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Profa. Maribel I. Mojica C.
REPUBLICA DE PANAMA
MINISTERIO DE EDUCACION
INSTITUTO PROFESIONAL Y TECNICO EL SILENCIO
MODULO 9° A
ASIGNATURA
MATEMATICA
PROFESORA
MARIBEL MOJICA
CORREO
67492774
TURNO
MATUTINO
2020
Profa. Maribel I. Mojica C.
INTRODUCCION
El presente módulo se ha confeccionado con el objetivo de formar estudiantes capaces de analizar y resolver problemas que contemplan una de las áreas de Algebra.
El mismo se ha basado al contenido de los programas de estudios de noveno grado de matemáticas del currículo priorizado de los colegios oficiales y particulares del país, que recomienda el Ministerio de Educación. En él los estudiantes tendrán una herramienta de consulta teórica práctica que les facilite una mejor comprensión de los temas que se dictan en los cursos de este nivel.
El módulo contiene el tema de casos de factorización, objetivos y ejemplos desarrollados; además incluyen las actividades prácticas que los estudiantes pueden desarrollar en equipos y de manera individual.
Los ejercicios evaluativos serán calificados por tu docente de matemática. Si las instrucciones en cada uno necesitan ampliarse podrás consultarle a la profesora para evitar desaciertos y dudas innecesarias.
Además, como las matemáticas requieren de una práctica constante, se hace necesario que el discente investigue, lea, practique, analice y conozca las aplicaciones de estos temas; lo que le ayudara a obtener una sólida formación para enfrentar otros niveles de estudios. Finalmente, debo agregar que se hace necesaria la consulta de otras bibliografías para complementar los contenidos en este módulo.
RECOMENDACIONES PARA EL BUEN USO DE ESTE MODULO.
Para resolver algunos problemas es necesario que te apoyes con una calculadora científica.
Comprueba que tus resultados estén correctos cotejándolos con los que se te presentan en algunos problemas.
Si no llegaste a la solución correcta de algún problema, trata de encontrar tus errores e intenta resolverlo otra vez.
Procura resolver todas las preguntas y en todo caso te asesores con Tu profesora.
Profa. Maribel I. Mojica C.
Objetivos de aprendizaje
Emplea la factorización como proceso que le
permite descomponer en factores una expresión
algebraica para resolver ejercicios y situaciones
del entorno.
Aprende a resolver los casos de factorización
Concepto
La factorización de una expresión algebraica consiste en hallar dos o más factores cuyo producto da como resultado la expresión inicial; es decir es la operación inversa a los productos notables. La factorización es la estrategia más empleada en el trabajo matemático para convertir una expresión algebraica de manera conveniente, con el fin de resolver algún algoritmo.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los términos que multiplicados entre sí dan
como producto la primera expresión. La factorización busca simplificar el trabajo.
Para poder factorizar una expresión algebraica es
necesario que siempre exista al menos un factor en
común dentro de sus términos, ya sean números y/o
letras.
Factor común de una expresión algebraica es el máximo común divisor (m.c.d.) de los términos que la componen.
Los casos de factorización que usaremos en este documento se muestran a continuación:
1. Factor común a. Monomio b. Polinomio
2. Factor común por agrupación 3. Trinomio cuadrado perfecto
4. Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
5. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 6. Diferencia de cuadrados perfectos 7. Suma o diferencia de cubos perfectos
LECCION # 1
FACTORIZACION
Profa. Maribel I. Mojica C.
Caso 1. Factor común monomio
Es el factor que está en cada término del polinomio. En el caso de los coeficientes numéricos, el factor común es el mayor divisor posible entre ellos y el factor literal está conformado por las letras presentes en todos los términos con el menor exponente.
Ejemplos:
Descomponer en factores 𝑎2 + 2𝑎.
𝑎2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del
paréntesis escribimos cocientes de dividir 𝑎2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2, y tendremos:
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂 = a (a + 2)
Descomponer 10 𝑎2 − 5𝑎 + 15 𝑎3
El factor común es 5a. Tendremos: 𝟏𝟎 𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 +𝟏𝟓 𝒂𝟑 = 𝟓𝒂(𝟐𝒂 − 𝟏 + 𝟑𝒂𝟐).
Descomponer 8𝑚2 − 12𝑚𝑛.
Identificamos el factor común de 8𝑚2 y 12𝑚𝑛 el cual es 4m( esto es buscando un número que los
divida a ambos), entonces dividimos los términos de la expresión por 4m así:
8𝑚2
4𝑚= 2𝑚 y
12𝑚𝑛
4𝑚= 3𝑛
Escribimos la factorización:
𝟖𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎𝒏 = 𝟒𝒎(𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)
Práctica #1
Factorar o descomponer en dos factores
1. 𝟑𝒂𝟑 − 𝒂𝟐.
2. 𝟓𝒎𝟐 + 𝟏𝟓𝒎𝟑.
3. 𝟐𝒂𝒙𝟐 + 𝟔𝒂𝒙𝟐
4. 𝟗𝒂𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒂𝒙𝟑.
5. 𝟑𝟓𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟕𝟎𝒎𝟑
6. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐
7. 𝟏𝟓𝒚𝟑 + 𝟐𝟎𝒚𝟐 − 𝟓𝒚.
Profa. Maribel I. Mojica C.
8. 𝟗𝟔 − 𝟒𝟖𝒎𝒏𝟐 + 𝟏𝟒𝟒𝒏𝟑.
9. 𝟗𝒂𝟐 − 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟐 − 𝟐𝟒𝒂𝒃𝟐.
10. 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟒 − 𝟒𝒂𝟓 + 𝟔𝒂𝟔.
Factor común polinomio
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión. (es el polinomio que se repite).
Ejemplos:
Descomponer 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑚(𝑎 + 𝑏).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (𝑎 + 𝑏), es el polinomio que se repite.
Escribo (𝑎 + 𝑏) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común
(𝑎 + 𝑏),o sea: 𝑥(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)= 𝑥 y
𝑚(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)= 𝑚 y tendremos:
𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒎(𝒂 + 𝒃) = (𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝒎).
Descomponer (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
Dividiendo entre el factor común (𝑥 − 1) tenemos:
(𝑥+2)(𝑥−1)
(𝑥−1)= (𝑥 + 2) y
−(𝑥−1)(𝑥−3)
(𝑥−1)= −(𝑥 − 3)
Por tanto:
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏) − (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)
= (𝒙 − 𝟏)[(𝒙 + 𝟐) − (𝒙 − 𝟑)]
=(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐 − 𝒙 + 𝟑)
= (𝒙 − 𝟏)(𝟓)
= 𝟓(𝒙 − 𝟏).
Descomponer 𝑚(𝑥 + 2) + 𝑥 + 2.
Esta expresión podemos escribirla así:
𝑚(𝑥 + 2) + (𝑥 + 2) = 𝑚(𝑥 + 2) + 1(𝑥 + 2).
Factor común (𝑥 + 2). Tendremos:
𝒎(𝒙 + 𝟐) + 𝟏(𝒙 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟐)(𝒎 + 𝟏).
Profa. Maribel I. Mojica C.
Práctica #2
Factorar o descomponer en dos factores.
1. 𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝒚(𝒙 − 𝟏)
2. 𝒙(𝒂 + 𝟏) − 𝒂 − 𝟏
3. 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) − 𝟐𝒚(𝒙 − 𝟐)
4. (𝒂 + 𝟑)(𝒂 + 𝟏) − 𝟒(𝒂 + 𝟏)
5. (𝒙𝟐 + 𝟐)(𝒎 − 𝒏) + 𝟐(𝒎 − 𝒏).
6. (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) + (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒).
7. (𝒂 + 𝒃 − 𝒄)(𝒙 − 𝟑) − (𝒃 − 𝒄 − 𝒂)(𝒙 − 𝟑).
8. 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟐𝒚(𝒙 − 𝟏) + 𝒛(𝒙 − 𝟏).
9. (𝟏 + 𝟑𝒂)(𝒙 + 𝟏) − 𝟐𝒂(𝒙 + 𝟏) + 𝟑(𝒙 + 𝟏).
10. (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝒚 − 𝒛) − (𝟑𝒙 + 𝟐) − (𝒙 + 𝒚 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟐).
Caso 2. Factor común por agrupación de términos.
En este caso, se trata de agrupar los términos de
manera que, en cada grupo podamos obtener un factor
común monomio y, a la vez, un factor común polinomio.
Ejemplos:
Descomponer 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
Los dos primeros términos tienen el factor (común x y los dos
últimos el factor común y. agrupamos los dos primeros términos
en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis precedido
del signo + porque el tercer término tiene el signo + y
tendremos:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)
= 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦).
Factorizar 3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛.
Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los dos
últimos el factor común 4. Agrupando tenemos:
3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛
= (3𝑚2 − 6𝑚𝑛) + (4𝑚 − 8𝑛)
= 3𝑚(𝑚 − 2𝑛) + 4(𝑚 − 2𝑛)
= (𝑚 − 2)(3𝑚 + 4)
Profa. Maribel I. Mojica C.
Práctica # 3
Factorizar o descomponer en dos factores
1. 𝑎𝑥 − 2𝑏𝑥 − 2𝑎𝑦 + 4𝑏
2. 𝑥2 − 𝑎2 + 𝑥 − 𝑎2𝑥
3. 3𝑎𝑏𝑥2 − 2𝑦2 − 2𝑥2 + 3𝑎𝑏𝑦2
4. 6𝑎𝑥 + 3𝑎 + 1 + 2𝑥
5. 6𝑚 − 9𝑛 + 21𝑛𝑥 − 14𝑚𝑥
6. 4𝑎𝑚3 − 12𝑎𝑚𝑛 − 𝑚2 + 3𝑛
7. 3 − 𝑥2 + 2𝑎𝑏𝑥2 − 6𝑎𝑏
8. 3𝑎2 − 7𝑏2𝑥 + 3𝑎𝑥 − 7𝑎𝑏2
Caso 3. Trinomio cuadrado perfecto.
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de
otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores
iguales.
Así, 4𝑎2 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 2𝑎.
Ejemplos:
Factorizar 9𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 16𝑦2
1) Hallamos la raíz del primer término 3x y el tercer término 4y.
2) Verificamos si 2 (3x) (4y) es igual al segundo término:
2 (3x) (4y) = 24xy
3) Como el paso 2 es verdadero, entonces la factorización
es: 9𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 16𝑦2 = (3𝑥 + 4𝑦)2
Factorizar 121 − 198𝑎6 + 81𝑎12
1) Hallamos la raíz del primer término 11 y el tercer término
9𝑎6.
2) Verificamos si 2 (11) (9𝑎12) es igual al segundo término:
2 (11) (9𝑎6) =198𝑎6
3) Como el paso 2 es verdadero, entonces la factorización
es: 121 − 198𝑎6 + 81𝑎12 = (11 − 9𝑎6)2
Profa. Maribel I. Mojica C.
Práctica #4
Factorizar o descomponer en dos factores.
1. 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
2. 𝑎2 − 10𝑎 + 25
3. 36 + 12𝑚2 + 𝑚4
4. 4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
5. 1 + 14𝑥2𝑦 + 49𝑥4𝑦2
6. 121 + 198𝑥6 + 81𝑥12
7. 400𝑥10 + 40𝑥5 + 1
8. 16𝑥6 − 2𝑥3𝑦2 + 𝑦4
16
Caso 4. Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Trinomios de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 son trinomios como:
𝑥2 + 5𝑥 + 6
𝑎2 − 2𝑎 − 15
𝑚2 + 5𝑚 − 14
Que cumplen las condiciones siguientes:
Profa. Maribel I. Mojica C.
1) El coeficiente del primer término es 1.
2) El primer término es una letra cualquiera
elevada al cuadrado.
3) El segundo término tiene la misma letra que el
primero con exponente 1 y su coeficiente es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer término es independiente de la letra
que aparece en el 1° y 2° termino y es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Regla para factorar un trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
1 — Abrimos paréntesis (x )(x ) y copiamos la raíz de 𝑥2 la
cual es x.
2 — Se escribe el signo del segundo término del trinomio
en el primer paréntesis.
3 — Se escribe la combinación del signo del segundo
término por el signo del tercero. Más por menos, más por
mas, menos por menos, etc.
4 — Si ambos factores tienen signos iguales. Buscamos
dos números que multiplicados den como resultado el
tercer término. Y sumados el segundo término. En cambio,
si ambos factores tienen signos diferentes, buscamos dos
números que multiplicados den como resultado el tercer
término y restados el segundo término del trinomio.
Profa. Maribel I. Mojica C.
Ejemplos:
Factorar
Solución:
Encontramos la raíz del primer término:
Buscamos los dos números que sumados nos den el valor
del segundo término del trinomio (4) y multiplicados nos
den el valor del tercer término del trinomio (3)
entonces: y
Armamos la factorización:
Factorar
Solución:
Encontramos la raíz del primer término:
Buscamos los dos números que sumados nos den el valor
del segundo término del trinomio (11) y multiplicados nos
den el valor del tercer término del trinomio (30)
entonces: y
Armamos la factorización:
Factorar
Solución:
Encontramos la raíz del primer término:
Buscamos los dos números que sumados nos den el valor
del segundo término del trinomio (-11) y multiplicados nos
den el valor del tercer término del trinomio (+30)
entonces: y
Armamos la factorización:
Factorar
Solución:
Encontramos la raíz del primer término:
Como el último término es negativo buscamos los dos
números que restados nos den el valor del segundo
Profa. Maribel I. Mojica C.
término del trinomio (-20) y multiplicados nos den el valor
del tercer término del trinomio (-30)
entonces: y
Armamos la factorización:
Práctica #5
Factorizar
1. 𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒
2. 𝒙𝟖 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝟎
3. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 − 𝟏𝟓𝒂𝟐
4. 𝒂𝟐 − 𝟒𝒂𝒃 − 𝟐𝟏𝒃𝟐
5. 𝒎𝟐 + 𝒎𝒏 − 𝟓𝟔
6. 𝒙𝟒 + 𝟕𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝟎𝒂𝟐
7. 𝒙𝟖 + 𝒙𝟒 − 𝟐𝟒𝟎
8. 𝟏𝟓 + 𝟐𝒚 − 𝒚𝟐
Caso 5. Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Son trinomios de esta forma: 2𝑥2 + 11𝑥 + 5
3𝑎2 + 7𝑎 − 6
10𝑛2 − 𝑛 − 2
Que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso
anterior en que el primer término tiene un coeficiente
distinto de 1.
Para la factorización de un trinomio de ésta forma existen
distintos métodos y reglas que seguir:
Método 1 para la factorización de un trinomio de la
forma
Se deben seguir las siguientes reglas:
1. Ordenamos el trinomio dado en orden decreciente.
2. Multiplicamos todo el trinomio dado por el
coeficiente del primer término y al mismo tiempo se
Profa. Maribel I. Mojica C.
divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el
segundo término solo se indica la multiplicación.
3. Simplificamos el producto para que de esta manera
nos quede expresado como un trinomio de la forma
x²+bx+c.
4. Factorizamos ese trinomio.
5. Sacamos el factor común de cada uno de
los binomios formados y simplificamos de modo
que eliminemos el coeficiente del termino
cuadrático que esta dividiendo.
6. Formamos la factorización encontrada.
Método 2 para la factorización de un trinomio de la
forma
Se deben seguir las siguientes reglas:
1. Encontramos dos números enteros (r y s) que
sumados den igual a (b) y que multiplicados sean
igual a (ac).
2. Reescribimos el trinomio de la siguiente
manera:
3. Agrupamos.
4. Usamos la propiedad distributiva para sacar
el factor común y factorizar el polinomio.
Profa. Maribel I. Mojica C.
Ejemplos:
1.- Factorizar
Solución:
Por método 1
Multiplicamos todo el trinomio dado por el
coeficiente del primer término y al mismo tiempo se
divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el
segundo término solo se indica la multiplicación no
se resuelve
Simplificamos el producto para que de esta manera
nos quede expresado como un trinomio de la forma
x²+bx+c.
Factorizamos
Sacamos el factor común de cada uno de los
binomios
Simplificamos y la factorización nos queda:
2.- Factorizar
Solución:
Por Método 2
Encontramos dos números enteros (r y s) que
sumados den igual a (b) y que multiplicados sean
igual a (ac).
y ya que r + s
=b y r * s
=ac
Reescribimos el trinomio
Agrupamos
Usamos la propiedad distributiva para sacar
el factor común de cada grupo y factorizar el
polinomio
Profa. Maribel I. Mojica C.
Usamos la Propiedad Distributiva para
tomar como factor común de los pares
La factorización nos queda:
3.- Factorizar
Solución:
Por método 2 sacando el factor común primero
Encontramos dos números enteros (r y s) que
sumados den igual a (b) y que multiplicados sean
igual a (ac)
ya
que y
Reescribimos el trinomio de la siguiente
manera
Agrupamos
Usamos la propiedad distributiva para sacar el
factor común de cada grupo y factorizar el
polinomio
Usamos la Propiedad Distributiva para
tomar como factor común de los pares
La factorización nos queda:
.
Profa. Maribel I. Mojica C.
Práctica #6
Factorizar
1. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
2. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟔
3. 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔
4. 𝟑 + 𝟏𝟏𝒂 + 𝟏𝟎𝒂𝟐
5. 𝟐𝟎𝒚𝟐 + 𝒚 − 𝟏
6. 𝟖𝒂𝟐 − 𝟏𝟒𝒂 − 𝟏𝟓
7. 𝟕𝒙𝟐 − 𝟒𝟒𝒙 − 𝟑𝟓
8. 𝟏𝟔𝒎 + 𝟏𝟓𝒎𝟐 − 𝟏𝟓
Datos
Realiza todas las prácticas en tu cuaderno de manera
ordenada.
Para cualquier consulta, mi contacto está en la
primera página.
Saludos.
Profa. Maribel I. Mojica C.