5/9/2018 Resum o - lgebra Linear

1/6

www.resumao.corn.br

ALGUMAS DEFINI~QESI I 1 I I MatrizTabela retangular ou quadrada denumeros (representada por uma letra

maiuscula) denominados elementos,dispostos em linhas e colunas.Exemplouma matriz do tipo 3 por 4 (3 x 4)apresenta 3 linhas e 4 colunas.

o 65 0 e uma matriz 3 por 4.6 3

3 -2-1 9o -3

I I 1 I I Matriz quadradaApresenta 0 mesmo mimero de linhase colunas.

I I 1 I I Matriz diagonalMatriz quadrada com todos oselementos iguais a zero, exceto osda diagonal principal (diagonal docanto superior esquerdo para 0 cantoinferior direito).Exemplo

e uma diagonal principal e-

~;~l'ma matriz diagonalI I 1 I I Matriz identidade (denotada por I)Matriz quadrada com todos os elementosiguais a zero, exceto os da diagonalprincipal, que sao iguais a urn.

I I 1 I I Matriz triangularMatriz quadrada com todos os elementosabaixo da diagonal principal iguais azero (triangular superior) ou com todosos elementos acima da diagonal principaliguais a zero (triangular inferior).

I I 1 I I Matrizes iguaisSao matrizes de mesma ordem em queseus elementos sao iguais.

I I 1 I I Matriz zero ou nulaTodos os seus elementos sao nulos.I I1 I I S u b t ra c a oSe as matrizes A e B forem de mesmaordem, calcule A - B subtraindo os

elementos que estao na mesma posicaoem ambas as matrizes.I I 1 I I EscalarUrn valor numerico real.

I I 1 I I Matrizes-linha equivalentesPodem ser produzidas mediante umasequencia de operacoes de Iinha,por exemplo:.. Perrnutacao de linha: permutam-se

duas linhas quaisquer... Escalonamento de linha:multiplica-se uma linha porqualquer numero diferente de zero... Adicao de linha: substitui-seuma coluna pela soma de simesma e qualquer outra coluna(ou multiple da outra coluna).

I I 1 I I Matrizes-coluna equivalentesPodem ser produzidas mediante umasequencia de operacoes de coluna,por exemplo:.. Permuta de coluna: permutam-se

duas colunas quaisquer... Escalonamento de coluna:multiplica-se uma coluna por

qualquer numero diferente de zero.OJ Adicao de coluna: substitui-se umacoluna pela soma de si mesma e

qualquer outra coluna (ou multiploda outra coluna).I I 1 I I Matrizes elementares

Matrizes quadradas que podemser obtidas a partir de uma matrizidentidade (I) de mesma ordemmediante uma unica operacaosimples.

I I 1 I I A ordem de uma matriz A edenotada por (A)m x n. Assim,se uma matriz possui 3 linhase 4 colunas, ela e deordem 3 x 4.

aPERA~QES CaM MATRIZESI I1 I I A d ic a o

Se as matrizes A e B foremde mesma ordem, calcule A + Bsomando os elementos que estaona mesma posicao em ambasas matrizes.

I I 1 II M u l ti p li c a c a o por um escalaro produto de kA, em que k e urn escalar(numero), e obtido pela multiplicacao decada elemento da matriz A por k.

I I1 I I M u l t ip l ic a c a o de matrizesSe 0 numero de colunas em A equivale aonumero de linhas em B, calcule 0 produtoAB multiplicando os elementos da linhai de A pelos elementos da colunaj de B,somando esses produtos e colocando osresultados dessa soma na posicao ij damatriz final; a matriz-produto resultante terao mesmo numero de linhas da matriz Aeo mesmo numero de colunas da matriz B.

I I1 I I M u l t ip l ic a c a o de matrizes(utilizando inversa)Se A e B forem matrizes quadradase AB =BA = Iiembre-se de que Ie a matriz identidade), entao A e Bsao inversas; a inversa da matrizA pode ser denotada por A-I; portanto,B = A-I e A = B-1; para encontraro inverso de uma matriz inversivel A:.. Primeiro, use uma sequencia de

operacoes de linha para mudarA para I, a matriz identidade.OJ Entao, use exatamente as mesmasoperacoes de linha na I; isso resultarana matriz inversa A-I da matriz A.OJ A transpqsta de uma matriz A deordemlli1: l 1 ' e a matriz A' de ordem

11 x 11 1 cujfs colunas sao as linhas deA na mesma ordem, ou seja, a linhaIse torna a coluna I,a linha 2 setorna a coluna 2 e assim por diante.

I I 1 I I Matriz ortogonalMatriz quadrada inversa de tal formaqueA' = A-I, ou seja, A'A = AA'= I.A matrizinversa coincide com a transposta.

I I 1 I I Matriz normalMatriz quadrada que satisfaz A'A = AA',ou seja, satisfaz a comutatividade para amatriz transposta.

I I 1 I I 0 traco de uma matriz quadrada A e asoma de todos os elementos da diagonalprincipal; e denotado por tr(A).

1

http://www.resumao.corn.br/http://www.resumao.corn.br/

5/9/2018 Resum o - lgebra Linear

2/6

R e s l l m a o

MATRIZES/Cont inuas ;ao

MATRIZES COMPLEXAS Definicao:matriz cujos elementos sao todos

numerus cornplexos, a + bi. Conjugada de urna rnatrizcornplexa:

denotada por A, os elementossao todos conjugados da matrizcomplexa A; lembre-se de queo conjugado de a + bi e a - bi evice-versa.

Transposta conjugada:A H = ( A ) ' = ( " A ' ) ; observe que AHsignifica que a matriz A foitransposta e conjugada. Matriz cornplexa herrnitiana:seAH=A. Matriz cornplexa anti-herrnitiana:seAH=-A. Se A for uma matriz complexa eAH=A-I, entao ela e unitarla. Uma matriz complexa e normal seAHA=AAH.

PRO PR IE DA DE S D AS MATRIZ ESI I 1 I I Quando as matrizes sao de mesmaordem, e possivel realizar as operacoes

indicadas, tendo como verdadeiras asseguintes propriedades:,. Cornutativa

-A+B=B+A- AB = BA e FALSO. Associativa- A + (B + C) = (A + B) + C- A(BC) = (AB)C Simetrica- Se A' = A, entao a matriz A esimetrica.

- Se A' = -A, entao a matriz eantissirnetrica, Distributiva (rnatrizes)- A(B + C) = AB + AC

- A(B - C) = AB - AC Distributiva (escalar)- k(A + B) = kA + kB- k(A - B) = kA - kB- A(k + l) =kA + lA- A(k -l) =kA -IA

Produtos por urn esc alar- k(IA) = (kl)A- k(AB) = kA(B) = A(kB)

Matriz negativa-1(A) =-A Adi~ao de urna rnatriz nulaA+O=O+A=A Matrizes opostasA + (-A) = A -A = 0 Multipllcacao por urna rnatriznula: A(O) = (O)A= 0 Cuidado:- Se AB =AC, B NAOnecessariamente e igual a C.- Se AB = 0, A ou B NAO

necessariamente sao iguais a zero.- Inversas multiplicativas:A(A-I) = A-'(A) = I.- Produto de inversas:se A e B sao inversiveis(se possuem inversas),

entao AB e inversivel eA-I(B-I) = (BA)-I; observeque a ordem das matrizesdeve ser invertida.

Expoentes: se A e uma matrizquadrada e k, 11 l e n sao numerosinteiros diferentes de zero, entao:- AO=I- AT!= A (A) (A) ... (A), n vezes_ AmA" = A I 1 I + J J ; (Am)" = A I J I I I- (kA)-1 = ~A-I se A for inversive I

Transposta- (A')'=A- (A + B)'=A'+ B'- (kA)'= kA'- (ABY= BW; observe que aordem das matrizes e inversa

Tra~oSe A e B sao matrizes quadradasdo mesmo tamanho, entao:- tr(A + B) = tr(A) + tr(B)- tr(kA) = ktr(A)- tr(A') = tr(A)- tr(AB) = tr(BA)

Matrizes quadradasSe A e uma matriz quadrada 11 1 x 11 linversivel, entao:- AX = 0 apresenta apenas uma

solucao trivial para X.- A e linha equivalente a Ideordem Inx 11 l .- AX = B e possivel para cada 11 1 x1da matriz B.

2

I I 1 II D e f i n i c a o : e qu a c o e s da forma alxl + a2~ + a3x3+ ... + a x = b, em que ai' a2,a3, , a e b sao osrespectivos coeficientes das variaveis ~ b 0 termoindependente.I I 1 I I Solucoes: n u m e r o s Sl' S2'S3'..., snque tornam aequacao linear verdadeira quando substituidos

pelas variaveis XI'x2' x3' ... , xn.I I 1 I I Sistemas linea res: conjunto finito de e q u a c o e slineares que apresentarn valores (para asvariaveis) que validarn todas as equacoes dosistema. Sistemas lineares irnpossiveis n ao apresentarnso lu co es. . Sistemas lineares possiveis apresentam pelomenos urna so lucao .

I I 1 I I Matriz ampliada de um sistema linear: a matrizdo sistema linear com as constantes para cadaequacao ; deve-se manter urn registromental dasposicoes da s variaveis, os sinais+ e os sinais=.Exernplo: 0 sistema linear

allxl + a12x2 + a13x3 + + alnXn = bla2lxI + a22x2+ a23x3+ + a2nxn= b2a3lxI + a32x2+ a33x3+ + a3nxn= b3

amIxl + am2x2+ am3x3+ ... + amnxn = bmpode ser descrito como a rnatriz coeficiente

all al2 al3 alIIaZI a22 a23 aZTIa31 a3Z a33 a311alii I : alii 3 :

ou como a rnatriz arnpliadaall al2 al3 aln h iaZI az z aZ3 aZTI h2a31 a3Z a33 a3T1 h3alii I Qm2 alii 3 : bm

em que os numero s subscritos indicam a equacaoe a posicao na equacao para cada coeficienteou constante, isto e , all e e qu a ca o 1 variavel1, ao passo que a23e e qu a ca o 2 variavel J; saodefinidos como a ou a., em que m e i indicam a

mil IJequacao ou a linha da matriz e 1l ej, a posicao davariavel ou a coluna damatriz.I I 1 I I Matriz escalonada: forma de urnamatriz na qual:

0 primeiro elemento e diferente de zero emuma fila; se ele existir, e 0 numero 1, termo 1; qualquer fila que apresente todos os elementosiguais a zero e colocada na parte de baixo da

matriz; quaisquer filas consecutivas nao apresentamapenas zeros; a linha mais baixa das filas

apresenta 0 termo 1 mais a direita do que 0termo 1 da fila anterior.I I 1 I I Matriz escalonada reduzida: forma de urna

matriz com as mesmas caracteristicas de urnamatriz escalonada, mas que tambem apresentazeros por todas as colunas que contem urn termo1 exceto na posicao do primeiro termo (termo 1).

5/9/2018 Resum o - lgebra Linear

3/6

R e s l l m i i o

III Definicao: valor numerico calculadopara cada matriz quadrada; e denotadopor det(A) ou IA lou D; se uma matrizapresenta duas linhas proporcionais,entao seu determinante e zero.

IIDeterminante de ordem 1: 0 determinantede uma matriz de apenas urn elementoem que 0 determinantee igual aquele elemento, isto e ,se A = [all], entao 0 determinantede A ou det(A) ou D = [a1l1 = all

IIEstudo dos determinantes- Urn determinante de ordem2 e 0 determinante de uma matrizde tipo 2 x 2 e e

- Urn determinante de ordem3 e 0 determinante de uma matrizdo tipo 3 x 3 e pode ser calculado como

all al2 auD= a21 a22 a23a31 a32 a33= all an a33+a13 a2}a31+al3a32a21- a13 a22a31-a12 a21a33 all a32a23Esse processo pode ser demonstrado aorepresentar a matriz determinante comas duas primeiras colunas repetidasap6s a matriz e depois usar diagonaispara encontrar os produtos.Exemplo:

all alZ al3aZI a'l2 aDa31 a32 a33 torna-se

Cofator- Defmicao: 0 cofator (complemento

algebrico) do elemento a..da matriz A e ( - I ) i+ j (Moo)~em que Mooe 0 determi~anteda submatfiz que resulta suprimindoa linha i e a colunaj da matrizoriginal A; os cofatores saodenotados por Coo.ljExemplo:o cofator do elemento al2de uma matrizH . ~ : ] e(-1)"W"),emqueM,,

e 0 deter min ante da submatriz[ -~le M 1 2 =2(8) - 5(1)=-21e Cn = -1(-21) = 21

- Metodo de Laplace (cofatores):metodo para 0 calculo dodeterminante de uma matriz quadradapela adicao de aijCijpara qualquerlinha completa ou coluna completade uma matriz, isto e , det(A) = IAI=2 : ajjCij ao eliminar uma linhaj-Ie det(A) = IA I= 2 : aije ijao eliminaruma coluna. j~1Exemplo:dada a matriz

all all auA= aZI a2Z aZ3 ,

- 0 valor de cada variavel e 0quociente de cada urn dessesdeterminantes.

[bl a p ]I A I I bz azz blazz - alzb,XI=A [all alz] allazz - alzazla21 aZ2

o determinante all a32 al3pode ser calculadousando a expansao cofator pelaeliminacao de qualquer linha oucoluna. Portanto:det(A) = allClI + al2CI2+ a13C13usando a primeira linhadet(A) = a21C21+ anC22 + a2}C2}usando a segunda linhadet(A) = a31C31+ a32C32+ a33C33usando a terceira linhadet(A) = allClI + a21C21+ a31C31usando a primeira colunadet(A) = a12C12 + a22Cn + a32C32usando a segunda colunadet(A) = a13C13 + a2JC23+ a3JCJ3usando a terceira coluna

" Regra de Cramer: se existe urn sistemade equacoes lineares que criam umamatriz coeficiente A do tipo n x ncom det(A) = IA I;"0, entao 0 sistemaapresenta uma unica solucao, que eI A I I I A l l I A , I I A " IXI=A; x2=A; xJ=A; 0 0 ' , xn=Aem quej = 1,2,3, ..., ne Aj e a matriz criadamediante a substituicaode todos os elementosna coluna jOsima pelamatriz das constantesda equacao ao lado- Aplicacao da regra de Cramer:- Calcula-se 0 determinante da matriz

b "

dos coeficientes do sistema.- Para cada variavel que se quer

determinar, calcula-se urn novodeterminante, substituindo, namatriz dos coeficientes, a colunados coeficientes da variavel a serdeterminada pela coluna dos termosindependentes.

IIPropriedades de determinantes" Se A for uma matriz quadrada,

entao:- AX = 0 apresenta apenas asolucao zero.

1- det(A) = I A 1 = det(A') = IA'I- E inversivel se e apenas se

det(A) = IAI;" o .- det(A) = I A 1= 0 quando A tiveruma linha ou uma coluna cujos

elementos sao iguais a zero.- det(A) = IA I= 0 quando A tiver

duas linhas ou colunas identicas.- det(A) = I A 1= alla22aJJ ... annquando A for uma matriz triangular

do tipo n x n." Se A for uma matriz inversivel,

entao det(A-I) = lA-II=_1_det (A)" Se A e B forem matrizes quadradas

de mesma ordem, entaodet(AB) = I A B I = IAIIBIdet(A) det(B).

" Se B resultar de A mediante operacoesde coluna ou linha, entao:- det(B) =IBI=-IAI=-det(A)quando B resultar de duas trocasde linha ou coluna.- det(B) = IBI= k I A 1= kdet(A)quando B resultar de umamultiplicacao por urn escalar

de uma linha ou coluna de A.- det(B) = IBI= IAI= det(A)

quando B resultar da adicaode duas linhas ou multiplas linhasou duas colunas ou multiplascolunas de A.

3

5/9/2018 Resum o - lgebra Linear

4/6

R e s u m i i o

IIUma combinacao linear de vetores VI'V 2' v)' ..., V ne urn vetor w quandow =kivi + k2v2 + k)v) + ...+ knvne k l, k 2 , k3, ., kn sao escalares.

iIII Subtracao: para os vetores u e v,a diferenca entre eles e definida poru - V =U + (-v); graficamente:

VETORESiIII Definicao: segmento de reta orientado

de mesma direcao, mesmo sentidoe mesmo m6dulo em urn espacobi ou tridimensional.iIII Origem: a extremidade inicial

do segmento de reta.iIII Extremidade: a ponta (final)

do segmento de reta.iIII Escalares: as quantidades numeric asdos vetores.iIII Notacao: os vetores sao nomeadoscom letras mimisculas e, se a origem

de urn vetor v for A e aextremidade for B, entao v =AB. Os vetores sao iguais se apresentarem

me sma direcao e mesmo comprimento(ou elementos) desconsiderando suaposicao; por exemplo, v = u = w.

u~Eles tambem sao iguais se:

v = (3,-1,5),u=(3,-1,5)e w = (3, -1, 5);apresentam os mesmos componentes.

II0vetor zero ou nulo terncomprimento zero em qualquerdirecao e e denotado por O.

II0vetor negativo v, escrito como-v, e 0 vetor que apresenta a mesmamagnitude ou mesmo comprimento,mas~direc;aooposta dey.

NORMA DE UM VETOR~ '" , ,iIII A norma ou comprimento de urn vetor,I l u l ~ no e s p a c o vetorial n e a r a i z quadrada(positiva) de u ,u, ou seja,

se u =(ai' a2, a3, , an)' enta~I l u l l = . j u . U =~a12 + a ; + a ; +... + a , ~ I l u l l ~ 0 e I l u l l = 0 se e somente se u =O . Se / l u l l =1 ou se u . u =1, entaou e urn vetor unidade.

iIII Urn espaco vetorial e urn espacoque envolve urn conjunto devetores S=(VI' v2' v3' , vn) e duasoperacoes definidas sobre os veto res(ou elementos) deste: adicao emultiplicacao por urn escalar.

iIII Urn conjunto de vetores nao vazioe linearmente independente,S = {VI' v2' v3' , v}, apresenta apenasuma solucao para a equacao do vetorkivi + k2v2 + k3V3 + ...+ knvn= 0e sao todos escalares, kn ' iguais azero; se houver outras solucoes paraa equacao, entao Se urn conjuntolinearmente dependente.

iIII A base de urn espaco veto rial V e urnconjunto de vetores S em V se Sfor linearmente independentee S estiver contido em V.

iIII A matriz M =A - tI , em que Ie a matriz identidaden quadrada ~, te urn valor indeterminado e a matrizquadrada nA = [ a i j1 tern uma matriznegativa tIn - A e urn determinante~(t)=det(tI -A) =(-1)"det(A-tI )n nque e 0 polinomio caracteristico de A.

O PERAc;O ES CO M V ETO RESiIII Adicao: se u for urn vetor de

extremidade (ai' b., c.) e v for urnvetor de extremidade (a2, b2, c2),entao u + v tem como extremidade(a, + a2, bl + b2, ci + c.); isso pode serobservado graficamente ao utilizar 0metodo do paralelograrno, que fixaa origem de v na extremidade de u,e entao 0 vetor u + v e 0 vetor queIiga a origem e a extremidade de u aextremidade de v.

ou

u { 3A diagonal deste paralelogramo e u + V.4

-v v

u-~+vou@u

V-V

u - v e a outra diagonal doparalelogramo.E, se u =(a., bl) e v =(a., b2), entaou - v =(a, - a2, b, - b2); essa relacaotambem e verdadeira em espacostridimensionais.

iIII Multiplicacao por um escalar:o produto de qualquer escalar kmimero real nao nulo e vetor v naonulo e 0 produto do m6dulo de ve do escalar k, mantendo a mesmadirecao se k > 0 e mudando para adirecao oposta se k

5/9/2018 Resum o - lgebra Linear

5/6

R e s l l m a o

VETORES /Con t i nua< ;ao Vetores ortogonais ou

perpendiculares: vetores cujo produtoescalar e igual a zero, isto e, u . v = O.

I I ! I Distancia entre do is vetores Se u = (ai' a2, a3, ... , a,) e

v = (bl, b2, b3, ... , b),entao adistancia entre osdois vetores e d(u, v) = I l u - vii=

I I ! I Projecao A projecao de wn vetor u em wn vetor

v diferente de zero e proj(u, v) = 11~lfvI I ! I Angulos entre dois vetores

Se u e v sao vetores diferentes de zero,entao 0 angulo entre eles e encontradopor meio da f6rmulau'v U'vcos=llullllvll, emque+ls+I ,;;Ilullllvlls 1 ,;;1 .

0 angulo e entre os vetores u eve:- agudo se e somente se u . v > 0;- obtuso se e somente se u . v

5/9/2018 Resum o - lgebra Linear

6/6

I 1 1 I I IMetodo d e eliminacao d e G a u s sa Usam-se operacoes de linhapara reduzir a matriz ampliada auma forma escalonada.

a Fazem-se as substituicoesnecessarias para resolvero sistema de equacoescorrespondente.

I 1 1 I I IMetodo d e eliminacaod e G a u ss -J o r d a na Usam-se operacoes de linha

para reduzir a matriz ampliada auma forma escalonada reduzida.

a Transforma-se, por meio deoperacoes convenientes, amatriz dos coeficientes dasvariaveis na matriz identidade,aplicando-se simultaneamente amatriz-coluna, colocada ao ladeda matriz dos coeficientes dasvariaveis, as mesmas operacoes.

a Transformada a matriz doscoeficientes das variaveis namatriz identidade, a matriz dostermos independentes sera, aofinal, a solucao do sistema.

I 1 1 I I I n ve rs a o d e m a t r i z :quando um sistema de equacceslineares apresenta 0 mesmonumero de variaveis e equacoes,resultando em uma matrizquadrada dos coeficientesde ordem 11 1 x 1 1 1 , se a matrizcoeficiente e inversivel, entao:aBe .U1namatriz mx 1dasconstantes do sistema...Xealll