résoudre une équation du 1 er degré à une inconnue

Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue

Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans lesquelles on ne retrouve qu’

Exemples: + 5 = 8

x 2 = 8x = 8a 2

+ 5 = 292x 4b = 51,2

2s + 5 = 3s - 29 = x 2

4x + 5

12

Dans chacune de ces équations, il n’y a qu’une inconnue.

Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité.

une seule inconnue.

Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité.

Exemples:

+ 5 = 8

x ici, x = 3 3 + 5 = 8 égalité

4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 égalité

Certaines équations sont faciles à résoudre, d’autres sont plus difficiles;

mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques.

= x 2

4x + 5

12

8 = 8

51,2 = 51,2

ici, x = 2,5 = 2,5

2

4 X 2,5 + 5

12égalité

1,25 = 1,25

Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut d’abord bien saisir les termes de l’équation.

Exemples:

Dans l’équation: x + 3 = 8

On retrouve 3 termes:

Chaque terme est séparé des autres par les signes d’addition ou de soustraction et le signe d’égalité.

Dans l’équation: 15 - 7 = x + 6


Exemples:

Dans l’équation: 2x = 8


Dans l’équation:


15 =2

x

Remarque: 2x signifie 2 X x ;

Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication; les deux ne forment alors qu’un seul terme.

Remarque:2

x=

21

1

xX

Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication; les deux ne forment alors qu’un seul terme.

Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce qu’est une équation.

Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation.

=

On peut déposer les quantités que l’on veut de chaque côté, mais les opérations doivent être équivalentes afin de garder l’équilibre de la balance.

Exemples:3 + 5 4 X 210 ÷ 2 2 + 32 X 6 12x + 3 84x 28

Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder l’équilibre, c’est-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.

=3 + 5 4 X 2+ 7 + 7=15 15

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.

=2 X 6 12÷ 2 ÷ 2=6 6


=x + 3 8- 3 - 3


=x 5

=4 x 284 4

=x 7

C’est le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue.


Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.

Attention: Une inconnue est complètement isolée quand:

x- le numérateur du coefficient est 1;

- le dénominateur du coefficient est 1;

- son exposant est 1;

- elle est positive.

11

1+

On l’écrit alors simplement comme ceci: x


Dans l’équation suivante : + 3 = 8

x quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie: quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ?

Pour connaître ce nombre, il faut donc diminuer l’expression

+ 3 = 8x - 3 - 3

Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal.

Il en résulte que: x + 0 = 8 - 3

5 + 3 = 8 égalité

Validation:

soit x = 5

x + 3 = 8

inconnue isolée

de 3.


Dans l’équation suivante : - 4 = 9x quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie: quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ?

Pour connaître ce nombre, il faut donc augmenter l’expression

- 4 = 9x + 4 + 4

Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également additionner la même quantité de l’autre côté du signe égal.

Il en résulte que: x + 0 = 9 + 4

13 – 4 = 9 égalité

Validation:

soit x = 13

x – 4 = 9

inconnue isolée

de 4.


Dans l’équation suivante : = 82x quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie: quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ?

Pour connaître ce nombre, il faut donc diviser le termepar 2. = 82x

Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également diviser la même quantité de l’autre côté du signe égal.

Il en résulte que:

2 X 4 = 8 égalité

Validation:

soit x = 4

2x = 8

inconnue isolée

2 2

2x = 82 2


Dans l’équation suivante : quelle est la valeur de ? x

Cette équation signifie: quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ?

Pour connaître ce nombre, il faut donc multiplier le termepar 5.

Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également multiplier la même quantité de l’autre côté du signe égal.

Il en résulte que:

égalité

Validation:

soit x = 150

inconnue isolée

x = 30

5

x = 30

5

5 X X 5

x = 30

5

5 X X 5

x = 30

5

150 = 30

5

1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant

l’inconnue.

2) On peut soit simplifier le terme contenant l’inconnue.

Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se produire.

En résumé

On le fait alors en utilisant les opérations: addition ou soustraction.

On le fait alors en utilisant les opérations: multiplication ou division.

+ 3 = 8x - 3 - 3

x = 5

- 4 = 9x + 4 + 4

x = 13

= 82x 2 2

x = 4

x = 30

5

5 X X 5

x = 150

Trouve la valeur de l’inconnue dans les équations suivantes:

x + 9 = 17 - 9

- 9

x = 8

x - 9 = 17+ 9

+ 9

x = 26

x + 35 = 58- 35 - 35

x = 23

3x = 24

3 3

x = 8

-2x = 20

-2 -2

x = -10

1,5x = 4,5

x = 3

Ici, il faut diviser

par -2 car x doit

être positif.

1,5 1,5

x = 23

2

X 22 X

x = 46

-x = 20

4X -4-4 X

x = -80

Ici, il faut multiplier par -

4 car x doit être positif.

x2,3

= 5,12,3 X X 2,3

x = 11,73

Maintenant, un peu plus loin et plus encore !

2x + 6 = 24

Priorités d’exécution:

2x + 6 = 24- 6 - 6

2x + 0 = 18

2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.

2x = 182 2

x = 9

Validation: 2x + 6 = 24

2 X 9 + 6 = 24 égalité

1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue.

24 = 24


3x – 15 = 0


3x + 0 = 15

3x = 153 3

x = 5

Validation: 3x - 15 = 0

3 X 5 - 15 = 0 égalité

3x – 15 = 0+ 15 + 15

0 = 0



5a + 18 = 3


5a + 0 = -15

5a = -15

5 5

a = -3

Validation: 5a + 18 = 3

5 X -3 + 18 = 3 égalité

5a + 18 = 3- 18 - 18

3 = 3



-9x - 21 = 6


-9x + 0 = 27

-9x = 27

-9 -9

x = -3

Validation:

-9 X -3 - 21 = 6

égalité

-9x - 21 = 6+ 21 + 21

Ici, il faut diviser par -9

car x doit être positif

-9x - 21 = 6

6 = 6



27 - 21 = 6

7x = 4x + 12

Règles:

3x = 0 + 12


3x = 123 3

x = 4

Validation:

7 X 4 = 4 X 4 + 12 égalité

1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe =.

7x = 4x + 12- 4x - 4x

7x = 4x + 12

28 = 28

Certaines situations créent des équations dans lesquelles l’inconnue se retrouve de chaque côté du signe égal.

on annule le terme se trouvant de ce côté.

Exemple:

ici, on n’isole pas l’inconnue;Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal.

2x + 12 = 20

6x + 12 = 4x + 20

Règles:

2x + 0 = 8


2x = 8

2 2

x = 4

Validation:

6 X 4 + 12 = 4 X 4 + 20 égalité

- 12 - 126x + 12 = 4x + 20- 4x - 4x

2x + 12 = 0 + 20

6x + 12 = 4x + 20

36 = 36

et de l’autre côté, les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe =

5x - 17 = x + 4


4x = 21

4 4

x = 5,25

Validation:

5 X 5,25 – 17 = 5,25 + 4 égalité

9,25 = 9,25

5x - 17 = x + 4

4x - 17 = 4

4x + 0 = 21

+ 17 + 175x - 17 = x + 4- x - x

4x - 17 = 0 + 4

et de l’autre côté les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.

Règles:

1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe =

3x + 10 = 5x + 6 3x + 10 = 5x + 6

3x + 0 = 5x - 4

- 10 - 10

- 5x - 5x

-2x + 0 = 0 - 4

Remarque: on peut regrouper les termes semblables d’un côté ou l’autre du signe =

ou transférer les terme 6 à gauche et le terme 3x à droite

0 + 4 = 2x + 0

on peut transférer le terme 10 à droite et le terme 5x à gauche

puis isoler l’inconnue

4 = 2x 2 2

2 = x

Les deux démarches sont bonnes puisqu’une équation est comme une balance.

terme négatif terme positif

puis isoler l’inconnue.

-2x = - 4-2 -2

x = 2

Exemple:

3x + 4 = 5x + 0

- 6 - 6

- 3x - 3x

Équation avec fractions

Exemple: 2x + 6 = 145

Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre…

Cependant, en utilisant un procédé d’équivalence, on peut résoudre ces équations facilement.

Voici la démarche:

1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.

2x +5

2x + 6 = 145

6

61

=X 5

=5

X 5 305

30

=14

= 141

=5X 5

X 5 705

70

2) Enlever les dénominateurs: 2x + 30 = 70

si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation.

2x + 30 = 70- 30 - 30

2x + 0 = 40

2x = 40

2 2

x = 20

2x + 6 = 145

2 X + 6 = 14

5

14 = 14

Preuve:

2x + 30 = 70

2 X + 30 = 70

40 + 30 = 70

70 = 70 405

+ 6 = 14

8 + 6 = 14

Les équations sont différentes mais elles sont équivalentes car la valeur de l’inconnue est la même.

Validation:

2020

L’équation 2x + 30 = 70 est équivalente à l’équation 2x + 6 = 145


2) Enlever les dénominateurs:

Exemple:43

s - 25

= s + 415

20s - 6 = 15s + 43) Isoler l’inconnue: - 15s - 15s


20s – 6 = 15s + 4

5s - 6 = 0 + 4+ 6 + 6

5s + 0 = 0 + 10

5s = 105 5

s = 2

2015

s - 615

= s + 415

1515



Problème:

10a20

+ 5a20

+ = 9520

4a20

3) Isoler l’inconnue:


10a + 5a + 4a = 95

a2

+ a4

+ = 19 4

a5

19a = 95

19 19

a = 5

Problème:3 ( t – 5 ) = 2 ( t + 2)

Ici, il faut commencer par développer l’équation.

3t – 15 = 2t + 4

Effectuer une simple distributivité: 3 X t – 3 X 5 = 2 X t + 2 X 2

- 2t- 2t + 15 + 15

t = 19

isoler l’inconnue:

3 (6b - 5)2 (7b + 2)

Problème: (7b + 2)

3

(6b - 5)

2=

2 (7b + 2)

6

3 (6b - 5)

6=

car (7b + 2)

3=

6

X 2

X 2car (6b - 5)

2=

6

X 3

X 3

2(7b + 2) = 3(6b - 5)

14b + 4 = 18b - 15

14b + 4 = 18b - 15- 14b - 14b + 15+ 15

19 = 4b

4,75 = b



3) Effectuer une simple distributivité:

4) Isoler l’inconnue:

44

X 2

Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre dans une formule.

Dans la formule pour calculer l’aire d’un triangle isole la base:



A = B X H

2

A = B X H

2

2 X A = B X H

2 2

2 X A = B X H

2A = BH

3) Isoler la base:

H H

2A H

= B

A A=1

=2X 2

2A

Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre dans une formule.

V Dt

=Dans la formule pour calculer la vitesse moyenne, isole la distance:

Vitesse : Distance

temps

V Dt

=



V t = D

t t

V t = D

X tV V=1

=tX t

Vt

En électricité, la résistance (R) est égale à la tension (U) divisée par l’intensité (I).

R = UI

Dans cette formule, isole I.



3) Isoler l’intensité:

I

I R = U

I

I R = UR R

I = UR

R = UI

X IR R=1

=IX I

I R

C = 2 π r A = π r2

Dans les formules calculant la circonférence et l’aire d’un cercle, isole le rayon.

2 π 2 π

C2 π

= r

ππ

πA = r2

= rπA

2A = B + b

h

A = ( B + b ) X h

2

Dans la formule pour trouver l’aire d’un trapèze, isole la grande base (B).



A = ( B + b ) X h

2

2

2

2A = (B + b) X h

3) Isoler la grande base (B): 2A = (B + b) X h

hh

( )

2A

h

= B + b - b- b

2A

h

- b = B

Les parenthèses ne sont plus nécessaires.

Isole x dans cette formule: y = ax + b

y = ax + b- b - b

y – b = ax

aa

y – b = x

a

Remarque: Il y a autant de façons d’écrire une formule qu’il y a de lettres qui la composent.

Exemple: V Dt

=

D = V t

si on cherche la vitesse;

si on cherche la distance;

DtV

= si on cherche le temps.

3 variables donc 3 façons différentes d’écrire la même formule.

Il suffit d’isoler l’inconnue que l’on cherche.

résoudre une équation du 1 er degré à une inconnue

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