respect, professionalism, & entrepreneurship · respect, professionalism, &...

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kolom

Pertemuan – 14, 15

Mata Kuliah : Mekanika Bahan

Kode : TSP – 205

SKS : 3 SKS


• TIU : Mahasiswa dapat melakukan analisis suatu elemen kolom dengan

berbagai kondisi tumpuan ujung

• TIK : memahami konsep tekuk dan stabilitas pada suatu elemen kolom


• Sub Pokok Bahasan :

Tekuk dan Stabilitas

Kolom dengan Kedua Ujung Sendi

Kolom dengan Kondisi Tumpuan Lainnya


• Struktur dapat gagal dengan berbagai cara, tergantung pada jenis struktur, kondisi tumpuan, jenis beban dan bahan yang digunakan

• Kegagalan dapat dicegah dengan mendesain struktur tersebut sedemikian sehingga tegangan maksimum dan perpindahan maksimum masih berada dalam batas-batas toleransi

• Atau dikatakan bahwa strength dan stiffness adalah faktor penting dalam desain

• Jenis kegagalan lain adalah tekuk (buckling), yang umumnya terjadi pada komponen struktur yang panjang, langsing dan dibebani aksial tekan

• Kolom merupakan salah satu komponen struktur yang wajib diperiksa terhadap bahaya tekuk



• Gambar di samping menunjukkan suatu model struktur yang memikul beban tekan

• Selanjutnya model ini dianggap terdiri atas dua batang sangat kaku AB dan BC yang panjangnya L/2

• Kedua batang dihubungkan di B oleh sambungan sendi dan dipertahankan pada posisi vertikal oleh pegas rotasional dengan kekakuan br

• Struktur tersebut diganggu dengan gaya luar yang mengakibatkan titik B sedikit bergerak lateral

• Kedua batang yang sangat kaku tersebut berotasi dengan sudut q yang sangat kecil dan timbul momen pemulih (restoring moment) yang cenderung mengembalikan struktur ke posisi lurus semula

• Pada saat yang sama gaya aksial tekan akan menambah besarnya peralihan lateral



• Jika gaya aksial P relatif kecil, maka aksi momen pemulih akan lebih dominan dan struktur akan kembali ke posisi lurus kondisi stabil

• Jika gaya aksial P besar, maka peralihan lateral di B akan bertambah dan batang akan berotasi pada sudut yang besar dan semakin besar hingga akhirnya struktur akan mengalami keruntuhan akibat tekuk dalam arah lateral kondisi tidak stabil

• Transisi antara kondisi stabil dan tidak stabil terjadi pada suatu harga gaya aksial yang disebut beban kritis (Pcr)

• Besarnya beban kritis dapat diperoleh dengan meninjau diagram badan bebas dari batang BC


stable unstable neutral

Jika P = Pcr Jika P > Pcr Jika P < Pcr


• Batang BC mengalami gaya aksial P dan momen MB di pegas

• Momen MB sama dengan kekakuan rotasional br dikalikan dengan sudut rotasi 2q pada pegas :

MB = 2brq

• Karena sudut q dianggap kecil, maka peralihan lateral titik B adalah qL/2, sehingga dengan mengambil SMB = 0 diperoleh :

• Atau

• Sehingga


02

LPM B

q

02

2

qb

PLr

LP r

cr

b4

Jika P < Pcr kesetimbangan stabil Jika P > Pcr kesetimbangan tidak stabil Jika P = Pcr kesetimbangan netral

stable unstable neutral


• Untuk menentukan beban kritis dan bentuk defleksi yang berkaitan pada kolom ideal yang berujung sendi, akan digunakan persamaan diferensial orde dua sebagai berikut :

EIv’’ = M

• Dari kesetimbangan momen di titik A diperoleh :

M + Pv = 0 atau M = − Pv

• Sehingga persamaan diferensial untuk kurva defleksi menjadi :

EIv’’ + Pv = 0

• Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :

v’’ + k2v = 0

• Dengan atau


EI

Pk 2

EI

Pk


• Solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah :

v = C1 sin kx + C2 cos kx

• Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :

v’’ + k2v = 0

• Untuk mengevaluasi konstanta integrasi C1 dan C2, maka dapat digunakan kondisi batas (boundary condition) bahwa defleksi adalah nol apabila x = 0 dan x = L, atau :

v(0) = 0 dan v(L) = 0

• Kondisi pertama menghasilkan C2 = 0, sehingga persamaan menjadi :

v = C1 sin kx

• Kondisi kedua menghasilkan :

C1 sin kL = 0


C1 = 0 (solusi trivial)

sin kL = 0 (persamaan tekuk)


• Solusi dari persamaan sin kL = 0 adalah :

kL = np n = 1,2,3,…

• Sehingga dengan mensubstitusikan nilai k ini ke persamaan sebelumnya, akan didapat :

• Rumus ini memberikan harga P yang memenuhi persamaan tekuk dan memberikan solusi non trivial bagi persamaan diferensial

• Persamaan kurva defleksi menjadi :


2

22

L

EInP

p

L

xnsinCkxsinCv

p11


• Beban kritis terkecil untuk kolom dengan ujung sendi diperoleh bila n = 1

• Jenis tekuk kolom yang diuraikan ini diesbut dengan tekuk Euler dan beban kritis untuk kolom elastis ideal sering disebut beban Euler.

• Jika kolom hanya ditumpu di ujung-ujungnya dan bebas menekuk dalam arah manapun, maka lenturan akan terjadi terhadap sumbu berat yang mempunyai momen inersia terkecil


2

2

L

EIPcr

p

• Penampang di samping mempunyai momen inersia I1 lebih besar daripada momen inersia I2

• Kolom akan menekuk dalam bidang 1-1 dan momen inersia I2 yang lebih kecil harus digunakan dalam rumus untuk beban kritis


• Jika beban kritis dibagi dengan luas penampang, maka akan dapat diperoleh besarnya tegangan kritis :

• Dengan mengingat persamaan untuk jari-jari girasi, maka persamaan untuk tegangan kritis dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih berguna :

• Besaran L/r merupakan rasio yang tak berdimensi yang disebut dengan rasio kelangsingan (slenderness ratio)

• Nilai rasio kelangsingan kolom berada antara 30 – 150


2

2

AL

EI

A

Pcrcr

p

2

2

rL

Ecr

p


• Tegangan kritis merupakan tegangan tekan rata-rata di suatu penampang pada saat bebannya mencapai harga kritis

• Hubungan antara L/r dan cr dapat diplot menjadi kurva Euler

• Kurva ini hanya berlaku jika tegangan kritis lebih kecil daripada limit proporsionalnya



Contoh 1 Sebuah kolom langsing dan panjang, ABC, mempunyai tumpuan sendi di kedua ujungnya dan ditekan oleh beban aksial P. Tumpuan diberikan di titik tengah B di dalam bidang gambar. Namun tumpuan lateral yang tegak lurus bidang gambar hanya diberikan di kedua ujungnya. Kolom tersebut terbuat dari penampang baja WF 500.200 yang mempunyai Modulus Elastisitas E = 200 GPa dan tegangan batas proporsional pl = 300 MPa. Panjang total kolom adalah L = 7,50 m. Tentukanlah beban ijin Pijin dengan menggunakan faktor keamanan n = 2,5 terhadap tekuk kolom Euler.

Ix = 47.800 cm4

Iy = 2.140 cm4

A = 114,2 cm2


Jawab :

Karena kondisi tumpuannya, maka kolom ini dapat menekuk di dalam salah satu bidang lentur

utama. Pertama, kolom tersebut dapat menekuk di dalam bidang gambar, dimana jarak antara

tumpuan lateral adalah L/2 = 3,75 m, dan lenturan terjadi terhadap sumbu 2-2.

Kedua, kolom tersebut dapat menekuk tegak lurus bidang gambar dengan lenturan terhadap sumbu

1-1. Karena satu-satunya tumpuan lateral di dalam arah ini berada di kedua ujungnya, maka jarak

antara tumpuan lateral adalah L = 7,5 m


Beban Kritis.

Jika kolom menekuk di dalam bidang gambar :

2

42

2

2

2

3750

102140200000

2

pp

/L

EIPcr 3.003.868 N = 3.003 kN

Jika kolom menekuk tegak lurus bidang gambar :

2

42

2

1

2

7500

1080047200000 .

L

EIPcr

pp16.773.940 N = 16.773 kN

Tegangan kritis

MPa96262102114

1000332

3

,,

.

A

Pcrcr

< pl = 300 MPa (OK)

Beban ijin.

kN2201152

0033,.

,

.

n

PP cr

ijin


• Beban kritis untuk elemen kolom seperti telah diturunkan sebelumnya, berlaku untuk kondisi tumpuan ujung berupa sendi-sendi.

• Namun, dalam prakteknya banyak dijumpai kondisi tumpuan lainnya seperti jepit, bebas, dan tumpuan elastis.

• Beban kritis untuk masing-masing jenis kondisi tumpuan dapat dicari dengan prosedur yang sama dengan cara analisis kolom berujung sendi, yaitu dengan menggunakan persamaan diferensial

• Hasil analisis beberapa jenis tumpuan dasar yang sering dijumpai, ditampilkan dalam bentuk tabel sebagai berikut :




Contoh 2

Platform pemandangan di sebuah taman satwa liar dipikul oleh sederetan kolom pipa aluminium yang mempunyai panjang L = 3,25 m dan diameter luar d = 100 mm. Dasar kolom itu ditanam di pondasi telapak beton dan ujung atasnya ditahan secara lateral oleh platform. Kolom didesain untuk memikul beban tekan P = 100 kN. Tentukanlah tebal minimum t yang diperlukan jika faktor keamanan terhadap tekuk Euler n = 3. Gunakan nilai E = 72 GPa dan pl = 480 MPa


Soal 6.1 – 6.8

Jawab :

Untuk kolom berujung jepit-sendi, beban kritisnya adalah :

2

20462

L

EI,Pcr

p (a)

Dengan I adalah momen inersia penampang lingkaran berlubang :

44 264

tddI p

Dengan mensubstitusikan d = 100 mm (atau 0,1 m), diperoleh :

4421010

64t,,I

p (b)

Karena beban per kolom adalah 100 kN dan faktor keamanan adalah 3, maka tiap kolom harus didesain terhadap beban kritis

Pcr = nP = 3(100) = 300 kN (c)

Substitusikan persamaan (b) dan (c) ke dalam persamaan (a) sehingga diperoleh :

44

2

92

2101064253

10720462000300 t,,

,

,.

pp

Jika diselesaikan, akan diperoleh t = 0,006825 m. Sehingga tebal minimum yang dibutuhkan kolom adalah

tmin = 6,83 mm


• Sub Pokok Bahasan :

Kolom dengan Beban Aksial Eksentris

Rumus Sekan untuk Kolom


• Apabila beban aksial tekan P, diterapkan pada suatu elemen kolom, dengan eksentrisitas kecil e yang diukur dari sumbu kolom, maka pada kolom tersebut akan memikul momen lentur Mo yang besarnya sama dengan P dikali eksentrisitas (Mo = Pe)


• Momen lentur di kolom pada jarak x dari ujung bawah adalah :

EIv’’ = M = Pe – Pv • Persamaan diferensial kurva defleksi adalah : v’’ + k2v = k2e • Dengan k2 = P/EI, maka solusi umum persamaan : v = C1 sin kx + C2 cos kx + e EI

Pk 2


• Dengan menggunakan kondisi batas :

v(0) = 0 dan v(L) = 0

• Maka persamaan kurva defleksi menjadi :

• Karena kedua ujungnya sendi, maka beban kritis akan sama dengan :


1

2kxcoskxsin

kLtanev

2

2

L

EIPcr

p


• Defleksi maksimum terjadi di x = L/2, yaitu sebesar :

• Yang memberikan momen maksimum sebesar :


1

21

2 crP

Psece

kLsece

p

cr

maksP

PsecPe

kLsecPeePM

22

p


Contoh 3

Batang perunggu AB menonjol dari sisi mesin besar dibebani gaya P = 6.500 N yang bekerja dengan eksentrisitas e = 11,5 mm. Batang tersebut mempunyai penampang persegi panjang dengan dimensi h = 30 mm dan b = 15 mm. Berapakah panjang batang Lmaks yang diijinkan jika defleksi di ujung dibatasi sebesar 3 mm? (gunakan Eperunggu = 110 GPa)


Jawab :

Untuk kolom berujung jepit-bebas, beban kritisnya adalah :

2

2

4L

EIPcr

p (a)

Dengan momen inersia terhadap sumbu lenturnya : 43

mm5437812

1530,.I

Sehingga beban kritisnya :22

2 196460562902

4

54378000110

L

,...

L

,..Pcr

p (L dalam mm)

Defleksi di ujung batang adalah :

1

2 crP

Psece

p

Substitusikan nilai yang diketahui, sehingga didapat persamaan :

1

196460562902

5006

25113

2

,...

L.sec,

p

L,sec, p410423782611

Diperoleh L = 247,57 mm, atau digunakan Lmaks = 245 mm.


• Tegangan maksimum di kolom dengan beban aksial eksentris terjadi di penampang di mana defleksi dan momen lentur mempunyai harga terbesar, yaitu di titik tengah.

• Pada penampang ini bekerja gaya tekan P dan momen lentur Mmaks yang menimbulkan tegangan tekan maksimum sebesar :

• Momen lentur maksimum, seperti dituliskan sebelumnya :

Rumus Sekan Untuk Kolom

I

cM

A

P maksmaks

cr

maksP

PsecPeM

2

p

EA

P

r

LsecPeMmaks

2atau


• Dengan mensubstitusikan Mmaks ke dalam persamaan untuk tegangan, maka diperoleh besarnya tegangan maksimum sebagai berikut :

• Persamaan ini dikenal dengan rumus sekan (secant formula) untuk kolom yang dibebani secara eksentris dengan kedua ujung sendi.

• Besaran (ec/r2) dikenal sebagai rasio eksentrisitas


EA

P

r

Lsec

r

ec

A

Pmaks

21

2



Contoh 4

Sebuah kolom dengan profil sayap lebar W350.350 ditumpu sendi di kedua ujungnya dan mempunyai panjang 7,50 m. Kolom tersebut memikul beban sentris P1 = 1.400 kN dan beban eksentris P2 = 175 kN. Lentur terjadi terhadap sumbu 1-1 penampang, dan beban eksentris bekerja pada sumbu 2-2 pada jarak 340 mm dari pusat berat C.

Dengan menggunakan rumus sekan dan mengasumsikan E = 205 GPa hitunglah tegangan tekan maksimum di kolom A= 173,9 cm2

r1 = 15,20 cm


Jawab :

Kedua beban P1 dan P2 secara statik adalah ekivalen dengan satu beban P = 1.575 kN yang bekerja dengan

eksentrisitas e. Besar eksentrisitas e dihitung terhadap sumbu beban P1 adalah :

mm7837340

21

2 ,PP

Pe

Suku-suku berikut diperlukan di dalam rumus sekan :

MPa5790109173

000117540012

,,

..

A

P

4

2

22

104184109173000205

00015751

67241522

5007

2

2860152

1757837

,,.

..

EA

P

,.

r

L

,,

r

ec

Substitusikan ke rumus Sekan :

MPa4711610418467242860157902

1 4

2,,,sec,,

EA

P

r

Lsec

r

ec

A

Pmaks

Soal 6.9 – 6.14

respect, professionalism, & entrepreneurship · respect, professionalism, &...

Documents