RESUMO DEESTABILIDADE VERTICAL NA

ATMOSFÉRICA

1. EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO

pesoPressão de Vertical Gradiente FF

isto é, dzgdp

ou gdz

dp

ou dpgdz

A atmosfera está em movimento o tempo todoMAS, em escalas maiores que a meso-escala,

a atmosfera está praticamente em “equilíbrio hidrostático”:

pode-se definir “geopotencial” () como:

dgdz

por convenção, = 0 em z = 0,

zgdzz

0

define-se “altura geopotencial” (Z), como

0g

zzZ

onde 0g é a aceleração da gravidade em z=0

OBS. Até z 10 Km, Z z (Vide Tabela 3.1 do WH)

NOMEANDO

Algumas aplicações da equação hidrostática:

p

dpTRdpd vd

pdTg

Rd

gZZ

p

p vd ln

1 2

1

2

1

ln

ln00

12

2

1

012 ln

p

pT

g

RZZ v

d,

Equação hipsométrica

onde

1

2

ln

ln

ln

ln2

1

p

p

pdTT

p

p v

v

ou, graficamente:

ln p2

ln p1

ln p

Tv

A

A

Sugestões de exercícios: Deduzir a eq. hipsomérica para uma atmosfera homogênea ( cte), e para

uma atmosfera isotérmica. Deduzir uma expressão da variação de pressão com a altura, para uma

atmosfera homogênea, uma isotérmica, e uma com “lapse-rate” cte

lapse-rate de uma atmosfera com constante (lapse-rate adiabático seco)

dz

dp

pc

R

dz

dT

T p

1

Usando a equação hidrostática, rearranjando, e usando a eq. estado:

pp c

g

p

TR

c

g

dz

dT

Portanto, o lapse-rate de uma atmosfera adiabática seca é:

1-

pd km C

c

g 8.9

Aplicando o logaritmo na equação de Poisson, deferenciando com constante, e dividindo-se por dz:

Suposições (hipóteses):

• O ambiente está em equilíbrio hidrostático

• Em um dado nível as pressões do ambiente e da parcela são iguais

• A parcela não se mistura com o ambiente

• O movimento da parcela não perturba o ambiente

• A parcela não troca calor com o ambiente(processo adiabático)

“LAPSE RATE” ADIABÁTICO SECO e SATURADO DE UMA PARCELA

Parcela não saturada que se move verticalmente, muda de estado adiabaticamente (conserva )

dz

dp

pdz

dT

T

1

onde

pc

R

como a parcela se movendo está em equilíbrio dinâmico com o ambiente,a variação vertical da pressão dp/dz depende

da densidade do ambiente e não da parcela.

''

''

'

RT

pg

RT

gpg

dz

dp

dz

dp

(usando “linha” para o ambiente)

aplicando o logaritmo e diferenciando a equação de Poisson:

Substituindo na equação anterior:

'T

T

c

g

dz

dT

p

ou seja, uma parcela não saturada, subindo, não esfria exatamente na mesma taxa de esfriamento

de uma atmosfera com constante. POREM, T e T’ são muito próximos ( T/T’ 1).

dp

parcela

ddp c

g

dz

dT

Assim:

Parcela saturada que se move verticalmente, em um processo pseudo-adiabático

(conserva e)

pep s

a 1ª. Lei da Termo fica

p

dpTRdTcdrL dpsv

mas p

dp

e

de

r

dr

p

er

s

s

s

sss

onde 622.0v

d

d

v

R

R

M

M

e, da hidrostática, dzTR

g

p

dp

d '

fazendo a aproximação:

Assumindo novamente que T/T’ 1, e substituindo essas duas ultimas equações na equação da 1ª. Lei:

gdzdTcdzTR

g

e

derL p

ds

ssv

Dividindo por dz, usando a expressão equivalente

dz

dT

dT

de

dz

de ss

e colocando em evidencia –dT/dz:

dT

de

p

Lc

TpR

eL

gdz

dT

svp

d

sv

s

1

onde s denota o lapse rate para um processo pseudo-adiabático.

Podemos agora substituir es por rs, lembrando que

ss r

p

e

e

2T

pr

R

L

TR

eL

dT

de s

d

v

d

svs

2

2

1

1

T

r

Rc

L

T

r

R

L

c

g

s

dp

v

s

d

v

ps

Então:

(vide pg. 114 do Tsonis)

OBSERVAÇÕES:

s não é constante, e sim igual a d multiplicado por um fator

que é proporcional à pressão e à temperatura (lembrar que rs=f(p,T)).

A tabela abaixo mostra os valores de s para algumas pressões e temperaturas

P (hPa)T (C)

1000 700 500

- 30 9.2 9.0 8.7

-20 8.6 8.2 7.8

-10 7.7 7.1 6.4

0 6.5 5.8 5.1

10 5.3 4.6 4.0

20 4.3 3.7 3.3

s é sempre menor que d, mas se aproxima deste

quando a pressão aumenta ou a temperatura diminui

Para levar em conta o efeito do vapor d’água na densidade, deve-se usar Tv ao invés de T no calculo do lapse rate.

3. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO VERTICAL DE UMA PARCELA

dz

dpg

''0

como a parcela pode ter aceleração, a 2ª. Lei de Newton fica:

dz

dpg

dz

dpgz

dt

zd '2

2

como o ambiente está em equilíbrio hidrostático, a 2ª. Lei de Newton fica:

Observar que, se > ’ a aceleração é negativa (a parcela é acelerada para baixo),

e vice-versa.

usando a equação de estado para o ambiente e para a parcela:

eliminando dp’/dz entre essas duas equações, resulta em:

'

'

'ggz

'

'

v

vv

T

TTgz

Vamos agora analisar um pequeno deslocamento da parcela, de sua posição original z = 0, onde sua temperatura é Tv0.

Sua temperatura em qualquer ponto z é (expandindo em série de Taylor):

......!3

1

2

1 33

32

2

2

0 zdz

Tdz

dz

Tdz

dz

dTTT vvv

vv

para pequenos deslocamentos, os termos de ordem maior que 1 podem ser desprezados:

zdz

dTTT v

vv 0

(Observar que, se a variação de Tv for linear com a altura,

esta aproximação é exata)

o mesmo raciocínio pode ser feito para a variação da temperatura virtual do ambiente com a altura:

zdz

dTTT v

vv

'' 0

Assumindo as notações :

dz

dTvv lapse-rate da temperatura virtual da parcela

dz

dTvv

'' lapse rate da temperatura virtual do ambiente

as expressões da variação das temperaturas virtuais com a altura acima podem ser escritas como:

zTT

zTT

vvv

vvv

'' 0

0

Substituindo essas expressões na equação do movimento:

zzT

gz vv

vv

''0

Mas

00

0

00

'1

1

'1

11

'

1

v

v

v

v

vvvv T

z

T

T

zTzT

pois 1'

0

v

v

T

z

Então a equação do movimento pode ser escrita como:

2

00

''' z

Tz

T

gz

v

vvvvv

v

ou, desprezando o termo envolvendo z2 comparado com envolvendo z:

0'0

zT

gz vv

v

a) 0' vv

(lapse rate da temperatura virtual da parcela maior que o do ambiente)

02

zz que tem a solução

tBtsen Atz cos

Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma

A solução da equação diferencial do movimento vertical de uma parcela acima depende da constante,

e permite três possibilidades:

4. ANÁLISE DA ESTABILIDADE

onde (chamada de “freqüência de Brunt-Väisälä”) é

0'0

vvvT

g

Como assumimos que o nível inicial é z = 0 B = 0 e z(t) = A sen(t), isto é,

a parcela oscila senoidalmente no tempo, em torno de sua posição original, com um período = 2 / .

Este representa o caso “estável”, onde a parcela não abandona seu nível original.

b) 0' vv

Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma

02

zz que tem a solução

t-t e Be Atz

(lapse rate da temperatura virtual da parcela menor que o do ambiente)

onde é

0'0

vvvT

g

Como em t = 0, z(0) = 0, A + B = 0. Então A = - B 0 (a possibilidade A = B = 0 é descartada pois leva à solução

trivial z(0) = 0)Como A 0, quando t , o deslocamento da parcela

cresce exponencialmente

Este representa o caso “instável”, onde a parcela sai do seu nível original e nunca

mais retorna a ele.

c) 0' vv

Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma

0z

que tem a solução

B t Atz isto é, a parcela se desloca com velocidade constante (A).

Este representa o caso “neutro”, onde a parcela sai do seu nível original e nunca mais

retorna a ele, porém, sem aceleração.

quando t , o deslocamento da parcela cresce linearmente

(lapse rate da temperatura virtual da parcela igual ao do ambiente)

No item anterior, vimos que a estabilidade da atmosfera depende basicamente da relação entre o lapse-rate (virtual) do ambiente e o lapse-rate (virtual) da parcela.

Como a parcela pode estar ou não saturada, vamos determinar as condições de estabilidade

para essas duas situações:

5. CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE (ESTÁTICA)para uma parcela NÃO-SATURADA E

SATURADA.

Lapse rate para a parcela :

dz

dTr

Trdz

d

dz

dT

v

vv

v

61.01

61.01

Então:

KmCdv /8.9

a) Parcela Não-Saturada

(pois rv é constante)

Lapse rate para o ambiente:

dz

drT

dz

dTr

Trdz

d

dz

dT

vv

vv

v

''61.0

''61.01

''61.01'

'

dz

drTr v

vv

''61.0''61.01'

OBS.: o segundo termo dessa equação pode não ser desprezível, portanto, na análise da estabilidade de uma parcela, devemos comparar o lapse-rate da temperatura virtual do ambiente com o lapse-rate da parcela.

ou

de uma parcela não-saturada são:

Se v’ < d a parcela é estaticamente ESTÁVEL

Se v’ = d a parcela é estaticamente NEUTRA

Se v’ > d a parcela é estaticamente INSTÁVEL

ASSIM, as condições para de estabilidade estática

Lapse rate para a parcela :

dz

drTr

dz

drT

dz

dTr

Trdz

d

dz

dT

sss

ss

sv

v

61.061.01

61.061.01

61.01

Neste caso o segundo termo é muito menor que o primeiro, e podemos aproximar essa equação para:

sv

b) Parcela Saturada

Lapse rate para o ambiente: o mesmo v’ acima.

Se v’ < s a parcela é estaticamente ESTÁVEL

Se v’ = s a parcela é estaticamente NEUTRA

Se v’ > s a parcela é estaticamente INSTÁVEL

ASSIM, as condições para de estabilidade estática de uma parcela saturada são:

Como d (=9.8C/Km) > s,

os critérios acima podem ser combinados como:

Se v’ < s a parcela é absolutamente ESTÁVEL

Se d > v’ > s a parcela é condicionalmente INSTÁVEL

Se v’ > d a parcela é absolutamente INSTÁVEL

Obs.: O termo “absolutamente” significa que o critério vale tanto para

uma parcela não-saturada como saturada O termo “condicionalmente instável” significa que a parcela é

estável se estiver não saturada e instável se ficar saturada.

COMENTÁRIOS

Para um ambiente não saturado vale a equação de Poisson:

p

dc

R

pT

1000

'''

, ou, melhor,

p

dc

R

vv

pT

1000

'''

, onde '61.01' TrT vv

Critérios utilizando-se as temperaturas potenciais:

• Aplicando o logaritmo e diferenciando:

''

1

'

1

'

'

'

'

''

'

1

'

'

'

'

1'

'

1

vdv

pvv

v

vdp

dv

v

p

dv

v

v

v

T

c

g

TT

gTR

p

cp

R

T

dz

dp

cp

R

dz

dT

Tdz

d

de uma parcela não-saturada

Se dv’/dz > 0 a parcela é estaticamente ESTÁVEL

Se dv’/dz = 0 a parcela é estaticamente NEUTRA

Se dv’/dz < 0 a parcela é estaticamente INSTÁVEL

podem também ser expressas como:

ASSIM, as condições para de estabilidade estática

Para uma parcela saturada pode-se usar o mesmo raciocínio,

substituindo por e,

que é constante para processos adiabáticos saturados.

Se de’/dz > 0 a parcela é estaticamente ESTÁVEL

Se de’/dz = 0 a parcela é estaticamente NEUTRA

Se de’/dz < 0 a parcela é estaticamente INSTÁVEL

Nos itens anteriores mostramos que a estabilidade de uma parcela depende da relação entre o lapse-rate do ambiente e d ou s.

MAS existem situações meteorológicas (por exemplo em grandes cadeias de montanhas) nas quais toda uma camada atmosférica é levantada ou abaixada.

isso afeta o lapse-rate da atmosfera, e portanto, afeta a estabilidade da parcela ?

Vamos tratar do caso de uma camada com uma diferença finita de pressão entre a base e o topo dessa camada (por exemplo, 50 hPa)

Da equação hidrostática, essa diferença de pressão é diretamente proporcional à massa por unidade de área contida nessa coluna.

Vamos supor que nenhuma massa adicional é adicionada ou retirada da camada, de tal forma que essa diferença de pressão permaneça constante.

ESTABILIDADE CONVECTIVA ou POTENCIALde uma camada NÃO-SATURADA

A relação entre T’ e ’, diferenciando a equação de Poisson em forma logarítmica:

z

p

pc

R

zz

T

T p

d

'

'

'

'

1'

'

1

Usando a hidrostática e resolvendo para ’:

'

'

'

'

1'

'

1

T

c

g

z

T

Tz

d

p

a) Processos não-saturados

Para tirar vantagem do fato da diferença de pressão constante na camada,

é desejável converter a derivada em altura para derivada de pressão, como :

'

''

p

z

zp

, e, da hidrostática gp

z

'

1

'

podemos reescrever a equação acima como:

'

'

''

'

'

'

'

1

pg

R

Tgpddd

como num processo adiabático seco ’ é conservado, a diferença de ’ entre o topo e a base da camada

também é conservada.

Alem disso, estamos analisando o caso onde a diferença

de pressão na camada é constante.

'

'

'

1

p

e, portanto

p' c ted '

Então : é constante na camada

OU SEJA:

Quando a camada é levantada, a pressão decresce, e o lapse-rate do ambiente (’) vai diminuindo

e se aproximando de d

(PORTANTO, desestabilizando uma camada estável)

Quando a camada é abaixada, a pressão aumenta, o lapse-rate do ambiente (’) vai aumentando

e se distanciando de d

(PORTANTO, estabilizando mais ainda uma camada estável)

EM RESUMO, para uma camada não-saturada, elevar (abaixar) a camada instabiliza (estabiliza) essa camada

para futuros movimentos de parcelas.MAS, se a camada subir muito, a ponto de causar a saturação

de toda a camada, o resultado é completamente diferente:

esta situação pode ser vista mais facilmente com o uso de um diagrama:

tefigrama, três situações, onde uma camada inicialmente isotérmica (portanto estaticamente estável tanto para processos adiabáticos secos como saturados), de 50 hPa de espessura, que é elevada em 300 hPa, saturando-se completamente nos três casos.

b) Processos saturados

Assim, cada ponto da camada, após uma expansão adiabática seca preliminar,

atinge a condensação ao longo da mesma linha adiabática saturada.

Conseqüentemente, o lapse-rate após a ascensão é exatamente o adiabático saturado

e a camada se torna neutra em relação a qualquer deslocamento posterior

de parcelas saturadas.

No caso (a), assumimos que e é constante na camada

Assim, o topo da camada atinge a saturação ao longo de uma adiabática saturada que está à direita (é maior) daquela onde a base da camada atinge a saturação.

Conseqüentemente, o lapse-rate final da camada é menor

que lapse-rate adiabático saturado, e, portanto, a camada é estável para quaisquer deslocamentos posteriores de uma parcela saturada.

No caso (b), assumimos que e aumenta com a altura na camada

Quando a base da camada atinge a saturação, e continua a se esfriar

com uma taxa adiabática saturada, o topo da camada ainda está se esfriando

com a taxa adiabática seca (que é maior que a adiabática saturada)

Conseqüentemente, no final da ascensão, o lapse-rate que a camada adquire é maior que o adiabático saturado e, portanto, essa camada é agora instável para quaisquer deslocamentos posteriores de uma parcela saturada.

No caso (c), assumimos que e diminui com a altura na camada

Esses resultados independem das condições e lapse-rates iniciais escolhidos.

A estabilidade de uma parcela de ar de uma camada que é levantada até se tornar completamente saturada

só depende do lapse-rate da temperatura potencial equivalente dessa camada.

Assim,

Se e’/z > 0 a camada saturada é convectivamente ESTÁVEL

Se e’/z = 0 a camada saturada é convectivamente NEUTRA

Se e’/z < 0 a camada saturada é convectivamente INSTÁVEL

Quando uma parcela de ar sobe na atmosfera, uma certa quantidade de trabalho é efetuada pela (ou contra a) força de flutuação (ou empuxo),

dependendo se o movimento é feito a favor ou contra essa força :

• Se a força de flutuação é dirigida para baixo (empuxo negativo), uma certa quantidade de trabalho tem que ser feita

contra a flutuação;

• Se a força de flutuação é dirigida para cima (empuxo positivo), uma certa quantidade de trabalho é feita pela flutuação.

7. CAPE e CINE

O trabalho (W) para deslocar a parcela de uma altura z é dado por:

zzmzmazFW

ou, por unidade de massa,

zzw

Lembrando que a equação do movimento vertical

de uma parcela é dada por:

bT

TTggz

v

vv

'

''

onde a “linha” significa “ambiente”, e “b” é a “flutuação” (ou empuxo)

o trabalho efetuado pela (ou sobre a) parcela, para ir de um nível inicial “zi” para um nível final “zf” será:

f

i

f

i

z

z v

vv

f

i

z

z

dzT

TTgbdzww

'

'

Em uma radiosondagem

- Se zi for a superfície, e zf for o NCE, esse trabalho (negativo) é chamado de CINE (Convective INhibition Energy)

- Se zi for o NCE, e zf for o NPE, esse trabalho (positivo) é chamado de CAPE (Convective Available Potential Energy)

Assim:

NCEz

z v

vv dzT

TTgCINE

sup'

' e

NPE

NCE

z

z v

vv dzT

TTgCAPE

'

'

MAS, qual a relação entre CINE-CAPEe a velocidade vertical (vvert) da parcela ?

bdt

dvz vert

ou

bv

dz

d

dz

dvv

dz

dv

dt

dz

dt

dv vertvertvert

vertvert

2

2

Então, integrando (e omitindo “vert”) :

22

2sup

2

sup

vvbdzCINE NCE

z

z

NCE

22

22NCENPE

z

z

vvbdzCAPE

NPE

NCE

CAPE é a energia cinética máxima (na vertical e por unidade de massa)

que uma parcela adquire ao atingir o NPE.

CINE é a energia cinética mínima (na vertical e por umidade de massa) que uma parcela deve ter na superfície para poder atingir o NCE