RELATIVISTICKA MEHANIKA

prof. dr. sc. Antonije Dulcic

uz dodatke doc. dr. sc. Nikola Poljak

Krajem 19. stoljeca eksperimentalno je utvrdenoda brzina svjetlosti ne podlijeze Galileijevimtransformacijama, nego je naprotiv jednaka usvim inercijalnim sustavima. Valjalo je stoganaciniti znacajnu reviziju klasicne fizike kako bise nova teorija uskladila sa svim eksperimental-nim opazanjima. Albert Einstein je pocetkom 20.stoljeca postavio uspjesnu teoriju relativnosti kojaobuhvaca klasicnu fiziku kao dobru aproksimacijukod brzina koje su mnogo manje od brzine svje-tlosti.

1.1 Brzina svjetlosti

Od davnina se postavljalo pitanje o pojavi svje-tlosti, te posebno o tome siri li se svjetlost od izvorado opazaca trenutno, ili nekom brzinom, mozdajako velikom, ali ipak konacnom. Takoder, bilo jepoznato da se svjetlost moze opisivati kao valna po-java pa se postavljalo pitanje koji je medij potrebanza sirenje svjetlosti (kao sto su potrebni mediji zazvuk ili valove na vodi).

Prvo mjerenje brzine svjetlosti obavio je Rømeru 17. stoljecu na temelju astronomskih opazanja.Njegov je rezultat iznosio 2, 14 · 108ms−1, cime jeu ono doba ispravno utvrden ne samo red velicineza brzinu svjetlosti, nego i vrijednost koja se odispravne razlikuje za faktor manji od dva. Prvo te-restricko mjerenje brzine svjetlosti obavili su fran-cuski fizicari Fizeau i Foucault sredinom 19. sto-ljeca. Iz udaljenosti medu postavljenim zrcalima ivremena potrebnog da zraka svjetlosti prevali za-dani put, izracunali su da brzina svjetlosti iznosi2, 98 · 108ms−1, sto je veoma blizu tocnoj vrijed-

nosti.

Kad je ustanovljen iznos brzine svjetlosti, pos-tavilo se pitanje koje znacenje ima ta brzina akopromatranja mozemo vrsiti u raznim referentnimsustavima. U mehanici je odavna bio utvrden prin-cip relativnosti gibanja, kojim se podrazumijevaloda o brzini tijela nema smisla govoriti ukoliko sene utvrdi referentni sustav u odnosu na koji se tabrzina odreduje. Za svjetlost se mogla ocekivatiista zakonitost, ali to nije bilo lako eksperimentalnoutvrditi zbog velike brzine svjetlosti naspram brzi-nama raspolozivih referentnih sustava.

1851. godine je Hippolyte Fizeau krenuo mje-riti relativnu brzinu svjetlosti u vodi poznate br-zine u odnosu na mirujuceg promatraca. Premarezultatima klasicne fizike, ako svjetlost putuje ne-kom brzinom u odnosu na mirujuci medij, tad cese ta brzina povecati u odnosu na mirujuceg pro-matraca ukoliko se i medij giba u smjeru sirenjasvjetlosti ili smanjiti ukoliko se desava suprotno.Ako se svjetlost giba brzinom c

n u odnosu na me-dij, a medij brzinom v, onda se u ovim jednostav-nim slucajevima brzina svjetlosti u odnosu na pro-matraca dobije jednostavnim zbrajanjem ili oduzi-manjem brzina c

n i v. Fizeau je stvarno izmjerioefekt ”povlacenja svjetlosti”, no dobivena brzina uodnosu na promatraca nije bila jednaka c

n ± v, vec

vrel =c

n± v

(1− 1

n2

)(1.1)

Zakljucak eksperimenta bio je da postoji me-dij kroz koji se giba svjetlost, tad zvan eter, i dataj medij povlaci svjetlost (kao sto i tijelo vodeu gibanju sa sobom povlaci povrsinske valove), noto povlacenje samo je djelomicno. Ovaj rezultat

1

kasnije su potvrdili i drugi istrazivaci jer je biojako zabrinjavajuc, pogotovo znajuci da je postojaoniz drugih eksperimenata koji su pokazivali da nepostoji povlacenje etera (iako mozda postoji eter).Trebalo je proci vise od pola stoljeca da se pokazekako eter ustvari ne postoji, a Fizeauov je rezultatposljedica specijalne teorije relativnosti.

Slika 1.1: Michelsonov i Morleyev interferometar.Na detektoru se opaza interferencija dviju zraka na-kon njihovih refleksija na zrcalima. Pretpostavljenogibanje interferometra (postavljenog na Zemlji) jeu smjeru izvora svjetlosti. Interferometar se mozezakrenuti za 90o tako da svjetlost dolazi iz nekogdrugog izvora okomito na smjer gibanja interfero-metra.

Odgovor na pitanje o postojanju etera je dosaoiz glasovitog eksperimenta koji su Michelson i Mor-ley izveli 1887. godine. Oni su iskoristili cinjenicuda, zbog rotacije Zemlje oko vlastite osi i njena gi-banja oko Sunca, svaka tocka na povrsini Zemljeima neku trenutnu brzinu. Pomocu interferometraprikazanog na slici 1.1 osmislili su mogucnost us-poredbe brzine svjetlosti duz smjera gibanja apa-rature (zraka 1) i okomito na taj smjer (zraka 2).Na detektor dolazi superpozicija dviju zraka kojeinterferiraju. Kad se interferometar zakrene za 90o,zamijene se uloge dviju zraka u odnosu na smjer gi-banja aparature. Michelson i Morley su ustanovilida se zakretanjem interferometra nije promijenilainterferencija na detektoru, sto je znacilo da brzinasvjetlosti ima jednak iznos u referentnom sustavukoji se giba duz smjera zrake svjetlosti kao i u re-ferentnom sustavu koji se giba okomito na smjer

zrake svjetlosti. Bio je to iznenadujuci rezultat kojije potpuno odudarao od poznatih Galileijevih tran-sformacija za brzine. Pokazalo se da je brzina svje-tlosti jednaka u svim inercijalnim sustavima, tj. dapredstavlja univerzalnu prirodnu konstantu.

Rezultat Michelsona i Morleya znacio je ujednoda ne postoji neki ”preferirani” ili ”glavni” inerci-jalni sustav u Svemiru te da je pojam etera pot-puno nepotreban. Zakljucilo se da su svi inercijalnisustavi jednakopravni, barem sto se svjetlosti tice.Eksperiment je ponovljen puno puta, s varijacijamau doba dana, doba godine, kut zakrenutosti interfe-rometra itd. Konacan zakljucak eksperimenta pri-kazan je na slici 1.2 i lijepo je izrazen Michelsono-vim rijecima Lordu Rayleighu:

“The Experiments on the relative motion of theearth and ether have been completed and the resultdecidedly negative. The expected deviation of theinterference fringes from the zero should have been0.40 of a fringe – the maximum displacement was0.02 and the average much less than 0.01 – and thennot in the right place. As displacement is propor-tional to squares of the relative velocities it followsthat if the ether does slip past the relative velocityis less than one sixth of the earth’s velocity.”

Slika 1.2: Michelson Morleyevi rezultati. Gornjapuna linija predstavlja mjerenja u podne, donjauvecer. Teorijska predvidanja uz postojanje eteraprikazana su crtkano. Bitno je primijetiti da su dvatipa linija nacrtana na drugacijim skalama: crtkanekrivulje smanjene su 8 puta kako bi stale na sliku.

1.2 Einsteinovi postulati

i Lorentzove

transformacije

Albert Einstein je 1905. godine generalizirao tvrd-nju koju su postavili Michelson i Morley kao valjanuza promatranje svih ostalih fizikalnih procesa, a nesamo svjetlosti. On je izgradio novu teoriju relativ-nosti koja pociva na dva postulata.

Prvi Einsteinov postulat: Svi fizikalni zakonivrijede jednako u svim inercijalnim sustavima.

Drugi Einsteinov postulat: Brzina svjetlostijednaka je u svim inercijalnim sustavima.

Ovi se postulati odnose na posebnu (specijalnu)teoriju relativnosti koja obraduje pojave u inerci-jalnim sustavima. Za razmatranje pojava u neiner-cijalnim sustavima, Einstein je kasnije uveo opcuteoriju relativnosti.

Pokusajmo odrediti jednadzbe za transformacijukinematickih velicina iz jednog inercijalnog sustavau drugi s time da budu zadovoljeni Einsteinovi pos-tulati. U tu je svrhu na slici 1.3 prikazan jednosta-van slucaj dvaju sustava S i S ′ kojima se osi x i x ′

poklapaju, a osi y i y ′ su paralelne, te isto tako i osizi z ′. Sustav S ′ giba se relativnom brzinom V usmjeru osi x. Radi jednostavnosti, racunajmo vri-jeme u odnosu na trenutak kada se sustavi poklope,tj. taj trenutak proglasimo za t = t ′ = 0.

Razmatrat cemo najprije transformacije koordi-nata dogadaja, a potom trensformacije brzina i ak-celeracija iz jednog inercijalnog sustava u drugi.

1.2.1 Transformacije koordinatadogadaja

Koordinate nekog dogadaja su uvijek relativne, tj.moramo prvo odabrati neki dogadaj u odnosu nakojeg cemo potom utvrdivati koordinate drugihdogadaja. Zgodno je kao osnovni dogadaj odabratipoklapanje ishodista O i O ′ u t = t ′ = 0. Uzmimoda se drugi dogadaj ostvario u tocki A. Moramosada vidjeti kako promatraci u dvama sustavimautvrduju mjesto i vrijeme tog drugog dogadaja.

Za promatraca u sustavu S, dogadaj se zbiona udaljenosti x od ishodista O u trenutku t, tj.za promatraca u sustavu S protekao je interval

Slika 1.3: U odnosu na inercijalni referentni sustavS, postavljen je drugi inercijalni sustav S ′ koji segiba relativnom brzinom V duz osi x. Dva se sus-tava podudaraju u odabranom trenutku t = t ′ = 0.

vremena t od trenutka preklopa dvaju sustava dodogadaja u tocki A.

Za promatraca u sustavu S ′, isti se dogadaj zbiona udaljenosti x ′ od ishodista O ′ u trenutku t ′,tj. za njega je od preklopa dvaju sustava pa dodogadaja u tocki A protekao interval vremena t ′.Primijetimo da smo dozvolili da razliciti vremenskiinterval protece izmedu dva dogadaja u dva sus-tava, sto nije uobicajeno u Newtonovskoj mehanici.Razlog tome uskoro cemo vidjeti.

Zelimo naci jednadzbe transformacije koje pove-zuju velicine (x, t) s velicinama (x ′, t ′). Ako ihnademo, mozemo ih iskoristiti tako da u slucajukada su nam poznate velicine (x, t), koje oznacavajumjesto i vrijeme nekog dogadaja kako ga vidi pro-matrac u sustavu S, mozemo izracunati velicine(x ′, t ′) koje oznacavaju mjesto i vrijeme istogdogadaja kako ga vidi promatrac u sustavu S ′.

Takoder zelimo da trazene jednadzbe transforma-

cije zadovoljavaju uvjet o jednakosti brzine svje-tlosti u oba referentna sustava. U tu svrhupovezimo dva dogadaja svjetlosnim signalom (tj.neka se drugi dogadaj desi u oba sustava u nekomtrenutku i u nekoj koordinati u kojoj je taman tadsvjetlosni signal koji je krenuo iz ishodista u tre-nutku prvog dogadaja). Stoga, odabiremo da je utrenutku t = t ′ = 0 bljesnula iskra na mjestu gdjesu se poklopila ishodista O i O ′, a drugi dogadajpredstavlja dolazak svjetlosnog signala u tocku A.

Isprobajmo najprije Galileijeve transformacije.Ako su nam poznate velicine (x, t), mogli bismoizracunati velicine (x ′, t ′) putem jednadzbi

x ′ = x− V t (1.2)

t ′ = t (1.3)

Lako je provjeriti da Galileijeve transformacije neudovoljavaju zahtjevu o jednakosti brzine svjetlostiu dvama referentnim sustavima. Naime, za proma-traca u sustavu S svjetlosni signal je prevalio putx u vremenu t, pa je za njega brzina svjetlosti

x

t= c (1.4)

Isti svjetlosni signal je za promatraca u sustavu S ′

prevalio put x ′ u vremenu t ′, pa je za njega tajsignal putovao brzinom

x ′

t ′= c ′ (1.5)

Ako se ove relacije uvrste u Galileijevu transforma-ciju (11.1), dobivamo

c ′ t ′ = c t− V t (1.6)

Uvazavajuci jos i drugu Galileijevu transformaciju(11.2), po kojoj vrijeme tece jednako u oba inerci-jalna sustava, nalazimo rezultat

c ′ = c− V (1.7)

Vidimo da Galileijeve transformacije nisu prihvat-ljive jer predvidaju da bi promatraci u dva inerci-jalna sustava opazali razlicite brzine istoga svjetlos-nog signala.

Otvorimo sad mogucnost opcenitih linearnihtransformacija kojima iz poznatih velicina (x, t) ne-kog dogadaja u sustavu S izracunavamo velicine(x ′, t ′) istoga dogadaja videnog u sustavu S ′:

x ′ = γ x+ δ t (1.8)

t ′ = ε x+ η t (1.9)

Ovdje su γ, δ, ε i η neke konstante koje tek trebamoodrediti uvazavajuci postulate posebne teorije rela-tivnosti.

Napomena: Ocito je da bi se ove opcenite line-arne transformacije svele na Galileijeve kadabismo za konstante nacinili izbor γ = 1, δ =−V , ε = 0 i η = 1. No to bi bio, kako smovidjeli, pogresan izbor.

Razlog za odabir linearnih transformacija, a nekvadraticnih ili nekih drugih nelinearnih formi, lakoje obrazloziti fizikalnim zahtjevima. Naime, pos-tavimo li tocku A na dvostruko vecu udaljenost2x u sustavu S, ocekujemo da ce svjetlosni signalstici u nju za dvostruko vece vrijeme 2t. Isto takoocekujemo da cemo i u sustavu S ′ imati udvos-trucenje na 2x ′ i 2t ′, a to nam osiguravaju linearnetransformacije. Sad ujedno vidimo zasto smo do-zvolili da drugi dogadaj u dva sustava ima razlicitevremenske koordinate.

Prije nego primijenimo Einsteinove postulate,mozemo ustanoviti da sve cetiri konstante γ, δ, εi η ipak nisu medusobno neovisne. Razmotrimonajprije jednadzbe gibanja ishodista O ′ gledano izdvaju sustava. U sustavu S, polozaj ishodista O ′ uproizvoljno odabranom trenutku t, dan je izrazom

x = V t (1.10)

U sustavu S ′, ishodiste O ′ trajno miruje

x ′ = 0 (1.11)

Uvrstimo li ove koordinate u linearnu transforma-ciju (1.8), dobivamo

0 = γ V t+ δ t =⇒ δ = −γ V (1.12)

Dakle, razmatrajuci jednadzbu gibanja za O ′ do-bili smo da konstanta δ nije neovisna o γ, pa jemozemo eliminirati iz linearne transformacije takoda pisemo

x ′ = γ (x− V t) (1.13)

Ova bi se relacija svela na Galileijevu kada bismostavili γ = 1, no to bi bilo pogresno. Mozemo od-mah zakljuciti da konstanta γ ne smije biti jed-naka jedinici, ali njenu pravu vrijednost tek tre-bamo odrediti.

Razmotrimo sada i jednadzbe gibanja za is-hodiste O gledano u svakom od dvaju sustava. Usustavu S ishodiste O trajno miruje

x = 0 . (1.14)

Za promatraca u sustavu S ′ cijeli sustav S se gibabrzinom −V , pa je polozaj ishodista O u proizvolj-nom trenutku t ′ dan izrazom

x ′ = −V t ′ . (1.15)

Napomena: Promatrac iz sustava S ′ uvijek mjerivrijeme t ′ (a ne t).

Uvrstimo li gornje koordinate u linearne transfor-macije (1.13) i (1.9), dobivamo :

−V t ′ = −γ V t (1.16)

t ′ = η t . (1.17)

Iz ovih jednadzbi slijedi:

η = γ (1.18)

Dakle, razmatrajuci jednadzbe gibanja za O, utvr-dili smo da ni konstanta η nije neovisna o γ. Preos-tale su nam dvije neovisne konstante, tako da jed-nadzbe transformacije sad mozemo pisati u obliku:

x ′ = γ (x− V t) (1.19)

t ′ = ε x+ γ t (1.20)

Preostale dvije konstante ε i γ odredimo ko-risteci se dvama Einsteinovim postulatima za po-sebnu teoriju relativnosti. Krenimo od drugog pos-tulata koji utvrduje jednakost brzine svjetlosti usvim inercijalnim sustavima. Dakle, promatrac usustavu S utvrduje dolazak svjetlosnog signala utocku A, te izracunava brzinu svjetlosti c putemjednadzbe

x

t= c =⇒ x = c t (1.21)

No, i promatrac u sustavu S ′ opaza isti svjetlosnisignal i njegov dolazak u tocku A, ali izracun izvodipomocu svojih mjerenja i dobiva opet brzinu c

x ′

t ′= c =⇒ x′ = c t′ (1.22)

Uvrstavanjem ovih rezultata u linearne transforma-cije (1.19) i (1.20) dobivamo

c t ′ = γ (c t− V t) (1.23)

t ′ = ε c t+ γ t (1.24)

Uvrstavanjem t ′ iz druge jednadzbe u prvu isredivanjem nalazimo odnos

ε = −γ Vc2

(1.25)

Tako smo zahtjevom za jednakoscu brzine svjetlostiu oba sustava eliminirali i konstantu ε kao neovisnu,te linearne transformacije pisemo sada u obliku:

x ′ = γ (x− V t) (1.26)

t ′ = γ (t− V

c2x) (1.27)

Preostalu konstantu γ mozemo odrediti iz prvogaEinsteinova postulata koji utvrduje da su svi inerci-jalni sustavi ekvivalentni tako da svi fizikalni zakoniimaju isti oblik kada se iskazuju putem velicina kojeodgovaraju tome sustavu. To se mora odnositi i najednadzbe transformacije koje smo gore dobili. Onetransformiraju velicine iz sustava S u sustav S ′, paisti oblik moraju imati i jednadzbe transformacijeiz sustava S ′ u S, ali uz zamjenu V → −V jer se Sgiba brzinom −V prema S ′. Pisemo, dakle

x = γ (x ′ + V t ′) (1.28)

Uvrstimo li u ovu jednadzbu velicine x ′ i t ′ iz (1.26)i (1.27) dobivamo

x = γ

[γ (x− V t) + V γ (t− V

c2x)

]= γ2

(1− V 2

c2

)x (1.29)

Da bi ovaj rezultat bio konzistentan, mora biti is-punjen uvjet

γ2(

1− V 2

c2

)= 1 =⇒ γ =

1√1− V 2

c2(1.30)

Dobili smo konstantu γ koja igra veoma vaznuulogu u jednadzbama relativisticke fizike, te cemo jecesto upotrebljavati u ovome poglavlju. Ona ovisisamo o omjeru relativne brzine V dvaju inercijalnihsustava i brzine svjetlosti c. Moramo zapaziti da jeuvijek γ ≥ 1. U slucajevima kad je V � c, imamo

γ ∼=(

1 + V 2

2c2

), sto je izraz u kojem se cesto uzima

samo prvi clan (nerelativisticka aproksimacija).Do sad smo radi jednostavnosti razmatrali samo

dogadaje na osi x (odnosno x ′). U opcenitomslucaju, mjesto i vrijeme dogadaja opisani suvelicinama (x, y, z, t) za promatraca u sustavu S,te velicinama (x ′, y ′, z ′, t ′) za promatraca u sus-tavu S ′. Medutim, relativno gibanje dvaju sustavaduz osi x (odnosno x ′) nema utjecaja na polozajduz poprecnih osi, pa potpune Lorentzove transfor-macije glase:

x ′ = γ (x− V t) (1.31)

y ′ = y (1.32)

z ′ = z (1.33)

t ′ = γ (t− V

c2x) (1.34)

Razumije se, relativisticka konstanta γ dana je iz-razom (1.30).

Opcu uskladenost Lorentzovih transformacija sEinsteinovim postulatima mozemo lako provjerititako sto umjesto tocke A na osi x (odnosno x ′),odaberemo neku proizvoljnu tocku P do koje dodesvjetlosni signal koji je krenuo od iskre iz ishodistakada su ona bila poklopljena. U sustavu S svje-tlosni signal prevali put r u vremenu t tako da jeispunjen uvjet r = c t, odnosno

x2 + y2 + z2 = c2 t2 (1.35)

Za promatraca u sustavu S ′ isti svjetlosni signal,stigavsi u istu odabranu tocku, prevali put r ′ nakonvremena t ′ s time da je ispunjen uvjet r ′ = c t ′,odnosno

x ′2 + y ′2 + z ′2 = c 2 t ′2 (1.36)

Lako se mozemo uvjeriti da uvrstavanjem Loren-tzovih transformacija iz jednadzbi (1.31)-(1.34) u

jednadzbu (1.36) dobivamo upravo odnos koji jezapisan u jednadzbi (1.35). To vrijedi za bilo kojuvrijednost relativisticke konstante γ, dakle za bilokoju vrijednost relativne brzine V jednog sustavaprema drugome.

Gornje razmatranje zasluzuje jos jedan komen-tar. Promatrac u sustavu S moze reci da se svje-tlost od upaljene iskre prosirila do sfere radijusa roko njegova ishodista O nakon isteka vremenskogintervala t. Promatrac u sustavu S ′ opaza pak dase ista svjetlost prosirila do sfere radijusa r ′ i tooko njegova ishodista O ′, a nakon isteka vremen-skog intervala t ′! Dakle, sirenje svjetlosti je ravno-pravan dogadaj promatracima iz oba sustava, iakose gibaju relativno jedan u odnosu na drugog!

Sve ovo zvuci kao paradoks, no moramo prihva-titi da eksperimentalno utvrdena jednakost brzinesvjetlosti u raznim inercijalnim sustavima mijenjanase svakidasnje pojmove o prostoru i vremenukao odvojenim velicinama, te ideje o apsolutnomprostoru i apsolutnom vremenu. Lorentzove tran-sformacije izravno spajaju prostorne i vremenskekoordinate tako da moramo razmisljati u okviruprostor-vrijeme i to za svaki inercijalni sustav za-sebno. Dogadaj, koji se za promatraca u sustavu Sdogodio na nekoj udaljenosti od njegova ishodistaO u nekome trenutku t, dogodio se za drugog pro-matraca u sustavu S ′ na nekoj drugoj udaljenostiod njegova ishodista O ′, ali i u nekome drugomtrenutku t ′. To vrijedi za svaki dolazak svjetlosnogsignala u neku od tocaka na sferi oko O, kako tovidi promatrac u sustavu S. Svaki od tih dogadajadogodio se za promatraca u sustavu S ′ na nekojnovoj udaljenosti od njegova ishodista O ′, te u ne-kome trenutku t ′ koji se razlikuje od t.

Sva dosadasnja razmatranja bazirali smo nadogadajima koji se sastoje od dolaska svjetlosnogsignala iz ishodista u neku tocku nakon nekog vre-menskog intervala. Medutim, velicine (x, t) moguse odnositi na bilo koji dogadaj. Naprosto, pro-matrac u sustavu S opazi na udaljenosti x od svogishodista O da se u nekome trenutku t dogodio nekidogadaj. Sigurno i promatrac u sustavu S ′ mozeopaziti isti dogadaj, no pitanje je jesu li vrijednosti(x ′, t ′) koje taj promatrac izmjeri takve da ih semoze povezati s velicinama (x, t) putem Lorentzo-vih transformacija (1.31) i (1.34).

Odgovor na postavljeno pitanje je potvrdan. Uto se mozemo jednostavno uvjeriti na sljedeci nacin.Odaberimo proizvoljno koordinatu x kao mjesto ne-

kog dogadaja, te vrijeme t kada se dogadaj dogodio.Razmotrimo najprije 2 dogadaja za koje je to vri-jeme puno vece nego sto je potrebno da svjetlosnisignal dode iz ishodista O do polozaja x. Mozemozamisliti da je kroz to vrijeme svjetlosni signal pu-tovao od ishodista O do nekog udaljenog polozajax1 za vrijeme t1, te se na tome mjestu reflektiraona zrcalu i zatim putovao natrag u trajanju t2 domjesta x. Tako se konacni dogadaj dogodio u tre-nutku t = t1 + t2. Sigurno mora biti x1 = c t1, tex1 − x = x2 = c t2. Sada mozemo primijeniti Lo-rentzove transformacije na zamisljene medukorake.Dolazak svjetlosti do zrcala ostvario se za proma-traca u sustavu S ′ na polozaju

x ′1 = γ (x1 − V t1) (1.37)

u trenutku

t ′1 = γ (t1 −V

c2x1) (1.38)

Razmatrajuci put svjetlosti nakon refleksije na zr-calu, uvidamo da se taj proces odvija analogno kre-tanju svjetlosnog signala iz ishodista prema nega-tivnom smjeru osi x dok ne stigne na polozaj −x2nakon isteka vremenskog intervala t2. Za proma-traca u sustavu S ′, taj bi polozaj bio

−x ′2 = γ (−x2 − V t2) (1.39)

a trenutak bi bio

t ′2 = γ

[t2 −

V

c2(−x2)

](1.40)

Zbrajajuci jednadzbe (1.37) i (1.39) dobivamo

x ′1 − x ′2 = γ [(x1 − x2)− V (t1 + t2)] (1.41)

Napomena: Moramo uociti da u jednadzbi (1.39)nije zamijenjeno t2 → −t2, tj. vrijeme tece upozitivnom smislu, samo je zamijenjeno x2 →−x2 jer opisujemo proces sirenja svjetlosti duznegativnog smjera osi x. Stoga se u jednadzbi(1.41) pojavljuje (x1 − x2), ali (t1 + t2).

Zbrojimo jos jednadzbe (1.38) i (1.40) tako dapisemo

t ′1 + t ′2 = γ [(t1 + t2)− V (x1 − x2)] (1.42)

Mozemo sada identificirati u sustavu S velicine x =x1−x2 i t = t1 + t2 kao polozaj i vrijeme utvrdenogdogadaja, te analogno velicine x ′ = x ′1 − x ′2 it ′ = t ′1 + t ′2 kao polozaj i vrijeme istoga dogadajau sustavu S ′. Jednadzbe (1.41) i (1.42) svode seupravo na Lorentzove transformacije

x ′ = γ (x− V t) (1.43)

t ′ = γ (t− V

c2x) (1.44)

Preostaju nam jos dvije opcije. Prva je kad jevremenski interval izmedu dogadaja tocno jednakvremenskom intervalu da svjetlost doputuje od pr-vog do drugog dogadaja, no takvu smo opciju vecrazmotrili kad smo izvodili Lorentzove transforma-cije. Konacno, preostaje opcija u kojoj su dogadajidovoljno prostorno daleko da se ne mogu povezatisvjetlosnim signalom. Dogadaji koji su toliko uda-ljeni nazivaju se prostorno povezanim dogadajimai moze se pokazati da se i oni mogu povezati Lo-rentzovim transformacijama.

Za prve dvije opcije (koje se nazivaju vremenskipovezani dogadaji i svjetlosni povezani dogadaji)uvijek postoji Lorentzova transformacija koja dvadogadaja moze prostorno povezati, tako da u ne-kom sustavu izgleda da se dese u istoj tocki, a zatrecu opciju uvijek postoji transformacija koja tadva dogadaja moze vremenski povezati, tako da unekom sustavu izgleda da se dese u istom trenutku.Detaljna analiza trece opcije izlazi van okvira oveskripte, no mozemo reci da Lorentzove transforma-cije vrijede univerzalno za bilo koji dogadaj. Onepovezuju koordinate istog dogadaja u dva inerci-jalna sustava.

Neke primjene Lorentzovih transformacija

Medu najzanimljivijim primjenama Lorentzovihtransformacija navest cemo fenomen koji je dobionaziv kontrakcija duzine i fenomen dilatacije vre-mena. Pravilno tumacenje tih fenomena pomaze urazumijevanju naravi teorije relativnosti.

Kontrakcija duzine. Zamislimo stap koji mi-ruje polozen duz osi x sustava S. Promatrac utome sustavu moze utvrditi duljinu stapa tako daizmjeri polozaje njegovih krajeva kao x1 i x2, paje L = x2 − x1. To mjerenje moramo shvatiti kaodva dogadaja u sustavu S. Naime, promatrac u

Slika 1.4: (a) U referentnom sustavu S, stap mirujei promatrac utvrduje njegovu duljinu L. Mjerenjapolozaja njegovih krajeva ne moraju se izvesti isto-dobno. (b) U referentnom sustavu S ′ stap se gibabrzinom −V . Promatrac u tome sustavu mora is-todobno utvrditi polozaje oba kraja stapa. Po nje-govoj izmjeri, stap ima duljinu L ′.

sustavu S utvrduje da se jedan kraj stapa nalaziona polozaju x1 u trenutku t1, sto je dogadaj s ko-ordinatama (x1, t1), a drugi je kraj stapa bio napolozaju x2 u trenutku t2, sto je dogadaj s koordi-natama (x2, t2). Pri tome, trenutak t1 ne mora bitiisti kao i t2 jer stap ionako miruje u sustavu S, pa jejedan njegov kraj uvijek na polozaju x1, a drugi jeuvijek na polozaju x2, tako da trenuci utvrdivanjatih polozaja nisu bitni za ishod mjerenja. Prikazstapa koji miruje u sustavu S dan je na slici 1.4a.

Postavlja se pitanje kako ce promatrac u sustavuS ′ izmjeriti duljinu istoga stapa koji se za njegakrece brzinom −V . Prikaz se nalazi na slici 1.4b.Da bi mjerenje koje izvodi taj promatrac bilo is-pravno, on mora polozaje oba kraja stapa odre-diti istodobno. Dakle, on ce utvrditi dva dogadajas koordinatama (x ′1, t

′) i (x ′2, t′), gdje je t ′ neki

proizvoljno odabrani trenutak, zajednicki za obadogadaja. Za promatraca u sustavu S ′, stap ceimati duljinu L ′ = x ′2 − x ′1.

Da bismo mogli usporediti rezultate mjerenjadvaju promatraca moramo zamisliti da se oba mje-renja zapravo zasnivaju na utvrdivanju jednog teistog para dogadaja na krajevima stapa s time dasvaki promatrac utvrduje koordinate tih dogadajana svoj nacin. Za dogadaj na jednome kraju stapavrijede Lorentzove transformacije

x1 = γ (x ′1 + V t ′) (1.45)

t1 = γ (t ′ +V

c2x ′1) (1.46)

Ovdje smo primijenili transformacije iz sustava S ′

u sustav S, koji se u odnosu na S ′ giba brzinom−V . Stoga u zagradama stoji +, a ne − kao ujednadzbama (1.43) i (1.44). Ovdje smo namjernoodabrali transformacije koje opisuju koordinate uS pomocu koordinata u S ′ kako bi lakse primijeniliuvjet istodobnosti u S ′.

I za dogadaj na drugome kraju stapa mozemoupotrijebiti Lorentzove transformacije

x2 = γ (x ′2 + V t ′) (1.47)

t2 = γ (t ′ +V

c2x ′2) (1.48)

Primjenjujuci Lorentzove transformacije, uvazenoje da dogadaji u sustavu S ′ moraju biti istodobni(jedan trenutak t ′), dok se u sustavu S ti dogadajimogu dogoditi u razlicitim trenucima buduci dastap u tome sustavu miruje. Upravo jednadzbe(1.46) i (1.48) pokazuju da istome trenutku t ′ od-govaraju dva razlicita trenutka t1 i t2, koja ovise odva razlicita polozaja x ′1 i x ′2.

Sad mozemo izracunati iz jednadzbi (1.45) i(1.47)

x2 − x1 = γ (x ′2 − x ′1) (1.49)

Prema tome, ako promatrac u sustavu S izmjeriduljinu L stapa koji miruje, promatrac u sustavuS ′ izmjerit ce duljinu istoga stapa

L ′ =L

γ(1.50)

Najvecu duljinu stapa mjeri promatrac u sustavuu kojemu taj stap miruje. Kazemo da je to vlastitaduljina stapa. U svim sustavima u kojima se stapuzduzno giba, promatrac mjeri neku manju duljinustapa, pa je taj fenomen nazvan kontrakcijom stapau gibanju. Sto se stap giba brze, to je njegova du-ljina za promatraca kraca.

Slika 1.5: Shematski prikaz zamisljenog Einsteinovog eksperimenta s gledista osobe na platformi.

Relativnost istodobnosti. Bitno je razjasnitisto znaci da su dva dogadaja istodobna u S ′, jer jeto uvijek predmet konfuzije. Da bi se olaksalo ra-zumijevanje, zamislimo situaciju iz stvarnog zivotau kojoj imamo 3 osobe, A, B i C poredane na li-niji. Osoba B nalazi se izmedu A i C, no punoje blize osobi A nego osobi C. Sve tri osobe mi-ruju. U nekom trenu osoba C vikne i zvuk se krenesiriti prema osobi B. Osoba A vikne nesto kasnije,tocno tako da zvuk od nje i osobe C stignu u istomtrenu do osobe B. Osoba B sad moze razlikovati3 dogadaja: trenutak kad vikne osoba C, trenutakkad vikne osoba A i trenutak kad zvukovi stignu donje. Jasno je da ce tvrditi da su zvukovi stigli isto-dobno, no to ne znaci i da su osoba A i C viknuleistodobno, sto je cesta zamka u koju se upada urazmisljanju! Ovdje postoji jasni vremenski pore-dak dogadaja: prvo vikne C, zatim vikne A, zatimoba zvuka stignu do B.

Razmotrimo sad situaciju sa svjetlosti u pozna-tom Einsteinovom zamisljenom eksperimentu. 2osobe vezane su za 2 sustava. Jedna osoba nalazise na platformi, a druga u sredini vlaka koji prolazi

stalnom brzinom pokraj platforme. U trenutku kadse poklope polozaji dviju osoba, mjereno od osobena platformi, u prednji i straznji kraj vlaka isto-vremeno udare 2 munje. Ovo je postavka nase si-tuacije, tj. mi zahtjevamo da mjereno izvana objemunje (vani, a ne u vlaku) udare u koordinate krajai pocetka vlaka istovremeno. Situacija je shematskiprikazana na gornjem dijelu slike 1.5.

Razjasnimo najprije kako osoba na platformismatra da su udari munji istovremeni. Signali odmunja stignu do osobe istovremeno, kao i u slucajueksperimenta sa zvukom. No, ovdje imamo dodatniuvjet koji nalaze da se oba udara dese na istoj uda-ljenosti od promatraca na platformni. Stoga, onmoze zakljuciti da su se stvarno desili istovremeno,jer su signali od udara proputovali jednake udalje-nosti. Pogledajmo sad sto vidi osoba u vlaku, akoznamo kako dogadaj izgleda osobi na platformi.

Kako se vlak giba prema prednjem svjetlosnomsignalu, osoba na vlaku ce prvo vidjeti taj signal(srednji dio slike), a tek kasnije signal od udara ustraznji dio. Obje osobe slazu se da su se udari de-sili na pocetku i na kraju vlaka, kao i da je osoba

na vlaku prvo vidjela prednji signal. No, interpre-tacija tih dogadaja je razlicita s razlicitih gledista.Osobi na platformi oba se dogadaja dese istovre-meno jer su signali stigli istovremeno s jednako uda-ljenih mjesta. Osobi u vlaku oni se ne dese isto-vremeno jer zakljucuje da su signali stigli s jednakoudaljenih mjesta, ali prvo uoci prednji, a tek kasnijezadnji! Kad odracuna vrijeme putovanja signala (sobje strane vlaka brzinom c), ta osoba zakljucujeda se prednji udar desio prije udara u straznji dio.

U dobiveno se mozemo uvjeriti i razmatranjemLorentzovih transformacija. Neka je sustav S vezanza promatraca na platofrmi. Prema postavkamaproblema, udari gromova u njegovom sustavu pred-stavljaju dva dogadaja koji se dese na razlicitimkoordinatama, ali u istom trenutku. Stoga cemoza te dogadaje postaviti t1 = t2 = t. Odaberimodalje da se ishodista sustava oba promatraca pok-lapaju u trenutku t = t′ = 0. Za promatracana platformi to je ujedno i trenutak kad gromoviudare u krajeve vlaka pa vrijedi da je t1 = t2 = 0.Prostorno-vremenske koordinate udara gromova ukrajeve vlaka dane su u sustavu S s:

(x1, y1, z1, t1) = (−L/2, 0, 0, 0) (1.51)

(x2, y2, z2, t2) = (L/2, 0, 0, 0) (1.52)

pri cemu je L duljina vlaka mjerena u sustavu pro-matraca na platformi. U sustavu S′ vremenske ko-ordinate istih dogadaja mozemo dobiti iz Lorentzo-vih transformacija:

t ′1 = γ (t1 −V

c2x1) = γ

LV

2c2(1.53)

t ′2 = γ (t2 −V

c2x2) = −γLV

2c2. (1.54)

Vidljivo je da se dogadaji ne dese u istom trenutkuu sustavu vezanom uz promatraca u vlaku, bez ob-zira na detalje oko veze vlastite duljine vlaka i du-ljine L koju mjeri promatrac na platformi. Uz to,vidljivo je i da se u sustavu S′ dogadaj 2 (udargroma u prednji dio vlaka) u ovoj konfiguraciji uvi-jek desi prije dogadaja 1.

Instruktivno je zapitati se kako bi situacija iz-gledala osobi na platformi da smo postulirali da sedva svjetlosna signala posalju s krajeva vlaka is-tovremeno, ovaj put mjereno u sustavu vlaka. Tomozemo zamisliti da se desi tako sto se u vlaku,mjereno od promatraca koji sjedi u njegovu centru,istovremeno na oba kraja vlaka proizvedu 2 iskre.

Tad bi zahtjevali da je t ′1 = t ′2 i nuzno bi ispaloda ti dogadaji nisu istovremeni osobi na platformi.Vama se ostavlja da zakljucite koji je vremenski po-redak ta 2 dogadaja promatrano u sustavu vezanomza platformu.

Dilatacija vremena. Razmotrimo sad malo de-taljnije kako se odreduje vremenski interval izmedudva dogadaja. Neka su se u sustavu S dva dogadajadogodila na istome mjestu, ali u razlicitim vremen-skim trenucima, tako da su koordinate tih dogadaja(x, t1) i (x, t2). Za promatraca u tom sustavu,izmedu dva dogadaja protekao je interval vremena∆t = t2 − t1. Ako te iste dogadaje opaza proma-trac u sustavu S ′, za njega se oni nisu dogodili naistome polozaju u odnosu na njegovo ishodiste, ai vremenski trenuci su drugaciji. Za prvi dogadajvrijedi

x ′1 = γ (x− V t1) (1.55)

t ′1 = γ (t1 −V

c2x) (1.56)

a za drugi dogadaj

x ′2 = γ (x− V t2) (1.57)

t ′2 = γ (t2 −V

c2x) (1.58)

Polozaji dogadaja u sustavu S ′ ovise o vremen-skim trenucima t1 i t2 kako ukazuju jednadzbe(1.51) i (1.53). Ponovno smo primjenili transfor-macija u kojima je lako primijeniti uvjet problema,u ovom slucaju da se dva dogadaja dese na istommjestu. Interval vremena izmedu dogadaja lakoizracunavamo iz jednadzbi (1.56) i (1.58)

∆t ′ = t ′2 − t ′1 = γ (t2 − t1) = γ∆t (1.59)

Dakle, najkraci interval vremena izmedu dvadogadaja mjeri onaj promatrac za kojega su seta dva dogadaja dogodila na istom mjestu. Tajse interval cesto naziva vlastiti interval dvajudogadaja. Za promatrace u drugim inercijalnimsustavima u kojima su se ti dogadaji dogodili narazlicitim polozajima, vremenski interval izmedutih dogadaja je dulji. Razumije se, sto je razmakizmedu polozaja veci, to je zabiljezeni interval vre-mena izmedu dogadaja dulji. Taj je fenomen na-zvan dilatacijom vremena.

Slika 1.6: (a) U sustavu S svjetlosni signal se nakonvremenskog intervala ∆t vrati na isto mjesto odakleje krenuo. (b) U sustavu S ′ isti se fizikalni procesvidi tako da je svjetlosni signal krenuo iz jednogmjesta x ′1, te je nakon vremenskog intervala ∆t ′

stigao na drugo mjesto x ′2.

Zgodno je fenomen dilatacije vremena ilustriratijednim primjerom. Na slici 1.6a prikazan je nasta-nak iskre u trenutku t1 na polozaju x u sustavu S.Promatramo zraku svjetlosti koja se siri duz osi yi nailazi na postavljeno zrcalo, te se na njemu re-flektira i vrati se u trenutku t2 na isto mjesto gdjeje bila bljesnula iskra. Polazak i povratak svjetlos-nog signala u sustavu S predstavljaju dva dogadajakoja su se dogodila na istom polozaju, a izmedu njihje protekao vremenski interval

∆t =2 y

c(1.60)

Promatrac u sustavu S ′ opaza ista dva dogadajana nacin prikazan na slici 1.6b. Zrcalo na visiniy krece se brzinom −V tako da i svjetlosni sig-nal putuje od mjesta x ′1 gdje je bljesnula iskra domjesta gdje ce se naci zrcalo nakon vremenskog in-tervala ∆t ′/2, a nakon refleksije putuje do mjestax ′2, takoder za vremenski interval ∆t ′/2. Ako vaszbunjuje da svjetlost putuje u drugacijem smjeruu 2 sustava, sjetite se da svjetlost putuje u svim

smjerovima, a mi crtamo samo onu zraku koja naszanima. U konacnom trenutku, zrcalo se nalazi iz-nad polozaja x ′2, pa je:

x ′1 − x ′2 = V ∆t ′ (1.61)

Iz geometrijskih odnosa na slici 1.6b, te cinjeniceda se i u sustavu S ′ svjetlost siri brzinom c, slijedi

(x ′1 − x ′2

2

)2

+ y2 = c2(

∆t ′

2

)2

(1.62)

Uvrstavajuci jednadzbe (1.60) i (1.61) u jednadzbu(1.62) dobivamo nakon sredivanja

∆t ′ = γ∆t (1.63)

To je isti rezultat kao u jednadzbi (1.59).

1.2.2 Dopplerov efekt za svjetlost

Razmotrimo situaciju u kojoj izvor odasilje pulsevesvjetlosti nekom stalnom frekvencijom f0, mjerenoiz sustava izvora, i priblizava se po pravcu stalnombrzinom prema mirnom promatracu. Na skici jedana situacija u kojoj se vlak priblizava promatracuna platformi.

Slika 1.7: Shematski prikaz Dopplerovog efekta zasvjetlost. Prikazana su 2 trenutka u kojima se izvlaka odasilje puls svjetlosti.

Odredimo frekvenciju koju vidi promatrac akoizvor salje svjetlosne signale frekvencijom f0 u svomsustavu i priblizava se promatracu brzinom u. Naslici su nacrtane dvije fronte svjetlosnih valova kojedolaze do promatraca. Slika je nacrtana u sustavuvezanom uz promatraca.

Tijekom vremenskog intervala T nacrtanog naslici izvor se pomakne za uT , a krijesta prvog valaza cT . Valna duljina u sustavu promatraca jed-naka je λ = cT − uT . Valja uzeti u obzir daje period izmedu odasiljanja dvije valne krijesterazlicit za promatraca na platformi i za promatracau vlaku. Kako se u vlaku ta 2 dogadaja dese na is-tom mjestu, vrijedi da je T = γT0, pri cemu je T0

period mjeren u sustavu vlaka. Ako uzmemo u ob-zir definiciju frekvencije svjetlosnog vala, slijedi dapromatrac na platformi mjeri:

f =c

λ=

c

c− u1

T=

c

c− u1

γT0(1.64)

Veza frekvencija jednaka je:

f =c

c− u

√c2 − u2cT0

=

√c+ u

c− uf0 . (1.65)

Ova se relacija naziva Dopplerov efekt za svje-tlost. Rezultat s izmijenjenim predznacima dobijese u slucaju kad se izvor udaljava od promatraca.Bitno je primijetiti da kako se svjetlost ne giba kroznikakav medij, ovaj se izraz dosta razlikuje od Dop-plerovog efekta za zvuk. U slucaju zvuka valja raz-likovati giba li se izvor ili promatrac, zbog toga stomedij miruje u odnosu na promatraca. No, kako zasvjetlost nema medija, nebitno je tko se giba, vec jebitno samo relativno gibanje izvora i promatraca.

1.2.3 Paradoks blizanaca

Promotrimo sad slijedeci primjer. Svemirski brodputuje od Zemlje do zvijezde koja je udaljena 20svjetlosnih godina i miruje u odnosu na Zemlju.Brod se giba brzinom v = 0.8c promatrano sa Zem-lje. Pretpostavimo da brod trenutno ubrza do danebrzine. Kad dode do zvijezde, trenutno se okrenei istom se brzinom vrati natrag. Promotrimo situ-aciju putovanja sa gledista promatraca na Zemlji ipromatraca na brodu.

Promatrano sa Zemlje, jedini predmet koji segiba jest svemirski brod. Taj brod ima brzinu 0.8c,tj. giba se Lorentzovim faktorom γ = 5/3. Udalje-nost koju prevaljuje do zvijezde jednaka je 20 ly (ly= udaljenost koju svjetlost prevali za jednu godinuu vakuumu). Vrijeme koje je potrebno brodu dadode do zvijezde jednako je t = s/v = 25 godina.Jednako je vremena potrebno za nazad pa Zemljanivide da je put trajao 50 godina.

Promatrano s broda, Zemlja i zvijezda gibaju ses 0.8c, tj. Lorentzovim faktorom γ = 5/3. Udalje-nost do zvijezde je kontrahirana i iznosi L = L0/γ=12 ly. Kako je udaljenost smanjena, vrijeme koje jepotrebno do zvijezde jednako je t = 12ly/0.8c=15godina. Jednako je vremena potrebno za nazad paosobe na brodu vide da je put trajao 30 godina.Tko je u pravu? Koliko su ostarile osobe na brodu,a koliko za Zemlji?

Promatrano sa Zemlje, osobama na brodu vri-jeme je dilatirano. Oni mogu reci da je na Zem-lji proslo 50 godina do povratka broda, no onitakoder vide da je osobama na brodu proslo samot = 2 · 25 · 35=30 godina zbog dilatacije vremena.To se poklapa s mjerenjima osoba na brodu. Sdruge strane, nastaje problem kad osobe na brodupokusavaju primijeniti isto razmisljanje. Oni mogureci da je vrijeme osobama na Zemlji dilatirano, panjima prode jos manje vremena nego osobama nabrodu! Ovaj paradoks naziva se paradoks bliza-naca, a postoji nekoliko njegovih razrijesenja.

Da bi bolje razjasnili primjer, zamislimo da serode dva blizanca od kojih jedan ostane na Zemlji,a drugi krene putovati do zvijezde. Blizanci stalnopricaju preko Skype-a. Skype je namjesten da salje60 slicica u minuti, tj. jednu svake sekunde. Po-gledajmo kako izgleda video na Zemlji, a kako nasvemirskom brodu.

Promotrimo situaciju na ekranu na Zemlji. Pro-matrac na Zemlji vjeruje da je brod stigao do zvi-jezde nakon 25 godina. No, on to ne vidi odmahna ekranu zato sto signalu od zvijezde (gdje se sadnalazi svemirski brod) treba jos 20 godina da stignenatrag do Zemlje. Signal ne stize trenutno jer pu-tuje natrag konacnom brzinom, brzinom svjetlosti.Dakle, promatrac na Zemlji vjeruje da je njegovbrat stigao do zvijezde nakon 25 godina, ali to viditek 25+20=45 godina nakon polaska broda. Akobrat na Zemlji gleda vrijeme koje je prikazano nje-govu bratu na ekranu, vidjet ce da je njemu proslosamo 15 godina zbog dilatacije vremena (sjetimose, s bratovog gledista potrebno je 15 godina dozvijezde, u njegovom sustavu zbog kontrakcije du-ljine puta).

Mozemo se uvjeriti u ispravnost ovog rezul-tata pomocu Dopplerove formule. Ta formulaukljucuje u sebi dilataciju vremena kao i primica-nje/odmicanje izvora, tako da mora reporoduciratiovaj rezultat. Frekvencija slicica na Skypeu kojuprima osoba na Zemlji jednaka je:

f =

√c− uc+ u

f0 , (1.66)

sto uz u = 0.8c daje f = f0/3 i potvrduje nasrezultat (jer je proslo 45 godina kako bi osoba naZemlji vidjela da je proslo 15 godina, sto je faktor1/3).

Sad se brod okrene i krene prema Zemlji. Zemlja-nin na ekranu vidi da je proslo 15 godina, a njemu

je proslo 45 godina. Njegov se brat vrati s brodomnakon jos 5 godina (jer je ukupno trajanje putamjereno sa Zemlje 50 godina), a na ekranu ostarijos 15 godina (jer ukupno ostari 30 godina u svomsustavu). Ovaj novi omjer prolazaka vremena, tj.frekvencija slicica na Skypeu ponovno se poklapa sDopplerovom formulom.

Provedimo kratku analizu i za brata koji je nabrodu. Njemu treba 15 godina do zvijezde. Naekranu vidi da je proslo 5 godina. Razlog je jed-nostavan. Ako su Zemlja i zvijezda udaljeni 20svjetlostnih godina, signalu treba toliko vremenaod Zemlje do zvijezde. Mjereno sa Zemlje, signalkoji je odaslan sa Zemlje 5 godina nakon pocetkaputovanja, do zvijezde stigne nakon jos 20 godina itamo se susretne s brodom, za kojeg znamo da pu-tuje 25 godina. Osobi na brodu, koja se udaljava odZemlje, slicice na Skypeu stizu frekvencijom koja je3 puta manja od frekvencije na Zemlji (5/15), po-novno u skladu s Dopplerovim efektom.

Kad se brod okrene, desi se vrlo cudna stvar. Si-tuacija se moze razmatrati na 2 nacina. Prvi je dase brod stvarno okrene, no tad on vise ne predstav-lja inercijalni sustav i ne mogu se primijeniti jed-nakosti specijalne teorije relativnosti, vec se morapriskociti opcoj teoriji relativnosti. Znanstvenicisu htjeli zadrzati paradoks blizanaca bez uvodenjaubrzanja pa su smisljali druge scenarije s istom po-sljedicom. Jedna ideja je da se brod koji ide premazvijezdi prilikom dolaska do tamo susretne s drugimbrodom koji ide istom brzinom natrag prema Zem-lji. Oni izmjene informacije o Zemljanima i svakinastavi svoj put. Problem koji se tu pojavljuje jenemogucnost uskladivanja njihovih satova. Osobeu dva broda ne mogu se nikako dogovoriti koji jetrenutno trenutak na Zemlji! Koliko god to para-doksalno izgledalo, moze se pokazati pomocu tzv.Minkowski dijagrama, no to izlazi van okvira oveskripte. Za one koji zele znati vise, na kraju jeprilozen dijagram ovog problema u kojem se pojav-ljuje diskontinuitet u simulatanosti za brod koji pu-tuje prema zvijezdi i onaj koji putuje prema zemlji.Na toj slici, osobe koje putuju prema zvijezdi tvrdeda je na zemlji ovog trena ”trenutak A”, a osobekoje putuje prema Zemlji kazu da je ”trenutak B”.

U zakljucku, osobe u brodu moraju u jednomtrenu biti u neinercijalnom sustavu. Oni ne moguprimjenjivati rezultate specijalne teorije relativ-nosti pa ne mogu tvrditi da je Zemljanima dila-tirano vrijeme (barem u trenutku zakretanja).

1.2.4 Transformacije brzina

Nakon sto smo upoznali Lorentzove transforma-cije koje se odnose na mjesto i vrijeme dogadaja,mozemo se zapitati kako se u relativistickoj fiziciopisuje opcnito gibanje tijela. Krenimo od raz-matranja brzine kao osnovne kinematicke velicine.Pretpostavimo da promatrac u inercijalnom sus-tavu S utvrdi da se neka cestica giba duz osi xbrzinom vx, te se pitamo koliku ce brzinu vx izmje-riti promatrac u S ′ gledajuci to isto gibanje.

Problem mozemo ispravno rijesiti ako ga sve-demo na utvrdivanje dva dogadaja. Neka je prvidogadaj nalazenje cestice na nekome polozaju x utrenutku t, a drugi dogadaj nalazenje te cestice napolozaju x+∆x u trenutku t+∆t. Brzinu u sustavuS utvrdujemo na poznati nacin

vx =(x+ ∆x)− x(t+ ∆t)− t

=∆x

∆t−→ d x

d t(1.67)

Ako se sad stavimo u ulogu promatraca u sus-tavu S ′, nalazimo da se prvi dogadaj dogodio napolozaju x ′ u trenutku t ′, a te su koordinate pove-zane s onima iz sustava S putem Lorentzovih tran-sformacija

x ′ = γ (x− V t) (1.68)

t ′ = γ (t− V

c2x) (1.69)

Drugi se dogadaj za promatraca u sustavu S ′ do-godio na polozaju x ′ + ∆x ′ u trenutku t ′ + ∆t ′.I ove koordinate mozemo putem Lorentzovih tran-sformacija povezati s onima iz sustava S

x ′ + ∆x ′ = γ [(x+ ∆x)− V (t+ ∆t)] (1.70)

t ′ + ∆t ′ = γ [(t+ ∆t)− V

c2(t+ ∆t)] (1.71)

Prema tome, promatrac u sustavu S ′ mozeizracunati brzinu cestice

v ′x =(x ′ + ∆x ′)− x ′

(t ′ + ∆t ′)− t ′

=γ [(x+ ∆x)− V (t+ ∆t)]− γ (x− V t)

γ [(t+ ∆t)− V

c2(t+ ∆t)]− γ (t− V

c2x)

=∆x− V ∆t

∆t− V

c2∆x

=

∆x

∆t− V

1− V

c2∆x

∆t

(1.72)

Konacan rezultat za transformaciju brzine glasi

v ′x =vx − V

1− V

c2vx

(1.73)

Ova relacija je egzaktna za sve brzine vx koje nekacestica moze imati, te za bilo koju relativnu brzinuV izmedu dva inercijalna sustava.

Kod brzina koje su mnogo manje od brzine svje-tlosti (vx � c , V � c), vidimo da se relacija (1.73)svodi jednostavno na Galileijev izraz v ′x = vx − V .Dakle, u svim nerelativistickim slucajevima na kojesmo navikli u svakodnevnom zivotu, vrijedi u do-broj aproksimaciji Galileijeva transformacija za br-zine.

Zanimljivo je razmotriti drugi ekstrem u primjenirelacije (1.73). Uzmimo foton (kvant svjetlosti) kaocesticu koja se giba brzinom c u sustavu S. Zapromatraca u sustavu S ′, brzina fotona je

v ′x =c− V

1− V

c2c

= c (1.74)

Vidimo da relativisticki izraz za transformaciju br-zina daje ocekivani rezultat i u slucaju fotona. Bezobzira na iznos relativne brzine V izmedu dva iner-cijalna sustava, foton ima uvijek istu brzinu c. To jenajzgodnija potvrda konzistentnosti izraza (1.73) sdrugim postulatom posebne teorije relativnosti.

Razmotrimo sada opcenitiji slucaj u kojem secestica giba istodobno duz osi x i duz osi y, takoda za promatraca u sustavu S ona ima kompo-nente brzine vx i vy. Pitanje je kolike su kom-ponente brzine te cestice za promatraca u sustavuS ′. Problem moramo opet rjesavati pozivanjem nadva dogadaja. Prvi dogadaj predstavlja nalazenjecestice u sustavu S na polozaju (x, y) u trenutku t.Za promatraca u sustavu S ′, isti se dogadaj dogo-dio na polozaju (x ′, y ′) u trenutku t ′

x ′ = γ (x− V t) (1.75)

y ′ = y (1.76)

t ′ = γ (t− V

c2x) (1.77)

Drugi dogadaj predstavlja nalazenje cestice napolozaju (x+∆x, y+∆y) u trenutku t+∆t. Za pro-matraca u sustavu S ′, isti se dogadaj dogodio napolozaju (x ′+ ∆x ′, y ′+ ∆y ′) u trenutku t ′+ ∆t ′.Lorentzove transformacije nam daju

x ′ + ∆x ′ = γ [(x+ ∆x)− V (t+ ∆t)] (1.78)

y ′ + ∆y ′ = y + ∆y (1.79)

t ′ + ∆t ′ = γ [(t+ ∆t)− V

c2(x+ ∆x)] (1.80)

Mozemo izracunati komponentu brzine duz osi x ′.Postupak je identican onome iz jednadzbe (1.72),pa je i rezultat kao u jednadzbi (1.73). Razlog leziu cinjenici sto x ′ i t ′ ne ovise o y.

Izracunajmo sad komponentu brzine duz osi y ′

v ′y =(y ′ + ∆y ′)− y ′

(t ′ + ∆t ′)− t ′

=(y + ∆y)− y

γ

[(t+ ∆t)− V

c2(t+ ∆t)

]− γ

(t− V

c2x

)=

∆y

γ

(∆t− V

c2∆x

) (1.81)

Konacni rezultat glasi

v ′y =vy

γ

(1− V

c2vx

) (1.82)

Mozemo uociti da v ′y ovisi ne samo o vy, nego i o vx,a razlog lezi u tome sto t ′ ovisi o x. Da bismo kom-pletirali Lorentzove transformacije za brzine, nave-dimo jos i slucaj kada postoji brzina cestice duzosi z. Iz simetrije problema uvidamo da se giba-nje duz osi z ne razlikuje od onoga duz osi y jersu oba u ravnini okomitoj na os x duz koje postojipretpostavljeno relativno gibanje dvaju inercijalnihsustava. Stoga vrijedi transformacija

v ′z =vz

γ

(1− V

c2vx

) (1.83)

Primjena na slucaj gibanja duz osi y

Neka se u sustavu S cestica giba samo duz osi ykako pokazuje slika 1.8a, tj. neka je vx = 0, avy 6= 0. Buduci da se sustav S giba brzinom −Vu odnosu na sustav S ′, onda i cestica mora imatibrzinu v ′x = −V za promatraca u sustavu S ′. Uzto, cestica ima i neku brzinu v ′y kako prikazuje slika1.8b.

Slika 1.8: (a) U referentnom sustavu S cestica segiba duz osi y brzinom vy. (b) Promatrac u sustavuS ′ opaza da ista cestica ima komponente brzinev ′x = −V i v ′y, sto daje ukupnu brzinu v ′.

Formalnom primjenom Lorentzovih transforma-cija za brzine, nalazimo

v ′x =vx − V

1− V

c2vx

= −V (1.84)

v ′y =vy

γ

(1− V

c2vx

) =vyγ

(1.85)

Zbog γ > 1 dobivamo v ′y < vy, tj. za promatraca usustavu S ′ cestica ima manju komponentu brzineduz osi y ′. Medutim, izracunavajuci ukupnu brzinucestice za promatraca u sustavu S ′

v ′ =√v ′2x + v ′2y =

√V 2 +

v2yγ2

=

√V 2 + v2y

(1− V 2

c2

)

=

√v2y + V 2

(1−

v2yc2

)> vy (1.86)

nalazimo da promatrac u sustavu S ′ uvijek opaza

veci iznos brzine cestice nego sto to opaza proma-trac u sustavu S.

Zanimljivo je na kraju provesti analizu za brzinufotona u istim okolnostima. Ako se u sustavu Sfoton giba duz osi y, komponente negove brzine suvx = 0 i vy = c. Lorentzove transformacije za br-zinu daju

v ′x =vx − V

1− V

c2vx

= −V (1.87)

v ′y =vy

γ

(1− V

c2vx

) =c

γ(1.88)

Zbog γ > 1, komponenta brzine duz osi y ′ je uma-njena (v ′y < c), ali je ukupni iznos brzine za pro-matraca u sustavu S ′

v ′ =√v ′2x + v ′2y =

√V 2 +

c2

γ2

=

√V 2 + c2

(1− V 2

c2

)= c (1.89)

Dobili smo opet ocekivani rezultat u skladu sdrugim postulatom posebne teorije relativnosti.Videnje promatraca u dvama referentnim susta-vima prikazano je na slici 1.9.

Slika 1.9: Brzine istog fotona videne u dvama iner-cijalnim sustavima.

Izracunavanje transformacija brzine putemdiferenciranja

Nakon sto smo na elementaran nacin izveli izraze(1.73) i (1.82) za transformaciju brzina iz jednog

inercijalnog sustava u drugi, te stekli pouzdanjekroz njihovu primjenu, mozemo pokazati mate-maticki elegantniji izvod putem diferenciranja.

Potrazimo diferencijale u Lorentzovim transfor-macijama za polozaj i vrijeme iz jednadzbi (11.30)-(11.33)

dx ′ = γ (dx− V dt) (1.90)

dy ′ = dy (1.91)

dz ′ = dz (1.92)

dt ′ = γ

(dt− V

c2dx

)(1.93)

Uocimo da promjena dx ′ u jednadzbi (11.82) mozenastati zbog promjene dx, ali i zbog promjene dtzbog toga sto x ′ u jednadzbi (11.30) ovisi o dvijeneovisne varijable x i t. Analogno zapazanje imamoi za dt ′.

Brzine u sustavu S ′ je sada lako odrediti izomjera diferencijala

v ′x =dx ′

dt ′=

dx− V dt

dt− V

c2dx

=

dx

dt− V

1− V

c2dx

dt

=vx − V

1− V

c2vx

(1.94)

Dobili smo isti rezultat kao u jednadzbi (1.73).Takoder lako nalazimo

v ′y =dy ′

dt ′=

vy

γ

(1− V

c2vx

) (1.95)

sto se podudara s rezultatom (1.82). Opet mozemoprimijetiti da ovisnost komponente v ′y o vx dolaziod clana s dx u izrazu za dt ′.

Objasnjenje Fizeauovog eksperimenta

U ovom smo trenutku spremni objasniti rezultatFizeauovog eksperimenta. Uz pretpostavku da sesvjetlost u vodi giba brzinom c

n , pri cemu je n in-deks loma vode, a voda se giba brzinom v u istomsmjeru kao i svjetlost, brzina svjetlosti u odnosu naopazaca jednaka je:

vlab =cn + v

1 +cnv

c2

=cn + v

1 + vnc

(1.96)

Pogledajmo kolika je razlika te brzine i brzinesvjetlosti u vodi, c

n , kako bismo dosli do Fizeauovogrezultata:

vlab −c

n=

cn + v

1 + vnc

− c

n= v

1− 1n2

1 + vnc

, (1.97)

sto se za laboratorijske uvjete, u kojima je v << c,svodi na

vlab =c

n+ v

(1− 1

n2

)(1.98)

i poklapa se sa Fizeauovim rezultatom. Vidimo,stoga, da je njegov rezultat posljedica pravilnogzbrajanja brzina, a ne djelomicnog povlacenja (ne-postojeceg) etera.

1.2.5 Transformacije akceleracija

U trazenju izraza za transformacije akceleracijanajlakse nam je primijeniti postupak diferencira-nja. Tako iz izraza za v ′x dobivamo

dv ′x =

dvx

(1− V

c2vx

)− (vx − V )

(−Vc2dvx

)(

1− V

c2vx

)2

=1

γ2(

1− V

c2vx

)2 dvx (1.99)

Diferencijal dt ′ iz jednadzbe (11.85) mozemo napi-sati u obliku

dt ′ = γ

(dt− V

c2dx

)= γ

(1− V

c2dx

dt

)dt

= γ

(1− V

c2vx

)dt (1.100)

Iz omjera gornjih diferencijala dobivamo

a ′x =dv ′xdt ′

=1

γ3(

1− V

c2vx

)3

dvxdt

=1

γ3(

1− V

c2vx

)3 ax (1.101)

Pomalo neocekivano, akceleraciju a ′x u sustavu S ′

ne mozemo dobiti poznavajuci samo akceleraciju axu sustavu S, nego je potrebno poznavati i trenutnubrzinu vx. O tome ce jos biti rijeci kasnije kodrazmatranja djelovanja sile.

Izracunajmo jos diferencijal izraza za kompo-nentu brzine v ′y

dv ′y =

dvy

(1− V

c2vx

)− vy

(−Vc2dvx

)γ

(1− V

c2vx

)2 (1.102)

Uz to se koristimo izrazom za dt ′ iz jednadzbe(1.100), te dobivamo

a ′y =dv ′ydt ′

=

(1− V

c2vx

)ay + vy

V

c2ax

γ2(

1− V

c2vx

)3 (1.103)

Komponentu akceleracije a ′y cestice u sustavu S ′

mozemo dobiti ako poznajemo obje komponenteakceleracije ax i ay u sustavu S, te obje kompo-nente trenutne brzine vx i vy cestice u sustavu S.

U posebnom slucaju kada cestica u sustavu Skrece iz polozaja mirovanja, tj. kada njena trenutnabrzina iscezava (vx = 0 , vy = 0), izrazi za transfor-macije akceleracija poprimaju jednostavnije oblike

a ′x =axγ3

(1.104)

a ′y =ayγ2

(1.105)

Ovim cemo se izrazima koristiti kasnije u razmatra-nju transformacija sile iz jednog inercijalnog sus-tava u drugi.

1.3 Relativisticka dinamika

Nakon sto smo utvrdili kakve posljedice stvara po-sebna teorija relativnosti na izraze za transforma-ciju kinematickih velicina iz jednog inercijalnog sus-tava u drugi, mozemo se zapitati kako se odvija di-namika u okvirima posebne teorije relativnosti. U

trazenju odgovora, moramo se cvrsto drzati prvogaEinsteinova postulata prema kojemu svi prirodnizakoni moraju biti jednako valjani u svakome iner-cijalnom sustavu.

U klasicnoj (nerelativistickoj) mehanici imalismo drugi Newtonov zakon d~p = ~Fdt kao temeljnizakon dinamike. Mozemo se zapitati zadovoljava litaj zakon uvjet koji postavlja prvi Einsteinov pos-tulat, tj. vidi li promatrac u sustavu S ′ isti fizikalniproces u obliku d~p ′ = ~F ′dt ′. Da bismo to mogliprovjerili, morali bismo prethodno poznavati izrazeza transformacije pojedinih velicina iz jednog sus-tava u drugi. No poznata nam je jedino transfor-macija za vrijeme, dok nam odgovarajuce transfor-macije za dinamicke velicine ~p i ~F nisu poznate.

Mozemo pokusati i s obrnutim postupkom doka-zivanja. Pretpostavimo da drugi Newtonov zakonuistinu vrijedi u svim inercijalnim sustavima, te sezapitajmo je li moguce iz tog uvjeta naci relati-visticke izraze za transformacije ~p i ~F . Odgovorje nijecan jer iz jedne jednadzbe koja predstavljadrugi Newtonov zakon nije moguce naci transfor-macije za dvije dinamicke velicine.

Potrazimo neki drugi zakon mehanike iz kojegabismo mogli odrediti prvu dinamicku velicinu u re-lativistickoj formi. U tu bi svrhu moglo biti po-godno razmatranje zakona o ocuvanju kolicine gi-banja u zatvorenom sustavu zato sto taj zakon nesadrzi drugih dinamickih velicina. Problem bi setada sveo na utvrdivanje uvjeta koje mora zado-voljavati relativisticka kolicina gibanja da bi zakono ocuvanju te velicine vrijedio u svim inercijalnimsustavima.

1.3.1 Relativisticka kolicina gibanja

Da bismo dosli do relativistickog izraza za kolicinugibanja, razmotrimo sraz dviju jednakih kuglicaviden u dva inercijalna sustava. Neka u sustavu Ssraz izgleda potpuno simetricno kako pokazuje slika1.10a. Kuglice imaju jednake mase m, a brzine suim jednake po iznosu, ali suprotnih smjerova. Prijesraza, komponente brzine kugliceA oznacene su kaovx i vy, dok kuglica B ima komponente brzine −vxi −vy. Parametri sraza na slici 1.10a postavljenisu tako da se dodir kugli ostvaruje kada su sredistakugli na pravcu paralelnom s osi y, odnosno kadaje tangencijalna ravnina paralelna s osi x. U timuvjetima, kuglice zadrzavaju svoje brzine duz osi xi nakon sraza, dok im komponente brzina duz osi y

mijenjaju predznak.Ako preuzmemo definiciju kolicine gibanja iz

Newtonove mehanike kao ~p = m~v, mozemo napi-sati zakon ocuvanja za komponente kolicine gibanjaduz osi y

mvy +m (−vy)︸ ︷︷ ︸prije sraza

= m (−vy) +mvy︸ ︷︷ ︸poslije sraza

(1.106)

Zbog simetrije problema, ovaj je zakon zadovoljens Newtonovom definicijom kolicine gibanja.

Odaberimo sada sustav S ′ koji se u odnosu nasustav S giba brzinom V , koja je upravo jednakakomponenti vx, tako da kuglica A ima samo kom-ponentu brzine duz osi y ′. Slika 1.10b prikazujeisti sraz viden u sustavu S ′. Primijenimo izraze zatransformaciju brzine kuglice A prije sraza iz sus-tava S u sustav S ′ uz izbor V = vx

v ′xA =vx − V

1− V

c2vx

= 0 (1.107)

v ′yA =vy

γ

(1− V

c2vx

) =vy

√1− v2x

c2

1− v2xc2

=vy√

1− v2xc2

(1.108)

Pritom smo i u relativistickom faktoru γ zamijeniliV s vx. Komponenta brzine v ′xA iscezava, dok jekomponenta brzine v ′yA veca od vy.

Izracunajmo sada i komponente brzine kuglice Bprije sraza u sustavu S ′ uz izbor V = vx

−v ′xB =−vx − V

1− V

c2(−vx)

=−2 vx

1 +v2xc2

(1.109)

−v ′yB =−vy

γ

[1− V

c2(−vx)

] =−vy

√1− v2x

c2

1 +v2xc2

(1.110)

Primjecujemo da je komponenta brzine v ′yB po iz-nosu manja od vy.

Usporedujuci brzine kuglica u sustavu S ′ nala-zimo

Slika 1.10: (a) Elastican sraz dviju jednakih ku-glica viden u sustavu S gdje su brzine kuglica pos-tavljene simetricno. Gornja slika prikazuje stanjeu nekom trenutku prije sraza, a donja slika se od-nosi na neki trenutak nakon sraza. (b) Sustav S ′

je odabran tako da u njemu kuglica A ima gibanjeiskljucivo duz osi y ′. Zbog relativistickih transfor-macija, dvije kuglice nemaju jednake po iznosu br-zine duz osi y ′. Ipak, komponente kolicine gibanjaduz osi y ′ moraju za obje kuglice biti jednake poiznosima da bi i u sustavu S ′ bio zadovoljen zakonocuvanja kolicine gibanja kao sto je zadovoljen usustavu S.

v ′yA > v ′yB (1.111)

Kuglice nemaju jednake po iznosu brzine duz osiy ′, iako su bile jednake u sustavu S. To je vaznaposljedica relativistickih transformacija.

Nakon sraza, kuglica A mijenja brzinu vy → −vy,pa bismo transformirajuci novu brzinu u sustav S ′

dobili takoder v ′yA → −v ′yA. Isto vrijedi i za ku-glicu B, pa bismo nakon sraza dobili v ′yB → −v ′yB.U pokusaju primjene zakona ocuvanja kolicine gi-banja u sustavu S ′, a uz Newtonovu definicijukolicine gibanja, dobili bismo

mv ′yA +m (−v ′yB)︸ ︷︷ ︸prije sraza

6= m (−v ′yA) +mv ′yB︸ ︷︷ ︸poslije sraza

(1.112)

gdje nejednakost nastupa uslijed uvjeta (1.111).

S ovim rezultatom stavljeni smo pred izborizmedu napustanja zakona ocuvanja kolicine gi-banja kao neprihvatljivog u relativistickoj me-hanici, ili pak napustanja Newtonove definicijekolicine gibanja kao neodgovarajuce za potrebe re-lativisticke mehanike. Kao oslonac u promisljanju,moze nam posluziti prethodno steceno znanje okinematickim velicinama, pa i u razmatranju di-namickih velicina postavimo zahtjev da kod male-nih brzina relativisticke velicine postaju pribliznojednake klasicnima. S tom idejom, odlucimo sezadrzati zakon ocuvanja kolicine gibanja i u re-lativistickoj mehanici, a definiciju relativistickekolicine gibanja postavimo u obliku

~p = γp(v)m~v (1.113)

pri cemu je uveden neki faktor γp(v), ovisan o br-zini tijela, koji bi za malene brzine morao postatipriblizno jednak jedinici, tj. γp(v � c) ≈ 1. Ra-zumije se, ovdje se radi o opcoj definiciji kolicinegibanja smatrajuci da tijelo promatramo u nekomereferentnom sustavu u kojemu ono ima brzinu ~v.Zbog izotropnosti prostora, nema razloga da bi fak-tor γp(v) ovisio o smjeru brzine, nego samo samo onjenu iznosu v = |~v|.

Mozemo sada zahtijevati da zakon ocuvanjakolicine gibanja bude zadovoljen u slucaju sraza ku-glica u sustavu S ′ na slici 1.10b, tj. da vrijedi

γp(v′A)mv ′yA + γp(v

′B)m (−v ′yB) =

γp(v′A)m (−v ′yA) + γp(v

′B)mv ′yB (1.114)

Nakon sredivanja dobivamo uvjet

γp(v′A)mv ′yA = γp(v

′B)mv ′yB (1.115)

Dakle, komponente kolicina gibanja duz osi y ′ zadvije kuglice moraju biti medusobno jednake. Toje fizikalno jasan uvjet jer se jedino tada svaka ku-glica odbije u srazu tako da komponenta kolicinegibanja duz osi y ′ zadrzi isti iznos, ali promijenipredznak. Jednakost komponenti kolicine gibanjadviju kuglica moze se postici jedino tako da fak-tor γp bude veci za onu kuglicu koja ima manjukomponentu brzine duz osi y ′, te obrnuto za drugukuglicu.

Mozemo pokazati da zakon ocuvanja kolicine gi-banja vrijedi ukoliko se u opcoj definiciji relati-visticke kolicine gibanja iz jednadzbe (1.113) pos-tavi

γp(v) =1√

1− v2

c2

(1.116)

Sto je u nekom referentnom sustavu brzina tijelaveca, to je i faktor γp(v) veci.

Napomena: Faktor γp ima istu formu kao i rela-tivisticki faktor γ u Lorentzovim transformaci-jama. Ipak, medu njima postoji bitna razlika.U faktoru γ nalazimo brzinu V kojom se jedaninercijalni sustav giba prema drugome, dok seu faktoru γp nalazi brzina tijela u nekom zada-nom referentnom sustavu.

Usmjerimo se sada na dokaz uvjeta (1.115).Mozemo ga napisati u obliku

v ′yA√1−

v ′2yAc2

=v ′yB√

1−v ′2xB + v ′2yB

c2

(1.117)

Ovdje smo uvazili da se kuglica A giba samo duzosi y ′, dok kuglica B ima i komponentu brzine duzosi x ′, pa se u nazivniku uzima odgovarajuci iznosukupne brzine. U dokazu cemo krenuti od izraza zakuglicu B, koji je slozeniji, te pokazati da ga se ni-zom transformacija moze svesti na izraz za kuglicuA koji je jednostavniji. Pritom se sluzimo ranijeizvedenim transformacijskim izrazima.

v ′yB√1−

v ′2xB + v ′2yBc2

=

vy

√1− v2x

c2

1 +v2xc2√√√√√√√√1− 1

c2

4v2x + v2y

(1− v2x

c2

)(

1 +v2xc2

)2

=vy

√1− v2x

c2√(1 +

v2xc2

)2

− 1

c2

[4v2x + v2y

(1− v2x

c2

)]

=vy

√1− v2x

c2√1 + 2

v2xc2

+v4xc4− 4

v2xc2−v2yc2

(1− v2x

c2

)

=vy

√1− v2x

c2√(1− v2x

c2

)2

−v2yc2

(1− v2x

c2

)=

vy√1− v2x

c2

1√√√√√1−v2y

c2(

1− v2xc2

)=

v ′yA√1−

v ′2yAc2

(1.118)

Dakle, dokazali smo jednakost (1.117), a time i is-pravnost izraza za relativisticku kolicinu gibanja(1.113) uz relativisticki faktor γp u obliku (1.116).1

1.3.2 Drugi Newtonov zakon u relati-vistickoj mehanici

Nakon sto smo utvrdili relativisticki izraz zakolicinu gibanja, mozemo se vratiti na pitanje odrugome Newtonovu zakonu. Nema vise preprekeda bismo kao relativisticki ispravan zakon prihvatiliizvornu Newtonovu formulaciju

d~p = ~F dt (1.119)

U tom smo koraku prihvatili da sila ~F bude rela-tivisticka velicina. O njenim svojstvima transfor-macije iz jednog inercijalnog sustava u drugi bit cerijeci kasnije.

Da bismo analizirali odnos sile i promjene brzine,zgodno je zapisati gornju jednadzbu u obliku

1U starijim se udzbenicima navodio pojam relativistickemase kao m(v) = γpm tako da se relativisticka kolicina gi-banja zapisivala u obliku ~p = m(v)~v. U toj se formulacijigovorilo da je m masa mirovanja, te da porastom brzine ti-jela njegova masa m(v) raste. Ovdje je prihvacena formula-cija koja prevladava u suvremenoj literaturi, a po njoj masam ostaje relativisticka invarijanta, tj. ne mijenja se s brzi-nom, odnosno ima istu vrijednost za dano tijelo ako ga sepromatra iz bilo kojeg inercijalnog sustava.

~F =d~p

dt=

d

dt

m~v√1− v2

c2

(1.120)

Podrazumijeva se da tijelo promatramo u nekomreferentnom sustavu, te da ono ima neku trenutnubrzinu ~v u tome sustavu, a na njega djeluje sila~F koja mu nastoji promijeniti brzinu. Taj odnosmozemo bolje analizirati ako vektore ~F i ~v rasta-vimo na komponente u danome sustavu Oxyz

Fx i+ Fy j + Fz k =d

dt

m(vx i+ vy j + vz k

)√

1−v2x + v2y + v2z

c2

(1.121)

Vidimo da za komponentu sile duz osi x vrijedi

Fx =d

dt

mvx√1−

v2x + v2y + v2zc2

(1.122)

Zbog faktora γp koji mora stajati u relativistickojkolicini gibanja, dobili smo da je komponenta sileFx povezana ne samo s derivacijom od vx po vre-menu, nego i s derivacijama od vy i vz po vremenu.Analogno vrijedi i za komponente Fy i Fz. Dakle,relativisticka sila koja je na ovaj nacin uvedena,razlikuje se uvelike od sile u klasicnoj (nerelati-vistickoj) fizici.

Cak i u jednostavnijem slucaju u kojem sila dje-luje u smjeru brzine tijela, npr. oboje duz osi x,odnosi medu velicinama nisu kao u klasicnoj meha-nici. Mozemo izracunati

Fx =d

dt

mvx√1− v2x

c2

= m

dvxdt

√1− v2x

c2+v2xc2

(1− v2x

c2

)−1/2dvxdt

1− v2xc2

= m1(

1− v2xc2

)3/2ax (1.123)

Neka je sila Fx konstantna u vremenu. Za akcele-raciju dobivamo

ax =Fx

m

(1− v2x

c2

)3/2

(1.124)

Samo u trenutku kada tijelo krece iz mirovanjaimamo akceleraciju ax = Fx/m. Kako s vreme-nom brzina raste, smanjuje se akceleracija sukladnoformuli (1.124). Brzina i dalje raste, ali sve spo-rije, iako je sila konstantna. Kada vx → c, imamoax → 0, pa nema daljnjeg porasta brzine. To jeizuzetno vazan relativisticki rezultat koji kaze daniti jedno tijelo konacne mase ne moze dosegnutibrzinu svjetlosti.

1.3.3 Relativisticka energija

U klasicnoj smo mehanici uveli pojam radakao djelovanja sile na nekom putu, te stvaranjavelicine koju smo nazvali kinetickom energijom ti-jela. Mozemo sada ispitati sto se dogada s timvelicinama i odnosima medu njima kada uvodimorelativisticku mehaniku.

Silu i put smo vec definirali kao relativistickevelicine, pa mozemo zadrzati pojam rada sile i nas-taviti s racunanjem. Uzmimo jednostavan slucaj ukojemu tijelo krene iz stanja mirovanja pod utjeca-jem sile ~F koja djeluje duz osi x, tako da na putudx rad sile iznosi

dW = Fx dx (1.125)

Za silu Fx mozemo iskoristiti prethodno izvedeniizraz (1.123), te ujedno preracunati

ax dx =dvxdt

vx dt = vx dvx (1.126)

Rezultat za infinitezimalni rad iznosi

dW =mvx dvx(1− v2x

c2

)3/2(1.127)

Mozemo pokazati da je dobiveni izraz jednak dife-rencijalu jedne nove velicine

d

mc2√1− v2x

c2

=

mc2[−1

2

(−2

vx dvxc2

)](

1− v2xc2

)3/2

=mvx dvx(1− v2x

c2

)3/2(1.128)

Prema tome, infinitezimalni rad relativisticke sileiznosi

dW = d

mc2√1− v2x

c2

(1.129)

Ukupan rad koji sila izvrsi u pokretanju tijela izstanja mirovanja (vx = 0), pa dok tijelo ne postigneneku brzinu vx 6= 0, iznosi

W =

∫ vx

0dW =

∫ vx

0d

mc2√1− v2x

c2

=

mc2√1− v2x

c2

−mc2 (1.130)

Potrebno je razmotriti interpretaciju dobivenog re-zultata. U klasicnoj mehanici smo naucili da radsile dovodi do promjene kineticke energije tijela.Pritom se podrazumijevalo da je tijelo slobodno,odnosno da se ne nalazi u nekom potencijalnompolju. Ako je tijelo u pocetku mirovalo, njegovaje kineticka energija bila jednaka nistici, a na krajudjelovanja sile tijelo je imalo neku kineticku ener-giju. Ovdje smo utvrdili da se rad relativistickesile svodi na razliku dvaju clanova od kojih prviovisi o konacnoj brzini tijela vx, a drugi je kons-tanta neovisna o brzini tijela. Einstein je za-kljucio da i energija mora biti postavljena kao re-lativisticka velicina, drugacija od klasicne energije,te je nacinio logican izbor proglasivsi prvi clan urezultatu (1.130) za ukupnu relativisticku energiju

E =mc2√1− v2x

c2

(1.131)

Iz tog izraza logicno slijedi da drugi clan u rezultatu(1.130) odgovara energiji mirovanja (vx = 0)

E0 = mc2 (1.132)

Ovo predstavlja glasoviti Einsteinov rezultat. Sa-mim time sto neko tijelo ima masu, ono ima i odgo-varajucu energiju. Ekvivalentnost mase i energije

potvrdena je kasnije u procesima nuklearne fisije ifuzije.

Jednadzbu (1.130) mozemo sada interpretiratitako da razliku clanova gledamo kao porast ener-gije tijela koji je nastao uslijed rada sile, te samotaj porast smatramo kinetickom energijom

EK = E − E0 = mc2

1√1− v2x

c2

− 1

(1.133)

Za malene brzine tijela (vx � c), vrijedi aproksi-macija

1√1− v2x

c2

≈ 1 +1

2

v2xc2

(1.134)

Tad za kineticku energiju dobivamo

EK = mc2(

1 +1

2

v2xc2− 1

)=

1

2mv2x (1.135)

Dakle, relativisticki izraz za kineticku energiju pos-tavljen u jednadzbi (1.133) ima ispravno ponasanjena niskim brzinama tijela, tj. svodi se na izrazza kineticku energiju u nerelativistickoj (klasicnoj)mehanici.

Kad brzina tijela raste prema brzini svjetlosti(vx → c), relativisticka energija E postaje be-skonacno velika, a isto se zbiva i s kinetickom ener-gijom EK . Drugim rijecima, trebalo bi uloziti be-skonacnu kolicinu rada kako bi se tijelu dala brzinac. Ti su odnosi zgodno prikazani na slici 1.11.

Napomena: U gornjem smo razmatranju rabilioznaku vx za brzinu tijela kako bismo imaliizravnu poveznicu s prethodnim izrazima zadrugi Newtonov zakon. Razumije se, u svimtim izrazima mozemo naprosto pisati oznakuv za brzinu jer se radi o gibanju po pravcukoji moze imati bilo koji smjer, a u konacnicimozemo os x postaviti upravo duz tog smjera.

1.3.4 Transformacija sile

Preostala nam je jos relativisticka sila kao di-namicka velicina za koju je potrebno utvrditi jed-nadzbe transformacije iz jednog inercijalnog sus-tava u drugi. Razmotrimo najprije jednostavan

Slika 1.11: Ovisnost ukupne relativisticke energijeE i kineticke energije EK o brzini v tijela (cestice)izrazenoj relativno prema brzini svjetlosti c.

slucaj prikazan na slici 1.12a. Cestica (tijelo) imau sustavu S trenutnu brzinu vx i na nju djeluje silaFx tako da ima i trenutnu akceleraciju ax. Vec smoranije analizirali takav slucaj i dobili rezultat u jed-nadzbi (1.123)

Fx =1(

1− v2xc2

)3/2max (1.136)

Mozemo promatrati istu cesticu u sustavu S ′ kojise giba brzinom V u odnosu na sustav S. Slika1.12b prikazuje tu cesticu u sustavu S ′, gdje onaima brzinu v ′x. Ono isto djelovanje na cesticu, kojese u sustavu S iskazivalo silom Fx, sad se iskazujepostojanjem neke sile F ′x, koja cestici daje akcele-raciju a ′x. Transformacije za brzinu i akceleracijusu nam poznate, te se pitamo kako glasi transfor-macija za silu, tj. ako poznamo silu Fx, kako bismoizracunali silu F ′x.

Drugi Newtonov zakon u relativistickoj formi vri-jedi u svim inercijalnim sustavima, te mozemo poanalogiji s jednadzbom (1.136) pisati u sustavu S ′

F ′x =1(

1− v ′2xc2

)3/2ma ′x (1.137)

Posluzimo se izrazom za transformaciju brzine(1.73) da bismo izracunali nazivnik:

1− v ′2xc2

= 1− 1

c2

vx − V

1− V

c2vx

2

=

(1− V

c2vx

)2

− 1

c2(vx − V )2(

1− V

c2vx

)2

=1− 2

V

c2vx +

V 2

c4v2x −

v2xc2

+ 2vx V

c2− V 2

c2(1− V

c2vx

)2

=

(1− v2x

c2

)− V 2

c2

(1− v2x

c2

)(

1− V

c2vx

)2

Slika 1.12: (a) U sustavu S cestica se giba duz osix nekom trenutnom brzinom vx. Na cesticu djelujesila takoder duz osi x, tako da ona ima trenutnuakceleraciju ax. (b) Za promatraca u sustavu S ′

ista cestica ima trenutnu brzinu v ′x. Postojece dje-lovanje na tu cesticu ocituje se kao sila F ′x, kojacestici daje akceleraciju a ′x.

=

(1− V 2

c2

) (1− v2x

c2

)(

1− V

c2vx

)2

=1− v2x

c2

γ2(

1− V

c2vx

)2 (1.138)

Ako uvrstimo ovaj rezultat u izraz za silu (1.137),te iskoristimo i izraz za transformaciju akceleracije(1.101), dobivamo

F ′x =

γ3(

1− V

c2vx

)3

(1− v2x

c2

)3/2m

1

γ3(

1− V

c2vx

)3 ax

=1(

1− v2xc2

)3/2max = Fx (1.139)

Pomalo iznenadujuce, nakon tako slozenog racunadobili smo rezultat kao i u nerelativistickoj Newto-novoj fizici. Promatraci u oba sustava opazaju istupo iznosu silu koja djeluje na cesticu. Naglasimojos jednom da smo ovdje proveli dosljedno relati-visticko razmatranje. U sustavu S cestica ima tre-nutnu brzinu vx i sila Fx joj daje trenutnu akcele-raciju ax, dok u sustavu S ′ ista cestica ima brzinuv ′x i sila F ′x joj daje trenutnu akceleraciju a ′x. Utransformacijama smo pokazali da, iako cestica imau dvama sustavima razlicite brzine (v ′x 6= vx), terazlicite akceleracije (a ′x 6= ax), ipak za sile vrijediF ′x = Fx. Iako neocekivan, ovaj je rezultat ipaktocan.

Razmotrimo sada drugi jednostavan slucaj kojije prikazan na slici 1.13a. Cestica se u sustavu Sgiba samo duz osi y, tj. ima neku trenutnu brzinuvy. Ako na cesticu djeluje sila Fy, koja takoder imasmjer kao trenutna brzina, cestica ce imati nekuakceleraciju ay. Za gibanje duz pravca imamo drugiNewtonov zakon u relativistickoj formi

Fy =1(

1−v2yc2

)3/2may (1.140)

Razmotrimo sada istu cesticu sa stajalista pro-matraca u sustavu S ′ koji se giba brzinom V u

Slika 1.13: (a) U sustavu S cestica se giba duz osiy nekom trenutnom brzinom vy. Na cesticu djelujesila takoder duz osi y, te joj daje trenutnu akcele-raciju ay. (b) Za promatraca u sustavu S ′ cesticaima trenutnu brzinu s komponentama v ′x i v ′y, od-nosno ukupnom brzinom v ′. Fizikalno djelovanjena cesticu, koje se u sustavu S iskazuje silom Fy,vidi se u sustavu S ′ kao sila s dvjema komponen-tama F ′x i F ′y.

odnosu na sustav S. Na slici 1.13b vidimo da istacestica promatrana u sustavu S ′ ima komponentebrzine koje je lako izracunati

v ′x =vx − V

1− V

c2vx

= −V (1.141)

v ′y =vy

γ

(1− V

c2vx

) =vyγ

(1.142)

Ovdje smo uzeli u obzir da je vx = 0 u sustavu S.Za ukupnu brzinu cestice u sustavu S ′ imamo

v ′2 = v ′2x + v ′2y = V 2 + v ′2y (1.143)

Kolicina gibanja cestice u sustavu S ′ ima takoderdvije komponente

p ′x =mv ′x√1− v ′2

c2

=−mV√

1−V 2 + v ′2y

c2

(1.144)

p ′y =mv ′y√1− v ′2

c2

=mv ′y√

1−V 2 + v ′2y

c2

(1.145)

Varijabla u ovim izrazima je v ′y. Naime, sila Fy

u sustavu S mijenja brzinu vy, a time se i u sus-tavu S ′ mijenja brzina v ′y = vy/γ prema jed-nadzbi transformacije (11.142). Stoga se u vre-menu mijenja i komponenta kolicine gibanja p ′x,iako se odgovarajuca komponenta brzine ne mi-jenja v ′x = −V = konst. Nadalje, prema dru-gome Newtonovu zakonu, ako postoji vremenskapromjena p ′x, onda postoji i komponenta sile F ′x

F ′x =dp ′xdt ′

=d

dt ′

−mV√1−

V 2 + v ′2yc2

= −mV

(−1

2

) −2v ′yc2

dv ′ydt ′(

1−V 2 + v ′2y

c2

)3/2

= −m

V

c2v ′y(

1−V 2 + v ′2y

c2

)3/2a ′y (1.146)

U sustavu S postoji samo sila Fy, te ocekujemoda je njenom transformacijom u sustav S ′ nastalakomponenta F ′x. Da bismo dosli do poveznice, iz-razimo velicine na desnoj strani jednadzbe (1.146)pomocu velicina iz sustava S, tj. iskoristimo jed-nadzbu transformacije za v ′y iz (1.142) i ranije iz-vedenu jednadzbu transformacije za a ′y, koja se zaovaj slucaj (vx = 0 i ax = 0) svodi na a ′y = ay/γ

2.Tako dobivamo

F ′x = −m

V

c2vyγ1−

V 2 +v2yγ2

c2

3/2

1

γ2ay (1.147)

Izraz u nazivniku mozemo preinaciti

1−V 2 +

v2yγ2

c2=

(1− V 2

c2

)− 1

γ2v2yc2

=1

γ2

(1−

v2yc2

)(1.148)

Uvrstimo li ovaj izraz u jednadzbu (1.147), dobi-vamo

F ′x = −m V

c2vyγ3

1

1

γ3

(1−

v2yc2

)3/2ay (1.149)

Ovdje mozemo prepoznati clanove koji odgovarajusili Fy iz jednadzbe (1.140), tako da pisemo konacanrezultat

F ′x = −Vc2vy Fy (1.150)

Dobili smo jednadzbu transformacije putem kojemozemo izracunati komponentu sile F ′x u sustavuS ′ ukoliko nam je poznata sila Fy u sustavu S.

Korisno je analizirati rezultat koji smo upravodobili. U posebnom slucaju kad se cestica u sustavuS upravo pokrece iz mirovanja, njena je trenutnabrzina vy = 0, pa nalazimo iz jednadzbe (1.150) daje F ′x = 0, tj. u tome trenutku nema sile duz osix ′ u sustavu S ′. Medutim, nakon sto sila Fy u sus-tavu S pokrene cesticu, tako da ona postigne nekutrenutnu brzinu vy, nuzno u sustavu S ′ djeluje kom-ponenta sile F ′x na istu cesticu. Stovise, kako rastebrzina vy u sustavu S, povecava se i komponentasile F ′x u sustavu S ′. Objasnjenje ove pojave mo-ramo potraziti u prirodi relativisticke kolicine gi-banja koja raste s povecanjem brzine cestice. Uovome slucaju, komponenta brzine v ′x = −V jekonstantna, ali raste komponenta v ′y, pa time iukupna brzina v ′. No, kako raste ukupna kolicinagibanja cestice ~p ′, nuzno raste i njena komponentap ′x. U zakljucku mozemo reci da je komponenta

sile F ′x potrebna da bi se uredno povecavala kom-ponenta kolicine gibanja p ′x, iako je brzina cesticeduz osi x ′ pritom konstantna v ′x = −V . I ovdjesmo suoceni s neobicnim posljedicama relativistickefizike.

Preostalo nam je jos izracunati komponentu sileF ′y u sustavu S ′. Prema drugome Newtonovu za-konu, imamo

F ′y =dp ′ydt ′

=d

dt ′

mv ′y√1−

V 2 + v ′2yc2

(1.151)

Nakon pazljivog racunanja dobivamo izraz

F ′y =1

γ2

(1−

V 2 + v ′2yc2

)3/2ma ′y (1.152)

Zelimo sad komponentu sile F ′y iz sustava S ′ pove-zati sa silom Fy iz sustava S. U tu svrhu postupimokao kod jednadzbe (1.146) i postavimo v ′y = vy/γ,te v ′y = vy/γ

2. Uocimo da u nazivniku jednadzbe(1.152) imamo isti izraz kao i u (1.146), tako da udaljnjem racunanju mozemo iskoristiti preinaku izjednadzbe (1.148), te pisati

F ′y =1

γ2γ3(

1−v2yc2

)3/2m

1

γ2ay (1.153)

Nakon sredivanja, mozemo prepoznati izraz za Fy

iz jednadzbe (1.140), tako da je konacan rezultat

F ′y =1

γFy (1.154)

Buduci da je uvijek γ > 1, komponenta sile F ′y usustavu S ′ manja je od sile Fy u sustavu S.

Jednadzbe (1.150) i (1.154) predstavljaju tran-sformaciju sile Fy iz sustava S u silu s komponen-tama F ′x i F ′y u sustavu S ′. One vrijede za pose-ban slucaj kada se u sustavu S cestica giba duz osiy.

Napomena: Sila koja djeluje na neku cesticu do-lazi uvijek od nekog drugog tijela. To djelo-vanje je fizikalna realnost. U opisanome pri-mjeru, promatrac u sustavu S opaza da se dje-lovanje na promatranu cestici odvija u smjeru

osi y, tj. kao sila Fy. Za promatraca u sustavuS ′, to isto djelovanje ima oblik sile s kompo-nentama F ′x i F ′y.

Mogli bismo razmatrati opcenit slucaj u kojemuna cesticu, koja se u sustavu S giba u proizvoljnomsmjeru s trenutnim komponentama brzine vx i vy,djeluje sila u nekom drugom proizvoljnom smjerutako da su njene komponente Fx i Fy. Problem jematematicki slozen i dugotrajan, te ga ne cemo ov-dje izvoditi. Bitne karakteristike relativisticke silevec su iskazane u prethodnim primjerima.

Zavrsimo ovo izlaganje osvrtom na posebno jed-nostavan slucaj u kojemu se cestica u sustavu Supravo pokrece iz stanja mirovanja (vx = 0 i vy =0) pod utjecajem sile koja djeluje u proizvoljnomsmjeru, tj. ima komponente Fx i Fy (slika 1.14a).

Slika 1.14: (a) U sustavu S cestica se pokrece iztrenutnog stanja mirovanja djelovanjem neke sile~F , koja opcenito ima komponente Fx i Fy. (b) Usustavu S ′, koji se giba brzinom V u odnosu nasustav S, cestica se giba trenutnom brzinom −V .Isto fizikalno djelovanje se ocituje u sustavu S ′ kaosila ~F ′ s komponentama F ′x = Fx i F ′y = Fy/γ.

Sukladno prethodno obradenim primjerima, mo-gli bismo transformirati komponente Fx i Fy kaozasebne sile. Naime, zbog vy = 0 mozemo silu Fx

transformirati kao da se radi o gibanju duz osi x, paje F ′x = Fx. S druge strane, zbog vx = 0 mozemoprimijeniti pravila za gibanje duz osi y. No, kako jeu tome trenutku vy = 0, jednadzba (1.150) ukazujeda sila Fy ne doprinosi komponenti F ′x. Ona dopri-nosi samo komponenti F ′y prema jednadzbi (1.154).

Dakle, ako su nam poznate komponente sile Fx i Fy

u sustavu S, mozemo izracunati komponente F ′x iF ′y u sustavu S ′ pomocu jednadzbi transformacije

F ′x = Fx (1.155)

F ′y =1

γFy (1.156)

Komponente sile u sustavu S ′ prikazane su na slici1.14b. U sustavu S ′ u kojemu cestica ima trenutnubrzinu v x = −V , komponenta F ′y je manja od Fy usustavu u kojemu cestica trenutno miruje. Ove cenam jednadzbe transformacije biti od velike koristiu relativistickim izvodima u elektrodinamici.