resistencia de mateiales- pisarenko, yacovlev, matveev- manual de resistencia de materiales

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Manual de resistenciade materialesG. S. Pisarenko.A. P. Ykovlev;V. v Matvev

Editorial Mir Mosc

Traducido del ruso

por el ingeniero B. A. Mrchevski

n a lI CIIanCHOM RBbIKC

Impreso en la Repblica Socialista de Rumania. 1979.

H BAaTCJlbCTUO " HaYRoua Ay~ma". 1975.

Tradu ccin al espaol. Editorial Mir . 1979.

CapItulo 1

INTRODUCCIN

1. Resistencia ' de materiales como ciencia.Objetos estudiados .La resistencia de materiales es una ciencia sobre los mtodos de ingeniera

de clculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos de mquinasy construcciones. .

La resistencia es la capacidad de una estructura, de sus partes y elementosde contrarrestar una carga determinada sin descomponerse.

La rigidez es la propiedad de una estructura o de sus elementos de oponersea las cargas exteriores en lo que se refiere a las deformaciones (cambios de formay dimensiones). Las deformaciones no deben exceder cuando las cargas sondeterminadas; de ciertos valores fijados de acuerdo con las exigencias para laestructura.

La estabilidad es la capacidad de una estructura o de sus elementos de con-servar una forma inicial determinada de equilibrio elstico.

Con el propsito de que las estructuras correspondan, en general, a las exi-gencias de resistencia, rigidez y estabilidad , es necesario, dar a sus elementosuna forma ms racional y determinar las dimensiones correspondientes.

La resistencia de materiales resuelve problemas sealados, basndose tantoen los datos tericos como en los experimentales que tienen en esta ciencia igualimportancia.

En la parte terica la resistencia de materiales se funda en la mecnica te-rica y las matemticas, mientras que en la experimental, en la fsica y la cienciade los materiales. .

La resistencia de materiales es la ciencia ms general sobre la resistencia delas mquinas y construcciones. Sin conocimiento fundamental del curso de Re-sistencias de Materiales es inconcebible la creacin de diferentes mquinas ymecanismos, construcciones civiles e industriales, puentes, lneas de transmisi6nde energa y antenas, hangares, barcos, aviones y helic6pteros, turbornquinas ymquinas elctricas, equipos de la energtica nuclear, tcnica coheteril y dereac-cin, etc.

La resistencia de materiales no agota todos los problemas de la mecnicadel cuerpo slido deformado. De stos se ocupan tales disciplinas contiguas cmomecnica de construccin de los sistemas de barras , las teoras de la elasticidady plasticidad. Sin embargo, el papel principal en la solucin de los problemas deresistencia pertenece a la resistencia de materiales.

Siendomuy variados los tipos de los elementos de estructuras que se en-cuentran en las construcciones y las mquinas, se puede reducirlos a un nmerorelativamente pequeo de formas fundainentale s. Los cuerpos que tienen esasformas fundamentales son objeto de clculo a la resistencia, rigidez y estabilidad.Son barras, placas y bvedas, cuerpos macizos.

Por barra o viga se entiende un cuerpo que tiene dimensin (longitud) muchomayor que las otras dos dimensiones (transversales) (fig. 1). En la ingeniera seencuentran barras con eje rectilineo(fig. 1, a) y curvilneo (fig. 1, b). Tanto lasbarras rectas como las curvas pueden ser de seccin constante (fig. 1, a) o de

5

seccin variada (fig. 1, e). Como ejemplo de barras rectas pueden citarse vigas,ejes, rboles. Los ganchos portacarga, eslabones de cadena, etc. son ejemplosde barras curvas. Las barras que tienen el perfil de la seccin transversal complejo,donde el espesor de las paredes es mucho menor que el tamao de la seccin,se llaman barras de paredes delgadas (fig. 1, d).

a f e

Fig. 1d

La bveda es un cuerpo limitado por dos superficies curvilneas situadas auna distancia corta una de otra, es decir, un cuerpo, una dimensin (espesor)del cual es mucho menor que las dos dems. El lugar-geomtrico de los puntosequidistantes de ambas superficies de la bveda se .llama superficie media. Deacuerdo con la forma de la superficie media se distinguen bvedas cilndricas(fig. 2, a), cnicas (fg. 2, b), esfricas (fig. 2, e), etc. A las bvedas pertenecendepsitos de paredes delgadas, calderas; cpulas de edificios, revestimientos defusilajes, alas y otras partes de las aeronaves, cuerpos de los barcos, etc.

Si la superficie media de una bveda representa un plano, tal bveda se llamaplaca (fig. 2, d). Las placas pueden ser redondas, rectangulares y tener .otras configuraciones. El espesor de las placas, lo mismo que de las bvedas, puedeser constante o variable. Fondos planos y tapas de los depsitos (fig. 2, e), cu-biertas de las obras de ingeniera, discos de las turbomquinas, etc. son placas.

Se llama macizo un cuerpo que tiene todas las tres dimensiones del mismoorden. Son cimentaciones de las obras, muros de retencin, etc.

En la resistencia de materiales los problemas se resuelven, por regla general,con mtodos matemticos simples, valindose de una serie de hiptesis smplif-

tOJDOa b e

Fig.2

e

cadas y resultados experimentales, llevando las soluciones hasta las frmulas declculo aptas para la utilizacin en la prctica de ingeniera. El objeto principalexaminado en la resistencia de materiales es la barra recta.

6

2. Tipos de las deformaciones.Nocin sobre el estado deformado del materialLos cuerpos reales pueden deformarse, es decir, cambiar su forma y dimen-

siones. Las deformaciones de los cuerpos suceden a causa de su carga con fuerzasexteriores o cambio de temperatura. Durante la deformacin del cuerpo suspuntos, lo mismo que llneas o secciones trazadas mentalmente, se desplazanen el plano o en el espacio respecto a su posicin inicial.

Al cargar un cuerpo slido, dentro de l surgen fuerzas interiores de inter-accin entre las partculas que se oponen a las fuerzas exteriores y tienden a vol-ver las partculas del cuerpo a la posicin que han ocupado antes de la defor-macin.

Se distinguen deformaciones elsticas, que desaparecen despus de haberseanulado la accin de las fuerzas, y deformaciones plsticas o p ermanentes que nodesaparecen al quitar las cargas. En la mayora de los casos para los valores delas deformaciones de los elementos de estructuras se fijan ciertos lmites.

En la resistencia de materiales se estudian los siguientes tipos principalesde las deformaciones: traccin y compresin, deslizamiento (o cizallamiemot,torsin y flexin. Se examinan tambin las deformaciones ms complejas que sonresultado de conjugacin de unos cuan tos tipos principales de las deformaciones.

L a traccin o fa compresin surgen, por ejemplo, en el caso de que a unabarra , a lo largo de su eje, se aplican fuerzas dirigidas en sentido contrario (fig. 3).En este caso sucede un desplazamiento de avance de las secciones a lo largo deleje de la barra que durante la traccin se alarga, y durante la compresin seacorta. El cambio de la longitud inicial de la barra 1,designado Al, se llama alar-gamiento absoluto (durante la traccin) o reduccin absoluta (durante la compresin).

La relacin del alargamiento (reduccin) absoluto Al a la longitud inicial fse llama alargamiento (reduccin) medio unitario en la longitud / o deformacinmedia lineal unitaria del tramo y se designa, generalmente, BOl :

AlBOl = T'

El verdadero alargamiento lineal unitario o la deformacin lineal unitaria enun punto se determina como la deformacin unitaria del tramo cuando l r O

AlB =I1m-.

1...0 1

Fig.3el ngulo y es pequeo se puede con-

Muchos elementos de estructuras trabajan a traccin o compresin a saber:barras de las armaduras, columnas , vstagos de las mquinas de pistn, pernosde apriete, etc.

El deslizamiento o cizallamiento surge cuando las fuerzas exteriores tiendena desplazar dos secciones planasparalelas de la barra una respectoa otra, siendo la distancia entreellas constante (fig. 4). La magnituddel desplazamiento As se denominadeslizamiento absoluto. La relacindel deslizamiento absoluto a la dis- Ptancia entre dos planos deslizados(la tangente del ngulo y) se de-nomina deslizamiento relativo. Comosiderar que

LIstg Y ~ Y =

a

7

El deslizamiento relativo es una deformacin angular que caracteriza la oblicuidaddel elemento. .

A deslizamiento o cizallarnientn trabajan, por ejemplo, remaches y pernosque unen los elementos, que las fuerzas exteriores tienden a desplazar unosrespecto a otros.

La torsin surge cuando sobre una barra actan fuerzas exteriores que for-man un momento con respecto a su eje (fig. 5). La deformacin de torsin vaacompaada por el giro de las secciones transversales de la barra unas respectoa otras alrededor de su eje. El ngulo de giro de una seccin de la barra conrespecto a otra situada a una distancia 1 se llama ngulo de distorsin en la lon-gitud l. La razn entre el ngulo de distorsin rp y la longitud 1 se denominangulo relativo de distorsin

rp() = - .

1

Los rboles, los husillos de tornos y taladradoras y otras piezas trabajana la torsin.

La flexin (fig. 6) consiste en la desviacin del eje de una barra recta o en elcambio de la curvatura de una barra curva. El desplazamiento de algn puntodel eje de la barra que sucede durante la flexin se expresapor un vector, cuyoorigen coincide con la posicin inicial del punto, y el final, con la posicindel mismo punto en la barra deformada. En las barras rectas los desplazamientosde los puntos dirigidos perpendicularmente a la posicin inicial del eje se deno-minanflechas. Designemos las flechas por la letra w, y la flecha mxima, por f.Durante la flexin sucede tambin el giro de las secciones de la barra alrededorde los ejes situados' en los planos de las secciones. Designemos con la letra Olos ngulos de giro de las secciones respecto a sus posiciones iniciales.

A la flexin trabajan vigas de pisos intermedios, de puentes, ejes de losvagones de ferrocarril, ballestas, rboles, dientes de engranajes, rayos de ruedas,palancas y muchas otras piezas.

Fig.5I

Fig. 6Las deformaciones simples anteriormente descritas de la .barra of~ecen una

idea sobre los caminos de su forma y dimensiones en general, pero no dicen nadasobre el grado y carcter del estado deformado del material. Las investigacionesdemuestran que el estado deformado de un cuerpo, hablando en general, esheterogneo y cambia de un punto a otro. El estado deformado en un punto del

8

cuerpo se determina perfectamente por seis componentes de la deformacin:tres deformaciones lineales unitarias 6;

Capitulo 2

CARACTERSTICAS GEOMTRICASDE LAS SECCIONES PLANAS

La resistencia que opone una barra a los diferentes tipos de la deformacindepende muchas veces no slo de su material y tamao sino tambin de las confi-guraciones del eje, la forma de las secciones transversales y su ubicacin respecto .a la direccin de las cargas que actan. Examinemos las principales caractersticasgeomtricas de las secciones transversales de la barra abstrayndonos de laspropiedades fsicas del objeto estudiado. Estas caracterlsticas son las siguientes:reas de las secciones transversales, momentos estticos, momentos de inercia,mdulos de la seccin, radios de giro.

4. Momento esttico de rea. Centro degravedad de rea .

Examinando una figura arbitraria (seccin transversal de la barra) referidaal sistema de coordenadas xOy (fig. 1), se puede componer una expresin, poranaloga con la expresin para el momento de fuerza respecto a algn eje, parael momento de rea que se denomina momento esttico . As, el producto de unelemento de rea dF por la distancia y desde el eje Ox .

dSx = ydF

se llama momento esttico del elemento de rea respecto al eje Ox. Por analoga,dSy = xdF es el momento esttico del elemento de rea respecto al eje Oy, Su-mando estos productos por toda el rea, obtenemos momentos estticos de rearespecto a los ejes x e y:

Sy = ~ xdF.F

(2.1)

Fig.7

x

La dimensin del momento esttico es una unidad delongilud en cubo (por ejemplo, crrr').

Supongamos que Xc e ve son las coordenadas delcentro de gravedad de la figura . Siguiendo la analog acon los momentos de fuerza, a base del teorema sobreel momento de la resultante se puede poner las si-guientes expresiones:

s; = Fyc; S y = Fxc ; (2.2)donde F es el rea de la figura.

Las coordenadas del centro de gravedad son

10

SyxC=[i; . Sx r : (2.3)

xFig.8

;="s, = F1Xl + F2x2 + ... + r; = ~ Fx.

1=1A partir de las frmulas (2.3) y (2,4) de- OL...J. ----L---..l~

terminamos las coordenadas del centro de gra-vedad de la figura compuesta

(2.4)

Para calcular momentos est tlcos de una figura compuesta, sta se divideen partes simples (fig. 8), cada una de las cuales tiene bien determinada el rea(F) y la posicin del centro de gravedad (x" y,).Los momentos estticos de toda la figura respecto ya los ejes Ox y Oy sern, respectivamente, igua-les a : .

; =ns; = F1Yl + F2x2 + ... + FnYn = ~ Fy,

=1

j := JI. 1: Fx. Sy i ~ 1se = F = -;;;:;;- ;

~F, =1

SyJ1c= F (2.5)

S. Momentos de inercia de figuras planasSe llama MOMBNTO D I! IN ERCIA M(IAL o ECUATORIAL del rea de una figura

la integral de los productos de los planos elementales por los cuadrados de Sil distan-cia al ej e examinado. AsI, los momentos de inercia de una figura arbitraria(Ii g, 9) respecto a los ejes x e y son iguales, respectivamente, a

r; = ~ y2 dF; Jy = ~ x2dF. (2.6)F F

Fig.9

-1:::1

y:>.,

aF "'tJt\J

O ~ X

t\J

b

Fig.lO Fig. 11Haciendo uso de estas frmulas, calculemos Ids momentos de inercia para

figuras elementales.RECTNGULO (fig. 10). Teniendo en cuenta que el plano elemental dF =

= bdy, hallamos

11

Es obvio quehb3 .

I y = - . . :12

TRINGULO (fig. 11). Teniendob '

en cuenta que b(y) = - (Iz - y),Iz

r' [ sen 2{J.-2 sen 2a ] .sen" ~pd~dp = "8 ({J - a) -

, b . ,dF F-'- (h - y)dy, expresamos el momento de inercia respecto al eje x como

I !I .: h

~ . b ) . bh3Jx = y2dF = - y2(1z - y)dy = - .. h 12F O

SBCTORCIRCULAR(fig. 12). Teniendoencuenta:quedF=pd~dp e y=p sen qJ,determinemos el momento de inercia respecto al eje x:

lJ,i, = ~ y 2dF = ~ ~ p2

F "o .:

Se llama MOMENTO POLAR DE INERCIA de rea de una figura respecto alpunto dado (el polo O) la integral del producto de los planos elementales por loscuadrados de SIIS distancias p desde el polo (fig . 9):

(2.7)

Si a travs del polo est trazado un sistema de ejes x, y mutuamente perpendi-culares, entonces p2 = x 2 + y2~ De (2.6) y (2.7) se desprende que

(2.8)CRCULO (fig.13). Teniendo en cuenta que dF=2rrpdp, el momento polar de

inercia ser .

O bien

Es evidente de (2.8) que para el crculo

I nd"Jx=Jy = 2 =-.2 64

Hay que sealar que los valores de los momentos de inercia axiales y polaressiempre son positivos.

12

Se denomina MOMENTO DE INERCIA CBNTRFUGO la integral de los productosde los -planos elementales por Sil distancia desde los ejes de coordenadas x, y:

Jxy = ~ xydF. (2.9)F

El momento de inercia centrfugo puede ser, segn sea la posicin de losejes, positivo o negativo o igual a cero. Los ejes respecto a los cuales el momento

y

-~x O -y , x)(

Fig. 12 Fig. 13 Fig. 14

de inercia centrfugo es igual a cero se denominan ejes de inercia principales .Dos ejes mutuamente perpendiculares, de los cuales por lo menos uno es el ejede simetra de la figura, sern sus ejes principales. Este hecho se deduce de losiguiente: a cada valor positivo de xydF le corresponde igual valor negativo alotro lado del eje de simetra (fig. 14) Ysu suma por toda el rea de la figuraes igual a cero. Los ejes principales que pasan a travs del centro de gravedadde la seccin se denominan ejes principales centrales. La dimensin de losmomentos de inercia es una unidad de longitud elevada a cuarta potencia (porejemplo, crrr') .

6. Momentos de inercia de secciones compuestasAl calcular momentos de inercia de secciones compuestas, estas ltimas se

dividen, generalmente, en partes aisladas simples, cuyos momentos de inerciason conocidos. De la propiedad principal de la integral de la suma se deduceque el momento de inercia de la figura compuesta es igual a la suma de los mo-mentos de inercia de sus partes integrantes. Determinemos el momento de inerciade una figura compuesta (fig, 15) respecto al eje x dividindola en las partessimples 1, 11, III que tienen respectivamente las reas FI , Fu , FUI :

Jx = ~ y 2dF + ~ y2dF + ~ y2dF;F I Fn F n I

o bien(2.10)

Hay que sealar que en el caso de que la seccin tiene un orificio, es muyc-modo considerar ste una parte de la figura con 'rea negativa. As pues, el mo-mento de inercia de la seccin mostrada en la g. 16 respecto al eje x, ser

1 JI bh3 nr4 ~J = J - J =---.

x x x 12 4

13

7. Momentos de inercia respecto a los ejes paralelosSupongamos que son conocidos los momentos de inercia de la figura res-

pecto a los ejes centrales x, y

(2.11)

YA.

oFig. 15 Fig. 16 Fig.17

Se necesita determinar los momentos de inercia respecto a los ejes Xl> Yl que sonparalelos a los centrales (fig. 17):

Jy. = ~ xIdF;F

J X'Yl = ~XIYldF.F ,';"

(2.12)

Se puede expresar las coordenadas de cualquier punto en el sistema nuevoXI01)'1 por medio de las coordenadas en el sistema anterior xOy del modo si-guiente:

xl = x+b ; Yl =y +a. (2.13)

Como los momentos estticos de rea respecto a los ejes centrales son igualesa cero, las frmulas (2.12), tomando en consideracin (2.13), pueden ser represen-tadas definitivamente en la forma de

J.Yl = r; + a2F;}JY 1 = Jy + b2F;

(2.14)

(2.15)

Por consiguiente: 1) el momento de inercia respecto a cualquier eje es igual almomento de inercia respecto al eje central, paralelo al dado, ms el producto delrea de la figura por el cuadrado de la distancia entre los ejes.. 2) el momentode inercia centrifugo respecto a cualquier sistema de ejes rectangulares es igualal momento de inercia centrifugo respecto al sistema de ejes centrales, paralelosa los dados, ms el producto del rea de la figura por las coordenadasde su centrode gravedad referido a los ejes lluevas. Es necesario sealar que las coordenadas a,h que forman parte de la frmula (2.15) se introducen tomando en consideracinsu signo.

14

8. Dependencia entre los momentos de inercia durante el girode los ejes de coordenadasSupongamos que son conocidos los momentos de inercia de una figura arbi-

traria respecto a los ejes de coordenadas x, y (fig, 18):

(2.16)

Fig.18(2.17)

JX,y,=~ 'x,YldF.F

J.

ternos los ejes principales centrales por las letras u, v. Es obvio queJuv = O.

Para determinar la posicin de los ejes principales centrales de una figuraasimtrica arbitraria es necesario hacer girar los ejes centrales x, y a tal nguloao (fig. 19), para el cual el momento de inercia centrifugo respecto a la posi-cin nueva de los ejes ser igual a cero

De la frmula (2.20) obtenemos

(2.21)

Jy-JxJX 1Y 1 = J"y cos 2ao - --2- sen2IY.o = O,

de donde

x

Fig. 19

2JX Ytg 2a:o = --- .Jy-Jx

Los dos valores del ngulo 0:0' obtenidos de lafrmula (2.21), difieren 90" uno de "otro y deter-minan la posicin de los ejes principales. Como seve fcilmente, el menor de estos ngulos por el

ttvalor absoluto no sobrepasa de 4' Generalmente se utiliza el ngulo me-nor. El eje principal, trazado bajo este ngulo (positivo o negativo), se de-signa, generalmente, con la letra u. Hagamos recordar que el ngulo negativoao se coloca a partir del eje x en el sentido de las manecillas del reloj.

En la fig, 20 pueden verse algunos ejemplos de la denotacin de los ejesprincipales de acuerdo con la regla sealada. Los ejes iniciales estn designados

dJ, < J yJXY > OIro > .o

e

J, < J,Jxy

Sumemos y restemos las ltimas expresiones. Considerando (2.21) tenemos losiguiente: .

Solucionando las ltimas ecuaciones juntas respecto a Ju Y J,,, obtenemos

r; = _1 [(Jx + Jy ) + o; - Ji _1_); )2 cos2ao

Est claro que cuando Jx > Jy , Ju > J".Tomando en consideracin, de acuerdo con (2.21), que

(2.23)

las expresiones (2.23) para los momentos principales pueden escribirse en la formade

Ju = -+ [(Jx + Jy) V(Jx - Jy)2 + 4J.~y ];1J. ~+[(J. + Jyl 'f ]1(" - 'yl' + 4J;yj. i (2.24)

adems los signos superiores deben tomarse cuando JJI.>J~, y los inferiores,cuando Jx < r;

De esta manera, las frmulas (2.21), (2.23) Y (2.24) permiten determinar laposicin de los ejes principales y el valor de los momentos de inercia principalescentrales:

Ahora, si en vez del sistema inicial arbitrario de ejes centrales xOy se tomael sistema de ejes principales, las frmulas de transicin a los ejes virados (2.19)y (2.20) se simplifican: .

Jx, = r; COS21X + J" Sen21X ;}Jy , = J" COS21X + Ju scn21X,

(2.25)

(2.26)

Hagamos notar que los momentos de inercia principales tienen la propiedadde extremalidad, Es fcil convencerse de ello, diferenciando la expresin (2.19)por la variable 0::.

17

Los planos trazados a travs del eje de l a barra y los ejes de inercia princi-pales de su seccin transversal se llaman planos principales.

10. Representacin grfica de los momentos de inercia.Nocin sobre el radio y elipse de inercia

El clculo de los momentos de inercia segn las expresiones (2.23)-(2.26)puede reemplazarse por su determinancin grfica. En este caso se suelen dis-tinguir dos problemas: directo e inverso.

Durante la solucin del problema directo se determinan los momentos deinercia respecto al sistema central arbitrario de ejes x , y. siendo conocidos losmomentos de inercia principales Ju YJv El problema inverso cons iste en hallarlos momentos de inercia principales respecto al sistema central arbitrario de ejesx, y cuando son conocidos los momentos de inercia Jx , Jy Y JXY'

PROBLEMA DIRECTO . Se necesita determinar los momentos de inercia Jx Jy Jxy respecto a los ejes x e y (fig, 21, a) , utilizando Ju y Jv respecto a los ejes prin -cipales . cuya direccin es conocida. Pa ra ms precisin consideramos Ju > Jv

Elijamos un sistema rectangular de coordenadas en cierto plano geomt rico(fig. 21, b). Colocaremos sobre el eje de las abscisas los momentos de inerciaaxiales Jax(1" . Jv Jx Jy etc.), y sobre el eje de ordenadas, los centrfugosJ c en l (1,,)'. etc.).

Co locamos a lo largo del eje de abscisas en escala corresp ondiente, lossegmen tos OA y OB que son iguales a los momentos de inercia principales. Divi -

dimos el segmento AB en dos partes iguales , siendo Be = AC= _1_ (/ u -Jv)'. 2

A partir del p unto C circunscribimos con el radio CA una circunferencia llamadacrculo de inercia. Entonces, para determinar el momento de inercia respectoal eje x trazado bajo un ngulo C( con respecto al eje principal u, trazamos desdeel centro del crculo bajo un ngulo 20: el rayo CDx' Colocamos los ng ulospositi vos contra el sentido de las manecill as del reloj. Result a que la ordenada del

.punto Dx es igual al momento de inercia centrfugo I x y Yla abscisa, al momento

18

I de inercia axial Jx respecto al eje x. Para obtener el valor del momento de inerciaJy respecto al eje y, perpendicular al eje x y, por consiguiente, trazado bajoun ngulo positivo fJ = IX+ ~ con respecto al eje principal u, trazamos desdeel centro del crculo el rayo CD)I formando un ngulo 2fJ = 2 (1( + ; l Seve fcilmente que ste es una prolongacin del rayo CDx ' La abscisa del punto

.D y es igual al momento de inercia J r mientras que la ordenada K)lD)I' al mo-mento de inercia centrifugo con signo inverso (-JXy), lo que corresponde almomento de inercia centrfugo respecto a los ejes virados 90. Sealemos que alos dos ejes mutuamente perpendiculares les corresponden dos puntos delcrculo (D x y D y ) situados sobre el mismo dimetro.

Tracemos desde el punto Dx el eje x paralelo al eje correspondiente en lafig, 21, a. El punto M de su interseccin con el crculo se llama polo del crculode inercia (punto principal o foco del crculo de inercia). Es fcil demostrar quela linea que une el polo con cualquier otro punto del crculo da la direccindel eje, representado en el grfico por el punto dado. En particular, la lneaMA da la direccin del eje principal u, La linea MB es paralela al eje principal u ,

PROBLEMA INVERSO. Son conocidos los momentos de inercia Jx , Jy , JXY delrea de la seccin de la barra respecto al sistema de ejes centrales x, y (fig, 22, a).Determinar la posicin de los ejes de inercia principales y el valor de los momentosde inercia principales. Para que la construccin sea ms determinada, consi-deramos r; > Jy y Jx y > O.

y

a bFig.22

Construimos en el plano geomtrico (fig. 22, b) los puntos D y D quecorresponden a los momentos de inercia respecto a los ejes x e y. Las ab~isasde estos puntos son moment?s de.inercia,axiales, a s~ber: OKx = .1..,,; OKy=Jy;las ordenadas, momentos de mercra centrfugos !."'

(2.27)

Con el fin de determinarla direccin de los ejes principales construimos elfoco del circulo de inercia. Con este propsito trazamos, a partir de los puntosDx YDy'. lfneas para lelas respectivamente a los ejes sealados hasta la interseccincon el circulo en el punto M . Uniendo despus el foco con:los puntos A y B delcrculo, obtendremos -la direccin de los ejes principales 11y v (fig. 22, b). La solu-cin grfica del problema inverso para los cuatro casos presentados en la fig. 20.puede verse respectivamente en la fig. 23, a. b, e, d.

El momento de inercia de la figura respecto a algn eje puede representarseen forma de producto del rea de la figura por el cuadrado de cierta magnitudllamada nidio de giro: .

.s, = ~y2dF = Fi~,F

donde Ix es el radio de giro respecto al eje x,De (2.27) se desprende que '

. .V/x...'x = -.

a

Jcenf

e

b

JCenlv ti

-: s;OJu

'uJxJ y

J ,

d

Fig.23

Por analoga el radio de giro respecto al eje )'

. V/y"1,, = Ji '20

v(2.30)

A los ejes d~ inercia principales centrales les corresponden los radios de giroprincipales,

. VJ::1,,= F;Construyamos sobre los ejes de inercia

principales centrales de una figura plana unaelipse con semiejes iguales a los radios de giroprincipales, colocando a lo largo del eje u lossegmentos iguales a iv; Y a lo largo del eje v,segmentos iguales a i" (fig. 24). Tal elipse,llamada elipse de inercia, tiene una propie-dad notable de que el radio de giro res-pecto a cualquier eje central x se determinacomo la perpendicular OA bajada del centrode la elipse O sobre la tangente a sta, pa- Fig, 24ralela al eje x. Para obtener el punto de tan-gencia basta con trazar cualquier cuerda paralelamente al eje dado x. El punto deinterseccin de la elipse con la lnea que une el centro O y el punto central de lacuerda es el punto de tangencia. Midiendo el segmento OA = i"" hallamos elmomento de inercia por la frmula

J", = Fi;.

11. Mdulos de la seccinSe flama MDULO AXIAL DB LA SBCCIN la relacindel momento de inercia res-

pecto al eje dado a la distancia hasta el punto ms alejado de la seccin trans-versal:

J",Wx = - - ;Ymx .

(2.31)

. Los mdulos de la seccin se miden en unidades de longitud elevadas al cubo(mm", cm3 o m"),

La importancia prctica la tienen los mdulos de la seCcin respecto a losejes principales centrales que se llaman, por regla general, simplemente mdulosde la seccin.

l. Para un rectngulo (fig. 10);

r; bll2W- - -- - .'

x - 1l/2 - 6 . , (2.32)

r, Irb2Wy = b/2 = "'6

2. Para un crculo (fig, 13):

(2.33)

Jx nrs nd sW",= Wy = W= -=- =r 4 32

(2;34)

21

3. Para una seccin tubular con"dimetro interior d y exterior D:

siendod

i1. = - .D

(2.35)

(2.36)

Se llama MDULO POLAR DE LA SECCiN la relacin del momento de inerciapolar a la distancia desde el polo hasta el punto ms alejado de la seccin:

(2.37)

Se toma por polo el centro de gravedad de la seccin de la barra.1. Para un crculo (fig. 13):

2. Para una seccin tubular"Jp nD3IV = - = - - (1 ~ x4).

p DI2 16

12. Orden del clculo

(2.38)

(2.39)

Al hacer el anlisis de las caractersticas geomtricas de figuras planas decualquier complejidad el problema ms importante consiste en determinar laposicin de los ejes principales y los valores de los momentos de inercia princi-pales. Puede recomendarse el siguiente orden de determnacin de la posicinde los ejes principales y de los valores de los momentos de inercia principalescentrales de un perfil complejo, compuesto de partes simples, cuyas caracters-ticas son fciles de determinar.

1. Trazamos un sistema de ejes rectangulares arbitrario. Dvidimos la figuraen partes simples y determinamos segn (2.5) la posicin de su centro de gravedad.

2. Trazamos el sistema inicial de ejes centrales x, y de tal manera que sepueda calcular con mayor facilidad los momentos de inercia de las partes de lafigura respecto a estos ejes. Con este propsito determnamos los momentos deinercia de las partes de la figura respecto a sus propios ejes centrales trazados pa-ralelamente a los ejes x, y, utilizando las frmulas (2.14) y (2.15) de transsina los ejes paralelos. De tal manera obtenemos los valores de Jx' J y Y JxY'

3. Determinamos por (2.21) el ngulo de inclinacin de los ejes principalescentrales, designando con la letra 11 el eje trazado bajo el ngulo menor (positivoo negativo), y con la letra v, el eje perpendicular a ste.

4. Por las frmulas (2.24) determinamos los valores de los momentos deinercia principales centrales J" y Jv'

22

E JEMPLO. Determinar la posicin de los ejes principales centrales y calcularlos momentos de inercia principales para una seccin transversal (fg. 25. a)compuesta de un angular de alas desiguales N 14/9 (GOST 8510 - 72) Yuncanal N 24 (GOST 8240-72).

SOLUCIN. A travs de los centros de gravedad el y C2 del angular y canaltrazamos. paralelamente a sus lados, los ejes centrales Xl ' Yl Y X2' Y2 Como X2

2,42J ' Y Jmrlr

J ( ,J yJ yc

b

N" 24

a

Fig. 25

es el eje de simetra del canal, ste y el eje Ya son sus ejes principales centrales.El eje principal central Yo del angu lar forma con su eje central Xl un ngulo a .

Para el angular Fl = 22.2 cm"; JX I = 146 cm"; I Y I = 444 cm"; l y. =Jrn in== 85,5 crrr"; tg (f. = 0,409; (f. = 22"15'; las coo rdenadas del centro de gravedadson x~ = 4.58 cm, Yc '" 2,12 cm.

Para el canal F2 = 30,6 cm"; J = 2900 crn"; I yo = 208 cm"; J x,yo = O;las coordenadas del centro de gravedad son Xc = 2,42 cm; Yc = 12 cm.

Hallemos el momento de inercia principal Ix. y centrfugo J XI YI del an-gular :

J x = 1mb = 444 -1- 146 - 85.5 ~-, 504,5 cm";

504.5 - 85.5= - --- -- 0,701 = 146.7 cm",

2

Las distancias entre los ejes centrales del angular y el canal son las siguientes:ent re los ejes Xl y Xa

12,00 + 2,12 = 14,12 cm ;

entre los ejes Yl e h14,00 - 2,42 - 4,58 = 7,00 cm.

23

Determinemos las coordenadas del centro de gravedad C de toda la figurareferida al sistema de ejes X2' Y2; .

22,2'14,12= 5,94 cm.

22,2 + 30,6yc = - - ---22,2'7,00Xc = = 2,94 cm ;

22,2 -1- 30,6

El centro de gravedad C tiene que encontrarse sobre la recta C1C2 , 10 quees necesario comprobar en la figura. Trazamos a travs del centro de gravedad Clos ejes centrales Xc e Yc paralelos a los ejes centrales trazados anteriormente delangular y canal. En el sistema de ejes centrales Xc' Yc las coordenadas de loscentros de gravedad del angular y canal son las siguientes:

xc. = 7,00 - 2,94 = 4,06 cm; YCt = 14,12 - 5,94 = 8,18 cm ;

xc. = - 2,94 cm ; YC. = - 5,94 cm.

Calculemos los momentos de inercia axiales y centrfugos de toda la seccinreferida al sistema de ejes centrales arbit rarios xc' Yc:

Jxc = 146,0 -1- 22,2'8,182 + 2900 + 30,6' 5,942 = 5607,6 cm";

Jyc = 444,0 + 22,2'4,062 + 208,0 -1- 30,6-2,942 = 1282,4cm4 ;

J x cYC = 146,7 + 22,2' 4,06-8,18 -1- 30,6'(-2,94)'(-5,94) = 1417,3 cm'.

Hallamos, segn la frmula (2.21), el ngulo 0:0 de inclinacin de los ejesprincipales centrales x e y respecto a los ejes centrales arb itrarios XceYc:

2J.~cyc 2 , 14 ]7,3tg 2ao = - - - = = - o66-

Jy C - Jx c 1282,4 - 5607,6 "

. 20:0 = -3320'; C(o = -'-1640' .

Como el ngu lo 0:0 es negativo, el eje principal central u se C010C con res-pecto al eje central arbitrario Xc en el sentido de las manecillas del reloj, y comoJ.~c > Jyc , el eje u es un eje, respecto al cual el momento de inercia ser el m-ximo. Determinamos los momentos de inercia principales porla frmula (2.24):

5607,6 + 1282,4 Vf 5607,6 - 1282,4) 2 lu, o = + 1417 3- =2 2 , '= 3445,0 2585,6 cm';

Ju = Jm x = 6030,6 cm' = 6030,6'1O-3m4 ;

'v = Jmn = 859,4 cm' = 859,4' lO- 3m' .CoMPROBACIN_ Tienen que satisfacerse las siguientes condiciones:

24

Para el caso dado tenemos

Jx c + Jyc = 5607,6+ 1282,4 = 6890,0 = Ju + Jf) == 6030,6 + 859,4 = 6890,0 cm";

56076- 12824. ' '. ( -0,55) + 1417,3-0,836=-1189,4+

2

+ 1184,9 = - 4,5 cm'.

4,5El error relativo es --_. 100 = O4%, lo que es aceptable.

1184,9 'En la fig. 25, b puede .verse la construccin del crculo de inercia para la

solucin grfica del mismo problema. .Las caractersticas geomtricas de diferentes secciones planas al igual que de

las secciones de perfiles laminados pueden verse en las tablas 1-6.

26

Caractersticas geomtricas de secciones planas

Forma de la seccin Area de la seccin F Coordenadas de los puntosextremos de la seccin

Cuadradoh

Xl = YI = 2

x

Cualquier eje centra!es principal

HXl = Yl=T

x

y

yCualquier eje central

es principal------1- ---- - - ---1-------- --

Cuadrado hueco

Cuadrado hueco deparedes delgadas

y

F=4HoH

0 < -15

HXl =YI = 2

& ~X ,-.

":;:1::

X, X,H

x

yCualquier eje central

es principal

26

Momentos de inercia:a xiales J.-c, JJJ; centrfugo JX Y ;

polar Jp Y durantela to rsin libre J,

Ir'J = J =-

1C Y 12

HI - ht.J =J = --- =

1C Y 12

H2 + 112=---F

12

Mdulos de la seccin:axiales IV"". IV)I; polar Wpy durante la to rsin libre IV,

113W...: =WY =7 'Wt = 0,208113

Tabla 1

Radios de giro

i x = V.!-;. VJ)I')1= F

J(" = iy = -= = 0,28911

/12

La elipse de inercia. es uncrculo

i = i = V1l 2 + h2 =x y 12

= 0,289VH 2 + h2

La elipse de inercia es uncrculo

Hix = iy = V6 :::: 0,408HLa elipse de inercia es uncirculo

27

Forma de la seccin

Cuadrado hueco

Cualqu ier eje centrales principal

x

Area"de la seccin F COordenadas de los puntosextremos de la seccin

I

Il.

\

1

Cuadrado puesto de cantoy I-o

x

y

Cualquier eje centrales principal

Cuadrado huecopuesto de ,canto

y

Cualquier eje centrales principal

28

hXl = YI = 2

V2 -= - ' a = 071a

, 2' '. "

HXl = YI = 2:

Y2= - - a = O,71a

2

, ~

I

Momentos de inercia:axiales J". Jy : centrifugo I x y ;

polar lp y durantela torsin libre 1,

J4 - a4Jx = J)1 = - -12- =

/2+ a2= - - - F

. 12

Mdulos de la seccin :axiales UJ'.x . IV,,; pol ar Wpy durante la torsin libre W.

Continuacin de la tabla 1

Radios de giro. 1{J;;1~= Y F;

. Vlyly = Fi = i =V/2 + a2 =x y 12

= 0,289Vh2 + a2-La elipse de inercia es un

circulo

H

a4

J" = Jy = -=12(12F J4

= - - = -

12 48

12H4 _ J4 a2 + b2

= - - = - -F48 12

V2W = rv. =~a3 =" y 12

h3 3 1 3= - = 0,118a = 0,042/1

24

Al cortar el ngulo supe-rior e inferior en b =

1= - J, W", alcanza el

18mximo Wxcor = 0,124a3== 0,044h3

W,, = Wy =Vf a4 - b4

=12 - -0--a4 - b4

= 0,118 - - =a

=-- - =

24HH4 - J4

= 0,042

i", = iy = 0,289aLa elipse de inercia es un

circulo

ix = t, = Va2 ~b2 == 0,289V4 2 + b2


29

Forma de [a seccin

Rectngulo

Los ejes x - x ey :- y son principalescentrales

Area de la seccin F

F = bII

Coordenadas de los puntosextremos de la secci n

b.~1=2

hY1 = -2"

n 1 I 1,5 2 3 4 I 6 8 10._------ - ---,- - - ---

e 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 2,456 3,123

'1 0,1404 0,2936 '457210'7899. 0,1232 1,78'9 2,456 3,123- - --- --- --- - - - ------ --- ---

, 1,0 0,8588 0,7952 0,7533 0,7447 0,7426 0,7425 0,7425

30

Momentos de inercia:axiales Jx J1J; centrfugo J;rcy;

polar J p y durantela torsin libre J.

bita Fh2Jx - =--12 12

!lb" Fb3Jy =- =--12 12

blla FIl3J = -

x . 3 3Irba Fb3

J =- = -Y. 3 3

b Zh 2J =-

x .Y. 4

Jx = Jx, =bah3 b aha

6d2 - 6(b 2 + h2)d4senal): Fd2 sen2o;

48 24b

J = - (b2 -1- IrZ)p 12

Mdulos de la seccin:axiales W". W~; polar Wpy durante la torsin libre W.

bh 3 FhW = -= -

x 6 6Irb3 Fb

Wy = - = -6 6


. R adios de giro

. VJ"lx = p;

. 10;';y =Y7

ix = 0,289h

i y = O,289E

h- = 11 > 1b

W t = I;,b3

En medio de los ladoslargos Ja tensin tangencialmxima Tmx = Mt/Wt ;en medio de Jos cortosT = '1'mb ' en Jos ngulos1' =0

h- = 11 > 4b

1J = '3 (11 - O,63)b4

I1 JI

W t = "3 (11 - 0,63)ba = bJ En medio de los lados ,I co rtos T = O,7425Tmx

31

Forma de la seccin

Rectngulo hueco

x

yLos ejes x - x e y - y

son principales centrales

Rectngulo hueco deparedes delgadas

y

y

Los ejes x - x e y - yson principales centrales

Rectngulo con recorte

Area de la seccin F

F= BH- bit

F = 20(B + H)H

s

Momentos de inercia:axiales J", J,,: centrifugo J" y:

polar Jp y durantela torsin libre J ,

bJ = - (H ~ -I3)

x 12

baJ = - (H - h), 12

Mdulos de la seccin:axiales 11'", W~; polar 11'1'y dur ante la torsin libre IV,

OH2 (8 )W = - 3 - +1x 3 H

OB2 (H )W, = - 3- 3 11 + 1

Continuacion de la rabia 1

Rad ios degiro

VJ x1,. = 7 :1,, =V:fVJJH3- bJ3i -.OC - 12(BH - bIl}VH83- hb3i, = 12(BH - bh)

V3B -f-"Hix = O,289H - - -B +HV3H +Bi, = O,289B" - H + B

i _ YH:-1- Hh + hS _x - 12 -

= O,289VH2 + Hh + hl

i, = "O,289b

33

Forma de la seccin Area de la seccin F Coord enadas de los punt osextremos de la seccin

Rectngulo con agujeroredondo

y ,Los ejes x - x e y - y


x x

. nd2F =M- -- =

. 4 .

( . d2)= 'bJ 1 - 0,785 .--bh

bx1 = 2'

hY1=2

bX1= '2

";':: Y1 = -2

nd~F =bh - - =

2

( " d~) ,= bll 1 - 1,57 - 'bitRectngulo ' con dos

agujerosy

;\

I

-----------1-----------:1:----------Rectngulo con recortes

semirredondos

=t--+-+..:.~,

F = bJ - r2b

.\'1 =2'

h)'1 = '2


34

Continuacin de la tabla. 1

Rad ios de giro

VJ-;Ix = . -y;i y = Vi:~

ix = 0,289h X

V' I - 0'59~X ' d31 - 0,785 bhi, = O,289b X

l/r 1 - 0,59~~X d~1 - 0,785 bh

Mdulos de la seccin:axiales Wx ' W" , polar Wp)' durante la torsin libre W.

Momentos de inercia: Iaxiales Jx.Jy ; .centrfugOJ xy;

polar Jp Y duranteta torsi n l ibre J.

1J = ~ ( bf3_ rrd') = "-~-V-=-~1_-(,"",b;-;-f"3 -_-rr"'d'.--:)-=--;..- - - - - - - -

x 4 3 16 x 211 3 16

= _bl_,3 (l _ O59 _tl_' ) . = _bh_2 (1 _ 059 s:)12 ' . bll3 6 ' bf3

1 (lIbS '. d') V =..2.. (liba _ d') =1,= '4 3-16- = ~, 2b 3 16= _IIb_3 (1 _O59 _d_4 ) = _II_b_2 (1 _0,59 s:)

12 ' IIb3 6 hba

bIJa1 = -

x 12

d! ( a3 ) ]-118 - H- 16-

, b/a . d 2

lIba( d' )1, = - 1-1 ,18-12 /ba

bJ2 [W~ = - - l -. ~ 6

d! ( a3 ) ]- 118 - 1 + 16 -

, blla' d i

Itba ( d")Wy = - - 1 - 1,18 - ---6 hb3

ix = 0,28911 X

V l- 1 ' 1 8~ (I+16~)X d a1 - 1,57 Mi, = 0,289b X

~r l - l ' 1 8~X da1 - 1,57 Mb/3 nr"

I x = - _ ....:. _ -12 4

lIba . [1, = 12 - 2 O,11r' +

+~ (~ - ~)~]2 2 3r J

i, =VJ;. . F

35

Forma de la seccin

. Rectngulo inclinado

Banda estrecha rec-tangular

--r-n~---11-x

Doble T simtricoformado de rectngulos

x

Area do la seccin F

F = bh

F = lt

F = ah + b(H - h)

Coordenadas de los puntosextre mos de la seccin

I)'1 = - (h COSO: + b sen)

. 21

X l = -(b cos - h sena)2

a +bYo = -2-

. h' Yl = "2

x

y

x

Losejesx - xey-yson principales centrales

36

aira b aira b a 13)J = - - -1- - (Ha _ hS) W = - - -1- - (H - 1/x 12 12 x 6H 6/f

Mo mentos de inercia;axiales Jx , Jy ; centrifugo Jx y :

polar Jp y durantela tors i6n libre J,

bfJ = - (112 COS2(X +

:x 12

+ b2 sen2(X)b

J = - (lr2sen2a '+JI 12

+ b2 coS2OC)blrJ = __o (b2 - 1r2) sen 2~

;'

Forma de la seccin Area de la secci n F Coordenadas de los punto.extremos de la seccl n

Doble T

x-~

YI c.b ,;;t:.t:: .

-:

Xi ~'-'XI8

yl

x

F = n + 2b(c + C1)1

b =. - (B - a)2 H)'1 = T


Seccin simtrica formadade rectngulos

El eje x - x es principalcentral,

Seccin simtrica formadade rectngulos

El eje x - x es principalcentral

38

F = BH - bIz

F = BH + bhH

.Y1 = T

Continuacin de la tabla J

Momentos de inerclataxiales JX t Jy ; centrifugo J.",,,;

polar J" y durantela torsl n libre J,

Mdulos de la seccin;axiales IV",. W)'; polar IV"y durante la torsin libre W,

Radios de giro. 1{7;Ix =V p =. YJ",'",= F

J = _1_ [BHS -x 12

_ ~. (h~ - h4) ]4iX 1

r,= _1_ [B S(H _ h) +12

-1- hlas -1- (B4 - a")]11 - "1

o: = -z;-Para los doble T estndar

10:::::;6

JfT = _1_[BH3 _x 6H

- ~- (II~ - ".)]40: 1Wy = _1_ [B 3(H - 11) +6B+ "la3 + .. (84 - a4)]

6HBH3- bf3

Jf':" =----]2BH 3 - bf3

Jx = - - - -

VBH3 + bf 3JI. = . 12(BH+ bh)BH3+ bll 3W = ---x 6H12BH3+ b/3Jx = - - -

39

Forma de la seccin

Cruceta

Arca de la seccin F

F = Hb -1- (8 - b)/

Coordenadas de los puntosextremos de la seccin

y

~~X, X,B

y

Los ejes x - x ey - y son princi-pales centrales

x

)'1H2

Cruceta de .paredesdelgadas

y.;x X

b

y

Los ejes x - x ey -r--; y son princi-pales centrales

40

F = !lO + (b - o) bx1 =2

")-'1 ". 2

Moment os de inc:rcia:axiales JX t Jy : centrfugo JJl:Y;

polar Jp )' durantela torsin libre J,

bH3 + (B - b)h3J =-- - - -:x 12

hB3 + (H _ lI)b3J, = - - - -=1-2- --=---

Mdulos de la secci n;axiales IV". IV,.; polar lVp)' durante la torsin libre IV,

bH3 -1- (B - b)hSW:x = ------..:.~-~

6H

IIBS + (H - lI)bSWy = ---- - - 6-B---

hSo + 03(b - O)6h

bS + 03(11 - )6b


Radios de giro

VJ"I" = F:- 1(J;,,. = r - F -

i:x = VJ:x. F

i = VJyy F

- VJ:x':x = -. F

iy = Vi

Forma de la seccin

Doble T no simtricoformado de rectngulos

l!Jk!:LL !!l2J - .1,-] 2

yLos ejes x - x e y - y


Arca de la seccin F

F= bCl + a(h + lit> + Be

Coordenadas de los puntosextremos de la .seccin

b1 = b - aBI = B - a

BXl = 2

t)'1 = "2 X

aH2+ Blc. +b1c](lH - cl )X - .ali -1- E1c + b CI

Y~ = If - Y1/1 = )'1 - C

111 = Y~ - CI

Perfil en T simtricoformado de rectn gulos

01 /'//.f x

x, I X2

,;;r ! '.

F = (B - b)c + bf E')'1 = 2

] (B - b)c2 + blr2J'~ = ,2 (B - b) e + bhJ'l = / -:- Y~

El eje y - yes principalcentral

42

Conttnuacton de la tabla 1

Moment os de inercia :axiales JX t J,}' ; centrfugo J:r;y;

polar Jp Y dur antela to rsin libre J.

Mdul os de la seccin:axiales IVx. IV,,; polar IVpYduran te la torsin libre IV.

Radios de giro

. VJ,.1:< = - jr ;

i" = V!!-F1

Jx = "3 (8.l~ - BIII3 ++ b)'~ - bI/.~)

J = -~ [B3C + b3c1 +p 12+ aVI + IrJl

JXrvxs = - ,Y1(para las fibras superiores)

J",W = -

XI )'1

(para las fibras inferiores)1

W = - [B3e +y 6B

+ b 3Cl + (13(" + "1)]

. VJxl x ?" F

J" JJVx s= - x. _ y' Fy ' y' 11 1(para las fibras superiores)

J... r;W,, = - = --,

YI "' h - Yl(para las fibras inferiores)

IV "= _1_[B3e + l?(Jr- e)]y 6B

eh0.20.1

J" = Jx - y~2F1

J = - [(B - b)e3+ blJ3]x. 3

1J = - [B3e + b3(h - e)l

y 12Bh3

Adems, J,,= P-. donde12

p se halla del grficoJ

43

Forma de la seccin Area de la seccin F Coorden adas de los pu ntosextremos de la seccin

_ _ ___ __ _ _ ___ -j- --L . _

Seccin no simtricaformada de rectngulos

El eje x - x es central

Seccin en U

XI XI

8v

El eje ' y - y es principalcentral

44

F = aH + be

F = Bh + 2b(H - 11)

aH 2 -1- bc2y1 = ----- - -

2(aH -1- be)y~ = H - YI =

= aH 2+bc(2H - e)2(all -1- be)

BX l = 2

)'1 =Bh2 + 2b(H 2 - J 2)2[BII + 2b(H - 11)]

)' ~ = ,H -)'1 .

Comtnuacton de la labia 1

Radios de giro

. VJx tx = -; ,iy=f}.......:.-_----~----

Mdulos d. la seccin:axiales IV..,. Wy , polar Wpy durante la torsin libre IV,

JW . = ---=- (para las fibras

X I Ylinferiores)

Momentos de inercia:axiales J x ' Jy ; centrfugo J~y;

polar Jp y durantela to rsin libre J,

r; r;W= - =xs Y~ H - Yl

(para las fibras superio-res)

--.--:-- 1-----1-----'---_ Bh3 + 2b(H _ h)3 +

Ix - 12

( h)2+ Bh )'1 - 2 +(H -r- h

+ 2b(H - h) -. -Z- +

+ Ir - )'lfJy =

B3H - (H - h) ~B -2'2...312

-Ix fibW = - (para las rasx )'1inferiores

JW = -~ (para las fibras

x Y~superiores)

Wy =B3H - (H - h)~B-Zb)3

6B

;=VJxx F

45

Forma de la seccin

Estribo en U

XI}' x,

X

El eje y - y es. principal central

Angular de alas iguales

y

X

JI

Area de la seccin F

a + bF =BIJ- -- ll

2

F = 1(211 - r)

Coordenadas de los puntos .extremos de la seccin

B.\"1=2

3BH2 - 112(b + 2a)Yt =

6BH - 3h(a + b)y~ = H - Yl

Xl =)'1 ="2-:- t(h - t )

2(211 - t )x~ = Y~ = 11 -Xl .=

= 11- )'1

Angular de alas iguales F = 1(2/z - t )

x

y

46

h +t -2c)'1 =-----

1/211 2 + lit - t 2y ' == .

1 (211 _ t ) Vi"Vi"

e = y' - -1 2

Momentos de inercia:axiales JX 1 J~; centrfugo Jx~ ;

polar Jp --y durantela torsin libre J,

J -= J _ -F)21x .~:BH3

J = -- -x. 3

113- - (b +3a)

12

H B"J~ = ----u- -

h b4 - a t- - - -

48 b - a

Mdulos de la seccin :axiales W". W,.; polar lVpy dur ante la torsin libre IV,

w'" = Jx (para las fibras)'1

inferiores)JxH'x = - (para las fibras)'i

superiores)HBz

W = -- -y 6k b4 - (l4

- ----

-24B b - a

Contlnuacin de la tabla 1

Rad ios de giro

1,, = V~;. VJ,.',. = F -

ix = V-j-iy = V~

- - - - - -,------ - 1- - - -- - -J", = J). =

1= - [1(h-- )'1) 3 + /yi -

3- (h - 1) (Yl - 1)"J

1(2h-3/)(h3 +t2)J = --

x. 67h~ - 5(" - 1)4

J y = 12

- 2hz)'(h + YI) ++ 2(h - t ) (//-)'1) (Yl + r) -

- 4hY1(h - 1)2

J = ~ [2C4 -2(C-t)4+:< 3

++'-2c+ ~r]/4 _ (" _ 1)4

Jy = --1-2- -

r;Wx = Wy = _Yl

(p ar a las fibras izquierdase inferiores)

J",H'x = U' u = -

, )'~

(para las fibras derechasy superiores)

JxJVxs ~- - -J'i

(para las f'ibras superio-res)

JxWx = -)'1

(para las fibras inferio-res)

. -V J_../ = -'" F

iy = V;

47

--- ----- - ----;-----,---- --'----- ---;-----------

Forma de la seccin

Angular de alas desiguales

y

Seccin en Z

48

Arca de la seccin F

F =/(b+/l) == te/ + b1)

F = 1r/1 + 2t(b - /1)


Xl =

x~ = b - Xl =b2 + /1(2b - 1)

2(b + 1r1)1r2 + bIt

Yl = 2(Ir + b1)Y~ = J -1 =

Ita + b I(2/ - t)2(" + b1)

/1Xl = b - -

2

"Yl= -2 .


1R adio. de giro

Momentos de inercia :Mdulos de la secci n ; ix= r;axiales J~. J~; centrfugo Jxy ; axiales. IV.. , IV,, ; pol ar IV"polar J" Y durante

y duran te la torsi n libre IV,

1 i" = V-i~la torsi n libre J,1 Jx Y7; .Jx = - [t(" - YI)3+ Wx s = - (para las fibras ix = F = 0,29"3 y '1

+ bYI - b(y) - - 1)3) superiores). VJyJx / =- = 0 32b1 Wx i = - (para las fibras y F 'J =~ - [t(b - Xl)3 + Yty 3 inferiores)

+ "xy - " 1(XI - t)3 J Jbb1hh1/

Wyd = 2.- (para las fibrasx '

J = ---

1x y 4(b + 111) derechas)

bbl hh1t J= - 4(1t -1- bJ Wy iz= 2.- (para las fibras IX l Iizquierdas)

--

J =bf 3- (b - t1) (h - 2t )3 bf3- (b - tI) (" - 2t )3

. VJxW = - - - - - lx = Jix 12 x 6"J - w =

. VJ)Iy - yIrtr+6tb2(b - tI)+2t(b - t) 3 la r !- 6tb2(b- tI}+ 2t(b- t) 3 1 = - -y F= 12 6(2b - t1)

J =Jx cos2a - Jy sen20c

x . cos2a

Jy =J,cos2a .: J~_sen2a

cos2oc

tg2a =bt(b - tI) (It - t)

J" - Jy-

49

Forma de h(seccin

Tringulo

50

Area

Para el tr ingul o equiltero con el lado b y altura h

Momento. de inercia:axiales JX t Jy ; centrfugo JX Y ;

polar Jp y dur antela torsin libre J.

bf S F/2J =- =---

x 36 18b/a F/2

J =-= -x. 12 6bfa Fh2

J = - = - -'~3 4 2

bh(b2 - X~Xl)J y = . 36

F(b2 - x~x))18

. h(x~3 +~i)J =-- -

Yo 12bf

J = - -- (/2 + x '2 +p 36 1

+ x~x) + xi )/

J A. = - (3M2 + :r'3 + X3)P 12 . 1 )

/b a Fb2J =J = -=- '

y Y. 48 24 '11 4 /f

JI ,-'" - - = --- =15Ir 25,9813 b4 b4

=--

80 V3 46, 188

Mdulos de la seccin :axiales IV.. , IV,,; polar JVpy dur ante la torsi n libre IV.

b1l2 -W,,= - - (pa ra las fibras

12inferiores)

bJ2Wxs= -- (para las fibras24

superiores)b!l(bZ - X;.\"I)

Wyd = - - - - --36x 1(para las fibras derechas)

bfW - x ix))Wy iz = - - - - -36xi

(para las fibras izquierdas)

/bZW)'d = Wy iz= 12

TVI = O,05b3 =f3 Iza 2J t

= - -- =-- - = -

7,5 Ir 12,99 1,


R adios de giro

i", =VJ",-;F .. VJ"',, = F

11ix. = - - = O,23571z

312

1i: = - - Vb2 - x ' Xl =Y 3!r 1

= 0,2357 1hZ - XiXl

iy = !!..V2 = O,204b6 2

Para el tringulo issceles con la base b, altura Ir y ngulo en el vrtice ex < 15

1J = - /b3 - O105b4

I 12 '1~VI = - !lb3 - O,105b3 =

12

-~- b

61

)'1

Forma de la' seccin

Tringulo rectngulo

52

Area

Momen tos de inercia saxiales J;)C ~ 1,, ; centrugo Jx y ;

polar Jp y du ran tela torsin libre J.

bJ3

36

bJ3 F/2Jx =U =

b/3 Flr2Jx = 3 2

bah Fb3J Y' =12 =6

b2/ 2JX h = - - 8-

bhJ = - (/s + b2) =

P 36 "M eS

36

bfJ pA. = - (h2 + b3) =

12bhe2

12

bh "J = - (3h2 + b2)pB 12

Md ulos de la secci n:axiales W" , Wy ; polar II'py dur ante la to rsin libre W.

b/2Jv (para las

x i 12fibras inferiores)

bh3W = - (para las

xs 24fibras superiores)

ba/Wy iz = 12 (para las

fibras izquierdas)ba/

WYd = 24 (para lasfibra s derechas)


R ad ios de giro

Vi -;;~. =- p ;iy = V7;=

hi x = _ - = O,2357h

3 )/f

bi = - = O,2357by 3yf "

53

Forma de la seccin

Trapecio

El eje x -- x es central

'54

Arca de la seccin F

1F = -- (b1 + b)f12 '


b + 2b1Yl = - --- - f13(b + b1)2b + b1y' - 11

1 - 3(b+b l )

Para un trapecio issceles

, 3b1 +2boY1 = 3(2b1 + bo) /

bXl = 2"

Para untrapecio cuneiforme

con la base superior b1 e inferior b1 + bo = b

Momentos de inercia:axiales Jx , Jy ; centrifugo Jx y ;

polar Jp Y du rantela tors in libre J.

J )< =f3(b2 -1- 4bb1 -1- bl

36(b -1- b1)F',2(b2 -1- 4bb1 + b)

18~b -1- b1) 2

1t3(b + 3b1)J = -_._=X l 12

Fh2(b + 3b1)6(b + bJ!I~(3b+ b1)J = .-:.-~~

X 3 12F /2(3b + b1)

6(b + b1)

/; 3(6bi + 6b1bo + b5)36(2b1 -1- bol

11 bl - btJ = - . - -)' 48 b - b1

Mdul os de la seccin:axiales IV", IV,.; pola~ IYpy.durante la tors in libre IV.

fVx i =1I2(b 2 -1- 4b61 + bi)

12(b + 2b1)(para las fibras inferiores)

V.", =112(/) 2 + 4bb1 + b)

12(2b + b1)(para las fibras superiores)

1I2(6bi!+ 6b1bo + b~)12(3b1 + 2bo)

It bl - btw = - .- -)' 24 b2 - bb

Continuackin de la tabla 1

Radios de giro

11i = --- xx 6(b + b1)

x l2(b2 + Abb -1- bi)

, ,'x = X6(2b1 -1- bu)

x l2(6bi -1- 6b1bo -1- L~ )

Vb 2 ..l- b2. ' 1/ = - -)' 24con la base mayor b, menor b1 y la altura h > 4b

1I(b l - bt>J = -

I 12(b - b1)

- 0,105(bl + bt)

I J IJVt = - - =b1I(b4 - t)1'26 (b-b1)

b4 +bt- 0105 _ _ o

, b

55

- -- - --- - --------- - - - ---- - ---,---- --- - _ .

Forma de la seccin

Rombo hueco

Area de la seccin F Coordenadas de los puntosextremos de la seccin

x x

b)'1 = 2"

___~ I--- - - - - - I- - -:.c:.-- - - - -

Crculo

/

x

Cualquier eje central esprincipal

56

1Td2F = - - = nr 2 ~

4

~ O,785d 2

dXl = Y1 ="2 = r

Momentos de inercia :axiales J~. J)': centrifugo JX Y ;

polar J" y durantela to rsin libre J,

ab3 - a1biJ = - ---.~ 48

Mdulos de la seccl n;axiales IV", W~; polar W"y durante la tors in libre W,


Rados de giro

. VJx'x= 7 ;

iy = v:~

7U14 m1 nd3 m3JJI = J = -- = - - = W = W = ---- = -- ~

y 64 4 x y 32 4 ~

~ 0,1((3 ~ 0,7851'3

d r; = ; = - =-x y 4 2

--= -- ~16 4~ 0,05d4~ 0,7851'4

Jp = J t = 2Jx =nd4

= 2J = - =y 32

~ 1,571'4

nd" nr3Wp = Wt = -- = --- ~16 2

~ 0,2d3 ~ 1,571'3 La elipse de inercia esun crculo

Forma de la seccin

\nillo

y

x

Cualquier eje central esprincipal

Circulo con orificio noconcntrico

y

El eje y - y es principalcentral

58

Area de la seccin F

7I:D2= _ _ (1 - (;(2)::::

4~O,785D2(1 - (.(2)

d(;(= -

D

dcc =-

D


Dx =-

2(;(2

yo=pD--

I1 - 0:2

D 1 - (;(2(l + 2(1) -1)'1 = - 2 1 - 0; 2

D 1 - 0:2(1 + 2fJ)y'= --_--:...._~1 2 1 _ (;(2

a{J = -D

Moment os de inercia : 1axiales s.: J~; centrfugo Jx JJ;

loJar Jp Y durante 1la torsin libre J.

n(D~ - d~)s; ~= J., = ..:....- 6- 4- ---.:.

nD I= - - (1 - lX~) =

64FeD~ + d~)

16FD2=~(l + (2) ~

16~ O,05D~(l - o:~)

n(D~ - cf!)Jp = JI = 32 =

. nD ~= - - (1 ~ a~) ~

32~ 0 ,1])1(1 - ( 4)

nD'J. = - - (1 - 0(1)} 64

Mdul os de la seccin:ax iales IVx IV}> ; pola r IV"y duran te la torsin libre W.

w." = W., =neD! - r/4)

32DnD3

= -- (1- (4) ~32

1:::0,ID3(1 - al)n ( D4_ d4)

W = W = - - - - =P I 16D

nD3= - - (1 - (.(1) 1:::

16 .1::: 0,2D3(1 - exl )

nD3Wx = 32 X

(1 - a:2) (I - al) - 1(Y.,,2fJ2x..:---=--:...--~--~

1 - aS{l + 2fJ)(para las fibras superiores)

nD3Wx = 32 x

(l - o:~)(I - al) - 16x2P:x ..:----=-.:.---=---~

1 - ex2(1 - 2fJ)(para las fibras inferiores)

nD3Wy = "32- (l - ex4)

Continuacin de: la tabla 1

R adios de giro

- lrJ~-'X = , ~ -.p . :

i .. = V!;-

1= 4 11D2 + d2 =

D . _ _= -- 1/1 + aS4


Di =-x;< . 4

59

---------_._------_._-~---

_ _ ....__. ---L ----+- _

Fo rma de la seccin

rculo con recorte circular

y

Atea de la seccin F Coordenadas de los punl osedremos de la seccin

f

x x.

I eje x - x es principalcentral

nillo de paredes delgadas0 < O,ld

y

x

X, .x,d = 2rIy

'ualquier eje central esprincipal

.nillo circular no cerradode paredes delgadas

o

Momentos de inercia:axiales J" , J",; centr ifugo J" ,,;

po lar J p Y durantela torsin lib re J,

Md ulos de la seccin :axiales IV" , IV",; pol ar IVpy durante la torsi n lib re IV,

Continuacin de ia tabla 1

R adios de giro

. VJ;;IX ~ 'p- ;

. VJ"'v ns F

r I 1 IR O 0,005 0,1 10,2 0,4 0,6 0,8 1 1,5 ..- - - . - - . _ - - - -- - - - --- - - - - - - - - - o

k 1 11.57 1,56 1,56 1,46 1,22 0,92 0,63 0,38 O.O~--- - - - - - - -- - - - - -- - --- - - - --- - - -

k 2 0,64 1,22 1,22 1,23 1.31 1.52 1,91 2,63 7,14

nod 3Jo = Jy = -- S- =

Fd 2= nor3 = - - ~

II~ 0,393M3

nod 3Jp =J = - 4- =

= 2nor3 ~ O,7S5M3

= rror2 ~ 0,7850d 2

nOd2H'p = W t ~ -2- =

= 271:0,.2 ~ 1,57od 3

d

2J1fr

~ O,353dViLa elipse de inercia es un

crculo

------- ------------- i---~-_,----ndtJ3

J l = - -3

(ndt5)2~

3rrd + 1,80rrdj2~ -3-

En los puntos de loscontornos inter ior yexterior de la seccin

3rrd + I,So--- - - M t(ndo)2

61

Forma de la seccin

Semicrculo

El . . . l 1. eje y -- y es prr ncrpacentral

Un cuarto del crculo

62

Are a de la seccin F

nd! m2F=-,-=--~

8 2~ O,393d2

Coordenadas de los puntos 'extremos de la seccin

dXl = "2 = r

2 dYl = - - =3 n

4 l'= - - ~ 0212d

3 n '

Y~ ~ O.:88d

x~ = )'~ >::: O,576r

Momentos de inercia:ax iales J~t Jy ; cent rifugo JX:I;

polar J" y durantela torsin libre J,

r; ~ :~Ui - -9: )~~ O,OO686d4 ~ O,l1r

ndl nr1J = J = _. =- =

y x. 128 8

Fd 2 Fr 2= 16=4 ~~ 0,0246d l ~ 0,3931'1

Jx Dlx ~ 0,07141'4

'J POln ~ 0,0384,4

JX 2 = JY. ~ 0,05491'4

n,lJ = J = - ~

X 3 Y3 16

~ 0,1961'4

Mdulos de la seccl n :axiales W"" IV,.; polar Wpy du rante la torsin libre IV,

IVx :::;: 0,0324d 3 ~ 0,2591'3(para las fibras inferiores)

JVx~0,0239ds :::;: 0 ,191,S(para las fibras superiores)

nd 3 11:,3IV = --= - ~y 64 8 ~

:::;: 0,05rP :::;: 0,393,3

n2r3IV = w = -xx. Y. 48

9n2 - 64x :::;: 0,9231'3

3; - 4

(para las fibras superio resy derechas)

rvx = IV)'2 =

:::;: 1,245rs

(para las fibras inferiorese izquierdas)


ix ~ 0,132dd

iy = 4

ix mx :::;: 0,302,

i Jlm in :::;: 0,2211'

63

Forma de la seccin Area de la seccin F Coordenadas de lo. punto.extremo. de la seccin

- ---- --------- - ----

Sector circul ar

El eje JI - Y es principalcen tra l

Segmento circular

by

El eje y - JI es principalcentral

64

srF = - = 1Xr2

2

s = 2rOl:noc

01: = - -180

r3F = -- (2Cl - sen 20:)

2 '

bXl = - "= rsenoc

2

2 rb) '1 = - - - =

. 3 s. 2,.sen :

3ar scn

= 38.2--0:0

(2SenlX)y~ = r 1 - h

b '"" 2,. senoc

bXl =

2

4r sen 3a .)'0 = .

3(2.x - sen 2oc)

(4 sen30c

)'1 = ; "3 '"2(( _ sen 20:- CJSOC)

, ( 4Yt =r l - 'J"X

. sen3 0: )X 20: _ sen 20c

0, -

Momentos de inercia : il Mdul os de la seccin:axiales J". J

y; centr fu..g. O._.J_XY;\ polar J p y durante axiales IV". IV,,; polar IVp 'la torsin libre J, y dur ante la torsin libre IV,


Rad io. de giro

i " = f X' ;. fJ~'Y~ ~ p -

scn2a2a

ri = -x

y 2

ri = - xx 2

V'--~~n 2ee 16 sen2aX 1+ --- - --2(;( 9 ;:(2

sen a

2 sen1 - --

3lX(para las fibras superiores)

3r3a (Wx = --~ 21l +16 senil32 Sen2IX )+ sen z - - - -

9a(para las fibras infer iore s)

20: - sen 2aWy =,.3- - - - -

,.3W = --x

x 8

\

32 sen2a21l+ sen 20: - - - -

9ax -- --- - - - - -

i ; = ~4 (2.::< + sen2!.t ___ 32 sen2a ) =

9a:

= F,.2 (2a+ sen 2a _8a

_ 32Sen2a)9a:

,.4J = - (2a + sen 20:)

X 2 8,4

J = - (la - sen 2a) =y . 8

F,.2= ---- (2a -- sen 20:)

8a- _._ .__ ._ - .- - - -

,.4J = - (2a - sen 2a -1-

x 8 .

+ 4 cos scn3a) =

= ~~2 (1 +4 coso:sen3cy' )

+ 20: - sen 27-

J = ~ (la - sen 2a -y 8

4 3) .- 3' cosa sen Ct =

= F:2 (1 _~ xx cosa sen3~ )

2a - sen Z,.4

J = -(21l -x. 8- sen 20: cos 2a)

Jx .Wx = -- (para las fibras)'1

inferiores)

JxWx = - (pa ra las fibrasY~superiores)

W = ~ (2a -y 8 seno:

- sen 2a - ~ coso: sen3o:)

,.

i = -xx 2

4 cos sen30i+--- _ .2IX - sen 2a

V 4 cOS?t sen3ax 1- -3 2a - sen 2a

65

Forma de la seccin

SemianiJIo

y


Sector del semianillo

x

Xzy

El eje y .: y es principalcent ral

66

Area de la seccin F

ir(D2 - d a)F=--- -

8irD2

= -(1 - ( 2) ~. 8

~ 0,393D2(1 - 0:2)d

a = -D

F = y(R 2 - r2) == yR2(1 - 0(2)

r0( =--

R

Coordenadas de Ins punt osextremns de la seccin

DXl = 2

2 D2+ Dd + d 2)'1 = 3; D + el

2 D 1 + a + (1.2= - -

3 ir l+ a1 + a + 0(2~. 0,212D - - - -

1 -1- O(

Y~ ~ D(0,288 -- 0 21 2 .~)

, 1 + O(

Xl = R senr2 R3_,.3

)'1 = 3 R 2_ r 2 xsenr

x - -=y

. 2 R senv 1 - 0(3---- ---3 y . 1 - 0(3

(2SenYl -(3)

y' =R 1- - - - - --1 3 y 1 - ce 2

2R senv)'11 = X1 31'

x (1 - a3 _ 2. ay ctg1')1 - (%2 2

Momentos de inercia:axiales I X I J)'; centrifugo JJeY;

polar Jp y durantela torsin libre J ,

Jx ~ O,OO6S6(D4 - d4) -O,0177D2(/2(D - d )

D +d

= O,00686D4(1 - a4 -

_ 2,54a2 1 - a )I + a

n(D4 - (/4)J = - - - - -y 128 -

-a= 128(1 - a' ) ~

~ O,0246D1(1 _ ~4)

Mdulos de la secclou : .axiales Wx ! JYy; polar Wpy durante la torsin libre W.

Wx i::: O,OO686D3 x I(1-a4)(l +a)-2,54x2(1- a) I

x ----- -'-- - -'---..:.0,288(1 + a) - 0,212a2

(para las fibras superiores)w; ~ O,0324D3x

( l - a4)(1+ a)- 2,54x2(1- a)x-- - - - -'--- -=------.:-

1 + ix + a2(para las fibras inferiores)

nD3W). = - 6-4- (l - ( 4) ,~

~ 0,05D3(1 - ( 4)


Radios de giro

. Ir J x'x = ' - p ;

iy = V"li-

R'! - r 4 (Jx = _s- 2y +

32 sen2y )+ sen 21' - - - - =91'

= f (1 - ( 4) ( 21'+32 sen2y )+ sen 2y - --- =

91'

= FR2 (1 + 1Y.2) (21' +SI' I

32 sen2Y) I+sen 2y- - - -

91'R 4_ r4

JX l = - s- (2y+sen2y) =R4

= 8 (1-a4)(2y + sen2y)R4 -'- r 4

J y = - S- (2r - sen 2y)=R l

= 8 (1 - 0:4) (21' -FR2

- sen 21') = --xSyx (l + (2) (2y - sen 21')

JxWx = - ,Yl

(para las fibra s superiores)W = Jx

x y~'(para las fibra s inferiores)

R3Wy = g (l - ( 4) X

21' - sen 2"x - - - --=-

sen y

x1/r (1+(2 ) ( 1+ Se; y2Y -_ 16 sen2r)

91'2

. RIY=T X

67

Forma de la seccin Area de la seccin F Coordenadas de los puntosextremos de la seccin

---- .....- . _

Sector del anillo dc paredes - 1delgadas

y

F = 2ara7t0( 0a = -~

180

Xl = r sena

senYl = f -- -

a

x

y

x ( se~ lX )yi = r 1 - ~y~' = ,( se: IX _ coso:)

~ 2rEl eje y - y es principal

central

._~~_._------_ ._- [--- - --- --

Crculo con rebajo planoIz

CI. = d :> 0,5

x X

d=2R .t; _. y


68

Continuacin de la tabla .

Momentos de 'inercia :axiales JX i Jy ; centrifugo J~y ;

polar J p Y durantela tors in libre J,

Mdulos de la seccin:axiales Wx Wy ; polar Wpy durante la torsin libre IV,

Rad ios de giro

i x = V!;- ;iy = V4-

x---~~--

x-------~

ri = - xx 2

ri y = "2 X

Y sen2~x 2 ---a

V senz 4 sen20cx 2+-- - ._-a: a 2

- ce sa: ,sena

a:

4 sen2a:2cx +scn2oc - ---

. oc

seno:1 '- -

a

(para las fibras superiores)or2

Wx ~ 2 -x4 sen2a

2a:+ sen 20: -p.a= - - (20: - sen 20:)

4('(

J =):

= Fr2 (21: + sen 2(;( _

41'1.

_ 4 s:n2a)

0 1'3J = ~- (2a - sen Za) =

y 2

(para las fibras inferiores)or2 2a: - sen a2 sena:

d' ( " )J = - 2 6 - -1 =t 16 ' d

d4- (2,00 - 1)16

d3(2,6 a: - 1)W. = 8(0,3:x + 0 ,7)

1--

69

Forma de la seccin

Crculo con segmentoscortados arriba y abajo

y


Circulo con segmentoscortados por cuatro lados

Area de la seccin F

a) b = dcosoeh = dsenoe

d2F = - (2oe + sen 2oc)

4

db) b = -; h = O.866d

. 2F = O,74d2 ;

de) b = -; = O,943d

3

F= O,773d2

F='lrds (1 + 3V3) =12 'Ir

= O,694d2


dYl = - sen u

. 2

Yl = 0,433d

. Yl = O,471d

Xl = Yl = O,433d

x


70

Momentos de inercia:axiales J". J,,: centrifugo J",,;

polar JI' y durantela torsin libre J,

J = d4' (IX _ sen 4tY.)x 32 4

d4 ( senZaJ= -IX +-- +

y 32 2

. sen 21X COS21X )+ 3

Mdu los de la seccin :axiales IV". IV,,: polar IV"y durante la torsin libre IV,

a ( sen 41X)Wx = --- IX - - -16 sen 4d 3 ( sen 21X

Wy = -16- IX + -2- +

sen 2(7. COS21X )+-- - -3

Continuacin de la tabla .

Radios de giro

. VJ",' x z=:il p:

VJy1,,= F. VJxix = F

i = VJ yy F. ;

Jx = O,0395d4 Wx = 0,0912d3 ix = 0,231d

Jy = O,0485d4 W y = 0,097,,3 i y = O,256d

Jx = 0,0461d4 Wx = O,0978d3 ix = O,244d

J y = 0,049d 4 Wy = 0,098d 3 i~ = 0,2 52d

Jx = Jy = 0.038d4 Wx = Wy = 0,087d3 ix = iy = 0,234d

71

Forma de la seccin

Hexgono regular


Arca de la seccin F

F = O,866c/2 == 2,598R 2

Coordenadas de 103 puntosextremos de la seccin

dYl= 2:

.- - - - I---.-- ..~ ------I------ _ _--_

Octgono regular

x

F = O,828d2=

= 4,828c2

aXl = Y1 = "2

Los ejes X - x e y - y sonprincipales centrales

Polgono regular de n lados

72

1F= - na" ctg =

4= nr 2tga =

nar

2

aR=--

2senaa

r= - -2tga


Momentos de inercia:axiales Jx JJ'; centrlugo Jx :;

polar J; y durantela torsin libre J.

Mdulos de la seccin:axiales W.-, IV~; polar W;y durante la torsin libre W.

Radios de giro

i" = V~-;iy = V~-

5V3Jx = J y = - - R4 =16= O,5413R4 = O,06d4

d2J 1 = O,533F-4

5Wx = 8" R3 = O,625R3 =

= O,12d3

IVy = O,5413R3= O,06d3

dW t = O436F -, 2

ix = i y = O,456R== O,263d

Wx = Wy = O,6906R3== O,I095d3

Respecto a la diagonalWy = O,638R3 = O,1012d3

- dW t = O,447F-2

- - -.-- -- - - 1------.1_ _r, = J

y= J

y = I --- ---

1 + 2Vf= R4 =

_ 6= O,638R' = O,0547d4

d2r, = O,52F --

4

- ---- _ -------1-- - - - ---F

1;x =J = - (6R2 - ( 2) =x. 24 . . V6R2- a2'x = 24

FIx = J = - (12r2 + (3) =x. 48

. V12r2 + a3, =

x. 48

'13

Forma de la seccin

Seccin circular con unchavetero "


Seccin circular con doschaveteros


Pila de puente: conredondeos

Los ejes x - x e y - yson centrales principales

74

Area de la seccin F

nd 2F-;:::, - " - bt

4

nd2F-;:::, -- - 2bt

4

F = bJ + nr 2 =

= bh(l +- ~ Gt)h

r =-2hGt = -b

Coordenadas de los puntosextremos de la secci n

dXl = YI = 2

dYI -;:::'2

b + h bXl = - - = - (1 + Gt)2 2 "

"Yl = 2"

Continuacidn de la tabla 1

Radios de giroMomentos de inercia:Mdulos de la seccin:

. VJxaxiales Jx , J,,; centrfugo .Tx y ;axiales 11'"" II'y; polar Jl'p 'x = p ;polar Jp y durante

la torsin libre J, y durante la torsin libre JI',. VJyI y = F

7Cd4 btid - /)2 7Cd3 b/(d - t) 2ix =V;J ~ --- W ~ -- -x ~ 64 4 x 32 2d

7Cd4 b/(d - t)2 7Cd3 bt(d - t)3J '" - - - Wl~-- -1'" 32 4 16 2d

7Cd4 bt(d - t)2 7Cd3 bt td - t)2ix =V;J "'-- - W"'~ - -x ~ 64 2 32 d

7Cd4 bt(d - t)2 7Cd3 bt(d - t )2J ~-- - Wl~ -- -t ~ 32 2 16 d

bJ3 ( 37C ) bh2

( 37C) . VJxJx = ~- 1 + -IX Wx = - - I +-IX Ix = F12 16 6 16hb3 IIb2

i =VJyJy = - - [1 -1- 0,165oc3 + W = ---[1 +1651X3+12 )1 6(1 + IX) , y . F+ 37COC(O,5 + O,2121X)2j + 37COC(O,5 + O,2121X)2]

75

Forma de la seccin

Elipse


Semielipse


76

Area de la seccin F

F= ttab

1CabF= -

2

Coordenadas de los punto.extremos de la seccin

.'(1 = b

Y1 = a

X1= b4

Yl = 3; a

y' = (1 - ~) a1 Jn


Mdulos de la seccin:axiales IV", IV,,: polar IVpy durante la torsin libre IV,

Momentos de inercia:axiales r.. Jy ; centrfugo Jx'Y;

polar JI' y durantela torsin libre J,

Radios de giro

Ix = V!.; :Iv ~V4-

--------+- - -- l-.. _

:::: O,785b

nab3 FbsJ ~ -----'"y- 4 - 4 ,."

::::O,785ab3

nabJp = -4~ (aS + bS) =

F= -(a2 + b2)

4na3b3

J t = ---=a2 + b2

F3 F~- - - - - = - - -

nab 2W y = -4 ~ O,785ab2

nb2a

2En Jos extremos del eje

menor

MI 2MtTmx = W

t= nb2a

En los extremos del ejemayor

bTmxT=

a

aix = 2

bi = -

y 2

Jx = baa( ; - 98,J=

= 2Fa2(~__8 )3 9n2

nab3 Fb2

8 4

w = ~ba2(~-~)x 4 8 9,'

(para las fibras inferiores)

ba2(~ - ~.)~8 9n:4

1- -3n

(para las fibras superores)

bi =-y 2

nab"W y = -- ::::8

:::: 0,3920h 2

77

Porrna de la seccin Area de la seccin F Coordenadas de los puntosextremos de la seccin

Un cuarto de la elipse

Elipse hueca

y

x

x

x

nabF = -

44

Xl = - - b371: .

4Yl = 3; a

Xl = bYl ';'.a

a - al = b - b1 = (j

a al- =- =11 >1b b1


78


Momentos de inercia:axiales J", J,,; centrifugo J x ,, ;

polar Jp y durantela torsin libre J,

J = ba3(~ -~) =x 16 9n

= 4Fa2(~__4 )16 9n2

J = (/b3(~ - ~) =y 16 9n

= 4Fb2(_I_ _ ~-)16 9n2

Mdulos de la seccin :axiales IVx IV,,; polar IVpy durante la torsin libre IV,

JVx min =

= ~ ba2( ~; - ~ )(para las fibras inferiores)

WYm 1n =

= f ab2( ~: - ~ )(para las fibras derechas)

Radios de giro

. VJx.'x = p=

. VJy1" = Fix = ~ Vl-(~ri y =~Vl-L:r

bti

:::: - b(b + 3a)04

ti:::: 4 G(a -1- 3b)0

7t abS - alblWy = 4

Los valores aproximados de J y W son vlidos cuandolas relaciones o: al yo: bl son pequeas

nb 411S . nbslIJI = - - . (1 - 0:4) W I = -- (1 - 0:4)

112 -+- 1 2En el extremo del semieje

menor

MI'rmx =W;

Ien el extremo del semieje

mayorT mx

T = - -11

Cuando el espesor es pequeo'lla distribucin de las ten-siones por la seccin puedeconsiderarse uniforme

T = ;~ I79

Forma de la seccin Arca de la seccin F . Coordenadas de los puntosextremos de la seccin

!________ .. ...L.__ . _

Segmento parablico2

F = - b/3

bXl =-i

, 3Y =- 11

1 5

, 5X = - b

1 162

YI = - 1153

y' = - II1 5

2YI = - 115

Xl = YI = 0,223r

xi = Y~ = 6,777r

;c::.....-r-x

I

es principal

parablcobh

F =-3

t f~I x,;:; :---_ .fXI

ular F = 0,215r2

El eje y - ycentral

x

Semisegrnento

Tringulo cite

80


Mdulos de la seccin:axiales IV", lV~; polar lVpy durante la torsin libre lV,

Radios de giro

. Y-JJ

Perfiles canal con aristas paralelas de las alas (GOST 8240 -72) Tabla 5

h,b,s,t,R,r,

la altura ;el ancho del ala;el espesor del alma ;el espesor del ala ;el radio del redondeo interior ;el radio del redondeo del ala;

J, el momento de inercia ;W, el mdulo de la seccin;i , el radio de giro;S, el momento esttico de la semi-

seccin;Xo, la distancia desde el eje y - y

hasta la arista exterior del alma

(O...

Tamaos , en mm Dala s respecto a los ejes Coorde-Area de Masa x- x I y- y nada delNmero la seco por centrodel ci n, metro de gra-

perfil h b s t R r en cm" lineal, J",. I W"" I i"" I S"" I Jy , I Wy , 1 iy , vedaden kg en cm' en cm3 en cm en cros en cm4 en cm' en cm xo,en cm

5 50 I 32 4,4 7,0 6,0 3,5 6,161 4,84 22,8 9,14 1,92 5,61 5,95 2,99 0,983 1,216,5 65 36 . 4,4 7,2 6,0 3,5 7,51 5,9 48,8 15,0 2,55 9,02 9,35 4,06 1,12 1,298 . 80 40 4,5 7,4 6,5 3,5 8,98 7,05 89,8 22,5 3,16 13,3 13,9 5,31 1,24 1,38

10 100 46 4,5 7,6 7,0 4,0 10,9 8,59 ' 175 34,9 3,99 20,5 22,6 7,37 1,53 1,5312 120 52 4,8 7,8 7,5 4,5 13,3 10,4 305 50,8 4,79 29,7 34,9 9,84 1,66 1,6614 140 58 4,9 8,1 8,0 4,5 15,6 12,3 493 70,4 5,61 40,9 51,5 12,9 1,81 1,8314a 140 62 4,9 8,7 8,0 4,5 17,0 13,3 547 78,2 5,68 45,2 65,2 15,7 1,96 2,0416 160 64 5,0 8,4 8,5 5,0 lS ,l 14,2 750 93,8 6,44 54,3 72,8 16,4 2,00 1,9716a 160 68 5,0 9,0 S,5 5,0 19,5 15,3 827 103 6,51 59,5 90,5 19,6 2,15 2,19

. coee

Conttnuacion de la tabla 5Tamaos. en cm Datos respecto a los ejes Coorde-

I Arca de Masa nad a deNmero

Ila sec- por X-."'C y -y centrodel ea, metro

I W x I ;X. I ss; de gra-perfil h b s t R r en cm' lineal. r: J~, I W~. 1 ;~. vedaden kg en cm f en cm3 en cm en cm3 en cm~ en cm" en cm xo,en cm,

18 180 70 5.1 8.7 9,0 5,0 20,7 16,3 . 1090 121 7,26 70,0 100 20,6 2,2 . 2,1418a 180 74 5,1 9,3 9,0 5,0 22,2 17,4 1200 133 7,34 76,3 123 .. 24,3 2,35 2,3620 200 76 5,2 9,0 9,5 5,5 23,4 18,4 1530 153 8,08 88,0 134 25,2 2,39 2,320a 200 80 5,2 9,7 9,5 5,5 25,2 19,8 1680 168 8,17 96,2 162 29,7 2,54 2,5322 220 82 5,4 9,5 10 6,0 26,7 21,0 2120 193 8,90 111 178 31,0 2,58 2,4722a 220 87 . 5,4 10,2 10 6,0 28,8 22,6 2340 212 9,01 121 220 37,0 2,77 2,7524 240 90 5,6 10,0 10,5 6,0 30,6 24,0 2910 243 9,75 139 248 39,5 2,85 2,7224a 240 95 5,6 10,7 10,5 6,0 32,9 25,8 3200 266 9,86 152 302 46,5 3,03 3,0127 270 95 6,0 10,5 11,0 6,5 35,2 27,7 4180 310 10,9 178 314. 46,7 2,99 2,7830 300 100 6,5 11,0 12,0 7 40,5 31,8 5830 389 12,0 224 393 54,8 3,12 2,8333 330 105 7,0 11,7 13 7,5 46,5 36,5 8010 486 13,1 281 491 64,6 3,25 2,936 360 110 7,5 12,6 14 8,5 53,4 41,9 10850 603 14,3 1 350 611 76,3 3,38 2,9940 400 115 8,0 13,5 15 9 61,5 48,3 15260 763 15,8 445 760 89,9 3,51 3,05

Vigas doble T (GOST 8239 -72)

. y

xb-sd

y

h, la altura de la viga;b, el ancho del ala;s, el espesor del alma;1, el espesor medio del ala;R, el radio del redondeo interior;r, el radio del redondeo del ala;

J, el momento de inercia;W, el mdulo de la seccin;S, el momento esttico de la se-

miseccin;j, el radio de giro

Tabla 6

Contlnuacinn de la tabla 6

Tamaos, en mm Datos respecto a los ejesMasa I I

I I

Ate a deNmero por la seco x-x I y-yde la metro II

ei n,

I'viga lineal,

"b s t R r s., W.:lC' i;c, Sx. Jy,

Ien cm::!

en cm4 Ien cm' \ en cm len cm" en cm- I W~, iy ,en kg ! en cm" en cmI22a 25,8 220 120 5,4 8,9 10,0 I 4,0 32,8 2790 254,0 9,22 143,0 . 206,0 34,3 2,50

24 27,3 240 115 5,6 9,5 10,5 4,0 34,8 3460 289,0 9,97 163,0 198,0 34,5 2,37

24a 29,4 240 125 5,6 9,8 10,5 4,0 37,5 3800 317,0 10,10 178,0 260,0 41,6 2,63

27 31,5 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 5010 371,0 11,20 210,0 260,0 41,5 2,54

27a 33,9 270 135 6,0 10,2 11,0 4,5 43,2 5500 407,0 11,30 229,0 337,0 50,0 2,80

30 36,5 300 135 6,5 10,2 12,0 5,0 46,5 7080 472,0 12,30 268,0 337,0 49,9 2,69

30a 39,2 300 145 6,5 10,7 12,0 5,0 49,9 7780 51 8,0 12,50 292,0 436,0 60,1 2,95

33 42,2 330 140 7,0 11,2 13,0 5,0 53,8 9840 . 597,0 13,50 339,0 419,0 59,9 2,79

36 48,6 360 145 7,5 12,3 14,0 6,0 61,9 13380 743,0 14,70 423,0 516,0 . 71,1 2,89

40 57,0 400 155 8,3 13,0 15,0 6,0 72,6 19062 953,0 16,20 .545,0 667,0 86,1 3,03

45 66,5 450 160 9,0 14,2 16,0 7,0 84;1' 27696 1231,0 18,1 708,0 808,0 101,0 3,09

50 78,5 500 170 10,0 15,2 17,0 7,0 100,0 39727 1589,0 19,9 919,0 1043,0 123,0 3,23

55 92,6 550 180 11,0 16,5 18,0 7,0 118,0 55962 2035,0 21,8 1181,0 1356,0 151,0 3,39

60 108,0 600 190 12,0 17,8 20,0 8,0 138,0 76806 2560,0 23,6 11491,0. 1725,0 182,0 3,54

Captulo 3

FUERZAS EXTERIORES E INTERIORES. ,MTODO DE SECCIONES. 'DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERIORES.TENSIONES EN LA SECCiN

13. Clasificacin de las fuerzas exterioresSe llaman fu erzas exteriores O cargas las fuerzas de interaccin entre el ele-

mento examinado dela estructura y los cuerpos relacionados con l. Si las fuerzasexteriores ' son resultado de una interaccin directa, por . contacto, de dichocuerpo con otros cuerpos, entonces stas estn aplicadas solamente a los puntosde la superficie del cuerpo en el lugar del contacto y se llaman fuerzas superficiales.Estas pueden estar distribuidas continu amente por toda la superficie del cuerpoo una parte de ella . La magnitud de la carga por unidad del rea se denominaintensidad de la carga, se ' designa, generalmente, por la letra p y se mide enkgf/cmz, kgf/m2 o tf/m2 En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la unidadde fuerza es newton (N). Es la fuerza que comunica a un cuerpo en reposo conmasa de 1 kg una aceleracin igual a l m/s2 El newton se mide en kgm/sz

1 kgf= 9,81 N ; 1 N = 0,102 kgf,La unidad de presin es newton por metro cuadrado (N/m2) . En los clculos

. . . kgf , N N de ingeniera puede tomarse 1.-- ~ lO-s - = 10 -- .

'cm2 m2 cm"

La carga distribuid a por la superficie (fig, 26, a) y reducida al plano princi-pal (fig, 26, b) se llama carga lineal, se designa, generalmente, 'por la letra qy se mide en kgf/cm, kgf/m o tf/m. El car cter del cambio de q por la longitudse representa, por regla general, en forma de diagrama (grfico) de q.

En el caso de una carga uniformemente distribuida (fig. 26, a) el diagramade q es rectangular (fg, 26, b). Cuando acta la presin hidrost tca, el dia-grama de q es triangular (fig. 26, -c) ,

a

q~pb Z{'~ i-C:===:V" --be'

Fig.26La resultante de la carga distribuida es igual numricamente al rea de su

diagrama y est aplicada el! su centro de gravedad. Si la carga est distribuidasobre una parte pequea de la superficie del cuerpo, siempre se sustituye por laresultante llamada fuerza concentrada P (kgf o tf) .

Se dan casos de cargas que pueden representarse en forma de momento (par)concentrado. Los momentos M (kgf'-cm o tf-rn ) se representan, generalmente,mediante uno de los dos modos (fig. 27, a, b) o en forma de un vector perpendi-cular , al plano de acci6n del par. A diferencia del vector de la fuerza , el delmomento se representa en forma de dos flechas o con lnea ondulada (fg. 27 ,e, d) , El vector del momento se considera dirigido en el sentido de las maneci-llas del reloj.

101

Las fuerzas que no son resultado del contacto de dos fuerzas, sino apli-cadas a cada punto del volumen ocupado por el cuerpo (peso muerto, fuerzasde inercia) se llaman fuerzas volumtricas o de masa. ' ,

Segn sea el carcter de aplicacin de las fuerzas en funcin del tiempo, sedistinguen cargas estticas y dinmicas. La carga se considera esttica si 'crecerelativamente lenta y suavemente (aunque sea durante algunos segundos) desde

MSb ~ "(b .~~a be ' d

Fig.27cero hasta su valor final, y luego se mantiene constante. En este caso se puedeprescindir de las aceleraciones de las masas deformadas y, por consiguiente, delas, fuerzas de inercia. ,

Las cargas dinmicas van acompaadas de aceleraciones considerables tantodel cuerpo deformado como de los cuerpos que .interaccionan con l. En dichocaso ya no se puede prescindir de las fuerzas de inercia que aparecen . Las cargasdinmicas se dividen en aplicadas momentneamente, de choque (de impacto) yrepetidas.

La carga aplicada momentneamente crece desde cero hasta el valor mximodurante fracciones de segundo. Tales cargas aparecen durante la inflamacindel carburante en el cilindro del motor de combustin interna o durante el arran -que del tren.

La carga de impacto consiste en que el cuerpo que provoca dicha carga, en elmomento de su aplicaci6n, tiene cierta energfa cintica. Tal carga aparece , porejemplo, al hincar pilotes mediante martinete, en los elementos del martillode forja. '

La carga repetida se caracteriza por su periodicidad continua. Los vstagos,, rboles, ejes de los vagones ferroviarios, elementos oscilatorios de las estruc-turas, etc. soportan tales cargas durante el trabajo.

14. Fuerzas interiores. Mtodo de secciones.Diagramas de las fuerzas interiores

Entre las partculas vecinas de cualquier cuerp o (cristales, molculas, tomos)siempre existen ciertas fuerzas de interaccin, ofuerzas interiores, que tiendena conservar el cuerpo en su integraci6n, contrarrestando todo lo que puede cam-biar la disposicin mutua de las partculas, es decir, deformar el cuerpo.

Las fuerzas exteriores, al contrario, siempre tienden a provocar la defor-macin del cuerpo.

El valor de las fuerzas interiores que actan entre dos partculas cualesquieraser diferente en el cuerpo cargado y no cargado. ,

En la resistencia de materiales no se toman en consideraci6n las fuerzasinteriores que actan en el cuerpo no cargado, examinndose aquellas fuerzasinteriores complementaria s que aparecen al cargar el cuerpo . Estas fuerzas inte-riores complementarias de interaccin, que surgen como resultado de la carga,a menudo se denominan esfi~erzos.

Con el fin de revelar las fuerzas interiores que surgen en ' el cuerpo sujeto ala carga, en la resistencia de materias se hace uso del mtodo de secciones.

La esencia de dicho mtodo consiste en seccionar mentalmente el cuerpocargado (fig. 28, a) en dos partes A y B por medio de algn plano. Con el pro-p6sito de que cada una de estas partes se encuentre en equilibrio bajo la accinde las cargas exteriores aplicadas, es necesario sustituir la accin de la parte

102

Fig.28

cortada por cierto sistema de fuerzas interiores en la seccin. Estas fuerzas noson sino las fuerzas de interaccin entre las partes A y B del cuerpo . Las fuerzasinteriores que actan en la seccin por el lado de la parte A, de acuerdo con latercera ley de Newton, son iguales en magnitud y contrarios en direccin a lasfuerzas interiores que actan en la seccin por el lado de la parte B (g. 28, b).

Se puede reducir las fuerzas inte-riores distribuidas por la seccin,como cualquier sistema de fuerzas, aun punto (por ejemplo, al centro degravedad de la seccin), y como re-sultado obtendremos en cada lado dela seccin un vector principal y .unmomento principal de las fuerzas inte-riores en la seccin (fig, 28, e). Si setrata de una barra, sta se corta, gene-ralmente, por un plano perpendicularal eje (fig. 29, a). Al proyectar el vec-tor principal y el momento principalsobre el eje z de la barra y los ejesprincipales centrales de la seccin y y xobtendremos sobre cada lado de la sec-cin seis f actores interiores de fu erza(f'ig, 29, b): tres fuerzas (N. Qy. Qx)

y tres momentos (Mn M y MJ. Estosvalores se denomin an esf uerzos y mo-mentos en la seccin de la barra.

Como se ve de la figura N provoca la deformacin longitudinal de la barra(traccin o compresin); Qy y Qx. el desplazamiento de los lados de la seccinen la direccin de los ejes y y x, respectivamente; M provoca la torsin dela barra ; M y y M x la flexin de la barra en los planos principalesxz e yz. Poreso para los esfuerzos y momentos en la seccin se tomaron las siguientes deno-minaciones:

N es la fuerza longitudinal o axial (dirigida a lo largo del eje);Qy y Qxson las fuerzas cortantes (o transversales, pero con menor frecuencia);A-I"= M es el momento torsional: - -My y Mx son los momentos [lectores.

aFig.29

Se pueden dar las siguientes definiciones a los componentes indicados de losesfuerzos interiores: LA FUERZA LONGITUDINAL N es la suma de las proyecciones detodas las fu erzas interiores que actan en la seccin sobre la normal a la seccin

. (o sobre el eje de la barra); LAS FUERZAS CORTANTES Qy y Q", son las sumos de lasproyecciones de todas las fuerzas interiores en la seccin sobre los ejes principalescentrales de la seccin x e Y. respectivamente; EL MOMENTO TORSIONAL M (o MI)es la suma de los momentos de todas las fuerzas interiores en la seccin respectoal eje de la barra; LOS MOMENTOS DI! FLEXIN M Y My son las sumos de los mo-

103

Fig.30

~" ' . Mlor~o. ,~~'~, '; ~ -

mentos de todas las fuerzas interiores en la seccin respecto a los ejes principalescentrales de inercia x e y de la seccin, respectivamente. '

Para el clculo prctico de los esfuerzos y momentos en la seccin hay quetener en cuenta lo siguiente: N es igual numricamentea la suma algebraica de lasproyecciones de todas las fuerzas exteriores que actan sobre una de las partes(izquierda o derecha) de la barra seccionada, sobre el eje de la barra (sobre lanormal a la seccin); Qy, lo mismo, sobre el eje y; Q", lo mismo, sobre el ejex; 104t es igual numricamente a la suma algebraica de los momentos de todaslas fuerzas exteriores que actan sobre una de las parles (izquierda o derecha)de la barra seccionada, respecto al eje de la barra; My , lo 'mismo, respecto

,al eje y; M", lo mismo, respecto al eje x. 'En difinitiva, el mtodo de secciones permite hallar todos los esfuerzos y

momentos en cualquier seccin de la barra sujeta a cualquier carga.Con este propsito es necesario hacer lo siguiente:1. Hallar los ejes principales centrales de la seccin transversal de la barra,2. Imaginarse mentalmente la seccin transversal de la barra justamente

en el lugar donde es necesario hallar los esfuerzos y momentos .3. Calcular los esfuerzos N, Qy, Q", y momentos MI' kfy, M", corno sumas

algebraicas de las proyecciones y los momentos de las fuerzas exteriores queactan sobre una de las partes (izquierda o derecha con respecto a la seccin)de la barra seccionada, generalmente sobre aquella en la que las proyecciones ylos momentos se calculan con mayor facilidad.

Los esfuerzos y momentos en diferentes secciones de la misma barra, en elcaso general, son distintos. Los grficos que muestran cmo cambian los esfuerzosy momentos durante el paso de seccin a seccin se denominan diagramas de esfuer-zos y momentos. .

Durante la construccin de los diagramas se recomienda hacer uso de lassiguientes reglas:

1. El eje (la base) sobre el cual se construye el diagrama siempre se eligede manera tal que sea paralelo al eje de la barra (o coincida con l).

2. Las ordenadas de los diagramas que expresan, en escala elegida, la mag-nitud del esfuerzo o momento, se colocan a partir de la base del diagrama porla perpendicular.

3. Se acostumbra sombrear los diagramas c

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