MECNICA DOS SLIDOS - Faculdade de Engenharia DECivil - PUCRS Prof Maria Regina Costa Leggerini

CAPTULO V

SOLICITAES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA

I. CONVENES:

Conforme j vimos, se cortarmos uma estrutura por uma seo, nesta seo devem aparecer esforos que equilibrem o sistema isolado (solicitaes internas).

Vamos tratar de estruturas sujeitas carregamento plano onde os esforos desenvolvidos so o esforo normal N (Fx), o esforo cortante Qy (Fy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de uniformizarmos a nossa representao vamos

representar graficamente as convenes para o sentido positivo destas solicitaes.

II. CLCULO DAS SOLICITAES EM UMA SEO ARBITRRIA

Se desejarmos calcular a solicitao desenvolvida em uma seo qualquer de uma pea carregada, usamos o mtodo das sees:

Cortamos a pea na seo desejada e isolamos um dos lados do corte (qualquer um).

Na seo cortada devem ser desenvolvidas solicitaes que mantm o sistema isolado em equilbrio.

Exemplo:

Calcule as solicitaes desenvolvidas na seo intermediria da viga abaixo.

VA = VB = 2

l.q

Cortando e isolando um dos lados do corte:

Aplicando as equaes de equilbrio, teremos:

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 02l.q

2

l.qQ =+ Q = 0

MS = 0 02l

.2

l.q

4

l.

2

l.qM =

+

Ms = 8

l.q 2

III. METODO DAS EQUAES

Supondo que queiram-se as solicitaes desenvolvidas em diversas sees da viga, repete-se o procedimento acima exemplificado, em quantas sees quantas pretendidas.

Ao serem efetuados esta sucesso de cortes, observa-se que as equaes de equilbrio formadas so as mesmas, com mudana apenas na distancia da seo cortada a referncia.

Pode-se generalizar este procedimento criando uma varivel, por exemplo "x", que represente esta distncia de uma forma genrica.

onde 0 x l (limites de validade da varivel x).

Ento:

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 0x.q2l.q

Q =+ 2

l.qx.qQ +=

MS = 0 x.2l.q

2

x.x.qM + x

2

x.qx.

2

l.qM

2

=

Esta representao se constitui o que se chama de mtodo das equaes

Tem-se a vantagem de trocar o estudo do fenmeno fsico por um estudo matemtico.

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IV. PONTOS DE TRANSIO

Iniciando-se com um exemplo, calculam-se as solicitaes desenvolvidas nas sees S1 e S2 da viga abaixo:

VA = Pb/l VB = Pa/l

S1: 0 x1 a

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l

M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1

S2 : a x2 l

Fx = 0 N = 0

Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P

M = 0 M + P (x2 - a) - Pb/l . x

2= 0

M = Pb/l . x2 - P(x

2 - a)

Constata-se que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois do origem a equaes diferentes pois

na 2 no entra a carga P. A varivel pode ser chamada genericamente se x e distinguir-se o trecho de validade da mesma.

1o trecho 2o trecho

0 x a a x l

equaes vlidas para o primeiro trecho: equaes vlidas para o segundo trecho:

Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l

M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a)

No exemplo acima intuitivamente foi identificado um ponto de transio, que seria o ponto de aplicao da carga P, a partir do qual h a mudana na equao.

Conforme foi visto h a necessidade de analisar-se um trecho antes e outro depois deste ponto de transio.

O acima pode ser generalizado dizendo-se que sempre que houver um ponto de transio.

De maneira anloga, todo o ponto em que h alterao no carregamento, constitui-se em um ponto de transio:

-Ponto de fora aplicada

- Ponto de momento aplicado

- Ponto de troca da taxa de carregamento.

De acordo com o que foi visto, as solicitaes podem ser calculadas como funes da varivel x, com trecho de validade pr-estabelecido, obtendo-se equaes gerais para as mesmas, com validade nos trechos respectivos. Quando desejar-se o valor da solicitao em uma seo em especial, de ordenada x conhecida, basta substituir nas equaes o valor de x pela ordenada numrica desejada.

Em geral interessa o valor mximo das solicitaes em toda a estrutura e no apenas em pontos especficos da mesma. Lembrando clculo diferencial o mximo de uma funo ocorre quando a sua primeira derivada nula.

V. PROCEDIMENTO DE CLCULO

Este procedimento de clculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples.

Dado o esquema estrutural da pea (vnculos, cargas ativas e vos):

1. Clculo das reaes externas

2. Identificao dos pontos de transio criando trechos pr-estabelecidos

3. Usar o mtodo de corte de sees em cada um destes trechos, adotando como posio genrica desta seo a varivel x, que valer dentro dos limites dos trechos.

4. Supor em cada seo cortada o aparecimento das solicitaes previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo.

5. A aplicao das equaes de equilbrio esttico em cada um dos cortes, nos leva a obteno das equaes desejadas.

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6. Usa-se representar estas equaes sob a forma de um diagrama, conforme conveno abaixo:

OBS: As cargas distribudas no mais podem ser substitudas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados.

N

x

Q

x

M

x

TRAADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAES INTERNAS 1. 2.

3. 4. .

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5.

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