representasi operator pada ruang barisan …digilib.unila.ac.id/25214/20/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
( Skripsi )
Oleh
ANGGER PAMBUDHI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2017
ABSTRACT
REPRESENTATION OF OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE
by
Angger Pambudhi
The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There
are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be
represented by an infinite matrices. For example, a matrices where
[
] and { ( ) |(∑ | |
)
} is a sequence real
numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to
sequence space by using a standard basis ( ) and it can be proven that the
collection all the operators become Banach space.
Key Words : Operator, finite sequence space
ABSTRAK
REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Oleh
Angger Pambudhi
Suatu pemetaan pda ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator.
Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan dapat diwakili oleh suatu
matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks dengan
[
] dan { ( ) |(∑ | |
)
} merupakan barisan bilangan
real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan
dengan basis standar * + dan ditunjukkan bawa koleksi semua operator
membentuk ruang Banach.
Kata Kunci : Operator, ruang barisan terbatas
REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Oleh
ANGGER PAMBUDHI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelarSARJANA SAINS
Pada
Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Angger Pambudhi, Dilahirkan di Metro, pada tanggal 28
Februari 1994, sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Bapak
Prayitno dan Ibu Ponisri.
Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Aisiyah Metro Pusat
tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 7 Metro Pusat tamat
pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 2 Metro tamat
pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Muhammadiyah 1
Metro tamat pada tahun 2012. Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai
Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung, melalui jalur tertulis atau SNMPTN.
Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus.
Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai
Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2012/2013), sebagai Anggota Biro Dana
dan Usaha (tahun 2013/2014).
Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah
Praktek (KP) di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) provinsi
Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari 2015.
Selanjutnya bulan januari-maret 2016 melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN)
di Karang Agung, Kecamatan Semaka, Kabupaten Tanggamus.
MOTTO
“Winning isn’t everything, even if you win everything”
(Leo Messi)
“Realisasikan perkataan dengan perbuatan”
(Angger Pambudhi)
PERSEMBAHAN
Teriring do’a dan rasa syukur kepada Allah SWT, ku persembahkan karya kecil inisebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada:
Orang Tua Tercinta
Bapak Prayitno dan ibu Ponisriatas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringat dalam merawat dan
menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku
Adik Tercinta
Rani Prambandari, Adel Lia dan Ma’ruf Zakaria yang selalu memberikan semangatdan dukungan
Serta Keluarga Besarku.
Para Pendidikku, Dosen Dan Guru-Guruku Yang Telah Memberikan Ilmu Kepadaku
Teman-teman seperjuangan angkatan 2012
Almamater tercinta.
SANWACANA
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat
rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul
“Representasi Operator Pada Ruang Barisan Terbatas ” sebagai salah satu
syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing I yang
selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik
sekaligus Dosen Pembimbing II yang selalu sabar membimbing dan
mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembahas yang telah
memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
6. Seluruh dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah
memberikan ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.
7. Bapak dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan
memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.
8. Adik Rani, Adel, Zaka dan keluarga besarku yang telah memberikan
dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis.
9. Rara Berthania, yang dengan tulus memberikan bantuan selama penulis
menyelesaikan studi.
10. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika: Pras, Candra, Danar, Topik,
Anwar, Rendi, Ernia, Dwi, Anggi, Yanti, Imah, Elva, Putri, Selvi, Riyama,
Maya dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bias disebutkan satu-satu
terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini.
11. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan
kenangan selama di kampus.
Bandar Lampung, Januari 2017Penulis
Angger Pambudhi
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1. LatarBelakangMasalah ........................................................................ 1
1.2. TujuanPenelitian ................................................................................ 2
1.3. ManfaatPenelitian ............................................................................ 2
II.TINJAUANPUSTAKA 2.1. Operator ................................................................................. 3
2.2. RuangMatriks .................................................................................. 11
2.3. RuangVektor ................................................................................... 13
2.4. RuangBernorma ................................................................................. 14
2.5. RuangBanach ..................................................................................... 15
2.6. Barisan ................................................................................... 15
2.7. Basis ................................................................................................... 21
III. METODE PENELITIAN
3.1. WaktudanTempatPenelitian ............................................................... 23
3.2. MetodePenelitian ..................................................................... 23
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V . KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu
operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari
ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga.
Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.
Sebagai contoh, suatu matriks dengan [
] dan
{ ( ) |(∑ | |
)
} merupakan barisan bilangan real.
Jika ( ) maka
( ) [
] [ ]
[
]
[ ∑
∑
]
2
Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya ( ) .
Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :
1. Mengkaji ruang barisan terbatas .
2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan
terbatas .
3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas .
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan
ini, diantaranya :
1. Memahami sifat dari operator linear.
2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatas .
3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatas .
4. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut
tentang operator.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Operator
Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989)
Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator.
Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989)
Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama.
a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.
b. Operator A : X Y dikatakan linear jika untuk setiap X dan setiap
skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.
Definisi 2.1.3 (Kreyszig, 1989)
Diberikan ( ‖ ‖) dan ( ‖ ‖) masing-masing ruang bernorm.
a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan
M ≥ 0 sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ ‖ ‖.
b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada
bilangan sehingga untuk setiap dengan ‖ ‖
berlaku ‖ ‖ .
c. Jika A kontinu di setiap , A disebut kontinu pada X.
4
Teorema 2.1.4 (Ruckle, 1991)
Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas field yang sama maka lc(X, Y)
merupakan ruang linear.
Bukti :
Diambil sebarang ( ) dan sebarang untuk setiap
diperoleh
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
Jadi, ( ) merupakan operator linear.
Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2 ≥ 0 sehingga,
‖( ) ‖ = ‖ ‖
≤ ‖ ‖ ‖ ‖
= | |‖ ‖ | |‖ ‖
≤ | | ‖ ‖ | | ‖ ‖
= (| | | | )‖ ‖
5
Dengan demikian, terbatas (kontinu).
Jadi ( )
Telah dibuktikan bahwa untuk setiap ( ) dan sebarang skalar
berlaku ( ). Jadi ( ) linear.
Teorema 2.1.5 (Maddox, 1970)
Jika Y ruang Banach maka (( ) ) ruang Banach.
Bukti :
Diambil sebarang barisan Cauchy * + (( ) ‖ ‖).
Jadi untuk setiap bilangan terdapat sehingga jika dengan
berlaku ‖ ‖ .
Misal, untuk setiap dan diperoleh
‖ ‖ = ‖( ) ‖
≤ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖
Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilh bilangan sehingga
ada sehingga untuk setiap dengan berlaku
‖ ‖ ‖ ‖ .
Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy * + dan Y lengkap, dengan
kata lain * + konvergen ke
Jadi, dan x menentukan suatu operator A sehingga .
6
Proses di atas dapat diulang untuk tetap, dengan . Jadi diperoleh
dan z menentukan suatu operator A sehingga .
Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ,
( ) dan menentukan suatu operator A
sehingga ( ) .
Jadi ( ) ( )
( )
=
=
=
=
Jadi operator A bersifat linear.
Untuk diperoleh
‖( ) ‖ = ‖ ‖
= ‖( )‖
= ‖( ) ‖ ‖ ‖
Jadi operator ( ) dengan bersifat linear terbatas.
7
Karena dan masing-masing terbatas, serta ( ) maka
A terbatas (kontinu).
Jadi (( ) ‖ ‖) dengan kata lain (( ) ‖ ‖) ruang Banach.
Definisi 2.1.6 (Kreyszig, 1989)
Diberikan ruang Bernorm X dengan field .
a. Pemetaan disebut fungsi.
b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X,
biasanya ditulis ( ).
Teorema 2.1.7 (Ruckle, 1991)
Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang
memetakan X ke Y maka A kontinu.
Bukti :
Misal A = ( )
X = ( )
y = ( ) dapat dinyatakan
∑
Mendefinisikan suatu fungsi linear kontinu pada X. Jelas bahwa untuk setiap :
9
( ( ))
Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X.
Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.
Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.
Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | ( )| | |
Oleh karena itu :
| ( )| |∑
|
∑| || |
∑| |
Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x
( ) ( )
Maka f juga kontinu pada x.
Karena y ruang BK diperoleh
∑
( )
Atau
10
( ) [
]
[ ( )
( )
( )
]
(
∑
( )
∑ ( )
)
[ ]
∑
( )
( ( ))
( )
( )
Jika y = Ax maka bukti lengkap
Definisi 2.1.8 (Berberian, 1996)
a. Matriks takhingga ( ) adalah matriks dengan dan elemen
pada baris dan kolom sebanyak takhingga.
b. Jika ( ) dan ( ) masing-masing matriks takhingga dan
skalar maka ( ) ( ) dan (∑ )
dengan ∑ , (Cooke, 1955)
11
Definisi 2.1.9 (Fuhrmann, 1987)
Diketahui suatu operator ( ) maka ( ) disebut operator
adjoint operator T jika untuk setiap dan berlaku ( )
( ).
2.2 Ruang Metrik
Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental
dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak
pada real line R.
Definisi 2.2.1 (Kreyszig, 1989)
Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metriks di X adalah suatu fungsi
, ), sehingga untuk setiap pasangan ( ) berlaku :
i. ( ) untuk setiap
ii. ( ) jika dan hanya jika x = y
iii. ( ) ( ) untuk setiap (sifat simetri)
iv. ( ) ( ) ( ) untuk setiap (ketidaksamaan
segitiga)
Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah metrik pada X disebut ruang metrik.
Setiap anggota X disebut titik dan nilai d(x,y) disebut jarak(distance) dari titik x ke
titik y atau jarak antara titik x dan titik y.
12
Definisi 2.2.2 (Kreyszig, 1989)
Suatu barisan (xn) dalam ruang metrik (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk
setiap bilangan terdapat bilangan asli ( ) sehingga ( )
untuk setiap . Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap
barisan Cauchy di dalamnya konvergen.
Definisi 2.2.3 (Maddox, 1970)
Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan
Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika ( ) ( )
maka terdapat seningga ( ) ( ).
Definisi 2.2.4 (Beberian, 1996)
Misal (X,d) adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan ( ) dikatakan
konvergen jika terdapat suatu titik sehingga ( ) untuk
(yaitu untuk setiap ( ) ). Titik x adalah unik sebab jika ( )
maka ( ) ( ) ( ) menunjukkan bahwa x = y. Dapat
dikatakan xn konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis
Lemma 2.2.5 (Kreyszig, 1989)
Jika X = (X,d) adalah ruang metrik, maka :
i. Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik.
ii. Jika dan di X, maka ( ) ( ).
13
Teorema 2.2.6 (Parzynsky dan Zipse, 1987)
Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.
Bukti :
Jika {an} barisan Cauchy maka untuk ada bilangan asli N sehingga
| | dimana n, m > N. Perhatikan bahwa untuk maka | |
| | | | | | | | untuk setiap n > N. Jika
(| | | | | | | |) jelas | | untuk setiap bilangan asli N
sehingga barisan {an} terbatas.
2.3 Ruang Vektor
Definisi 2.3.1 (Maddox, 1970)
Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi
penjumlahan ( ) dan fungsi perkalian skalar ( )
sehingga untuk setiap skalar dengan elemen berlaku :
i.
ii. ( ) ( )
iii. ada sehingga
iv. ada sehingga ( )
v.
vi. ( )
vii. ( )
viii. ( ) ( )
14
2.4 Ruang Bernorma
Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 1970)
Diberikan ruang linear X. Fungsi ‖ ‖ yang mempunyai sifat-sifat :
i. ‖ ‖ untuk setiap
ii. ‖ ‖ , jika dan hanya jika , (0 vektor nol)
iii. ‖ ‖ | | ‖ ‖ untuk setiap skalar dan .
iv. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap
disebut norma(norm) pada X dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor x.
Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma ‖ ‖ disebut ruang bernorma
(norm space) dan dituliskan singkat dengan ‖ ‖ atau X saja asalkan nrmanya
telah diketahui.
Lemma 2.4.2 (Maddox, 1970)
Dalam ruang linier bernorm X berlaku ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap
.
Bukti :
untuk setiap diperoleh :
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖.
15
2.5 Ruang Banach
Definisi 2.5.1 (Darmawijaya, 2007)
Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai
ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi
bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen
2.6 Barisan
Definisi 2.6.1 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)
Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat
positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian
dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan.
Definisi 2.6.2 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)
Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut
suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau
indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.
Definisi 2.6.3 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)
Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L
jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga |
| untuk setiap
Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga jika ada
bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung
16
pada sehingga | | untuk setiap , daan suatu barisan dikatakan
konvergen jika ia mempunyai nilai limit.
Teorema 2.6.4 (Martono, 1984)
Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas.
Bukti :
Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat
suatu bilangan real sehinga | | untuk setiap . Karena {an}
konvergen ke a, maka terapat suatu sehingga | | .
Akibatnya | | | | | | | | | | untuk setiap .
Ambillah (| | | | | | | | ) , maka setiap berlaku
| | , yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas.
Definisi 2.6.5 (Maddox, 1970)
Suatu barisan ( ) dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu
bilangan sehingga | | . Himpunan dari semua barisan
terbatas dilambangkan dengan
Definisi 2.6.6 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)
Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan
dapat dicari suatu nomor indeks sedemikian sehingga untuk berlaku
(atau | | ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka
xn mendekati L jika n mendekati tak hingga.
17
Definisi 2.6.7 (Martono, 1984)
Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan
yang tak konvergen dinamakan barisan divergen.
Definisi 2.6.8 (Soeparna, 2007)
Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi :
* ̅ * + +
a. Untuk setiap bilangan real p dengan didefinisikan
{ { } ∑| |
}
dan norm pada yaitu
‖ ‖ (∑| |
)
b. Untuk didefinisikan
{ ̅ * + | | }
dan norm pada yaitu
‖ ‖ | |
Definisi 2.6.9 (Darmawijaya, 2007)
Misal ( ) dengan
(q konjugat p), untuk dan
( ) ∑| | ‖ ‖
‖ ‖
18
Teorema 2.6.10 (Darmawijaya, 2007)
( ) merupakan ruang bernorma terhadap norm ‖ ‖ .
Bukti :
a) Akan dibuktikan bahwa merupakan ruang bernorm terhadap ‖ ‖ .
Untuk setiap skalar ̅ * + * + diperoleh
) ‖ ̃‖ | | | |
‖ ̃‖ | | | | ̃ * + ̃
) ‖ ̃‖ | |
| | ‖ ‖
| | ‖ ̃‖ ‖ ‖ ̃
) ‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃ ̃‖ ̃ ̃
berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan
‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorma.
b) Untuk diambil sebarang ̃ * + ̃ * + dan skalar .
Diperoleh :
) ‖ ̃‖ {∑| |
}
| |
‖ ̃‖ {∑| |
}
| | ̃ * + ̃
19
) ‖ ̃‖ {∑| |
}
| | {∑| |
}
| |‖ ‖
jelas bahwa ‖ ‖
) ‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ {∑| |
}
{∑| |
}
Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan
‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorm.
Teorema 2.6.11 (Darmawijaya, 2007)
Jika bilangan real p dengan , maka ( ‖ ‖ ) merupakan ruang
banach.
Bukti :
Telah dibuktikan bahwa ( ‖ ‖ ) merupakan ruang bernorm
Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.
Dibuktikan dahulu untuk diambil sebarang barisan Cauchy { ̃( )}
dengan
a) ̃( ) { ̃( )} ( ̃ ( ) ̃
( ) ̃ ( ) )
Untuk sebarang terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap dua
bilangan asli berlaku
b) ‖ ( ) ( )‖
∑ |
( ) ( )|
.
/
.
Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli diperoleh
| ( ) ( )|
untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan
Cauchy ( )
untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan sehingga
20
( ) atau |
( ) | . Berdasarkan b) diperoleh
untuk berlaku | ( ) | |
( ) ( )|
.
Selanjutnya dibentuk barisan ̃ * + . Menurut ketidaksamaan
minkowski.
c) *∑ | |
+
{∑ | ( ) ( )|
}
{∑|
( ) ( )
( )|
}
{∑|
( ) ( )|
}
{∑| ( )|
}
Yang berarti ̃ * + . Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh
untuk berlaku
d) ‖ ̃ ̃( )‖ {∑ | ( )|
}
{∑ |
( )|
}
Maka barisan { ̃( )} konvergen ke ̃. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti
bahwa barisan Cauchy { ̃( )} konvergen ke ̃ * + atau
terbukti bahwa ( ‖ ‖ ), ( ) merupakan ruang banach.
Definisi 2.6.12 (Ruckle, 1991)
Misalkan X merupakan ruang barisan, X dikatakan ruang BK (banach lengkap)
jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya ( )
( ) kontinu.
Contoh ruang BK (banach lengkap) adalah ruang barisan , .
21
2.7 Basis
Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007)
Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika
ada vektor-vektor sehingga , -. Dalam keadaan
seperti itu * + disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.
Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan
hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor
ada skalar-skalar sehingga
Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B
pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor
dan skalar sehingga
∑
Definisi 2.7.2 (Darmawijaya, 2007)
Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap
himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.
Definisi 2.7.3 (Darmawijaya, 2007)
Diberikan ruang vektor V atas lapangan . Himpunan disebut basis (base)
V jika B bebas linear dan | | .
22
Contoh :
Himpunan * ̌ ̌ ̌ + , dengan ̃ vektor di dalam yang komponen ke-k
sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis
ruang vektor .
23
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :
1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan
dengan basis standar * + dengan ( ( ) ).
2. Mengkonstruksikan norma operator A
3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach
4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan
pada barisan ke ruang barisan dengan basis standar * + dengan
( ( ) ).
33
V. KESIMPULAN
Operator linear dan kontinu : merupakan operator SM jika dan hanya jika
terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi :
(i). = {∑ } untuk setiap = ( )
(ii). ∑ ∑ | |
(iii). ∑ |∑ |
Koleksi semua operator SM : yang di notasikan dengan SM ( )
membentuk ruang Banach.
34
DAFTAR PUSTAKA
Berbrian, S. K. 1996. Fundamental of Real Analysis. Springer, Texas.
Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada,
Yogyakarta.
Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hibert Space. Mc Graw
Hill and Sons, New York.
Kreyszig, E.1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey
Calssic Library, New York.
Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press,
London.
Martono, k. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.
Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analitic Geometry.
Wadsworth Publishing Company Belmont, California.
Parzynski and Zipse.1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill
International Edition, Singapore.
Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company. Boston
Yahya, Y., Suryadi , D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar untuk
Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.