resolucao exercicios matematica financeira 2015
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Exerccio 1
Uma determinada aplicao remunerada por uma taxa de juro anual nominal de 8%, num regime de
capitalizao simples semestral. Considere um capital investido de 10.000 EUR.
a) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?
b) Qual o valor do juro recebido no primeiro ano da aplicao?
c) Qual o valor global de juros recebidos numa aplicao a 4 anos?
Quais seriam os valores no caso de um regime de capitalizao composta?
Exerccio 2
Considere uma aplicao de 5.000 EUR por um prazo de 5 anos, remunerada a uma taxa de juro anual
nominal de 8%.
a) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao simples anual?
b) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao composta mensal?
Refaa as alneas anteriores, considerando uma taxa de juro anual efetiva de 8%.
Exerccio 3
Considere uma taxa de juro anual nominal de 6%, numa aplicao com capitalizao composta
trimestral.
a) Qual a taxa de juro trimestral efetiva equivalente?
b) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?
c) Qual a taxa de juro mensal efetiva equivalente?
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Matemtica Financeira
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Exerccio 4
Considere os seguintes fluxos de um determinado investimento:
n Data Movimento
0 01/01/2012 -7.000
1 01/07/2012 +280
2 01/01/2013 +280
3 01/07/2013 +280
4 01/01/2014 +280
5 01/07/2014 +280
6 01/01/2015 +7.280
a) Caracterize o regime de capitalizao em causa.
b) Qual a taxa de juro anual efetiva implcita naqueles fluxos?
c) Num regime de capitalizao composta, mesma taxa de juro anual efetiva, qual seria o valor
total dos juros recebidos? Refaa o quadro acima considerando esse cenrio.
Exerccio 5
Uma dada aplicao paga um valor total de juros, ao fim de 2 anos, de 600 EUR.
a) Se a taxa de juro da aplicao for 5%, qual o capital inicial que produziria aquele montante de
juro num regime de capitalizao composta mensal?
b) Se o capital inicial era 5.000 EUR, qual a taxa de juro implcita na aplicao, num regime de
capitalizao composta semestral?
c) Uma aplicao idntica remunerada a uma taxa de juro anual de 4%. Para um capital inicial
de 5.000 EUR, e considerando um regime de capitalizao composta mensal, qual o prazo que
permitiria obter o mesmo montante total de juros?
Exerccio 6
Considere uma aplicao a 20 anos a uma taxa de juro anual nominal de 7%. A aplicao capitalizvel
semestralmente, em regime composto.
a) Se o capital inicial for 15.000, qual o valor que teremos no final do prazo?
b) Se o capital inicial for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano
9?
c) Se o capital inicial for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro semestre
do ano 17?
d) Se o capital final for 15.000, qual o valor investido inicialmente?
e) Se o capital final for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano 9?
f) Se o capital final for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro semestre
do ano 17?
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Exerccio 7
Um investidor pretende criar um fundo de poupana atravs da aplicao anual de EUR 1.000 a uma
taxa de juro de 4%.
a) Admitindo que o investidor conta fazer aplicaes durante 20 anos, qual o montante que
acumular no final?
b) Supondo que o investidor tem a opo de substituir este conjunto de rendas anuais por uma s
aplicao no momento inicial, qual o montante que teria de aplicar?
c) No caso de pretender ter, no final do prazo, um montante correspondente a EUR 35.000, qual o
valor anual que o investidor teria de aplicar?
Exerccio 8
Considere duas opes:
i. Investir EUR 500 semestralmente durante 15 anos;
ii. Aplicar EUR 10.000 por um prazo de 15 anos, com capitalizao composta trimestral.
a) Qual das opes apresenta valor actual superior, com uma taxa de juro anual nominal de 4%?
b) Qual a opo que permite acumular um capital superior no final, se tivermos uma taxa de juro
anual nominal de 7%?
c) Qual a taxa de juro anual nominal que nos permitiria obter o mesmo valor no final dos 15 anos,
independentemente da opo tomada?
Exerccio 9
Considere um emprstimo a um ano e meio, com prestaes mensais e taxa de juro anual nominal de
9%. O montante financiado corresponde a EUR 45.000, estando previsto o regime de amortizaes
constantes do capital.
a) Qual o capital em dvida no final do primeiro ano do emprstimo?
b) Qual o montante de juros a pagar no 8 ms do emprstimo?
c) Assumindo agora periodicidade trimestral e que o prazo do emprstimo alargado para dois
anos, com carncia de capital e de juros nos primeiros 6 meses, construa um quadro que
indique o valor da prestao, da amortizao do capital e do juro para cada perodo.
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Exerccio 10
Considere um emprstimo com prestaes anuais constantes e as seguintes caractersticas:
i. Capital: EUR 100.000,00
ii. Taxa de juro anual nominal: 9,5%
iii. Prazo: 5 anos
iv. Prazo de carncia de capital e juros: 1 ano
Construa um quadro representativo das prestaes deste emprstimo, indicando para cada perodo o
valor do capital inicial, a amortizao de capital, o montante dos juros, o total da prestao e o capital
final.
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Exerccio 1 - Resoluo
Uma determinada aplicao remunerada por uma taxa de juro anual nominal de 8%, num regime de
capitalizao simples semestral. Considere um capital investido de 10.000 EUR.
a) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?
Regime de capitalizao simples: no h juros sobre juros (juro pago e no acresce
ao capital)
= = 8%
b) Qual o valor do juro recebido no primeiro ano da aplicao?
Regime de capitalizao simples: 1 = 2 = 3 = = = 4%
1 + 2 = 2
1 + 2 = 10.000 4% 2 = 800
c) Qual o valor global de juros recebidos numa aplicao a 4 anos?
4 anos = 8
=
= 10.000 4% 8 = 3.200
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Matemtica Financeira Resolues
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Quais seriam os valores no caso de um regime de capitalizao composta?
a) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?
Regime de capitalizao composta: juro acresce ao capital inicial
1 = 0 (1 + )
2 = 0 (1 + )2; 2 = 0 (1 + )
= (1 + )2 1
=2
= 4%
taxa de juro anual efetiva = (1 + 4%)2 1 = 8,16%
b) Qual o valor do juro recebido no primeiro ano da aplicao?
Ser obtido multiplicando o capital inicial no primeiro ano pela taxa anual efetiva.
= 10.000 8,16% = 816
Alternativamente, atravs da taxa efetiva semestral:
1 = 10.000 4% = 400
2 = 10.400 4% = 416
1 + 2 = 400 + 416 = 816
c) Qual o valor global de juros recebidos numa aplicao a 4 anos?
4 anos n = 8
= 0 [(1 + ) 1] = 10.000 [(1 + 4%)8 1] = 3.685,69
= 0 (1 + ) 0 = 13.685,69 10.000 = 3.685,69
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Exerccio 2 - Resoluo
Considere uma aplicao de 5.000 EUR por um prazo de 5 anos, remunerada a uma taxa de juro anual
nominal de 8%.
a) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao simples anual?
0 = 5.000
= 5
= 8%
= 0 = 5.000 8% 5
= 2.000
b) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao composta mensal?
0 = 5.000
= 5 12 = 60
=8
12%= 0,67% (taxa mensal efetiva)
= 5.000 [(1 + 0,67%)60 1] = 2.449,23
Refaa as alneas anteriores, considerando uma taxa de juro anual efetiva de 8%.
a) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao simples anual?
0 = 5.000
= 5
= 8%
= 0 = 5.000 8% 5
= 2.000
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b) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao composta mensal?
0 = 5.000
= 5 12 = 60
= 8%
(1 + 8%) = (1 + )12 taxa mensal efetiva
= 5.000 [(1 + 0,64%)60 1] = 2.346,64
Exerccio 3 - Resoluo
Considere uma taxa de juro anual nominal de 6%, numa aplicao com capitalizao composta
trimestral.
a) Qual a taxa de juro trimestral efetiva equivalente?
=6%
4= 1,50%
b) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?
1 + = (1 + )4 = (1 + 1,50%)
4 1
= 6,14%
c) Qual a taxa de juro mensal efetiva equivalente?
(1 + )3 = (1 + ) = (1 + 1,50%)
3 1
= 0,4975%
NOTA: ime = 6%
12 = 0,5000% apenas estaria correto se estivssemos num regime de
capitalizao composta mensal ou num regime de capitalizao simples.
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Exerccio 4 - Resoluo
n Data Movimento
0 01/01/2012 -7.000 1 01/07/2012 +280 2 01/01/2013 +280 3 01/07/2013 +280 4 01/01/2014 +280 5 01/07/2014 +280 6 01/01/2015 +7.280
a) Caracterize o regime de capitalizao em causa.
n = 0: aplicao de 7.000 EUR (capital)
n = 1 n =5: recebimento constante de 280 EUR, equivalentes a juros vencidos
n = 6: recebimento de 7.280 EUR, compostos pela ltima prestao de juros
(280 EUR) e pelo capital (7.000 EUR)
Juros devidos a cada 6 meses periodicidade semestral
Valor de juros constante capital constante em todos os perodos, logo o juro
pago no final do perodo, no acrescendo ao capital
Regime de capitalizao simples semestral
b) Qual a taxa de juro anual efetiva implcita naqueles fluxos?
C0 = 7.000
J1 = 280
= 280
7.000= 4,00%
= 4,00% 12
6= 8%
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c) Num regime de capitalizao composta, mesma taxa de juro anual efetiva, qual seria o
valor total dos juros recebidos? Refaa o quadro acima considerando esse cenrio.
0 = 7.000
= 6
= 8%
1 + = (1 + )2
= 3,92%
= 0 [(1 + ) 1]
= 7.000 [(1 + 3,92%)6 1] = 1.817,98
NOTA: sendo 8,00% a taxa anual efetiva, obter-se-ia o mesmo resultado utilizando essa
taxa e considerando n = 3 anos.
Com capitalizao composta: = 0 (1 + )1
1 = 7.000 1 3,92% = 274,61
2 = 7.000 (1 + 3,92%)1 3,92% = 285,39
2 = 3,92% = 285,39
3 = 7.000 (1 + 3,92%)2 3,92% = 296,58
6 = 7.000 (1 + 3,92%)5 3,92% = 332,87
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n Data Movimento Juros Capital
0 01/01/2012 -7.000,00 7.000,00 1 01/07/2012 +274,61 274,61 7.274,61 2 01/01/2013 +285,39 285,39 7.560,00 3 01/07/2013 +296,58 296,58 7.856,58 4 01/01/2014 +308,22 308,22 8.164,80 5 01/07/2014 +320,31 320,31 8.485,11 6 01/01/2015 +8.817,98 332,87 8.817,98
Exerccio 5 - Resoluo
Uma dada aplicao paga um valor total de juros, ao fim de 2 anos, de 600 EUR.
a) Se a taxa de juro da aplicao for 5%, qual o capital inicial que produziria aquele montante de
juro num regime de capitalizao composta mensal?
J = 600
= 5% =5%
12= 0,42%
n = 24 meses
= 0 [(1 + ) 1]
600 = 0 [(1 + 0,42%)24 1]
0 =600
1,1049 1
0 = 5.717,48
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b) Se o capital inicial era 5.000 EUR, qual a taxa de juro implcita na aplicao, num regime de
capitalizao composta semestral?
J = 600
0 = 5.000
n = 4 semestres
= 0 [(1 + ) 1]
600 = 5.000 [(1 + )4 1]
600 = 5.000 (1 + )4 5.000
(1 + )4 =
5.600
5.000
1 + = 1,124
= 1,0287 1 = 2,87%
= (1 + 2,87%)2 1 = 5,83%
c) Uma aplicao idntica remunerada a uma taxa de juro anual de 4%. Para um capital inicial
de 5.000 EUR, e considerando um regime de capitalizao composta mensal, qual o prazo que
permitiria obter o mesmo montante total de juros?
= 4,00% =4,00%
12= 0,33%
0 = 5.000
= 600
= 0 [(1 + ) 1]
600 = 5.000 [(1 + 0,33%) 1]
600 = 5.000 (1 + 0,33%) 5.000
(1 + 0,33%) = 5.600
5.000
ln(1 + 0,33%) = ln (5.600
5.000)
ln(1,0033) = ln(1,2)
= 0,1133
0,0033= 34,06 necessrios 35 meses
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Exerccio 6 - Resoluo
Considere uma aplicao a 20 anos a uma taxa de juro anual nominal de 7%. A aplicao
capitalizvel semestralmente, em regime composto.
a) Se o capital inicial for 15.000, qual o valor que teremos no final do prazo?
= 7% = 3,50%
= 20 2 = 40
= 0 = 15.000
= 40
= 0 (1 + )
40 = 15.000 (1 + 3,50%)40
40 = 59.388,90
b) Se o capital inicial for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano
9?
= 8 2 + 1 = 17
= 0 (1 + )
17 = 15.000 (1 + 3,50%)17
17 = 26.920,13
c) Se o capital inicial for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro
semestre do ano 17?
= 16 2 + 1 = 33
= 0 (1 + )1
33 = 15.000 (1 + 3,50%)32 3,50%
33 = 1.578,52
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d) Se o capital final for 15.000, qual o valor investido inicialmente?
= 7% = 3,50%
= 20 2 = 40
= 40 = 15.000
= 0
= (1 + )
0 = 15.000 (1 + 3,50%)40
0 = 3.788,59
e) Se o capital final for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano
9?
= 40 + 17 = 23
= (1 + )
4023 = 40 (1 + )23 ou 17 = 40 (1 + )
(40+17)
17 = 15.000 (1 + 3,50%)23
23 = 6.799,28
f) Se o capital final for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro semestre
do ano 17?
= 40 + 33 = 7
= 0 (1 + )1
33 = 15.000 (1 + 3,50%)8 3,50%
33 = 3,50% = 398,69
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Exerccio 7 - Resoluo
Um investidor pretende criar um fundo de poupana atravs da aplicao anual de EUR 1.000 a uma
taxa de juro de 4%.
a) Admitindo que o investidor conta fazer aplicaes durante 20 anos, qual o montante que
acumular no final?
= 1.000
= 4,00%
= 20
= [(1 + ) 1
]
= 1.000 [(1 + 4,00%)20 1
4,00%]
= 29.778,08
b) Supondo que o investidor tem a opo de substituir este conjunto de rendas anuais por uma
s aplicao no momento inicial, qual o montante que teria de aplicar?
= 1.000
= 4,00%
= 20
= [1 (1 + )
]
= 1.000 [1 (1 + 4,00%)20
4,00%]
= 13.590,33
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c) No caso de pretender ter, no final do prazo, um montante correspondente a EUR 35.000, qual
o valor anual que o investidor teria de aplicar?
= 4,00%
= 20
= 35.000
=
[(1 + ) 1
]
=35.000
[(1 + 4%)20 1
4% ]
= 1.175,36
Exerccio 8 - Resoluo
Considere duas opes:
i. Investir EUR 500 semestralmente durante 15 anos;
ii. Aplicar EUR 10.000 por um prazo de 15 anos, com capitalizao composta trimestral.
a) Qual das opes apresenta valor actual superior, com uma taxa de juro anual nominal de 4%?
= 500
= 15 2 = 30 = 15 4 = 60
= 4% = 2% ;
= 1%
0 = 10.000
= [
1 (1 + )
]
= 500 [
1 (1 + 2%)30
2%]
= 11.198,23
> 0
.
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b) Qual a opo que permite acumular um capital superior no final, se tivermos uma taxa de
juro anual nominal de 7%?
= 500
= 15 2 = 30 = 15 4 = 60
= 7% = 3,50% ;
= 1,75%
0 = 10.000
= [
(1 + ) 1
]
= 500 [
(1 + 3,50%)30 1
3,50%]
= 25.811,34
60 = 0
(1 + )
60 = 10.000 (1 + 1,75%)60
60 = 28.318,16
<
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c) Qual a taxa de juro anual nominal que nos permitiria obter o mesmo valor no final dos 15
anos, independentemente da opo tomada?
= 500
= 15 2 = 30 = 15 4 = 60
0 = 10.000
= 500 [
(1 + )30 1
]
60 = 10.000 (1 +
)60
= 60
500 [(1 +
2 )
30 1
2
] = 10.000 (1 +4
)60
= 5,6017%
= 5,6017% = 2,80% ;
= 1,40%
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Exerccio 9 - Resoluo
Considere um emprstimo a um ano e meio, com prestaes mensais e taxa de juro anual nominal de
9%. O montante financiado corresponde a EUR 45.000, estando previsto o regime de amortizaes
constantes do capital.
a) Qual o capital em dvida no final do primeiro ano do emprstimo?
= 18
1 = 45.000
= 2.500
1 12
= 1 2.500 12 = 15.000
b) Qual o montante de juros a pagar no 8 ms do emprstimo?
= 18
= 9% = 0,75%
1 = 45.000
= 2.500
8 7
8 = 1 2.500 7 = 27.500,00
8 = 27.500 0,75% = 206,25
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c) Assumindo agora periodicidade trimestral e que o prazo do emprstimo alargado para dois
anos, com carncia de capital e de juros nos primeiros 6 meses, construa um quadro que
indique o valor da prestao, da amortizao do capital e do juro para cada perodo.
= 9% = 2,25%
3 = 45.000 + 1 + 2 = 47.047,78
=47.047,78
6= 7.841,30
Per.Cap.
InicialPrestao
Amort.
CapitalJuros
Capital
Final
1 45.000,00 0,00 0,00 1.012,50 46.012,50
2 46.012,50 0,00 0,00 1.035,28 47.047,78
3 47.047,78 8.899,87 7.841,30 1.058,58 39.206,48
4 39.206,48 8.723,44 7.841,30 882,15 31.365,19
5 31.365,19 8.547,01 7.841,30 705,72 23.523,89
6 23.523,89 8.370,58 7.841,30 529,29 15.682,59
7 15.682,59 8.194,16 7.841,30 352,86 7.841,30
8 7.841,30 8.017,73 7.841,30 176,43 0,00
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Exerccio 10 - Resoluo
Considere um emprstimo com prestaes anuais constantes e as seguintes caractersticas:
i. Capital: EUR 100.000,00
ii. Taxa de juro anual nominal: 9,5%
iii. Prazo: 5 anos
iv. Prazo de carncia de capital e juros: 1 ano
Construa um quadro representativo das prestaes deste emprstimo, indicando para cada perodo o
valor do capital inicial, a amortizao de capital, o montante dos juros, o total da prestao e o
capital final.
5 ; : 1 = 4
= 9,5% = 9,5%
1 = 100.000
2 = 1 (1 + )1
2 = 109.500,00
2 = = [1 (1 + )
]
=2
[1 (1 + )
]
= 34.170,90
=
. =
t CI Prestao Capital Juros CF
1 100.000,00 0,00 0,00 9.500,00 109.500,00
2 109.500,00 34.170,90 23.768,40 10.402,50 85.731,60
3 85.731,60 34.170,90 26.026,40 8.144,50 59.705,20
4 59.705,20 34.170,90 28.498,90 5.671,99 31.206,30
5 31.206,30 34.170,90 31.206,30 2.964,60 0,00