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Respuesta temporal de sistemas
Prof. Mª Jesús de la FuenteISA-UVA
ISA-UVA 2
Conceptos
• Respuesta temporal de sistemas de primer orden
• Respuesta temporal de sistemas de segundo orden
• Introducción a la identificación de sistemas• Respuesta de sistemas de orden superior• Nociones de estabilidad
ISA-UVA 3
Basado en modelos…
Análisis
Las características de la respuesta del sistema se deducen del modelo
Diseño
El proceso o el controlador se diseñan usando el modelo y las especificaciones
Control
El modelo se usa explícitamente en el controlador para el cálculo de la señal de control
ISA-UVA 4
Respuesta temporalSeñales normalizadas
2
3
1 Tiempo Transformada en s tiempo
Deducir las características de la respuesta en tiempo del sistema directamente de la función de transferencia G(s)
Identificación: inferir el modelo (G(s)) a partir de datos experimentales (datos de entrada u(t) y salida y(t)).
ISA-UVA 5
Sistemas de primer ordenq
h
F kh2
K k
h2A
qKhdt
hd
00 ==τ
Δ=Δ+Δτ
Función de transferencia:
1sK+τ
U(s) Y(s)
)t(Ku)t(ydt
)t(dy=+τ
Respuesta a una entrada salto en u(t) desde el equilibriot=0u=0
u(t)=u
ISA-UVA 6
Respuesta a un salto en u
1sK+τ
U(s) Y(s))t(Ku)t(y
dt)t(dy
=+τ
( ) ( )
[ ]
)e1(Ku)t(y
1s1L
s1LKu)s(YL)t(y);
1s1
s1(Ku)s(Y
Ku;Ku1s paraKu ;Ku0s para
)1s(ss
)1s(s)1s(
1sssu
1sK
su
1sK)s(Y
t
111
τ−
−−−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ+
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
τ+−=
−=βτβ−=τ⇒τ−==ατα=τ⇒=
τ+β
+τ+τ+α
=τ+
β+
α=
τ+τ
=+τ
=
Ku)e1(KueKut
t
=−+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ττ τ
−τ−
Comprobación:
ISA-UVA 7
Respuesta a un salto en u
1sK+τ
U(s) Y(s))t(Ku)t(y
dt)t(dy
=+τ
)e1(Ku)t(yt
τ−
−=
t
y(t)
Kuτ > 0 constante de tiempo
Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y sobreamortiguada
Ganancia = K = Ku/u
u
ISA-UVA 8
Interpretación en s
1sK+τ
U(s) Y(s))e1(Ku)t(y
tτ
−
−=
t
y(t)
KuPlano s
x
polo en la parte real izquierda del plano s
τ s+1=0
polo = -1/τ
Si τ > 0 Respuesta estable, sin cambio de concavidad y sobreamortiguada
ISA-UVA 9
Estabilidad Entrada-Salida BIBO
G(s)U(s) Y(s)
Un sistema es estable entrada-salida cuando a una entrada acotada le corresponde una salida acotada
inestable
estable
ISA-UVA 10
Interpretación en s (τ<0)
1sK+τ
U(s) Y(s))e1(Ku)t(y
tτ
−
−=
t
y(t)
Plano s
x
polo en la parte real derecha del plano s
τ s+1=0
polo = -1/τpositivo
Si τ < 0 Respuesta inestable
ISA-UVA 11
Otros tipos de entradas
( ) ( )
[ ]
τ−
−−
τ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ+τ
==
τ+τ
=+τ
=
t
11
eKu)t(y
1s1LKu)s(YL)t(y
u1s
Ku1s
K)s(Y
1sK+τ
U(s) Y(s)Ejemplo: Impulso
La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo de entrada
ISA-UVA 12
Tiempo de asentamiento
t
y(t)
t95
0.95Ku
Plano s
x1s
K+τ
U(s) Y(s)
τ1 < τ2
x-1/τ1 -1/τ2
)e1(Ku)t(yt
τ−
−=
τ=−== τ
−
3t)e1(KuKu95.0)t(y
95
t
95
95
ISA-UVA 13
Constante de tiempo
1sK+τ
U(s) Y(s)
Ku632.0)e1(Ku)(y)e1(Ku)t(y
1
t
=−=τ
−=−
τ−
t
y(t)
Ku
t = τ
0.63Ku
τ=
τ=
=
τ−
Kudt
)t(yd
)e(Kudt
)t(yd
0t
t
tKuτ
Derivada en el origen
SysQuake
resp
ISA-UVA 14
IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso
tt
YUU
Y
Proceso
Modelo
ISA-UVA 15
Identificación t
y(t)
t
y(t)
Δy
t = τ
0.63 Δy
Si la respuesta desde el equilibrio a un salto Δuen u(t) es como la figura ⇒ sistema de primer orden
Estimación de parámetros:
K = Δy/ Δu
τ dos métodos
Δuu(t)
ISA-UVA 16
Sistemas de segundo orden
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
121
2221
1211
2
1
1413
1211
2
1
xx
ccy
ubbbb
xx
aaaa
tdxdtd
xd
CAi(s)
F(s) CB(s)111.0s666.0s
12 ++
111.0s666.0s24.0s09.0
2 +++−
A ⇒ B
F
CA CB
CAi
AReactor isotérmico
2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ωU(s) Y(s)
ISA-UVA 17
Sistemas de segundo orden
A ⇒ B
CB
CAi
2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ωU(s) Y(s)
)t(uK)t(ydt
)t(dy2dt
)t(yd 2n
2nn2
2
ω=ω+δω+
Respuesta a una entrada salto en u(t)
t=0u=0
u(t)=u K ganancia
δ amortiguamiento
ωn frecuencia propia no amortiguada
ISA-UVA 18
Sistemas de segundo orden
2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ωU(s) Y(s)
2nn
n
2nn
2n
2n
2n
2nn
2
1j
conjugadas complejas raices 2 1 si negativas reales raices 2 1 si
0 si
12
442s
0s2s
δ−ω±δω−
<δ≥δ
>ω
−δω±δω−=ω−ωδ±δω−
=
=ω+δω+Polos:
ISA-UVA 19
( )( )
121Kub)-Kua/(a a)(-b)(-bKabu -bs para
121Ku)ba/(Kub)ba)(a(Kabuas para
KuabKabu 0s para)bs)(as(s
)as(s)bs)(as(s
)bs(s)bs)(as(s)bs)(as(
bsasssu
bsasKab)s(Y
2
2
2
2
−δ−δ+δ−
=−=γ+γ=⇒=
−δ−δ−δ−
=−=β+−−β=⇒−=
=αα=⇒=++
+γ+
+++β
+++++α
=
=+γ
++β
+α
=++
=
Respuesta a un salto en u, δ >1
)bs)(as(Kab
++
U(s) Y(s)1b
1a2
nn
2nn
−δω+δω=
−δω−δω=
ISA-UVA 20
[ ]
creciente monótonafunción Ku)(y0)0(y
)e12
1e12
11(Kuee)t(y
bsL
asL
sL)s(YL)t(y
);bsass
()s(Y
bt2
2at
2
2btat
1111
=∞=−δ
−δ+δ−−
−δ−δ−δ−
+=γ+β+α=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+γ
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+β
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡α
==
+γ
++β
+α
=
−−−−
−−−−
Respuesta a un salto en u, δ >1
)bs)(as(Kab
++
U(s) Y(s)
1b
1a2
nn
2nn
−δω+δω=
−δω−δω=)1s
b1)(1s
a1(
K
++
2 constantes de tiempo 1/a, 1/b
ISA-UVA 21
)e12
1e12
11(Kuee)t(y bt2
2at
2
2btat −−−−
−δ−δ+δ−
−−δ
−δ−δ−+=γ+β+α=
Respuesta a un salto en u, δ >1
)bs)(as(Kab
++
U(s) Y(s))1s
b1)(1s
a1(
K
++
t
y(t)Ku
u
Respuesta estable, sin retardo con cambio de concavidad y sobreamortiguada
Ganancia = K = Ku/u
1b
1a2
nn
2nn
−δω+δω=
−δω−δω=
ISA-UVA 22
Interpretación en s
Plano s
x
polos en la parte real izquierda del plano s
t
y(t)Ku
u
)bs)(as(Kab
++
U(s) Y(s)
x-a-b
btat ee)t(y −− γ+β+α=El polo mas a la derecha domina en la desaparición del transitorio
SysQuake
respxP. Dominantesconcavidad
ISA-UVA 23
Identificación t
y(t)
t
y(t)
Δy
Si la respuesta desde el equilibrio a un salto Δuen u(t) es como la figura ⇒ sistema de segundo orden con raices reales
Estimación de parámetros:
K = Δy/ Δu
constantes de tiempo difíciles de estimar
Δuu(t)
t
ISA-UVA 24
Aproximacióny(t)
t
La respuesta del sistema de segundo orden puede aproximarse por la de uno de primer orden mas un retardo
)bs)(as(Kab
++
1sKe ds
+τ
−
d
ISA-UVA 25
Identificación con un salto en u
Kes
ds−
+τ 1
Κ= Δy/Δu
y
t
u
tΔu
Δy
d τ
tg de máxima pendiente
valor estacionario
ISA-UVA 26
Identificación de FOPDy(t)
t
d
1sKe ds
+τ
−
)e1(Ku)t(ydt
τ+−
−=
Evaluando la respuesta para instantes de tiempo t1 =d+τ y t2 = d+τ/3 :
Ku283.0)e1(Ku)t(yKu632.0)e1(Ku)t(y
3/1
1
=−=
=−=−
−
t1t2
Tomando medidas de t1 =d+τ y t2 = d+τ/3 pueden calcularse d y τ
ISA-UVA 27
Identificación con un salto en u
τ = 1.5 (t2 - t1)d = t2 - τ
Κ= Δy/Δu
Kes
ds−
+τ 1
y
t
u
tΔu
Δy0.632Δy0.283Δy
t2t1
Problema03
ISA-UVA 28
Cambiador de calorTest en lazo abierto
ISA-UVA 29
Cambiador de calor
K = (135.4-140)/10 = -0.46
d = 0.75 τ = 1.4
ISA-UVA 30
( ) ( )
-Ku Kua2aa4KuuKa as para
KuKua)a(uKaas paraKuauKa 0s para
)as(ss
)as(s)as(s
)as(s)as(
asasssu
asKa)s(Y
2222n
2
22
222
2
22
2
=β−β+=⇒=
δω=−=γ−γ=⇒−=
=αα=⇒=
+γ
++
+β+
++α
=
=+γ
++β
+α
=+
=
Respuesta a un salto en u, δ =1
2
2
)as(Ka+
U(s) Y(s)
na δω−=
ISA-UVA 31
[ ]
Ku)(y0)0(y)tee1(Ku
tee)t(y
)as(L
asL
sL
)s(YL)t(y
);)as(ass
()s(Y
atn
at
atat
2111
1
2
=∞=δω+−=
=γ+β+α=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+γ
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+β
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡α
=
==
+γ
++β
+α
=
−−
−−
−−−
−
Respuesta a un salto en u, δ =1
2
2
)as(Ka+
U(s) Y(s)
na δω−=
y(t)Ku
u
Función monótona creciente
ISA-UVA 32
[ ]
δδ−
=φ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−==
ω+δω+ω
=
δω−
2
2n
t2
2nn
2
2n
1arctg
)t1(sene1
11Ku)s(Y)t(y
su
s2sK)s(Y
n1-L
Respuesta a un salto en u, δ <1
U(s) Y(s)2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ω
t
y(t)
Si δωn>0 Respuesta estable, sin retardo y subamortiguada
ISA-UVA 33wnt
ISA-UVA 34
:oscilación de Frecuencia
K Ku/u :GananciaKu;)y(0;y(0)
1arctg)t1(sene1
11Ku)t(y2
2n
t2
n
==∞=δ
δ−=φ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−= δω−
Respuesta a un salto en u, δ <1U(s) Y(s)
2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ω
t
y(t)
Ku2nd 1 δ−ω=ω
ISA-UVA 35
[ ]2n
2n
t2n
tn2
tt
22
nt
2
1)t1cos(e)t1(sene1
Kutd
)t(yd
0td
)t(yd
1arctg;)t1(sene1
11Ku)t(y
nn
p
n
δ−ωφ+δ−ω+φ+δ−ωδω−δ−
−=
=
δδ−
=φ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−=
δω−δω−
=
δω−
Tiempo de pico
t
y(t)
Kutp = Tiempo que transcurre hasta el primer máximo tp
ISA-UVA 36
[ ]
π±=δ−ω
φ=δ
δ−=φ+δ−ω
δ−ωφ+δ−ω=φ+δ−ωδω
=
δ−ωφ+δ−ω+φ+δ−ωδω−δ−
−=
δω−δω−
=
δω−δω−
nt1
)(tg1)t1(tg
1)t1cos(e)t1(sene
0td
)t(yd
1)t1cos(e)t1(sene1
Kutd
)t(yd
p2
n
2
p2
n
2np
2n
tp
2n
tn
tt
2n
2n
t2n
tn2
pnpn
p
nn
Tiempo de pico
t
y(t)Ku
tpd2
np 1
tωπ
=δ−ω
π=
tg
φ−φ−
=φ+πφ+π
cossen
)cos()(sen
ISA-UVA 37
212
12
12p
2n
pp
p
22
nt
2
1e1100
)(sene1100)(sene
1100M
1t%en 100
KuKu)t(y
M
1arctg)t1(sene1
11Ku)t(y
2
22n
n
n
δ−δ−
=
=φδ−
=φ+πδ−
−=
δ−ωπ
=−
=
δδ−
=φ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−=
δ−
πδ−
δ−
πδ−
δ−ω
πδω−
δω−
Sobrepico
t
y(t)
Ku%en e100M 21
pδ−
πδ−
= tp
ISA-UVA 38
05.0)t1(sene1
1 que talmax t
)t1(sene1
11Ku0.95Ku
1arctg)t1(sene1
11Ku)t(y
ss2
nt
2ss
ss2
nt
2
22
nt
2
ssn
ssn
n
=φ+δ−ωδ−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−=
δδ−
=φ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−=
δω−
δω−
δω−
Tiempo de asentamiento
t
y(t)
Kutss
%5±Aproximadamente:
nnss
53tδωδω
= L
Ecuación implícita
ISA-UVA 39
Interpretación en sU(s) Y(s)
2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ω
t
y(t)
Plano sx
polos complejos conjugados con la parte real en el semiplano izquierdo
x
2nn 1j δ−ω±δω−Polos:
nδω−
2n 1 δ−ω
ISA-UVA 40
Interpretación en s
t
y(t)
Plano sx
polos complejos conjugados con la parte real en el semiplano izquierdo
x
2nn 1j δ−ω±δω−Polos:
nδω−
2n 1 δ−ω
2nd 1 δ−ω=ω
d2
np 1
tωπ
=δ−ω
π=
%en e100M 21p
δ−
πδ−
=
nnss
53tδωδω
= L
β
21)(tg
δ−δ
=β
resp
ISA-UVA 41
inestable sistema 0 si
)t1(sene1
11Ku)t(y
n
2n
t2
n
<δω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φ+δ−ω
δ−−= δω−
Interpretación en s
U(s) Y(s)2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ω t
y(t)Plano s
x
xnδω−
2n 1 δ−ω
ISA-UVA 42
Identificación t
Si la respuesta desde el equilibrio a un salto Δuen u(t) es como la figura ⇒ sistema de segundo orden con raicescomplejas conjugadas
Estimación de parámetros:
K = Δy/ Δu
Δuu(t)
t
y(t)
tp
Δy
d2
np 1
tωπ
=δ−ω
π=
%en e100M 21p
δ−
πδ−
=2nn
2
2n
s2sK
ω+δω+ω
Problema56
ISA-UVA 43
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+ω−==
ω+ω
=
)2
t(sen1Ku)s(YL)t(y
su
sK)s(Y
n1-
2n
2
2n
Respuesta a un salto en u, δ =0
U(s) Y(s)2n
2
2n
sK
ω+ω
t
y(t)Como δ = 0 la respuesta no se amortigua nunca. Respuesta en el límite de la estabilidad
Ku
ISA-UVA 44
Interpretación en s
Plano sx
x
njω+
t
y(t)
Ku
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+ω−== )2
t(sen1Ku)s(YL)t(y n1-
n2n
22n
2
2n js0s:polos
sK
ω±=⇒=ω+ω+
ω
njω−
Polos sobre el eje imaginario: límite de estabilidad SysQuakeresp
ISA-UVA 45
Polos en el origen: Integradores
( )
a/Ku-Ku2Ku2aKu
a a2a2Kau as paraa/KuaKauas para
KuaKau 0s para)as(s
s)as(s)as(
)as(s)as(s
assssu
sasKa)s(Y
22
2
2
2
22
2
=α⇒++α=γ+β+α=⇒=
=γγ=⇒−=
=ββ=⇒=+
γ+
++β
+++α
=
=+γ
+β
+α
=+
=
)as(sKa+
U(s) Y(s)
Respuesta a un salto u en la entrada
ISA-UVA 46
Polos en el origen: Integradores
( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==
+++=
+=
−−
−−−−
atat
12
111
2
ea1t
a1Kuet)t(y
asL
sL
sL)]s(Y[L)t(y
assssu
sasKa)s(Y
γβα
γβα
γβα
)as(sKa+
U(s) Y(s)
t
y(t)
Plano sx
SysQuakerespx
ISA-UVA 47
Polos en el origen: Integradores
( )[ ]at1 e1Ku)]s(Y[)t(y
usas
Ka)s(Y
−− −==
+=
L
)as(sKa+
U(s) Y(s)
Plano sx
Entrada: Impulso u
t
y(t)
Ku
Límite de estabilidad: depende de la entrada
ISA-UVA 48
Sistemas de orden superior
G(s)U(s) Y(s)
[ ]
...)1(sene...teee)t(y
...s2s
...)bs(bsass
)s(YL)t(y
....);s2s
...)bs(bsass
()s(Y
2n
tbtbtat
2nn
21
21111
1
2nn
22
n +φ+δ−ω++υ+γ+β+α=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+δω+
σ++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+υ
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+γ
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+β
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡α
=
==
+ω+δω+
σ++
+υ
++γ
++β
+α
=
δω−−−−
−−−−−
−
LLLLL
La estabilidad y tipos de respuesta la determinan los polos. Los ceros modifican la forma de la respuesta pero no la estabilidad
respx
ISA-UVA 49
Efecto de ceros sobre la respuesta
)s(sGc1)s(G)1s
c1)(s(G +=+
La respuesta a la misma entrada del sistema con un cero en s = -c, se obtiene sumando a la respuesta del sistema sin cero su derivada multiplicada por un factor 1/c
ISA-UVA 50
Efecto de ceros sobre la respuesta
y(t)
u
td)t(yd
Con c > 0, se adelanta la respuesta.
No produce oscilaciones si la respuesta sin cero no la tiene, pero puede producir sobrepico
+1/c Plano s
x
cero en la parte real izquierda del plano s
x-a-b-c
ISA-UVA 51
Efecto de ceros sobre la respuesta
y(t)
u
td)t(yd
Con c < 0, se produce una respuesta inversa inicialmente (fase no-mínima)
+1/c Plano s
x
cero en la parte real derecha del plano s
x-a-b -c
ISA-UVA 52
Interpretación de los ceros
U(s) Y(s))1as(K1
+
)1bs(K2
+
+
-
)s(U)1bs)(1as(
)KK(s)aKbK()s(U)1bs)(1as(
)1as(K)1bs(K)s(U)1bs(
K)1as(
K)s(Y 21212121
++−+−
=++
+−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+
=
Se genera un cero como resultado de dos efectos diferentes de la misma causa. Si los efectos son de sentidos contrarios puede aparecer un cero inestable
respcero
ISA-UVA 53
Cambiador de calor
ISA-UVA 54
Reactor Isotermo
CAi(s)
F(s) CB(s)111.0s666.0s
12 ++
111.0s666.0s24.0s09.0
2 +++−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
AiB
A
B
A
cF
009.0333.009.0
cc
33.03033.0
tdcdtdcd
A ⇒ B
F
CA CB
CAi
A
-0.3330 + 0.0105i
-0.3330 - 0.0105i
ISA-UVA 55
Matlab
ISA-UVA 56
Cstation
ISA-UVA 57
Dos depositos
h1
h2
q
F
LT
Punto de operación:q=17.8 l/m u= 70 % F=2 l/m h20= 4 mA1=0.2 dm2 A1=0.2 dm2
u
F(s)
U(s) H2(s)
% m)1s14.1)(1s01.1(
126.0++
1s01.1505.0
+−
ISA-UVA 58
IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso
tt
YUU
Y
Proceso
Modelo
ISA-UVA 59
Metodología de la identificación
Conocimiento previo y diseño de experimentos
Análisis y tratamiento de datos
Selección del tipo de modelo
Estimación de parámetros
Validación del modelo
Toma de datos experimentales
ISA-UVA 60
Identificación por respuesta salto
h2
u
F
LT
)s(F1s99.0
5.0)s(F1s
K)s(H
)s(U1s64.1
e127.0)s(U1s
eK)s(H
f
f2
s71.0
q
dsq
2
+−
=+τ
=
+=
+τ=
−−
Dos experimentos:•Cambio en u con F cte.•Cambio en F con u cte.Ajuste con funciones deprimer orden
ISA-UVA 61
Mínimos cuadrados
[ ]VN
e tN
y t y tt
N
mt
N
= = −= =
∑ ∑1 12
1
2
1
( ) ( ( ) ( , )θ
Criterio de estimación: Dado un conjunto de datos experimentales u(t), y(t), buscar los parámetros del modelo, θ, que minimizan la función de coste V :
Procesou
v
Modeloy
y
m
e(t)
m
ISA-UVA 62
Cstation
ISA-UVA 63
Cambiador de calor (LS)
ISA-UVA 64
Cambiador de calor (LS)
ISA-UVA 65
Reactor QuímicoEstudio simplificado: Se consideran ctes. las variables relacionadas con el producto: F, Ti, CaiSolo se estudia la temperatura en el reactor
ReactorT
TT
Refrigerante
MV: caudal de refrigeranteCV: Temperatura del reactorDV: temperatura de entrada
del refrigerante
Fr
Tri
Tr
ISA-UVA 66
Reactor Químico - Temperatura
ISA-UVA 67
Modelo reducido, con conversión x
Vd cd t
Fc Fc Vke cAAi A
ERT
A= − − −
V cd Td t
F c T F c T Vke c H UA T Te e i e
ERT
A rρ ρ ρ= − + − −− Δ ( )
V cd Td t
F c T F c T UA T Tr r err
r r e ri r r er r rrρ ρ ρ= − + −( )
Conversión x x = cB/cAi cA = cAi(1- x )
ISA-UVA 68
Modelo reducido, linealización
)x1(kexVF
tdxd RT
E−+−=
−
)TT(UAH)x1(cVkeTcFTcFtdTdcV rAi
RTE
eiee −−Δ−+ρ−ρ=ρ−
T)x1(eRTkEx)ke
VF(
tdxd
0RT
E
20
RTE
0 00 Δ−+Δ+−=Δ −−
Taxatdxd
1211 Δ+Δ=Δ
⇒
re
ee
0Ai20
RTE
0
e
AiRT
E
T)cV
UA(
T)cV
UAc
H)x1(cRT
kEeVF(x)
cHcke(
tdTd 00
Δρ
+
+Δρ
−ρ
Δ−+−+Δ
ρΔ−
=Δ
−−
r232221 TaTaxatdTd
Δ+Δ+Δ=Δ
⇒
ISA-UVA 69
Modelo reducido, linealización)TT(UATcFTcF
tdTdcV rrerrrrierr
rerrr r
−+ρ−ρ=ρ
rir
0rr
r
0r0rir
r
0r
errrerrr
r T)VF(F)
VTT(T)
VF
cVUA(T)
cVUA(
tdTd
Δ+Δ−
+Δ+ρ
−Δρ
=Δ
ri32r31r3332r TbFbTaTa
tdTd
Δ+Δ+Δ+Δ=Δ
⇒
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
=Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
ri
r
r
ri
r
3232r3332
232221
1211
r
TF
00TTx
010T
TF
bb0000
TTx
aa0aaa0aa
TTx
&
&
&
ISA-UVA 70
Estimación de parámetros
Reactor
TT
Fr
Tri
Tr
T, x
u
Para calcular los parámetros del modelo (U, F0, E,….) necesitamos hacer medidas del proceso. Usaremos datos tomados de Cstation en algunos puntos estacionarios, y los sustituiremos en el modelo para calcular los parámetros desconocidos, pero este procedimiento no permite calcular todos los parámetros.
ISA-UVA 71
Punto de operación
Reactor
TT
Fr
Tri
Tr
T, x
T = 92 ºC x = 0.902 Tr = 75.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 50 ºC u = 42 %
T = 88.6 ºC x = 0.881 Tr = 71.8 ºCFr = 30. l/m Tri = 30 ºC u = 22.2 %
Otro:
u
T = 33.6 ºC x = 0.102 Tr = 32.2 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 30 ºC u = 42 %Otro:
ISA-UVA 72
Estimación de parámetros)x1(VkeFx0 RT
E−−=
−
)TT(c
UA)TT(F0 rer
rrirr
−ρ
+−=
T = 92 ºC x = 0.902 Tr = 75.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 50 ºC u = 42 %
)6.7592(c
UA)6.7550(8.470rer
−ρ
+−=
)6.7592(c
UAc
Hc)902.01(Vke)92T(F0ee
Ai)2.27392(R
E
i −ρ
−ρ
Δ−+−=
+−
)902.01(VkeF902.00 )2.27392(RE
−−= +−
)TT(c
UAc
Hc)x1(Vke)TT(F0 ree
AiRT
E
i −ρ
−ρ
Δ−+−=
−
)902.01ln()2.27392(R
EVkFln902.0ln −+
+−=+⇒
5.74c
UAerr
=ρ
⇒
ISA-UVA 73
Estimación de parámetrosT = 88.8 ºC x = 0.882 Tr = 72 ºCFr = 56.8 l/m Tri = 50 ºC u = 52 %
T = 92 ºC x = 0.902 Tr = 75.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 50 ºC u = 42 %
)902.01ln()2.27392(R
EVkFln902.0ln −+
+−=+
)882.01ln()2.2738.88(R
EVkFln882.0ln −+
+−=+
⇒012-6.46e
VkF
8598.9RE
=
=
)6.7592(c
UAc
Hc)902.01(Vke)92T(F0ee
Ai)2.27392(R
E
i −ρ
−ρ
Δ−+−=
+−
)728.88(c
UAc
Hc)882.01(Vke)8.88T(F0ee
Ai)2.2738.88(R
E
i −ρ
−ρ
Δ−+−=
+−
54.25T
011-1.460eVkc
UA
114.783c
Hc
i
e
e
Ai
=
=ρ
=ρ
Δ
T = 24.5 ºC x = 0.047 Tr = 21.9 ºCFr = 100 l/m Tri = 20 ºC u = 100 %
Mas otra en el tercer punto
ISA-UVA 74
Estimación de parámetros
Reactor
TT
Fr
Tri
Tr
T, x
u
012-6.46eVkF
8598.9RE
=
=
54.25T
011-1.460eVkc
UA
114.783c
Hc
i
e
e
Ai
=
=ρ
=ρ
Δ
5.74c
UAerr
=ρ
Suponiendo:
V = Vr = 68.8941 lF = 34.4471 l/min ρce = 4180 j/k l ρrcer = 4000 j/k l
Resulta:
k = 7.7399e+010 cAiΔH = 479792.94 UA = 311410
Reactor Matlab
ISA-UVA 75
Modelo linealizado
Reactor
TT
Fr
Tri
Tr
T, x
uT = 92 ºC x = 0.902 Tr = 75.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 50 ºC u = 42 %
En el punto de operación:
rir
0rr
r
0r0rir
r
0r
errrerrr
r T)VF(F)
VTT(T)
VF
cVUA(T)
cVUA(
tdTd
Δ+Δ−
+Δ+ρ
−Δρ
=Δ
reee
0Ai20
RTE
0
e
AiRT
E
T)cV
UA(T)cV
UAc
H)x1(cRT
kEeVF
(x)c
Hcke(tdTd 00
Δρ
+Δρ
−ρ
Δ−+−+Δ
ρΔ−
=Δ
−−
T)x1(eRTkEx)ke
VF(
tdxd
0RT
E
20
RTE
0 00 Δ−+Δ+−=Δ −−
Sustituyendo en:
ISA-UVA 76
Matriz de transferencia
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
=Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
ri
r
r
ri
r
rr
TF
00TTx
010T
TF
694.037.00000
TTx
77.1081.1013.1707.12.5280029.01.5
TTx
&
&
&
[ ] BAsICG(s) 1−−=
5.566 s11.45s5.17s2.142 - s 0.4199 - s 10 8.882
23
216-
+++
5.566 s11.45s5.17s4 s 0.784 s 10 8.882-
23
216-
+++++Tri(s)
Fr(s) T(s)?
u
ISA-UVA 77
5.566 s 11.45s5.17s2.142-s0.4199-
23 +++
5.566 s 11.45s5.17s4s0.784
23 ++++Tri(s)
Fr(s) T(s)
Modelo en s Reactor
roots(denominador)-2.2571 + 1.8435i-2.2571 - 1.8435i -0.6554
Ceros Ganancia
-5.1 (Tri) 0.718
- 5.1 (Fr) - 0.385
Punto de operación estable
ISA-UVA 78
Respuesta salto
Fr
1
roots(d2)-2.2571 + 1.8435i-2.2571 - 1.8435i -0.6554
Polo dominante
T
ISA-UVA 79
Otro punto de operación
Reactor
TT
Fr
Tri
Tr
T, x
uT = 74.9 ºC x = 0.747 Tr = 58.9 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 34 ºC u = 42 %
En el punto de operación:
Tri(s)
Fr(s) T(s)0.6078 s1.516s2.37s
1.527 s 0.784 23 +++
+
0.6078 s1.516s2.37s0.7954 s 0.4084-
23 +++−
ISA-UVA 80
Otro punto de operación
0.007578s0.4339s2.173 s0.4975 s 0.359-
23 −++−
Tri(s)
Fr(s) T(s)0.007578s0.4339s2.173 s
1.086 s 0.784 23 −++
+
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1.5
-1
-0.5
0Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Fr
1
TPolos:-1.6834 -0.3432 + 0.4933i-0.3432 - 0.4933i
ISA-UVA 81
Un punto de operación inestable
Reactor
TT
Fr
Tri
Tr
T, x
uT = 68.1 ºC x = 0.651 Tr = 54.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 32.7 ºC u = 42 %
En el punto de operación:
0.007578 s0.4339s2.173s0.4975 s 0.359-
23 −++−
Tri(s)
Fr(s) T(s)0.007578 s0.4339s2.173s
1.086 s 0.784 23 −++
+
ISA-UVA 82
Un punto de operación inestableT = 68.1 ºC x = 0.651 Tr = 54.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 32.7 ºC u = 42 %
0.007578s0.4339s2.173 s0.4975 s 0.359-
23 −++−
Tri(s)
Fr(s) T(s)0.007578s0.4339s2.173 s
1.086 s 0.784 23 −++
+
Polos: -1.9487-0.24080.0161
ISA-UVA 83
Bloques en serie
G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)
Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)
G (s) Y(s)U(s)
G(s) = G2(s)G1(s)
ISA-UVA 84
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s)
Sistemas realimentados
E(s)
[ ][ ]
)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y
)s(W)s(R)s(G)s(R)s(G1)s(Y)s(Y)s(W)s(R)s(G)s(E)s(R)s(G)s(U)s(G)s(Y
+=
=+−===
ISA-UVA 85
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s)
Sistemas realimentados
E(s)
[ ][ ]
)s(W)s(H)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y
)s(W)s(R)s(G)s(H)s(R)s(G1)s(Y)s(Y)s(H)s(W)s(R)s(G)s(E)s(R)s(G)s(U)s(G)s(Y
+=
=+−===
H(s)
ISA-UVA 86
G(s)RU(s)
+-
Y(s)W(s)
Perturbaciones
E(s)
[ ][ ]
)s(V)s(H)s(R)s(G1
)s(D)s(W)s(H)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y
)s(V)s(D)s(W)s(R)s(G)s(H)s(R)s(G1)s(Y)s(V)s(D)s(H)s(Y)s(W)s(R)s(G
)s(V)s(D)s(E)s(R)s(G)s(V)s(D)s(U)s(G)s(Y
++
+=
+=++−=
=+=+=
D(s)V(s)
H(s)
ISA-UVA 87
G(s)U(s) %
V(s)D(s)
Y(s) ºCR(s)
W(s) E(s)+ -
ºC → mAmA→ ºC
Transmisor-Regulador
mA
Si el regulador usa la calibración del transmisor, y la dinámica del transmisor es rápida frente a la del proceso, puede despreciarse la función de transferencia en la realimentación.
ISA-UVA 88
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s)
Lazo cerrado
E(s)
)s(V)s(R)s(G1
)s(D)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y+
++
=
D(s)V(s)
Expresión fundamental para analizar o diseñar
ISA-UVA 89
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s)
Lazo cerrado- Señal de control
E(s)
)s(V)s(R)s(G1
)s(D)s(R)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(U
)]s(V)s(D)s(W)[s(R)]s(G)s(R1)[s(U)]s(V)s(D)s(U)s(G)s(W)[s(R)]s(Y)s(W)[s(R)s(E)s(R)s(U
++
+=
−=+=−−=−==
D(s)V(s)
ISA-UVA 90
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s)
Respuesta en lazo cerrado
E(s)
)s(V)s(R)s(G1
)s(D)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y+
++
=
D(s)V(s)
La respuesta temporal ante cambios en w(t) ó v(t) puede calcularse con la F.T. en lazo cerrado:
ISA-UVA 91
KpU(s)
+-
Y(s)W(s)
Ejemplo
E(s)
)s(V)1s)(KK1s(
)1s(K)s(WKK1s
KK
)s(VK
1sK1
1sK
)s(WK
1sK1
K1s
K
)s(VK)s(G1
)s(D)s(WK)s(G1
K)s(G)s(Y
dp
d
p
p
p
d
d
p
p
pp
p
+τ++τ+τ
+++τ
=
=
+τ+
+τ+
+τ+
+τ=+
++
=
V(s)
1sK+τ
1sK
d
d
+τ
ISA-UVA 92
Ecuación característica
)s(V)s(R)s(G1
)s(D)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y+
++
=
El tipo de respuesta y la estabilidad en lazo cerrado vienen determinadas por los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, que son las raíces de la ecuación característica:
1+G(s)R(s) = 0
Cambiando el regulador R(s) podemos modificar la forma de la respuesta
ISA-UVA 93
Ceros en lazo cerrado)s(V
)s(R)s(G1)s(D)s(W
)s(R)s(G1)s(R)s(G)s(Y
++
+=
)s(Num)s(Den)s(D)s(Den
)s(Den)s(Num1
)s(D)s(R)s(G1
)s(D
)s(Num)s(Den)s(Num
)s(Den)s(Num1
)s(Den)s(Num
)s(R)s(G1)s(R)s(G
)s(Den)s(Num)s(R)s(G
+=
+=
+
+=
+=
+
= Los ceros en lazo abierto aparecen también como ceros en lazo cerrado
ISA-UVA 94
Ceros inestables
y(t) yc(t)
)s(Num)s(Den)s(D)s(Den
)s(Den)s(Num1
)s(D)s(R)s(G1
)s(D
)s(Num)s(Den)s(Num
)s(Den)s(Num1
)s(Den)s(Num
)s(R)s(G1)s(R)s(G
)s(Den)s(Num)s(R)s(G
+=
+=
+
+=
+=
+
=
Si la respuesta en lazo abierto presenta fase no minima, tambien la presentara en lazo cerrado independientemente de R(s)
ISA-UVA 95
Reactor Químico
ISA-UVA 96
Reactor Químico
ISA-UVA 97
Reactor Químico
Para Kp = -4 los polos en lazo cerrado son: -1.5810 + 2.028i -1.5810 – 2.028i -2.709
El cero es: -5.1
La respuesta en salto ante un cambio de 2 grados en el SP