relações entre os plano-s e plano-z
TRANSCRIPT
Relações entre os Plano-s e Plano-z
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
www.cear.ufpb.br/juan
1
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
2
2
1( ) 1 cos 1
1
nt
nc t e t
=4
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Tempo de pico, Tp
21p
n
T
2
2
( )sin 1
1
ntnn
c te t
t
( )0
c t
t
21n
nt
21d n Frequência de oscilaçãoAmortecida
2
2
1( ) 1 cos 1
1
nt
nc t e t
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Sobrevalor percentual, %SP
2
max
/ 1
max
% 100
( ) 1
1
final
final
p
final
c cSP
c
c c T e
c
2/ 1
% 100SP e
2 2
ln % /100
ln % /100
SP
SP
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
2/ 1
% 100SP e
%SP
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Tempo de assentamento ou de estabilização, Ts
É o tempo necessário para que o sistema se estabilize em uma faixa de 2% do valor final, cfinal.
2
2
1( ) 1 cos 1
1
nt
nc t e t
A amplitude máxima da função coseno tem que ser 0,02 e t=Ts
2ln 0,02 1
s
n
T
44s
n
T
= constante de tempo
0 0,9
Para
s=+j
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
2
2 2( )
2
n
n n
G ss s
Frequência de oscilaçãoAmortecida
Frequência exponencial amortecida
cos A maior ângulo,menor amortecimento.
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
1%SP
2%SP
2/ 1
% 100SP e
44s
n
T
21p
n
T
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2
cos
cos
cos cosSe
12
9
clc; close all; clear
epsilon = 0.7;
wn = 5;
%Num = wn^2
%Den = s^2 + 2*epsilon*wn*s+wn^2
Num = [wn^2];
Den = [1 2*epsilon*wn wn^2];
sys = tf(Num,Den);
figure, step(sys,5), grid
Tsampling = 0.01;
%% Transformado o eixo imaginario do plano-s para o plano-z
w = (-350:0.1:350);
s=j*w;
z = exp(j*w*Tsampling);
rho = abs(z); %raio
tetha = angle(z);
figure, polarplot(tetha,rho)
%% Transformação da diretriz com SP = 4,5%
rho = 500:-0.1:0;
w = rho*tan(0.7954);
z = exp(-rho*Tsampling).*exp(j*w*Tsampling);
rho1 = abs(z); %raio
tetha1 = angle(z);
hold on
polarplot(tetha1,rho1)
hold off
10
Ts = 0.4s
11
-3.5
j3.5707
=cos(atan(3.5707/3.5))
SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100 = 4,59%
sT T j T
s j
z e e e
SP = 4,59%
12
0
1sT j T
s j
z e e
Raio=1
13
-3.5
j3.5707
=cos(atan(3.5707/3.5))=0,7
SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100 = 4,59%
sT T j T
s j
z e e e
SP = 4,59%
Tang()= w/rho
=0.7954 rad
14
sT T j T
s j
z e e e
Raio
Rho =
0
-
S=-500 S=0
=constante=0,7
=constante
SP = 4,59%
SP = 4,59%
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Tempo de subida, Tr
21r
n
T
1 1tan tand d
n d
Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Tempo de subida, Tr 2
2
1( ) 1 cos 1
1
nt
nc t e t
n rT
1 2
2 1
2 1
( ) 0,1 ( ) 0,9
r
n r n
c t e c t
T t t
T t t
17
Resposta ao Degrau para Diferentes valores do
Coeficientes de Amortecimento
0
0.1
0.2
1.0
0.9
0.3
0.40.5
0.6
0.7 0.8
18
Resposta ao Degrau para Diferentes valores do
Coeficientes de Amortecimento
Tipo de Resposta Características
Sub amortecido 0<<1 Polos Complexos Conjugados.Apresenta oscilações
Criticamente Amortecido =1 Polos reais iguais. Sem oscilações
Sobre amortecido >1(Superamortecido)
Polos reais negativos. Resposta lenta sem oscilação.
19
Relações entre os Planos-S e Plano-Z
Os pontos do semiplano esquerdo do plano-S correspondem aos pontos internos do circulo unitário do plano-Z
Os pontos sobre o eixo imaginário do plano-S correspondem aos pontos sobre o circulo unitário
Os pontos do semiplano direito do plano-S correspondem aos pontos fora do circulo unitário
Tempo de assentamento ou de estabilização, Ts
4 44s
n
T
s j
j
Traio e
| z |
sT T j T
T
s j
z e e e
e
módulo
21
j
-3,5
x
x
Wn = 5Epsilon = 0,7Ts = 1,14 s
-4,2
Raio =0,96Ts = 1,14 s
Raio =0,95Ts = 0,95sWn=6
22
clc
close all
clear
%% Análise do Tempo de Assentamento
%Tsampling <0,04 =40ms
Tsampling = 10e-3;
epsilon = 0.7;
SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100
wn = 5;
Num = wn^2;
Den = [1 2*epsilon*wn wn^2];
r = roots(Den)
rho = abs(real(r(1)))
Ts = 4/rho
raio = exp(-rho*Tsampling)
sys1= tf(Num,Den);
%----------------
epsilon = 0.7;
SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100
wn = 6;
Num = wn^2;
Den = [1 2*epsilon*wn wn^2];
r = roots(Den)
rho = abs(real(r(1)))
Ts = 4/rho
raio = exp(-rho*Tsampling)
sys2= tf(Num,Den);
figure
step(sys1,3)
hold on
step(sys2,3)
hold off
grid
legend('w_n=5','w_n=6')
Lugar Geométrico de Frequência Constante
j
1 samplingângulo T2
sj
2
sj
Polos com Frequência constante
Linhas radiais com ângulo TsT T j T
s j
z e e e
2
0
-
24
DFT=Transformada Discreta de Fourier
|H|
2piWsfs
04pi
-2pi-ws-fs
piWs/2fs/2
-pi-ws/2-fs/2
Lugar Geométrico com constante
j
Linha com constante
cos
Im LGR com constante
No plano-Z teremos o LGR do tipo espiral Quando seja 90°, o é zero e o LGR será equivalente ao circulo unitário
sT T j T
s j
z e e e
Lugar Geométrico com constante
j
Linha com constante
cos
sT T j T
s j
z e e e
j
Linha com constante
cos
Im LGR com constante
44s
n
T
21p
dn
T
2/ 1
% 100SP e
cos
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝜔𝑑𝑇
Analisar a correspondência das variáveis complexas entre os plano-S e plano-Z
28
2
( ) 25( )
( ) 6 25
C s KT s
R s s s K
25( )
( 6)pG s
s s
Esboçar o LGR em malha aberta MA Determinar um valor do ganho K Usar a equação característica para determinar os polos em
malha fechada MF
Analisar a correspondência das variáveis complexas entre os plano-S e plano-Z
29
%% Em malha aberta MA
NumMA = 25;
DenMA = [1 6 0];
sysMA = tf(NumMA,DenMA);
figure
rlocus(sysMA)
25: ( )
( 6)pMA KG s K
s s
Lugar Geométrico das Raízes
Analisar a correspondência das variáveis complexas entre os plano-S e plano-Z
• Para =0,6 e Ts=1,33 s (Tempo de assentamento).
30
25: ( )
( 6)pMA KG s K
s s
Lugar Geométrico das Raízes
1cos (0,6) 53
=0,6
dj
tan 533
4 rad/s
5 rad/s
d
d
n
4 41,33
3
s
n
T s
s=-+jS=-3+j4
Analisar a correspondência das variáveis complexas entre os plano-S e plano-Z
• Para =0,6 e Ts=1,33 s (Tempo de assentamento).
31
Lugar Geométrico das Raízes =0,6
dj
Condição de Módulo para Determinar K
| ( ) | 1
1 | || 6 |
| ( ) | 25
pKG s
s sK
G s
Para s = -3+4j
1 | 3 4 || 3 4 |1
| ( ) | 25
j jK
G s
1K s=-+jS=-3+j4
Analisar a correspondência das variáveis complexas entre os plano-S e plano-Z
• Para =0,6 e Ts=1,33 s (Tempo de assentamento).
32
2
( ) 25( )
( ) 6 25
C s KT s
R s s s K
2
1 ( ) 0
6 25 0
pKG s
s s K
Equação característica em MF
K Polo 1 Polo 2
1 -3+4j -3-4j
10 -3+15,52j -3-15,52j
33
1 2
25( )
6 25KT s
s s
10 2
250( )
6 250KT s
s s
2
11 2 2 2
1 1 1
1
1
1 1
2
1 1 1
25( )
6 25 2
5 /
0,6
cos 53°
1 4 /
n
n n
n
d n
T ss s s s
rad s
rad s
2
1010 2 2 2
10 10 10
10
10 _10 10
10 10
2
10 10 10
250( )
6 250 2
250 15,81 /
2 6 0,189
cos 79.1°
1 15,52 /
n
n n
n
n
d n
T ss s s s
rad s
rad s
K=10K=1
34
K Polo 1 Polo 2
1 -3+4j -3-4j
10 -3+15,52j -3-15,52j
35
x x
K=0
T=0,11
2
0
6
s
s
sTz e
1
2
1
0,54
z
z
K=0
25: ( )
( 6)pMA KG s K
s s
36
K=0,36
T=0,11
2
3
3
s
s
sTz e
1
2
0,7408
0,7408
z
z
K=0,36
x x
37
K=1
T=0,11
2
3 4
3 4
s j
s j
sTz e
1
2
0,6823 0,2885
0,6823 0,2885
z j
z j
K=1
x x
38
K=10
T=0,11
2
3 15,52
3 15,52
s j
s j
sTz e
1
2
0,0136 0,7407
0,0136 0,7407
z j
z j
K=10
x x
39
%% Circulo Unitario
r = 1; x0 = 0; y0 = 0;
th = 0:pi/50:2*pi;
xunit = r * cos(th) + x0;
yunit = r * sin(th) + y0;
%% Mapeamento S-> Z
Tsampling = 0.1;
K = 0:0.01:10;
x = [];
y = [];
for i=1:length(K)
DenMF = [1 6 25*K(i)];
S = roots(DenMF);
Z = exp(S*Tsampling);
x = [x real(Z)'];
y = [y imag(Z)'];
end
figure
plot(x,y,'.')
hold on
plot(xunit, yunit);
hold off, grid
xlabel('Real')
ylabel('Imaginario')
axis([-1.5 1.5 -1.2 1.2])
K=10
x x
sTz e
2
1 ( ) 0
6 25 0
pKG s
s s K
Lugar Geométrico com constante
j
Linha com constante
cos
Im LGR com constante
No plano-Z teremos o LGR do tipo espiral Quando seja 90°, o é zero e o LGR será equivalente ao circulo unitário
sT T j T
s j
z e e e
Lugar Geométrico com constante
sT T j T
s j
z e e e
Lugar Geométrico com constante
sT T j T
s j
z e e e
Para 0<d<0.5s
43
=0,6
53
dj
1K
Lugar Geométrico com constante
sT T j T
s j
z e e e
=0,6
44
=0,6
53
dj
1K %Circulo Unitario
r = 1; x0 = 0; y0 = 0;
th = 0:pi/50:2*pi;
xunit = r * cos(th) + x0;
yunit = r * sin(th) + y0;
%Figura no plano-z
T = 0.1;
rho = 0:0.01:60;
wd = (4/3)*rho;
z=exp(-rho*T).*exp(j*wd*T);
x = real(z);
y = imag(z);
figure
plot(x,y)
hold on
plot(xunit, yunit);
hold off
grid
xlabel('Real')
ylabel('Imaginario')
axis([-1.5 1.5 -1.2 1.2])
sT T j T
s j
z e e e
=0,6
45
• No plano-s, linhas com constantes são normais a linhas com n constantes.
• No plano-z, esta propriedade se mantem.
Comando MATLAB: zgrid
Métodos de Discretização(Aproximações)
46
47
1zs
T
1z sT
Forward differences (Euler)
Backward differences1z
szT
1
1z
sT
2 1
1
zs
T z
12
12
sT
zsT
Aproximação trapezoidal (Tustin-Bilinear)
lnsT zz e s
T
Transformação Exata
APROXIMAÇÕES s z z s
Aproximação de uma Derivada
48
0
( ) ( )limT
dy y t T y t
dt T
( ) ( )dy y t T y t
dt T
Diferenciação Forward
( ) ( )dy y t y t T
dt T
Diferenciação Backward
1. Método Forward Difference (Euler)
49
( ) ( )dy y t T y t
dt T
Diferenciação Forward
T = Tempo de amostragem
1. Método Forward Difference (Euler)
• A derivada é aproximada por:
• Aplicando a transformada de Laplace
50
( ) ( ) ( ) ( )dy y t T y t y kT T y kT
dt T T
( ) ( ) 1( ) ( )
sTe Y s Y s zsY s Y s
T T
1zs
T
1z sT
1. Método Forward Difference (Euler)
51
1zs
T
1z sT
O semi-plano esquerdo do plano-s é mapeado para a região que inclui o círculo unitário no plano-z
Nesta aproximação é possível que um sistema contínuo estável seja transformado em um sistema discreto instável (polos em z fora do círculo unitário)
Exemplo 1 (Forward)
• Realizar a transformação forward-difference
52
1( )
2C s
s
1zs
T
1(z)
1 1 22
TC
z z T
T
Polo s=-2
Sistema EstávelPlano esquerdo
Polo z=1-2TSe T>1 o polo ficará fora do círculo unitário2T>2-2T<-21-2T<-1
Sistema Instável
Exemplo 2 (Forward)
53
( )y t1
s
( )u t1z
sT
( ) 1
( )
Y s
U s s
( )y k
1
T
z
( )u k
(z)
(z) 1
Y T
U z
Integrador Continuo Integrador Discreto
Exemplo 2 (Forward)
• Para o Integrador
54
( ) ( )
t T
t
y t u t dt
( )
( ) ( )( )
( 1) ( )( )
( 1) ( ) ( )
dyu t
dt
y t T y tu t
T
y k y ku k
T
y k y k Tu k
Aproximação retangular
Área Retangular
2. Método Backward Difference
55
( ) ( )dy y t y t T
dt T
Diferenciação Backward
T = Tempo de amostragem
2. Método Backward Difference
• A derivada é aproximada por meio da equação:
• Aplicando a transformada de Laplace:
56
( ) ( ) ( ) ( )dy y t y t T y kT y kT T
dt T T
1( ) ( ) 1( ) ( )
sTY s e Y s zsY s Y s
T T
1zs
zT
1
1z
sT
2. Método Backward Difference
57
1zs
zT
1
1z
sT
Exemplo 3 (Backward)
• Realizar a transformação backward-difference
58
1( )
2C s
s
1(z)
1 (1 2 ) 12
zTC
z z T
zT
Polo s=-2
Sistema EstávelPlano esquerdo
Polo
Se T>0 o polo ficará dentro do círculo unitário
Sistema Estável
1zs
zT
1
1 2z
T
Exemplo 3 (Backward)Simulação Matlab
59
%% continuo
Num = 1;
Den = [1 2];
sys = tf(Num,Den);
figure
impulse(sys,5)
%Discreto Backward
T=0.1;
Num = [T 0];
Den = [(1+2*T) -1];
sysD = tf(Num,Den,T);
Tsim = 0:T:5;
hold on
impulse(sysD,Tsim)
hold off
grid
legend('Continuo','Discreto')
1( )
2C s
s
(z)(1 2 ) 1
zTC
z T
Exemplo 4 (Backward)
60
( )y t1
s
( )u t
( ) 1
( )
Y s
U s s
( )y k
1
zT
z
( )u k
(z)
(z) 1
Y zT
U z
Integrador Continuo Integrador Discreto
1zs
zT
Exemplo 4 (Backward)
• Para o Integrador
61
( ) ( )
t
t T
y t u t dt
( )
( ) ( )( )
( ) ( 1)( )
( ) ( 1) ( )
dyu t
dt
y t y t Tu t
T
y k y ku k
T
y k y k Tu k
Aproximação retangular
Área Retangular
3. Método Tustin- BilinearIntegração Trapezoidal
62
( ) ( 1)
( ) ( 1)( ) ( 1)
2
y k y k Área
u k u k Ty k y k
( ) ( )
( ) 1
( )
t
t T
y t u t dt
Y s
U s s
Aproximação Trapezoidal Aplicando a Transformada Z
1
1
1
1
( ) ( )( ) ( )
2
( ) 1
( ) 2 1
U z z U z TY z z Y z
Y z T z
U z z
Aproximação trapezoidal, com menor erro quando comparado com a retangular!!
3. Método Tustin- BilinearIntegração Trapezoidal
63
( )y t1
s
( )u t
( ) 1
( )
Y s
U s s
( )y k1
1
1
2 1
T z
z
( )u k
1
1
(z) 1
(z) 2 1
Y T z
U z
Integrador Continuo Integrador Discreto
1
1
2 1
1
zs
T z
2 1
1
zs
T z
12
12
sT
zsT
3. Método Tustin- BilinearIntegração Trapezoidal
64
2 1
1
zs
T z
12
12
sT
zsT
Frequência de Amostragem
• Uma regra geral utilizada para determinar o tempo de amostragem é utilizar de 8 a 10 vezes a saída do sistema em malha fechada durante um ciclo de oscilação senoidal amortecida, considerando sistemas subamortecidos.
65
10
2
1
s
d
s sampling
sampling
sampling
f
Tf
Exemplo 5• Para a função de transferência T(s), discretizar a função de
transferência utilizando os métodos de Tustin, Forward e Backward. Traze as respostas obtidas para T=0,05 s.
66
2
25( )
6 25H s
s s
Avaliar se esta correta a frequência de amostragem?
Exemplo 5
67
2
25( )
6 25H s
s s
%Continuo
Num = 25;
Den = [1 6 25];
Hc = tf(Num,Den);
figure
bode(Hc)
grid
Resposta em frequência do sistema
Exemplo 5
68
Considerando-se que o sistema tem uma resposta em frequência máxima de max=5,8 rad/s
2
2 5,8 11,6 /
2 11,6
11,61,84
2
11,84 0,54
sampling
sampling
sampling
sampling
sampling
sampling
BW
rad s
f
f
TT
0,05 !samplingT s está correto
2
25( )
6 25H s
s s
Exemplo 5• Para a função de transferência T(s), discretizar a função utilizando
os métodos de Tustin, Forward e Backward. Traze as respostas obtidas para T=0,05 s.
69
2
25( )
6 25H s
s s
2
2
2
2
2
1 0,0625
1,7 0,7625
1 0,0625
1,363 2,3 1
2 1 0,0625 0,125 0,0625
1 4,662 7,875 3,462
for
back
tus
zs H
T z z
z zs H
Tz z z
z z zs H
T z z z
70
Tsampling = 0,05 s
71
%Continuo
Num = 25;
Den = [1 6 25];
Hc = tf(Num,Den);
figure, bode(Hc),grid
T = 0.05; %Tempo de amostragem
%Discreto Forward
Num = 25*T^2;
Den = [1 (-2+6*T) (1+25*T^2-6*T)];
Hfor = tf(Num,Den,T);
%Discreto Backward
Num = [25*T^2 0 0];
Den = [(1+6*T+25*T^2) (-2-6*T) 1];
Hback = tf(Num,Den,T);
%Discreto Tustin
Num = 25*T^2*[1 2 1];
Den = [(4+12*T+25*T^2) (-8+50*T^2) (4-12*T+25*T^2)];
Htus = tf(Num,Den,T);
%% Resposta ao Degrau
Tmax =2.5;
figure, step(Hc,Tmax) , grid
hold on
Tsim = 0:T:Tmax;
step(Hfor,Tsim); step(Hback,Tsim); step(Htus,Tsim);
hold off
legend('Hc','Hforward','Hbackward','Htustin')
2
2
2
2
2
1 0,0625
1,7 0,7625
1 0,0625
1,363 2,3 1
2 1 0,0625 0,125 0,0625
1 4,662 7,875 3,462
for
back
tus
zs H
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Observações sobre Métodos de Discretização
• Quanto maior a fsampling, maior a equivalência entre os métodos e maior a aproximação entre os sistemas contínuos e discretos.
• Caso a estabilidade seja uma especificação critica do projeto, não utilizar o método de discretização forward.
• Caso as especificações da fsampling são criticas, deve ser utilizado o método de discretização Tustin e mapeamento casado Polo-Zero, pois produze menos distorção.
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Ferramentas Complementares
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Exemplo de Frações Parciais
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