rette nel piano cartesiano

Rette nel piano cartesiano

Daniela Valenti, Treccani Scuola


Rette sulla Terra e in cieloPensate di trovare le rette soltanto in matematica?


Equazione di una retta parallela all’asse xLa scia di un aereo fa pensare ad una retta generata da un punto che ‘va dritto senza curvare’. L’animazione ‘scia_retta1.ggb’ visualizza l’idea sul piano cartesiano.Un punto P si muove sul piano, perciò ha coordinate variabili (x, y).In un primo caso P lascia come ‘scia’ una retta r parallela all’asse x.Osservo le coordinate di P e noto che: x varia durante il movimento; y rimane sempre uguale a 2.‘Traduco’ l’osservazione nel linguaggio matematico: La retta r ha equazione y = 2.


Equazione di una retta parallela all’asse yNell’animazione ‘scia_retta2.ggb’ P lascia come ‘scia’ la retta s parallela all’asse y.Osservo le coordinate di P e noto che: x rimane sempre uguale a 3; y varia durante il movimento.‘Traduco’ l’osservazione nel linguaggio matematico: La retta s ha equazione x = 3


Equazione di una rettaNella terza animazione, ‘scia_retta3.ggb’ la retta t non è parallela ad uno degli assi cartesiani; come trovare l’equazione della retta t?Rimane l’idea di osservare le coordinate (x, y) del punto P che percorre la retta, ma ora conviene pensare un segmento della retta come un tratto di strada da percorrere.


Attività 1

Per rispondere a questa domanda dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo è data una scheda di lavoro da completare.

Avete 30 minuti di tempo

Come trovare un’equazione che ‘obbliga’il punto P a percorrere proprio la retta t?

Che cosa abbiamo trovato


Pendenza di un segmento




File ‘Pendenza_segmento’

Pendenza di una retta


File ‘Pendenza_retta’

Equazione della retta per due punti




File ‘Equazione_retta’



Una prima conclusione di carattere generale

L’equazione della retta che passa per due dati punti A(xA, yA) e B(xB, yB) si scrive in una delle forme seguenti: y = mx + q se xA ≠ xB

x = k se xA = xB = k

Equazione della retta per due puntiEsempi e riflessioni


Equazioni del tipo ax + by + c = 0

Equazione della retta in forma implicita


Una seconda conclusione di carattere gene raleSi può sempre scrivere l’equazione di una retta nella seguente forma

ax + by + c = 0che prende il nome di equazione della retta in forma implicita.

Equazione ax + by + c = 0Casi particolari


Equazioni del tipo y = mx + q forma esplicita

Equazioni del tipo x = k

Caratteristiche delle equazioni di una retta


y = -3

5x + 2 y = 2x y = 0 x = - 5 x = 0 2x - 3y + 3 = 0

Sono tutte equazioni di 1° grado: sono somme di monomi con le lettere x e y che compaiono al massimo al 1° grado.Proprio perché rappresentano rette, le equazioni di 1° grado prendono anche il nome di equazioni lineari.

Le lettere x e y indicano nel piano cartesiano le coordinate variabili di un punto P che percorre la retta.Idea alla base della GEOMETRIA ANALITICA dovuta a due matematici francesi del XVII secolo.

Fermat e Cartesio ‘inventano’ la geometria analitica

Fermat (1637)«Ogni volta che due quantità incognite sono legate da un’equazione, si ha una linea che può essere retta o curva»

Cartesio (1637)«Prendendo successivamente infinite diverse grandezze per la linea x, se ne troveranno altrettante infinite per la linea y e così si avrà un’infinità di diversi punti per mezzo dei quali si descrive la curva richiesta».

Un’equazione in x e y stabilisce una dipendenza fra due quantità variabili.


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