Review ofOrdinary Differential

Equations2301520 Fundamentals of AMCS

2

คำ��นิ�ย�ม ให้ f(t) เป็ นิฟั�งก์�ชั�นิของ t บนิชั�วง (a,b) จะได้ว��สมการอนุ�พันุธ์�สามญ คำ�อสมก์�รที่"#เก์"#ยวของก์�บ t, ฟั�งก์�ชั�นิf(t), และอนิ&พั�นิธ์�ของ f(t)

เร�ม�ก์จะแที่นิฟั�งก์�ชั�นิ f(t) ด้วย y ในิ ODE ตั�วอย��ง

สมการเชิ�งอนุ�พันุธ์�สามญ (ODE)

2

2 2

4 3

0

11

2

t

dyy

dty e

d ydt t

ty y ty t

3

สมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�เชั�งเสนิ (linear differential equation) เป็ นิสมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�ที่"#อย*�ในิร*ป็ของ

ถ้�เข"ยนิสมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�แบบข�งบนิไม�ได้เร�จะเร"ยก์ว�� เป็ นิสมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�ไม�เชั�งเสนิ (non-linear

differential equation)

Linear Differential Equation

11 1 0

n nn na t y t a t y t a t y t a t y t g t

4

ผลเฉลย (Solution) ของสมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�บนิชั�วงt∈(a,b) คำ�อฟั�งก์�ชั�นิ y(t) ที่"#ที่��ให้สมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�ด้�ง

ก์ล��วเป็ นิจร�งเม�#อ t∈(a,b)

ตั�วอย��ง จงแสด้งว�� เป็ นิผลเฉลยของ ส��ห้ร�บ

จร�งๆแลวสมก์�รจ�ก์ตั�วอย��งนิ"/ม"ผลเฉลยม�ก์ก์ว��ห้นิ0#ง ตั�วอย��งผลเฉลยอ�#นิๆ คำ�อ

เป็ นิตันิ

Solution

32y x x

24 12 3 0x y xy y 0x

1 3 12 2 2, 9 , 7y x x y x x y x x

5

เง�#อนิไขเร�#มตันิ (initial condition(s)) คำ�อเง�#อนิไขห้ร�อเซตัของเง�#อนิไขที่"#บอก์คำ��ของผลเฉลยห้ร�อคำ��ของอนิ&พั�นิธ์�

ของผลเฉลย ณ จ&ด้ใด้จ&ด้ห้นิ0#งโด้ยเฉพั�ะ เง�#อนิไขเร�#มตันิจะเข"ยนิอย*�ในิร*ป็

และ/ ห้ร�อ

ตั�วอย��ง จงแสด้งว�� เป็ นิผลเฉลยของ

Initial Condition(s)

0 0y t y 0k

ky t y

32y x x

2 1 34 12 3 0, 4 , 4

8 64x y xy y y y

6

ชั�วงคำว�มสมเห้ตั&สมผล (interval of validity) ของ ป็�ญห้�สมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�ที่"#ม"เง�#อนิไขเร�#มตันิ (initial

value problem) คำ�อชั�วงที่"#ให้ญ�ที่"#ส&ด้ที่"#เป็ นิไป็ได้โด้ยที่"#ผลเฉลยที่"#ได้ย�งคำงสมเห้ตั&สมผลและชั�วงด้�งก์ล��วตัองรวมคำ��

อย*�ด้วย

Interval of Validity

0t

7

ผลเฉลยเฉพั�ะ (particular solution) ของสมก์�รเชั�ง อนิ&พั�นิธ์�คำ�อผลเฉลยที่"#ไม�ม"ตั�วคำงคำ�� arbitrary constant

และสอด้คำลองก์�บเง�#อนิไขเร�#มตันิ

Particular Solution

8

ผลเฉลยที่�#วไป็ (general solution) ของสมก์�รเชั�ง อนิ&พั�นิธ์� คำ�อผลเฉลยที่"#ม"ตั�วคำงคำ�� arbitrary constant

โด้ยไม�คำ��นิ0งถ้0งเง�#อนิไขเร�#มตันิ ผลเฉลยที่�#วไป็เป็ นิผลเฉลยที่"#อย*�ในิร*ป็ที่�#วไป็ม�ก์ที่"#ส&ด้ และ

ส�ม�รถ้แป็ลงเป็ นิผลเฉลยเฉพั�ะได้ที่&ก์ๆ ผลเฉลยเม�#อ ก์��ห้นิด้คำ��ให้ arbitrary constant

General Solution

9

ผลเฉลยชั�ด้แจง (explicit solution) คำ�อผลเฉลยในิร*ป็

ผลเฉลยโด้ยป็ร�ย�ย (implicit solution) คำ�อผลเฉลยในิร*ป็

Explicit/Implicit Solution

y f t

, 0f y t

10

โด้ยที่�#วไป็แลวสมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�อ�นิด้�บห้นิ0#งในิร*ป็แบบที่�#วไป็ที่"#ส&ด้จะเข"ยนิได้เป็ นิ

ซ0#งไม�ม"ส*ตัรที่�#วไป็ส��ห้ร�บผลเฉลย ม"สมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�อ�นิด้�งห้นิ0#งในิร*ป็แบบพั�เศษบ�งก์รณ"ที่"#ม"ส*ตัร

ในิก์�รห้�ผลเฉลย อย��งเชั�นิ◦ Linear Equations

◦ Separable Equations

◦ Exact Equations

First Order Differential Equations

,dy

f y tdt

dyp t y g t

dt

dyN y M t

dt

, , 0dy

M t y N t ydt

11

โด้ยที่�#วไป็แลวสมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�อ�นิด้�บสองในิร*ป็แบบที่�#วไป็ที่"#ส&ด้จะเข"ยนิได้เป็ นิ

ถ้� เร�เร"ยก์สมก์�รเชั�งอนิ&พั�นิธ์�นิ"/ว��เป็ นิ สมก์�ร homogeneous ถ้�ไม�ใชั� จะเร"ยก์ว��เป็ นิสมก์�ร

nonhomogeneous

Second Order Differential Equations

p t y q t y r t y g t

0g t

12

บ�งคำร�/งเร�ไม�ส�ม�รถ้ห้�ผลเฉลยที่"#อย*�ในิร*ป็แบบที่"#ชั�ด้เจนิได้ แตั�เร�ส�ม�รถ้ด้*พัฤตั�ก์รรมของผลเฉลยโด้ยก์�รว�ด้ก์ร�ฟั

Direction Fields ได้ ตั�วอย��ง

Direction Fields

y x y

13

Direction Fields (ต่�อ)