סיכום–עיבוד אותות ספרתי התמרת פורייה בזמן רציף.1

שיווין פרסבל.2

הדלתא של דיראק.3

קונבולוציה עם הלם.4

סכום פואסון.5הקשר שבין התמרת פורייה של שרשרת דגימות עם טור פורייה.5.1

זמן ותדר דגימה.6זמן הדגימה.6.1

תדר הדגימה.6.2

תדר הדגימה הזוויתי.6.3

7.RCSRת, רציונאליbiboמערכת ממשית, סיבתית, יציבה .7.1

h(n) עם תגובה להלם LTIתגובת מערכת .8

H(z)פונקצית תמסורת .9

תגובת התדר הבדידה.10

עוצמת תגובת התדר.11

הפאזה של תגובת התדר.12

H(z)תחום ההתכנסות של .13 מכיל את מעגל היחידה, וכל הקטבים נמצאים בתוך מעגל היחידהROCכאשר ה.13.1

1

)20/5תנאי נייקוויסט (הרצאה .14

מתופעת הקיפולע כדי להימנ צריך להתקיים , ועבור תדר דגימה בעל תדר עבור אות רציף .14.1

T היא רכבת הלמים בתדר אות רציף כלשהו, נניח .14.2

שיהיהרציף ולא דגום אות ןהמכפלה שלהם תית.14.3

)20/5משפט הדגימה (הרצאה .15 אם מתקיים ) מתוך מתקיים מוגבל סרט (לכל ניתן לשחזר אות רציף .15.1ע"י המשוואה:.15.2

)20/5 (הרצאה הגרעין דיריכלה, טור הנדסי והתמרת פוריי.16

2

)3/6, תרגול 26/5הורדת קצב דגימה (הרצאה .17M ונרצה להוריד את כמות הדגימות פי נתון אות דגום .17.1

כדי למנוע קיפול בתדר ותדר קטעון 1 עם הגבר LPFנעביר דרך מסנן .17.2

נדגום את האות הבדיד בתדר שזמן המחזור שלו הוא .17.3

)3/6, תרגול 2/6העלאת קצב דגימה (הרצאה .18L ונרצה להעלות את כמות הדגימות פי נתון אות דגום .18.1

נדגום את האות הבדיד בתדר שזמן המחזור שלו הוא .18.2

אפסים ביניהןL-1לוקחים את הדגימות המקוריות ושמים .18.3

לא נעביר דרך מסנן שהתגובה להלם שלו היא .18.4

זהו אינטרפולטור לא טוב, כיוון שכדי לקבל דיוק גבוה צריך לחשב הרבה איברים.18.4.1

לכן נעביר דרך מסנן שהתגובה להלם שלו היא.18.5

3

)3/6, תרגול 2/6 של קצב דגימה (הרצאה ישינוי רציונאל.19Lמעלים את קצב הדגימה ב-.19.1מעבירים דרך מסנן לביצוע אינטרפולציה.19.2מעבירים דרך מסנן להורדת תדרים גבוהים (ניתן להפוך את שני המסננים לאחד).19.3Mהורדת קצב הדגימה ב-.19.4

4

20.FT

21.DTFTעבור סדרה אינסופית.21.1מחזור הפונקציה הוא .21.2

22.DFT 17/6, תרגול 2/6 (הרצאה(Nעבור סדרה סופית באורך .22.1 מבצעיםDFTבכל חישוב כל סדרת איברי ה- .22.2

הכפלות מרוכבות.22.2.1 חיבורים מרוכבים.22.2.2

הערה.22.3

)10/6שוויון פרסבל לסדרה סופית (הרצאה .22.4

)26/5 (התמרת סדרה בדידה אין-סופית) (הרצאה DTFT (התמרת האות הרציף) ל-FTהקשר בין .23

)2/6 (התמרת סדרה בדידה אין-סופית) (הרצאה DTFT (התמרת סדרה בדידה סופית) ל-DFTהקשר בין .24)N איברים (סדרה סופית באורך Nאם נתונה סדרה אינסופית, אשר מורכבת מאפסים בלבד פרט לרצף של .24.1נדגום את הסדרה האינסופית ע"י הצבה.24.2

ומקבלים סדרה סופית.24.3 דגימותNניתן לראות את הסדרה כחלוקה של מעגל היחידה ל-.24.3.1

כיוון שעתהDFT אך תשפיע על ה-DTFT לא תשפיע על ה-M לסדרה סופית באורך Nשינוי אורך הסדרה הסופית באורך .24.4N ולא ל-Mמעגל היחידה יחולק ל-

)2/6הסטה מעגלית של סדרה (הרצאה .25Nנתונה סדרה באורך .25.1Nהסטה מעגלית של הסדרה שקולה להסטת האיברים וקיפול הסדרה על מעגל שהיקפו .25.2

)N+1 ימוקם עם האיבר ה 1 לסדרה (האיבר ה-Nחישוב ההסטה נעשה על בסיס מודולו .25.2.1 שמאלהN-1 ימינה שקול להסטה ב 1כלומר הסטה ב-.25.3DFTהסטה מעגלית של סדרה תחת .25.4

זהויות תחת הסטה מעגלית (עבור סדרה ממשית).25.5

5

)2/6קונבולוציה מעגלית (הרצאה .26 (חייבות להיות זהות באורכן)N סדרות באורך 2נתונות .26.1N=M+L סדרות באורך 2) , ניתן לרפד באפסים לקבלת M והשנייה L סדרות שונות באורכן (אחת באורך 2כדי להשוות בין .26.2

זהויות שכדאי לדעת.26.3

)10/6 באמצעות קונבולוציה מעגלית (הרצאה תחישוב קונבולוציה ליניארי.27 סדרות שונות באורכן2נתונות .27.1

27.1.1.x באורך M27.1.2.y באורך LN=M+Lנרפד באפסים כל סדרה כך ששתיהן יהיו באורך .27.1.3 לכל סדרה בנפרדDFTנחשב .27.1.4 זה בזה (זוגות של אינדקסים זה עם זה)DFTנכפיל את תוצאות ה-.27.1.5 נקודות הראשונות של הקונבולוציה הליניאריתN ב-DTFT על התוצאה ונקבל את הIDFTנבצע .27.1.6

)10/6 מתוך סדרה סופית (הרצאה DTFTחישוב .28Nנתונה סדרה סופית באורך .28.1

עד0 רגילה עם אינדקס מ-DTFT ע"י נוסחת כל האיברים מתאפסים, ניתן לחשב את Nמכיוון שהחל מהמקום ה-.28.2

N-1x[n] של IDFT נציב במשוואה את חישוב הx[n]במקום .28.3 :DTFT לבין ה-DFT נמצא יחס בין סדרת ה-–לאחר פישוט המשוואה .28.4

)10/6 ע"י הכפלת מטריצות (הרצאה DFTחישוב .29

)10/6 ע"י הכפלת מטריצות (הרצאה IDFTחישוב .30

6

)10/6חישוב קונבולוציה ציקלית ע"י הכפלת מטריצות (הרצאה .31

7

OVERLAP-ADDשיטת .32 בין סדרה קצרה לסדרה ארוכה מאוד (או אינסופית)תהרצון לחשב קונבולוציה ליניארי.32.1Nניתן לחלק סדרה אינסופית לאינסוף סדרות סופיות באורך .32.2

תהיהM באורך h לבין סידרה סופית x ת ציקלית בין סדרה אינסופיהקונבולוצי.32.3

(אשר יכולות להיות שונות באורכן) סדרות סופיות2קונבולוציה ציקלית בין חישובניתן לחשב כל חלק קונבולוציה בנפרד לפי .32.4

מבצעים חיבור של מול קונבולוציות 2 איברים בין כל M-1מכיוון שקיימת חפיפה בגודל .32.5

איברים חופפים.

)1/7 (תרגול OVERLAP-SAVEשיטת .33 . כאשרM באורך h ציקלית עם סדרה סופית ה וביצוע קונבולוציNניתן לחלק סדרה אינסופית לאינסוף סדרות סופיות באורך .33.1

N>M הסדרות השוות2, ונבצע קונבולוציה ציקלית בין N כך שתהיה באורך hנוסיף אפסים ל-.33.2 האיברים הראשונים של הקונבולוציה הציקלית מכילה קיפול של איברים, ולכן נזרוק אותםM-1בכל איטרציה נקבל ש.33.3 נשאיר ונחבר את הסדרות המתקבלותN-(M-1) = N-M+1את שאר האיברים, .33.4

)1/7אלגוריתם גרצל (תרגול .34 לדעת את ערכו), ללא חישוב כל הסדרה– מסוימת (לדעת אם יש משהו בתדר, ואם יש DFTחישוב נקודת .34.1

35.ZoomFFT 1/7 (תרגול()k0-k+1 עד k0 (כלומר מ-k רק עבור קטע מסויים באורך DTFTחישוב נקודת .35.135.2.N ,יהיה אורך הסדרה k יהיה מספר התדרים שמעוניינים בהם, לכן L=N/k

8

36.FFT 16/6 בזמן (הרצאה(שיטה זו חוסכת פעולות חישוב כיוון שהיא משתמשת בחישובים שכבר נעשו.36.1, כך שניתן לחצות את הסדרות עד לקבלת זוגות איברים2מניחים כי אורך הסדרה הוא חזקה של .36.2 סדרות: סדרת האיברים במקום הזוגי וסדרת האיברים במקום האי-זוגי2בדרך כלל חוצים ל-.36.3, ניתן לרפד באפסים את אורך הסדרה.2אם האורך אינו חזקה של .36.4 היא FFT מקדמים/תדרים כאשר סיבוכיות ה-N עבור חישוב היא DFTסיבוכיות ה-.36.5 שלהDFTכניסת התרשים היא הסדרה בזמן, ומוצאה הוא ה-.36.6הצבת כניסה מול יציאה הוא ע"י התאמת הביטוי הבינארי כך שסיביות הכניסה הן היפוך סדר סיביות היציאה.36.7

011 = 3 מול 110 = 6למשל, .36.7.1 הכפלות2 ובכך לבצע הכפלה יחידה במקום 1-ה"פרפר" הוא ביצוע הכפלה מרוכבת לפני הפיצול, ולאחר מכן ניתן להכפיל ב .36.8

מרוכבותבצומת מתבצע חיבור הקווים ועל הקו מתבצע כפל בקבוע.36.8.1

37.FFT 16/6 בתדר (הרצאה( שלהIDFTכניסת התרשים היא הסדרה בתדר, ומוצאה הוא ה-.37.1

9

)7/7 ניתוח התדר (הרצאה – חלונותחלון ריבועי.38

SINCהאות בתדר יהיה .38.1

Bartletחלון .39חלון משולש.39.1

Hannחלון .40N-2 המקדמים הקיצוניים מתאפסים בחלון זה, לכן סדר המסנן הוא 2 –חשוב .40.1

Hammingחלון .41אונות הצד קבועות.41.1

Blackmanחלון .42

Kaiser-Besselחלון .43 (היחס בין רוחב החלון לגובה האונה) ישפיע בעיקר על גובה אונות הצדβהמשתנה .43.1 ישפיע בעיקר על רוחב האונה המרכזיתMהמשתנה .43.2

10

Nאורך החלון = Mסדר המסנן =

רוחב אונההגדרה בזמן של החלוןמרכזית

חלון

-13.5dB0.090.7521מלבני

-41dB0.00220.01953Hamming

-31dB0.00630.05544Hann(raised

cosine)

-57dB0.00020.001774blackman

זוגי או א"ז( Nמשולש )הגדרה בזמן תלויה אם בתדר קל להיווכח כי זוהי ההתמרה של חלון מלבני בריבוע

-25dB0.050.4525bartlett

תלוי בפרמטר

0פונקצית בסל מסדר

Kaiser

11

)7/7 (הרצאה מדידת תדר של סינוסים/קוסינוסים.44נתון אות.44.1

Tsנדגום אותו בתדר .44.2

נכפיל אותו בחלון.44.3

לסדרת הדגימותDFTנבצע .44.4

ונקבל כאשר w = wmנביט בתדר מסויים .44.5

תהיה זניחהwm גדול מחצי רוחב האונה הראשית, אז ההפרעה לאות בתדר אם .44.6

יהיה גדול מגובה אונות הצדבתנאי שהביטוי .44.6.1

12

מסננים ספרתייםFIR (finite impulse response)מערכת .45

מתקיים לכל אם .45.1

IIR (infinite impulse response)אחרת, זוהי מערכת .45.2 נשתמש כאשר יש לנו קטביםIIRבמסנן .45.2.1 הוא IIR של ןהחיסרו.45.2.2

תאין לו פאזה ליניארי.45.2.2.1קשה לקבל תכנונים שלא מממשים ע"י מסננים סטנדרטיים.45.2.2.2בהמרה ממסנן ספרתי לאנלוגי יש חשש לאי יציבות המערכת.45.2.2.3

מקייםH(z) הופכי ל-G(z)מסנן .46

)11/7, הרצאה 8/7 (הרצאה תגובת הפאזה של מסננים ספרתיים.47

המצבים בהם הפאזה אינה רציפה.48

אינו מוגדר) arctan, הפאזה אינה מוגדרת (אם החלק המדומה .48.1

או ) וגם מתקיים (הפאזה היא ואם אם החלק המדומה .48.2

-), במקרה זה יש קפיצת פאזה של (הפאזה היא מקיימתGLP מוכללת ת עם פאזה ליניאריRCSR מערכת –טענה .49

)11/7 מוכללת) (הרצאה ת(מסננים עם פאזה ליניארי GLP RCSR סוגי .501סוג .50.1

זוגי, .50.1.1

) (N=2Mסדר המסנן הוא .50.1.22סוג .50.2

אי-זוגי, .50.2.1

) (N=2M+1סדר המסנן הוא .50.2.2

3סוג .50.3 זוגי, .50.3.1 אלא למסננים גוזרים או מסנני הילברטLP,HP,BP,SPלא מתאים למסננים מסוג .50.3.2

4סוג .50.4

אי-זוגי, .50.4.1

)14/7פולינומי צ'בישב (הרצאה .51

תכונות.51.1

51.1.1.

51.1.2.TN מספר פעמים פרופורציונאלי ל-1- ל 1 מתנדנד בין N

היא פונקציה מונוטונית עולהTN, עבור .51.1.3

פונקציה זוגית TN זוגי Nאם .51.1.4 פונקציה אי-זוגית TN אי-זוגי Nאם .51.1.5

זוגי Nאם .51.1.6

אי-זוגי Nאם .51.1.7

13

)11/7 (מעביר נמוכים) (הרצאה LPF תכנון .52

, תדרי קטעון - .52.1

תחום המעבר - .52.2

תחום העברה - .52.3

תחום העצירה - .52.4

משתני עזר:.52.5

52.5.1.

52.5.2.

N –סדר המסנן .52.6כמות הקטבים הקיימים בפונקצית המסנן.52.6.1

dBמדידת .52.7

3dB הנקודה בה האמפליטודה יורדת ב- – 3dBנקודת ה .52.8

)14/7 (מעביר תדר) (הרצאה BPFתכנון .53

, ,, תדרי קטעון - .53.1

, תחומי המעבר - .53.2

תחום העברה - .53.3

, תחום העצירה - .53.4

)11/7 (הרצאה BW (ButterWorth) מסנן .54מכיל רק קטבים ואין לו אפסים.54.1 המסנןתפונקצית אמפליטוד.54.2

מתקבלת פונקציה מונוטונית יורדת.54.2.1

, ,, ןבהינת.54.3

Nנחשב את .54.3.1

שבתחום)י (בד"כ נבחר את המינימאלנחשב .54.3.2

להיות פונקצית התמסורת ע"י חישוב הקטביםנחשב .54.3.3

שליליReניקח רק את הקטבים אם רכיב .54.3.3.1מכיוון שהקטבים באים בזוגות, מספיק לחשב קוטב שלילי, ואז הצמוד שלו יהיה גם קוטב בפונקצית התמסורת.54.3.3.2

14

)14/7 (הרצאה 1 סוג – מסנן צ'בישב .55מכיל רק קטבים ואין לו אפסים.55.1 המסנןתפונקצית אמפליטוד.55.2

מתקבלת פונקציה מונוטונית יורדת.55.2.1

, ולכן, אז אם .55.2.2

קובע את הגליות שבתוך תחום העברהאפשר להסיק כי .55.2.3

זוגי Nאם .55.2.4

אי-זוגי Nאם .55.2.5

, ,, ןבהינת.55.3

נחשב .55.3.1

שבתחום)י (בד"כ נבחר את המינימאלכאשר .55.3.1.1

Nנחשב את .55.3.2

שבתחום)י (בד"כ נבחר את המינימאלנחשב .55.3.3

להיות פונקצית התמסורת ע"י חישוב הקטביםנחשב .55.3.4

שליליReניקח רק את הקטבים אם רכיב .55.3.4.1מכיוון שהקטבים באים בזוגות, מספיק לחשב קוטב שלילי, ואז הצמוד שלו יהיה גם קוטב בפונקצית התמסורת.55.3.4.2

15

)14/7 (הרצאה 2 סוג – מסנן צ'בישב .56מכיל קטבים וגם אפסים.56.1אלה מסננים שמונוטונים בתדרים נמוכים וגליים בתדרים גבוהים.56.2 המסנןתפונקצית אמפליטוד.56.3

תהיה מונוטונית יורדת , ולכן, אז אם .56.3.1

תהיה מתנדנדת אך חסומה, כלומר , ולכן, אז אם .56.3.2

, אז אם .56.3.3

זוגי Nאם .56.3.3.1

אי-זוגי Nאם .56.3.3.2

לדקדה0dB זוגי, הניחות הוא Nעבור .56.3.3.3 לדקדה20dB אי-זוגי ואז הניחות יהיה N, חשוב לדרוש 0אם נרצה דעיכה ל-.56.3.3.4

, ,, ןבהינת.56.4

נחשב .56.4.1

שבתחום)י (בד"כ נבחר את המינימאלכאשר .56.4.1.1

Nנחשב את .56.4.2 אי-זוגיNנבחר .56.4.2.1

שבתחום)י (בד"כ נבחר את המינימאלנחשב .56.4.3

)U) והאפסים (V להיות פונקצית התמסורת ע"י חישוב הקטבים (נחשב .56.4.4

כל האפסים מקבלים ערך סופי זוגי Nאם .56.4.4.1∞ קיים אפס ב- אי-זוגי Nאם .56.4.4.2

(אחרת נקבל ערך לא מוגדר)1- ב , אז נחליף את אם .56.4.4.3

)14/7 (הרצאה מסנן אליפטי.57מסנן המתבסס על פונקציה אליפטית.57.1

ת היא פונקצית צ'בישב רציונאלי.57.2

הקטן מבין המסננים, דבר החוסך ברכיבים/חישובים במעגלNלמסנן יש גליות בתחום המעבר וגם בתחום הדעיכה, אך יש לו .57.3אנלוגי/דיגיטלי (בהתאמה)

16

)14/7 (הרצאה המרה בין מסננים.58HP למסנן LPהמרה ממסנן .58.1

BP למסנן LPהמרה ממסנן .58.2

BS למסנן LPהמרה ממסנן .58.3

LP למסנן LPהמרה ממסנן .58.4

)22/7, תרגול 21/7 (הרצאה התמרה בי-לינארית.59נגדיר העתקה בי-לינארית והעתקה הפוכה.59.1

הקשר בין מסנן אנלוגי למסנן ספרתי.59.2כדי לתכנן מסנן ספרתי, יש להעבירו למרחב האנלוגי, לחשב את המסנן הרצוי ולהחזיר למרחב הספרתי.59.3

, ,, ןבהינת.59.4

נבצע המרת משתניםכאשר .59.4.1

לפי המסנן שנבחרנחשב .59.4.2

לקבלת תנבצע העתקה בי-ליניארי.59.4.3

)21/7 (הרצאה בתדר צר) NOTCH ) BS תכנון .60 הוא מספר ממשיBפונקצית התמסורת, כאשר .60.1

60.1.1.Bקובע את רוחב ה NOTCH

תגובת התדר תהיה.60.2

, ונקבלת ספרתי, נבצע התמרה בי-ליניאריNOTCHלחישוב .60.3

17

)15/7, תרגול 21/7 (הרצאה FIR מסנן .61 אין קטביםFIRלמסנן .61.1

), למעט יוצאי דופןהאפסים מגיעים ברביעיות (.61.2

GLPטבלת תכונות .61.3IIIIIIIVטיפוסאי-זוגיזוגיאי-זוגיזוגיסדר

h[n]סימטריה של סביב מרכז המסנן

אנטי סימטריאנטי סימטריסימטריסימטרי

אנטי סימטריאנטי סימטריסימטריסימטריA(w)סימטריה של A(w)מחזוריות של

00

00שרירותישרירותי

שרירותי00שרירותי

הפרמטרים מחושבים לפי:Kaiserעבור חלון .61.3.1 מקבלים חלון מלבניכאשר .61.3.1.1

IRT בשיטת FIR תכנון מסנן .61.4 הרצויהתגובת המסנןמגדירים את .61.4.1

את טיפוס המסנן הרצוי מתוך אוסף הדרישות הנתונות GLP מתוך טבלת הבוחרים.61.4.2

לפי הבחירה שנעשה נוכל להגדיר את.61.4.2.1

תגובת התדר של המסנן האידיאלי.61.4.3

את מחשבים.61.4.4

As ואת Apנחשב את הנחתת האות ע"י חישוב .61.4.5

גבוה יותר מערכים שמצאנוAs נמוך יותר וערך Apמתוך טבלת החלונות נבחר חלון שנותן ערך .61.4.5.1נחשב את סדר המסנן.61.4.6

w = wp-wsנחשב את רוחב התדר הנחוץ .61.4.6.1

מהביטויMלפי המסנן שבחרנו, נדרוש שרוחב האונה המרכזית שלו יהיה קטן מרוחב התדר הנחוץ, ונחלץ את .61.4.6.2, עלינו להתאים את סדר המסנן הרצוי לטיפוס הנבחר (זוגי\אי-זוגי)GLPלפי טיפוס המסנן שבחרנו בטבלת ה.61.4.6.3

הגדרת איברי המסנן.61.4.7n = 0,1,…,Mקוצצים את סדרת איברי המסנן האידיאלי כך ש: .61.4.7.1

מציאת פונקצית המסנן.61.4.8 בפונקצית החלון שבחרנוMמציבים את .61.4.8.1כופלים את פונקצית החלון במסנן האידיאלי שבחרנו.61.4.8.2

18