TUGAS FISIKA KOMPUTASI

Metoda Euler, Euler-Cromer dan Verlet

Disusun oleh :

Nama : Wanda Suryadinata

NPM : 140310120051

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Padjadjaran

2015

Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor 45363

1. Latihan membuat coding untuk latihan 1 sampai 3 beserta analisa grafik

yang diperoleh dan bandingkan solusi analitis

a. Peluruhan

Algoritma :

1. Memasukkan besaran fisis dan konstanta yang terdapat pada persamaan

2. Menentukan banyaknya perulangan perhitungan dalam persamaan

3. Membuat perulangan dari tahap awal sampai tahap ke-n, dimana pada

matlab, perhitungan dimulai dari 1

4. Mencari nilai analitik

5. Plot grafik perbedaan nilai analitik dan numerik

clear clf y(1)=100; x(1)=0; tau=4.3e9; %konstanta peluruhan a=0; %waktu awal b=double (24*3600*365*1000); %akhir peluruhan n=1000; %banyak pias h=b/n; %lebar pias

for step = 1:n %pengulangan y(step+1) = y(step) - (y(step)/tau)*h; x(step+1)=x(step)+h; end t=a:h:b; analitik=y(1)*exp(-t/tau) %fungsi analitik plot (x,y,'r',x, analitik,'b')

xlabel ('waktu (second)'), ylabel ('peluruhan(number of atom)') title ('wanda tugas peluruhan') grid on

:: merah = solusi numerik, biru = solusi analitik

Analisa :

Terlihat pada grafik hasil perbandingan numerik dan analitik dimana nilai

numerik lebih akurat dari pada numerik, hal ini dikarenakan pada solusi analitik

hanya melakukan perhitungan yang tidak terlalu banyak seperti perhitungan

numerik yang relatif banyak pengulangannya.

b. Hambatan Udara

Algoritma :

1. Memasukkan besaran fisis dan konstanta yang digunakan, seperti nilai

daya 400 watt, ro 1,2, luas penampang 1,25 m2, massa sebesar 50 kg,

dan lebar pias sebesar 1000

2. Semua data akan berakumulasi pada perulangan perhitungan, sesuai

dengan banyaknya perulangan yang dipakai, yaitu 1000

3. Memplot grafik hasil perhitungan numerik yang didapat

clear clf

y(1)=5; %kecepatan awal x(1)=0; %x(1)=a; a=0; %waktu mulai (s) b=100 ; % waktu akhir (s) P=400; %daya C=0.5; ro=1.2; %massa jenis udara 1,2 kg/m^3 A= 1.25 ; %luas permukaan m= 50 ; %massa n=100; %lebar pias h=b/n; for step=1:n y(step+1)= y(step)+ h*((P/(m*y(step)))-

(C*ro*A*y(step)*y(step)/m)); x(step+1)= x(step)+h;

end t=a:h:b;

plot (x,y,'b') xlabel ('waktu (second)'), ylabel ('kecepatan(m/s)') title ('wanda tugas hambatan udara') grid on

Analisa :

Dari grafik hasil perhitungan numerik dari hambatan udara ini, terlihat

kecepatan akan naik secara eksponensial sebelum kecepatannya mencapai 8,1 m/s.

Hal ini dikarenakan daya yang digunakan masih dalam proses mencapai 400 watt,

dan setelah kecepatan mencapai 8 m/s saat waktu 10 s, terlihat kecepatan sepeda

lebih konstan dan telah mencapai daerah steady statenya.

c. Pendulum

Algotritma :

1. Memasukkan besaran fisis dan konstanta yang terdapat pada persamaan

2. Menentukan banyaknya perulangan perhitungan dalam persamaan

3. Membuat perulangan dari tahap awal sampai tahap ke-n, dimana pada

matlab, perhitungan dimulai dari 1

4. Mencari nilai analitik dengan perhitungan analitik=n*sin(sqrt(g/l)*t)

5. Plot grafik perbedaan nilai analitik dan numerik serta menganalisanya

clear clf

n=100; theta= zeros(n,1); omega= zeros(n,1); t=zeros(n,1); theta (1)=30; g=9.8; l=1; h=0.04; for step=1:n omega(step+1)= omega (step) - ((g/l)*theta (step)*h) theta (step+1)=theta (step)+ omega(step)*h t(step+1)= t(step)+h

end analitik=n*sin(sqrt(g/l)*t) plot (t,theta,'b',t,analitik,'r') xlabel ('waktu (second)'), ylabel ('theta(rad)') title ('wanda tugas pendulum') grid on

:: biru= numerik, merah = analitis

Analisa :

Terlihat bahwa solusi numerik pada metoda euler sedikit kurang bagus

dibanding solusi yang diberikan oleh analitik, ini dikarenakan pada kondisi

osilasi, metoda yang digunakan adalah metoda euler-cromer

6. Perbedaan metoda/algoritma euler dengan euler-cromer dan verlet

a. Metoda Euler

Metode Euler merupakan metode numerik paling sederhana dan

diturunkan dari deret Taylor, bentuk persamaan pada metoda euler adalah :

xyxfyy ),( iii1i

Kecepatan dalam perhitungan pada metoda ini cukup cepat, tetapi

akurasi pada metoda euler limit atau terbatas dan solusi yang dihasilkan

tidak stabil, atau kurang presisi.

b. Metoda euler-cromer

Metoda euler-cromer stabil untuk sistem yang berosilasi.

Persamaan pada metoda euler cromer :

Solusi dari metoda euler cromer ini menghemat energi untuk

masalah osilasi, tidak seperti metoda euler yang meningkat energi osilator

dengan bertambahnya waktu. Sehingga metoda euler cromer sangat stabil

pada sistemnya berosilasi.

c. Metoda Verlet

Metoda ini digunakan dalam simulasi partikel. Sehingga, dengan

menggunkan metoda ini dalam mensimulasikan partikel dapat dikerjakan

dengan cepat dengan presisi yang tinggi. Pendekatan matematika yang

mendekati algoritma asli verlet :

Berdasarkan perbedaan dari ketiga metoda tadi, dapat dianalisa

dalam bentuk grafik berikut :

Dapat dilihat bahwa, dengan menggunakan metoda euler,

perhitungan yang dilakukannya cukup tinggi tetapi tingkat kestabilannya

tidak bagus, tetapi dengan metoda euler-cromer, hasilnya cukup stabil

dibanding dengan menggunakan metoda euler. Sedangkan metoda verlet,

terlihat sangat presisi. Sehingga metoda ini sering digunakan untuk

mensimulasikan partikel.

7. Membuat program dari contoh 1-3 degan menggunakan algoritma soal no

2

a. Metoda Euler Cromer

Algoritma :

Memasukkan besaran fisis yang diperlukan dalam perhitungan yang

terdapat pada bandul fisis

Persamaan fisis yang digunakan dalam perhitungan : (percepatan)

Dimana untuk fungsi awal dari theta :

Nilai cos dan sin dapat disesuaikan di dalam listing program

Dalam algoritma numericalnya, terdapat persamaan :

Perulangan pada euler cr0mer :

Setelah perhitungan, tinggal plot grafik dari perhitungan yang

diperoleh

clear clf

n=100; theta= zeros(n,1); omega= zeros(n,1); t=zeros(n,1); theta (1)=30; g=9.8; l=1; h=0.04; for step=1:n omega(step+1)= omega (step) - ((g/l)*theta (step)*h) theta (step+1)=theta (step)+ omega(step+1)*h t(step+1)= t(step)+h

end analitik=30*sin(sqrt(g/l)*t) plot (t,theta,'b',t,analitik,'r') xlabel ('waktu (second)'), ylabel ('theta(rad)') title ('wanda tugas pendulum') grid on

b. Metoda Verlet

Algoritma :

Memasukkan besaran fisis yang diperlukan dalam perhitungan yang

terdapat pada bandul fisis

Persamaan fisis yang digunakan dalam perhitungan : (percepatan)

Dimana untuk fungsi awal dari theta :

Nilai cos dan sin dapat disesuaikan di dalam listing program

Dalam algoritma numericalnya, terdapat persamaan :

x(j) = 2*x(j-1) - x(j-2) + Deltat*Deltat*(-1.0*l/m)*x(j-1); v(j-1) = (x(j) - x(j-2))/ (2*Deltat);

Setelah perhitungan, tinggal plot grafik dari perhitungan yang

diperoleh

clear all clc close

x(1) = 0.0; % posisi awal v(1) = 2.0; % kecepatan awal Deltat = 0.5; x(2) = x(1) + v(1)*Deltat; %posisi akhir l = 1; % panjang kawat m = 1.0; % kilograms Tfinal = 100; % waktu akhir t = 1:Deltat:Tfinal; % array waktu dimulai dari 1 N =length (t); % panjang elemen array for j=3:N; x(j) = 2*x(j-1) - x(j-2) + Deltat*Deltat*(-1.0*l/m)*x(j-1); v(j-1) = (x(j) - x(j-2))/ (2*Deltat); end v(N) = (x(N)-x(N-1))/Deltat; plot(t, x, 'b');

xlabel('waktu(sec)'); ylabel('x(meters)'); title ('pendulum dengan metoda verlet')

Analisa:

Dari perhitungan numerik dan analitis yang sudah dikerjakan, terdapat

perbedaan saat plot grafik. Ini berdasarkan perumusan dan perhitungan yang

dilakukan. Dimana pada solusi analitis hanya melihat gambaran secara umum dan

perhitungan numerik melihat dari setiap komponen dan elemen. Sehingga, dalam

perhitungan numerik hasil yang diperoleh sedikit lebih baik dari analitis. Tetapi

dari berbagai metoda, terdapat beberapa metoda yang tidak sesuai dengan contoh

kasus. Misalnya pada pendulum. Pada pendulum, lebih cocok menggunakan euler

cromer dari pada menggunakan metoda euler, dikarenakan tingkat kestabilan nilai

dari kedua metoda ini berbeda. Terlihat, pada metoda euler cromer memiliki

akurasi dan presisi nilai yang sangat tinggi. Pada metoda verlet, lebih sering

digunakan untuk menghitung jumlah partikel, karena keakuratannya yang sangat

tinggi.