ESCOLA POLITÉCNICA DA USP

ENGENHARIA MECÂNICA

PME 2371 – Modelagem de Sistemas Mecânicos

Modelagem: Pantógrafo de Trens e

Bondes Elétricos

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PME2371 – Modelagem de Sistemas Mecânicos

Prof. Décio Donha e Prof. Agenor Fleury

Integrante do grupo / Assinatura

Leandro Nunes Leite 6797122

Fernando Grieco 6851842

Paulo Henrique Ferreira 6849025

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1. Introdução

O trabalho desenvolvido na disciplina de “Modelagem de Sistemas Mecânicos”

tem por finalidade desenvolver a habilidade do aluno em modelar sistemas de

diferentes origens a fim de obter o melhor resultado em termos de modelagem

matemática que poderá ser simulada posteriormente para análise de seus

resultados. Com isso, é visa-se capacitar o aluno a utilizar ferramentas

numéricas e softwares para análise de sistemas dinâmicos, particularmente o

Scilab. O tema do trabalho escolhido foi a modelagem de um pantógrafo de

bondes e trens.

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2. Modelo Fisico

2.1. Hipóteses Simplificadoras

Devido à grande complexidade do problema do mundo real, devemos

fazer hipóteses que nos permitam criar um modelo físico-matemático, no qual

podemos iniciar um estudo sobre o problema. Algumas destas hipóteses são

descritas abaixo:

- As barras foram tratadas como delgadas, de massa “m”, comprimento

“a” e inércia “Jz” em relação ao centro de massa;

- A análise foi feita a parâmetros concentrados, tal que as massas m1 e m2

foram consideradas pontuais.

- Foi feito o estudo de apenas um grau de liberdade do sistema. Portanto,

foi considerado somente o movimento no plano vertical do sistema;

- Devido à simetria do dispositivo mecânico, todo equacionamento foi

realizado para somente um lado do mesmo, e de forma análoga para o

outro lado, de forma a compor o resultado final do modelo físico do

sistema;

- Há somente amortecimento viscoso entre as barras e entre as barras e

os mancais;

- A coordenada y do modelo da linha aérea varia senoidalmente com a

posição tal que a velocidade do carro é constante e igual a v e o

comprimento de onda da forma da linha aérea é λ;

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- A posição de equilíbrio dinâmico do pantógrafo ocorre em θ=π4

, o qual

foi tomado como regime estacionário do movimento;

- A aceleração na posição de equilíbrio θ=π4

, visto o equilíbrio estático de

forças agindo sobre o sistema, deve ser nula, pois a resultante é nula, θ

= 0.

Figura 1- Representação do modelo físico simplificado

2.2. Circuito Mecânico

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3. Modelo Matemático

O modelo matemático (equacionamento) pôde ser deduzido a partir da

equação de Lagrange. Para tanto, escrevemos as expressões de energia,

cinética, potencial e dissipações.

Energia associada às barras:

Figura 2-Representação das barras e amortecedores

J z=m a2

12

T 1=12

m vb1²+12

Jzb 1

Ω2=16

mθ2a2=T 3

T 2=12

m vb2²+12

Jzb 2

Ω2=16

m θ2a2=T 4

V 1=12

mgasenθ=V 3

V 2=32

mgasenθ=V 4

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Energia associada aos amortecedores rotacionais viscosos:

Rc 1=12

c1θ2=Rc 3

Rc 2=12

c2 θ2=Rc 4

Rc 6=12

˙c6(2θ)2=Rc5

Energia dada à mola k1:

Figura 3- Representação da mola K1

x1=2bsen(θ−θ0)

V k 1=k1 x12

2=2k1b

2 sen2(θ−θ0)

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Força generalizada dada à mola k2:

Figura 4-Representação da mola K2

Seja :F=k 2 (Y− y )

F=k2 (Y−2asenθ )

Como :Qθ=F∂r∂θ

, e r=2asenθ ,

Temos :Qθ=2k2a (Y −2asenθ )cosθ

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Equações para as massas m1 e m2:

Figura 5- Esquematização das massas

y=2a senθ

y=2a θ cosθ

Tm1=2m1a2 θ2cos2θ

Tm2=2m2a2 θ2 cos2θ

V m1=2m1gasenθ

V m2=2m2gasenθ

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3.1. Equação de Lagrange

ddt ( ∂ L

∂ θ )−∂ L∂θ

+ ∂ R∂θ

=Qθ

Sendo :

T=¿ΣT=23

m θ2a2+2(m1+m2)a2 θ2cos2θ

V=ΣV=2 (m1+m2+2m ) gasenθ+2k1b2 sen2(θ−θ0)

R=ΣR=(c1+c2+4 c6) θ2

L=T-V

3.2. Equação não-linear final do movimento:

[ 43 ma2 secθ+4 (m1+m2 ) a2 cosθ] θ+¿

w f =2 πv

λ,onde f e v sãoconstantes

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4. Linearização do modelo

Após a dedução da equação do movimento, uma linearização da mesma

precisa ser realizada para se obter uma equação mais simples para se

trabalhar.

Foi escolhida a linearização por expansão em série Taylor, em torno do

ponto de equilíbrio θ=π4

(45° ¿ ,o qual foi estabelecido como condição de

regime estacionário, desprezando termos de ordem superior a 2.

Na linearização, supomos que próximo ao equilíbrio: θ=0, θ deve ser

máximo, ao qual foi atribuído um valor ω constante, a ser determinado.

Assim conseguimos chegar à seguinte equação linearizada:

[ 43 √2m a2+2√2 (m1+m2 )] θ+2√2a2ω2 (m1+m2 )[(θ−π4 )+( θ−ω)+1]+2√2 (c1+c 2+4 c6 )[ω+ω (θ− π

4 )+( θ−ω )]−4√2 ( m1+m2 ) a2ω [1+(θ−π4 )+( θ−ω )]+2 (m1+m2+2m ) ga+√2K1b

2 (4θ−π )+ √22

K2a2 (4 θ−π+4 )=2K2aY 2 sen (ωft )

Decidiu-se ainda, a fim de eliminar os termos constantes, em realizar uma

simplificação por variáveis incrementais, substituindo as variáveis por uma

média mais uma parcela flutuante do seguinte modo:

Sejam:

θ=θ+θ=π4

+θ=¿ θ=θ−π4

; θ=θ+ ˙θ=ω+ ˙θ=¿ ˙θ= θ−ω; θ=θ+ ¨θ=0+ ¨θ=¿ ¨θ = θ;

2K2aY 2 sen(ωft)= f ( t ), com f (t )=f (t )+ f (t), assim f ( t )=0=¿ f ( t )=f ( t ).

Logo, para o ponto de operação (equilíbrio) podemos enfim obter uma

equação linearizada para o modelo:

( 23m+m1+m2)a2 ¨θ+(2 ( m1+m2 ) (ω2−1 )+(c 1+c2+4c 6 ) ) ˙θ+( (m1+m2 ) a2ω (ω−1 )+(c1+c2+4 c6 ) ω+2K1b2+ K2a

2 ) θ=√22

K2aY 2 sen(ωft )

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5. Funções de transferência e pólos do sistema:

A fim de tornar a equação linearizada mais fácil de trabalhar e, ao

mesmo tempo, torna - lá mais realista, estabelecemos valores numéricos

para os parâmetros constantes de acordo com estimativas e bom senso.

λ 100 mYo 0,25 mv 10 m/s

m1 1,05 kgm2 0,5 kgm 0,25 kga 1 mb 0,1 m

c1=c3 100

Ns/rad

c2=c4 100

Ns/rad

c5=c6 100

Ns/rad

k1 500 N/mk2 40 N/mwf 0,63 rad/sw -0,0968 rad/sg 10 m/s2

A partir destes dados, podemos simplificar a equação linearizada

por:

2,1 ¨θ+596 ˙θ−7,8θ=7 sen(0,63 t)

Passando para o domínio da freqüência e supondo condições iniciais

nulas, podemos obter a seguinte função de transferência:

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Ω(S)Y (S)

=G ( s )= 4,41

(0,4+s2) (2,1 s2+596 s−50)

Cujos pólos valem:

S1 = -283,72; S2 =-0,0000247+0,632i; S3 =-0,0000247-0,632i;

S4 =-0,0838.

6. Representação do espaço de estado:

Para escrevermos a equação linearizada na forma de espaço de estado,

devemos escreve- la na forma:

x1=θ ;

7. Matriz de transição

8. Análise de estabilidade

9. Simulações no Scilab

10. Domínio do tempo X Domínio da freqüência

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11. Conclusões:

Podemos dizer que este trabalho nos foi de grande aprendizado.

Este nos requisitou, desde o inicio do semestre, dedicação, inteligência,

pesquisa e até associação com outras disciplinas antes estudadas.

Demoramos um pouco para decidir o tema, entretanto achamos

que conseguimos, por fim, uma boa simulação para um caso

simplificado de pantógrafo de bondes.

Destacamos algumas dificuldades durante as etapas do projeto,

como o equacionamento, linearização da equação final, funções de

transferência e toda a parte computacional usando o Scilab.

No equacionamento, ficou evidente que não conseguiríamos

determinar a equação do movimento apenas usando o diagrama de

corpos livres e balanço de forças, pois o sistema juntava um movimento

translacional com um rotacional. Devido a essa dificuldade, apelamos

para a equação de Lagrange, aprendida anteriormente na disciplina

Mecânica B e relembrada durante o atual curso.

Durante a Linearização, alguns parâmetros tiveram de ser

simplificados como a aceleração angular (teta ponto) ao redor do ponto

de equilíbrio( nesse caso, teta 45 graus), para que pudéssemos dar

continuidade ao projeto. Algumas de nossas duvidas foram sanadas,

pelos professores, durante as aulas e atendimentos extraclasses.

Com relação ao Scilab, acreditamos que as aulas de laboratório

foram insuficientes para um aprendizado mais sólido, sendo necessárias

aulas mais focadas no projeto, bem como aulas voltadas somente ao

software e a linguagem em si.

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12. Bibliografia

ACBNEO. O bonde elétrico. Disponível em

<http://www.luiz.delucca.nom.br/acbneo/funcionais_inicial.html>.

Garcia, Cláudio – ‘Modelagem e Simulação’ – Edusp 1997

Ogata, K. – Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall, 3a. Ed., 1997

OoCities. As características do bonde. Disponível em

<http://www.oocities.org/br/gurnemanzbr/acbant/funcionais.html>.

TGVBR. Ferrovias Brasil. Disponível em

<http://tgvbr.protrem.org/phpBB3/viewtopic.php?f=7&t=4406>.

Vibrações. Site da disciplina de Vibrações. Disponível em

<http://sites.poli.usp.br/d/pme2341/>.

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