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REVISÃO DE
MATEMÁTICA BÁSICA
AULA 9
Proporcionalidade
Como poderíamos
representar o
pensamento da
Mafalda em linguagem
matemática?
Mafalda está comparando a quantidade de nomesSilva que consta na lista telefônica com o total denomes da lista.
E está comparando o número de chineses com o totalda população mundial.
E finalmente ela compara estas duas razões entre si,concluindo que as duas razões são equivalentes. Éisto que entendemos quando dizemos que estão namesma proporção.
=
A população da China é de 1,307 bilhões de pessoas ea população mundial de 6,6 bilhões de pessoas.
listadanomesdetotaln
Silvanomesden
º
º
mundialpopulaçãodatotaln
chinesesden
º
º
listadanomesdetotaln
Silvanomesden
º
ºmundialpopulaçãodatotaln
chinesesden
º
º
5
1
10
22,0
6,6307,1
bilhõesbilhões
O que você pode dizer da população da China em relação à
população mundial?
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.Há um documento de cercade 1650 a.C., conhecidocomo papiro de Rhind, ondeum escriba chamado Ahmesmostra problemas docotidiano dos egípciosenvolvendo conceitosmatemáticos, incluindoproporção.
Vamos a um fato interessante!
Imagem: Paul James Cowie / Public Domain
Razão e proporção
Uma razão é uma divisão de duas
grandezas, que nos mostra quantas vezes
uma é maior ou menor que a outra.
Exemplos:
Uma proporção é uma igualdade que compara razões. Ela significa que as quantidades descritas
podem não ser iguais, mas estão igualmente
divididas.
Como se tivéssemos um jarra com 2 litros (2000ml)de água com 20 gramas de açúcar.
Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de água e 2,5gramas de açúcar.
A quantidade é diferente, mas a proporção semantém, equacionamos:
Estas razões indicam que sempre há 100 vezes mais
água que açúcar em razão do volume por massa
(ml/g).
Proporcionalidade Inversa
Como o nome indica, é aproporcionalidade entre um número eo inverso de outro.
A principal propriedade deste tipo deproporção é que se mantida, aocontrário do que acontece no exemploanterior, quanto MAIS de umelemento da proporção MENOSde outro.
Vejamos um exemplo:
Um motorista profissional que viajavaconstantemente de Guarapuava aFlorianópolis, fez a seguinte tabela, apóscalcular a velocidade média.(V=Distância/tempo)
• Quando a velocidade aumenta, o queacontece com tempo gasto na viagem?
• Quando a velocidade dobra o que acontececom o tempo gasto na viagem?
Distância percorrida
Velocidade média
Tempo gasto
560 Km 60 Km/h 9h20min
560 Km 70 Km/h 8h
560 Km 80 Km/h 7h
560 Km 120 Km/h 4h40min
560 Km 140 Km/h 4h
Chamamos de regra de três uma das técnicas
de resolução de problemas que
envolvem grandezas proporcionais.
REGRAS DE TRÊS SIMPLES
E COMPOSTA
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
A regra de três simples é um processo prático para
resolver problemas que envolvam proporção
contendo quatro valores dos quais conhecemos três
deles.
Devemos, portanto, determinar um valor a partir
dos três já conhecidos.
Essas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
A regra de três simples relaciona duas grandezas diferentes através de uma
proporcionalidade entre elas.
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Com 600 g de farinha de trigo, eu emeu irmão fazemos 50 biscoitos.Quantos biscoitos poderemos fazercom 1800 g de trigo?
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Solução
Montamos a tabela e utilizamos o “x” para representar ovalor desconhecido. Identificamos se essas grandezas sãodiretamente ou inversamente proporcionais e posteriormenteaplicamos a regra de três simples.
Como será que vamos fazer isso?
Gramas de trigo Quantidade de biscoitos
600 g 50
1800 g ?
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.Com 600 gramas de farinha de trigoproduzimos 50 biscoitos. Então,logicamente, com mais farinha de trigo,produziremos mais biscoitos.
É preciso comparar as duas grandezas através do raciocínio lógico.
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Logo, se uma grandeza cresce e a outra também,
elas são diretamente proporcionais.
Gramas de trigo Quantidade de biscoitos
600 g 50
1800 g ?
As setas com mesmo sentido indicam que as duas grandezas são diretamente
proporcionais.
600 50
1800 x
Agora, montamos a equação e resolvemos a proporção.
_____ = ____Simplificando
6 50
18 x
___ = ____
Aplicando a relação fundamental das proporções:
6x = 18 . 50
____900
6
x = 150
x =
Logo, poderemos produzir 150 biscoitos.
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Com uma velocidade de 80 km/h, um carro
faz um percurso em 50 minutos. Se avelocidade aumentar para 100 km/h, quantotempo ele levará para fazer o mesmopercurso?
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Solução
Assim como no primeiro exemplo, organiza-se asinformações e separa-se as grandezas. Por meio dacomparação, observamos que, aumentando-se avelocidade, o tempo para fazer o mesmo percurso serámenor.
Logo, se uma grandeza cresce enquanto a outra diminui, elas são
inversamente proporcionais.
Velocidade (km/h)
Tempo (min)
80 50
100 x
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
As setas com sentidos opostos indicam que as duas grandezas são inversamente
proporcionais.
Velocidade (km/h)
Tempo (min)
80 50
100 x
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Agora, montamos a equação e resolvemos a proporção.
Simplificando
10 508 x
___ = ___
100 5080 x
____ = ___100 5080 x
____ = ___Invertemosos valores
10x = 50 . 8
x = 40
Logo, o carro fará o percurso em 40 minutos.
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Henrique comprou 3 camisas e pagouR$120,00. Quanto ele pagaria secomprasse 5 camisetas do mesmo tipo epreço?
3
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Montando a equação e resolvendo a proporção:
3 1205 x__ = ____
3x = 120 . 5
6003
x =
x = 200
Logo, Henrique pagaria R$ 200,00 pelas camisas.
.
Aplicando a relação fundamental das proporções:
___
Camisas Preço (R$)
3 120
5 x
Se as camisas são do mesmo tipo e preço, então comprando mais , ele vai pagar mais.
Assim, colocamos s setas com mesmo sentido, pois são grandezas diretamente proporcionais.
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Uma equipe de operários, trabalhando 8 horaspor dia, realizou determinada obra em 20 dias.Se o número de horas de serviço for reduzidopara 5 horas, em que prazo essa equipe fará omesmo trabalho?
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
Diminuindo o número de horas
trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Logo, as grandezas são
inversamente proporcionais.
Invertemosos valores
___ = __x 8
20 5
5x = 20 . 8
___x = 1605
x = 32
Existem algumasmaneiras de
analisarmos esses resultados: as
medidas de tendência central.
Ela é um ramoimportantíssimo da Matemática, onde representamos as
informações de uma pesquisa por meio de
tabelas e gráficos.https://rachacuca.com.br/
quiz/62220/exercicios-de-
regra-de-tres/
1 Em uma fundação, verificou-seque a razão entre o número deatendimentos a usuáriosinternos e o número deatendimento total aos usuários(internos e externos), em umdeterminado dia, nessa ordem,foi de 3/5. Sabendo que onúmero de usuários externosatendidos foi 140, pode-seconcluir que, no total, o númerode usuários atendidos foi
(A) 84.(B) 100.(C) 217.(D) 280.(E) 350.
• 1) (ENEM 2013) Em um certo teatro, as poltronassão divididas em setores. A figura apresenta avista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeirasescuras estão reservadas e as claras não foramvendidas.
A razão que representa a quantidade de cadeirasreservadas do setor 3 em relação ao total decadeiras desse mesmo setor é
A) 17/70 B) 17/53 C) 53/70 D) 53/17 E) 70/17
• 2) (ENEM 2013) Para se construir um contrapiso,é comum, na constituição do concreto, se utilizarcimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes debrita. Para construir o contrapiso de umagaragem, uma construtora encomendou umcaminhão betoneira com 14 m3 de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga deconcreto trazido pela betoneira?
A) 1,75 B) 2,00 C) 2,33 D) 4,00 E) 8,00
Uma pessoa bebe três copos de água a cada duas horas. Seela passar acordada 16 horas por dia, quantos copos d'águaela beberá neste período?
Pedro precisa ler alguns livros para o vestibular, e notouque em 3 horas de leitura conseguiu ler 70 páginas. Caso elemantenha este mesmo ritmo, quantas páginas eleconseguirá ler em um período de 6 horas?
Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir asprovas de um vestibular. Considerando a mesma proporção,quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?
Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir umcerto muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois,fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderiaser construído?