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REVISÃO PROVA 2Monitoria de Lógica
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TEOREMA DE HERBRAND
Seja S um conjunto de cláusulas. S é INSATISFATÍVEL se e somente se EXISTE UM CONJUNTO FINITO DE INSTÂCIAS BÁSICAS das cláusulas de S que é INSATISFATÍVEL.
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TEOREMA DA COMPACCIDADE
Seja G um conjunto de fórmulas da lógica proposicional. G é SATISFATÍVEL se e somente se TODO SUBCONJUNTO FINITO DE G É SATISFATÍVEL. O teorema é válido mesmo que G seja infinito.
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TEOREMA DE LÖWENHEIM-SKOLEM
Para toda assinatura σ, toda σ-estrutura infinita M e todo cardinal infinito k > |σ| existe uma σ-estrutura N tal que |N| = k e Se k < |M| então N é uma subestrutura de M Se k > |M| então N é uma extensão de M
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SISTEMAS AXIOMÁTICOS
É um conjunto qualquer de axiomas, que podem ser usados, todos ou só alguns, para a derivação lógica de teoremas.
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AXIOMAS DE EUCLIDES
Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos.
Axioma II: Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta.
Axioma III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.
Axioma IV: Todos os ângulos retos são iguais. Axioma V: Se uma reta, ao cortar outras duas,
forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.
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AXIOMAS DE HILBERT
Termos Indefinidos Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das Paralelas Axiomas de Continuidade Axiomas sobre Planos
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FUNÇÕES RECURSIVAS
Motivação Limites da computação
O que é possível resolver com um computador?
Todos os problemas, mais cedo ou mais tarde, se renderão aos computadores?
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ARITMÉTICA DE PEANO
))()(( yxysxsyx
))(0( xsx
)())))(()(()0(( yyxsxx
))0(( xxx
))())((( yxsysxyx
)0)0.(( xx
)).())(.(( xyxysxyx
Soma
Multiplicação
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FUNÇÕES COMPUTÁVEIS
Como definir / delimitar o conjunto das funções naturais que sejam calculáveis por um algoritmo baseado nas operações aritméticas?
FUNÇÕES SOBRE N
FUNÇÕES CALCULÁVEIS
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TIPOS DE FUNÇÕES
1. Iniciais 2. Recursivas Primitivas 3. Recursivas Parciais 4. Recursivas
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1. FUNÇÕES INICIAIS
3 tipos: Constante
Sucessor
Projeção
mnnnnC kkm ),...,,,( 1210
1)( nnS
ikki nnnnP ),...,,( 110 )( ki
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2. RECURSIVAS PRIMITIVAS
É o menor conjunto de funções que: Contém as funções iniciais
É fechado por Substituição Recursão primitiva
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2. RECURSIVAS PRIMITIVAS
Substituição
Recursão primitiva Se , onde
Fhhhg p 110 ,...,,, Fnhnhnhg p ))(),...,(),(( 110
FfFhg ,
),,),((),1(
)(),0(
mnnmfhnmf
ngnf
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2. RECURSIVAS PRIMITIVAS
Será que as funções recursivas primitivas contém todas as funções computáveis? Não! Ex.: Função de Ackermann
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FUNÇÃO DE ACKERMANN
A(m,n) = n + 1 se m = 0n + 1 se m = 0
A(m-1, 1) se m > 0 e n = 0A(m-1, 1) se m > 0 e n = 0
A(m-1, A(m, n-1)) se m > 0 e n > A(m-1, A(m, n-1)) se m > 0 e n > 00
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FUNÇÃO DE ACKERMANN
Cresce rapidamente: Ex.: valor de A(4, 2)
É computável Não é recursiva primitiva
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FUNÇÃO DE ACKERMANN
FUNÇÕES CALCULÁVEIS
FUNÇÕES REC. PRIMITIVAS
FUNÇÕES SOBRE N
A(m, n)
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3. FUNÇÕES RECURSIVAS PARCIAIS
São as funções RECURSIVAS PRIMITIVAS estendidas com o operador μ:
: representa o menor tal que),() ( yxRy
y ),( yxR
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3. FUNÇÕES RECURSIVAS PARCIAIS
Se não existir tal que seja verdadeiro? A função não para (loop infinito).
As funções recursivas parciais correspondem ao conjunto de funções computáveis.
),( yxRy
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4. FUNÇÕES TOTAIS / RECURSIVAS
Dada uma função recursiva PARCIAL f. Se f sempre para, dizemos que f é uma
FUNÇÃO TOTAL.
Ou então, dizemos que f é uma FUNÇÃO RECURSIVA.
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4. FUNÇÕES TOTAIS / RECURSIVAS
Toda função recursiva primitiva é TOTAL / RECURSIVA.
A função de Ackermann é TOTAL / RECURSIVA.
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RESUMO
FUNÇÕES CALCULÁVEIS = PARCIAIS
FUNÇÕES REC. PRIMITIVAS
FUNÇÕES SOBRE N
A(m, n)
FUNÇÕES TOTAIS
S, C, P
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CORRETUDE/COMPLETUDE
Corretude Se toda sentença demonstrável é verdadeira
Completude Se toda sentença verdadeira é demonstrável
Existe Sistema Axiomático Correto e Completo?
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MÉTODO DA DIAGONALIZAÇÃO
Gera Paradoxos Paradoxos de Russel
Paradoxo do mentiroso Paradoxo do condenado The “Salting” Problem Paradoxo do Barbeiro
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TEOREMA DA INCOMPLETUDE DE GÖDEL
Não existe Sistema Axiomático Correto e Completo Seja ᵩ uma sentença de PROP definida como
ᵩ = eu não sou demonstrável Se é verdadeiro então é falso Se é falso então é verdadeiro
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REVISÃO PROVA 2Obrigado!