INTEGRAL INDEFINIDADef.-(1) Una función es una o de otra función enJ 0primitiva antiderivadaun intervalo si M J ÐBÑ œ 0ÐBÑ a B − Mw

(2) El conjunto de todas las primitivas de una función se llama 0 integralindefinida de se le denota por 0 ß 0ÐBÑ .B'Si es una primitiva de entonces J 0 ß ' 0ÐBÑ .B œ JÐBÑ G

El símbolo se llama " signo integral"' se llama integrando0ÐBÑ : elemento de integración0ÐBÑ.B : constante de integraciónGEl proceso que permite obtener las integrales indefinidas de las funcioneselementales se llama " ".integración

Propiedades de la integral indefinida(1) La derivada de una integral indefinida es.

.Bwwa b' 0ÐBÑ .B œ 0ÐBÑ

igual al integrando "(2) caso particular ' '.

.B ÐJ ÐBÑ Ñ .B œ JÐBÑ G .B œ B G

(3) ' '5 0ÐBÑ .B œ 5 0ÐBÑ .B

(4) ' ' 'Ð0ÐBÑ „ 1ÐBÑ Ñ.B œ 0ÐBÑ .B „ 1ÐBÑ .B

' 0ÐBÑ .B œ JÐBÑ G Ê

0Ð+ BÑ .B œ JÐ+BÑ G

0ÐB ,Ñ .B œ JÐB ,Ñ G

0Ð+B ,Ñ .B œ JÐ+B ,Ñ G

ÚÝÛÝÜ'''

"+

"+

METODOS DE INTEGRACION

I Integración por cambio de variable o sustitución (Corresponde a la regla de la cadena en derivación) Una integral de la forma se puede determinar' 0Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .Bw

haciendo la sustitución œ? œ 1ÐBÑ.? œ 1 ÐBÑ .Bw

Si es una primitiva de la función entoncesJ 0ß ' '0Ð1ÐBÑÑ 1 ÐBÑ .B œ 0Ð?Ñ .? œ JÐ?Ñ G œ JÐ1ÐBÑÑ Gw

Ë Ë 1ÐBÑ œ ? ? œ 1ÐB

II Integración por Partes

Si y son funciones tales que y son? œ 0ÐBÑ @ œ 1ÐBÑ 0 1w w

continuas, entonces' '0ÐBÑ 1 ÐBÑ .B œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ 0 ÐBÑ 1ÐBÑ .Bw w

o equivalentemente ' '?.@ œ ?@ @.?

III Integración de funciones racionales por fraciones parciales

Una función racional es aquella de la forma , donde y 0ÐBÑ1ÐBÑ 0ÐBÑ 1 ÐBÑ

son polinomios. Se le llama si y en todo otropropia 1<Ð0ÐBÑÑ 1<Ð1ÐBÑÑcaso es impropia. La separación de en una suma de fracciones parciales depende de0ÐBÑ

1ÐBÑ

dos condiciones:a) La fracción debe ser propia. De no ser así, se hace la división y se trabaja con el residuo en efectoßdel algebra de polinomios tenemos que, si entonces1<Ð0ÐBÑÑ   1<Ð1ÐBÑÑ ßal efectuar la división podemos expresar la fracción en la forma: donde 0ÐBÑ <ÐBÑ

1ÐBÑ 1ÐBÑœ ;ÐBÑ 1<Ð<ÐBÑÑ 1<Ð1ÐBÑÑ

b) Los factores de deben conocerse. Es decir debe expresarse1ÐBÑ 1ÐBÑcomo producto de potencias de factores lineales o de potencias deÐ:B ;Ñ7

factores cuadráticos irreducibles , donde son enterosÐ+B ,B -Ñ 7ß 8# 8

positivos. Si se cumplen estas condiciones, aplicamos las siguientes reglas parala descomposición de la fracción.

Regla 1.- Para cada factor de la forma la descomposiciónÐ:B ;Ñ ß7

contiene una suma de fracciones parciales de la forma :7E E E

:B; Ð:B;Ñ Ð:B;Ñ Ð:B;ÑE

5" # 7

# $ 7$ ÞÞÞÞÞÞÞÞ Edonde es una constante

real.

Regla 2.- Para cada factor de la forma en donde yÐ+B ,B -Ñ 8   "# 8

Ð+B ,B -Ñ# es irreducible, la descomposición en fracciones parcialescontiene una suma de fraciones de la forma:8F BG F BG F BG+B ,B- Ð+B ,B-Ñ Ð+B ,B-Ñ Ð+B ,B-Ñ

F BG5 5

" " # # 8 8# # # # $ # 8

$ $ ÞÞÞÞÞ F G donde y sonconstantes reales a determinar.

IV Integrales de funciones trigonométricas

A) Potencias de funciones trigonométricas Integrales de la forma M œ =/8 B -9= B .B ß 7ß 8 −78

7 8' ™

a) o impar positivo.7 8 Si 7 œ #5 "ß =/8 B -9= B œ =/8 B -9= B =/8B7 8 #5 8

Ë

œ Exprese en términos de y efectue la sustitución ,

-9= B

? œ -9=B

Si 8 œ #5 "ß =/8 B -9= B œ =/8 B -9= B -9=B7 8 7 #5

Ë

œ Exprese en términos de y efectue la sustitución

=/8B

? œ =/8Bß

b) Si y son pares positivos se utilizan las identidades 7 8

=/8 B œ Ð" -9=#BÑ

-9= B œ Ð" -9=#BÑ

# "#

# "#

para bajar los exponentes de las funciones trigonométricas.c) Si y son pares negativos, se obtiene un integrando con potencias 7 8positivas pares de y .=/-B -9=/-B7 œ #5 8 œ #: Ê =/8 B -9= B œ -9=/- B =/- B, 7 8 #5 #:

œ -9=/- B =/- B =/- B#5 #:# #

Ë Ë

œ expreselos en función de y efectue la sustitución

>1 B

? œ >1Bß .? œ =/- B .B#

d) Las integrales de la forma , donde es un entero' '>1 B .B ß ->1 B .B 77 7

positivo se calculan utilizando las identidades œ >1 B œ =/- B "

->1 B œ -9=/- B "

# #

# #

B) Productos de senos y cosenos

Las integrales de las formasÚÛÜ

'''=/85B =/8:B .B

=/85B -9=:B .B

-9=5B -9=:B .B

surgen en la teoría de la corriente alterna, problemas de transferencia decalor, flexión de vigas y en muchos otros problemas de ciencia e ingeniería.Estas integrales pueden determinarse utilizando integración por partes condos aplicaciones. Otra forma más simple es recurriendo a las siguientesidentidades

=/85B =/8:B œ -9=Ð5 :ÑB -9=Ð5 :ÑB

=/85B -9=:B œ =/8Ð5 :ÑB =/8Ð5 :ÑB

-9=5B -9=:B œ -9=Ð5 :ÑB -9=Ð5 :ÑB

"#"#"#

a ba ba bC) Funciones racionales de senos y cosenos

Las integrales de la forma donde es una' VÐ=/8Bß -9=BÑ.B V

funciónracional se determinan efectuando la sustitución > œ >1 œB =/8B

# " -9=B

obteniéndose una integral de una función racional en la variable la cual>ßpuede integrarse por fracciones parciales.De esta sustitución se tiene: -9=B œ =/8B œ .B œ"> #> #.>

"> "> ">

#

# # #

Si la función racional verifica que VÐ =/8Bß -9=BÑ œ VÐ=/8Bß -9=BÑempleando la sustitución la integral dada se reduce a una función> œ >1Bracional de la variable más simple que en la sustitución anterior.>En este caso se tiene que: -9=B œ =/8B œ .B œ" > .>

"> "> ">È È# # #

V Sustituciones trigonométricas

Si un integrando contiene una de las expresiones È+ ?# #

ß + ?È # #

o donde ( o potencias de ella) se puede eliminar el radicalÈ? + + !# #

haciendo una sustitución trigonométrica.

È ÈÈ+ ? + ? ? +# # # # # #Ú ÚÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÜ ÜœÈ

œ

si 0- si

si 0

- s

? œ + =/8>! Ÿ > Ÿ ß ?  

> !ß ? !

.? œ + -9= > .>

+ ? œ + -9= >

? œ + >1 >! Ÿ > Ÿ ß ?  

> !ß

1

1

1

1#

#

# #

#

# i

si si - ? !

.? œ + =/- > .>

+ ? œ + =/- >

? œ +=/- >! Ÿ > Ÿ ß ?   +

> ß ? Ÿ +

.? œ + >1 > =/- > .>

? + œ + >1 >

+> ? ?>

+

#

# #

#$#

# #È

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜœÈÚ Ú Ú

Û Û ÛÜ Ü Ü

1

11

ÈÈ

+ ?

+ ?

# #

# # ?>

+? +

> œ +<- =/8 > œ +<- >1?   +ß > œ +<- =/-

? Ÿ +ß > œ # +<-=/-

Ȝ

# #

? ?+ +

?+

?+

1

Integrales de funciones que contienen un trinomio de segundo grado con +B ,B -ß + Á !Þ#

La expresión cuadrática con puede reducirse a+B ,B -ß + Á !#

la forma efectuando una completación de cuadrados. +Ð? „ 5 Ñ# #

De esta forma la integral M œ œ

" # # #' '.B " .?

+B ,B - + ? „5

Si se tiene una integral de la forma M œ | #

ÐEBFÑ .B+B ,B - ? +B ,B -

.? .B' ' '# #! "

Ë

œ? œ +B ,B -.? œ Ð#+B ,Ñ.B

#

Usando transformaciones análogas a las anteriores se pueden reducirlas integrales de las formas: ' '.B

+B ,B - +B ,B -

ÐEBFÑ .BÈ È# #ß

' ''.B

+B ,B -

.?

? „5

.?

5 ?

È ÈÈ#

# #

# #

|+ !ß

+ !ß

ÚÛÜ

' ' 'ÐEBFÑ .B

+B ,B - +B ,B -

.? .B?È È È# #

| ! "

VI Integración de algunas funciones irracionales

Consideremos integrales de la forma ' VÐBß B ß B ß B ß ÞÞÞÞÞB Ñ.B:";" #

:#;

:$;$

:8;8

donde es una función racional.V Si , entonces la sustitución 5 œ 7Þ-Þ7ÞÐ; ß ; ß ; ß ÞÞÞß ; Ñ B œ >

" # $ 85

transforma la función irracional en una función racional en la variable .>