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Aluno: Mikail Campos Freitas
Orientador: Prof. Marcelo Finger
RESOLVENDO O PROBLEMA
PSAT COM O AUXÍLIO DA
FERRAMENTA DE
SOFTWARE LIVRE MINISAT
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INTRODUÇÃO
PSAT
SOLUÇÕES
MODIFICAÇÕES
RESULTADOS
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INTRODUÇÃO
PSAT
SOLUÇÕES
MODIFICAÇÕES
RESULTADOS
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Problema da Satisfatibilidade Booleana
Importância teórica e prática:
Primeiro problema NP-completo (Cook, 1971)
Planejamento em inteligência artificial
Projeto de circuitos integrados
Verificação de software
Entre outras...
Evolução das soluções
Estabelecidas competições de SAT (SAT Competition, SAT-
Race, SAT Challenge)
Soluções atuais são mais de 30 vezes mais rápidas do que em
2001!
INTRODUÇÃO - SAT
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Decisão sobre a satisfatibilidade de uma fórmula booleana
proposicional
Muitas vezes apresentado na forma normal conjuntiva
(conjunção de disjunções)
Ex:
Dada a fórmula 𝐹 = 𝑝 ∨ ¬𝑞 ∧ 𝑞 ∨ ¬𝑟 ∧ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ∨ ¬𝑟 ∧ 𝑟.
É possível satisfazer 𝐹?
INTRODUÇÃO - SAT
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Problema da Satisfatibilidade Probabilística
Extensão do SAT, combina lógica e probabilidade
Mostrado NP-completo (Georgakopoulos, Kavvadias,
Papadimitriou, 1988)
Conjunto de cláusulas proposicionais com probabilidade
associada
Decidir sobre a consistência da atribuição de probabilidades
ao conjunto de cláusulas
Aplicações:
Aprendizado automático
Linguística computacional
Modelagem lógico-probabilística
Entre outras...
INTRODUÇÃO - PSAT
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Ex: (Problema dos Bêbados)
Três amigos costumam ir a um bar, de modo que em todas as noites
pelo menos dois deles estão em sua mesa de costume. Entretanto,
cada um afirma ir ao bar “apenas” 60% das noites.
Eles estão falando a verdade?
INTRODUÇÃO - PSAT
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Ex: (Problema dos Bêbados)
Três amigos costumam ir a um bar, de modo que em todas as noites
pelo menos dois deles estão em sua mesa de costume. Entretanto,
cada um afirma ir ao bar “apenas” 60% das noites.
Eles estão falando a verdade?
Formulação:
𝑥1 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑥3
𝑃 𝑥1 = 𝑃 𝑥2 = 𝑃 𝑥3 = 0.6
INTRODUÇÃO - PSAT
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INTRODUÇÃO
PSAT
SOLUÇÕES
MODIFICAÇÕES
RESULTADOS
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Instância PSAT Σ = 𝑃 𝛼𝑖 ⨝𝑖 𝑝𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
𝛼𝑖 é fórmula sobre {𝑥1 , … , 𝑥𝑛}, ⨝𝑖 ∈ {=, ≤, ≥}
Uma instância Σ está na forma normal atômica quando pode
ser particionada em (Γ, Ψ) onde:
Γ = 𝑃 𝛼𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}
Ψ = 𝑃 𝑦𝑖 = 𝑝𝑖 𝑦𝑖 é átomo, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
PSAT - FORMA NORMAL ATÔMICA
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Instância PSAT Σ = 𝑃 𝛼𝑖 ⨝𝑖 𝑝𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
𝛼𝑖 é fórmula sobre {𝑥1 , … , 𝑥𝑛}, ⨝𝑖 ∈ {=, ≤, ≥}
Uma instância Σ está na forma normal atômica quando pode
ser particionada em (Γ, Ψ) onde:
Γ = 𝑃 𝛼𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}
Ψ = 𝑃 𝑦𝑖 = 𝑝𝑖 𝑦𝑖 é átomo, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
Ex: (bêbados)
𝑥1 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑥3
𝑃 𝑥1 = 𝑃 𝑥2 = 𝑃 𝑥3 = 0.6
PSAT - FORMA NORMAL ATÔMICA
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Instância PSAT Σ = 𝑃 𝛼𝑖 ⨝𝑖 𝑝𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
𝛼𝑖 é fórmula sobre {𝑥1 , … , 𝑥𝑛}, ⨝𝑖 ∈ {=, ≤, ≥}
Uma instância Σ está na forma normal atômica quando pode
ser particionada em (Γ, Ψ) onde:
Γ = 𝑃 𝛼𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}
Ψ = 𝑃 𝑦𝑖 = 𝑝𝑖 𝑦𝑖 é átomo, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
Ex: (bêbados)
𝑥1 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑥3 = 𝑥1 ∨ 𝑥2 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥3 ∧ 𝑥1 ∨ 𝑥3
𝑃 𝑥1 = 𝑃 𝑥2 = 𝑃 𝑥3 = 0.6
PSAT - FORMA NORMAL ATÔMICA
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Instância PSAT Σ = 𝑃 𝛼𝑖 ⨝𝑖 𝑝𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
𝛼𝑖 é fórmula sobre {𝑥1 , … , 𝑥𝑛}, ⨝𝑖 ∈ {=, ≤, ≥}
Uma instância Σ está na forma normal atômica quando pode
ser particionada em (Γ, Ψ) onde:
Γ = 𝑃 𝛼𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}
Ψ = 𝑃 𝑦𝑖 = 𝑝𝑖 𝑦𝑖 é átomo, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}
Ex: (bêbados)
𝑥1 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥2 ∧ 𝑥3 ∨ 𝑥1 ∧ 𝑥3 = 𝑥1 ∨ 𝑥2 ∧ 𝑥2 ∨ 𝑥3 ∧ 𝑥1 ∨ 𝑥3
𝑃 𝑥1 = 𝑃 𝑥2 = 𝑃 𝑥3 = 0.6
Γ = 𝑥1 ∨ 𝑥2 , 𝑥2 ∨ 𝑥3 , 𝑥1 ∨ 𝑥3
Ψ = {𝑃 𝑥1 = 𝑃 𝑥2 = 𝑃 𝑥3 = 0.6}
PSAT - FORMA NORMAL ATÔMICA
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Toda instância PSAT tem uma instância em Forma Normal
Atômica equivalente
Valoração 𝑣 sobre 𝑦1 … 𝑦𝑘 é Γ -consistente se podemos
estender 𝑣 para y1 … yk , 𝑥1 … 𝑥𝑛 de modo que Γ 𝑣 = 1 ; assim,
o vetor 1 𝑣 𝑦1 … 𝑣 𝑦𝑘T também é Γ -consistente
Lema:
Uma instância Γ, Ψ na forma normal atômica é satisfazível sse existe
uma matriz 𝐴Ψ de dimensão 𝑘 + 1 × 𝑘 + 1 onde todas as suas colunas
são Γ-consistentes e 𝐴Ψ𝜋 = 𝑝, ∑𝜋 = 1 tem solução 𝜋 ≥ 0.
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
, 𝑎𝑖 ,𝑗 ∈ {0, 1}
PSAT - FORMA NORMAL ATÔMICA
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INTRODUÇÃO
PSAT
SOLUÇÕES
MODIFICAÇÕES
RESULTADOS
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Usando resolvedor SAT, Marcelo Finger e Glauber de Bona
propuseram e implementaram três soluções:
Redução Canônica de PSAT para SAT
Geração de Colunas através de Redução de Turing para SAT
Geração de Colunas através de Redução de Turing para MAXSAT
Ponderado
SOLUÇÕES
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Tradução através da codificação de operações binárias
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
SOLUÇÕES - REDUÇÃO CANÔNICA
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Tradução através da codificação de operações binárias
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
𝑏 bits𝜋𝑖 = 0. 𝜋𝑖
𝑏 … 𝜋𝑖1
𝑝𝑖 = 0. 𝑝𝑖𝑏 … 𝑝𝑖
1
SOLUÇÕES - REDUÇÃO CANÔNICA
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Tradução através da codificação de operações binárias
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
𝑏 bits𝜋𝑖 = 0. 𝜋𝑖
𝑏 … 𝜋𝑖1
𝑝𝑖 = 0. 𝑝𝑖𝑏 … 𝑝𝑖
1
Multiplicação 𝑎𝑖 ,𝑗 ⋅ 𝜋𝑗 : conjunção dos bits de 𝜋𝑗 com 𝑎𝑖 ,𝑗
Soma: soma binária
Igualdade: equivalência binária
SOLUÇÕES - REDUÇÃO CANÔNICA
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Tradução através da codificação de operações binárias
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
𝑏 bits𝜋𝑖 = 0. 𝜋𝑖
𝑏 … 𝜋𝑖1
𝑝𝑖 = 0. 𝑝𝑖𝑏 … 𝑝𝑖
1
Multiplicação 𝑎𝑖 ,𝑗 ⋅ 𝜋𝑗 : conjunção dos bits de 𝜋𝑗 com 𝑎𝑖 ,𝑗
Soma: soma binária
Igualdade: equivalência binária
Número de variáveis na tradução é 𝑂(𝑘3 log𝑘)
SOLUÇÕES - REDUÇÃO CANÔNICA
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Tradução através da codificação de operações binárias
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
𝑏 bits𝜋𝑖 = 0. 𝜋𝑖
𝑏 … 𝜋𝑖1
𝑝𝑖 = 0. 𝑝𝑖𝑏 … 𝑝𝑖
1
Multiplicação 𝑎𝑖 ,𝑗 ⋅ 𝜋𝑗 : conjunção dos bits de 𝜋𝑗 com 𝑎𝑖 ,𝑗
Soma: soma binária
Igualdade: equivalência binária
Número de variáveis na tradução é 𝑂(𝑘3 log𝑘)
Resolvedor SAT é chamado
SOLUÇÕES - REDUÇÃO CANÔNICA
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Tradução através da codificação de operações binárias
1 ⋯ 1𝑎1,1 … 𝑎1,𝑘+1⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑘,1 … 𝑎𝑘,𝑘+1
⋅
𝜋1𝜋2⋮
𝜋𝑘+1
=
1𝑝1⋮𝑝𝑘
𝑏 bits𝜋𝑖 = 0. 𝜋𝑖
𝑏 … 𝜋𝑖1
𝑝𝑖 = 0. 𝑝𝑖𝑏 … 𝑝𝑖
1
Multiplicação 𝑎𝑖 ,𝑗 ⋅ 𝜋𝑗 : conjunção dos bits de 𝜋𝑗 com 𝑎𝑖 ,𝑗
Soma: soma binária
Igualdade: equivalência binária
Número de variáveis na tradução é 𝑂(𝑘3 log𝑘)
Resolvedor SAT é chamado
Implementação: PSATtoSAT
SOLUÇÕES - REDUÇÃO CANÔNICA
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Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝
Começar com um problema relaxado:
1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
𝜋 ′ = 𝑝 ⇒ 𝐴(0)𝜋(0) = 𝑝
Sempre tem solução
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: SAT
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Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝
Começar com um problema relaxado:
1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
𝜋 ′ = 𝑝 ⇒ 𝐴(0)𝜋(0) = 𝑝
Sempre tem solução Mas pode ser Γ-inconsistente!
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: SAT
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Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝
Começar com um problema relaxado:
1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
𝜋 ′ = 𝑝 ⇒ 𝐴(0)𝜋(0) = 𝑝
Sempre tem solução Mas pode ser Γ-inconsistente!
𝑘 + 1 chamadas iniciais ao resolvedor SAT para verificar Γ -
consistência das colunas e inicializar vetor de custo
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: SAT
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Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝
Começar com um problema relaxado:
1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
𝜋 ′ = 𝑝 ⇒ 𝐴(0)𝜋(0) = 𝑝
Sempre tem solução Mas pode ser Γ-inconsistente!
𝑘 + 1 chamadas iniciais ao resolvedor SAT para verificar Γ -
consistência das colunas e inicializar vetor de custo
Função objetivo: combina número de colunas Γ -inconsistentes
com a soma das suas probabilidades associadas
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: SAT
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Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝
Começar com um problema relaxado:
1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
𝜋 ′ = 𝑝 ⇒ 𝐴(0)𝜋(0) = 𝑝
Sempre tem solução Mas pode ser Γ-inconsistente!
𝑘 + 1 chamadas iniciais ao resolvedor SAT para verificar Γ -
consistência das colunas e inicializar vetor de custo
Função objetivo: combina número de colunas Γ -inconsistentes
com a soma das suas probabilidades associadas
A cada passo é usado o resolvedor SAT para gerar uma coluna
Γ -consistente com custo associado negativo
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: SAT
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Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝
Começar com um problema relaxado:
1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
𝜋 ′ = 𝑝 ⇒ 𝐴(0)𝜋(0) = 𝑝
Sempre tem solução Mas pode ser Γ-inconsistente!
𝑘 + 1 chamadas iniciais ao resolvedor SAT para verificar Γ -
consistência das colunas e inicializar vetor de custo
Função objetivo: combina número de colunas Γ -inconsistentes
com a soma das suas probabilidades associadas
A cada passo é usado o resolvedor SAT para gerar uma coluna
Γ -consistente com custo associado negativo
Implementação: PsatColGen
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: SAT
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Semelhante ao método anterior
Inicialização igual a antes (problema relaxado, resolvedor
SAT para verificar Γ -consistência)
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: MAXSAT
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Semelhante ao método anterior
Inicialização igual a antes (problema relaxado, resolvedor
SAT para verificar Γ -consistência)
Diferença:
Antes: gerar uma coluna com custo associado negativo
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: MAXSAT
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Semelhante ao método anterior
Inicialização igual a antes (problema relaxado, resolvedor
SAT para verificar Γ -consistência)
Diferença:
Antes: gerar uma coluna com custo associado negativo
Agora: gerar a coluna com o menor custo associado
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: MAXSAT
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Semelhante ao método anterior
Inicialização igual a antes (problema relaxado, resolvedor
SAT para verificar Γ -consistência)
Diferença:
Antes: gerar uma coluna com custo associado negativo
Agora: gerar a coluna com o menor custo associado
A cada passo usar resolvedor MAXSAT Ponderado para gerar
a coluna Γ -consistente com menor custo
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: MAXSAT
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Semelhante ao método anterior
Inicialização igual a antes (problema relaxado, resolvedor
SAT para verificar Γ -consistência)
Diferença:
Antes: gerar uma coluna com custo associado negativo
Agora: gerar a coluna com o menor custo associado
A cada passo usar resolvedor MAXSAT Ponderado para gerar
a coluna Γ -consistente com menor custo
Implementação: PSATtoMaxSat
SOLUÇÕES - GER. DE COLUNAS: MAXSAT
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Baseados no uso de softwares externos:
zChaff
wmaxsatz2009
LA
SOLUÇÕES - RESOLVEDORES
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Baseados no uso de softwares externos:
zChaff (licença própria)
wmaxsatz2009 (GPLv3)
LA (GPLv3)
SOLUÇÕES - RESOLVEDORES
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Baseados no uso de softwares externos:
zChaff (licença própria)
Uso restrito a pesquisa, não comercial
wmaxsatz2009 (GPLv3)
LA (GPLv3)
SOLUÇÕES - RESOLVEDORES
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Baseados no uso de softwares externos:
zChaff (licença própria)
Uso restrito a pesquisa, não comercial
Distribuição apenas com o consenso da Universidade de Princeton
wmaxsatz2009 (GPLv3)
LA (GPLv3)
SOLUÇÕES - RESOLVEDORES
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Baseados no uso de softwares externos:
zChaff (licença própria)
Uso restrito a pesquisa, não comercial
Distribuição apenas com o consenso da Universidade de Princeton
wmaxsatz2009 (GPLv3)
LA (GPLv3)
Interface e troca de dados feita por arquivos
Overhead na criação de processos
SOLUÇÕES - RESOLVEDORES
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INTRODUÇÃO
PSAT
SOLUÇÕES
MODIFICAÇÕES
RESULTADOS
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MODIFICAÇÕES - OBJETIVOS
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Melhorar o desempenho do resolvedores PSAT
Facilitar a distribuição, uso e modificação do projeto
MODIFICAÇÕES - OBJETIVOS
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MODIFICAÇÕES - MINISAT
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Resolvedor SAT desenvolvido com o intuito de fácil integração
a outros projetos
Foi premiado em duas de quatro SAT Competition que
participou e em todas as SAT-Race
Licença MIT
MODIFICAÇÕES - MINISAT
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Resolvedor SAT desenvolvido com o intuito de fácil integração
a outros projetos
Foi premiado em duas de quatro SAT Competition que
participou e em todas as SAT-Race
Licença MIT Compatível com GPLv3!
MODIFICAÇÕES - MINISAT
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MODIFICAÇÕES - PROPOSTA
![Page 46: Resolvendo o problema PSAT com o auxílio da ferramenta de ... · Mostrado NP-completo (Georgakopoulos, Kavvadias, Papadimitriou, 1988) Conjunto de cláusulas proposicionais com probabilidade](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022042909/5f3dd3a90652fa380527e115/html5/thumbnails/46.jpg)
Trocar a utilização do zChaff pelo MiniSat
Incluir o código de todos os softwares externos ao
dos resolvedores
MODIFICAÇÕES - PROPOSTA
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INTRODUÇÃO
PSAT
SOLUÇÕES
MODIFICAÇÕES
RESULTADOS
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Instâncias satisfazíveis
Variar 𝑘 (junto com 𝑛 e 𝑚)
50 instâncias para cada 𝑘
Instâncias aleatórias
Fixar 𝑘 e 𝑛 , variar 𝑚 (3-SAT)
50 instâncias para cada valor de 𝑚
RESULTADOS - TESTES
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Instâncias satisfazíveis
(𝑛 = 2𝑘 + 1 )
Instâncias aleatórias
(𝑛 = 40 , 𝑘 = 4 )
RESULTADOS - PSATtoSAT
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Instâncias satisfazíveis
(𝑛 = 2𝑘 + 1 )
Instâncias aleatórias
(𝑛 = 70 , 𝑘 = 12 )
RESULTADOS - PsatColGen
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Instâncias satisfazíveis
(𝑛 = 2𝑘 + 1 )
Instâncias aleatórias
(𝑛 = 100 , 𝑘 = 20 )
RESULTADOS - PSATtoMaxSat
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DÚVIDAS?
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Obrigado!