resolucion de triangulos ejercicios
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RESOLUCION DE TRIANGULOS I
Resolver un triángulo cons iste en ha llar sus lados, ángulos y
área.
Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos
lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos
encontramos con cuatro tipos de resoluc ión de triángulos
rectángulos:
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
. Se conocen los dos catetos
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!.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
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". Se conocen un cateto y un ángulo agudo
#$ercicios
De un triángulo rectángulo %&', se conocen a ( "1) m y b
( *+ m. Resolver el triángulo.
sen & ( *+"1) ( +.-" & ( arc sen +.-" ( 42° 25′
' ( /+0 "0 )2 ( 47° 352
c ( a cos & c ( "1) 3 +.!*1 ( 306. 31 m
De un triángulo rectángulo %&', se conocen b ( !! m y c (
1 m. Resolver el triángulo.
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tg & ( !!1 ( 1.)1" B = 57° 32 2
' ( /+0 )0 !2 ( 32° 28′
a ( bsen & a ( !!+.)"! ( 39.12 m
De un triángulo rectángulo %&', se conocen a ( ") m y & (
0. Resolver el triángulo
' ( /+0 0 ( 68°
b ( a sen 0 b ( ") 3 +.!"- ( 16.85 m
c ( a cos 0 c ( ") 3 +./ ( 41.72 m
De un triángulo rectángulo %&', se conocen b ( ). m y &
( !4. Resolver el triángulo
' ( /+0 !0 ( 53
a ( bsen & a ( ).+.-+1* ( 8.64 m
c ( b 3 cotg & c ( ). 3 1.!+ ( 6. 9 m
5n dirigible que está volando a *++ m de altura, distingue
un pueblo con un ángulo de depresi6n de 10. 7% qu8 dist ancia
del pueblo se halla9
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allar el radio de una circun;erencia sabiendo que una
cuerda de ".- m tiene como arco correspondiente uno de +4
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'alcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos
de sus lados miden *+ m y 1!+ m, y ;orman entre ellos unángulo de +0.
'alcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto
del terreno se observa su copa ba$o un ángulo de !+0 y si nos
acercamos 1+ m, ba$o un ángulo de -+0.
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<a longitud del lado de un oct6gono regular es 1 m. allar
los radios de la circun;erencia inscrita y circunscrita.
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'alcular la longitud del lado y de la apotema de un
oct6gono regular inscrito en una circun;erencia de "/
cent=metros de radio.
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>res pueblos %, & y ' están unidos por carreteras. <a
distancia de % a ' es - ?m y la de & a ' / ?m. #l ángulo que
;orman estas carreteras es 1+0. 7'uánto distan % y &9
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RESOLUCION DE TRIANGULOS II
EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del
ángulo α :
Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las
razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para elángulo α el cateo opuesto es , el contiguo !" y la
#ipotenusa !$.
EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del
ángulo C del siguiente triángulo
%#ora en este e&ercicio ya no tenemos los tres
lados, falta uno de los catetos y para calcularlo
vamos a utilizar el 'eorema de Pitágoras.
(o primero ponerle nom)re a los lados. *amos a
llamarle con letras min+sculas a los lados que están
enfrente del ángulo con la correspondiente letra
may+scula es decir a - ! m, ) - / m y c es el
lado que queremos calcular
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%plicando el 'eorema de Pitágoras tenemos:
a" - )" 0 c "
!"- /" 0 c"
!1 - 1 0 c"
!1 2 1 - c"
!3" - c" y aplicando las fórmulas
!!, - c tenemos:
(uego c - !!, m.
EJERCICIO 3: 4etermina los ángulos del
e&ercicio anterior
5)viamente ya sa)emos que el ángulo % es el ángulo recto y por tanto % - 67.
Para calcular los otros dos vamos a #acerlo con las razones trigonométricas y con
la ayuda de la calculadora.
8i queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero es
identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este casoson cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón trigonométrica
intervienen esos lados. (a respuesta es el coseno, así que calculo cos C
Cos C - / 9 ! - 6,$. %#ora con la calculadora sacamos cuál es el ángulo,
utilizando la función inversa de la tecla ;cos;, y el resultado es C - $$,"$7.
Para calcular < puedo #acer lo mismo, pensar qué razón puedo calcular, o como
ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los ángulos de cualquier
triángulo es !/67 ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es < -
3,$7.
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EJERCICIO 4: 4e un triángulo rectángulo se sa)e que uno
de sus ángulo agudos es 67 y que el cateto opuesto a éste
mide !6m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.
(o primero es #acer un di)u&o que nos aclare la situación y ponerle nom)re a los
lados y ángulos
=sta sería nuestra situación.
Para empezar los más fácil es sacar el
ángulo que falta, y aplicando que la suma
de los tres es !/6, el ángulo < vale $67.
*amos a calcular a#ora por e&emplo el
lado ;);. 8i me fi&o en el ángulo C, el lado
que sé es el cateto opuesto y el que
pretendo calcular es el contiguo. Como la
razón trigonométrica en la que intervienen
estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despe&ar a partir de a#í:
Por tanto ya tenemos el lado ;);. Para calcular el lado ;a; podríamos aplicar
Pitágoras o sacarlo por alguna razón. *amos a seguir este camino que será más
corto.
Por e&emplo voy a fi&arme en el lado ;c; y el ángulo ;C;, aunque ya podría
utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ángulo ;C; sé cateto opuesto y
quiero #ipotenusa así que #a)rá que utilizar el seno:
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EJERCICIO 5: Calcula la altura de la torre si nuestro
persona&e está a m de la )ase de la torre, el ángulo con el
que está o)servando la c+spide es de 167 y sostiene el
artilugio a una altura de !,$ m.
Para comenzar, vamos a #acer un di)u&o que
aclare un poco la situación poniendo los
datos que conocemos.
8i nos fi&amos en el
triángulo, el lado c mide
m y una vez que tengamos calculado el lado ), para
calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los
!,$ m. %sí pues, vamos a calcular el lado ).
Para el ángulo 167, el lado que conozco es el cateto contiguo
y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo
la tangente de 167.
Por tanto la altura de la torre es !",!! m 0 !,$ m - !3, 1! m.
EJERCICIO 6: =l seno de cierto ángulo α del segundo
cuadrante vale 6,$. Calcula el coseno y la tangente.
Para resolver este e&ercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonométricas.
4e la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos
sacaremos la tangente:
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8acamos el valor del coseno despe&ándolo de la fórmula: sen"α 0 cos"α - !.
Como nuestro ángulo está en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno
es negativo, tenemos que
quedarnos con el signo 2, por
tanto cos α - 2 6,/3.
Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda
fórmula:
EJERCICIO 7: 8a)iendo que cos "7 - 6,. Calcula:
sen """7, tg !3/7, cos /7, sen 3!/7 y sen !3"7.
sen 222º
=l ángulo """7 pertenece al tercer cuadrante. *amos a ver con que ángulo del
primero se relaciona: α - """7 2 !/67 - "7.
Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo,
sen"""7 - 2 sen "7 - 2 6,11 > Para calcular el sen 42º seguimos el mismo
procedimiento ue en el e!ercicio ").
tg 138º
!3/7 está en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con α - !/67 2 !3/7- "7, que vuelve a ser el ángulo que conocemos.
Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg !3/7- 2 tg "7- 26, (tg
42º lo calculamos igual ue en el e!ercicio ")
cos 48º
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/7 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ángulo
que conozco "7.
=ntonces cos /7 - sen "7 - 6,11.
sen 318º
3!/7 está en el cuarto cuadrante y se relaciona con 3167 2 3!/7 - ".
=ntonces sen 3!/ 7- 2 sen "7 - 2 6,11
sen132º
!3"7 es del segundo y se relaciona con !/67 2 !3"7 - /7 que es el
complementario de "7.
=ntonces y como el seno es positivo en el segundo cuadrante, sen !3"7 - sen /7
- cos "7 - 6,.
RESOLUCION DE TRIANGULOS III1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:
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!"em#lo$
Resolver el triángulo conociendo:
a ( "1) m y b ( *+ m.
sen & ( *+"1) ( +.-" & ( arc sen +.-" ( 42° 25′
' ( /+0 "0 )2 ( 47° 352
c ( a cos & c ( "1) 3 +.!*1 ( 306. 31 m
2 Se conocen los dos catetos:
!"em#lo$
Resolver el triángulo conociendo:
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b ( !! m y c ( 1 m .
tg & ( !!1 ( 1.)1" B = 57° 32 2
' ( /+0 @ )0 !2 ( 32° 28′
a ( bsen & a ( !!+.*!" ( 39.12 m
3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:
!"em#lo$
Resolver el triángulo conociendo:
a ( ") m y & ( 0.
' ( /+0 0 ( 68°
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b ( a sen 0 b ( ") 3 +.!"- ( 16.85 m
c ( a cos 0 c ( ") 3 +./ ( 41.72 m
4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo:
!"em#lo$
Resolver el triángulo conociendo:
b ( ). m y & ( !4
' ( /+0 !0 ( 53
a ( bsen & a ( ).+.-+1* ( 8.64 m
c ( b 3 cotg & c ( ). 3 1.!+ ( 6. 9 m
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