revisão av2

Matemática Discreta

AV2

REVISÃO

1 - Princípio Fundamental da Contagem1 - Princípio Fundamental da Contagem

SUMÁRIO:


AULA 2

CONJUNTOS CONTÁVEIS E NÃO CONTÁVEIS / CONTAGEM


Conjuntos Contáveis e não Contáveis / Contagem

Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem




1. A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números de quatro dígitos existem.




O primeiro dígito pode ser qualquer um entre 0 a 9, de modo que há 10 possibilidades para a primeira tarefa.

Da mesma forma, existem 10 possibilidades para o segundo dígito, 10 para o terceiro dígito e 10 para o quarto dígito.Portanto, pelo princípio da multiplicação:

10 x 10 x 10 x 10 = 10.000




2. A última parte do seu número de telefone conte, quatro dígitos. Quantos desses números existem se um mesmo número não puder ser repetido.




Não podemos ter repetições.

Temos 10 possibilidades para o primeiro, 9 para o segundo, 8 para o terceiro e 7 para o quarto.

Portanto: 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040




3. Na linguagem de programação BASIC original, um identificador tem que ser uma única letra ou uma letra seguida de um único dígito. Quantos identificadorespodem ser formados?




Tarefa 1: Escolher uma letra para o identificador

Total de possibilidades de escolha de uma letra = 26

Tarefa 2: Escolher uma letra e um dígito para o identificador usando o Princípio da Multiplicação onde:O Total de possibilidades de escolha de uma letra seguida de um dígito = 26. 10

Como a tarefa 1 e a tarefa 2 são procedimentos disjuntos (“ou”), pelo Princípio da Adição, temos que:

Total de identificadores que podem ser formados = 26 + 26 . 10 = 286.




4. Uma senha de usuário para acessar um sistema computacional consiste em três letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes existem?




Tarefas 1, 2 e 3 – Escolher uma letra para a senha.Tarefas 4 e 5 – Escolher um dígito para a senhaSeja o esquema

L1 L2 L3 D1 D2 Posição L1 – 26 possibilidadesPosição L2 - 26 possibilidadesPosição L3 - 26 possibilidades

Posição D1 – 10 possibilidadesPosição D2 – 10 possibilidadesPelo Princípio da Multiplicação o total de senhas = 26 . 26. 26. 10 . 10 = 263. 10


AULA 3

ANÁLISE COMBINATÓRIA E TEOREMA BINOMIAL


Análise Combinatória e Teorema Binomial



fatorial



P P



I



!



1)Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. De quantas maneiras elas poderão se acomodar?



27.907.20015.16.17.18.19.20!14

!14.15.16.17.18.19.20

)!620(

!20620

A



2) Encontre o número de palavras de três letras, com letras distintas, que podem ser formadas com as letras a, b, c, d, e e f.



Neste caso a ordem das letras faz diferença, logo o número de palavras é dado por:

1204.5.6!3

!3.4.5.6

)!36(

!636

A



3) Uma anfitriã deseja convidar 6 pessoas para jantar de uma lista de 14 amigos. De quantas maneiras ela pode escolher seus convidados?



Possibilidades de escolhas de 6 entre 14 convidados:A ordem de escolha não interessa, portanto:

003.36

14



4) Quantas saladas de frutas diferentes, podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?



Total de saladas de frutas =

565

8

saladas



5) (F.C. CHAGAS) A sentença

102

n

n

é verdadeira se, e somente se, n! for igual a?



!!.2

!)1)(2(2

n

nnn

n

n

= 10 (n +1) (n +2) = 20 n2 + 3n -18 = 0

(n + 6) (n - 3) = 0 n= -6 (não serve) ou n = 3 (serve)

3! = 3.2.1= 6



EXERCÍCIO 6:


AULA 6

FUNÇÕES


Funções Compostas


Função Inversa


Função Afim

e (b ϵ R)


Função Afim


Função - Gráficos

≠ 0 é


Função - Gráficos


Função – Variação do sinal da Função



1) Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês.

a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).

b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00?

c) O que representa o coeficiente linear dessa equação?



a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).



b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00?



c) O que representa o coeficiente linear dessa equação?

R: Parte fixa do salário



2) Numa certa cidade operam duas empresas de táxis.

A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e

por quilômetro rodado R$ 3,00 enquanto que a

empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$

4,00. Pede-se:

a) as funções de cada empresa e

b) o gráfico comparativo entre elas.



a) funções de cada empresa

xxFxxE 4)(36)(



b) o gráfico comparativo entre elas.

E(x) e F(x) são crescentes

E(x) > 0 se x> -2E(x) < 0 se x< -2

F(x) > 0 se x > 0F(x) < 0 se x < 0



xxFxxE 4)(36)(


AULA 7

TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES NO PLANO CARTESIANO


Função Quadrática e sua representação gráfica



Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0



1) Em cada um dos itens abaixo, ache o vértice. Classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.

a)

b) y = 2x2 – x – 1.



(a)O vértice da parábola é:

V (-b/2a, -Δ/4a) logo:

Δ = b2 – 4ac = 64 - 4.1.9 = 64 – 36 = 28

V = (-8/2, -28/4) = (-4, -7)



(b) O vértice da parábola é:


Δ = b2 – 4ac = 1 - 4.(2).(-1) = 9

V = (1/4, -9/8)

y = 2x2 – x – 1



2) Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.



2) Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.

∆ ≥ 0b² – 4ac ≥ 0(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 04 – 4 * (6m – 12) ≥ 04 – 24m + 48 ≥ 0– 24m ≥ – 48 – 4– 24m ≥ – 5224m ≤ 52m ≤ 52/24m ≤ 13/6O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.



3) A água que sai de um esguicho percorre uma trajetória parabólica que pode ser descrita por:3x2 + 20x.Sabendo-se que f(x) é a altura em metros, determine a altura máxima atingida pelo esguicho.



F(x) = -3x2 + 20x


Δ = b2 – 4ac = 400 - 4.(-3).(0) = 20

V = (-20/-6, -400/-12) = (20/6, 400/12)

A altura máxima será o Y do vértice:

400/12 = 33,33 metros

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