien

moet kopen. Je leert geldbedragen

optellen en aftrekken omdat je

klasse!kas moet kloppen. En als je

een skateboard aan wilt schaffen

blijk je gemiddelden te moeten

berekenen. Leren gaat ergens over,

het is niet doen alsof, het is echt,

het leeft.

Levend rekenen: skate

R E K E N E N O P S T E N D E N 5757

De leraar vraagt de kinderen (hun) skateboard(s) mee te brengen

naar school. ‘We kunnen dan uitzoeken waar we op moeten

letten als we er eentje voor de klas gaan kopen’. De volgende

dag resulteert dat in een fi ks park ‘planken’ onder het bord in de

klas.

De leraar brengt in de kring in dat er onderzocht moet worden

welke plank nu het beste is. Hij presenteert zonder veel omhaal

van woorden 5 punten voor de bespreking:

1 hoe onderzoeken

2 kiezen van de onderzoeksmethode

3 onderzoek uitvoeren

4 volgorde vaststellen van goed naar slecht

5 kiezen welke we gaan aanschaffen.

De kinderen werken de eerste dag per tafelgroep uit welke

onderzoeksmethode ze voorstaan. Ze krijgen per groepje een

aantal planken en er wordt gevraagd een kort verslag te maken

volgens dit schema:

Namen van ons groepje: ...............................................................................

Bedoeling: van ................ skateboarden de beste uitzoeken.

Zo deden we het:

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

Resultaat: skateboard nummer ................ was de beste.

Het verloop van het onderzoek ging zoals te verwachten. Eerst

werd er buiten wat gerommeld met en op de planken. De

kinderen proberen van alles uit. Sommigen gingen naar binnen

om daar onderzoek te doen naar bijvoorbeeld het gewicht van de

plank. De leraar loopt langs en wijst soms kinderen op de (on)

eerlijkheid van hun onderzoek. Aan het eind van de 45 minuten

worden de verslagjes bij de leraar ingeleverd.

Deze vormen de basis voor de volgende stap in het onderzoek.

‘Ik heb jullie verslagjes gelezen en de manieren op een papier

gezet. We moeten straks een manier hebben om eerlijk uit

ongeveer 16 planken de beste te kiezen. Als een andere klas

onze manier zou volgen zou er hetzelfde uit moeten komen. Dan

is het pas echt eerlijk’. Het gesprek in de kring gaat over eerlijk

en oneerlijk onderzoek. Over smaak valt moeilijk te twisten. Je

vindt iets fi jn en cool of juist niet. En dat is heel persoonlijk.

De kinderen werken in tweetallen samen aan de volgende

opdracht (zie blad hiernaast). Vind je deze onderzoeksmethode

wel of niet eerlijk. Leg uit waarom je dat vindt. >

boards in de klasSkateboardonderzoek Namen:

Dit vinden wij er van:

1. Kind A gaat op de plank zitten. Kind

B duwt. De anderen tellen hoe lang het

duurt voor de eindstreep is bereikt.

2. Je weegt de planken. De lichtste is

het best.

3. iedereen tiktakt er op en zegt wat

hij of zij er van vindt. Dat geef je een

cijfer.

4. De plank zet je op een heuveltje.

Telkens dezelfde bestuurder. Er is van

te voren een route uitgezet. Welke

plank komt het verst?

5. Je let op hoe het skateboard eruit

ziet:

Goede wielen?

Goede beschermers?

Goede lagers?

Goede antislip?

Goed remblok?

6. Je let erop hoe lang de wielen

draaien als je ze een draai geeft.

Telkens geeft hetzelfde kind de wielen

een zet. De wielen die het langst

draaien zijn het beste.

7. Je gaat op de plank steppen over

een lijn om te kijken of je de plank

goed onder bedwang kunt houden.

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

...........................................................

............................................................

............................................................

............................................................

...........................................................

............................................................

............................................................

...........................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

58

R E K E N E N O P S T E N D E N 59

Nicolai J. ea (2010) DAT TELT,

bouwstenen voor levend rekenwis-

kundeonderwijs. Freinetbeweging

Nij Beets. Zie www.freinet.nl

Voorbeelden van levend rekenen.

Zie www.rekenhoek.nl.

Zelf ontwerpen van levend rekenen.

Zie http://www.levendleren.nl/

html/werkplaats.html

Voor visieontwikkeling, advies, ont-

werp en materialen kunt u contact

opnemen met: www.levendleren.nl

info@levendleren.nl

06 12549966.

De beschrijving van dit onder-

zoek past in de vierde fase van de

leerlijn ‘onderzoek en experiment’

van Dat Telt. In die leerlijn komt

bijvoorbeeld het ontwikkelen van

een meetinstrument aan de orde.

‘Eerlijk meten’, staat centraal. Dat

komt bij het bepalen van het beste

skateboard ook nadrukkelijk aan de

orde. De kinderen ervaren dat cijfers

en getallen kracht en macht hebben.

Maar dat gemiddelden ook kunnen

‘vertekenen’ (in de uitwerking van

de leerlijn wordt gesproken over ‘de

beperking van gemiddelden’) leren

ze in dit onderzoek ook.

Dit is een fase om afstand te nemen van het eigen onderzoek

en na te denken over de onderzoeksmethoden van andere

leerlingen. De resultaten vormen de basis van een gesprek

over de onderzoeksaanpak die wordt gekozen. De leraar zegt:

“We gaan punt voor punt langs. Luister heel goed naar elkaar.

Geen zaken herhalen”. De bespreking wordt strak geleid.

Alle manieren worden met een +, - of +/- beoordeeld. Het

resultaat wordt uiteindelijk dat ieder tweetal zoveel mogelijk

op een scateboard gaat doen in de tijd die beschikbaar is bij

werkplantijd: tiktakken, steppen, sturen/omdraaien. Voorts wordt

het uiterlijk beoordeeld. Er worden cijfers gegeven van 1- 10. Per

plank wordt het gemiddelde berekend. De eigen plank wordt niet

beoordeeld.

De leraar heeft voor het onderzoek de volgende dag dit

formuliertje beschikbaar.

Skateboardonderzoek Namen: ........................................................

PLANK nummer: ............. Score 1-10

Tiktakken ......................................................................

Steppen ......................................................................

Sturen / omdraaien ......................................................................

Uiterlijk: wielen, lagers,

beschermers, antislip, remblok ......................................................................

Totaal ......................................................................

Gemiddeld ......................................................................

Van de vier cijfers die ze toekenden moest het gemiddelde

worden bepaald. Dat leverde wel eens moeilijkheden op bij

sommige kinderen. De leraar kijkt welke kinderen hij hiervoor

extra begeleiding wil geven op een ander moment. Alle

scorebriefjes worden per plank verzameld.

Per skateboard worden tenslotte door een paar leerlingen alle

beoordelingsformulieren samengevoegd op een totaaloverzicht

testresultaten. Om de totaalscores te berekenen moeten

decimale getallen worden opgeteld en vervolgens moeten ook

daar weer gemiddelden over worden berekend. Toepassing van

rekenkundige kennis en vaardigheid. Gecontroleerd met de

rekenmachine.

Bewust worden alle kinderen ingezet om deze ‘oefening’ uit

te voeren. Maar eigenlijk is de echte rekendidactische winst al

eerder ingeboekt: leerlingen ervaren de waarde en beperking van

cijfers en getallen. Maar voor de kinderen telt iets anders.

Welke plank gaan we nu kopen? Het resultaat: DAT TELT! ■

Testresultaten skateboardonderzoek

skat

ebo

ard

Aan

tal m

alen

g

etes

t

Tota

al p

un

ten

Gem

idd

eld

e

Ein

dp

laat

s

breinkraker13

14

15

1 tegen 100

Een deelnemer aan de quiz ‘1 tegen 100’ bezat 4000 euro aan

prijzengeld. Toen moest hij 3 keer achterelkaar een escape kopen.

De eerste keer kostte dat 25% van het prijzengeld. De tweede

keer 50% en de derde keer 75%. Welk percentage van zijn

prijzengeld hield hij over?

Welk fi guur komt niet voor in de tekening?

a. Cirkel

b. Vierkant

c. Rechthoekige driehoek

d. Gelijkbenige driehoek

e. Gelijkzijdige driehoek?

Lege cirkels

Plaats in de lege cirkels de getallen die ontbreken. Je kunt kiezen

uit 1 tot en met 16. Elk getal mag maar één keer voorkomen. De

optelling op de zes lijnen moet steeds 34 zijn.

Antwoorden op pagina 65

60

14

15 3

16

R E K E N E N O P S T E N D E N

Master Special Educational Needs

Goed rekenonderwijs dat leidt tot betere rekenprestaties is uitdagend en aantrekkelijk voor iedere leerling. Goed onderwijs begint bij talentontwikkeling van alle leerlingen en bij pedagogisch-didactisch handelen dat gebaseerd is op ‘wat werkt’. Scholen hebben invloed op rekenprestaties. Op sterke rekenscholen waar leerlingen goed presteren en vaardig zijn in rekenen en wiskunde, leren leraren van leerlingen

Vorderingen van leerlingen worden in kaart gebracht en geanalyseerd. De uitkomsten daarvan worden gebruikt om het onderwijs te verbeteren. Kortom: school en leraar maken samen het verschil.

Vormgeven aan goed rekenwiskunde-onderwijs betekent dat leraren in toenemende mate in staat zijn adequaat in te spelen op uiteenlopende onderwijsbehoeften van leerlingen. Dat kan in de groep of schoolbreed vragen oproepen, als:

Sluit mijn onderwijs aan bij de rekentalenten van mijn leerlingen?Worden de gestelde didactische doelen dit schooljaar gehaald?Deze leerling valt uit op rekenen, wat kan er aan de hand zijn?Welke mogelijkheden zijn er om leerlingen extra te ondersteunen met rekenen/wiskunde? En hoe organiseer ik dat op mijn school?Hoe zetten wij in onze school een dyscalculieprotocol op?Hoe voer ik een diagnostisch rekengesprek?

U krijgt als professional handvatten om uw onderwijskundige competenties verder te ontwikkelen, zodat u uitgroeit tot onderwijsexpert op het gebied van rekenen en wiskunde. Het analyseren van resultaten, het borgen van de kwaliteit van het reken- en wiskunde-onderwijs, het didactisch handelen, de leerlingenzorg en de geplande onderwijstijd worden in onze leerroutes beschouwd als kritische succesfactoren voor hoge reken- en wiskunde-opbrengsten.

De opleiding tot reken- en wiskunde specialist maakt deel uit van de opleiding master SEN. Deze opleiding wordt door middel van een intensieve samenwerking met Christelijke hogeschool Windesheim op Stenden uitgevoerd en levert een bijdrage aan de ontwikkeling tot expert met als focus de speciale onderwijszorg op het niveau van de leerling, de klas en de schoolorganisatie.

In het profi el Onderwijsexpert in reken- en wiskunde-innovatie is de leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie opgenomen.

Leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculieU leert tegemoetkomen aan de specifi eke onderwijsbehoeften van leerlingen met reken- en wiskundeproblemen en verdiept zich in verschillende theorieën die u aan uw praktijk leert koppelen. Met de inzichten die u ontwikkelt, versterkt u uw didactische en pedagogische kwaliteiten en uw professioneel handelen.

Voor wie?Leraren en zorgspecialisten in het primair, voortgezet en speciaal onderwijs en beroepsonderwijs

Een masteropleiding tot Reken- en wiskundespecialist

61

Hoe ziet de leerroute eruit?U ontwikkelt een onderzoekende houding waarmee u een krachtige en rijke leeromgeving voor rekenen en wiskunde kunt creëren. U leert denken vanuit de mogelijkheden van leerlingen met (ernstige) reken-, wiskunde- en dyscalculieproblemen. Daarbij werkt u samen met leerlingen, ouders, collega’s en andere betrokkenen. U onderzoekt de onderwijsbehoeften van leerlingen met (ernstige) rekenwiskundeproblemen of dyscalculie. Door de theorie te relateren aan de context (uw praktijk) schept u een passend en stimulerend orthodidactisch klimaat voor alle leerlingen. U vormt een effectieve leeromgeving van individueel niveau naar groeps- en schoolniveau. U initieert kwaliteitsverbetering op het gebied van leerstofaanbod, leraargedrag, trendanalyses en bewaking en borging van rekenbeleid in uw organisatie.

Specifi eke informatieU kunt deze leerroute ook via e-learning volgen.

Programma leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie Dialogen rond onderwijsbehoeften

Rekenhulp: rekengesprekken en rekeninterventies Rekenwiskunde: van rekenen naar wiskunde Master kennistoets (zelfstudie)

Dyscalculie in de vakken: ernstige reken- en wiskundeproblemen in de school Rekendynamiek: een aanzet tot verandering in reken- en wiskundeonderwijs Leerlijn praktijkgericht onderzoekLeerlijn studieloopbaanbegeleiding

In deze leerroute verricht u praktijkgericht onderzoek dat in het teken staat van vormgeven aan goed rekenonderwijs voor alle leerlingen.

Titel M SENNa afronding van de opleiding hebt u de wettelijke graad Master in Special Educational Needs. De titel wordt afgekort tot M SEN en staat dan achter uw naam.

Algemene gegevensLesdag: Woensdagmiddag/avondDuur studie: 2 jaarLocatie: Stenden hogeschool LeeuwardenKosten: Wettelijk collegegeld (€ 1.835,-)

AanmeldenU kunt zich tot 1 september 2013 aanmelden via www.studielink.nlU wordt student van Christelijke hogeschool Windesheim en volgt de lessen op Stenden hogeschool, lesplaats Leeuwarden.

Meer informatieTelefoonnummer: 058 244 1550E-mail: oso@stenden.comwww.oso-windesheim.nl

Eindeloos experimenteren Een rekenmachine is al jaren gemeengoed in het dagelijks

leven en kan dus ook in het onderwijs niet ontbreken.

Het apparaatje met al die knoppen vraagt natuurlijk om

wiskundig experimenteren. Dat gebeurt jammer genoeg niet

zo vaak in het basisonderwijs – in ieder geval niet met opzet.

Daar is de rekenmachine vooral de rekenhulp voor gevallen

waarin de getallen niet zo mooi zijn of hij wordt gebruikt om

het rekenwerk na te kijken.

We schetsen zomaar een situatie in groep 8. Leerlingen

controleren hun rekenwerk met een rekenmachine. Joris heeft

niet zoveel zin meer. ‘Als je toch een rekenmachine hebt waarom

moest het dan eerst zonder?’ denkt hij. Bij het controleren van

de som ‘19794 : 6 = 3299’ toetst hij ongeïnspireerd wat in.

Een rekenmachine laat snel zien of het antwoord goed is…

tenminste als je de goede knoppen indrukt. Dat gaat gemakkelijk

mis. Joris typt per ongeluk 1979 : 6 en ziet een heel lang

antwoord verschijnen: 329,8333333333333333333333333.

Hij veert op. Dat is nog eens leuk!

De deling klopt natuurlijk niet. Het antwoord is dan ook niet

wat hij in zijn schrift had staan. Maar opeens ontdekt hij wel een

bijzonder getal! Een getal met een staart van allemaal drieën.

Hij vergeet waarmee hij bezig was en roept opgewekt: ‘Juf kom

eens kijken wat ik heb!’ De juf reageert al even enthousiast ‘Dat

is een leuk getal zeg. Hoe kom je daar aan? Welke deelsom heb

je eigenlijk ingetypt?’Joris is blij met deze aandacht van de juf,

maar helaas weet hij geen antwoord op de laatste vraag. Joris’ juf

vraagt door: ‘Zou je dat kunnen achterhalen?’

Laten we eens even meezoeken met Joris. We onderzoeken

329,83333333333333333333333333 en noteren het

repeterende deel voor het gemak tussen schuine strepen 0,8/3/;

/3/ betekent dat het cijfer ‘3’ zich oneindig vaak herhaalt.

We richten ons op dat deel achter de komma: 0,8/3/ dus. In het

bijzonder bekijken we het repeterende deel, al die drieën. Hoe

krijg je dat voor elkaar? Kan je aan de hand van dit repeterende

kommagetal nagaan welke deling uitgevoerd kan zijn?

Welke deling kan leiden tot 0, 8/3/?

Hoe zou u dat aanpakken?

Denk, voor u verder leest, even na over de vraag.

Pak er gerust even een rekenmachine bij.

Er staan allemaal drieën in het repeterende deel, wellicht kunnen

we daar iets mee. We kunnen – met de rekenmachine in de hand –

wat slim proberen:

1 : 3 geeft 0,33333333333333333333333.

Dat lijkt al behoorlijk, het getal van Joris had alleen nog een ‘8’

als eerste cijfer na de komma. We wijken even uit naar 8,/3/

door de komma even te verschuiven. Maar dat is gewoon 8

ofwel . Als we nu weer delen door tien dan schuift de komma

weer netjes terug. gedeeld door 10 dat is ofwel .

Het kan ook anders: 0,8/3/ is 0,5 + 0,/3/. Anders gezegd: het

is + en dat is makkelijke breukensom met als antwoord .

Onze Joris heeft de smaak te pakken. Hij is de sommen in zijn

schrift helemaal vergeten. Hij maakt ook andere repeterende

kommagetallen en probeert te achterhalen welke breuken of

delingen passen (zie kader).

Weet u raad met de sommen van Joris? We noteren ze hier

in verkorte notatie.

Zoek op een effi ciënte manier een bijbehorende deling of

breuk bij de volgende getallen.

0,/1/

0,/19/

0,2/4/

0,/123/

Nog meer uitdaging: Bedenk een aanpak die in alle gevallen

werkt.

62

Antwoorden: 1/9; 19/99; 11/45; 41/333

R E K E N E N O P S T E N D E N

329,833333333333

met repeterende breukenWe laten het rekenwerk aan u. Want volgens de in 2009

verschenen kennisbasis reken-wiskunde voor de pabo mogen

we verwachten dat u als leraar basisonderwijs dit weet. In die

kennisbasis staat namelijk:

‘Kennis die niet geheel tot de leerstof van de basisschool

behoort, maar waar de startbekwame leerkracht wel over

beschikt (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn

van PO naar VO) betreft het kunnen omrekenen van (minder

gebruikelijke) breuken in kommagetallen en omgekeerd en de

notatie van repeterende breuken’ (Van Zanten, Barth, Faarts, Van

Gool, & Keijzer, 2009, p. 70).

We mogen verwachten dat leraren beschikken over een

behoorlijke kennisbasis, onder andere op het gebied van

breuken. Bijvoorbeeld behoort iedere startbekwame leerkracht

te weten dat er een relatie is tussen de getallen en 0,66

maar hij weet ook dat deze twee getallen niet precies hetzelfde

zijn. Dergelijke kennis is bijvoorbeeld van belang met het oog

op de doorgaande leerlijnen in de richting van het voortgezet

onderwijs. Daarbij gaat het niet alleen om de doorgaande

rekenleerlijnen maar ook de lijnen die doorlopen in de richting

van de wiskunde. Het formele rekenen met breuken vormt

bijvoorbeeld een belangrijk fundament voor algebraïsche

onderwerpen.

Maar er is nog een ander belangrijk aspect van het

rekenonderwijs waarbij de breuken minder doel op zich zijn maar

eerder gezien kunnen worden als middel. We citeren voor een

tweede keer de kennisbasis. ‘(…) een startbekwame leerkracht

moet [over de volgende kennis en vaardigheden] beschikken om

adequaat reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren:

• het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en

gecijferdheid;

• rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen;

• oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen

realiseren;

• wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen.‘

(p. 35/36).

Iemand die dat in huis heeft, heeft weinig moeite met passende

wiskundige redeneringen. Zo’n leraar weet ook raad met het

probleem dat Joris’ experimenteren oproept en kan Joris

uiteraard stimuleren om van zijn zoektocht te leren. Studenten

moeten deze kennis en vaardigheden verwerven op de pabo

en dat is niet altijd eenvoudig. Zeker niet als daar de eis aan

toegevoegd wordt dat ze hieraan zelfs plezier moeten beleven;

hetzelfde plezier in rekenen-wiskunde dat zij later moeten

overdragen op hun leerlingen. Zoals de juf van Joris zo mooi

deed.

Gelukkig zijn er verschillende initiatieven die maken dat

we steeds meer greep krijgen op de kennisbasis en het

opleidingsonderwijs dat maakt dat studenten die kennisbasis

verwerven. Deze initiatieven zijn in het leven geroepen

om opleiders te ondersteunen bij het implementeren van

de kennisbasis binnen de eigen opleiding. Het landelijke

netwerk van lerarenopleiders rekenen-wiskunde van het

zogenoemde Panama-project, de onderzoeksgroep van

ELWIeR (Expertisecentrum Lerarenopleiding Wiskunde en

Rekenen) en het rekenlectoraat van de Hogeschool iPabo zijn

daar voorbeelden van. Door te profi teren van elkaar kan de

schaarse ontwikkeltijd effi ciënt benut worden. Netwerken met

korte communicatielijnen maken het mogelijk dat resultaten

van onderzoek snel beschikbaar zijn voor de werkvloer van de

opleiding en ook aansluiten bij de vragen die daar leven. ■

Verder lezen

Van Zanten, M., Barth, F., Faarts, J., Van Gool, A., & Keijzer, R.

(2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding

basisonderwijs. Den Haag: hbo-raad.

www.fi sme.science.uu.nl/panama/

www.elwier.nl

www.ipabo.nl/sf.mcgi?2529&cat=376

www.kennisbasispabo.nl/

R O N A L D K E I J Z E R

A N N E K E VA N G O O L

Over de auteurs

Ronald Keijzer is als lector rekenen-wiskunde verbonden aan de Hogeschool

iPabo. Daarnaast is hij projectleider van het ELWIeR-project en betrokken bij de

landelijke toetsing van de kennisbasis.

Anneke van Gool jarenlang docent rekenen-wiskunde en didactiek geweest

aan de Fontys Pabo in Tilburg en werkt momenteel voor Malmberg aan

Rekenblokken. Daarnaast is zij betrokken bij het Panamaproject.

63

64

R E K E N E N O P S T E N D E N

1

2 5 meisjes en 10 jongens.

3 De hond legt 3000 meter af.

4 Gemiddelde leeftijd in gefuseerde

bedrijf is 36 jaar.

5

6 23 vierkanten

7 Een doodvermoeide slak:

18 dagen en 17 nachten.

8 Vanaf fi guur 2 draait het fi guur per

stap 45 graden met de klok mee.

De stip verandert van wit in zwart en

vice versa en de donkere en gestreepte

vlakken wisselen van plaats.

Nummer 1 zou er als volgt uit

moeten zien:

9 1000 potten

10 8 jongens

11

200 x 78 = 200 x 78 = 15.600

400 x 39 = 200 x 78 = 15.600

624 x 25 = 200 x 78 = 15.600

(40 x 312) + (20 x 78) = 200 x 78 = 15.600

26 x 600 = 200 x 78 = 15.600

Totaal 1000 x 78 = 78.000

12 14

13 9,375 5% of 9 3/8

14 gelijkzijdige driehoek (e)

15

Verbeteren en onderhouden rekenvaardigheid

Elke dag even oefenen is een heel goede

manier om de rekenvaardigheid te

onderhouden of te verbeteren. Elke dag

oefenen maakt rekenfi t. Ga naar een van

deze sites en ontvang een viertal opgaven

in je mailbox.

• www.rekenbeter.nl

Elke dag vier opgaven, waarvan de

vierde een doordenker is.

• www.beterrekenen.nl

Net als www.beterspellen een test op

de drie niveaus : 1F, 2F en 3F.

Lesideeën en materialen

Ben je op zoek naar lesideeën of

lesmaterialen? Wil je in plaats van het

methodeboek anders rekenen met je

groep? De volgende websites bieden vele

suggesties en ook een aantal uitgewerkte

lesmaterialen, om kinderen aan te zetten

tot denken en redeneren en tot het

oplossen van rekenproblemen.

• www.volgens-bartjens.nl

• www.rekenhoek.nl

• www.rekenweb.nl (Grote rekendag /

speciaal onderwijs / materialen /

rekenspelen / lessuggesties.

• www.leraar24.nl

• www.nieuwsrekenen.nl

Leerlijnen en achtergrond informatie

Wil je meer achtergrondinformatie of

weten hoe het verdere verloop van een

leerlijn is? Wil je meer kennis krijgen

over de referentieniveaus? De volgende

websites bieden je veel informatie en

van daaruit klik je zo door naar nog meer

relevante informatiebronnen.

• www.kennisbankrekenen.nl

• http://tule.slo.nl/

• www.taalenrekenen.nl

• www.kinderenlerenrekenen.nl

• www.fi .uu.nl/rekenlijn/

65

Antwoorden Breinkrakers Rekenen op het web

2

11

9 5

7

14

8

20

12 9

17

21

8

18

26 7

15

33

7

12

5 4

11

9

11

14

15 4 12 3

16

3 6

2 11 5

66

67

Colofon

Rekenen op Stenden is een eenmalige uitgave. Januari 2013.

UitgaveStenden Hogeschool (School of Education), naar een idee van Petra Krajenbrink (‘Maak een boekje’)

RedactieFrits Barth, Francien Garssen, Ton Gelmers, An te Selle

Projectcoördinatie, interviews en eindredactieWillem Bakker

Communicatieadvies Cocq Ouwerkerk

Met medewerking vanCeciel Borghouts, Henk van Boven, Crista Casu, Maarten Dolk, Nisa Figueiredo, Anneke van Gool, Marijke de Jager, Ingrid Janssen, Ronald Keijzer, Erik op den Kelder, Jimke Nicolai, Wil Oonk, Henk Stapert, Marloes Sterk, Rob van ’t Veer en Van Gorcum Uitgeverij.

Met dank aanUitgeverij Van Gorcum. De artikelen ‘Gedachtenvol oefenen. Werken aan een houdingverandering’ en ‘Gedachtenvol oefenen. Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen’ zijn eerder gepubliceerd in het tijdschrift Volgens Bartjens, respectievelijk in nummer 3 en 5 van jaargang 2009/2010.De Nederlandse Jenaplanvereniging. Het artikel ‘Levend rekenen: skateboards in de klas’ is in een iets andere vorm eerder verschenen in het tijdschrift Mensenkinderen. tijdschrift voor en over Jenaplanonderwijs, jaargang 27, nummer 132, mei 2012.

Fotografi eWillem Bakker, Frits Barth, Ceciel Borghouts, Crista Casu, Francien Garssen, Jasper Oostlander, Henk Postma, Henk Stapert, Marloes Sterk en An te Selle

Re(d)actieadreseducation@stenden.com onder vermelding van ‘Rekenglossy’

DrukGrafi sch Service Desk, Canon Business Services, ‘s-Hertogenbosch

VormgevingCanon Business Services, ‘s-Hertogenbosch, Klaas de Vries

Oplage1000 exemplaren

Digitale NieuwsbriefTer begeleiding van deze uitgave wordt drie keer een digitale nieuwsbrief uitgebracht. In december 2012, januari 2013 en maart 2013. Deze Nieuwsbrief is verspreid onder ruim 5000 basisscholen en andere instanties, die een relatie hebben met het primair onderwijs in de provincies ten Noorden van de grote rivieren.

Gun het blad een tweede levenDeze glossy is een product van liefdewerk en mooi papier. Uitgezonderd de eindredacteur, de ontwerper en de drukker, heeft iedereen belangeloos en zonder toegekende uren aan dit project meegewerkt. Gun het blad daarom een tweede leven als u het uit heeft en geef het door aan een collega.

© All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording or otherwise, without the prior written permission of the Publisher.

01-2013

6868 68

ekenennen oof Education)ol (School ofschooscgesEEe e van Stenden Hogeuitgaveenmalige u l of Educata ion)