Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas – CCET

Departamento de Engenharia Química – DEQ

Princípios de Operações Unitárias – Turma A

Determinação da Potência de Diferentes Aletas através

da Condução.

São Carlos, Junho de 2013.

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Sumário:

Resumo pág. 03

Introdução Teórica pág. 03

Materiais e Métodos pág. 07

Resultados e Discussão pág. 08

Conclusão pág. 10

Referência Bibliográfica pág. 11

Memória de Cálculo pág. 11

3

1) Resumo:

O experimento consiste medir as diferentes temperaturas ao longo de três

diferentes aletas, sendo constituídas de dois materiais diferentes e diferentes diâmetros,

a partir disso, pode-se observar a variação de temperatura ao longo da aleta, podendo-se

realizar comparações entre estas.

2) Introdução Teórica:

Uma superfície estendida retrata um caso especial envolvendo transferência de

calor por convecção entre as fronteiras do material e da vizinhança e também por

condução no interior do sólido. A aplicação mais comum deste caso é a aleta, utilizada

especificamente para aumentar a taxa de transferência de calor entrei um sólido e um

fluído adjacente.

A utilização de aletas que se expandem da parede até o fluído adjacente aumenta

a superfície pela qual ocorre a convecção, elevando, então, a taxa de transferência de

calor.

As aletas facilitam a troca de calor, pois fazem o fluído se dispersar em áreas

menores. Elas consistem em células interligadas entre si, onde circula fluído e são

construídas com materiais de excelente condutividade térmica, condição necessária para

diminuir as oscilações de temperatura da base até a extremidade.

Os trocadores de calor utilizam tubos que favorecem a troca de calor,

dependendo de fatores como espaço, custo, peso, etc. As aletas podem ter várias

geometrias, como por exemplo: aleta plana é uma superfície estendida fixada a uma

parede plana; uma aleta anular está fixada a um cilindro e apresenta forma de

circunferência; uma aleta em forma de pino é uma superfície estendida de seção reta

circular.

Para saber o quanto uma aleta pode melhorar a taxa de transferência de calor, primeiro

deve-se realizar a distribuição de temperatura ao longo da superfície estendida. Para tal,

faz-se um balanço de energia considerando como exemplo a aleta da figura 1 abaixo.

4

Figura 1: Esquema utilizado para a demonstração do balanço de energia.

Mesmo que no interior da superfície a condução seja bidimensional, utilizam-se

condições unidimensionais na direção longitudinal x, pois na prática as oscilações da

temperatura nesta direção são muito mais elevadas do que no sentido transversal.

Adotando também condutividade térmica constante, radiação desprezível, regime

estacionário, taxa de convecção (h) uniforme e ausência de efeitos de geração de calor.

Como a energia é conservada,

(equação 1)

Da Lei de Fourier sabe-se que:

(equação 2)

onde Ac é a área da seção reta.

Como,

(equação 3)

Então,

(

)

(equação 4)

5

A taxa de transferência por convecção é expressa como:

( )

(equação 5)

Onde: dAs é a área superficial do elemento diferencial. Substituindo as equações

anteriores no balanço de energia, obtém-se:

(

)

(

) ( )

(equação 6)

Esta expressão é a forma geral de equação de energia para uma aleta. Ela fornece

a distribuição de temperatura, que pode ser utilizada para o cálculo da taxa de condução

para qualquer x.

Para resolver a equação acima é necessário definir uma geometria, como por

exemplo, uma aleta de geometria retangular plana, como na figura abaixo.

Figura 2: figura utilizada para definir a geometria da aleta.

Para as aletas dadas, Ac é uma constante e As é área medida da base até x e P é o

perímetro, sendo As = Px. Derivando Ac e As em relação x e substituindo na equação,

tem-se,

( )

(equação 7)

6

Definindo o excesso de temperatura θ como:

( ) ( )

(equação 8)

Onde T∞ é constante e ⁄ ⁄ , substituindo na equação (7) obtêm-se

(equação 9)

Sendo:

(equação 10)

Uma equação diferencial de segunda ordem linear e homogênea tem como

solução geral a forma:

( )

(equação 11)

Para definir as constantes C1 e C2 é necessário especificar condições de

contorno. Uma delas pode ser em termos da temperatura na base da aleta, onde x = 0 e a

segunda na extremidade, na qual x = L. Resolvendo para C1 e C2 e após manipulações

algébricas, chega-se na equação:

( ) ( ) ( )

( )

(equação 12)

É possível notar que o gradiente de temperatura diminui com a diminuição de x.

Isto ocorre como consequência da diminuição da condução com o aumento de x devido

à perda de calor por convecção. Assim, aplicando a Lei de Fourier na base da aleta

obtém-se o calor total transferido a partir de toda a aleta, dado pela expressão, em x = 0,

7

(5)

(equação 13)

Aletas são usadas com a finalidade de elevar a transferência de calor de um

sólido. Porém, há uma resistência à transferência de calor por condução a partir da base,

motivo pelo qual não há nenhuma certeza de que o emprego de aletas aumente a taxa de

transferência de calor. Para analisar se utilizar aletas é vantajoso ou não, pode-se

calcular a efetividade (εa), dada pela razão entre as taxas de transferência de calor na

presença e na ausência da superfície estendida.

(equação 14)

Onde Ac,b é a área da seção transversal na base.

Para que a utilização das aletas seja útil o valor de εa deve ser o maior possível,

sendo que o uso da mesma é feito quando εa ≥ 2.

3) Materiais e Métodos:

Para o experimento utilizaram-se três aletas, sendo duas de aço inox, que

diferem no diâmetro, e uma de alumínio, conectadas a um vaporizador em regime

permanente, além disso, dispomos de um termopar, paquímetro e régua.

4) Procedimento Experimental:

Primeiramente com a régua mediram-se os espaçamentos entre os furos das

aletas, em seguida, o diâmetro de cada uma delas com um paquímetro. Iniciaram-se

então as medidas de temperatura colocado o termopar em cada um dos furos, esperando

o tempo necessário para a estabilização. As demais medidas foram feitas analogamente,

medindo-se a temperatura ambiente ao final de cada aleta, que podem ser representadas

pela figura 3.

8

Figura 3: Esquema representativo das aletas utilizadas no laboratório para as medidas de

temperatura.

Os dados de cada uma das aletas podem ser observados nas tabelas 1 e 2 abaixo:

Tabela 1 – Dados.

Aleta Material

Diâmetro

(cm)

Diâmetro

(m)

Raio

(m)

L

(m)

Temperatura ambiente

(°C)

A Aço 1 2,5 0,025 0,0125 0,905 30

B Aço 2 1 0,01 0,005 0,905 30

C Alumínio 1 0,01 0,005 0,905 33

Tabela 2 – Dados Condutividade.

Aleta Condutividade térmica do material (W/m.°C)

A 12,8

B 12,8

C 204

5) Resultados e Discussão:

Distribuição da Temperatura na Aleta

Após o sistema estabilizado (regime quasi-permanente), coletaram-se as

temperaturas das três aletas em diferentes pontos que variavam em distância a partir do

ponto de partida (base das aletas). Sendo assim, pela tabela abaixo:

9

Tabela 3 – Medida das distâncias e temperaturas das aletas.

Pontos Distância (m) Tubo A

(Temperatura °C)

Tubo B

(Temperatura °C)

Tubo C

(Temperatura °C)

1 0 72 56 72

2 0,03 62 47 69

3 0,085 48 38 60

4 0,155 38 31 51

5 0,23 33 30 45

6 0,305 30 29 40

7 0,455 29 28 35

8 0,605 28 28 32

9 0,755 27 27 30

10 0,905 27 27 29

Hipóteses:

Condições de regime estacionário;

Condução de calor unidimensional ao longo da aleta;

Propriedades constantes;

Troca de calor por radiação com a vizinhança desprezível.

A maneira como ocorre à distribuição de temperatura ao longo das aletas

analisadas está descrita pelo Gráfico 1 abaixo:

10

Gráfico 1-Gráfico da distribuição de Temperatura em função da Distância.Traço Azul referente a aleta A, vermelho a aleta B e verde a aleta C.

Pode-se observar experimentalmente que a distribuição de temperatura diminui

com o aumento da distancia (x). A imagem abaixo comprova teoricamente que essa

tendência é uma consequência da redução na transferência de calor por condução [qx(x)]

com o aumento de x devido à perda contínua de calor por convecção na superfície da

aleta.

Observa-se ainda no gráfico do experimento que as curvas de temperatura para

diferentes aletas, mesmo os de mesmo material apresentam divergências:

As aletas A e B são de mesmo material, mas variam em relação ao diâmetro;

As aletas A e B são de material diferente da aleta C;

As aletas B e C possuem o mesmo diâmetro, mas variam de material.

Assim, como exposto na tabela 1, é de se esperar que a aleta C, de alumínio

tenha maior perca de calor ao longo da aleta, isso porque sua condutividade térmica é

muito grande quando comparada com as aletas A e B que são de aço, cuja

condutividade é menor, logo, a perda será menor, ou seja, há maior resistência a

passagem de calor. Já para as aletas A e B que são de mesmo material, mas de

diâmetros diferentes, é plausível, como por ser visto na equação (13) que com o

aumento do diâmetro, aumenta-se a área, logo, a transferência de calor, assim, a

mudança de temperatura será mais rapidamente observada na aleta A do que na aleta B,

que possui menor diâmetro.

20

30

40

50

60

70

80

0 0,03 0,085 0,155 0,23 0,305 0,455 0,605 0,755 0,905

tem

pe

ratu

ra (°C

)

Distância (m)

Temperatura versus Distância

11

Quanto maior o valor da condutividade do material, mais rapidamente ocorrerá

transferência de calor para o meio, e quanto maior o diâmetro, portanto a área, maior a

transferência de calor.

Perda de Energia Térmica ao longo da Aleta

Com os dados obtidos no experimento e o coeficiente de transferência de calor

calculado, pode-se plotar os gráficos de perda de energia térmica ao longo da aleta :

Tem-se então :

Aleta A

Aleta B

Material W/(m*K) Kcal/m* s* K

h aço 15,1 0,063

h aluminio 237 0,992

Temperatura (oC) Distância da fonte geradora de calor (m) Area (m²) ΔT (ºC) ΔT (K) Q(kcal/s)

72 0 0 44 317 0,00

62 0,03 0,004523893 34 307 0,09

48 0,085 0,012817698 20 293 0,24

38 0,155 0,023373449 10 283 0,42

33 0,23 0,034683183 5 278 0,61

30 0,305 0,045992916 2 275 0,80

29 0,455 0,068612384 1 274 1,19

28 0,605 0,091231851 0 273 1,57

27 0,755 0,113851318 -1 272 1,96

27 0,905 0,136470785 -1 272 2,35

Temperatura (ºC)

Distância da fonte geradora de calor (m) Area (m²) ΔT (ºC) ΔT (K) Q(kcal/s)

56 0 0 28 301 0,00

47 0,03 0,00207345 19 292 0,04

12

Aleta C

Temperatura (oC) Distância da fonte geradora de calor (m) Area (m²) ΔT (ºC) ΔT (K) Q (kcal/s)

72 0 0 44 317 0,00

69 0,03 0,0020735 41 314 0,65

60 0,085 0,0058748 32 305 1,78

51 0,155 0,0107128 23 296 3,14

45 0,23 0,0158965 17 290 4,57

40 0,305 0,0210801 12 285 5,96

35 0,455 0,0314473 7 280 8,73

32 0,605 0,0418146 4 277 11,49

30 0,755 0,0521819 2 275 14,23

29 0,905 0,0625491 1 274 16,99

Com os valores das tabelas plota-se o Gráfico 2:

38 0,085 0,00587478 10 283 0,11

31 0,155 0,01071283 3 276 0,19

30 0,23 0,01589646 2 275 0,28

29 0,305 0,02108009 1 274 0,36

28 0,455 0,03144734 0 273 0,54

28 0,605 0,0418146 0 273 0,72

27 0,755 0,05218185 -1 272 0,90

27 0,905 0,06254911 -1 272 1,07

13

Gráfico 2- Perda de Energia térmica em função da distância (m)

6) Conclusão:

Concluiu-se que o gradiente de temperatura da aleta aumenta com aumento de x.

Isto ocorre por ser uma consequência da diminuição da condução (redução na

transferência de calor) com a elevação de x devido à perda de calor por convecção.

Pode-se também observar que a condução do calor é unidimensional ao longo da aleta,

que a troca de calor por radiação com a vizinhança é desprezível e que fatores como

diâmetro da aleta e condutividade do material influenciam na transferência de calor para

o meio da seguinte maneira: quanto maior o valor da condutividade do material mais

rapidamente ocorrerá a transferência de calor para o meio e quanto maior o diâmetro da

aleta maior a transferência de calor também.

7) Referência Bibliográfica:

HOLMAN, J.P: Transferência de Calor. Trad: Luiz Fernando Milanez. São Paulo:

ed. McGraw-Hill,1983. Pág: 2 – 20.

INCROPERA, F.P. ; DEWITT, D.P., Fundamentos de Transferência de Calor e

Massa. Trad: Carlos Alberto Biochini da Silva. Rio de Janeiro: Editora LTC, 5°ed.

Pág: 82 – 87.

8) Memória de Cálculo:

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

0 0,03 0,085 0,155 0,23 0,305 0,455 0,605 0,755 0,905

Q(k

cal/

s)

Distância (m)

Perda de energia térmica ao longo da aleta

C

B

A

14

Montou-se a planilha no Excel com os dados gerais das temperaturas obtidas e

dos espaçamentos entre os furos das aletas.

Em seguida, com os valores de temperatura (°C) e distância (m), traçou-se um

gráfico de dispersão (xy).

Figura 4: Planilha utilizada no Excel.

Montou-se em seguida, uma tabela para calculo da perda de energia térmica em

função da distância da fonte de calor, em seguida plotou-se os gráficos de interesse.

Figura 5: Planilha utilizada no Excel para os cálculos de energia térmica

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