repaso de sumatorias
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Repaso de SumatoriasTRANSCRIPT
Sesión II.- Repaso de
sumatorias
Profesor: Dr. Alberto González Sánchez
TC2007. Métodos
Cuantitativos y Simulación
Introducción
• Posiblemente ya hayas escuchado esta historia…
“Érase una vez un niño alemán llamado Carl F.
Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la
escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban
mal, le puso un problema matemático al pequeño
Carl y a sus compañeros.”
Deben sumar todos los números
del 1 al 100, es decir:
1+2+3+4+5+…+98+99+100
Introducción
El profesor se sentó en su silla a leer el periódico,
confiaba en que tendría horas hasta que los niños
sumaran todos los números. Sin embargo, el
pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir
hacia el profesor y darle el resultado: 5050.
¿Cómo lo hizo?
DEFINICIÓNLa sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de
números, el resultado es la suma total.
NOTACIÓN
𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑+…+𝒕𝒏=
𝑖=𝑎
𝑛
𝑡𝑖
Índice superior
Término general
Índice inferiorsigma
Propiedades de las
sumatorias
Nota: el siguiente material se adaptó de:
http://es.slideshare.net/donializ/sumatorias-i
(Agradecimiento particular a la autora Donia Alizandra
Ruelas Azuelo)
P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria
es igual al índice superior menos el índice inferior mas la
unidad.
𝑖=𝑎
𝑛
𝑡𝑖= 𝒏−𝒂 +𝟏=𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
Ejemplo:
Hallar el número de términos de la siguiente expresión:
𝑖=5
45
𝑖= 45−5 +1=41 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del
número de sumandos por la constante.
𝑖=𝑎
𝑛
𝑘 = [ 𝑛 − 𝑎 + 1]. 𝑘
Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:
𝑖=5
45
4 = 45 − 5 + 1 . 4 = 164
P3. La sumatoria en el que el término general es una suma
algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias
independientes.
𝑖=𝑎
𝑛
(𝑘𝑖2 + 𝑘´𝑖) =
𝑖=𝑎
𝑛
𝑘𝑖2 +
𝑖=𝑎
𝑛
𝑘´𝑖
Ejemplo:
𝑖=𝑎
𝑛
2𝑖2 +
𝑖=𝑎
𝑛
3𝑖
Donde: k y k´ son constantes.
𝑖=𝑎
𝑛
(2𝑖2 + 3𝑖) =
P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede
descomponerse de ésta manera:
𝑖=𝑎
𝑛
𝑡𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑡𝑖 −
𝑖=1
𝑎−1
𝑡𝑖
Ejemplo:
Expresar la siguiente sumatoria de forma descompuesta:
𝑖=1
11
𝑖 −
𝑖=1
4
𝑖
Donde: a ≠ 𝟏
𝑖=5
11
𝑖 =
Sumatorias notables
𝑖=1
𝑛
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 =𝑛 𝑛 + 1
2
Los n primeros números naturales
Los n primeros números pares naturales
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 +⋯+ 𝟐𝒏 = 𝑛 𝑛 + 1
Demostración:
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 +⋯+ 𝟐𝒏
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 2(1+ 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝒏)
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 2 [n(n+1)
2]
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 𝑛 𝑛 + 1 lqqd
SN primeros N
Factorización
𝑖=1
𝑛
(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 +⋯+ (2𝑛 − 1) =𝑛2
Los n primeros números impares naturales.
Demostración:
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 =
𝑖=1
𝑛
2𝑖 −
𝑖=1
𝑛
1 P3:
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 + 1 1] SN #pares y P2:
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 + 1 1]
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 = [𝑛2 + 𝑛 − 𝑛 ]
simplificación
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 =𝑛2 lqqd
Los n primeros números cuadrados perfectos
𝑖=1
𝑛
𝑖2 = 12+22+32+42+⋯+ 𝑛2 =𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
Los n primeros números cubos perfectos.
𝑖=1
𝑛
𝑖3 = 13+23+33+43+⋯+ 𝑛3 = [𝑛 𝑛 + 1
2]2
Los n primeros números cuartos perfectos.
𝑖=1
𝑛
𝑖4 = 14+24+34+44+⋯+ 𝑛4 =𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)(3𝑛2 + 3𝑛 − 1)
30
Los n primeras potencias.
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+⋯+ 𝑎𝑛 =𝑎𝑛+1 − 𝑎
𝑎 − 1
Ejercicios resueltos
1. Escriba con notación ∑
a) 3+9+27+81+…(10 términos)
Resolución:
3+9+27+81+…(10 términos)
𝑖=1
10
3𝑖
𝒕𝟏 =3
𝒕𝟐 =9 =𝟑𝟐
𝒕𝟑 =27=𝟑𝟑
𝒕𝟒 =81=𝟑𝟒
3+9+27+81+…(10 términos) =
…
b) 2+6+10+14+18…(10 términos)
Resolución:
2+6+10+14+18…(10 términos)
𝒕𝟏 =2
𝒕𝟐 = 6 = 2(3)
𝒕𝟑 = 10 = 2(5)
𝒕𝟒 = 14 = 2(7)
…
2+6+10+14+18…(10 términos) =
𝑖=1
10
2(2𝑛 − 1)
2. Hallar
𝑥=1
30
(3𝑥 + 2)
Resolución:
:propiedad 3
𝑥=1
30
3𝑥 + 2 =
𝑥=1
30
3𝑥 +
𝑥=1
30
2
𝑥=1
30
3𝑥 + 2 = 3
𝑥=1
30
𝑥 +
𝑥=1
30
2
𝑥=1
30
3𝑥 + 2 = 3(30 30 + 1
2) + [ 30 − 1 + 1]. 2
𝑥=1
30
3𝑥 + 2 = 3(465) + 60
𝑥=1
30
3𝑥 + 2 = 1455
:S.N y :propiedad 2
:propiedad 2
3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232
Resolución:
:factorizando
𝑃 = 3 + 24 + 81 + 192 + …+ 8232
𝑃 = 3
𝑥=1
14
𝑥3 :S.N. cubos
𝑃 = 3(1 + 8 + 27 + 64 + …+ 2744)
𝑃 = 3(13 + 23 + 33 + 43 + …+ 143)
𝑃 = 314(14+1)
2
2
𝑃 = 3 7(15) 2
𝑃 =33075
4. Hallar n:
Resolución:
:S.N. números pares
:Ec. De 2 grado
𝑛(𝑛 + 1) = 342
𝑥=1
𝑛
2𝑥 = 342
𝑥=1
𝑛
2𝑥 = 342
𝑛2 + 𝑛 − 342 = 0
(n-18)(n+19)= 0
n-18= 0
n= 18
5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..
Resolución:
:Propiedad 3
15 términos
S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..
15 términos
𝑆 =
𝑖=1
15
(𝑛2+3)
𝑆 =
𝑖=1
15
𝑛2 +
𝑖=1
15
3 :S.N. y Propiedad 2
𝑆 =15(15+1)(2(15)+1)
6+(15-1+1)3
𝑆 = 1240+45
𝑆 = 1285
6. Calcular E:
Resolución:
:Decimal a fracción
:Factorizando
E= 100
𝐸 = 0,01 + 0,03 + 0,05 + …+ 19,99
𝐸 = 0,01 + 0,03 + 0,05 + …+ 19,99
𝐸 =1
100+3
100+5
100+⋯+
1999
100
𝐸=1
101 + 3 + 5 +⋯+ 1999 2n-1= 1999
2n= 2000
n= 1000𝐸=1
1010002
8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7
pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros
más de lo que subieron en la estación anterior.
Si al llegar a su paradero final se contaron con 520
pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el
ómnibus a recoger pasajeros?
Resolución: Inicio: 1° 2° 3° … n°
Final
7 9 11 13 __
520Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520
𝑛2 + 62 = 520
𝑖=7
𝑛
2𝑛 − 1 = 520
𝑖=1
𝑛
2𝑛 − 1 −
𝑖=1
6
2𝑛 − 1 = 520
𝑛= 22
𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒂 𝟕 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒆𝒍 𝒐𝒎𝒏𝒊𝒃𝒖𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝟐𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles
prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que
encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para
Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe
S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado?
Resolución:1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°
…. 12°
Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil
Fósil
x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ =
12285
x( 20+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27+ 28 + 29 + 210 + 211 ) = 12285
x+𝑥[212−2
2−1]= 12285
Por 𝐞𝐥 𝟖° 𝒇ó𝒔𝒊𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒐𝒏: 𝟏𝟐𝟖 𝟑 = 𝟑𝟖𝟒
𝑥 + 𝑥
𝑖=1
11
2𝑖 = 12285
4095𝑥 = 12285
𝑥 = 3
Ejercicios
1. Escriba con notación ∑
a) 11+13+15+17+…(7 términos)
b) 4+9+16+25+36…(10 términos)
2. Hallar
𝑥=1
30
(7𝑥 + 2𝑥 + 6)
Resolución:
3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78
Resolución:
4. Hallar n:
Resolución:
𝑥=1
𝑛
3𝑥 = 741
5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..
Resolución:
30 términos
6. Calcular G:
Resolución:
𝐺 = 0,02 + 0,04 + 0,06 + …+ 22,22
7. Se tiene:
Resolución:
𝑬𝑻𝑪=1+3+5+…+ 43
Encontrar el valor de: 1 +3 +5 +…+ 𝑻𝑬
Conclusiones
Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas
que nos permiten resolver problemas.
La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento
base en problemas de sumatorias.
Las propiedades de las sumatorias
facilitan en la resolución de problemas.