révision des systèmes lit, convolution et série de fourier elg3575 introduction aux systèmes de...
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Révision des systèmes LIT,
convolution et série de Fourier
ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication
Introduction
• Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous
Présentation 1
Source Émetteur
Canal
RécepteurDestination
Éléments d’un système de télécommunication
• Source– Produit un message d’information
• Destination– Récipiendaire qui va utiliser l’information produite.
• Canal– Le lien physique qui portera l’information de la
source à la destination.
Présentation 1
Éléments d’un système de télécommunication
• Émetteur– L’émetteur transforme le message de sa forme
actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal.
• Récepteur– Le récepteur fait l’opération inverse de l’émetteur et,
si possible, du canal.– Erreur quadratique– Taux d’erreurs.
Présentation 1
But de l’ingénieur
• Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui – ne sont pas dispendieux à produire– minimisent la largeur de bande requise– maximisent le transfert d’information (la similarité du
signal reçu au signal transmis)– utilisent efficacement la puissance
• Parfois les buts sont contraire aux autres– Par exemple, on améliore le transfert d’information
en augmentant la puissance du signal transmis– Il faut parfois échanger des qualités désirées contre
des autres
Présentation 1
Signaux utiles
Présentation 1
00
0)(
t
tt
t
1L’impulsion
1)(0
0
dtt
Signaux utiles
• L’impulsion rectangulaire
Présentation 1
t
21
21
21
||0
1)(
t
tt
-0.5 0.5
1
Signaux utiles
• L’impulsion triangulaire
Présentation 1
1||0
1||||1)(
t
ttt
t-1 1
1
Signaux utiles
• sinc
Présentation 1
t
tt
)sin(
)(sinc
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Signaux utiles
• Sinc carré
Présentation 1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
sinc2(t)
sinc2(t)
Révision des systèmes LIT
• Un système avec x(t) comme entrée produit une sortie y(t) = H(x(t)).
Présentation 1
H(•)x(t) y(t) = H(x(t))
Systèmes linéaires
• Un système est linéaire si la propriété de superposition s’applique– Supposons le système produit la sortie y1(t) pour
l’entrée x1(t) et la sortie y2(t) pour l’entrée x2(t). Alors • y1(t) = H(x1(t)) et
• y2(t) = H(x2(t))
– le système H est linéaire si pour x3(t) = ax1(t)+bx2(t), y3(t)=H(x3(t)) = aH(x1(t))+bH(x2(t)) = ay1(t)+by2(t).
Présentation 1
Exemple 1
• y(t) = x2(t). • Pour l’entrée x1(t), la sortie est y1(t) = x1
2(t) et pour l’entrée x2(t), la sortie est y2(t) = x2
2(t).
• Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = x32(t) =
(ax1(t) + bx2(t))2 = a2x12(t) + 2abx1(t)x2(t) + b2x2
2(t).
• Si le système est est linéaire, y3(t) doit être ay1(t) + by2(t) = ax1
2(t) + bx22(t) ≠ y3(t) ; alors ce système n’est
pas linéaire.
Présentation 1
Exemple 2
• y(t) = tx(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = t(ax1(t) +
bx2(t)) = a(tx1(t)) + b(tx2(t)) = ay1(t) + by2(t). • Alors ce système est linéaire.
Présentation 1
Système invariant en temps
• Un système est invariant en temps si un délai à l’entrée ne cause que le même délai à la sortie..
• Si y1(t) est la sortie qui correspond à l’entrée x1(t) et x2(t) = x1(t-t) est l’entrée qui produit une sortie y2(t).
• Le système est invariant en temps si y2(t) = y1(t-t).
Présentation 1
Exemples
• y(t) = tx(t)?• y(t) = 3+4x2(t)?
Présentation 1
Systèmes LIT
• Un système est LIT s’il est linéaire et invariant en temps • Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle.• Réponse impulsionnelle , h(t), est la sortie qui
correspond à l’entrée x(t) = d(t).• Propriétés du signal d(t).
– .
– .
– .
Présentation 1
)()()(
1)(
autrement ,0
0 ,)(
xdtttx
dtt
tt
La sortie d’un système LIT
• Si x(t) est l’entrée d’un système LIT, la sortie correspondante est y(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution.
Présentation 1
dtxhdthxthtx )()()()()(*)(
Propriétés
• x(t)*(y1(t) + y2(t)) = x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t).
Présentation 1
)(*)()(*)(
)()()()(
)()()(
)()(
)(*)())()((*)(
21
21
21
21
tytxtytx
dtyxdtyx
dtytyx
dtzx
tztxtytytx
Convolution avec l’impulsion
Présentation 1
)(
)()(
)()()(*)(
tx
dtx
dtxttx
)(
)()(
)()()(*)(
tx
dtx
dtxttx
Exemple
• y(t) = P(t) *P(t)– Utilisez des dessins afin de trouver les limites
d’intégration.
Présentation 1
Causalité
• Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de l’entrée.
• Pour un système LIT
• Quand l < 0, y(t) depend de x(t-l)=x(t+|l|). Pour que le système LIT soit causal il faut que h(l)=0 quand l <0.
Présentation 1
dtxhty )()()(
Stabilité
• Un système est stable si, pour n’importe quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée.
• Pour qu’un système LIT soit stable, il faut que
Présentation 1
dh |)(|
Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée
• Supposons que nous ayons un jeu de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,N où
• Si cn= 1 pour n’importe quelle valeur de n, on dit que le jeu est un jeu de fonctions orthonormales.
Présentation 1
nmc
nmdttt
n
Tt
tmn
o
o
0)()( *
Série de Fourier généralisée
• Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur l’intervalle (to, to + T) par la fonction xa(t) qui est donnée par :
• L’erreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :
N
nnna tXtx
1
)()(
Tt
t
aN
o
o
dttxtx2
)()(
Série de Fourier généralisée
• La meilleure approximation, xa(t), est la fonction qui minimise l’erreur quadratique moyenne.
N
n
N
i
Tt
t
ininn
N
n
Tt
t
nn
N
n
Tt
t
n
Tt
t
Tt
t
N
n
N
iinin
N
nnn
N
nnn
N
nnn
Tt
t
N
nnn
N
nnn
Tt
t
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nnnN
o
o
ooo
o
o
o
o
o
o
o
dtttXXdtttxXdtttxXdttx
dtttXXtXtxtXtxtxtx
dttXtxtXtx
dttXtxtXtx
1 1
**
1
**
1
*2
1 1
**
1
*
1
***
1
***
1
*
11
)()()()()()(|)(|
)()()()()()()()(
)()()()(
)()()()(
00
Série de Fourier généralisée
• le terme est 0 quand n ≠ i et c’est |Xn|2cn
quand n = i.
• Soit
Tt
t
inin
o
o
dtttXX )()( **
N
nnnn
N
n
Tt
t
nn
N
n
Tt
t
n
Tt
t
N cXdtttxXdtttxXdttxooo
o1
2
1
**
1
*2 ||)()()()(|)(|
00
Tt
t
nn
o
o
dtttxy )()( *
N
nnnnnnn
Tt
t
N cXyXyXdttxo
o1
2**2 |||)(|
Série de Fourier généralisée
2
11
22
**
11
22
1
2**2
1
22
1||
1|)(|
11||
1|)(|
||||1
||1
|)(|
nnn
N
nn
N
nn
n
Tt
t
nnn
N
nnn
nn
N
nn
n
Tt
t
N
nnnnnnnn
n
N
nn
n
Tt
t
N
Xyc
cyc
dttx
Xyc
Xyc
cyc
dttx
cXyXyXyc
yc
dttx
o
o
o
o
o
o
eN est minimisée quand Xn = (1/cn)yn.
Série de Fourier généralisée
• Alors la meilleure approximation est
• Où
• Et
N
nnna tXtx
1
)()(
Tt
t
nn
nn
n
o
o
dtttxc
yc
X
)()(1
1
*
2
1
2
1
22
|)(|
||1
|)(|
n
N
nn
Tt
t
N
nn
n
Tt
t
N
Xcdttx
yc
dttx ε
o
o
o
o
Exemple 2
Le signal x(t) = t2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.
t
1
1
1(t)
t
1
1
2(t)
t
1
1
3(t)
0.5
0.25 0.75
-1
-1
Exemple 2: Solution
16
1)(
4
1125.01125.0
3
13
1
3
1)(
3
1
3
1)(
1
75.0
275.0
25.0
225.0
0
21
0
32
3
1
5.0
35.0
0
31
5.0
25.0
0
21
0
22
2
1
0
31
0
21
0
12
1
dttdttdttdtttX
ttdttdttdtttX
tdttdtttX
Exemple 2: Solution)(
16
1)(
4
1)(
3
1)(
)(4
1)(
3
1)(
3213
212
ttttx
tttx
0264.04
1
3
1
5
122
2
0225.016
1
4
1
3
1
5
1222
3
eN diminue
en augmentantN.
Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe
N
Nnnna tXtx )()(
22|)(| n
N
Nnn
Tt
t
N Xcdttxo
o
)()()( txtXtxn
nna
0lim N
N
Tt
t
n
N
Nnn
N
o
o
dttxXc 22|)(| lim
Il existe des jeux de fonctions orthogonales {fn(t)}-∞ ≤ n ≤ ∞, pour lequel l’approximation s’approche au signal originale sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T.
La fonction exponentielle complexe
)2sin()2cos(2 tnfjtnfe ootnfj o
La fonction est périodique avec période Tp.
poopooTnfjtnfjTtnfjtnfj eeee
22)(22
Donc Tp = m/nfo et la période fondamentale, Tf, est la plus petite valeur positive de Tp. Donc la période fondamentale est Tf = 1/|n|fo.
n est un entier
Orthogonalité et la constante cn
Tt
t
mn
o
o
dttt )()( * =
Tt
t
tfmnjTt
t
tnfjtnfjo
o
o
o
o
oo dtedtee )(222
Pour m=n
Tdt
dtec
Tt
t
nm
Tt
t
tfmnjn
o
o
o
o
o
)(2
Pour m≠n
0
)(2
)(2
)(2)(2)(2
)(2)()(2)(2
o
tfmnjTfmnjtfmnj
o
tfmnjTtfmnjTt
t
tfmnj
fmnj
eee
fmnj
eedte
ooooo
ooooo
o
o
Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to+T, pour fo = 1/T.
La série de Fourier exponentielle complexe
La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est
n
T
ntj
nn
tnfjn eXeXtx o
22)(
Tt
t
tnfjn
o
o
o dtetxT
X 2)(1
où
La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques
• Considérons le signal sur l’intervalle -∞ ≤ t ≤ ∞.
• Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques.
• La période fondamentale d’une fonction exponentielle complexe est T/|n|.
• La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique s’il existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles.
• Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.
n
tnfjn
oeX 2
La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2
• est périodique avec période T = 1/fo.
• La fréquence fondamentale est l’inverse de la période fondamentale, donc fo est la fréquence fondamentale.
• Donc si x(t) est aussi périodique avec période T,
=x(t) pour -∞ < t < ∞
• Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de
Fourier x(t) =
n
tnfjn
oeX 2
n
tnfjn
oeX 2
n
tnfjn
oeX 2
La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3
• Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en faisant l’intégral sur n’importe quelle période de x(t)
T
tnfjn dtetx
TX o2)(
1
Exemple
x(t)
0.25 0.5 0.75 t
A
-A
… …
Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)
Solution
• Il faut déterminer – La période de x(t) ainsi que fo.
– Les coefficients Xn
– La série de Fourier
n
tnfjn
oeX 2
Solution 2
• Dans notre exemple, la période est 0.5, alors fo = 2.• Le jeu de fonctions est ej4pnt.• Alors
nnj
ntjnjnj
ntjntj
ntjntj
ntjn
nj
Ae
njnjA
enj
enjnj
enj
A
enj
enj
A
dtAedtAe
dtetxX
112
1
2
12
4
1
4
1
4
1
4
12
4
1
4
12
2
)(2
2
5.0
25.0
425.0
0
4
5.0
25.0
425.0
0
4
5.0
0
4
Solution 3
• Pour n = 0, nous avons X0 = 0/0.
0)(25.0
0
0 dttxX
i
tij
nn
ntj eij
Ae
nj
Atx )12(4
impaire
4
)12(
22)(
Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe
• Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. • Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn
* est donné par :
n
T
tfnjT
tnfjT
tnfj
T
tnfjn
XdtetxT
dtetxT
dtetxT
dtetxT
X
o
o
o
o
)(2
2*
*2
*
2*
)(1
)(1
)(1
)(1