Reti Complesse

Indice

• Sistemi complessi e reti complesse

• Esempi di reti reali complesse

• Alcune proprietà: Piccolo mondo, Clustering, Centri.

• Storia della teoria delle reti complesse.

Gli scienziati guardando qualcosa cercano di capire come riesce a fare ciò che fa ovvero il suo funzionamento….

Una delle osservazioni più importanti nella storia della scienza è che ogni cosa è fatta di parti e quindi sembra ragionevole cercare di capire come funziona ogni singola parte.

Poi si scopre che ogni parte è a sua volta fatta di parti e allora si cerca di capire il funzionamento delle singole parti e così via…fino a dimenticare l’oggetto principale dello studio iniziale, il tutto.

Es: corpo umano sistema nervoso, scheletrico, ecc. organi molecole atomi particelle elementari.

Per poi scoprire che anche le piante e le rocce sono fatte dalle stesse particelle elementari.

Sistemi Complessi

Le parti possono essere universali ma il modo in cui interagiscono è specifico di ogni sistema.

Per capire come un sistema sia in grado di fare quello che fa è importante capire la relazione tra le parti (sguardo sistemico)

A volte il problema (se c’è) non è nelle parti ma nella loro relazione (esempio Beer Game)

La teoria dei sistemi complessi è il nuovo (dagli anni ‘80 in poi) approccio della scienza per studiare come le relazioni tra le parti possono dare origine a comportamenti collettivi: il tutto è più delle parti

ES: sistemi sociali formati da relazioni tra individui, cervello formato da relazioni tra neuroni.

Un sistema si dice complesso proprio quando il tutto è più della somma delle parti ovvero quando emergono proprietà dovute all’interazione tra le parti che le singole parti non hanno (ad esempio la mente umana)

Un sistema si dice complicato invece quando il suo funzionamento si può comprendere dal funzionamento delle singole parti (esempio: un’automobile, un orologio svizzero, una navicella schuttle, etc..)

Complesso non vuol dire complicato

A partire dagli anni 80 si è incominciato a studiare la realtà dal punto di vista sistemico riconoscendo in alcuni sistemi dei fenomeni emergenti non spiegabili dal comportamento delle singole parti

La rappresentazione di un sistema complesso come rete aiuta a comprenderne il comportamento.

RETEun insieme di punti e di linee che li connettono

• Reti di organizzazioni• Reti di contagio• Reti di attività (PM): Critical Path Method• Reti di citazioni

Esempi

Email data Mining to discover social networks and emergent communities

http://www.orgnet.com/email.html

Red, blue, or green: departments

Yellow: consultants

Grey: external experts

“Social graph of the email flows amongst a large project team. In addition to the network visualizations, network metrics were generated to see how well the various departments and groups were interacting. The diagram shows the project network soon after the missed deadline. Several of the hubs in this network were under-performing and often came across as bottlenecks. Project managers saw the need for more direct integration between the departments (more project team members). This intervention improved the information flow, and reduced the communication load on the hubs, whose performance improved later in the project”

Forum from Nov 2007 to January 2009

Rete del progetto ManMade

The highest ranked topic is T1.4 (meetings).Most topics are on the periphery indicating that interaction of these topics amongst users has yet to start.

E-mail data from forum

9-11 Terrorist (?) Network

Connecting multiple pairs of dots reveals an emergent network of organization.

www.orgnet.com

rete di terroristi dell’attentato dell’11 settembre 2001

Rete nascosta

http://www.visualcomplexity.comhttp://orgnet.com/http://diseasome.eu/map.html

Rete delle collaborazioni scientifiche

Reti di trasporti

-

Trasporti aerei Trasporti stradali

Reti (catene) alimentari

Esempi:Fornitori-clienti (Trasporto)Macchine-Jobs (assegnamento)Autori-articoliDirettori-consigli d’amministrazioneRicercatori-convegni

I nodi di un insieme sono in relazione grazie a quelli dell’altro

Reti bipartite/2-mode networks

….

Altri esempi di reti reali: naturali o manmade

Social networks:•Collaboration networks of researchers•Phone calls networks•E-mail networks

Technological networks•Electric power grid•Railways•Road networks

Information networks•Citation networks between academic papers•World Wide Web

Biological networks•Food web•Neural networks

La struttura risultante da reti di diverso tipo (persone, proteine, connessioni internet) a volte è simile.

E’ una rete sociale, tecnologica o biologica?

Il funzionamento del sistema si può dedurre dalla sua struttura?

Quali sono i nodi più importanti per il funzionamento del sistema?

• La struttura di una rete ne determina il comportamento (e viceversa)?

• Come si sono formate le reti reali? Sono state create da un essere supremo intelligente o sono emerse da semplici leggi che governano le loro componenti?

• Possiamo costruire reti simili artificialmente?

• Conoscere la struttura delle reti sociali può aiutare a prevenire la diffusione delle malattie o controllare la diffusione dell’informazione?

• Studiare la struttura delle reti tecnologiche (elettriche, Internet) può aiutare ad individuarne i punti critici e renderle più robuste ispirandosi ad esempio alla struttura delle reti naturali?.

Reti Reti Complesse

I nodi di una rete possono essere di diverso tipo e nodi dello stesso tipo avere diversi stati

FRES1010Complex Adaptive Systems

Eileen KraemerFall 2005

Gli archi possono essere di diverso tipo e avere stati differenti

FRES1010Complex Adaptive Systems

Eileen KraemerFall 2005

Diverso colore Diverso spessore

Le reti complesse possono evolvere

FRES1010Complex Adaptive Systems

Eileen KraemerFall 2005

Esiste una definizione esatta di rete complessa?

Che caratteristiche deve avere una rete per essere considerata complessa?

In letteratura si è cercato di definire la complessità a partire da una rete statica con un solo tipo di nodi e di link (Solé, 2004)

A complex network is a network with non-trivial topological features, with patterns of connection between their elements that are neither purely regular nor purely random.

•Randomness: come evolve la rete;

•Heterogeneity: come sono distribuiti i gradi dei nodi

•Modularity: presenza di comunità

Non esiste una definizione esatta di rete complessa.

La figura di Solé ci aiuta a confrontare diversi tipi di complessità quindi sembra dire che la complessità è un concetto relativo e non assoluto.

Una rete complessa

•E’ una rete intermedia tra una completamente ordinata ed una completamente casuale. • Ha una struttura (modularità)•E’ eterogenea: ci sono nodi con grado molto alto ed altri con grado molto basso.

Alcune proprietà comuni delle reti reali complesse

• Reti con tanti nodi: n grande• Numero di link m dello stesso ordine di grandezza di nQuindi la densità è in genere bassa

• La distanza media è molto piccola. Esperimento di Milgram e proprietà di Piccolo Mondo (Small World property).

• Sottoinsiemi molto connessi (alto clustering; modello di Watts e Strogatz)

• I gradi dei nodi hanno una distribuzione eterogenea. Sono presenti pochi nodi con grado molto alto e molti con grado basso (presenza di centri, reti Scale Free)

Esperimento di Milgram (sociologo statunitense)(New York 1933-New York 1984)

• Ad un certo numero di persone in Omaha (Nebraska) e Wichita (Kansas) è stato chiesto di inviare delle lettere a persone obiettivo (in generale sconosciute) a Boston (Massachussetts).

• Ad ogni mittente è stato chiesto di inviare la lettera direttamente all’obiettivo, se conosciuto, oppure ad un suo amico il più possibile vicino all’obiettivo. Agli amici era stato chiesto di fare lo stesso.

Risultato: le lettere che hanno raggiunto l’obiettivo l’ hanno fatto in meno di 6 passaggi (“six degrees”) da qui la conclusione che nelle reti sociali la distanza media tra i nodi è piccola ovvero vale la proprietà di Piccolo Mondo

La proprietà di Piccolo Mondo (Small World)

S. Milgram, The small world problem, Psych. Today, 2 (1967), pp. 60-67.

RettoreLIUC

io

CRUI

Ministro

PresidenteRepubblica

Obama

Implicazioni della proprietà di Small World

Le reti reali oltre alla proprietà di Piccolo Mondo hanno anche la proprietà di avere un alto clustering:

Ad esempio in una rete Facebook (ego-network): i miei amici sono spesso amici tra di loro

Proprietà di alto clustering (presenza di sottogruppi più connessi)

io

La proprietà di Alto Clustering è spesso presente nelle reti sociali insieme a quella di Piccolo Mondo

l=distanza media tra i nodiC=clustering

Costruzione di una rete Small World con Alto Clustering (modello di Watts-Strogatz)

Watts e Strogatz nel 1998 hanno proposto un modello che concilia la proprietà di Alto Clustering con quella di Piccolo Mondo.

A partire da un lattice ad anello si ricollegano i link con una certa probabilità p

Lattice= rete regolare (tutti i nodi hanno lo stesso grado) ed inoltre sono collegati ai loro vicini.

Rete Small World: distanza media bassa e clustering alto

Rete Lattice: Distanza media alta e clustering alto

Rete Random: distanza media bassa e clustering basso

Le reti reali oltre ad essere Piccolo Mondo e avere Alto Clustering hanno anche centri:

reti Scale Free

• Molte reti reali mostrano la proprietà del “rich get richer” e quindi pochi nodi con alto grado e tanti con basso grado e di conseguenza disomogeneità nella distribuzione dei gradi dei nodi.

• Come possiamo generare una rete con queste proprietà?

• Introducendo il meccanismo del “Preferential Attachement” Barabasi et Albert (1999).

Si parte da una rete random iniziale e si aggiungono nodi che si collegano in modo preferenziale, ovvero con probabilità maggiore, a nodi con alto grado.

Random/Small World Scale free

•Robustezza rispetto ad attacchi casuali

•Vulnerabilità rispetto ad attacchi selettivi

Implicazioni della presenza di centri (hub)

9-11 Terrorist (?) Network

Complex Network Theory – An IntroductionNiloy Ganguly

?

La vulnerabilità ad attacchi selettivi può essere una proprietà desiderata: come si possono condurre le indagini in una rete nascosta?

Storia dello sviluppo della teoria delle reti complesse

Leonard Euler (Basilea 1707-San Pietroburgo 1783)

• Eulero ha lavorato in quasi tutte le aree della matematica: geometria, calcolo, trigonometria, algebra, teoria dei numeri ed in diverse aree della fisica.

• Tutto il suo lavoro è raccolto nell’ Opera Omnia, che consiste in 886 libri.

• Ha lavorato vedendo da un occhio solo dal 1738 e completamente cieco dal 1766.

Konisberg "Collina del re“. Nome portato fino al 1946 dalla città capoluogo della Prussia Orientale, poi annessa all'URSS e

chiamata Kalininingrad.

Problema dei 7 ponti di Konigsberg

Problema dei 7 ponti di Konigsberg

E’ possibile attraversare tutti i ponti una volta sola?Con la soluzione di questo problema Eulero fonda la teoria dei grafi (e delle reti)

Soluzione di Eulero: N0=numero di nodi con grado dispari1.Se N0>2 non ci sono soluzioni2.Se N0=2, esiste solo una soluzione a partire da un nodo di grado dispari3.Se N0<2 ci sono soluzioni a partire da qualsiasi nodo

N0=4 no sol

Grafi Regolari

• Dopo la morte di Eulero la teoria dei grafi ha ricevuto contributi da altri importanti matematici quali: Hamilton, Kirchhoff, Cayley

• Gli studi si sono concentrati sulle proprietà dei grafi regolari cioè in cui tutti i nodi hanno lo stesso grado. Ad esempio i lattici in cui tutti i nodi sono legati ai loro vicini.

Grafi RandomPaul Erdos (Budapest 1913-Varsavia 1996)

• Paul Erdos dette importanti contributi alla teoria dei grafi

• Lavorò insieme a Alfred Renyi sull’analisi delle reti sociali trovando delle analogie con i grafi random (in cui l’esistenza di un link tra una coppia di nodi ha probabilità costante p)

• Scrisse 1475 articoli e collaborò con 511 scienziati.

• Era una persona eccentrica

Esempio di Rete random

Pajek 3.13http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pajek/Software per la Social Network Analysis

Software

Per costruire la propria rete Facebook:

NodeXL Template 2014 http://nodexl.codeplex.com/

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VOS viewerhttp://www.vosviewer.com/