RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG)

1. Relativ rörelse2. Ljushastighetens konstans3. Lorentz transformationen

3.1 "Superluminal jets"4. Kausal struktur och metrik

5. Egentiden och "tvillingparadoxen"5.1 Experiment och observationer

6. Relativistisk dynamik

7. E = mc2

8. Hyperbolisk bana och relativistisk raket9. Accelererande referenssystem10. Allmän relativitetsteori (ART)

10.1 Differentialgeometri10.2 Fältekvationerna

10.3 Schwarzschild lösningen10.4 Gravitationell strålning

10.5 Kosmologi11. Historik och litteratur

***

"Namnet 'relativitetsteori' sammanhänger med det faktumatt rörelse för en iakttagare alltid framstår som relativ rörelseav ett föremål i förhållande till ett annat".A Einstein, "Relativitetsteorin" (1949).

1. Relativ rörelse

Newtons "första lag", F = ma, gäller för inertiala referenssystem. Fysikaliskakinematiska och dynamiska storheter hänvisar till ett visst referenssystem (frame ofreference, Bezugsystem). En partikels hastighet beror exv på om den mäts från en fast punktpå marken (referenssystem R) eller från ett rullande tåg (referenssystem R'). För att gestorheterna numeriska värden behöver vi för varje referenssystem också ett koordinatsystemK. I det enklaste fallet kan vi tänka oss K som ett cartesiskt rätvinkligt koordinatsystem medx-, y- och z-axlar, samt en t(ids)-axel. För att mäta längden längs dessa axlar behöver viockså en fixerad längdenhet. Tiden igen bestäms med hjälp av en "standardklocka".Matematiskt sett kan vi identifiera ett referenssytem med en punkt (origo, "observatören",osv) och riktningsaxlar som utgår därifrån (vilka anger orienteringen).

Som liten grabb kommer jag ihåg att jag under en bilfärd satt i baksätet och lektemed en vante. Plötsligt fann jag det konstigt (som många andra) att vanten föll rakt ned närjag släppte den, och inte lämnade efter, sas. Man hade gjort liknande observationer redanlångt före automobilernas tidevarv. I likhet med bilen (under jämn körning) är dynamiken

ombord på ett lugnt seglande skepp densamma som på fasta land. Galilei insåg att vi här haratt göra med en generell relativitetsprincip.

· Dynamiken är densamma för referenssystem med konstant relativ hastighet.

Ett inertialt referenssystem är ett sådant där kroppar rör sig likformigt (eller inte alls) ochrätlinjigt ifall de inte påverkas av yttre krafter (Galileis tröghetsprincip.)Relativitetsprincipen innebär att om R är ett inertialt referenssytem, och R' rör sig medkonstant hastighet relativt R, då är också R' ett inertialt referenssytem.

v

R

R'

KK'

x x'

Två referenssystem med konstant relativ hastighet. Dynamiken är densamma i de båda. Det går lika braatt spela bordtennis i det "rörliga" systemet R' sompå "fast mark", R. Bollen "beter sig" på samma sätt.

Figuren illustrerar två referenssystem R ("fast mark") och R' (vagnen) med konstantrelativ hastighet (V). Vi antar att koordinatsystemen K och K' har parallella axlar så att desammanfaller vid tiden t = 0 och att den relativa hastigheten sammanfaller med x-riktningen.Relationen mellan bollens x-koordinater i systemen R-K och R'-K' blir uppenbarligen

x' = x - Vt eller x = x' + Vt.

Om exv bollen befinner sig i vila visavi R' då har vi x' = konstant och, eftersom bollenföljer med vagnen, har vi relativt R, x = konstant + Vt, där Vt är sträckan som vagnentillryggalagt i x-riktningen under tiden t. Eftersom den relativa rörelsen mellan R och R'endast sker längs x-axeln, kan vi skriva de kompletta transformationsformlerna mellan R-Koch R'-K' som

x' = x - Vt;(G) y' = y; (Galilei transformation)

z' = z;t' = t.

Här har vi antagit att om de två (ideala) identiska klockorna i R och R' synkroniserats vid enviss tidpunkt, då kommer de att visa precis samma tid om de återförs och jämförs vid någon

senare tidpunkt, t' = t. Detta är Newtons hypotes om den "absoluta unversella tiden" som ärdensamma för alla "observatörer".

Ifall bollens hastighet i x-riktningen visavi R'-K' systemet (vagnen) är u', kommerdess x-hastighetskomponent visavi R-K till följd av transformationen (G) att bli

♦ u = u' + V (Galileisk addition av hastigheter)

Nämligen, sätt x' = u't' = u' t och x = ut i x' = x - Vt, då följer Galileis additionsteorem förhastigheter, u = u' + V.

Den Galileiska transformationen (G) kan geometriskt beskrivas med följandediagram:

P

x' x

tt'

VtGeometrisk beskrivning av Galileis transformation. Det "rörliga" systemets tids-axel (t') lutar i förhållande till t-axeln; den satsifierar ekvationen 0 = x' = x - Vt, dvs, x = Vt. Rum-tid punkten P:s x'-koordinat fås alltså genom attdra en linje parallell med t'-axeln som skär x'-axeln (x- och x'-axeln sammanfaller).

x' = x - Vt

Punkt P:s tidskoordinater sammanfaller och fås genom att dra en linje parallelltill x-axeln som skär t'- och t-axlarna. Uppenbarligen kan vi inte använda sammagradering på t- och t'-axeln, skalan på t'-axeln måste minska för att koordinaterna(mätt med linjal längs axlarna t ex) skall ge samma tid. Sträckorna OE och OE' i

O

E E'

diagrammet motsvarar samma tid. Väljer vi OE (OE') till tidsenehet kallas linjengenom E och E' för måttlinje.

måttlinje

T T'

Observera betydelsen av "måttlinjen" (ty. Eichkurve) i diagrammet. Ifall sträckan OE (OE')motsvarar t ex tidsenheten 1 sekund då motsvarar en sträcka OT (OT') tiden t = OT/OE (=OT'/OE' = t') mätt i sekunder.

2. Ljushastighetens konstans

"Då jag frågade mig själv, varför det var just jag som uppfannrelativitetsteorin, så förefaller mig orsaken vara följande.En normal vuxen stannar inte i allmänhet upp och börjar tänkapå tidens och rummets problematik. Han anser sig ha grubblatfärdigt på dessa frågor redan som barn. Jag däremot utvecklades

i intellektuellt hänseende så långsamt att jag började grubblaöver rum och tid först i vuxen ålder. Då kunde jag förståstränga djupare i frågan än ett normalt begåvat barn."A Einstein i samtal med J Franck.

Galileis relativitetsprincip hänger intimt samman med Newtons lag, F = ma.Accelerationen, och därmed kraften, är enligt Newtons lag oberoende av en konstant relativhastighet. Inget verkar kunna hota dessa grundläggande principer. Däremot leder Galileistransformationer och additionsteorem för hastigheter, ifall vi önskar förena mekaniken medden elektromagnetiska teorin, till problem. Dessa båda teorier måste hänga ihop på någotsätt eftersom elektriska partiklar, vilka påverkas av elektromagnetiska fält, också måste

v

R

R'

KK'

x x'

Mäter man ljushastigheten för ljusstrålen längs x-axelni vagnen erhåller man ett värde u' = -c. Enligt Galileis transformationoch additionsteorem blir ljusets hastighet i referenssystemet Ru = u' + V = -c + V.

c = 299792456.2 m/sek; ljusets hastighet i vakuum

underlyda mekanikens lagar. Elektromagnetiska vågor utbreder sig med en ändlig ochkonstant hastighet i vakuum. En planvåg beskrivs t ex som

(1) E(x,t) = E0 cos(k.x - ωt) (E står här för elektriskt fält).

Denna funktion satisfierar vågekvationen

(2) (∂x2+∂y2+ ∂z2- c-2∂t2)E(x,t) = 0

med c = ω/|k|. Här står k = |k| för vågtalet (vågvektorn k är för en planvåg medutbredning i x-axelns riktning lika med vektorn (k,0,0)) som är relaterat till våglängden λgenom k = 2π/λ. Frekvensen ƒ är relaterad till ω genom ω = 2πƒ. I elektromagnetisk teoriges konstanten c av

(3) c = (ε µ)-½ ≈ 300 000 km/sek,

där ε är vakuumets dielektriska konstant och µ är vakuumets magnetiska permeabilitet.Detta värde c är samma som ljushastigheten, ty ljuset är en form av elektromagnetiskastrålning. Eftersom vågekvationen i vakuum gäller för vilket intertialt referenssystem som

helst följer att den elektromagnetiska strålningens utbredningshastighet är densamma i allainertiala referenssystem och lika med ljushastigheten c. Detta strider tydligen mot Galileistransformationsregler (G) och additionsteorem för hastigheter.

En signalfronts utbredning från origo kan beskrivas med ekvationerna

(4) x2 + y2+ z2 - c2t2 = 0 (i R-K systemet)

x'2+ y'2 + z'2 - c2t'2 = 0 (i R'-K' systemet).

Dessa ekvationer beskriver den sk ljuskonen (light cone), ljusstrålarna som utbreder sigfrån origot.

ct

x

y

Ljuskonen: |x| - ct = 0. Ljuskonens ekvation invariant föralla inertiala referenssystem.

3. Lorentz transformationen

"Men tom de bästa av dessa framställningar kan inteövertyga en läsare som är ärlig mot sig själv att hanverkligen begriper relativitetsteorins grunddrag. Idéernaoch paradoxerna är omsorgsfullt framlagda. Utrustningenav mätstavar, ljussignaler och klockor uppvisas ocheffekten är densamma som av en trolleriuppvisning.Tricken visas för åskådaren, men förklaras inte förhonom. Han blir underhållen, kanske imponerad menförvisso inte upplyst."JR Newman, "Sigma" (Bonniers 1977), Kommentar s. 845.Newman medger att relativitetsteorin är abstrakt: "Den ärabstrakt, men inte mer än begrepp som negativa tal och friföretagsamhet." ---

I föregående avsnitt såg vi hur Galilei transformationen (G) leder till problem när visöker kombinera denna med elektromagnetisk teori.

P

x' x

ctct'

Vt

x' = x - Vt

O

E E' måttlinje

T T'

x - ct = 0

Ljuskonen har inte en invariant ekvation visavi Galilei transformationen.Enligt denna följer från x - ct = 0 att x' + Vt - ct = x' - (c - V)t = 0 iställetför x' - ct' = 0. Observera att vi i diagrammet ersatt tidskoordinaten t medct vilken har längdenhet liksom x, y, och z-koordinaterna. I detta koordinat-system bildar ljusstrålarna 45 graders vinkel med ct-axeln.

Inför index-beteckningarna

x0 = ct

x1 = x

x2 = y

x3 = z

då kan exv ljusstrålens ekvation x - ct = 0 skrivas som x1 - x0 = 0. Betraktar vi dengeometriska beskrivningen av Galilei transformationen inser man efter en del begrundan att

ekvationen x1 - x0 = 0 överförs på formen x'1 - x'0 = 0 om vi också låter luta x'-axeln mot

x. Koordinaterna x0 och x1 behandlas därmed symmetriskt.

P

x

x

x'

x'

0 0

1

1

x' 1 x' 0=

x0 =

Ljusstrålens ekvinvariant visaviLorentz trans-formationen.

Lorentz transformationen erhålls genom en symmetriseringmellan tids- och rumskoordinaterna. Detta gör att ekvationen

blir invariant för de inertiala referenssystemen.|x|2 - (ct)2

Den nya transformationen för referenssytemen med relativ hastighet längs x-axeln skrivs (sediagrammet)

(L) x'1 = γ(x1 - βx0)

x'2 = x2

x'3 = x3 (Lorentz transformation)

x'0 = γ(x0 - βx1)(med beteckningen β = V/c)

vilken är symmetrisk för x1 och x0. Parametern γ bestäms från invarianskravet

x2 + y2+ z2 - c2t2 = x'2+ y'2 + z'2 - c2t'2

som ger

(6) γ = (1 - β2)-½.

Detta resultat kan också härledas utgående från ett symmetrikrav. Nämligen, inversionen R'ρεφ R till (L) måste ha precis samma form som (L) förutom att β ändrar tecken (denrelativa hastigheten sett från R' är -V och V sett från R):

x1 = γ(x'1 + βx'0)

(L') x2 = x'2

x3 = x'3 (Lorentz transformation)

x0 = γ(x'0 + βx'1)(med beteckningen β = V/c)

Sätter vi in värden för x'1 och x'0 från (L) i (L') erhåller vi ekvationen γ2 (1 - β2).= 1.(I härledningen har vi tyst antagit att γ(−β) = γ(+β). Motivering ?)

Einstein kallade transformationen (L) för Lorentz transformationen efter en av deförsta fysikerna som studerade dylika transformationer inom ramen för denelektromagnetiska teorin. Vi ser att för hastigheter V små relativt ljushastigheten (β = V/c<< 1) närmar sig Lorentz transformationen Galilei transformationen (G). Betraktar manljushastigheten som en variabel parameter kan man visa att Lorentz transformationen övergåri Galilei transformationen då c → ∞.

Det är intressant att undersöka hur additionen för hastigheter påverkas av de nyatransformationsreglerna. Betrakta samma boll som i det Galileiska fallet med hastigheten u' ix-riktningen relativt vagnen (R') som har hastigheten V i x-riktningen relativt R. Betecknabollens hastighet relativt R i x-riktningen med u. Under tiden t tillryggalägger bollen

sträckan x1 = ut = (u/c) x0 visavi R, och sträckan x'1 = (u'/c) x'0 visavi R'. Insättes dessavärden i Lorentz transformationen (L) följer det relativistiska additionsteoremet förhastigheter enligt

(7) u = (V + u')(1 + Vu'/c2)-1.

För bollens hastighet vinkelrät mot x-riktningen, som ges av v' visavi R', får vi enligt ettliknande resonemang för dess värde v visavi R

(8) v = v' (1 + Vu'/c2)-1 (1 - β2)½.

En konsekvens av dessa transformationsformler är att man aldrig kan addera ihophastigheter under ljushastigheten till en överljushastighet. Även om vi sätter u' = c får vi u = cistället för u = c + V som i det Galileiska fallet. Ljushastigheten verkar vara en övre grans för

hastigheter. Vi observerar också att faktorn γ = (1 - β2)-½ blir imaginär för β > 1. Viuppställer som ett postulat inom relativitetsteorins att

♦ ljusets hastighet i vakuum är den övre gränsen för signalers utbredning i fysiken.

(Om man formellt tillåter partiklar med imaginär massa i fysiken skulle dylika partiklar - sktachyoner från det grekiska ordet för snabb (ταξισ) - ha överljushastighet enligtrelativitetsteorin. Det är främst science ficton författare som haft användning för dessaimaginära partiklar.)

3.1 "Superluminal jets"

"I have vivid memories of coming acrossEinstein's theory of relativity for the first timeand being very angry that I had not been toldabout this sooner. It seemed to me an absolutescandal that Einstein's theories had been around

for so long and they were not part of the commoneveryday culture in the way that, for example,Darwin's theory of the evlution was. "Prof Russell Stannard i Physics World 6/96.Stannard skriver bl a om relativitetsteori och kvantmekanikför barn i sina Uncle Albert böcker.

Inom astronomin har man observerat materiestrålar (jets) från stjärnor vilkaskenbart har en överljushastighet (supraluminala). Detta är en optisk effekt som kan inträffadå strålen bildar en vinkel mindre än 45 grader med siktlinjen till stjärnan. Föreställmateriestrålen som en lysande projektil med hastigheten v (se figuren). När den avancerarmot oss har ljuset en allt kortare väg (r) att nå oss.

O

S

y1y2

dr1

r2

t1t2

En "projektil" från stjärnan S utskickar ljussignaler

θ

vid tiden t1 och t2 som observeras vid O vid tidenT1 och T2. Projektilens skenbara hastighet vinkel-rätt mot stjärnans siktlinje OS blir

u = (y2 - y1)/(T2 - T1).

Två signaler som utsänds från projektilen vid tiden t1 och t2, räknad från det att projektilenutskickats från stjärnan, når observatören vid tiden T1 och T2. Tidsskillnaden bestämsgenom

T2 - T1 = t2 - t1 - (r2 - r1)/c,

med

r2 - r1 = [(vt2)2 + d2 - 2 vt2 d cosθ]½ - [(vt1)2 + d2 - 2 vt1 d cosθ]½ .

För en liten tidsdifferens dt, t2 = t1 + dt, ger föregående ekvation (t = t1),

dT = T2- T1 = 1 - (1/c)(v2t - v d cosθ)[(vt)2 + d2 - 2 vt d cosθ]-½ dt.

Den skenbara radiala hastigheten (vinkelrät mot siktlinjen till stjärnan) blir

u = (y2 - y1)/dT = vdt sinθ/dT

som för vt << d cosθ kan skrivas,

u = (v/c) sinθ [1 - (v/c)cosθ]-1.

Maximerar vi detta uttryck visavi vinkeln, erhåller vi maximum för cosθ = v/c, som ger

umax = v [1 - (v/c)2]-½.

Tillexempel för v = 0.98 c, erhåller vi umax = 5 c, fem gånger ljushastigheten, vid en vinkel θ= 11.5 grader. Från föregående relation ser vi att fenomenet med "supraluminala" strålar kanendast förekomma för hastigheter v > c /√2 (θ < 45 grader). Dylika relativistiska hastigheterkan uppnås exv genom accelererande elektromagnetfält eller genom "presstub-effekten" närgaser från en närbelägen stjärna dras in i ett svart hål.

4. Kausal struktur och metrik

Matematiskt sett verkar Lorentz transformationen (L) bara vara en liten modifikationav Galilei transformationen. Einstein var den första som insåg att Lorentz transformationeninnebar ett radikalt nytänkande inom fysiken. Exempelvis måste vi revidera Newtonsbegrepp om den universella tiden. Istället har varje referenssystem sin egen tid. En följd avdetta är att två händelser som uppfattas som samtidiga i ett referensystem inte behöver varadet i ett annat referenssystem.

P2

x

x

x'

x'

0 0

1

1

P1

c t1'

c t2'ct

Händelserna P1 och P2 är samtidiga enligt referenssytemet R (båda har tidskoordinaten t)men inte enligt R' systemet där tids-koordinaterna är t1' och t2'.

Hotar då denna tidsrelativitet kausalitetsprincipen ? Nämligen, enligt kausalitetsprincipenmåste orsak föregå verkan. Om händelse A orsakar händelse B (identifierade som punkter irum-tiden) måste A förekomma tidigare än B: t(A) < t(B). För att kausalitetsprincipen skalllgälla inom relativitetsteorin måste tidsordningen vara invariant mellan kausalt förknippadehändelser för alla referenssystem. Det vore en motsättning ifall A är orsak till B i ettreferenssystem medan däremot B är orsak till A i ett annat referenssystem.

Postulatet om ljushastigheten som maximal hastighet i fysiken innebär att tvåhändelser A och B kan vara kausalt förbundna endast om

♦ (K) |x(A) - x(B)| < c |t(A) - t(B)| (nödvändigt villkor för kausaltsamband mellan två händelser)

Väljer vi A som origo i ett referenssytem så innebär kausalitetsvillkoret (K) att händelsen Bmåste befinna sig inom ljuskonen med spetspunkten i A.

A

B

C

D

ct

x

Punkterna B (verkan) och C (orsak) inom A:s ljuskon kan vara kausaltförknippade med A, men däremot inte punkten D som ligger utanförA:s ljuskon och som skulle kunna nås från A endast via en överljus-hastighetssignal.

Eftersom vi i uppbyggnaden av relativitetsteorin utgått från invariansen av ljuskon-

strukturen (ekvationen x2 + y2+ z2 - c2t2 = 0) följer också att den kausala strukturen ärinvariant.

Från analytisk geometri vet att vi att längden av en vektor, |x|, är invariant för"euklidiska transformationer" bestående av rotationer och translationer. Denna invarians kan

formuleras såsom invariansen hos formen x2 + y2+ z2 vilken kan skrivas som g(x,x) medg() definierad genom (med hjälp av index-notationen)

♦ (E) g(x,y) = x1y1 + x2y2 + x3y3.

Detta är den vanliga "punktprodukten" x.y för vektorer och är exempel på en metrik. Detär metriken g( ) som bestämmer längden för vektorer och deras innebördes vinklar. Formen(E) beskriver en euklidisk metrik vilken är invariant för alla euklidiska transformationer. Ianalogi med detta kan vi införa en relativistisk metrik, punktprodukt, för rum-tiden, enligten idé som först lanserades av Minkowski,

♦ (M) x . y = g(x, y) = -x0y0 + x1y1 + x2y2 + x3y3.

Här utgör argumenten fyr-vektorer, x = (x0,x1,x2,x3), osv. Minkowski metriken (M) ärinvariant för alla Lorentz transformationer: g(Lx,Ly) = g(x,y), där x → Lx är en Lorentztransformation.

Ett intressant exempel på en invariant produkt av fyr-vektorer har vi i fasen förplanvågen

E(x,t) = E0 cos(k.x - ωt)

för de två fyr-vektorerna

(9) k = (ω/c,k)x = (ct,x)

med Minkowki produkten

(10) k . x = k.x - ωt (fasen).

Fasens invarians följer fysikaliskt från kravet, att för en given ljusstråle, som passerar genomtvå givna punkter A och B, måste antalet svängningar mellan punkterna A och B(fasskillnaden) vara oberoende av referenssystemet. I annat fall skulle förekomsten av exvinterferens bero från vilket referenssystem fenomenet studeras.

Obervera att ljusstrålar satisfierar ekvationen

(11) k2 = k . k = k2 - (ω/c)2 = 0.

5. Egentiden och "tvillingparadoxen"

"There was once a lady named Brightwho travelled much faster than light.She departed one day in a relative wayand came home the previous day."(Limerick som relativisterna minns från sin barndom.)

"Morgonposten ligger oöppnad på mitt skrivbord. Jag har enhalvtimma dyrbar tid att ögna igenom den. I den vanliga högen avbrev, cirkulär och memoranda ligger tre tjocka manuskript somtillsänts mig från privata adresser. England, Kalifornien och västraAustralien. Alla har anlänt utan att jag bett om dem, och alla åtföljsav brev som börjar på samma sätt: 'Fastän jag inte är vetenskapsman ... .'Jag skummar trött igenom sidorna i dessa manuskript. I likhet medmånga kolleger får jag flera sådana varje månad. Idag är de likartadei stil och innehåll. Två innehåller en del handskriven matematik pågrundskolenivå. Budskapet är detsamma: ‘Einstein hade fel: jag harrätt. Hjälp mig att meddela världen’."Paul Davies, "I Rättan Tid - Einsteins Ofullbordade Revolution" (1995).

Relativitetsteorin kan sägas bygga på insikten att de fysikaliska storheterna ärdefinierade lokalt. Det är inte givet att det t ex finns en universell tid som är densamma föralla referenssystem. Storheterna är istället definierade visavi referenssystemen. För att

jämföra beskrivningar i de olika referenssystemen av ett och samma fysikaliska händelse,eller tillstånd, med varandra behöver vi "översättningar" - transformationer. Fysiken handlar ihög grad om att undersöka invarianser under dylika transformationer.

Varje kropp definierar en invariant tid; nämligen, dess egentid. Föreställer vi oss atten (idealisk) klocka följer med kroppen kommer den att per definition visa kroppensegentid. Antag att kroppen passerar genom två rum-tid punkter A och B. Vi har följandeinvarianta uttryck

(I) (x1(B) - x1(A))2 + (x2(B) - x2(A))2 + (x3(B) - x3(A))2 - (x0(B) - x0(A))2

Beräknar vi uttrycket i kroppens referenssytem R' erhåller vi formen

- (c ∆τ)2

eftersom ∆x' = x'(B) - x'(A) = 0. Här betecknar ∆τ = t'(B) - t'(A) kroppens egentid.Formen (I) kan i "laboratoriesystemet" R skrivas som

-c2 (1 - (v/c)2) ∆t2

med v = | ∆x/∆t| och ∆t = t(B) - t(A). Identifierar vi dessa båda uttryck kan vi skrivaegentiden som en funktion av laboratorietiden,

(12) ∆τ = (1 - (v/c)2)½ ∆t.

Innebörden av denna relation är följande: Ifall vi i laboratoriesystemet (det inertialareferenssystemet R) observerar en kropp R' som följer en bana x(t) = (ct,x(t)) så kan viberäkna egentiden för kroppen R' (den tid som dess klocka visar) enligt

(12') ∆τ = ∫ (1 - (v/c)2)½ dt

där v = |dx(t)/dt| är kroppens hastighet i laboratoriesystemet. Integralen utsträcks överkroppens bana mellan A och B.

Det är relationen (12) mellan koordinattid och egentid som ger upphov till den sk"tviliingparadoxen". Nämligen, antag att vi har två identiska klockor som är synkroniserade iA och därfefter följer skilda banor för att åter jämföras i B. Då kan dessa klockor kommaatt visa olika tider eftersom integralen i (12') är vägberoende. Tydligen kommer den klockaatt visa mindre tid som har valt en längre väg eftersom den måste då använda en högre

hastighet v som i sin tur gör faktorn (1 - (v/c)2)½ i integralen mindre. Låt oss studera ettenkelt exempel med ett tvillingpar, Castor och

A

B

C

"Tvillingparadoxen". Castor blir kvar på rymdstationensom definerar referenssystemet R. Castors bana i rum-tiden blir visavi R ett rakt streck AC parallell medtidsaxeln (rumskordinaterna är konstanta). Polluxdäremot ger sig av från rymdstationen till punkt Bdärifrån han vänder tillbaka och möter Castor i C.

ct

x

Castor finner då att han haft flerfödelsedagar än Pollux sedan de skildes.

Pollux, på en rymdbas. Castor förblir kvar på basen medan Pollux gör en avstickare med sinraket, exv till stjärnan Sirius (ett populärt resemål bland relativister) som han möter i punktenB (se diagrammet). Antag Pollux förflyttar sig med jämn hastighet till punkt B där hansvänger tillbaka och fortsätter med samma hastighet tills han möter Castor i punkt C. Då harCastor åldrats med tiden t(C) - t(A) sedan deras förra möte medan Pollux har endast åldrats

med tiden (t(C) - t(A)) (1 - (v/c)2)½ , enligt (12). Vari ligger då det paradoxala ? Eninvändning kanske är att situationen mellan Castor och Pollux är symmetrisk och att detdärför inte kan uppkomma någon "tidsdilatation" mellan dem. Faktum är dock att det råderen asymmetri mellan Castor och Pollux. Nämligen, Pollux' raket hamnar att accelerera ochbromsa för att följa banan ABC och definierar därför inte ett inertialt referenssystem.Situationen kan åskådliggöras med följande diagram som också illustrerar den sk Dopplereffekten.

A

B

Cct

x

1

2

34

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

E E'

Måttkurvan EE' ges av ekvationen

(ct) x2= 1-2

som definerar sträckan för tidsenhetenAE för Castor och AE' för Pollux. Förvarje "klick" på klockan sänder Polluxen ljussignal till Castor. Vi ser att tidsskillnaderna mellan signalernasom Castor mottar tänjs ut då Pollux är på väg bort, och krympsihop då Pollux närmar sig (Dopplereffekten). Samma fenomen gällerinom Newtonsk mekanik. Förrelativitetsteorin tillkommer en "dilatationsfaktor". Punkterna 1, 2, osvanger klockornas "ticks". Vi ser attPollux' klocka hinner ticka ca 8 ggrinnan han återser Castor, medanCastors klocka då har hunnit ticka10 ggr ("tvillingparadoxen").

(med punkten A som origo)

Måttlinjen (x0)2 - (x1)2 = 1 (med A som origo) skär AC i punkten E med x0 = 1, och AB

i punkten E' med x'0 = 1 i Pollux' referenssytem (som är ett inertial referenssytem mellan

punkterna A och B var måttlinjen därför satsifierar (x'0)2 - (x'1)2 = 1). Relationen (12')gäller för en godtycklig bana och acceleration (vi måste naturligtvis ha v < c) trots att viutgick från transformationer mellan inertiala referenssystem. Nämligen, för varje punkt avbanan kan vi betrakta ett kort tidsintervall under vilken hastigheten förändras infinitesimalt.Vi föreställer oss ett inertialt referenssystem R'' som följer med kroppen (comoving) underdetta tidsintervall. Då kommer dess klocka att ticka i samma takt som den accelererandekroppens egentid i detta intervall. Relationen (12) som gäller för R'' gäller då också för denaccelererande kroppen. Generellt är det komplicerat att explicit konstruera en transformation mellan enkropps referenssystem med varierande acceleration och ett inertialt system. En dylikproblemställning pekar vidare mot den allmänna relativitetsteorin (där det också finns endastett fåtal exakta analytiska lösningar för gravitationsfälten). För konstant acceleration erhållerman emellertid en elementär lösning på transformationen. Detta fall leder oss in på denrelativistiska dynamiken.

5.1 Experiment och observationer

"Det är omöjligt att tro, att människor medintelligens nog att åstadkomma den modärnateknologins mirakler kan vara så dumma".

Den antirelativistiska filosofen Herbert Dingleskommentar om dem tror på relativitetsteori,i "Science at the Crossroads" (1972), citerad avP Davies (op. cit.).

Kosmisk strålning innehåller de mest energirika partiklar man känner till. År 1993upptäckte man t ex med detektorn Fly's Eye en partikel, troligen en proton, med en

hastighet som motsvarar en relativistisk uttänjningsfaktor på γ = 1011 ! Fria neutroner ärinstabila och har en halveringstid på omkr 15 minuter. För en neutron med en hastighet som

motsvarar γ = 1011 (vad blir hastigheten i procent av ljushastigheten) kommer dess 15

minuter i egentid att motsvara 1011x 15 min = 2.85 miljoner år i jordtid. Denna neutronhinner under en livstid på 15 minuter färdas ca tre miljoner ljusår genom rymden.Tidsdilatationen ger en förklaring till varför avlägsna astronomiska objekt kan skicka"kortlivade" neutroner till jorden. Tidsdilatationen har bekräftats t ex för myoner som ärinstabila partiklar vilka påträffas i kosmisk strålning. Ett direkt test av tidsdilatationengenomfördes 1971 av JC Hafele och R Keating som fick låna fyra noggranna cesiumur somflögs först österut och sedan västerut. På resan österut hade klockorna i medeltal saktat 59nanosekunder jämfört med uret vid observatoriet, medan klockorna som flögs västerutavancerade i medeltal 273 nanosekunder. Tänker vi oss ett plan genom jordens ekvatoroch att uren håll i detta plan kan egentiden för ett ur skrivas användande polära koordinater,

-(cdτ)2 = -(cdt)2 + dr2 + r2 (d(θ + ωt))2

Här betecknar ω jordens vinkelhastighet; (r, θ) är urets läge i det polära koordinatsystemetsom är fixerat visavi jorden; kordianttiden t hänvisat till ett intertialsystem som följer medjordens mittpunkt (vi kan försumma jordens acceleration i sin bana kring solen).

θ

ω

Atomur flygs växelvis mot öster och väster,varefter urens eftersläpning el avancemang,visavi ett kvarblivet atomur i observatoriet,kan studeras. Vi har ritat ekvatorialplanet settfrån nordpolen. Jorden roterar österut.

För obervatorieuret har vi dθ = dr = 0, r = r0,

-(cdτo)2 = -(cdt)2 + dr2 + r2 (d(θ + ωt))2 = -(cdt)2(1 - r02ω2/c2),

medan vi för de flygande uren har (vi antar att de flyger på konstant höjd),

-(cdτ)2 = -(cdt)2(1 - r2 (ω + dθ/dt)2/c2),

där dθ/dt har olika tecken beroende på om man flyger österut (dθ/dt > 0) eller västerut(dθ/dt < 0). Till detta kommer ytterligare en tidsdilatation som beror på gravitationen (senedan ekv (60)), den sk gravitationella rödförskjutningen. Om uren flygs på medelhöjden Lrelativit det markbaserade uret kommer de att pga rödförskjutnngen gå före det

markbundna atomuret enligt dτo = (1 - gL/c2)dτ, där g betecknartyngdkraftsaccelerationen. När alla dessa effekter räknats ihop är överenstämmelsen mellanEinsteins teori och observationerna närmast perfekt.

6. Relativistisk dynamik

Hur förändrar den relativistiska kinematiken, som vi hittills utvecklat, den klassiskamekaniken och dynamiken ? Enligt tröghetsprincipen kommer en kropp som inte påverkasav yttre krafter att inte accelerera visavi inertiala referenssystem. Enligt Newtons lagaccelererar en kropp (massa m) med konstant acceleration a = F/m om den påverkas av enkonstant kraft F. Newtons lag är en generalisering av begreppet tyngden (tyngdkraften) somverkar med kraften (tyngden) mg på en kropp med massan m; g ärtyngdkraftsaccelerationen. Inom relativitetsteorin verkar en konstant acceleration varomöjlig, annat än temporärt, ty hastigheten skulle ju till slut nå bortom ljushastigheten eftertiden t > c/a. Men här handlar det om accelerationen som upplevs av den som följer medkroppen, sas.

Antag en kropp R' känner av en konstant kraft F och accelererar i x-riktningen. Vikan föreställa att R' är en raket med massan m. Om denna drivs fram med en kraft F ochastronauten släpper en liten boll borde han observera hur den accelererar medaccelerationen a = F/m (m, raketens massa) åt det negativa hållet längs x-axeln.

F

Raketen med massan mdrivs fram av en kraftF i x-riktningen. Bollensom får "falla" frittaccelererar med accele- rationen a = F/m relativtraketen.

x

Det är samma sak som att raketen ses öka sin hastighet med a ∆τ under ett tidsintervall ∆τ(raketens egentid) sett från ett inertialt medföljande (comoving) referenssystem vid en visstidpunkt. Sett från "laboratoriesystemet" R ökar raketens hastighet under detta tidsintervall,enligt additionsteoremet, med

∆v = (v + a ∆τ)/(1 + v a ∆τ/c2) - v = a ∆τ (1- (v/c)2)/(1 + v a ∆τ/c2)

som leder till rörelse-ekvationen

(13) dv/dτ = a (1- (v/c)2)

eller (enligt (12))

(14) dv/dt = a (1- (v/c)2)3/2 (gäller också för varierande acceleration a).

Från detta följer att kraften F = ma kan erhållas från fyr-vektorn F definierad genom

(15) F = dp/dt

ifall vi definierar fyr-impulsen genom

(16) p = m dx/dτ.

Nämligen, denna definition ger för den relativistiska impulsen i x-riktningen (enligt 12)

(17) p = m dx/dτ = m γ v.

Lite algebra ger vidare d(γ v)/dt = γ3 dv/dt som tillsammans med ekvationen (14) visar att vifaktiskt har dp/dt = ma. Vi observerar följande intressanta egenskap hos fyr-impulsen: DenLorentz invarianta storheten p . p har nämligen det konstanta värdet

(18) p2 = m2 (dx/dτ)2 = - m2 (cdτ/dτ)2 = - m2c2.

var vi nyttjat relationen dx.dx = - (cdτ)2 som gäller för ett bansegment dx. Differentierar vi

p2 visavi t följer vidare

(19) 0 = dp2/dt = 2 F . p;

dvs, fyr-kraften och fyr-impulsen är "ortogonala" enligt Minkowski geometrin.

7. E = mc2

"Einstein framställer kravet att atombomben intefår utelämas till andra makter, särskilt inte Sovjetunionen (...)Den 'världsregering' som Einstein kräver tycks vara tänktmed Standard Oil som förebild (...) Den briljanta fackhjärnaninstoppad i en usel fiolspelare och evig gymnasist med ensvaghet för politiska generaliseringar."Bertol Brecht, Arbeitsjournal 28 oktober 1945.(Citerad i Francoise Balibar, "Einstein - Tänkaren och Fysikern",Berghs 1995.)

Vi fortsätter med fallet den konstant accelererande raketen och skall beräkna dessenergiökning på grund av accelerationen. Energin beräknas utifrån definitionen dE = F dx dåkraften verkar i rörelseriktningen x. Eftersom F = ma i detta fall är konstant erhåller vi för enintegration från x = 0 till x = L,

(20) ∆E = ∫ F dx = m a L.

I Newtons mekanik har vi L = ½ a t2 som ger ∆E = m a (½ a t2) = ½ m v2 (då v = at)vilket är det bekanta uttrycket för kinetisk energi. Den relativistiska rörelse-ekvationen förkonstant acceleration (14) (gäller också för varierande acceleration) kan enligt föregåendeskrivas (från dp/dt = ma med p = m γ v)

(21) d(γ v)/dt = a

som ger

(22) γ v = at ⇒ v(t) = at (1 + (at/c)2)-½ ⇒

γ = (1 + (at/c)2)-½

För energiökningen maL erhåller vi alltså

(23) ∆E = maL = ma ∫ v dt = ma (c2/a) ((1 + (at/c)2)-½ - 1) =

mc2 (γ - 1).

Från detta resultat ser vi att det är omöjligt att accelerera en kropp till ljushastighet eftersom

detta kräver oändligt med energi iom att γ → ∞ då v → c. Utvecklar vi γ = (1 - (v/c)2)-½

som en serie i v/c (< 1) kan de första termerna för ∆E skrivas

(24) ∆E = ½ m v2 + (3/4) m v2 (v/c)2 + ....

(Vad blir exv den relativistiska korrektionen för den kinetiska energin för en 70 kg personsom cyklar modesta 25 km/h ? För elektroner i partikelacceleratorer hamnar man attanvända den relativistiska formeln (23). Typisk acceleratorenergi för elektroner är omkr 10

GeV = 1010 eV. Vilken hastighet har dessa elektroner ?)Ett mer formellt sätt att härleda uttrycket för energin utgår från att skriva definitionen

dE = F. dx på formen dE = v. dp genom att använda F = dp/dt och dx = v dt. Detta kan isin tur skrivas som en differentialekvation

(25) dE/dp = v (dE/pi = vi; i = 1,2,3 ).

Specialiserar vi oss till vårt föregående fall med rörelse och kraft längs x-axeln har vi att lösaekvationen dE/dp = v med p = m γ v. Ekvationen kan skrivas som dE/dv = vdp/dv =

mv.d(γv)/dv = mvγ3 som har lösningen

(26) E = m c2 γ = m c2 (1 - (v/c)2)-½

För v = 0 erhåller vi viloenergin E = m c2, eller den sk mass-energin.(Einsteinbifogade den 27 september 1905 en sorts "PS" till sin huvudartikel i relativitetsteorin, från

fyra månader tidgare, där han tillägger formeln E = m c2 med kommentaren: "Det är inteuteslutet att teorin kan prövas på kroppar, vilkas energiinnehåll är höggradigt föränderligt."(A Einstein, "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieneinhalt abhängig ?", Ann. d.Phys. Ser 4, Vol. 18; 639-641 (1905).)

Innebörden av mass-energiformeln kan illustreras med följande exempel. Har vi t exen kropp på en våg och värmer upp kroppen genom att tillföra en energimängd ∆E kommer

dess vikt att öka med ∆mg där ∆m ges av ∆m = ∆E/c2. Ett analogt exempel är att tänka sigen behållare som vi fyller med N partiklar med massan m och hastighet v (en "gas"). Vägervi behållaren (ifall vi har en tillräckligt noggrann våg) kommer innehållets massa inte att visa

sig vara Nm utan NE/c2 = Nmγ. Vi har alltså att skilja mellan en partikels massa som ärkonstant och behållaren+innehållets massa som är en funktion av partiklarnas dynamiskaverkan på behållarens väggar (i gravitationsfältet accelererar partiklarna nedåt och stöter

med lite högre hastighet botten i behållaren - denna kraft mäter vi som tyngden Mg frånvilken vi beräknar massan M). Har vi sammansatta partiklar så kommer deras massa påliknande sätt att vara en dynamiska funktion av konstituenternas energi i enlighet med mass-energi formeln. Mass-energi formeln betyder alltså inte att massan som "sådan" är"ekvivalent" med energi utan att energin E i diverse situationer har en tröghet som motsvarar

massan m = E/c2. I allmän relativitetsteori (ART) visar det sig att energin också utövar

gravitationell attraktion på samma sätt som en massa m = E/c2. (I föregånde exempel kan viockså använda reaktion = verkan satsen.) Detta följer av Ekvivalensprincipen somidentifierar trög massa m (som används i F = ma) och graviterande massa.m (som används i

F = Gm' m/r2).Lagen om massans konstans från kemin, och impulsens konservering, ersätts med

konserveringen av fyr-impulsen p inom relativitetsteorin. Fyr-vektorn har nämligenkomponent-uppdelningen

(27) p = (mγc, mγv) = (E/c, p).

Konserveringen av 0-komponenten p0 = E/c ger alltså mass-energins konservering.

Det kan verka egendomligt att massans totala energi-innehåll är förknippat med

ljushastigheten enligt E = m c2 . Eftersom ljuset är ett elektromagnetiskt fenomen harenergiformeln föranlett spekulationer att massan har ett sorts elektromagnetiskt ursprung(dessa idéer dateras eg till tiden före relativitetsteorin). Man kan också resonera att det ärLorentz gruppen (transformationerna) som är det väsentliga i teorin och attelektromagnetismen bara är en instans av en teori som är Lorentz kovariant. Den maximalasignalhastigheten och ljushastigheten c kommer från Lorentz transformationerna ochMinkowski strukturen, och inte omvänt. Detta är det moderna synsättet. Man utgår från attfysikens alla fundamentala teorier måste vara Lorentz kovarianta. (Lorentz kovariansbetyder att teorins storheter transformerar mellan referenssystemen enligt Lorentztransformationerna.)

Vi har tidigare visat att p2 = -(mc)2 som tillsammans med (27) ger

(28) -(mc)2 = -(E/c)2 + p2

vilket är ekvivalent med

(29) E2 = (mc2)2 + (cp)2.

(Använder vi den tidigare formeln dE/dp = v får vi från energiformeln, v = c|p| ((mc2)2 +

(cp)2)-½. Tillåter vi formellt partiklar med imaginär massa ser vi att de enligt formeln harhastighet v > c, vilket konstaterades i en tidigare kommentar om tachyoner.)

Relativistiska effekter är försumbara vad gäller normala problem inom mekaniken.När det gäller partikelfysik, atomfysik. astrofysik, osv, spelar relativitetsteorin enfundamental roll.

(Vad blir exv en elektrons hastighet i väteatomen - utgå från det lägsta energitillståndet - omman betraktar den som en liten kula som cirklar kring protonen ?) Våra resultat för konstantacceleration kan exv tillämpas på en elektron som accelereras i ett konstant elektriskt fält E(a = eE/m där e är elektronens laddning). Vid höga accelerationer hamnar vi i detta fallbeakta att elektronen utstrålar elektromagnetsk energi. Detta är en egenskap som utnyttjashos cyklotroner.

8. Hyperbolisk bana och relativistisk raket

Vi fortsätter exemplet med den konstanta accelerationen. Vi definierar fyr-hastigheten u enligt

(30) u = dx/dτ = γ(c, v).

Då skrivs fyr-impulsen som p = mu. Enligt definitionen av egentidsintervallet dτ har vi dx2 =

- (c dτ)2 som ger

(40) u2 = -c2.

För den accelerarande kroppen (i x-riktningen) gäller alltså sambandet

(41) (u0)2 - (u1)2 = c2.

Jämför detta med ekvationen för en cirkel med radien r,

(42) x2 + y2 = r2.

Cirkeln är invariant för rotationer kring origo. En rotation med en infinitesimal vinkel ε skrivssom

(43) x → x' = x - εy: ∆x = - εyy → y' = y + εx.: ∆y = εx.

Insätter vi x' och y' i (42) ser vi att relationen bibehålles för x' och y' förutom en infintesimalterm av andra ordningen (som kan försummas).

xx'

yy'

x' = x - εεy' = y + xy

ε

Rotation med eninfinitesimal vinkel

Använder vi den imaginära enheten i, som satisfierar i2 = -1, kan vi skriva (42) på formen

(42') (x + iy)(x - iy) = r2.

Inför vi hjälpvariabeln z = x + iy innebär (42') att vi måste ha r2/z = x - iy. Omvänt ges xoch y i term av z enligt

(44) x = (1/2)(z + r2/z)

y = (1/2i)(z - r2/z).

Den infinitesimala rotationen (43) representeras i term av z genom (vi har "diagonaliserat"matrisen för transformationen (43))

(43') ∆z = ∆x + i∆y = iε (x + iy) = iε z.

En rotation med den finita vinkeln ϕ kan framställas som N successiva rotationer medvinkeln ε = ϕ/N. För stort N blir ε = ϕ/N infintesimal och vi kan tillämpa (43') N ggr för atterhålla den finita transformationen

(45) z → z' = (1 + iϕ/N)N z = eiϕ z (då N → ∞).

Startar vi rotationen från punkten x = r, y = 0, och insätter föregående resultat i (44) erhållervi för de nya koordinaterna

x = r cos ϕ (cirkeln som parametriserad kurva)y = r sin ϕ

där sin ϕ och cos ϕ ges av de Eulerska formlerna cos ϕ = (1/2)(eiϕ+ e-iϕ) och sin ϕ =

(1/2i)(eiϕ- e-iϕ).En analog metod kan tillämpas på ekvationen

(46) x2 - y2 = c2

som motsvarar (41) med x = u0 och y = u1. Istället för (43) ser vi genom insättnng att (46)är invariant (vi försummar termen av andra ordningen i den infintesimala parametern) för deninfinitesimala (Lorentz-) transformationen

(47) x → x' = x + εy: ∆x = εyy → y' = y + εx.: ∆y = εx.

Ekvationen (U') kan skrivas som (x + y)(x - y) = c2. Inför vi alltså hjälpvariabeln z = x + y

måste vi ha c2/z = x - y. Omvänt kan vi skriva x och y i termer av z,

(48) x = (1/2)(z + c2/z)

y = (1/2)(z - c2/z).

Den infinitesimala transformationen (47) representerad i term av z blir

(49) ∆z = ∆x + ∆y = ε (y + x) = ε z.

För en finit transformation med "vinkeln" ϕ kan vi resonera som i föregående fall och erhåller

(50) z → z' = (1 + ϕ/N)N z = eϕ z (då N → ∞).

Därmed ges fyr-hastigheten till slut på parameterformen

(51) u0 = c cosh ϕ

u1 = c sinh ϕ

där cosh ϕ (cosinus hyperbolicus) och sinh ϕ (sinus hyperbolicus) är definierade genom

(52) cosh ϕ = (1/2)(eϕ+ e-ϕ)

sinh ϕ = (1/2)(eϕ- e-ϕ).

Ekvationen för den accelererande kroppen kan skrivas d(γv)/dτ = (a/c) cγ som

motsvarar du0/dτ = (a/c) u1. Insätter vi formerna (51) i denna ekvation ser vi att vi måste haϕ = aτ/c då a är konstant. Den generella rörelse-ekvatioen skrivs elegant som

(53) dϕ/dτ = (1/c) a(τ).

Kroppens "hyperboliska bana", för konstant acceleration, uttyckt på parameterform somfunktion av egentiden τ blir alltså

(54) u0(τ) = c cosh (aτ/c)

u1(τ) = c sinh (aτ/c).

Hastigheten v = dx/dt ges genom

(55) v = c (γv/γc) = c u1(τ)/u0(τ) = c tanh(aτ/c).

Den relativistiska additionsformeln för hastigheter kan nu representeras som enaddition av "hyperboliska vinklar". Har vi hastigheterna u' = c tanh(ϕ') och u'' = c tanh (ϕ'')i x-riktningen, då ges deras relativistiska summa av u = c tanh (ϕ' + ϕ'') = c(tanh(ϕ') +

tanh(ϕ''))/(1 + tanh (ϕ') tanh (ϕ'')) = (u' + u'')/(1 + u' u''/c2). Nämligen, en Lorentztransformation L(u') mellan inertiala referenssystem med den relativa hastigheten u' = c tanhϕ'utgör en hyperbolisk rotation med vinkeln ϕ'. Två efterföljande Lorentz transformationer (derelativa hastigheterna längs x-axeln) ger upphov till transformationen L(u) = L(u'')L(u') ochmotsvarar en addition av de hyperboliska rotationsvinklarna, ϕ = ϕ' + ϕ'', analogt med

rotationer i den Euklidiska geometrin. I term av hjälpvariabeln z = x0 - x1 beskrivs desuccessiva Lorentz transformationerna som

(56) z → z' = eϕ' z: z' → z'' = eϕ'z' = eϕ' + ϕ''z

vilket visar att produkten faktiskt motsvarar en addition av de hyperboliska vinklarna.

U

UU'

U

0

1

Fyr-hastigheten U hålls på hyperbeln U 2 = - C2Under acceleration företer fyr-hastigheten en"hyperbolisk rotation" från U U'till

Som en praktisk tillämpning av teorin skall vi härleda den relativistiskaraketekvationen. Raketdriften baserar sig på konservering av impulsen. Om raketen medmassan m spottar ut en massa med hastigheten u i - x -riktningen, och raketens massaändras med dm (< 0), blir raketens hastighetsökning dv bestämd från relationen u dm + (m+ dm)dv = 0 (totala impulsförändringen är noll). (Observera att vi för raketens

massändring har |dm| = γ(u)dmo = dE/c2, där dmo är massan av den utblåsta materiensom har impulsen −γ(u)udmo = udm, och dE betecknar dess energi - det gäller alltså inteatt dm = -dmo som Newtons mekanik skulle föreskriva. Ett intressant exempel på mass-energi relationen.) Detta leder till ekvationen

(57) a = dv/dτ = - (u/m) dm/dτ = -u d(ln m)/dτ.

för accelerationen (visavi ett medföljande inertialt referenssystem vid en viss tidpunkt). Dettaresultat kombineras med den tidigare härledda ekvationen (21). Räkningarna förenklas omvi använder representationen

(58) γv = c sinh ϕγ = cosh ϕ.

Rörelse-ekvationen (21) kan skrivas som d(γv)/dτ = γ a. Nyttjar vi (58) leder rörelse-ekvationen till relationen (eller använd direkt (53) från föregående avsnitt)

dϕ/dτ = (1/c) a = -(u/c) d (ln m)/dτ.

Om utblåsningshastigheten u är konstant följer alltså ϕ = (u/c) ln (m(0)/m(τ)), ochhastigheten v = c tanh ϕ skrivs

(59) v = c (1 - (m(τ)/m(0))(2u/c))/(1 + (m(τ)/m(0))(2u/c)).

Här betecknar m(0) raketens initialmassa, och m(τ) massan vid egentiden τ. Desto högreutblåsningshastighet u desto högre hastighet når raketen. För en fotonraket når man denmaximala "utblåsningshastigheten" u = c.

(Hur mycken nyttolast kan man maximalt ta med på en fotonraket som skallaccelerera till 90% av ljushastigheten och sedan bromsa in igen ? Dylika numeriskaöverläggningar antyder att science fiction författare i regel har ganska optimistiskaföreställnigar om kapaciteten hos sina rymdraketer av taxibils format. Andelen nyttolast kanökas ifall drivkraftsanläggningen sätts utanför raketen; exv i form av en laserkanonplacerad på månen som rikats in på rymdskeppet, vilket försetts med stora speglar somfungerar som ljussegel. Versioner av denna idé har lanserats av RL Forward.)

Betraktar vi ljushastigheten c som en variabel parameter, och låter den gå motoändlighet, då reduceras föregående uttryck (59) till den klassiska raketekvationen, v(t) =u.ln(m(0)/m(t)), som härleddes (utgående från Newtons mekanik förstås) avrymdfartspionjären KE Tsiolkovski den 25 augusti 1898 (enligt dagboksanteckning).(Tsiolkovski förslog raketdrift bl a baserad på kärnkraft, och acceleration av elektroner medelektriska fält.)

"Out there in vacuum, what could a space craft be able to push against ?"(Classic question by New York Times, enligt P Nicholls (ed.) i "The science of sciencefiction", London 1982. Hur skulle du besvara frågan för tidningsläsare som har glömt allfysik de eventuellt lärde sig skolan?)

9. Accelererande referenssystem

Vi återvänder igen till fallet med den accelererande raketen. Antag att vi före startenhar två synkroniserade identiska klockor som vi placerar vid x' = 0 och x' = L i raketen.När vi gjort en rundtur med raketen och sedan jämför klockorna märker vi att de visar olikatider.

x

x'

0

L

I ett accelererande referens-system går klockorna på olikanivåer med olika "hastighet".

Om vi, enligt klockan vid x' = 0, har accelererat under tidintervallet t' när vi stänger av

raketmotorn, visar klockan vid x' = L istället tiden t'' = t'(1 + aL/c2 ); dvs, vi kommer att haen tidsdifferens på

(60) ∆t' = t' (a x'/c2). (x' = L)

Klockornas tid skiljer eftersom de följt något annorlunda banor i rum-tiden (genom sinaolika placeringar i raketen - jmf "tvillingparadoxen" i avsnitt 5).

Vi skall konstruera ett speciellt koordinatsystem (motsvarigheten till fig. 2 i avsnitt 3)för det accelererande referenssytemet R' (raketen) och transformationen till det inertalareferenssystemet R. Av rums-koordinaterna behöver vi bara bry om x-axeln längs vilkenaccelerationen sker. För koordinatlinjen x' = 0 väljer vi den bana i det inertialareferenssystemet som raketsystemets origo beskriver i rum-tiden. Vid starten, t = 0,sammanfaller x- och x'-axeln. För tidpunkten t > 0, betrakta ett medföljande (comoving)inertialt referenssystem R'' vars origo och koordinatsystem sammanfaller med raketsystemetsdito vid denna tidpunkt. Antag raketens klocka i origo visar t'. Vi använder Lorentztransformationen från R'' till R,

∆x1 = γ(∆x'1 + β∆x'0) = γ∆x'1

(L'') ∆x0 = γ(∆x'0 + β∆x'1) = γ β∆x'1

(med beteckningen β = v/c;

∆x'0 = 0 eftersom vi transformerar längdkoordinatenvid en fix tidpunkt t'; en sk "Lorentz kontraktion")

för att upprätta en relationen mellan R' och R för tiden t som motsvaras av tiden t' i R'. Enligtdenna konstruktion kommer linjerna t' = konst att motsvara punkterna med samma hastighetv = c tanh (at'/c).

t' = konst

x' = konstx

x

0

1

Transformationen mellan det accelererande referens-systemets (R') kordinater och det inertiala referens-systemet. Observera att koordinatsystemet (x',t') bara

c2/a x' = 0

täcker en del av rum-tiden.

R''

x' = r

x' = r + dr

dr

PQ

Ekvationerna (54) för den accelererande raketens origo kan skrivas som

(60) dt/dτ = cosh (aτ/c)dx/dτ = c sinh (aτ/c)

vilka integreras till

(61) x1 = x = c2/a cosh (aτ/c) = c2/a cosh (ax'0/c2)

x0 = ct = c2/a sinh (aτ/c) = c2/a sinh (ax'0/c2)

(x'0 = cτ)

Vi sätter banan (61) som koordinatlinjen x' = 0 (se diagrammet). Tidsaxeln för raketensreferenssystem i varje punkt P är parallell med fyr-hastigheten i P eftersom vi har u = (1,0) ireferensystemet R''. Vi konstruerar alltså x''-axeln i samma punkt P genom att speglatidsaxeln i ljuskonens 45-graders linje (se diagrammet). Ligger punkten P på kurvan x' = rdå skär x''-axeln kurvan x = r + dr i punkten x'' = dr (man måste samtidigt komma ihåg attbeakta skalningen av axlarna när man ritar diagrammet - se avsnitt 3). På detta sätt kan mangeometriskt konstruera (x',t') -koordinatnätverket.

Det analytiska uttrycket för denna konstruktion erhålls från (L''). Vi noterar att γ =

cosh (ax'0/c2), γv = sinh (ax'0/c2), och skriver x' = 0 + ∆x' = ∆x', samt x = x(raketensorigo) + ∆x, vilket slutligen ger,

(62) x1 = (c2/a + x'1) cosh (ax'0/c2)

x0 = (c2/a + x'1) sinh (ax'0/c2).

Från (62) ser man att

(63) (x0)2 - (x1)2 = (c2/a + x'1)2

vilket ger en ger en algebraisk representation för banorna x'1 = konstant. Vi oberverar

också att linjerna t' = konst bildar räta linjer genom origot i (x0,x1)-systemet. Uppenbart ärockså att raketens koordinatsystem inte täcker hela rum-tiden. Koordinatsystemet krymps

ihop till en punkt för x'1 = - c2/a. Som framgår av diagrammet kan ingen signal som startarvid en punkt med t > 0 och x < 0 nå fatt raketen fastän signalen avancerar med ljushastighet.Ljuskonen genom x = 0 bildar en sorts horisont (horizon) (ett begrepp som används inomteorin för svarta hål).

(Antag man gör en expedition till Vintergatans centrum på 30 000 ljusårs avstånd.Raketen accelererar med samma acceleration som jordens tyngdkraftsacceleration, ochbromsar in på sluthalvan genom att raketen vänds180 grader. Hur mycket har astronauternaåldrats under resan när de anländer till Vintergatans centrum, och hur mycket tid har dåförlöpt mätt i jordtid ? Vad ger motsvarande räkning enligt Newtons mekanik ?)

Den fysikaliska betydelsen av koordinaterna x'0 och x'1, enligt vår konstruktion, är

att x'1 betecknar den fysikaliska längdkoordinaten i raketen, medan x'0 motsvarar egentidenför klockan i origo x' = 0. Vi kan nu beräkna egentiden för en klocka vid godtycklig x'-koordinat i raketen enligt (22), integrerat längs x' = konst och med användande av (62),

(64) ∆τ(x') = ∫ (1 - (v/c)2)½ dt = ∫ (1/cosh(at'/c)) dt = (1 + a x'/c2) ∆t'.

Av detta ser vi att klockor på olika nivåer (olika x'-koordinater) kommer att "dra" iförhållande till varandra. Tidskoordinaten t' ger egentiden för klockan i origo (nivån x' = 0).Detta resultat (64) är speciellt intressant om vi kombinerar det med Einsteins (1907) tes att

· fysiken är densamma i ett gravitationsfält med tyngdkraftsaccelerationen g som i ettaccelererande referenssytem med accelerationen g ("Ekvivalenspincipen").

Därmed skulle klockor på olika nivåer i gravitationsfältet gå med olika "hastighet" relativtvarandra. Denna effekt har kunnat mätas i jordens gravitationsfält i form avfrekvensförskjutning. Nämligen, om vi skickar en ljussignal med frekvensen ƒ = 1/∆t' frånhöjden x' = L kommer den enligt (64) att ha frekvensen (Einstein, 1908)

(65) ƒo = 1/∆τ = (1 + g L/c2) ƒ (g = tyngdkraftsaccelerationen)

vid "marknivån" x' = 0. (Alternativt, föreställ att vi från x' = L skickar ljusignaler medregelbunden intervall ∆t', då observeras de vid x' = 0 med intervallen ∆τ givet genom (64).)Skickas signalen i omvänd riktning minskar frekvensen, vilket kallas för "rödförskjutning".Denna effekt är exv mätbar hos stjärnor vars ljus rödförskjuts när ljuset tar sig ur derasgravitationsfält. Enligt kvantteorin kan man föreställa sig ljuset som en ström av fotoner medenergin hƒ (h = Plancks konstant; ƒ = frekvensen). Ekv (65) kan då heuristiskt tolkas som

att fotonen har en gravitationell lägesenergi av storleken (hƒ/c2) g L, motsvarande en

"massa" = hƒ/c2 för fotonen. (Rödförskjutningsformeln (65) bekräftades av RV Pound ochGA Rebka år 1959. De sågade upp en kanal mellan bottenvåningen och översta våningen -med en höjdskillnad på 22.5 meter - i Jefferson Physical Laboratory vid Harvard University.För mätningen begagnade de sig av Dopplerprincipen. Man bestämde hastigheten v medvilken detektorn måste röra sig för att kompensera rödförskjutningen ∆ƒ: v/c = ∆ƒ/ƒ.)

En annan intressant konsekvens är att ifall raketen befinner sig termisk jämviktkommer temperaturen T att variera med nivån x' enligt (RC Tolman, 1934)

(66) T(x')(1 + a x'/c2) = konstant = T(x' = 0).

Detta resultat kan överföras till gravitationsfält (med a = g, tyngdkraftsaccelerationen) enligtEkvivalensprincipen. För att förstå relationen (66), antag vi har en serie oscillatorer (atomeretc) som är i strålningsjämvikt med varandra. En oscillator A vid x' = a mottar enrödförskjuten strålning från oscillatorn B vid x' = b < a. För att de skall vara istrålningsjämvikt måste oscillatorn A:s spektrum vara rödförskjuten relativt oscillatorn B:sspektrum, enligt (65). Eftersom oscillatorn befinner sig i jämvikt med den omgivandestrålningen måste strålningens temperatur, vilken bestämmer spektret, också variera. Istatistisk fysik visas att spektret (Planck fördelningen) är en funktion av kvoten hƒ/kT (k,Boltzmanns konstant). Temperaturen kommer därför att variera som frekvensen, enligt ekv(65), vilket ger (66).

En grundligare undersökning av kvantfältteorin (relativistisk kvantteori) iaccelererande referenssystem visar att i accelererande referenssystem strålar vakuumet ochhar en positiv temperatur given genom (WG Unruh, 1976)

(67) kT = (h/2π) a/2πc ≈ 10-21 a [m/s2] K(k, Boltzmanns konstant; h, Plancks konstant).

Det är endast för inertiala referenssystem (a = 0) som vakuum är icke-strålande. Enligtkvantfältteori är vakuum visserligen fullt av sk virtuella partiklar, men de kan vanligen inteobserveras. Men om vakuumet på något sätt "deformeras" (exciteras) - vilket sker t ex i

starka gravitationella (svarta hål) eller elektriska fält (såsom i närheten av atomkärnor medmånga protoner) - realiseras en del av dessa virtuella partiklar och blir observerbar strålning(kallas för Hawking processen). "Vanligt vakuum" (kallat neutralt vakuum) är endast ett avvakuumets tillstånd, nämligen grundtillståndet utan observerbara partiklar. Annorlundauttryckt: För normalt (inertialt Minkowski) vakuum | M> kommer ett system av atomer somhar energi tillstånden En; n = 0,1,2, ...., etc, att i jämvikt med detta vakuum befinna sig igrundtillståndet 0; för ett accelererande referenssystem kommer däremot en andel avatomerna proportionell till exp(-En/ kT) (Boltzmann fördelningen) att befinna sig i tillståndetn (med energin En) - temperaturen T definieras just genom (67).

[För att härleda (67) behöver man det kvantfältteoretiska maskineriet. En merheuristisk metod utgår ifrån att studera en planvåg exp(i(kx - ωt)) i inertialsystemet.Insätter man (62) för x och t i planvågen får man ett komplicerat uttryck i x' och t' för vågenbeskriven i det accelererande referenssystemet. Denna kan dock utvecklas som en summa(Fourier-integral) av planvågor f(ω') exp(i(k'x' - ω't')) i det accelererandereferenssystemet varvid det visar sig att f(ω') motsvarar en Planck-fördelning medtemperaturen T given av (67). Om vi alltså föreställer oss att Minkowski vakuum |M>innehåller en likformigt fördelad noll-punkt strålning (zero-point radiation) kommer detaccelererande referenssystemets vakuum att ha en Planckfördelning med positivtemperatur.]

10. Allmän relativitetsteori (ART)

"...enligt min åsikt bör man ej dölja det logiskaoberoendet mellan sinnesdata och begrepp.Sambandet påminner inte om det mellan buljongoch kött, utan snarare om det mellanhand och handske."A Einstein, "Fysiken och Verkligheten" (1936).

"Nu är vi äntligen färdiga att ta itu medEinsteins gravitationsteori."B Russell, "Relativitetsteorins ABC" (1960).

Den speciella relativitetsteorin (SR) har blivit en synnerligen framgångsrik teori ochutgör en av den moderna fysikens grundpelare. Ändå var Einstein inte helt tillfredsställd medsin teori. Einstein stördes av att teorin krävde ett globalt inertialt referenssystem (Minkowskirummet) som en sorts bakgrund. Detta var en form av kvarleva av det Newtonska absolutarummet. Därtill var relativitetsteorin oförenlig med Newtons gravitationsteori. Newtons teoriantar exv att den gravitationella kraften verkar instant, gravitationsfältet har sas oändligutbrednings hastighet. Detta kallas för avståndsverkan (action at a distance).Relativitetsteorin däremot föreskrev att signalhastigheter har en övre gräns lika medljushastigheten i vakuum.Efter publiceringen av SR (1905) uppstod frågan huruvida Newtons teori kundegeneraliseras till en relativistisk gravitationsteori. (Finländaren Gunnar Nordström hördebland de främsta fysikerna som dryftade detta problem och han blev också personligtbekant med Einstein.)

I avsnittet om det accelererande referenssystemet konstruerade vi ett

koordinatsystem (x'0, x'1) där koordinataxlarnas riktning varierade från punkt till punkt tillskillnad från det globala inertiala referenssystemet R (Minkowski rummet). Invarianten

(I) (x1(B) - x1(A))2 + (x2(B) - x2(A))2 + (x3(B) - x3(A))2 - (x0(B) - x0(A))2

kan i allmänhet endast formuleras för infinitesimala intervaller dx'. Ifall vi insätter (62) i

formen (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 - (dx0)2 erhåller vi i det accelererande referenssytemetformen (metriken)

(68) ds2 = -(1 + a x'1/c2)2 (dx'0)2 + (dx'1)2 + (dx'2)2 + (dx'3)2

där ds2 alltså betecknar "avståndet" mellan två infintesimalt närliggande punkter enligtMinkowski metriken. För det generella fallet (godtyckligt koordinatsystem) skriver vimetriken på formen

(69) ds2 = Σ gµν dxµdxν (summerat över µ ,ν = 0, 1, 2, 3)

Uttrycket har följande betydelse. Om en kropp följer en bana x(λ) i rum-tiden kommer dessegentid ∆τ för ett banavsnitt att ges genom

(70) ∆τ = ∫ √ -ds2 = ∫ (−Σ gµν dxµ/dλ dxν/dλ )½ dλ.

I avsnittet om egentid och tvillingparadoxen observerade vi att egentiden var maximal förden kropp som ostörd följde en fri kropps bana mellan två rum-tids punkter A och B,medan en kropp som följde en "forcerad" bana mellan A och B hade ett mindre värde försin egentid. Detta generaliseras till en allmän princip inom ART.

Rörelsepostulat:♦ Fria partiklar följer en geodes i rum-tiden; dvs, en bana med maximal rum-tids längd

(70) (egentid). I Newtons mekanik svarar detta postulat mot satsen att fria partiklarföljer räta linjer med likformig hastighet.

Hur skall man bestämma de metriska koefficienterna gµν(x) ? För det konstantaccelererande referenssystemet beräknade vi dem genom transformationen till ett globaltinertialt referenssystem. Inom ART kan vi inte förutsätta något dylikt globalt referenssystem.Vidare, för det acclererande referenssystemet beror de metriska koefficienterna påaccelerationen. Enligt Ekvivalensprincipen är acceleration lokalt fysikaliskt omöjligt att skiljafrån gravitationens verkan. Tanken är därför att anta att de metriska koefficenternagenerellt bestäms av gravitationen. Eftersom det är mass(-energin) som är källan tillgravitation är det närliggande att anta att det är mass-energin i universum sombestämmer metriken (70); dvs, rum-tids geometrin. Den allmänna relativitetsteorin serföljaktligen på rum-tiden som en dynamisk entitet.

10.1 Differentialgeometri

"Varje gatpojke i Göttingen förstår denfyr-dimensionella geometrin bättre än Einstein.Trots detta var det Einstein som gjorde arbetet[uppfann ART] och inte matematikerna".En D Hilbert anekdot.

För att kunna vidareutveckla den generella teorin fodras vissa insikter i differentialgeometri (i detta skede - kring 1912 - hade Einstein turen att få hjälp av sin fornestudiekamrat, matematikprofessorn Marcel Grossmann, som pliktskyldigt hade gått påmatematikföreläsningarna under studietiden medan Einstein satt och diskuterade filosofi på

caféerna). Kurvlinjära koordinater (såsom sfäriska koordinater) i R3 representeras via en

funktion r(u1,u2, u3) i R3. En bana kan skrivas som en funktion r(u1(t),u2(t), u3(t)) vilkenhar hastighetsvektorn

(71) V = d r(ui(t))/dt = Σ dui/dt ei

med basvektorerna definierade genom

(72) ei = dr/dui.

Från (71) erhåller vi för kvadraten på magnituden V.V = (ds/dt)2 uttrycket

(73) V2 = Σ gij dui/dt duj/dt

med gij = ei . ej för de metriska koefficienterna. Formar vi accelerationen dV/dt hamnar vii (71) att differentiera basvektorerna,

(74) dV/dt = Σ d2ui/dt2 ei + Σ dui/dt duj/dt dei/duj

Nu är också vektorn dei/duj en summa av basvektorerna,

(75) dei/duj = Σ Γkij ek

(eller på differentialform: dei = Σ ekωki, ωki = Σ Γkij duj)

där koefficenterna Γkij kallas för Christoffel symboler. Ekv (74) kan alltså skrivas som

(76) dV/dt = Σ (d2uk/dt2 + Σ Γkij dui/dt duj/dt) ek = Σ Vk;j duj/dt ek

där vi definierat den kovarianta derivatan Ak;j för en generell vektor Ak (specialfall Vk =

duk/dt) enligt

(77) Ak;j = dAk/duj + Σ Γkij Ai

(på differentialform: dA = Σ ek (dAk + Σ ωki Ai))

När det gäller kurvlinjära koordinater r(u1,u2, u3) kan Christoffelsymbolerna direktberäknas från ekv (75) genom att vi känner (72). Nyttjar vi sambandet gij = ei . ej följergenom differentation att

(78) gij,k = Σ (gimΓmik + gmj Γmkj) (gij,k = dgij/duk)

(på differentialform: dgij = ωij + ωji; ωij = Σ gikωkj)

som ger en relation mellan de metriska koefficienterna och Γkij. Enär Γkij och gij är

symmetriska i indexen (i,j) kan vi lösa ut Γmik från (78) enligt

(79) Γkij = ½ Σ gkm (gmj,i + gim,j - gij,m)

där gkm är komponenterna till den inversa matrisen G-1 för G = (gmn) vilka satisfierar

(80) Σ gkm gml = δkl (= 1 ifall k = l, i övrigt 0; δkl kallas för Kroneckers deltafunktion):

Antag vi gör en koordinattransformation u → u' med u som funktion av u', u = u(u'),och skriver r(u') = r(u(u')). För basvektorerna e' i det nya koordinatsystemet erhåller vi e'i

= dr/du'i = Σ(duj/du'i)ej (kovariant transformation). Relationen mellan komponenterna hos

vektorn V = ΣVj ej = ΣV'j e'j i det nya och gamla koordinatsystemet blir

(81) Vi = Σ (dui/du'j)V'j

V'i = Σ (du'i/duj)Vj

Detta är transformationsformeln för vektorer mellan olika koordinatsystem. Vektorens

komponenter med indexen uppe, Vi, kallas för dess kontravarianta komponenter (desstransformation (81) är inversen till basvektorernas (ej) transformation). Vi kan också införaen vektors kovarianta komponenter, Vi, genom relationerna

(81.1) Vi = Σ gij Vj ; Vj = Σ gjm Vm.

Därmed skrivs produkten g(U,V) = Σ gij Ui Vj som Σ Uj Vj = Σ Vj Uj. Vektorernaskovarianta transformation skrivs,

(81.2) Vi = Σ (du'j/dui)V'j

V'i = Σ (duj/du'i)Vj

Metrikens kovarianta komponenter gij transformerar uppenbarligen enligt,

(82) g'ml = Σ (dui/du'm)(duj/du'l) gij.

Nyttjar vi (82) och (81) kan vi bekräfta att produkten g(U,V) = Σ gij Ui Vj = Σ g'ij U'i V'j

faktiskt är invariant gentemot koordinattransformationer. Differentialgeometrin kan sägashandla om matematiska storheter som är invaranta eller kovarianta (såsom vektorn i (81)och metriken i (82)) under koordinattransformationer. [Uppdelningen i kovarianta ochkontravarianta vektorer motsvarar definitionen av vektorrum S och dess duala kovektorumS* i linjär algebra, med metriken som en avbildning, G: S → S*, representerad påkomponentform i ekv (81.1).]

Vi kan generalisera (73) - (82) till en metrisk mångfald M där metriken i (73) inte

är given genom någon relation av formen gij = dr/dui .dr/duj (vilken är härledd från euklidiskmetrik) utan kan postuleras "godtyckligt". En bana u(t) vars hastighetsvektor (tangentvektor)

V = Σdui/dt ei är konstant, dV/dt = Σ Vk;j duj/dt ek = 0, kallas geodes.Tangentvektorerna till alla differentiabla kurvor i en punkt p ∈ M spänner upp ett vektorrumTpM som kallas tangentrum. För exv en 2-sfär är tangentrummet i en punkt detsamma somtangentplanet vid denna punkt.

Geodesen är en generalisering av den räta linje från euklidisk geometri. Om vikräver att geodesen samtidigt definierar den kortaste banan mellan två punkter, dvsminimerar integralen

(83) ∫ √(Σ gmn dxm/dt dxn/dt) dt,

och jämför motsvarande variationsekvation med ekvationen (från (76) och dV/dt = 0)

(84) d2uk/dt2 + Σ Γkij dui/dt duj/dt = 0

erhåller vi igen relationen (79) mellan metriken och Christoffelsymbolerna.Slutligen behöver vi ta upp begreppet krökning (curvature, Krümmung).

Karaktäristiskt för ett icke-krökt rum (flat space), såsom Minkowski rummet och deteuklidiska rummet, är att vi har ett globalt parallellitetsbegrepp. Man kan jämföra tvåvektorer A och B vid vilka som helst två punkter P och Q genom att parallelltransportera(hålla dess riktning och magnitud oförändrad, dA = 0) A från punkten P till punkten Q ochjämföra den parallelltransporterade vektorn A med B vid deras gemensamma punkt Q. Förkurvlinjära koordinater definieras parallelltransport av en vektor A längs en bana u(t) av

kravet 0 = dA/dt = Σ Ak;j duj/dt ek som leder till ekvationen 0 = ∇VA = Σ Ak;j duj/dt, ivilken vi samtidigt infört beteckningen ∇VA för den kovarianta derivatan ∇VA av en

vektor A längs vektorn V = (duj/dt). Vi generaliserar denna formel till den generella metriskamångfalden (rummet): Vektorn A parallelltransporteras längs banan u(t) om A(u(t))satisfierar

(85) 0 = ∇VA = Σ Ak;j duj/dt (= Σ(dAk/duj + Σ Γkij Ai)duj/dt)

längs banan u(t). Ett icke-krökt rum karaktäriseras av egenskapen att parallelltransportenmellan två punkter P och Q är oberoende av banan mellan P och Q längs vilkenparallelltransporten utförs.

A

B

V'

P

Q

V''

För ett krökt rum beror paralleltransporten av en vektor V mellan två punkter på vägen längs vilken den utförs. Vektorn V parallelltransporteras längs den

V

undre och övre sidan av parallellgrammet AB med resultaten V' och V'' som i allmänhet skiljer sig från varandra. Skillnaden ges via Riemann tensorn R.

V'' - V' = R(A,B,V)

Parallelltransporterar vi en vektor V längs en infinitesimal parallellogram uppspändav vektorerna A och B (se figuren) får vi för skillnaden, mellan parallelltransporten längsövre och undre sidan, en vektor ∆V = R(A,B,V). Operatorn R kallas Riemann tensornoch är linjär i sina argument. Dess explicita uttryck fås genom att använda parallelltransportvillkoret ∇AV= 0 och ∇BV= 0 längs de fyra segmenten. Denna räkning ger

(86) ∆Vk = Σ Rlmnk AlBmVn

med komponenterna (varje relativist bör utföra denna beräkning åtminstone en gång undersin livstid)

(83) Rlmnk = Γkln,m - Γkmn,l + Γkmj Γjln - Γklj Γjmn

(summering över de upprepade indexen: A..p...p... == Σ A..p...p.;kallas för Einsteins summeringskonvention)..

(Med differentialformer definieras Riemann tensorn genom dubbel-

differentation av en vektor: d2V = R(V) = ejRijVj ; Rij = dωij + Σ ωik ∧ ωkj.Denna definition ger den snabbaste metoden för att beräkna komponenterhos Riemann tensorn då metriken är diagonal.)

Ett krökt rum kännetecknas alltså av att Riemann tensorn R inte identiskt försvinner. FrånRiemanntensorn R kan man genom sk kontraktioner härleda Riemann matrisen Rmn och enkrökningsskalar R ("skalar" betyder att den är invariant visavi koordinattransformationer):

(84) Rmn = Σ Rlmnl (kontraktion i indexet l)

R = Σ gmn Rmn.

När det gäller differentialgeometrin för rum-tiden gör vi följande specifikationer: Fördet första skall rummet vara fyr-dimensionellt. För det andra skall man vid varje punkt Pkunna välja ett lokalt koordinatsystem där metriken i punkten P reduceras på Minkowskiformen

(85) ds2 = -(dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2.

Detta motsvarar för vanliga Riemannska rum kravet att de lokalt skall motsvara euklidiskarum - i varje punkt P skall man kunna välja ett koordinatsystem där Phytagoras' regel gäller,

ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + ... + (dxn)2.

10.2 Fältekvationerna

"You will immediately stop callingspace curved."Meddelande på ett postkort till Einsteinår 1947 av en upprörd medborgare i Boston.

Den allmänna relativitetsteorin kan sägas ha haft två utgångspunkter. Å ena sidankovariansprincipen, som fodrar att fysikens lagar skall formuleras på ett sätt som harsammma form i alla koordinatsystem. Å andra sidan kan ART betraktas mera som en renteori om gravitationen baserad på Ekvivalensprincipen. Det är Ekvivalensprincipen somgrundar antagandet att rum-tiden är en dynamisk entitet vars tillstånd hänger samman medmateriens tillstånd. Det moderna synsättet försöker framställa ART som en sk mått-teori(gauge theory, Eichtheorie) med Lorentzgruppen som grund. Gravitationen jämställs med deandra "fundamentala krafterna" i fysiken (svag växelverkan, stark växelverkan, ochelektromagnetism). Gravitationens relation till de övriga krafterna är dock intetillfredställnade utredd. Bland teoretikerna finns det en förhoppning att alla krafter skallkunna härledas ur en enda kraft i en förenhetligad teori (theory of everyting, etc). Populärakandidater för tillfället är "superteorierna" med superstringar och supersymmetri. Ett av desvåraste stötestenen är att på ett konsistent sätt foga ihop gravitationen med kvantteorin.

Minkowskirummet kan ses som ett specialfall där gravitationen är försumbar.Geometriskt karaktäriseras Minkowskirummet av en försvinnande krökning. Krökningen ärett sorts mått på rum-tidens "deformation", en sorts "spänningsenergi". Einstein antog attfältekvationerna för gravitationen följer i det generella fallet av att minimera dennaspänningsenergi, rum-tids krökningen. (Einsteins väg till fältekvationerna var betdyligt mer

krokig än vad som här antyds. Det var matematikern David Hilbert som introducerade idéenatt härleda fältekvationerna via variationskalkylen.) Som den skalära funktionen för denna"spänningsenergi" faller valet ganska naturligt på krökningsskalaren R (84) (bl a har man somett villkor att de resulterande ekvationerna skall vara andragrads differentialekvationer för demetriska komponenterna gµν). Fältekvationen för materien fås å andra sidan, enligtstandard metoder, genom att minimera materiens "energifunktion", Lagrange funktionen.Fältekvationen för ART erhålls genom ansatsen att minimera (extremalisera) summan avkrökningnsskalaren (integrerad över rum-tiden) och materiens Lagrange funktion,

(86) δ [ (1/κ) ∫ R √ -g d4x + (1/c)∫ L(ψ) √ -g d4x] = 0.

Här betecknar R krökningsskalaren (84), L(ψ) är materiens (materia-fält ψ,

elektromagnetism, etc) Langrange funktion, √ -g d4x är rum-tidens (invarianta)volymelement med g = det(gµν), κ är en dimensionskonstant som förbinder geometrisk-kinematiska [tid-längd] och dynamiska [mass-energi] enheter. Konstanten κ skallbestämmas från kravet att teorin för relativt svaga gravitationsfält måste approximeraNewtons teori. Ekv (86) innebär att om vi betraktar en närliggande metrik g'µν = gµν +δgµν till lösningen gµν för (86) blir skillnaden mellan integralen i (86), räknat för gµν ochg'µν, av minst andra ordningen i δgµν. Med hjälp av variationskalkyl härleder man från(86) Einsteins fältekvation (A Einstein, 1915)

(87) Rµν - ½ gµν R = -(κ/2c) Tµν.

[Tµν står för energi-impuls tensorn T vilken härleds från materia-fältets Lagrange funktionL. Symboliskt kan man skriva för dess komponenter (δ står här för funktional derivata),

Tµν = (2/√-g) δ(L√-g)/δgµν.

Komponenten T(u,u) ger exv mass-energi tätheten visavi en obervatör med hastigheten u(T(u,u) = T00 i observatörens referenssystem med u = (1,0)).]

För att bestämma konstanten κ kan man förfara på följande sätt. Man studerar ansatsen där

de metriska koefficenterna minimalt avviker från Minkowski metriken g0µν = diag(-1,1,1,1):

(88) gµν = g0µν + hµν,

där vi antar att |hµν| << 1 och att kvantiteter (hµν)2, samt av högre ordning i ekvationerna,kan försummas (linearisering av fältekvationerna). Inför man (88) i ekv (87) ochrörelsekevationen (84) erhåller man exv Newtons ekvationer för planetrörelse förutsatt att κ

väljs enligt −κ = 16πG/c3, där G är gravitationnskonstanten. Jämför vi med (68) bör vi för

svaga gravitationsfält ha (med lämpliga koordinater) g00 ≈ -(1 + g x/c2)2 ≈ -(1 + 2g x/c2)

≈ -(1 + 2φ/c2), där φ är den klassiska gravitationspotentialen.

[Använder man approximationen g00 ≈ -(1 + 2φ/c2) bör ekv (87) för

tidsoberoende fält reduceras till Poissons ekvation, (∂x2+∂y2+ ∂z2)φ = 4πGρ, för denklassiska gravitationspotentialen φ genererad av en masstäthet ρ. För planetrörelse har vi

potentialen φ = − GM/r, samt rörelse-ekvationen, m d2r/dt2 = - m dφ/dr, som kanjämföras med ekv (84). Energi-impuls tensorn Tµν för "stoft" (dust) har formen Tµν =

ρc2 uµuν. Den finländska fysikern Gunnar Nordström utgick just från den klassiska Poissonekvationen i sitt försök att konstruera en relativistisk teori för gravitationen.]

Fältekvationerna skrivs slutligen som

(87') Rµν - ½ gµν R = (8πG/c4) Tµν.

(8πG/c4 ≈ 2.076 x10-43 s2/kg m)

10.3 Schwarzschild lösningen

Det finns ett fåtal exakta lösningar till Einsteins fältekvationer. Det viktigasteexemplet är lösningen för gravitationsfältet kring en sfärisk symmetrisk kropp. För en icke-roterande kropp (en roterande kropp har förstås endast cylindrisk symmetri) skrivslösningens metrik (utanför kroppen) med användande av "sfäriska koordinater" (KSchwarzschild, 1916),

(89) ds2 = -(1 - 2GM/rc2)(cdt)2 + (1 - 2GM/rc2)-1dr2 + (rdθ)2 + (r sinθ dϕ)2.

Med hjälp av (89) kan man beräkna planetbanor med relativistiska korrektioner, ljusetsavböjning i gravitationsfält, mm. Rödförskjutningsformeln (65) exv blir i Schwarzschildmetriken,

(90) (1 - 2GM/r'c2)-½ƒ' = (1 - 2GM/rc2)-½ƒ.

Ljustrålar karaktäriseras av ekvationen ds2 = 0 Med hjälp av denna ekvation kan vi rita utljuskon-strukturen i (ct,r)-planet (radiella strålar med dθ = dϕ = 0).

r

r = 2GM/c2ct

Ekvationen för radiella ljusstrålar Schwarzschild metriken:

dr/cdt = (1-2GM/rc )2±

Från figuren ser vi att om kroppens diameter R är mindre än den sk Schwarzschildradien Rs

= 2GM/c2, och metriken kan fortsättas för r < 2GM/rc2, kommer ljusstrålarna innanförSchwarzschildradien att alldrig nå området r > Rs. Härav benämningen svarta hål (blackholes, efter JA Wheeler) på objekt som har en radie mindre än deras Schwarzschildradie.Sfären r = Rs är ett exempel på en sk horisont (horizon). Inget som hamnar innaförhorisonten kan ta sig ut därifrån igen. Enligt diagrammet är ljusstrålarna böjda vilket till synesstrider mot ljushastighetens konstans. Detta beror på att r-koordinaten inte anger denmetriska radien, och att tidskoordinaten t inte är densamma som fysikalisk tid. För enobservatör O vid en fix radie motsvarar ett koordinattidintervall dt enligt metriken (89) ett

observerat tidintervall (egentid) dτ = dt (1 - 2GM/rc2)½: Ett radiesegment dr motsvara för

observatören en längd på dx = dr (1 - 2GM/rc2)-½. För en observatör O* med en fixposition och radie r* >> Rs motsvarar koordinattiden t närapå observatörens egentid.

Relationen dτ = dt(1 - 2GM/rc2)½ innebär att O:s tid verkar gå allt långsammare dessnärmare denna kommer Schwarzschildradien sett från O*:s synvinkel. Faktiskt, om O råkarbefinna sig i fritt fall in i svarta hålet kommer O sett från O* att aldrig nå fram tillSchwarzschildradien, utan syns falla allt långsammare tills fallet i praktiken sas "fryser fast".O själv upplever att fallet tar några minuter (beroende på hålets massa) tills O hamnar isingulariteten r = 0 eller dess förinnan krossas av tidvattenkrafterna.

10.4 Gravitationell strålning

Vi skall nämna ett sista fundamentalt fenomen som ART förutser till skillnad frånNewtons teori, nämligen gravitationsvågor. Undersöker man de lineariseradefältekvationerna med ansatsen (88) erhåller man ekvationer som påminner om Maxwellsekvationer, och man kan i analogi med dessa härleda liknande "strålningsekvationer"(kvadrupolstrålning) för accelererande och oscillerande massor (A Einstein, 1916).Energiminskningen för små störningar blir

(91) -dE/dt = (G/45c5) Σ (d3Dik/dt3)2

[Dik betecknar systemets kvadrupolmoment definierat

genom Dik = ∫ ρ(x)(xi xk - r2δik)d3x. För ett systemmed massan M, dimensionen R och typisk rörelseperiod T kan

storleken på termerna d3Dik/dt3 grovt uppskattas som

MR2/T3. Gravitationen har ingen dipolstrålning, till skillnad frånelektromagnetism, vilket hänger samman med att metriken beskrivsav en gµν-tensor ("spin = 2") medan elektromagnetismenbeskrivs av en vektor ("spin = 1").]

Gravitationsvågor är "störningar" i rum-tids strukturen som fortplantar sig med ljusetshastighet. System med accelererande massor läcker energi. Kroppar som hamnar i vägenför dessa störningar utsätts för tidvattenkrafter (tidal forces). Genom att utgå från att dentotala mekaniska energin (+ elektromagnetisk energi, etc) + gravitationsenergin ärkonstant, beräknar (och definierar) vi gravitationsenergin. Energidensiteten t ex för engravitationsvåg, med amplituden ∆g för metrikens "störning" ∆gµν och våglängden λ, är avstorleksordningen

(92) (c4/G) (∆g/λ)2

Detta verkar ge betydande värden men amplituden ∆g är oftast mycket liten och våglängdenλ mycket stor (30 -300 km), motsvarande en frekvens ν i området 1000 - 10 000 Hz(λ = c/ν ). Beteckna med Lin den interna dynamiska effektutvecklingen i ett astrofysikalisktsystem, då är den effekt Lgrav som systemet kan utstråla i form av gravitationsvågor (följerfrån ekv (91)) i storleksordningen (F Dyson, 1969),

(93) Lgrav ≈ Lin2/Lo;

Lo = c5/G = 3.63 × 1052 W.

För hela solsystemet blir effekten som störst kring 100 kW (effekten hos en bilmotor) somsolsystemet utstrålar i form av gravitationsvågor. [För ett gravitationellt system, med massanM innesluten i ett område med radien R, kan vi göra uppskattningen Lin = kraft × hastighet

= (GM2/R2) (GM/R)½.] Konstanten Lo anger den maximala gravitationellaenergiutstrålningen som ett system oberoende av storlek kan ha; ty blir energiutstrålningenännu större kollapsar området till ett svart hål som håller tillbaka utstrålningen.

De kraftigaste gravitationsvågorna uppkommer då svarta hål kolliderar (omkr hälften

av deras mass-energi Mc2 kan omvandlas i gravitationsvågor). Man räknar med atteffekterna av en dylik kollision (gigantiska svarta hål på 1 miljard ljusårs avstånd) får exv tvåfritt upphängda kroppar på jorden med avståndet L att oscillera relativt varandra med en

amplitud kring ∆L = 10-21 L (∆L/L ≈ ∆gµν /gµν). Hela jorden kommer exv att "töjas"pga gravitationsvågornas "transversala" (vinkelrätt mot utbredningsriktningen) tidvatteneffekt

med en amplitud på endast omkr 107 × 10-21 m = 10-14 meter vilket motsvarar ungefärdiametern hos en atomkärna ! Med hjälp av laserinterferometri och kilometerstoraanläggningar (exv LIGO i USA och VIRGO i Europa som är under konstruktion) hoppas

man ändå småningom kunna detektera förskjutningar av storleksordningen 103 ×10-21 =

10-18 meter. Den första "gravitationsantennen" konstruerades av J Weber med början år1959. Han förbluffade kollegerna med sin "Weberstav" som kunde mäta längdavvikelsermotsvarande en bråkdel av en atomkärnas diameter (Weber använde sig av piezoelektriskakristaller). Ändå var detta inte tillräckligt eftersom hans detektor, med en längd på omkr 2

meter, reagerar med en oscillation om endast ca 10-21 × 2 meter för de kraftigastegravitationsvågor man antar når jorden. Förhoppningen är att "gravitationsantennerna"baserade på laserinterferometri skall bli revolutionerande instrument för astronomiskaobservationer av energi-intensiva processer i universum. (Weber publicerade 1951 denförsta skissen för en laser. Besviken över att hans bidrag negligerades gav han sig i kast medett nytt forskningsområde, gravitationsvågor och deras detektering. Det är en viss ironi attdet är lasern som verkar vara den mest hoppingivande kandidaten förgravitationsvågdetektor.) Systemet LISA (Laser Interferometry Space Antenna) planeras attbestå av 3 par satelliter som kretsar kring solen på jordens bana, 50 milj kilometers "efter"jorden. De tre satellitparen kommer att ordnas i en liksidig triangel med sidan omkr 5 miljkilometer (parens innebördes avstånd blir ca 200 km). På detta sätt får man treinterferometrar. (Uppgifter från New Scientist, 10 augusti 1996.)

Det har redan framkommit indirekta bevis för gravitationsvågornas existens. Manhar nämligen observerat stjärnpar (binary stars) vilka kretsar kring varandra med krympandeinnebördes avstånd, vilket betyder att systemet förlorar energi. Den uppmätta förändringenav banelementen överenstämmer med beräkningar av energiförlusten pgagravitationsstrålning. Noggranna mätningar har t ex gjorts för den binära pulsaren PSR1913+16 (vilka gav upptäckarna J Taylor och R Hulse Nobelpriset i fysik år 1993).Energiminskningen för två massor m1 och m2, kretsande längs cirklar kring detgemensamma masscentret och med innebördes avståndet R, blir enligt ART (ekv (91))

(94) -dE/dt = 32G4 (m1m2)2(m1+m2)/5(cR)5

Beräkningar för PSR 1913+16 (R omkr 1 milj km; m1 och m2 omkr 1.4 ggr solmassan

MO) ger för utstrålningen värdet 6.3 ×1025 Watt. Jupiter-sol systmet har som jämförelse enutstrålning omkr 5.4 kW.

Starka gravitationsvågor är ett mycket komplicerat fenomen att behandlamatematisk pga fältekvationernas icke-linearitet. I extremfall kan kolliderande intensivagravitationsvågor exv ge upphov till en så stor energitäthet att det bildas svarta hål.

10.5 Kosmologi

Redan 1917, året efter publiceringen av ART, försöker Einstein tillämparelativitetsteorin på hela universum. Detta kan sägas vara inledningen till den modernavetenskapliga kosmologin och studiet av kosmologiska modeller. Den enklaste ansatsen äratt utgå ifrån att universum i stort (large-scale structure) är isotropisk och homogent; dvs,universum ser lika ut i alla riktningar i alla punkter. För ett sådant välordnat universum kan

man definiera en "kosmisk tid" t (om t ex universum expanderar kan krökningen i principanvändas som ett tidsmått; är universum statisk går det att synkronisera klockor i universummed hjälp av ljussignaler; alla modeller som satisfierar det sk "Weyl postulatet" har enkosmisk tidsparameter). Om vi fastställer ett koordinatsystem för vår "epok" t0, kommergalaxernas koordinater att vara konstanta (vi bortser från egenrörelse), medan derasinnebördes avstånd varierar med epoken t enligt en skalningsfaktor R(t) som sätts R(t0) =1 för vår epok.En metrik som uppfyller dessa villkor (symmetrikrav) kan skrivas (Robertson-Walkermetrik),

(95) ds2 = -(cdt)2 + R(t)2dr2 + (ℜ sin(r/ℜ))2(dθ2 + (sin θ dϕ)2).

10.5.1 Gravitationell rödförskjutning

Metriken (95) innehåller bara en funktion, skalningsfunktionen R(t) (skall intesammanblandas med Riemann-skalaren), och en konstant ℜ som betecknar universums

krökningsradie i nuvarande epok. Faktorn till R(t)2 är en tredimensionell generalisering av

metriken för 2-sfären. Vi ser att om r << ℜ, då motsvarar faktorn till R(t)2 en plan Euklidiskmetrik (flat space) i sfäriska koordinater (om ℜ är rent imaginär har vi att göra med ett

hyperboliskt rum som har negativ krökning ℜ-2). Av metriken (95) framgår att t äregentiden som mäts av observatörer med konstanta koordinater; dvs, en medföljande(comoving) observatör. Avståndet från jorden till en medföljande galax varierar med epokensom R(t). För ett expanderande universum växer R(t) med tiden och ljuset rödförskjuts irymden genom att våglängden töjs ut i takt med universums expansion (rödförskjutingenföljer av skalningsfaktorns tidsberoende). Ljus som når oss från en avlägsen galax måste hastartat vid en tid te < t0 långt före vår epok, och dess våglängd har därför ökat med enfaktor R(t0)/R(te),

(96) λo/λe = R(t0)/R(te) = 1/R(te).

Ekvationen för ljusstrålen från galaxen till jorden ges av ds2 = 0 med dϕ = dθ = 0, vilkenman använder för att härleda (96) (se figuren).

[Om koordinatavståndet r är konstant mellan jorden och galaxen har vi

t(te)∫ dt/R(t) = r/c = konstant,te

där ankomsttiden vid jorden skrivs som en funktion t(te) av emissionstiden te. Betraktar vitvå signaler som startar vid te = t* och te = t* + Dte, då fås skillnaden vid jorden, Dto,

genom att differentiera föregående integral visavi te: R(to)-1Dto/Dte - R(te)-1 = 0.]

r

ct

r0 re

c te

c t0

Den kosmiska rödförskjutningen i ett expanderandeuniversum. Två ljussignaler skickas iväg frångalaxen vid re och epoken te. Deras tidskillnad ärvid re lika med Dte och har töjts ut till Dt0 vid jorden vid epoken t0 pga av expansionen.

Dte

Dt0Relation mellan tid-intervallerna vid jordenoch galaxen:

R(t0)/ Dt0 - R(te)/ Dte = 0

Ekvation för ljusstråle

cdt/dr = - R(t)

från galaxen till jorden:

Jorden Galaxen

Genom att mäta rödförskjutningen kan man fastställa skalningsfunktionen R(t) ifall visamtidigt känner till te i (96). För det senare har vi endast indirekta metoder. Man kanförsöka "loda" rymden och räkna antalet galaxer med en viss rödförskjutning; man mätermagnituden hos en utvald typ av stjärnor, "standard candles" (t ex Cepheid-variablerna ochklass Ia supernovor), som fungerar som fyrbåkar i universum och relaterar detta till derasrödförskjutning; man försöker bestämma den genomsnittliga masstätheten ρ i universum;osv. Dessa resultat försöker man sedan anpassa till teoretiska modeller och deras ekvationerför R. Efter systematiska stjärnlodningar publicerade E Hubble 1929 ett resultat medslutsatser som förbluffade den dåtida världen; nämligen, att universum utvidgas. Hubble fannatt galaxernas avstånd r (bestämda med hjälp av magnitudmetoden och de sk Cepheid-variablerna) linjärt korrelerade med rödförskjutningen,

(97) cz = Ho r ("Hubbles lag", en approxiamtion),

där z är rödförskjutningsparametern definierad genom 1 + z = λo/λe. (År 1923 hade HWeyl observerat att i de Sitter modellen gäller dR(t)/dt = Ho R(t) exakt, med Ho konstant. Iartikeln med ekv (97) hänvisade Hubble också till denna "de Sitter effekt".) Tolkar manrödförskjutningen som en följd av att galaxerna rör sig iväg bort från oss (och varandra)betyder Hubbles resultat att universum expanderar (hastigheten enligt Dopplertolkningenmotsvarar v = cz då z << 1). Enligt de relativistiska kosmolgiska modellerna är detta sammasak som att skalningsfaktorn R(t) växer med tiden. Hubbleparametern Ho är kosmologinsviktigaste parameter som också är förknippad med en irriterande osäkerhet. Värdenavarierar mellan 50 till 100 km per sekund per megaparsec beroende på vem man frågar.

Färska gissningar ligger kring Ho = 70 km s-1 Mpc-1 (67 km s-1 Mpc-1 enligt Riess et al.,

Astrophys. J. 438 L27, 1995). Hubbles ursprungliga värde var omkr 500 km s-1 Mpc-1.

(1 pc = 3.26 ljusår ≈ 3 ×1016 m; Mpc = megaparsec.) Hubbles relation (97) är användbarupp till omkr 1000 Mpc:s avstånd.

10.5.2 Ekvationer för Universum - Friedmann modellerna.

Kombinerar vi metriken (95) med Einsteins fältekvationer och antar att energi-

impuls tensorn endast innehåller en term för mass-energi täthet (ρ c2) och tryck (p) [Tµν =

diag(ρ c2,-p,-p,-p) i medföljande koordinatsystem] erhåller vi ett mycket enkelt set avekvationer för universum,

(98) 3(1 + (dQ/cdt)2)Q-2 = (8πG/c4) ρ c2 (= (8πG/c4)T00);

(1 + (dQ/cdt)2)Q-2 + 2 d2Q/dt2 c-2 Q-1 = -(8πG/c4)p;

(Q = Rℜ).

[Att approximera innehållet i universum som ett homogent stoft är hoppeligen en validapproximation i stort. Galaxerna är enligt observationer på ett intressant sätt klumpade iuniversum. Omkr 9/10:delar av universum är tomrum, avgränsade av pannkaksformadegalaxhopar, eller trådliknande formationer (strings) av storleksordningen 100 miljonerljusår.]

Studerar vi universums utveckling i sin "avkylda fas" kan vi försumma trycket ochsätta p = 0 (Friedmann modellen). Kombinerar man då de två ekvationerna (98) erhålls

(99) d(ρ Q3)/dt = 0 ⇔ ρ Q3 = konstant,

vilket kan tolkas som att massan är konstant i universum. En annat intressant omskrivning av(98) är formen (genom att differentiera (98.a))

(100) d2R/dt2 = -(4π/3)RG ρ,

vilket är samma ekvation som man får från Newtons teori genom att beräknatyngdkraftsaccelerationen i utkanten av ett klot med radien R och masstätheten ρ. (INewtons teori blir dock intregrationskonstanten till ekv (100) obestämd.) En uppenbarkonsekvens av (100) är att vi inte kan ha någon statisk lösning med R(t) = konstant ( > 0).Detta störde Einstein 1917 som var inställd på att universum måste vara statisk. Einsteinadderade därför en positiv balanserande term till högra membrum av (100),

(100') d2R/dt2 = -(4π/3)RG ρ + (2/3) ΛR,

som står för en repulsiv kraft (hindrar universum från att kollapsa). Konstanten Λ kallas förden kosmologiska konstanten. Denna extra term uppkommer genom att addera en termΛgµν till Einsteins fältekvationer (87'). Einsteins betraktade senare den kosmologiskakonstanten som det "största misstaget i hans liv". Han missade scoopen att förutseuniversums expansion som Hubble senare upptäckte. Endel anser att han gjorde ett ännu

större misstag när han efter Hubbles upptäckt avfärdade den kosmologiska konstanten somöverflödigt skräp. I de moderna teorierna med inflationsmodellerna uppträder en term av

formen Λgµν som kommer från diverse kvantfält φ [ −Λgµν = (8πG/c4) <Ψ|Tφµν|Ψ>].Einstein kom också att avfärda "singulariteterna", som numera kallas för svarta hål, sommatematiska problem vilka bör avlägsnas ur teorin (vide exv J Bernstein, "The reluctantfather of black holes", Scientific American, June 1996). På 30-talet undersökte Einsteinockså idén om gravitationella linser vilken han bedömde som en försumbar effekt; en effektsom har en viktig roll i modern astronomi. ART kom att ha en större astronomisk ochkosmologisk relevans än vad han själv vågade tro !

Eftersom vi har enligt ekv (99), ρ R3 = ρo Ro3, där ρo och Ro (=1) representerarvärden för t = t0, kan (98.a) skrivas,

(101) (dR/dt)2 = (8πG/3) ρo Ro3/R - Kc2.

Vi har infört krökningskonstanten K definierad genom K = 1/ℜ2. För krökningskonstantenhar vi tre huvudfall:

K > 0 (positiv krökning, slutet rum med elliptisk geometri;vinkelsumman i en triangel överskrider π)

K = 0 (euklidisk geomtri, plant rum; vinkelsumman i entriangel är π)

K < 0 (negativ krökning, öppet rum med hyperbolisk geometri; vinkelsumman i en triangel underskrider π .)

Definiera Hubblekonstanten för vår epok genom Ho = dR(t0)/dt. Eftersom R(t0) = Ro = 1,erhåller vi från (101),

(102) (Ho)2 = (8πG/3) ρo - Kc2.

Vänder vi på steken får vi ett uttryck för K i observerbara storheter:

(103) K = (Ω - 1)(Ho/c)2,

där Ω = ρo/ρ*, med den sk kritiska tätheten ρ* definierad genom,

(104) ρ* = 3(Ho)2/(8πG).

Ifall Ω > 1 är krökningen positiv och från ekv (101) ser vi att universum inte kan expandera

i det oändliga, utan har ett maximivärde Rmax = 8πGρo/(3Kc2) för skalningsfaktorn. I falletΩ < 1 kan expansionen fortgå i det oändliga, och når en asymptotisk linjär expansion avformen R(t) = c t √-K. Masstätheten är inte tillräckligt stor i detta fall för att gravitationenskall orka hålla ihop universum i en ändlig volym. Observationer antyder att Ω liggernågonstans i området 0.1 - 1. (Om uppskattningarna av Hubblekonstanten Ho varierar med

en faktor på 2, ser vi av (104) att uppskattningarna för Ω av detta skäl redan varierar meden faktor på 4.) Ett populärt specialfall är Einstein-de Sitter modellen (de modernainflationsteorierna för Big Bang förespråkar denna modell) med Ω = 1 och en expansion av

formen R(t) = t2/3 (6πG ρo/3)1/3.

Kombinerar vi ekv (101) med ekvationen för en ljustråle från en galax (ds2 = 0),

(105) cdt = -R(t) dr(negativt tecken eftersom r minskar från galaxen mot jorden),

får vi ett samnband mellan galaxens r koordinat och dess rödförskjutningsparameter z =

R(t)-1 - 1 (en motsvarande formell relation som (105) används inom celest mekanik).Ekvationen (101) kan skrivas som (för K ≠ 0)

(106) (du/ds)2 = u-1 - k (k = 1 för K > 0, k = -1 för K < 0)

vars lösning är relaterad till R genom

(107) R(t) = (a/b) u(t √(b3/a2)),

med a = (8πG/3) ρo och b = Kc2. Inför vi en hjälpvariabel x genom ds = u(s) dx, dåskrivs ekv (106) i fallet k = 1 som

(108) (du/dx)2 = u(1 - u).

Definierar vi en ny funktion v genom u = ½ + v kan ekv (108) skrivas på formen

(109) (dv/dx)2 + v2 = 1/4,

som erirnrar oss om den trigonometriska relationen (cos A)2 + (sin A)2 = 1, vilken genastger oss löningen. Vi väljer den speciella lösningen v(x) = -½ cos x vilken resulterar för u ochs,

(110) u(x) = ½(1 - cos x) ⇒ R(t) = ½ (a/b)(1 - cos x)

s(x) = ½(x - sin x) ⇒ t = ½ √(a2/b3) (x - sin x)

(för k = -1 erhåller vi istället hyperboliska funktioner sinh och cosh).

(Ekvationerna (110) motsvarar formellt planetbanornas "Kepler-ekvationer" i celestmekanik.) Från den definierande relationen ds = u(s) dx och ljusstrålens ekvation (105) servi att dx är relaterad till galaxens r koordinat enligt

(111) r = (x*- x) /√(ab) (x = x* är värdet för vilket vi har R(t) = 1 i ekv (110.a))

Därmed har vi ett komplett relationsset (fallet k = -1 är analogt) för galaxens

rödförskjutningaparameter z = R(t)-1 - 1 och dess r koordinat, samt tiden ("epoken") t förljusets emission. Om vi observerar en galax med rödförskjutningsparametern z, kan vi med

hjälp av ekv (110) beräkna emissionstiden te som satisiferar z = R(te)-1 - 1, därefterbestäms galaxens r koordinat genom

tor = ∫ cdt/R(t). te

Från ekv (110.a) observerar vi att i det slutna fallet (K > 0) växer R(t) först och når ettmaximum för att sedan krympa igen. Detta har inspirerat till cykliska modeller för universumsutveckling. Innen beteckningen "Big Bang" (ett nidmann myntat av Fred Hoyle som föredrogSteady State Teorin) kom i allmänt bruk talade exv George Gamow om "the Big Squeeze";en sorts extremt sammanpressat tillstånd efter den senaste cykeln, från vilken det nuvarandeuniversum startade. Det krympande universum ansågs studsa till en ny expansion ("elasticrebound"). (På grund av en ökande entropi anser endel att cyklerna skulle bli allt längre eftervarje ny studs, eftersom universum fylls alltmer av fotoner vilka ger en kraftigare "studs".)

10.5.3 Galaktiskt lantmäteri

Antag galaxen har en vinkeldiameter ∆θ sett från jorden. Då kommer dess verkligadiameter d (vinkelrätt mot synlinjen) enligt metriken (95) att ges genom

(112) d = R(t) ℜ sin(r/ℜ) ∆θ = (1 + z)−1 ℜ sin(r/ℜ) ∆θ.

För ett Euklidiskt rum, 1/ℜ → 0, återfår vi det bekanta uttrycket d = r ∆θ.

d∆θ

Galaxens verkliga diameter d (vinkelrätt motsynlinjen) och dess vinkeldiameter sett frånjorden.

Jorden

Här beräknas r enligt föregående relationer (110) och (111), ℜ fås från relationen K =

1/ℜ2

och ekv (103). Vi kan också citera (eller härleda från föregående ekvationer) ett slutetuttyck för galaxens r koordinat i term av rödförskjutningsparametern z (W Mattig, 1958),

(113) ℜ sin(r/ℜ) = 2c [HoΩ2(1+z)]-1Ωz + (Ω - 2)[(Ωz + 1)½ - 1],

(ℜ = (c/Ho)(Ω - 1)-½),

vilket gäller för alla K värden. (För z << 1 får vi r = (cz/Ho), vilket är "Hubbles lag", som sigbör.) Låt z → ∞ i ekv (113), då erhåller vi r koordinaten r∞ för t = 0, universums "gräns",

genom ℜsin(r∞/ℜ) = 2c [HoΩ]-1. (Inget ljus kommer emellertid därifrån eftersom det äroändligt rödförskjutet.) Samma resultat bör erhållas genom att sätta x = 0 i (111).

Beräknar vi hur geometrin och rödförskjutningen påverkar den energi som mottasvid jorden från en stjärna som totalt utstrålar Lo (energi/tidenhet), erhåller vi

(113.1) So = Lo [4π DL2]-1,

för energin per ytenhet och tidsenhet vid jorden. Det sk luminositetsavståndet DL ges av

(113.2) DL = (1+z) ℜ sin(r/ℜ).

Faktorn (1+z)-2 i (113.1) kommer från rödförskjutningen av frekvensen och tiden, iberäkningen av energi/tidsenhet ( = frekvens/tidsenhet). Faktorn ℜ sin(r/ℜ) i (113.2) har attgöra med att ett teleskop vid jorden med diametern d upptar en vinkel ∆θ, bestämd genomd = ∆θ ℜ sin(r/ℜ), sett från stjärnan.

10.5.4 Universums ålder

För ett expanderande universum enligt modellen (110) kan man räkna universums"ålder" som tiden t0 för vår epok om vi sätter t = 0 med R(0) = 0 som begynnelsen. Viväljer det x* som enligt (110.a) ger R = 1 och beräknar sedan den motsvarande tiden t0

genom att insätta x* i ekv (110.b). För Einstein-de Sitter modellen med R(t) = t2/3

(6πG ρo/3)1/3 erhåller vi direkt t0 genom att lösa R(t0) = 1, vars resultat kan skrivas iterm av Hubbleparametern,

(114) t0 = (2/3)Ho-1 (universums "ålder" enligt Einstein-de Sitter modellen, Ω = 1

Ho-1 ≈ (1/50) × 1012 = 20 miljarder år, för Ho = 50 km s-1 Mpc-1;

Ho-1 ≈ 10 miljarder år, för Ho = 100 km s-1 Mpc-1.

Ålderna i de olika modellerna kan maximalt vara Ho-1; dvs, t0 < Ho-1. Värdet Ho-1 föruniversums ålder är en överskattning eftersom universum expanderade snabbare i början. Etttest för modellerna är, att universums ålder som räknas fram på detta sätt måste vara högreän de uppskattade åldrarna hos de äldsta stjärnor och galaxer man påträffar i universum.Ålder under 10 miljarder år är i det knappaste laget för modellerna. Hubbleuppskattningarav universum ålder rörde sig i september 1996 kring 9 - 12 mrd år. [Enligt uppgifter13.6.96

har man funnit en galaz, 53W091, med en rödförskjutning motsvarande te = 1.6 mrd år efterBig Bang, enligt den kosmologiska standardmodellen, med stjärnor vars ålder uppskattas till3.5 mrd år; dvs äldre än universum vid dåvarande tillstånd !]

10.5.5 "Hot Big-Bang"

"In view of the objections raised by some reviewersconcerning the use of the word 'creation', it should beexplained that the author understands this term, not inthe sense of 'making something out of nothing', butrather as 'making something shapely out of shapeless',as, for example, in the phrase 'the latest creation ofParisian fashion'".George Gamov, "The Creation of The Universe",Viking Press 1952.

"Wo jetz nur, wie unsere Weisen sagen,Seelenlos ein Feuerball sich dreht,Lenkte damals seinen goldenen WagenHelios in stiller Majestät."I Schiller, "Die Götter Griechenlands" (1788).

Expansionsmodellerna implikerar att universum och dess mass-energi vid en tidgarefas varit i ett komprimerat tillstånd. Detta betyder att vi inte längre kan försumma trycketsbidrag i ekvation (98.b). Antar att vi energin domineras av elektromagnetisk strålning kan viför trycket p insätta strålningstrycket som är relaterat till energi-tätheten genom p = (1/3) ρ

c2. [Detta förhållande kan exv härledas med gaskinetiska metoder om vi betraktar ljusetsom en samling bosonpartiklar, fotoner.] Istället för relation (99) får vi då

(115) ρ R4 = konstant = B/c2 (strålningsdominerat universum).

Går vi tillbaka i tiden (minskande R) visar (115) att strålningsenergitätheten växer snabbareän vad mass-energi tätheten växer enligt (99). Härav drog G Gamow slutsatsen att iuniversums tidigare faser dominerade strålningsenergin. Denna slutsats utvecklades till teorinom "hot Big Bang". Redan 1927 framlade Abbé G E Lemaitre ("Big Bang kosmologinsfader") sin teori om att universum uppkom genom radioaktivt söndefall ("explosion") av"uratomen" (nukleärt fluidum, "Ylem", etc), och utvecklade liknande kosmologiska modellersom A Friedmann (1922) på basen av ART.

Använder vi (115) modifieras ekv (101) till

(116) (dR/dt)2 = (8πG/3) B/(c2R2) - Kc2.

I initialfasen är R liten och 1/R2 mycket stor varför vi kan jämförelsevis försumma denkonstanta termen i högra membrum av (116). Med denna förenkling erhåller vi,

(117) R(t) = (32πG B/3c2)1/4 √ t (för expansion i begynnelsen).

Vi kan använda temperaturbegreppet för universum ifall vi antar att där råder enstrålningsjämvikt som följer Plancks lag. Under rödförskjutning är kvoten T/frekvenskonstant, vilket leder till att (1 + z)T = R(t)T är konstant, och att temperaturen varierar som

t-½ med tiden i initalfasen (följer också från villkoret för en adiabatisk expansion). Vi kanockså beräkna temperaturen genom att använda Stefan-Boltzmann relationen för

energitätheten u för strålning med temperaturen T, u = aT4 (a = 7.5 x !0-16 J m-3 K-4).

Vid tiden t erhåller vi energitätheten, enligt ekv (115), som u = ρ c2 = B/R(t)4. Genom

insättning av ekv (117) och användande av T = (u/a)1/4, erhåller vi,

(118) T = [3c2/(32πGa)]1/4 t-½ ≈ 1.5 ×1010 t-½ K (tiden i sekunder).

(Ett spännande faktum är att formeln (118) för universums temperatur innehåller konstantersom alla kan mätas i laboratoriet.) När universum expanderar avkyls den. G Gamowpåpekade 1948 att vi fortfarande borde påträffa lämningar av denna strålning i form avlågtemperaturstrålning som fyller rymden. En dylik "bakgrundsstrålning" upptäcktes faktiskt"i misstag" av AA Penzias och RW Wilson år 1965. (Strålningen notsvarar en temperatur på2.726 ± 0.002 K.)

10.5.6 Vad fanns "före Big Bang" ?

"In other words, the ground state is theamplitude for the Universe to appearfrom nothing."JB Hartle, SW Hawking, Phys. Rev. D(1983).

"In principle, one can predict everythingin the universe solely from physical laws.Thus, the long-standing 'first cause'problem intrinsic in cosmology has beenfinally dispelled."LZ Fang, ZC Wu, International Journal ofModern Physics A (1986).

Vid t = 0 skulle temperaturen enligt (118) bli oändlig, men man kan inte direktextrapolera sambandet till denna "singularitet" (det finns en gräns för hur långt determodynamiska antagadena om jämvikt o likn håller). En tanke är att universum i dennaextrema situation bör behandlas kvantmekaniskt ("kvantkosmologi"). Man har dragit enanalogi till den klassiska atommodellen där elektroner genom elektromagnetisk utstrålningförlorar energi och störtar in i atomkärnan (modellen kollapsar). Kvantmekaniken löstedilemmat genom att ersätta elektronbanorna med en vågfunktion, varvid vi istället förelektronbanor har kvanttillstånd vilka erinrar (formellt) om svängningstillstånd hos strängar

och membraner. Ett sätt att söka undvika singulariteter är att tillåta varierande topologier iform av "rymdtunnlar", såsom Einstein och Rosen förslog redan på 30-talet.

Den enklaste varianten av denna idé är att kvantisera den kosmiskarörelseekvationen (100) på samma sätt som man kvantiserar de Newtonskarörelseekvationerna i kvantmekaniken. Ekv (100) är ju också av "Newton-typ". Blandkvantkosmologerna föreställer man sig att våra vanliga tids- och rumsbegrepp blirkvantmekaniskt "utsuddade" i universums "initialfas" (idéerna om allt dethär brukar ocksådrabbas av en likartad suddighet), varför det inte finns någon tidpunkt t = 0, eller en klaruppdelning i tid och rum. Detta är exv ungefär vad som avses av dem som talar om"imaginär tid". I vissa kvantfältteoretiska beräkningar [och sk Euklidisk fältteori] ersättstidsvariabeln t med it - "i" är den imaginära enheten √-1 - för att hoppeligen fåkonvergerande integraler.

Vad denna räkneteknik - sk Wick rotation - har med tidsbegreppet att göra, haringen kunnat ge ett ordentligt besked om. Det som formellt utmärker tiden i relativitetsteorinär att tidskoordinaten har ett annat förtecken i Minkowski metriken än rums-koordinaterna.Lorentz symmetrin ligger bakom denna skillnad mellan rum och tid. Ifall Lorentz symmetrinupphävs under extrema förhållanden försvinner också denna formella distinktion mellan rumoch tid (Lorentz ART ersätts av Euklidisk ART ). Dylika ansatser anses göra frågor om"vad som föregick Big Bang" överflödiga. Begrepp som kausalitet, före och efter, förlorarbetydelse för det extremt hoppressade tillståndet. Alternativt kan vi föreställa att tidenkvarhåller sin särställning i "Euklidisk ART", men att exv vänstra membrum i ekv (100)ändrar förtecken och kollapsen vänds till en expansion istället. I konventionellkvantkosmologi (DeWitt-Hawking-Hartley traditionen) har universums vågfunktion Ψ ingettidsberoende varför den egentligen inte kan beskriva någon expansion eller kontraktion avuniversum. Formellt hänger detta ihop med att energin E för kvantuniversum är odefinierad,varför Ψ saknar en kvantfaktor av typen exp(-i2πEt/h) som annars brukar signaleratidsberoende i vågfunktioner. Ett förslag är låta universums radie R "spela rollen" som etttidsvariabel.

Modellen med det slutna universum leder också till "the Big Crunch", kollapsen. Detär något otillfredsställande med en teori som visar att universum försvinner. Att ha universumlika med en singulär matematisk punkt är förstås en inkonsistent och meningslös "lösning".Det är därför cykliska teorier varit populära, där man antar att universum på något sättsvänger kollapsen till en ny expansion. (Formellt är ju faktiskt lösningen (110) för ett slutetuniversum en cyklisk funktion.) Eventuellt aktiveras under de extremakompressionstillstånden nya fysikaliska frihetsgrader som är sas "nedfrysta" under "normala"faser och som nu "matar" den kosmologiska konstanten. Med hjälp av den kosmologiskakonstanten får det hopstörtande universum en kvantmekanisk "de Sitter studs" tillbaka till ettexpanderande tillstånd, som sedan följer den klassiska Friedmann modellen. Har dessacykler pågått i "evigheter" eller fanns det en första cykel ? Ett synsätta går ut på att universa"föds" hela tiden "överallt", tom i vårt eget universum. Själv kan vi inte observera fastän ettnytt unversum skulle födas i vårt eget kök. Processen kan förliknas vid en omvänd svartahåls kollaps, och pga av den oerhörda tidsförskjutningen hinner vi därför inte se något av BigBangens utveckling i köket på miljarder år. I det blivande universum föds på samma sätt nyauniversa, och kanske vårt eget universum fötts i någon annans kök, och så vidare adinfinitum (enligt fysikern Y Ne'emans "kosmologiska surrealism") ... i evigheternas evighet (insaecula saeculorum, som faktiskt är en träffande formulering i detta fall).

Kvantkosmologi har behandlat vissa förenklade modeller ("minisuperspace") för attvisa att det i princip finns metoder som kan behandla kollapsproblematiken. Motivationenbakom dessa studier är att Einsteins klassiska teori leder till singulariteter (i svarta hål, BigBang, Big Crunch) där teorins förutsättningar kollapsar (krökningen R blir oändlig). Einsteintrodde att man kunde avlägsna singulariteterna genom att modifiera fältekvationerna (hanlyckades aldrig med beskriva det "totala fältet"), medan man idag istället räknar med attkvanteffekter kommer att spela en viktig roll vid de extrema tillstånden då universums radie

närmar sig den sk Planck längden, Lpl = (hG/c3)½ ≈ 10-35 m. (Här står h för Planckskonstant.)

För en krökningsradie kring Plancklängden blir "Einsteinverkan" (från ekv

(86)) (c3/16πG)∫ R √ -g d4x i storleksordningen G/c3 (Lpl)-2 (Lpl)4 ≈ h. Vi kan ocksåanvända ekv (98) för att uppskatta fluktuationen ∆g hos metriken, genom att sätta

energitätheten (98) multiplicerat med volymen λ3 (volymen för en "graviton" medvåglängden λ) lika med kvantenergin hc/λ. Detta ger för metrikens kvantfluktuation,

(119) ∆g ≈ Lpl/λ,

orsakad av "gravitoner" av våglängden λ. "Fluktuationen" blir betydande då λ närmar sigPlancklängden Lpl. Dylika överläggningar antyder att kvanteffekter blir dominerande iextrema situationer, men en tillfredsställande formulering av kvantgravitationen är fortfarandebara ett hägrande mål.

Situationen erinrar om fysikens tillstånd vid förra sekelskiftet visavi "eterteorin".Kanske vi också håller på och försöker med alltför komplicerade lösningar, eller är alla deenkla lösningarna redan utprövade ?

11. Historik och litteratur

"Vem följer med till Terrasse-caféet ?"Einsteins stående slutreplik vid sinakvällsseminarier som professor i Zürich,1909-1910.

11.1 Vem uppfann relativitetsteorin ?

Relativitetsteorin har sitt ursprung i försöken att harmonisera mekaniken ochMaxwells teori om elektromagnetism. Redan år 1887 framlade Voigt i en avhandling(Göttinger gelehrten Nachrichten) de transformationer som senare kom att kallas (avEinstein) för Lorentz transformationer, vilka utgör grunden för relativitetsteorins kinematikoch dynamik. Senare härledde HA Lorentz, J Larmor och H Poincaré samma formler (HALorentz, Proc. Acad. Sci. Amsterdam, vol 6, 1904). Poincaré introducerade i sinafilosofernade föredrag "relativitetspostulatet" (1899, 1904), och Lorentz föreslog en"kontraktionshypotes" för kroppar i rörelse (liksom GF Fitzgerald år 1889), samt infördebegrepp såsom "ortstid" (Lorentz transformation av tiden). Ändå var det en 26-årigtjänsteman vid Berns patentverk, A Einstein, som lade grunden och utvecklade

Relativitetsteorin ("Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik, bd 17,1905). (Att Einstein fick nöja sig med tjänsten som “patentdräng” berodde på, att när hanmed tre andra utexaminerades från matematik-fysiklinjen vid ETH i augusti 1900, blev handen enda utan assistenttjänst vid ETH.) Lorentz och Poincaré var alltför bundna vid dengamla eterteorin och begreppen absolut tid och rum. De tog inte på fullt allvar tesen att allainertiala system är ekvivalenta, att det inte finns något prioriterat referenssystem sombestämmer en "absolut betydelse" av rum och tid. Kännetecknande är att både Poincaré ochLorentz tog till en början avstånd från Einsteins teori. (Einstein blev god vän med Lorentz.Det var Einstein som införde beteckningen "Lorentz transformationer" för att hedraLorentz..) Detta borde stämma de historikerna till eftertanke som anser att Poincaré ellerLorentz är de egentliga upphovsmännen till relativitetsteorin (dessa historikers åsikter i fråganväger ganska lätt). Einstein mötte Lorentz under Solvay kongressen 1911 i Bryssel ochträffade där bl a Lorentz vilken han beskriver som den mest civiliserade av teoretikerna där,"ein Wunder von Intelligenz und feinem Takt".

Endel oseriösa skribenter har försökt hålla liv i myten om att Eisteins serbiska hustru,Mileva Mari`c (-1948), var upphovkvinnan till relativitetsteorin. Mari`c var den endakvinnliga medlemmen i Einsteins kurs (1896-1900) vid tekniska högskolan (ETH) i Zürich,som var en av de få akademiska institutioner i dåtida Europa som tillät kvinnliga studeranden(hon hade först börjat studera medicin men övergick sedan till matematik och fysik). Mendet finns inget som visar att Mari`c någonsin ägnade sig åt forskning eller skrev artiklar. Desom hävdar att Mari`c ligger bakom relativitetsteorin har svårt att förklara varför hon aldrigsjälv nämnde något därom eller fortsatte att forska i ämnet. Knappast finns det någon orsakatt betvivla A Einsteins intellektuella ärlighet när han redovisat dem som inverkat på hansarbeten. Om man skall här ta fram de mindre smickrande sidorna hos Einstein, är detkanske hans misslyckande som make och familjefar. [En fråga som mystifierar biografernagäller dottern "Lieserls" öde. Mari`c födde flickebarnet i januari 1902 och hon omnämns ideras korrespondens (Mari`c bodde hos sina föräldrar). Lieserl är ur bilden när de gifter sig1903. Hade hon adopterats bort eller dött i någon barnsjukdom ? I september 1996cirkulerade en tidningsnotis enligt vilken omktr 400 brev från Einsteins till Mari`c kommer attsäljas på auktion för en uppskattad summa på $ 2000 000. Breven hittades i ett bankvalv1986.]

För dem som växt upp efter 1905 kan det vara svårt att föreställa hur fäst dåtidensfysiker var fäst vid eterteorin. Man tänkte sig att de elektromagnetiska fälten måste ha ettmedium (eter, ty. Äther) att propagera i, analogt med vad gäller ljudvågor. Lorentzidentifierade etern med det "absoluta rummet". Michelson och Morley uppställde år 1881 ettsedermera berömt experimentarrangemang med avsikt att mäta "etervindens" inflytande påljushastigheten. Man antog att ljusets hastighet på jorden beror på huruvida ljuset går iriktning "motströms" eller "medströms" relativt "etervinden". Michelson och Morley användeett L-formad vridbart arrangemang som mätte ljushastigheten i två vinkelräta riktningar.Deras mätning baserades på intereferensfenomenet; man delade upp ljuset i två strålar somskickades i vardera armen och studerade de reflekterade strålarnas interferensmönster(fasskillnad) med apparaten ställd i olika riktningar. Inga märkbara skillnader upptäcktes i deolika riktningarna, vilket motsade hypotesen om att jorden rör sig relativt det absolutarummet och etern. Det var för att förklara denna "paradox" som Lorentz och Fitzgerald(1892) introducerade "kontraktionshypotesen". Man tänkte sig att mätstavar förkortas när

de rör sig relativt det absoluta rummet vilket skulle förklara varför man vid mätning inte erfarnågon skillnad i ljushastigheten. Einstein utgick däremot från en logisk och begreppslig analysav relativitetsprincipen och Maxwells teori och vari kanske inte ens medveten omMichelson-Morley experimentet då han författade sin artikel 1905.

11.2 Ljusets hastighet

Under Galileis tid debatterades det fortfarande huruvida ljuset hade en ändlig elleroändlig utbredningshastighet. Galilei föreslog (1638) att mäta ljushastigheten i nattensmörker, genom att vid en viss tidpunkt t0 avtäcka en lykta som observeras av den andraexpeimentaron på 3 mils avstånd (enligt Galileis beskrivning), som då avtäcker sin lykta varsljus observeras av den första observatören vid, säg, tiden t1. Ljushastigheten uppskattas dåenligt formeln c = 2d/(t1-t0). Med dåtidens tidmätningsutrustning var detta ett omöjligtföretag. Ifall den andra experimentatorn satts på månen skulle det kanske bli en rimlig tid föratt reagera på signalerna; det tar ljuset omkr ett par sekunder att åka framåter mellan jordenoch månen. Den första kvantitativa uppskattningen av ljushastigheten använde sig faktiskt avde astronomiska avstånden.

Den första beviset på att ljusets hastighet är ändligt gavs av den danske astronomenOlaf Römer år 1676 i ett sinnrikt argument. Römer observerade att förmörkelsetiderna förJupiters månar förskjöts framåt eller bakåt beroende på om jorden råkade vara på väg moteller från Jupiter. Römer antog att tidskillnaderna berodde på att ljuset hade varierande långväg att tillryggalägga mellan jorden och Jupiter. Använder man Römers data kommer manfram till en ljushastighet nära 220 000 km/s. Skillnaden på 80 000 km/s från det verkligavärdet (omkr 300 000 km/s) berodde på en överskattning av omloppstiden. Det harpåpekats att Römers stora bedrift inte främst var att han kunde i princip nå fram till ett värdeför ljushastigheten. Hans enastående upptäckt var att ljuset har en ändligutbredningshastighet. Symptomatiskt är att Römer brydde sig inte ens om att räkna ut värdetför ljushastigheten i sin artikel. Huvudpunkten var att visa att den var ändlig, i motsatts tillden rådande uppfattningen vid denna tid (och en ansenlig tid framöver).

Ett annat astronomiskt bevis för en ändlig ljushastighet fann James Bradley (1727) iden sk aberrationen (som observerats redan av Picard, Flamsteed, Manfredi och Cassini).Under jordens årliga vandring kring solen verkar fixstjärnornas postioner variera (med denårliga parallaxen borträknad). Antag man har en vagn som färdas med hastigheten v relativten fixstjärna S vinkelrätt mot en ljustråle från S. Om ljustrålen (se figuren) kommer in genomen öppning A i väggen så träffar den inte väggen bakom precis mittemot vid B utan i punktenB*, där BB* = vt är sträckan som vagnen hinner tillryggalägga under den tid t det tar förljuset att passera genom vagnen. Från detta räknar man fram aberrationsvinkeln. Enligtanekdot skulle Bradley kommit underfund med principen för aberrationen, då han vid enfärd längs Themsen hamnade ut för regn. "Då han stigit ombord och fartyget begynte röra sigsnabbt, förundrade han sig, huru regn utan vind kom framifrån mot hans ansigte, samteftersinnade vidare öfver orsaken härtill", meddelar Hj Tallquist i en uppsats omaberrationen från 1914.

v

vt

ct

På grund av den relativa hastigheten v

S S*

och ljusets ändliga hastighet c, syns stjärnan S på siktlinjen S* sett från referenssystemet R'.

αtan =vt/ct = v/c

α

A

BB*

x

y

J Bradleys förklaring av aberrationen:

R'

Från mätning av aberrationsvinkeln kan manuppskatta ljushastigheten, ifall man kännerjordens omloppshastighet.

Detta exempel är intressant ur relativistisk synvinkel om vi använder principen omkonstant ljushastighet. Sett från vagnreferenssystemet R' tillryggalägger ljuset en sträcka ct' =

(L2 + (vt')2)½, där L är vagnens bredd som kan lösas ur ekvationen och skrivas L = ct'(1 -

(v/c)2)½. Sett från det "vilande" referenssytemet R har vi ct = L = ct'(1 - (v/c)2)½ vilket

motsvarar den relativistiska formeln för tidstransformationen: ∆t' = γ(∆t - v∆x/c2), där ∆x =0 (x-axeln är i v:s riktning och ljustrålen har i referenssystemet R ekvationen x = konstant).Den relativistiska formen av geometrisk optik studeras behändigast med hjälp av fyr-vågvektorn k = (ω/c,k) och dess Lorentz transformationer.

Den första "laboratoriemätningen" (skedde utomhus) av ljushastigheten utfördes avAH Fizeau år 1849 som med en enkel genialisk metod kringick behovet av en hyperexakttidmätare. Han använde sig av avståndet på 8613 meter mellan Montmatre och Suresnesdär en spegel i ena ändan reflekterade tillbaka strålen. Vid ljuskällan roterade ett kugghjulmed 720 tänder. Fizeau observerade att vid lågt varvtal blockerades det reflekterade ljuset,men då då varvtalet ökades till 25 varv per sekund, återkom det reflekterade ljuset genomföljande hack. Tidsskillnaden mellan två hack blir 1/(720 × 25) = 56 µs vilket ger enuppskattning på c = 311 000 km/s. Mättekniken förbättrades succesivt av Arago, Cornu,Foucault, tills Michelson 1926 var uppe i en noggrannhet på 4 km/s.

11.3 Relativitetsteorins reception

Till en början var inte mottagandet av relativitetsteorin precis översvallande. AEinstein var år 1905 en okänd man utan akademisk befattning. Stilen i hans artikel var också

radikalt annorlunda än vad kutymen föreskrev. Artikeln från 1905 saknar t exlitteraturhänvisningar förutom en hänvisning till HA Lorentz (Einstein kände till Lorentz'arbete från 1895). Artikeln var en analys tour de force av fysikens grunder. Tidens främstateoretiker insåg nästan genast alla genialiteten i Einsteins arbete. (Den första som tog kontaktmed Einstein efter publikationen var M Planck, en av fysiken stora gestalter och Einsteinshjälte.) Trots detta fick Einstein aldrig Nobelpriset för den speciella eller allmännarelativitetsteorin. (Einstein tilldelades 1921 års Nobelpris år 1922 för sin ljuskvantumhypotessom han framlade samma år 1905. Hans tredje stora bidrag denna annus mirabilis varartikeln om Browns rörelse som slutligen övertygade de sista kvarvarande skeptikerna omatomernas existens.) Den allmänna relativitetsteorin fick en sensationell bekräftelse vid 1919års solförmörkelse då man mätte ljusets avböjning hos ljus från stjärnor som passerade närasolranden, vilken förutsades av ART. Händelsen blev en världssensation och gjorde Einsteintill en internationell megastjärna.

Den speciella relativitetsteorin fick stöd i experiment med elektroner. Mass-energiformeln hade bekräftats omkring 1915. Den främsta orsaken till varför Einstein inte fickNobelpriset för relativitetsteorin anses vara att Nobelkommittén anlitade professorn ioftalmiatrik i Uppsala, Allvar Gullstrand, för att granska teorin. Hans utlåtande var att deninte är värd ett Nobelpris! (Gullstrand hade själv tilldelats Nobelpriset i medicin 1911,samma år invaldes han i Nobelkommittén.) Gullstrand missförstod bl a Einsteins analys avMerkurius' perihelrörelse. Filosofen A Hägerström å sin sida invände mot "logiska luckor" iEinsteins teori. Kan nämnas att G Nordström var en av dem som nominerade Einstein förNobelpriset 1921.

Även i Finland dröjde det innan relativitetsteorin slog rot. Gunnar Nordström (1881-1923), som blev Finlands främsta expert på relativitetsteorin, disputerade år 1908 (efterstudier i Göttingen) med avhandlingen "Die Energiegleichung für das ElektromagnetischeFeld bewegter Körper" (med prof Hj Tallquist som opponent) utan att nämna Einstein ellerrelativitetsteorin. Men redan 1909 höll han ett föredrag om relativitetsteorins grunder ("Rumoch tid enligt Einstein och Minkowski", Finska Vetenskaps-Societens Förhandlingar. LII.1909-1910. Afd. A. N:o 4). (Biografiska anteckningar om Nordström med biblografiskauppgifter finns i E Isakssons och R Keskinens artikel, "Gunnar Nordström (1881-1923)",Arkhimedes 33, no. 2, 1981.) Så sent som 1914 skrev nämnde prof Hj Tallquist en uppsatsom "De fysikaliska förklaringarna av aberrationen" (i "Festskrift tillegnad Anders Donner",Helsingfors 1915) på 80 sidor med omständiga utvecklingar om "eterns medsläpning" mm.

Problemet utgjorde att förklara aberrationen då man observerade en stjärna medexv ett vattenfyllt (destillerat vatten!) teleskop. Ifall man naivt kombinerar Bradleysargument med idén om att vattnet "drar med sig etern" får man att aberrationen ändras idetta fall i motsats till de experimentella resultaten av bl a Airy från 1871. Använder manrelativitetsprincipen föreligger inga problem. Sett från referenssystemet R' (vagnen i figurenovan) kommer strålen från riktning S* (helt enligt Bradleys argument) i vilken man måsterikta teleskopet för att se stjärnan oberoende om teleskopet är vattenfyllt eller inte.Diskussionen om den astronomiska aberrationen är ett exempel hur man göra enkla sakersvåra genom att fastna i räknemässiga detaljer (linsernas tjocklek, slipning, osv) och inte sehelheten och de allmänna principerna. Det var detta Poincaré och Lorentz fastnade i vid sinadiskussioner av "första och andra ordningens korrektioner" medan relativitetsteorin löserproblemen i en enda handvändning med några enkla postulat. I sin uppsats ägnar faktiskt

Tallquist de fem sista sidorna åt relativitetsteorin, men presentationen tar inte fasta pårelativitetsprincipen, utan blir en omständig räkning utgående från Maxwells ekvationer, ochLorentz transformationerna för vilka han inte ger någon härledning. Många levde förmodligeni den föreställnngen, att det som verkar vara ett komplicerat problem också måste ha enkomplicerad lösning.

Aberrationen spökar också i en liten obskyr finsk skrift som jag en gång hittade påett antikvariat (A Kalaja, "Einsteinteorian perusteet - Kirjoitettu yliopistolliseksiväitöskirjaksi", Kotka 1931). Einsteins teori anses av författaren vara "kaiken logillisenajattelimisen ulkopuolella". Jag hoppas uppsatsen aldrig blev godkänd i någon form;författaren förstår uppenbarligen inte exv begreppet transformation (ett begrepp som är långtifrån trivialt, dock). Intressant är att läsa avsnittet om relativitetsteorin i den första upplaganav Lennart Simons "Fysiikka" (WSOY 1946, s. 430-432), som blev grundläroboken i fysikvid de finländska universiteten. Bland annat inför man den "relativitiska massan" mγ sompåstås följa från den allmänna relativitetsteorin, och man hänvisar i sammanhanget också tillde Sitters modell för ett slutet universum. En ganska konfys framställning. Den förstafinländska monografin om relativitetsteorin torde vara astronomen G Järnefelts "JohdatusSuhteellisuusteoriaan" (Otava 1954). Jämför också Hj Tallquists, "Teoreettinen Fysiikka I"(1937). Filosofen E Kaila granskar relativitetsteorins betydelse i "Einstein-Minkowskininvarianssiteoria" (Ajatus XXI, 1958). År 1963 utkom akademikern Rolf Nevanlinnas"Suhteellisuusteorian Periaatteet" (WSOY 1963) baserad på föreläsningar från 1962 för enbredare publik. Boken är mycket grundlig och insiktsfull - de första 127 sidorna går till attdiskutera geometrins grunder! (Utkom också på tyska som "Raum, Zeit und Relativität",Stuttgart 1964, och på svenska.)

Einstein besökte aldrig Finland trots flitigt resande. I juli 1923 föreläste Einstein infören publik på 2000 personer i Jubileumshallen i Göteborg, vid stadens 300-års jubileum.

11.4 Realtivitetsteorins senare utveckling

"Man kan, som af det anförda framgår, icke påståatt Einsteins och Minkowskis teorier blott vorespekulationer 'ins Blaue hinein' utan kontakt med verkligheten.Fastmer ge de experimentella resultaten dem ett ickeoväsentligt stöd, och däri ligger dessa teoriersstora betydelse."Gunnar Nordström, 1909.

Relativitetsteorin förblev en lång tid en hobby för matematiker och filosofer.Situationen ändrades på 60-talet då man med hjälp av radar kunde probera dimensionerna isolsystemet. Bland annat upptäckte man att radioekot från planeterna fördröjdes på ett sättsom endast kunde förklaras med ART. År 1959 hade Rebka och Pound gjort sitt berömdaexperiment som bekräftade den gravitationella rödförskjutningen. På 60-talet upptäckte manockså kvasarerna, enormt intensiva strålningskällor, vars enda möjliga förklaring tycks varaen energimekanism baserad på svarta hålens gravitationskraft. Överhuvudtaget kanastrofysiken sägas utgöra en av relativitetsteorins främsta användningsområden och"laboratorium". Åren 1964-1975 brukar räknas som den teoretiska svarta hål forskningens

"golden age". Upptäckten av pulsarer (neutronstjänror) 1967 - samma år som JA Wheelermyntade begreppet "black holes" - stimulerade också intresset för relativitetsteorin. Denrelativistiska kosmologin revolutionerade vår uppfattning om universum iom Big Bang teorinoch upptäckten av bakgrundsstrålningen (Penzias och Wilson, 1965). Och nu mot slutet av90-talet hyser man förhoppningar att det skall bli tekniskt möjligt att mäta gravitationsvågordirekt. På den teoretiska fronten jobbar man med olika ansatser att förena gravitationen medde andra krafterna i "superfysiken" (superstringar, supersymmetri, supergravitation, ...). Tilldetta problemkomplex hör också den olösta frågan om kvantgravitationen. A Ashtekar ochL Smolin t ex har funnit nya sätt att matematiskt formulera ART vilka har väcktförhoppningar om att kunna konstruera en konsistent kvantgravitation.

11.1 Litteratur

Historia, vetenskapsteori, samlingsverk och biografi:

[H1] A Pais, Subtle is the Lord ... The Science and the Life of Albert Einstein, Oxford UP1982. (Standardverket om Einsteins liv och forskning.)[H2] A Pais, Einstein Lived Here, Clarendon Press, Oxford UP 1994.[H3] C Seelig, Albert Einstein - Leben und Werk eines Genies unserer Zeit, Europa, Zürich1960.[H4] B Kuznetsov, Einstein - Elämä, Kuolema, Kuolemattomuus, Progress (1980), 1985.[H5] R Highfield, P Carter, The Private Lives of Albert Einstein, Faber & Faber 1993.[H6] Albert Einstein: Philosopher-Scientist, P Schilpp (ed.), (Library of Living Philosphers,Vol. 7), Evanston, Illinois, 1949.[H7] G Holton, Thematic Origins of Scientific Thought - Kepler to Einstein, Harvard UP1974.[H8] Einstein - A Centenary Volume, AP French (ed.), Harvard UP 1979.[H9] 300 Years of Gravitation, SW Hawking, W Israel (eds), Cambridge UP 1987.[H10] General Relativity - An Einstein Centenary Survey, SW Hawking, W Israel (eds),Cambridge UP 1979.[H11] HA Lorentz, A Einstein, H Minkowski, H Weyl, The Principle of Relativity - ACollection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, Dover1925.[H12] MK Munitz, Cosmic Understanding - Philosophy and Science of the Universe,Princeton UP 1986. (Kosmologi ur sk Wittgensteinskt perspektiv. Exv universums "början"är en "theoretical construct", inget Ding an sich.)[H12] L Pyenson, The Young Einstein - The Advent of Relativity, Adam Hilger 1985.[H13] R Torretti, Relativity and Geometry, Pergamon Press 1983.[H14] AJ Friedman, Einstein as Myth and Muse, Cambridge UP 1989.[H15] PA Bucky, The Private Albert Einstein, Andrews and Michael 1993.[H16] JD Norton, "Einstein, Nordström and the early demise of scalar Lorentz-covarianttheories of gravitation", Archive for History of Exact Sciences, 45, no.1 (15 XII 1992).[H17] D Brian, Einstein - A Life, Wiley 1996.[H18] GN Cantor, MJS Hodge, Conceptions of Ether, Cambridge UP 1981.[H19] Albrecht Fölsing, Albert Einstein - En Biografi, Nya Doxa 1996.

Relativitesteori och Kosmologi:

[R1] CW Misner, KS Thorne, JA Wheeler, Gravitation, WH Freeman 1973.[R2] LD Landau, EM Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press 1975.[R3] V de Sabbata, M Gasperini, Introduction to Gravitation, World Scientific 1985.[R4] JV Narlikar, T Padmanabhan, Gravity, Gauge Theories and Quantum Cosmology,Reidel 1986.[R5] R Adler, M Bazin, M Schiffer, Introduction to General Relativity, McGraw-Hill 1965.[R6] ID Novikov, VP Frolov, Physics of Black Holes, Kluwer 1989.[R7] S Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black Holes, Clarendon Press, OxfordUP 1983.[R8] MS Longair, Theoretical Concepts in Physics, Cambridge UP 1984. (Pedagogiskgenomgång av fysikens grundteorier med två kapitel om relativitetsteorin som bl a innehålleren koncis och klar presentation av kosmologiska tillämpningar)[R9] Quantum Cosmology, LZ Fang, R Ruffini (eds), World Scientific 1987.[R10] M Roos, Introduction to Cosmology, Wiley 1994.[R11] PJE Peebles, Principles of Physical Cosmology, Princeton UP1993.[R12] A Ashtekar, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity, World Scientific1991.[R13] FNH Robinson, An Introduction to Special Relativity and Its Applications, WorldScientific 1996.[R14] PR Saulson, Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detectors, WorldScientific 1994.[R15] B Laurent, Introduction to Spacetime - A First Course on Relativity, World Scientific1996.[R16] RA Mould, Basic Relativity, Springer 1995.[R17] J Foster, JD Nightingale, A Short Course in General Relativity, Springer 1995.[R18] EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics - An Introduction to Special Relativity,WH Freeman 1992.[R19] M Heller, Theoretical Foundations of Cosmology, World Scientific 1992.[R20] Fang Li Zhi, Li Shu Xian, Creation of the Universe, World Scientific 1989.[R21] HH v Borzeszkowski, HJ Treder, The Meaning of Quantum Gravity, Reidel 1988.(Argumenterar att kvantgravitationen, till skillnad från kvantelektrodynamik, inte har någraexperimentella konsekvenser, ifall en sådan teori låter sig överhuvutaget konstrueras. "Thisanalysis proves that it is impossible to distinguish between classical and quantum GeneralRelativity Theory for the extreme case of Planck's order of magnitude." [Preface, vii].Tanken är att materiens - mätkroppens - kvantnatur döljer alla eventuella kvantfluktuationerhos gravitationsfältet. Detta utesluter inte att kvantgravitationen kan vara av betydelse försingulariteterna i ART.)[R22] AS Eddington, Space, Time and Gravitation, Cambridge UP 1920.[R23] RC Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Clarendon Press 1934.[R24] S Hawking, R Penrose, The Nature of Space and Time, Princeton UP 1996.[R25] R Brout, F Englert, E Günzig, "The creation fo the universe as a quantumphenomena", Ann. d. Phys. 115, 78 (1978).[R26] DG Blair, The Detection of Gravitational Waves, Cambridge UP 1991.

[R27] PG Bergmann, V de Sabbata, H-J Treder (eds), Quantum Gravity (Proceedings ofthe 14th course of the International School of Cosmology and Gravitation, 12-18 June1995, Erice, Italy), World Scientific 1996.[R28] M Rees, Perspectives in Astrophysical Cosmology, Cambridge UP 1995.[R29] S Clark, Towards the Edge of the Universe - A Review of Modern Cosmology,Wiley 1996.[R30] A Eddington, Space, Time and Gravitation, Cambridge UP 1987.[R31] J Stewart, Advanced General Relativity, Cambridge UP 1994.[R32] YT Chen, A Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, Cambridge UP1993.[R24] J Islam, An Introduction to Mathematical Cosmology, Cambridge UP 1992.[R25] CM Will, Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge UP 1993.[R 26] E Scrödinger, Space-Time Structure, Cambridge UP 1985.[R27] Leo Sartore, Understanding Relativity - A Simplified Approach to Einstein’sTheories, University of California Press 1996.

Populärvetenskap:

[P1] P Davies, I Rättan Tid - Einsteins Ofullbordade Revolution, Prisma 1995.[P2] KS Thorne, Black Holes & Time Warps, WW Norton & Co 1994.[P3] JA Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, WH Freeman 1990.[P4] J Silk, A Short History of The Universe, WH Freeman 1994.[P5] J Silk, The Big Bang, WH Freeman 1988.[P6] JV Narlikar, From Black Clouds to Black Holes, World Scientific 1996.[P7] JD Barrow, Universums Födelse, Natur och Kultur 1995.[P8] P Davies, De Sista Tre Minuterna, Natur och Kultur 1995.[P9] S Weinberg, De Tre första Minuterna, Rabén & Sjögren 1980.[P10] PW Atkins, Creation Revisited, WH Freeman 1992.[P11] M Begelman, M Rees, Gravity's Fatal Attraction - Black Holes in the Universe, WHFreeman 1996.[P12] D Goldsmith, Einstein's Greatest Blunder ? Harvard UP 1995. (Beskriver denmodärna kosmologin - förlagets PR-avdelning är tydligen upphovsmän till boktiteln.)[P13] I Novikov, Black Holes and the Universe, Cambridge UP 1995.[P14] JP Luminet, Black Holes, Cambridge UP 1992.

Verk av Einstein:

[E1] The Collected Papers of Albert Einstein, J Stachel et alii (eds), Princeton UP. Band 1utkom 1987; bd 2, 1989; bd 3, 1993 (material fram till år 1911). Utgivningen fortsätter.[E2] A Einstein, Om Naturvetenskapen (uppsatser från samlingen "Out of my later years"),Prisma 1993.[R3] A Einstein, Min Världsbild, Bonniers 1934.

Multimedia:

[M1] A Brief History of Time on CD-ROM: An Interactive Adventure with Stephen WHawking, WH Freeman 1994.[M2] William J Kaufmann III, Universe 4.0 on CD-ROM, WH Freeman 1994.[M3] The Ultimate Einstein, CD-ROM for Windows, Macmillan Interactive Publishing1995. (Multimedians "bibliotek" innehåller texten till Ronald Clarks "Einstein: His Life andTimes" (Avon 1972), men inte i någon värst läsbar form. Inkluderar också "Ideas andOpinions" och "Autobiographical Notes" av Einstein.)[M4] Redshift 2, CD-ROM. 1996. (En "klassisk" multimediaprodukt inom astronomi.)