Fakultat fur Physik

T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016

Dozent: Jan von Delft

Ubungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber,

Katharina Stadler, Lukas Weidinger

http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/T1_theor_mechanik/

Repetitorium D: Starrer Korper

Mo-Fr, 26-30.09.2016; Tutor: Michael Renger(b)[2](E/M/A) bedeutet: Aufgabe (b) zahlt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll

Aufgabe 1: Schlag auf Doppelkugel [14+2]Punkte: (a)[3]; (b)[3]; (c)[1]; (d)[2]; (e)[2]; (f)[3]; (g)[2](Bonus)

(a) Berechnen Sie das Tragheitsmoment einer Vollkugel (Masse M , Radius R) bzgl. einer Achsedurch den Schwerpunkt.

Hinweis: Je nach Rechenweg, kann folgendes Integral nutzlich sein:

ˆdx sin3(x) = − cos(x) + 1

3cos3(x). (1)

(b) Bestimmen Sie nun den Tragheitstensor I =Iiδij bzgl. des Schwerpunkts im Hauptachsen-system mit den Achsen (e1, e2, e3) von zweifest verbundenen Vollkugeln (Massen M , Ra-dien R) (siehe Skizze).(Hinweis: Der Satz von Steiner kann hier nutz-lich sein.)

Die genauen numerischen Werte von I1 und I2 = I3 sind im Folgenden nicht von Belang, Siebrauchen sie in Ihre nachfolgenden Rechnungen nicht einzusetzen.

(c) Nehmen Sie nun an, dass der starre Korper um die e3-Achse mit Winkelgeschwindigkeit Ωrotiert. Geben Sie den Drehimpuls L im korperfesten System an.

Wir betrachten weiterhin den um die e3-Achse mit Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden Korper.Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Orientierung der Hauptachsen parallel zu den Koordinantenachsenim Laborsystem (e1||ex, e2||ey, e3||ez). Ein Ubeltater schlagt nun zu diesem Zeitpunkt mit einemHammer von oben auf die Mitte der rechten Kugel (Punkt A in der Skizze). Die Kraft, die beidiesem Schlag auf den starren Korper ausgeubt wird, modellieren wir durch:

F = −Wδ(t)e3.

(d) Berechnen Sie den Schwerpunktsimpuls P(t) =´ t−∞ dt

′P(t′) des Korpers im Laborsystemnach dem Schlag.

1

(e) Zeigen sie, dass das durch den Schlag ausgeubte Drehmoment auf den Korper gegeben istdurch M = RWδ(t)e2.

(f) Verwenden sie die Eulerschen Gleichungen um die Lage der Rotationsachse ω unmittelbarnach dem Schlag zu bestimmen.

[Hinweis: Die Eulerschen Gleichungen sind gegeben durch:

Iidωidt

+ (Ik − Ij)ωjωk = Mi, (2)

wobei (i, j, k) eine zyklische Permutation von (1, 2, 3) ist.]

(g) Bonus: Die Erschutterung des starren Korpers hat zur Folge, dass sich unmittelbar nach demSchlag die Verbindung zwischen den beiden Kugeln lost. Bestimmen Sie die Schwerpunktge-schwindigkeit v der rechten Kugel nach dem Losen im Laborsystem.

Aufgabe 2: Halbkugel auf Ebene [9]Punkte: (a)[3]; (b)[2]; (c)[2]; (d)[2];

Wir betrachten eine Halbkugel der Masse M mit Radius R und einer homogenen Massenverteilung.Der Schwerpunkt S der Halbkugel befindet sich auf der Symmetrieachse mit einem Abstand σ =38R vom Ursprung (siehe linke Skizze).

y

z

S

x σ

φσ

Rd

S

A

(a) Berechnen Sie das Tragheitsmoment IS bezuglich einer Achse durch den Schwerpunkt, diesenkrecht zur Symmetrieachse steht. [Ergebnis: IS = MR2 83

320]

[Hinweis: Berechnen Sie zunachst das Tragheitsmoment bezuglich der z-Achse (siehe Skizze)und nutzen Sie Kugelkoordinaten fur die Integration. Mithilfe des Steinerschen Satzes findetman dann das geforderte Tragheitsmoment.]

(b) Wir betrachten nun obige Halbkugel, die auf einer horizontalen Ebene aufliegt (siehe rechteSkizze). Das Schwerefeld zeigt nach unten. Die Halbkugel werde um einen Winkel φ aus derRuhelage ausgelenkt und danach losgelassen, wobei wir annehmen, dass sie auf der Ebeneabrollt. Der (veranderliche) Auflagepunkt A der Halbkugel auf der Ebene bestimmt dann diemomentane Rotationsachse (in der Skizze senkrecht zur Zeichenebene). Berechnen Sie dasTragheitsmoment IA bezuglich der Rotation um diese Achse.Hinweis: Das Tragheitsmoment hangt von φ ab, da der Abstand d zwischen Auflagepunkt Aund Schwerpunk S vom Winkel φ abhangt.

(c) Stellen Sie die Lagrangefunktion L der Bewegung auf.

Ergebnis: L = MR2

2

(75− 3

4cosφ

)φ2 + 3

8MgR cosφ

2

(d) Diskutieren Sie die Bewegung fur kleine Auslenkungen und finden Sie die Eigenfrequenz desSystems.

Aufgabe 3: Vollzylinder rollt in Hohlzylinder [2]Punkte: (a)[1]; (b)[1]; (c)[2];

Ein Vollzylinder mit Radius a und Masse M rollt in einem fixiertenHohlzylinder mit Radius R ab.

(a) Bestimmen Sie das Tragheitsmoment IS des Vollzylindersbezuglich seiner Symmetrieachse.

(b) Bestimmen Sie das Tragheitsmoment IR des Vollzylindersbezuglich der instantanen Rotationsachse, entlang der den Hohl-zylinder beruhrt.

(c) Bestimmen Sie die kinetische Energie des Vollzylinders als Funk-tion von ϕ.

aϕ

R

Aufgabe 4: Rollender Kegel [8]Punkte: (a)[4]; (b)[4];

Betrachten Sie einen Kegel mit Masse M , Hohe h und Basisradius R.

(a) (optional) Zeigen Sie, dass im Schwerpunktsystem die Haupt-tragheitsmomente des Kegels durch I1 = I2 = 3

20M(R2 +

14h2) und I3 = 3

10MR2 gegeben sind. Hinweis: berechnen Sie

den Tragheitstensor zunachst bezuglich einem Koordinatensytesmdessen Ursprung an der Kegelspitze liegt, und nutzen Sie dann denSteinerschen Satz.

(b) Der Kegel rolle nun gleichmaßig und ohne Schlupf auf einer ho-rizontalen Ebene ab; nach einer Zeit T hat er wieder seine An-fangsposition erreicht. Bestimmen Sie die kinetische Energie desKegels als Funktion von h, R M und T . Hinweis: Finden Siezunachst die Winkelgeschwindigkeit ω um die momentane Dreh-achse (wo sich Kegel und Tisch beruhren), ausgedruckt im korper-festen Schwerpunkt- und Hauptachsensystem.

Aufgabe 5: Schwerer symmetrischer Kreisel [10]Punkte: (a)[2]; (b)[3]; (c)[3]; (d)[2];

Wir betrachten einen schweren symmetrischen Kreisel im homogenen Schwerefeld der Erde. SeinUnterstutzungspunkt liege auf der Figurenachse, im Abstand s vom Schwerpunkt. Seine Masse seiM , und I1 = I2 = I 6= I3 seine Haupttragheitsmomente, berechnet bezuglich eines Hauptachsen-systems durch den Unterstutzungspunkt. Die Lagrange-Funktion kann durch die Euler-Winkel (φ,θ, ψ ausgedruckt werden und hat folgende Form:

L = 12I(θ2 + φ2 sin2 θ) + 1

2I3(ψ + φ cos θ)2 − gMs cos θ.

3

(a) Die Lagrange-Funktion ist unabhangig von φ, ψ und t. Wie lauten die entsprechenden Erhal-tungsgroßen pφ, pψ und E?

(b) Schreiben Sie damit die Bewegungsgleichung fur θ(t) um als eine Gleichung der Form

12u2 + Veff(u) = 0, mit u = cos θ . (3)

Wie lautet das effektive Potential, ausgedruckt durch die Erhaltungsgroßen Erhaltungsgroßenpφ, pψ und E?

(c) Geben Sie eine formale Losung der Bewegungsgleichung (3) fur θ(t) an. Skizzieren Sie daseffektive Potential fur Beispielparameter Ihrer Wahl und diskutieren Sie damit das qualitativeVerhalten der Nutationsbewegung.

(d) Ein aufrecht stehender (θ = 0) symmetrischer Kreisel ist stabil, wenn eine bestimmte kritischeWinkelgeschwindigkeit ω∗3 uberschritten wird. Berechnen Sie ω∗3.

Anmerkung: Man spricht hier von einem ’schlafenden Kreisel’. Wird der Kreisel zunachst inrasche Rotation (ω3 > ω∗3) versetzt, ist die aufrechte Lage stabil. Wenn die Winkelgeschwin-digkeit aufgrund von Reibung unterhalb diese kritischen Schwelle abgefallen ist, ’wacht derKreisel auf’ und beginnt zu torkeln.

Aufgabe 6: Freier Kreisel im Lagrange-Formalismus [12]Punkte: (a)[2]; (b)[4]; (c)[2.5]; (d)[1.5]; (e)[2]

(a) Betrachten Sie einen homogenen Quader der Masse m, dessen Seiten,mit Langen 2a, 2a und 4a, parallel zu den Achsenrichtungen e1, e2

bzw. e3 eines korperfestes Koordinatensystems mit Ursprung im Qua-derschwerpunkt ausgerichtet sind (siehe Skizze). Berechnen Sie dieHaupttragheitsmomente I1 ≡ I11, I2 ≡ I22 und I3 ≡ I33 des Quaders.Warum gilt I1 = I2 6= I3?

4a

2a2a

x1

x2

x3

Wir betrachten nun eine freie Kreiselbewegung des Quaders relativ zum Schwerpunkt. Dieser liegefest im Ursprung eines raumfesten Koordinatensystems mit Einheitsvektoren ex, ey, ez, dessenz-Achse parallel zum erhaltenen Drehimpuls des Kreisels sei (L = `ez). Die Projektionen derkorperfesten Einheitsvektoren auf die z-Achse, ausgedruckt durch die Eulerwinkel, lauten:

ez · e1 = sin θ sinψ , ez · e2 = sin θ cosψ , ez · e3 = cos θ .

(b) Unter Vernachlassigung der Schwerkraft lauten die drei Eulerschen Gleichungen fur die freieKreiselbewegung, mit I ≡ I1 = I2 6= I3, wie folgt:

Iω1 + (I3 − I)ω2ω3 = 0 , Iω2 + (I − I3)ω1ω3 = 0 , I3ω3 = 0 . (4)

Bestimmen Sie uber die Eulerschen Gleichungen die drei Komponenten der Winkelgeschwin-digkeit ω(t) = (ω1(t), ω2(t), ω3(t))T des Quaders mit den Anfangsbedingungen ω(t = 0) =(0, ω, ω3)T im korperfesten System und zeigen Sie, dass die Projektion von ω auf die (x1,x2)-Ebene einen Kreis beschreibt. Wie lautet der Radius dieses Kreises?

4

(c) Der Drehimpuls L kann auf zwei Arten dargestellt werden: im korperfesten Koordinatensystemdurch L = I · ω und im raumfesten Systems als L = `ez. Verwenden Sie diese Darstellung,um die Eulerwinkel ψ und θ ausschließlich in Abhangigkeit von I, I3, l, ω und der Zeit tauszudrucken.

(d) Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im korperfesten System konnen durch die Eu-lerwinkel ausgedruckt werden:

ω1 = φ sin θ sinψ + θ cosψ , ω2 = φ sin θ cosψ − θ sinψ , ω3 = φ cos θ + ψ .

Leiten Sie einen Ausdruck fur φ ausschließlich in Abhangigkeit von I, I3, l, ω und der Zeit ther. Verwenden Sie die Anfangsbedingung φ(t = 0) = 0.

(e) Interpretieren Sie θ, ψ und φ. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an, welche auch die raumfestenEinheitsvektoren zeigt, sowie e3 und ω.

[Gesamtpunktzahl Aufgaben: 57]

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