representation detat

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Chapitre 3: Représentation des systèmes par la notion de variables d’état 1/16 R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis Contenu du chapitre 3.1. Introduction 3.2. Les variables d’état d’un système dynamique 3.3. Équation différentielle d’état 3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence 3.5. Autre alternative des modèles diagramme blocs et graphe de fluence 3.6. La fonction de transfert à partir de l’équation d’état 3.7. La réponse temporelle et la matrice de transition d’état 3.8. Discrétisation de la réponse temporelle 3.9. Analyse des modèles à variables d’état avec MATLAB

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Page 1: Representation Detat

Chapitre 3: Représentation des systèmes par la notion de variables d’état

1/16

R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis

Contenu du chapitre

3.1. Introduction3.2. Les variables d’état d’un système dynamique3.3. Équation différentielle d’état3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence3.5. Autre alternative des modèles diagramme blocs et graphe de fluence3.6. La fonction de transfert à partir de l’équation d’état3.7. La réponse temporelle et la matrice de transition d’état3.8. Discrétisation de la réponse temporelle 3.9. Analyse des modèles à variables d’état avec MATLAB

Page 2: Representation Detat

2/16

3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence (Suite)

Les chemins directs sont bel et bien:b0s-4, b1s-3, b2s-2, b3s-1

Et toutes les boucles de retour(a0s-4, a1s-3, a2s-2, a3s-1) se touchent

Les chemins directs toucheront toutes les boucles de retour

Forme canonique à phase variable

uxaxaxaxax

xxxxxx

433221104

433221

,,

)('var,,, systèmeduphaseslesétatdiableslessontxxxx 44321

43322110 xbxbxbxbty )(et

40

31

22

13

40

31

22

13

1

sasasasa

sbsbsbsb

sU

sYsG

)(

)()(

Page 3: Representation Detat

3/16

4

3

2

1

3210

4

3

2

1

32104

3

2

1

1

0

0

0

1000

0100

0010

x

x

x

x

bbbbty

CXty

tu

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

dt

d

BuAXX

)(

)(

)(

Sous forme matricielle:

Mais il exister plusieurs façons de représenter les états d’un système.Le graphe de fluence et le diagramme bloc de la représentation d’état ci-dessous en est un autreexemple:

Page 4: Representation Detat

4/16

On remarque que tout les chemins directs commencent à partir du signal d’entrée U(s).Ainsi ce modèle est appelé : Forme canonique à entrée directe (input feedforward canonical form)

40

31

22

13

40

31

22

13

1

sasasasa

sbsbsbsb

sU

sYsG

)(

)()(

Page 5: Representation Detat

5/16

ubxax

ubxxax

ubxxax

ubxxax

0104

14113

23122

32131

Ainsi 1xy

)()(

)()(

)(

tu

x

x

x

x

ty

tDuCXty

tu

b

b

b

b

x

x

x

x

a

a

a

a

x

x

x

x

dt

d

BuAXX

00001

000

100

010

001

4

3

2

1

0

1

2

3

4

3

2

1

0

1

2

3

4

3

2

1

Note:Même si la forme canonique à entréedirecte présente la même fonction detransfert que la forme canonique àphase variable, mais les variables d’étatssont de nature différente dans chacunedes deux formes.

Page 6: Representation Detat

Exemple 1

688

68223

2

sss

ss

sU

sYsT

)(

)()(

Les deux modèles de variables d’état

3

3

s

sx 321

321

61681

682

sss

ssssT )(

3

2

1

286

x

x

x

ty )(

6/16

)(tuXX

1

0

0

8166

100

010

I.Forme canonique à phase variable(Les variables d’état directes pour

Fournir la sortie y(t))

Page 7: Representation Detat

7/16

II.Forme canonique à entrée directe(L’entrée directe pour fournir la sortie

y(t))1xty )()(tuXX

6

8

2

006

1016

018

Il est évident que l’ensemble desvariables d’état des deux modèlessont différents mais ils sont linéairementdépendants (via une matrice de transformation adéquate)

En conclusion Nous pouvons obtenir n équationsde 1er ordre à partir d’une équation différentielle d’ordre n, enutilisant l’un des 2 modèles précédents.

Page 8: Representation Detat

3.5. Les modèles alternatifs des graphes de fluence et de diagramme blocs

Les blocs diagramme des systèmes de contrôle réels représentent des variables et sous-systèmes physiquesExemple: Contrôle d’un Moteur DC

tensionu

tutrx

tix

vitessetyx

)()(

)(

)(

20

1

4

13

2

1

8/16

-20

Modèle à variables d’état

-20

Nous désirons sélectionner les variables physiques comme des variables d’état

5

205

5

15

ss

s )(Note: Faire en sorte que le rang du dénominateur est > à celui du numérateur

-20

Page 9: Representation Detat

))()((

)(

))()((

)()(

)(

)(

321325

130

ssssss

sq

sss

ssT

sR

sY

)(trXX

1

5

0

500

2020

063

325321

s

k

s

k

s

ksT

sR

sY)(

)(

)(

Xy 001

Autre solution: forme canonique diagonal

301020 321 kkk

9/16

-20

Page 10: Representation Detat

)(trXX

1

1

1

300

020

005 Xy 301020

La forme canonique diagonal

10/16

Page 11: Representation Detat

Exemple Contrôle du pendule inversé

11/16

Page 12: Representation Detat

),,,(),,,( yyxxxx 4321

0 )(tumlyM

02 mglmlyml

À l’équilibre: des forces = 0 des couples = 0

042 )(tuxmlxM

0342 gxxlx

)(tumgxxM 324xl Éliminant des 2 équations

mM De l’autre côté, puisque 2xÉliminant des 2 équations

034 )(tuMgxxMl

12/16

Page 13: Representation Detat

)(,

)(,

tuMl

xl

gxxx

tuM

xM

mgxxx

1

1

3443

3221

Ml

MB

lg

MmgA

/

/

/

)/(

1

0

1

0

000

1000

000

0010

13/16

Page 14: Representation Detat

3.6. La fonction de transfert à partir de l’équation d’état

Considérant un système SISO (Système à 1 entrée et 1 sortie)

BuAXX

CXy Équation différentielle d’état

Équation de sortie

Noter que u, et y sont des scalaires(Système à 1 entrée et 1 sortie)

)()(

)()()(

sCXsy

sBusAXssX

)()()(

)()()(

)()()(

sBussX

sBuAsIsX

sBusXAsI

1

)()()( sBusCsy

BsCsG )()(

14/16

Page 15: Representation Detat

Exemple Fonction de transfert d’un circuit RLC

BuAXX

CXy Équation différentielle d’état

Équation de sortie

RC

CB

LRL

CA

0

0

1

1

10

/

//

/

LRsL

CsAsI

//

/

1

1

LCs

L

Rss

sL

CLRs

sAsIs

1

1

11

2

1

)(

/

//

)()()(

0

11

1

0C

s

s

sL

sCs

LRs

RsG/

)()(

)()(

/

)( LCs

LR

s

LCRsG

12

/)(

Ce qui correspond parfaitement avec le résultat vue avec la méthode de graphe de fluence (Chapitre II)

15/16

Page 16: Representation Detat

3.7. La réponse temporelle et la matrice de transition d’état

16/16

dBUtXttXtXt

)()()()())(()(

0

1 0

Il est important de connaître la réponse temporelle des variables d’état d’un système asservi pour examiner ses performances.

La réponse transitoire d’un système peut être obtenu en évaluant la solution d’équationdifférentielle du vecteur d’état. Dans la section 3.3, il a été montré comment obtenir une telle solution:

Si les conditions initiales sont connues, ainsi que l’entrée et la matrice de transition, la réponsetemporelle de X(t) peut être évaluée numériquement.

La principale difficulté est comment évaluer la matrice de transition (t), qui représente la réponse du système.

L’utilisation de la technique de graphe de fluence est considéré comme un moyen pour résoudreet aboutir à une telle évaluation.

Page 17: Representation Detat

2/14

3.8. Discrétisation de la réponse temporelle

BuAxx T

txTtx )()(~

)()()(])1[( kTTBukTxITATkx kTt

Approximation d’Euler(pour T infinitésimale)

ITATP

kTBukxTPkx

)(

)()()()1(

)(0

/1

//1

/10tu

CX

LRL

CX

Exemple 1

)(0

2

31

20tuXX

sT 2.0Pour )(2.0)()2.0()1( kBukxIAkx

)(0

4.0

4.02.0

4.01tuXX

Page 18: Representation Detat

3/14

6.0

6.0)0(

4.02.0

4.01)1( XXÀ t=T (ou k=0)

36.0

36.0)1(

4.02.0

4.01)2( XXÀ t=2T (ou k=1)

Etc.

Pour u=0, et

0

0)0(X

Voir plus loin le résultat de la simulation avec MATLAB

Page 19: Representation Detat

),,( tuxfx

T

txTtx )()(~

Butxfx ),(

Buxfx )(

Sys. Non-lin.

Sys. Non-lin.(mais linéaire avec u)

Sys. Non-lin. stationnaire(mais linéaire avec u)

Méthode de discrétisation est nécessaire

4/14

Page 20: Representation Detat

3.9. Analyse des modèles à variables d’état avec MATLAB

BuAxx

DuCxy Systèmes SISO

Nous allons considérer les fonctions suivantes: ss, lsim, et expm.

représentation par fonction de transfert (avec la fonction tf) représentation d’état (avec la fonction ss)

5/14

Page 21: Representation Detat

6/14

Page 22: Representation Detat

Exemple6168

68223

2

sss

ss

sR

sYsT

)(

)()(

7/14

Page 23: Representation Detat

Diagramme bloc correspondant

8/14

Page 24: Representation Detat

dBUtXttXtXt

)()()()())(()(

0

1 0

)exp()( Att avec

Comment évaluer la matrice de transition d’état avec MATLAB

9/14

Page 25: Representation Detat

Exemple

BuAXX

CXy Équation différentielle d’état

Équation de sortie

0

01

0

2

31

20

D

C

B

A

0

1

10

)(

)(

tu

XAvec

À l’instant t=0.2s

67030

67030

1

1

5219014840

296809671002020

.

..

..

..)()..().( XX

10/14

Page 26: Representation Detat

Évaluation avec la fonction LSIM de MATLAB

11/14

Page 27: Representation Detat

12/14

Page 28: Representation Detat

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Page 29: Representation Detat

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