Universite du Quebec a Montreal

Revision mathematique

Donnee dans le cadre du cours

Microeconomie IIECO2012

Baccalaureat en economique

ParDominique Duchesneau

9 septembre 2008

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Table des matieres

Fonctions mathematiques 2

1 Definitions de base 31.1 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonctions mathematiques 32.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Pente d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Exemples de fonctions types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Fonctions lineaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 fonctions quadratiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.3 Exposants reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.4 Fonctions de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.5 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.6 Les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.7 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.8 Proprietes des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 concavite et convexite d’une fonction 83.1 Stricte concavite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 concavite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 stricte convexite et convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Limite et continuite d’une fonction a une variable 104.1 Proprietes des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Taux d’accroissement d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Derivation d’une fonction (les «derivees») . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Regles de derivation 13

6 Croissance et decroissance d’une fonction 14

7 derivee seconde d’une fonction 14

8 derivation de plusieurs variables 158.1 Theoreme de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9 Di!erentielle totale 16

10 Introduction a l’optimisation 1710.1 Optimisation d’une fonction a une variable, sans contrainte . . . . . . . . . . . . . 1710.2 Conditions necessaire pour un maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10.2.1 conditions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.2.2 Conditions du second ordre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

11 Optimisation de fonction a plusieurs variables 19

1

12 Optimisation sous contrainte 2112.1 Methode par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.2 Methode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

12.2.1 Conditions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312.2.2 condition du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

12.3 Remarque concernant le multiplicateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

1 Definitions de base

Cette section va paraıtre triviale, mais il est important de partir sur des bonnes bases !

1.1 Constantes

Comme le nom l’indique, une constante ne change pas. C’est un choix arbitraire qui attribueune valeur precise a un certain symbole. Une constante simple est un chi!re : si le chi!re «

1 » (un) est mentionne, il est clair que ce n’est pas 2. Le meme raisonnement s’applique a laconstante de Pythagore, ! ; vous avez vu au secondaire que ! = 3.14159265 . . . Ces valeurs nechangent pas.

1.2 Variables

Suivant le meme raisonnement, comme le nom l’indique une variable change toujours.C’est un symbole utilise pour represente une valeur qui peut etre inconnue, ou connue maisqui comporte plusieurs valeurs di!erentes. Les variables sont utilisee dans des expressionsmathematiques souvent pour determiner quelle(s) valeur(s) elles doivent prendre.

2 Fonctions mathematiques

2.1 Definition

Soit deux ensembles X et Y tels que : X = {x1, x2, x3, . . .} et Y = {y1, y2, y3, . . .}, et xi, yi " R !i.Alors une fonction mathematique f est une regle qui associe un et un seul element de X versun element de Y : !

"""""""#

"""""""$

f : X "# Y

ou

y = f (x),

x"X

Exemple graphique :

f (x)

X

Y

F!". 1 – f (x) est une fonction

g(x)

X

Y

F!". 2 – g(x) n’est pas une fonction

Il sera ici surtout question de fonctions a une seule variable, c’est-a-dire X $ R : xi est«mapp»sur yi. Une seule dimension est en cause : y = f (x). On distinguera deux formes defonctions : on parlera de formes fonctionnelles lorsqu’il s’agit d’equations avec lesquelles ontravaille (par exemple y = 2x + 4), par opposition la forme generale qui enumere les argumentsd’une fonction (par exemple, la forme generale de l’equation precedente est y = f (x)).

3

En resume, une fonction est composee d’un resultat, y, qui est determine par une regle detrasformation, f (•), qui est appliquee a un argument (variable ou constante). Dans les exemplesprecedents, la variable est x et la regle de transformation est f (x).

2.2 Pente d’une fonction

La pente d’une fonction peut etre comparee a la pente d’une cote sur la route. Celle-cipeut monter ou descendre, abruptement ou doucement. Il en va de meme avec une fonctionmathematique. Pour le voir, il faut tracer la fonction sur un plan cartesien. Mais sans tracer lapente, on peut la calculer.

Le calcul d’une pente sera decrit plus en detail un peu peu plus loin. Pour le moment, unedefinition intuitive est su"sante. Alors, la pente d’une fonction est l’impact d’unemodificationde la valeur a!ectee a une variable sur le resultat.

Un cas particulier est celui des fonctions lineaires (voir la section 2.3.1). Ces fonctions etantdes lignes droites (formellement des droites, ou segments de droite), leur pente est constante :pour une variation donnee1 de l’argument de la fonction (donc une modification de la valeurattribuee a la variable), l’e!et de cette variation sur le resultat de la fonction sera toujours lememe.

2.3 Exemples de fonctions types

2.3.1 Fonctions lineaires :

cas general :

y = f (x) = ax + b, ou (a, b)"R

Dans ce cas la courbe a une pente de «a », une ordonnee a l’origine de «b »et son zero(abcisse a l’origine) est x = %b

a exemple : y = f (x) = 5x + 3 a une pente de 5, une ordonne al’origine de 3 et son zero est %35

Exemple de fonctions lineaires :

F!". 3 – b > 0 F!". 4 – b < 0 F!". 5 – b = 0

2.3.2 fonctions quadratiques :

Les fonctions quadratiques faisant appel aux exposants, en voici une definition.

1Une variation donnee veut dire une valeur choisie arbitrairement, qui ne change pas dans ce cadre.

4

2.3.3 Exposants reels

Soit a, b,m, n " R. Un exposant definit une serie de multiplication d’une constante ou d’unevariable par elle-meme :

an = a & a & a . . . & a%!!!!!!!!!!!!&'!!!!!!!!!!!!(

n fois

A partir de cette definition, on peut etablir un certain nombre de regles (les lois des exposants) :

0n = 0 !n a a am & an = am+n

a0 = 1, a ! 0 a a am

an = am%n, a ! 0a%n = 1

an ,, n " Z a a (am)n = amn

(ab)n = an & bn a a)ab

*n= an

bn , b ! 0

Dans le cas particulier ou n " Z+ et m " Z+ ' 0 :

a1n =

n(a ou

+

a > 0 si n est paira " R si n est impair

amn =

n(am = (am)

1n =)

n(a*m=)

a1n

*mou a > 0

Les fonctions quadratiques font appel a une ou des variables eleves au carre, et a cettememevariable a la puissance 1.

Cas general :

y = f (x) = ax2 + bx + c, ou (a, b et c) " R.Comme il s’agit d’une parabole, alors la fonction n’a pas de pente en tant que tel. Cependantson ordonnee a l’origine est donnee par «c».

Le sommet de la parabole est situe au point)%b2a ,%#4a

*

ou # = b2 % 4ac.

Les zeros de la fonction quadratique sont obtenus par la formule %b±(b2%4ac2a , qui donne 2 va-

leurs, puisque la parabole coupe l’axe des X en 2 points.

Exemple : y = 12x

2 + 3x + 1.

graphiquement :

F!". 6 – a > 0 F!". 7 – a < 0

5

2.3.4 Fonctions de puissance

Une fonction de puissance fait appel a une variable elevee a une puissance quelconque.Lorsque l’exposant de la variable est une fraction (par exemple 1

n ), il s’agit alors de la racinenieme de la variable.

Cas general :

y = f (x) = axn, ou (a, n) " R.

Exemple : y = x3 ; y = x132

4 , etc.

Graphiquement :

F!". 8 – y = x2 F!". 9 – y = x3 F!". 10 – y = x12

2.3.5 Fonctions logarithmiques

Voici d’abord une definition des logarithmes.

2.3.6 Les logarithmes

Soit a, b,m, n " R, a ! 1 et b ! 1. Soit y = logab, c’est-a-dire y defini tel que b = ay.Autrement dit, le logarithmed’unnombre dans une basedonnee est la puissance (l’exposant)

a laquelle la base doit etre elevee pour retrouver ce nombre. Par exemple, le logarithme de 1000,dans la base 10, est 3 puisqu’il faut elever 10 a la puissance 3 pour retrouver 1000. Ou encore,le logarithme en base 2 de 1024 est 10, puisque 210 = 1024.

Les fonctions logarithmiques sont tres utiles en economie puisque le logarithme d’une va-riable donne a peu de choses pres le taux d’accroissement de la variable. Ce qui est tres pratiquepuisqu’en microeconomie, nous travaillons beaucoup «a la marge», et en macroeconomie, ilest souvent question de croissance, donc de taux (rapidite, rythme) de croissance.

Voici les proprietes de logarithmes :

logamn = logam + logan a a logamn = logam % logan

loga1 = 0 a a logaa = 1loga

1m = %logam a a alogam = m

logamn = nlogam a a logab =1

logba

logam =logbmlogba

a a

6

Les fonctions logarithmiques font appel au logarithme d’une variable. En economie, il s’agitgeneralement du logarithme naturel ou neperien, qui utilise le nombre d’Euler e = 2.71828 . . ..

Cas general :

y = f (x) = logax, ou a " R+ est la base du logarithme.Dans le cas du logarithme naturel, on utilisera plutot :y = f (x) = ln(x).

Exemples graphiques :

(1,0)

F!". 11 – y = logax, a > 1

(1,0)

F!". 12 – y = logax, 0 < a < 1

2.3.7 Fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles font appel a une constante elevee a une puissance variable.Alors que les fonctions de puissances montaient les variables a une puissance reelle (R) quel-conque, ici ce sont les variables qui sont les exposants. L’exposant peut ainsi etre une fonction !

Cas general :

y = f (x) = ax, ou a " R+\{1}.

N.B. En economie il est tres frequent de rencontrer ce type de fonction, mais qui fait appelau nombre d’Euler e = 2.71828 . . . :

y = f (x) = ex

2.3.8 Proprietes des fonctions exponentielles

ex+y = ex & ey

e%x = 1ex

ex%y = ex

ey

(ex)y = exy

7

Exemples graphiques :

(0,1)

F!". 13 – y = ax, a > 1

(0,1)

F!". 14 – y = ax, 0 < a < 1

3 concavite et convexite d’une fonction

La concavite ou la convexite d’une fonction se determine toujours par rapport a l’origine,lorsque celle-ci est tracee dans un plan cartesien. Ces definitions sont valides s’il y a plus de 2dimensions2, mais ceci depasse les objectifs de ce cours.

3.1 Stricte concavite

Une fonction y = f (x) est dite strictement concave si pour {x1, x2} deux nombres compris dansR et pour un poids # " (0, 1) (donc un scalaire) :

f (#x1 + (1 % #)x2) > # f (x1) + (1 % #) f (x2)

Ici # est appelee « poids » parce qu’il peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et 1.Lorsque toutes ces valeurs sont utilisees et que la combinaison lineaire produite est tracee pardessus le graphe de la fonction, cela produit une droite qui est «en dessous» de la fonction, ou«a l’interieur». On dit alors que f (x) est concave.

Dans le graphique ci-dessous, on peut voir que la valeur de la fonction est superieure atous les points de la droite. Plus particulierement, pour # = 0.5, A est la valeur de la fonc-tion y = f (#x1 + (1 % #)x2) (donc de la moyenne de x1 et x2) et B la moyenne des fonctions :y = # f (x1) + (1 % #) f (x2). Ceci est utilise en economie lors de l’valuation des fonctions d’utilitet de l’aversion au risque.

2Un truc facile pour comprendre le concept de dimension est le nombre de coordonnees utilisees pour situer unpoint dans le plan : par exemple, (2, 1) utilise 2 coordonnees, donc le plan est en 2 dimensions (x et y). Le point(2, 5, 7) en utilise 3, alors il est dans un plan en 3 dimensions.

8

Exemple graphique :

combinaison lineaire de x1 et x2B

A

x1x2 0.5x1 + 0.5x2F!". 15 – f (#x1 + (1 % #)x2) > # f (x1) + (1 % #) f (x2)

3.1.1 concavite

Une fonction y = f (x) est dite concave si pour {x1, x2} deux nombres compris dansR et pourun poids # " (0, 1) (donc un scalaire) :

f (#x1 + (1 % #)x2) ) # f (x1) + (1 % #) f (x2) (1)

On peut voir qu’il s’agit de lameme fonctionmais qui permet cette fois l’egalite entre la fonctiony = f (x) (value a la moyenne de x1 et x2) et la moyenne des fonctions y1 = f (x1) et y = f (x2).Ceci provient de la possibilite d’un segment de droite dans la courbe.

Exemple graphique :

F!". 16 – courbe concave

9

Remarquez bien la di!erence entre les figures 15 et 16, soit la presence d’un segment dedroite dans la fonction concave.

3.1.2 stricte convexite et convexite

La determination de la stricte-convexite et de la convexite se fait de la meme facon, eninversant les inegalites (donc «>»devient «<»et «)»devient «*».

Autrement dit, cette fois-ci la combinaison lineaire (la droite forme par #x1 + (1%#)x2 pourtoutes les valeurs de # " [0, 1]) passe au-dessus de la fonction y = f (x).

En clair, on dira que y = f (x) est strictement convexe si :

f (#x1 + (1 % #)x2 < # f (x1) + (1 % #) f (x2)

et que y = f (x) est convexe si :

f (#x1 + (1 % #)x2 * # f (x1) + (1 % #) f (x2)

4 Limite et continuite d’une fonction a une variable

Intuitivement : on dira d’une fonction y = f (x) qu’elle est continue si elle est lisse ; si l’on peutsuivre sa courbe du doigt sans avoir besoin de le lever, s’il n’y a pas de «coins», de cassures,etc.

Exemple graphique :

F!". 17 – fonction continue F!". 18 – fonction non-continue

Il est facile de voir que dans la figure 18, la discontinuite se produit a {x = %2}, ou il y a uneligne pointillee.

Formellement, cela traduit le concept de limites d’une fonction. On peut donc definir lalimite ainsi :

Une fonction y = f (x), definie sur un intervalle dans le voisinage de x0 (une valeur de xquelconque), est continue en x0 si :

!$ > 0# +% > 0 tel que |x % x0| < % %# | f (x) % f (x0)| < $

10

Ceci veut dire que si la fonction est continue, il y a un % (une constante quelconque) tel que apartir d’un certain x, lorsqu’on se rapproche de x0, la valeur absolue de la soustraction x % x0devient quasiment nulle puisqu’elle est inferieure a un "3. Autrement dit :

limx#x0

f (x) = x0

Si la limite de la fonction n’etait pas x0 lorsque x devient tres pres de x0, alors la fonction neserait pas continue, ce qui est le cas dans la figure 18. les valeurs a droite et a gauche de 0 nesont pas les memes :

limx#0+

! limx#0%

Voici quelques exemples de fonctions continues et non continues qu’il est possible de ren-contrer en economie :

fonction continue :

f (x) =

+

%x si x * 0x si x > 0

fonction non continue :

f (x) =

+

%x si x * 0x + 1 si x > 0

4.1 Proprietes des fonctions continues

Les fonctions decrites precedemment4 sont continues sur leur domaine –D –de definition.Ce domaine comporte toutes les valeurs de x qui sont permise (par exemple : D f (x) =

(x est

R+, puisque la racine carree d’une valeur negative n’est pas definie dans R). Ce choix peutetre arbitraire, comme par exemple dire qu’une fonction, en theorie, n’existe qu’entre certainesvaleurs, ou encore a"rmer que des quantites et des prix negatifs n’existent pas.

Voici les proprietes des fonctions continues les plus utilisees :Soit f (x) et g(x), deux fonctions continues sur R et k " R. Alors :– Pour c " R, on peut multiplier une fonction par une constante : cy = c f (x)– ( f + g)(x) = f (x) + g(x)– ( f % g)(x) = f (x) % g(x)– k f (x) = (k f )(x)

–)fg

*

(x) =f (x)g(x)

– ( f , g)(x) = f (g(x))5

Comme toutes ces fonctions sont continues, les operations et manipulations decrites plus hautsont aussi continues lorsqu’elles sont e!ectuees sur ces fonctions.

4.2 Taux d’accroissement d’une fonction

Le taux d’accroissement d’une fonction represente la variation du resultat de cette fonctionlorsqu’on fait varier un ou plusieurs de ses arguments. Par exemple, si y = f (x), alors pourx1 ! x2, il y a de fortes chances que [y1 = f (x1)] ! [y2 = f (x2)]. Le taux d’accroissement nous

3epsilon : valeur superieure a zero, mais infiniment petite.4Il s’agit des fonctions lineaires, quadratiques, de puissances, exponentielles et logarithmiques.5Prononcer «f rond g » ; il s’agit d’une composition de fonctions. Ce sera aborde plus en detail plus loin.

11

donne l’evolution de la fonction entre x1 et x2, et se definit comme :

#y

#x=

f (x2) % f (x1)

x2 % x1On peut donc voir que c’est le taux d’accroissement relatif, soit l’evolution de la fonction

lorsque x passe de x1 a x2. Graphiquement, cela peut se representer comme :

x2 x1

f (x1)

f (x2)

F!". 19 – taux d’accroissement

Cette figure montre aussi que le taux d’accroissement est egal a la pente de la droite traceeentre les points (x1, f (x1)) et (x2, f (x2)).

4.3 Derivation d’une fonction (les «derivees»)

La figure 19 de la section nous permet d’arriver a la derivation d’une fonction. Pour cela,il faut diminuer #x jusqu’a ce qu’il tende vers 0. Autrement dit, la distance entre x1 et x2 doitdevenir infinitesimale. Ainsi nous obtenons le taux d’accroissement un seul point. C’est ce queles physiciens appellent la vitesse instantanee ; les eeeconomistes parlent plutot de variationmarginal. Formellement nous ecrirons :

f -(x) =&y

&x= lim

x2#x1

f (x2) % f (x1)

x2 % x1= lim#x#

f (x + #x)

#x

Avant d’aller plus loin, une petite precision sur la tangente. Tangent veut dire « qui necoupe qu’en un seule point, qui frole»Ceci veut dire que la tangente d’une fonction, pouretre determinee, doit etre evaluee a un point precis. On aura alors une droite, qui frole unefonction, donc qui ne la touche qu’en un seul point. La pente de cette droite ne peut avoirqu’une et une seule valeur pour que ce soit possible.

Cette derivee est la pente de la droite qui est tangente a la fonction, lorsque celle-ci estevaluee au point (x1, f (x1)). Graphiquement, cela est reprsente comme :

La derivee existe si la fonction est continue, et la fonction est continue lorsque trois condi-tions sont remplies. Lorsqu’on veut deriveer au point xa, il faut que :

– f (xa) existe– limx#a f (x) existe– f (a) = limx#a f (x)

12

x2 x1

f (x1)

f (x2)

F!". 20 – taux d’accroissement

5 Regles de derivation

Soient 2 fonctions derivables, f (x) et g(x), et n, k . R. Alors les derivees des ces fonctionssont otenues en appliquant les formules suivantes :

fonctions elementaires

1. [ f (x) ± g(x)]- = f -(x) ± g-(x)

2. [k f (X)]- = k[ f -(x)]

3. [k]- = 0

4. [ f (x) · g(x)]- = f -(x) · g(x) + f (x) · g-(x)

5.,f (x)g(x)

--=

f -(x)·g(x)% f (x)&g- (x)

[g(x)]2, g(x) ! 0

6..

f n(x)/-= n f (x)n%1 · f -(x)

fonctions exponentielles

7. [a f (x)]- = a f (x) · ln(a) · f -(x)

8. [e f (x)]- = e f (x) · f -(x)

fonctions logarithmiques

9. [loga f (x)]- =f -(x)

f (x)·ln(a)

10. [ln f (x)]- =f -(x)f (x)

composition de fonctions

Comme le nom l’indique, une compositionde fonctions implique que la fonction« globale» est composee de plusieurs sous-fonctions. Par exemple :

f (x) = x2

g(x) = ax + b

f (g(x)) =0

g (x)12= (ax + b)2 = g , f

et

g( f (x)) = a0

f (x)1

+ b = a)

x2*

+ b = f , g

Attention : La notation ,, mentionnee precedemment, s’interprete dans le sens contrairede la notation f (•).

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Pour pouvoir deriver la fonction globale, il faut bien sur deriver les sous-fonctions. C’estce que fait la regle de derivee en chaınes.

Soit y = f (g(x)) ; y est fonction d’une fonction. Alors la regle de derivation en chaıne ditque :

11. [ f (g(x))]- = f -(g(x)) · g-(x) = &y&g ·

&g&x

Voici un exemple de derivation qui fait appel a la regle de derivation en chaıne :

Soit y = (x + 4)2. On peut voir qu’il y a ici 2 fonctions. Posons g(x) = (x + 4) et f (x) = x2.C’est donc que dans l’exemple, y = f (g(x)).

La premiere derivee a faire selon la regle est&y&g , ce qui donne 2(•)2%1 = 2(x + 4) = 2x +

8.Autrement dit on traite la paranthese comme si elle etait une variable. La seconde derivee a

faire est&g&x =

&(x+4)&x = 1. Pour terminer il fautmultiplier les 2 derivees ensemble : f -(g(x))·g-(x) =

&y&g ·

&g&x = (2x + 8) & 1 = 2x + 8.

Pour resumer la derivation en chaıne, on peut dire que c’est «la derivee de la paranthesemultipliee par la derivee de l’interieur de la paranthese ».

6 Croissance et decroissance d’une fonction

Une fonction sera strictement croissante si et seulement si !x > x0 / f (x) > f (x0).De plus, on dira que si la derivee de la fonction est positive lorsque la fonction est value au

point x0

f -(x) > 01

, alors la fonction est croissante au voisinage de x ; la pente de la tangente estpositive, du moins autour du point x.

Une fonction sera strictement decroissante si et seulement si !x > x0 / f (x) < f (x0).De plus, on dira que si la derivee de la fonction est negative lorsque la fonction est value au

point x0

f -(x) < 01

, alors la fonction est decroissante au voisinage de x ; la pente de la tangenteest negative, du moins autour du point x.

7 derivee seconde d’une fonction

Soit f -(x), la derivee premiere de f (x). Alors la derivee de la derivee premiere sera la derivee

seconde de f (x) :.

f -(x)/-= f -- (x) =

&2y&x2

. On parle alors de la «derivee seconde de y par rapporta x 2 fois».

La derivee seconde est tres utile pour les eeconomistes, et ce, dans presque tous les champsde recherche. Alors que la derivee premiere nous permet de trouver la pente de la tangente, laderivee seconde nous permet de savoir comment varie cette pente (si elle croıt ou decroıt).

En microeconomie, cela sera utilise notamment lors de la maximisation de l’utilite, afin dedeterminer si la fonction d’utilite est concave pour savoir s’il s’agit d’un maximum. Le maxi-mum d’une fonction est un point ou la pente de la tangente cesse de croıtre, mais ne redescendpas encore. A ce point la pente de la tangente est nulle. Il sera question de la maximisation plusloin dans ce document.

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Exemple graphique :

pente de la tangente : nulle

pente de la tangente : positivefonction croissante : f --(X) > 0

pente de la tangente : negativefonction decroissante : f --(X) < 0

portion concave portion convexe

F!". 21 – Rsum !

8 derivation de plusieurs variables

Les regles de derivation vues precedement peuvent etre utilisees pour des fonctions aplusieurs variables. Il s’agit simplement de traiter les variables non concernees comme desconstantes.

Par exemple, une firme, lors de sa production, a besoin de 2 intrants : le travail et les ma-chines. Si L represente le travail et K reprsente la machinerie, alors on peut dire que la formegenerale de la fonction de production est Y = f (K, L).

On distinguera 2 derivees premieres, soit une par rapport a chaque argument :– &Y&K = fK(L,K)

– &Y&L = fL(L,K)

Remarquez la di!rence de notation : on ecrit, dans le cas de fonctions a plusieurs variables,la variable de derivation en indice afin de bien indiquer de laquelle il s’agit.

Cela implique aussi qu’il y a 4 derivees secondes possibles :

– &2Y&K2 = fKK(L,K) C’est a dire la derivee seconde de Y par rapport a K deux fois ;

– &2Y&L2= fLL(L,K) C’est a dire la derivee seconde de Y par rapport a L deux fois ;

– &2Y&K&L = fKL(L,K) C’est a dire la derivee seconde de Y par rapport a K puis a L ;

– &2Y&K&L = fLK(L,K) C’est a dire la derivee seconde de Y par rapport a L puis a K ;

15

8.1 Theoreme de Young

Le theoreme de Young est bien utile quand il faut calculer les derivees du second ordre. Ildit que :

&2Y&K&L =

&2Y&K&L

Autrement dit, les deux derivees secondes «croisees» sont egales. La preuve de ce theoreme esten dehors du cadre de ce cours, alors elle ne sera pas faite. Vous pouvez venir me voir si celavous intresse.

Formellement, on dira dans ce cas que pour une fonction a n variables y = f (x1, x2, . . . , xn)il y a n derivees partielles de premier ordre.

Dans ce cas la derivee partielle examine la limite du taux de variation de la fonctionlorsqu’une seule de ses variables est modifiee, alors que les autres sont maintenues fixes.

C’est la le sens de l’expression Ceteris Paribus : Toutes choses tant maintenues egalespar ailleurs. On verifie l’e!et d’une variation d’une seule variable, en maintenant les autresconstantes.

L’expression mathematique de cette limite du taux de variation s’ecrit :

& f (x1, x2, . . . , xn)

&xi= fi(x1, x2, . . . , xn) = lim

#xi#0

f (x1, x2, . . . , xi + #xi, . . . , xn)

#xi

Etant donne que, dans ce cas, une seule des variables change, les regles de derivation pourfonctions a une seule variable s’appliquent de la meme maniere. Comme il a ete mentionneplus haut, il faut considerer les autres variables comme des constantes.

Exemple :

y = f (x1, x2, x3) = x1x22 + 3x3

&y

&x1= x22

&y

&x2= 2x1x2

&y

&x3= 3

9 Di!erentielle totale

La di!erence majeure entre une derivee et une di!erentielle est le nombre de variables quivarient lorsqu’on observe le taux de variation de la fonction. Le resultat d’une di!erentielle estun cas precis d’equation di!erentielle, c’est-a-dire une equation qui fait appel aux variations desvariables plutot qu’aux variabes elles-meme.

Dans le cas de la di!erentielle totale, toutes les variables changent :

d f (x1, x2, . . . , xn) =&y&x1

dx1 +&y&x2

dx2 +&y&x3

dx3 + . . . +&y&xn

dxnLes variations de chacune des variables sont donnees par les dxi. Tout comme le #xi de la

derivee, la variation de chacune des variables est supposee etre petite. Cependant, on peut direque les variations sont di!erentes d’une variable a l’autre.

16

Exemple : une fonction de profitSoit une firme qui a la fonction de profit $ = f (x1, x2) = 10x1 + 20x2 % x22, ou x1 represente laproduction de la firme (ce qu’elle vend, donc ce qui lui procure des revenus) et x2 represente lapublicite que cette firme achete (donc une depense). Initialement, la firme produit 4 unites, etachete 11 unites de publicite.

Que se passerait-il si la firme augmentait sa production de 0.1 et reduisait ses achats depublicite de 0.05 ? Cela peut etre approxime par la di!erentielle totale :

On avait $ = f (4, 11) = 10(4) + 20(11) % (11)2 = 139, qui passe a $ = f (4.1, 10.95) = 10(4.1) +20(10.95) % (10.95)2 = 140, 0975.

La di!erentielle totale nous aurait donne :

d f (x1, x2) =&y&x1

dx1+&y&x2

dx2 = 10 · (0.1)+ (20%2&11) · (%0.05) = 1+ (%1% (%1.1)) = 1+ (%1+1.1) =1 + 0.1 = 1.1

C’est une approximation ; le resultat n’est pas parfait. Il est cependant su"sament prochepour dire qu’il est fiable. De plus, lorsqu’on travaille avec des fonctions qui ont etes ap-proximees (apres tout, qui connaıt sa propre fonction d’utilite ?), les resultats obtenus avec unedi!erentielle totale sont tout a fait corrects.

10 Introduction a l’optimisation

L’optimisation consiste a trouver le maximum ou le minimum d’une fonction, c’est-a-direla valeur de x qui produit la plus grande (ou la plus petite) valeur de y = f (x). Ici, y = f (x)est appelee fonction objectif. Cette fonction peut etre contrainte, c’est-a-dire sujette a une autrefonction qui limite ses arguments.

10.1 Optimisation d’une fonction a une variable, sans contrainte

Le premier cas etudie est celui ou il n’y a pas de contrainte, seulement une fonction objectif.On appelle maximum global la plus haute valeur de y atteinte dans un intervalle donne, paropposition a un maximum local. Celui-ci est une valeur de x telle que la fonction value immdia-tement a droite ou a gauche (soit avec x a peine plus petit ou a peine plus grand) produit unevaleur de y inferieure a la valeur obtenue lorsque y est evaluee en x.

Exemple graphique :Formellement, nous ecrirons que pour x0 un maximum local, alors f (x0) ) f (x), pour un

intervalle donne autour de x0.

10.2 Conditions necessaire pour un maximum

Il y a 2 types de conditions a verifier pour savoir si x0 est un maximum (ou un minimum) :Ce sont les conditions du premier ordre et les conditions du second ordre.

17

maximum local

maximum global

F!". 22 – Types de maximums

10.2.1 conditions du premier ordre

Pour obtenir un optima (un valeur de x qui peut etre un maximum ou un minimum), il fautegaliser la derivee premiere a 0 :

f -(x) =&y

&x= 0

Ainsi, la pente de la tangente (voir section 4.3 est nulle, ce qui donne une tangente horizontale.Dans ce cas, le seul point de la fonction que la tangente peut toucher doit etre soit tout en haut(maximum) ou tout en pas (minimum).

10.2.2 Conditions du second ordre :

Ensuite, pourdeterminer s’il s’agit d’unmaximum(minimum) local ouglobal, il faut evaluerla derivee seconde :

f --(x) =&2y

&x2< 0 pour un maximum

Autrement dit, pour resumer le tout :

Si f -(x) =&y&x = 0

et f --(x) =&2y&x2< 0 ! x

2

""3

""4alors x0 est un maximum local

Si f -(x) =&y&x = 0

et f --(x) =&2y&x2> 0 ! x

2

""3

""4alors x0 est un minimum local

Ce que la derivee seconde nous apprend est le sens de l’evolution de la derivee premiere ;autrement dit, est-ce que la pente de la tangente croıt ou dcroıt ? Cela peut etre reprsentegraphiquement comme :

18

1

1

maximum

F!". 23 – La fonction croıt, puis dcroıt

1

1

minimum

F!". 24 – La fonction decroıt, puis croıt

Dans ces deux figure, on peut remarquer que le signe de la derivee premiere change unefois le maximum (ou minimum) depasse. Cependant, la pente de la tangente elle continue decroıtre dans le cas du minimum (elle passe de negative a positive) et a decroıtre dans le cas dumaximum (elle passe de positive a negative).

11 Optimisation de fonction a plusieurs variables

Le procede d’optimisation lorsqu’il y a plusieurs variables est assez semblable a celuin’ayant qu’une seule variable. Autrement dit, il faut toujours :

1. verifier les conditions du premier ordre, c’est a dire egaliser la derivee premiere a zeropour determiner a quelle valeur de x l’optima se trouve ;

2. verifier les conditions du second ordre, et leur signe determinera si l’optima trouve plushaut est un maximum ou un minimum.

Exemple : Soit une fonction de plusisurs variables y = f (x1, x2, . . . , xn). Les conditions dupremier ordre sont que :

&y

&x1= 0

&y

&x2= 0

...

&y

&xn= 0

Les conditions du second ordre sont cependant un peu plus complexe ; il faut dorenavantverifier que la fonction est concave. Dans le cas a une seule variable il fallait verifier que laderivee seconde est positive dans le cas d’unmaximum, ounegative dans le cas d’unmaximum,ce qui nous donnait la concavite ou convexite de la fonction selon le cas.

Pour le cas a deux variables, voici la marche a suivre : Prmierement il faut calculer ledeterminant de la matrice hessienne, c’est-a-dire la matrice des derivees seconde :

19

H(x) =

5

66666666666667

f11(x1, . . . , xn) f12(x1, . . . , xn) · · · f1n(x1, . . . , xn)f21(x1, . . . , xn) f22(x1, . . . , xn) · · · f2n(x1, . . . , xn)

......

. . ....

fn1(x1, . . . , xn) fn2(x1, . . . , xn) · · · fnn(x1, . . . , xn)

8

9999999999999:

=

;

a11 a12a21 a22

<

Le determinant de cette matrice est a11 · a22 % a21 · a126. Il faut ensuite s’assurer que ledeterminant est toujours positif, et c’est ensuite le signe de la derivee f11 qui nous dira s’il s’agitd’un maximum ou d’un minimum :

Si f11 < 0 et que |H(x)| > 0 : alors il s’agit d’un maximumSi f11 > 0 et que |H(x)| > 0 : alors il s’agit d’un minimum

Autrement dit, il faut que pour un maximum la matrice hessienne soit #$"%&!'$ ($)!#!$ etpour un minimum qu’elle soit *+,!&!'$ ($)!#!$.

Voici un exemple a deux variables.Soit la fonction continue et di!erentiable deux fois y = f (x1, x2) = x2 % 4x21 + 3x1x2 % x

22. Trouver

un point critique (optima) et determinez s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.

premiere etape : egaliser les derivees premieres a zero, afin d’obtenir les coordonnees du pointcritique.

&y

&x1= 0 = %8x1 + 3x2

8x1 = 3x2

x1 =3

8x2

&y

&x2= 0 = 1 + 3x1 % 2x2

avec la premiere derivee, on a trouve x1 :

0 = 1 + 3)38x2*

% 2x2

0 = 1 +)98x2*

% 168 x2

%1 =)9%168 x2*

%1 = %78 x2

x2 = 87

et qui retourne dans la premiere derivee :

x1 = 38 ·

87

x1 = 37

6Nous reviendrons au cas des matrices plus grandes au besoin.

20

Alors le point critique est)37 ,

87 ,

2849

*

Il faut maintenant verifier s’il s’agit d’un maximum oud’un minimum. La matrice hessienne est donc :

|H(x)| ======

f11 = %8 f12 = 3f21 = 3 f22 = %2

====== (%8 & %2) % (3 & 3) = 7 > 0

La matrice hessienne nous donne directement la valeur de f11, et maintenant qu’on connait lesigne du determinant, on sait qu’il s’agit bel et bien d’un maximum.

12 Optimisation sous contrainte

L’optimisation sous contrainte est une des techniques les plus utilisees en economie. Ilest important de comprendre que les resultats obtenus de cette facon peuvent etre tout afait di!erents de ceux obtenus lors d’une optimisation sans contrainte. Par exemple, si vousvoulez acheter une maison, vous choisirez peut-etre un chateau a Westmount s’il n’y a pasde contraintes. Cependant, en presence de contraintes, peut-etre vous rabattrez-vous sur unbungalow en banlieue.

Deux methodes d’optimisation sous contraintes seront presentees ici. La premiere est lamethode par substition et la deuxieme est la methode de Lagrange7.

Le cadre de presentation sera un probleme classique de maximisation sous contrainte :tracer le rectangle avec la plus grande aire possible avec 20 metres de corde8. Formellement,nous ecrirons :

maxx,y

xy s.c. 2x + 2y * 20

Nous avons tout d’abord un but : maxx,y, c’est-a-dire «maximiser par choix de x et de y.Ensuite, ce but s’applique sur une fonction objectif, xy, qui est ce que nous desironsmaximiser. Latroisieme section, «s.c. »veut dire «sous contrainte de »

9. Et la derniere section est la contrainte,c’est-a-dire une fonction qui limite les valeurs que peuvent prendre les variables de choix.

Remarque : En economie, comme nous disons generalement que les agents «saturent »leurscontraintes de budget, ou que les firmes epuisent leurs ressources, nous travaillons «sur lafrontiere »des fonctions, ce qui nous permet de remplacer la contrainte 2x + 2y * 20 par2x + 2y = 20 ; nous utiliserons toute la corde.

12.1 Methode par substitution

L’idee derriere cette methode est d’eliminer la contrainte en la substituant dans la fonctionobjectif. De cette maniere il ne reste qu’un probleme d’optimisation sans contrainte a resoudre.Pour ca, il faut transformer la contrainte, afin qu’une des variables de choix soit exprimee enfonction de l’autre :

2x + 2y = 20

2x = 20 % 2y

x =1

2

0

20 % 2y1

x = 10 % y

7N.B. : il n’y a pas de meilleure methode, seulement l’une ou l’autre sera plus simple a utiliser selon la situation.8rappel : l’aire d’un rectangle se calcule comme «base & hauteur (x · y) et son contour comme 2x + 2y.9Il sera tres courant de rencontre «s.a. », qui veut dire «sujet a », ou la version en anglais, «s.t. », qui veut dire

«subject to ».

21

Une fois que nous avons obtenue cette nouvelle version de la contrainte, on la substitue ala variable correspondante de la fonction objectif et de resoudre normallement :

xy = (10 % y)y = 10y % y2

maxx,y

10y % y2

CPO :& f (y)

&y= 10 % 2y = 0

CSO :&2 f (y)

&y2= %2y < 0

Comme les conditions du premier ordre (CPO) et du second ordre (CSO) sont satisfaite, onpeut maintenant obtenir les valeur de x et de y : on prends la CPO qu’on a trouve et on isole ypour obtenir y0, la valeur optimale de y :

10 % 2y = 0

10 = 2y

y0 = 5

Pour obtenir x0, il ne reste qu’a prendre y0 et a le mettre dans la contrainte initiale, afin depouvoir isoler x :

2x0 + 2y0 = 20 = 2x0 + 2(5)

20 = 2x0 + 10

10 = 2x0

x0 = 5

Alors on sait que le rectangle optimal sera un carre, qu’il aura 5 metres de cote et que sonaire sera 5 & 5 = 25m2. Cela revient a dire que le maximiseur de la fonction objectif est (5, 5) etque le maximum de cette fonction, etant donne cette contrainte, est 25.

12.2 Methode de Lagrange

Voici le theoreme qui a ete ecrit pour la maximisation d’une fonction a deux variables souscontrainte d’egalite :

Soit un probleme de maximisation qui se pose comme :

maxx1,x2

f (x1, x2) s.c. g(x1, x2) = c

et qui fait appel a deux fonctions continues et di!erentiables deux fois.

Soit (x01, x02) une solution du probleme, mais qui n’est pas un point critique de la contrainte.

Alors il existe un nombre #"R tel que (x01, x02,#

0) est un point critique du Lagrangien

L (x1, x2,#) = f (x1, x2) % #[g(x1, x2) % c]

C’est-a-dire :&L

x1= 0;&L

x2= 0;&L

#= 0

22

La methode de Lagrange fait intervenir un troisieme nombre. Autrement dit, en ajoutantune coordonnee au point critique, le probleme passe d’une maximisation sous contrainte adeux inconnues a une maximisation sans contrainte a trois inconnues.

L’application de ce theoreme au probleme du rectangle se fait comme suit.

Premierement, il faut poser le probleme :

maxx1 ,x2

xy s.c. 2x + 2y = 20

xy%#[2x + 2y % 20]

Ensuite, il faut calculer les conditions du premier ordre, en n’oubliant pas que # estdesormais une des variable de choix :

12.2.1 Conditions du premier ordre

&L

x1= y % 2# = 0 donc : y = 2#

&L

x2= x % 2# = 0 donc : x = 2#

&L

#= %2x % 2y + 20 = 0 donc : 2x + 2y = 20

On a ainsi un systeme de trois equations et trois inconnues a resoudre. La premiere etapeest d’egaliser les 2 premieres equations, afin d’isoler soit x, soit y. Ceci est possible puisquechacune est egale a 2#.

x = 2# = y

x = y

qu’on met dans la contrainte :

2x + 2x = 20

4x = 20x = 5

qui va aussi dans la contrainte :2(5) + 2y = 20

10 + 2y = 20

2y = 20

y = 20

Alors encore une fois, on trouve que le maximiseur de la fonction objectif est (5, 5), et quele maximum de cette fonction, sujette a cette contrainte, est 5 & 5 = 25.

12.2.2 condition du second ordre

La matrice hessienne de ce systeme est :

H(x) =

;

L11 L12L21 L22

<

=

;

Lxx LxyLyx Lyy

<

=

;

0 11 0

<

23

S’il y a plus de 2 variables, et qu’il y a des contraintes, la matrice hessienne ne su"t pas ; il fautplutot construire la matrice hessienne bordee. Il s’agit de la hessienne precedente, a laquelle onajoute la ligne et la colonne des derivee premieres de la contrainte avant les derivees secondes.Dans le cas maxx,y f (x, y) s.c. g(x) = c :

H(x) =

5

66666667

0 gx(x, y) gy(x, y)gx(x, y) L11 L12gy(x, y) L21 L22

8

9999999:

=

5

66666667

0 gx(x, y) gy(x, y)gx(x, y) Lxx Lxygy(x, y) Lyx Lyy

8

9999999:

=

5

66666667

0 2 22 0 12 1 0

8

9999999:

Il faut calculer le determinant des sous-matrices10 de cette matrice, et verifier qu’ils sontpositif pour un minimum, ou qu’ils alternent en signe en debutant par negatif pour un minimum.

A noter : dans le cas d’une hessienne bordee, la sous-matrice d’ordre 1 comprends 4elements, soit le minimum pour former une matrice carree qui comporte L11.

Pour pouvoir calculer le determinant, il faut d’abord definir ce qu’est un mineur dans unematrice. Lemineurmij d’unematrice est le determinant de la matrice qui reste lorsqu’on enlevela ligne i et la colonne j de la matrice originale. Si la matrice originale est A, la matrice restanteest aij

Ensuite le determinant de la matrice se calcule comme :

|A| =n>

i ou j=1

(%1)i+ j ·Mij · aij

Autrement dit, pour une matrice An&n, il faut choisir une ligne ou une colone et faire lasomme alternee (+,%,+,%, . . .) de tous les mineurs multipliant leurs matrices restantes aij.

Voici un exemple pour mieux saisir, qui fait la somme par rapport a la premiere ligne :

========

0 1 %21 0 %2%2 %2 0

========

= 0 · %11+1 ·=====

0 %2%2 0

=====+ 1 · %11+2 ·

=====

1 %2%2 0

=====+ (%2) · %11+3 ·

=====

1 0%2 %2

=====

= 0 % 1 ·=====

0 %2%2 0

=====% 2 ·

=====

1 0%2 %2

=====

= %1(0 & 0 % (%2 & %2)) % 2(1 & %2 % (%2 & 0))

= %1(%4) + (%2(%2))= 4 + 4

= 8 > 0

Alors dans l’exemple du rectangle, les conditions du second ordre sont satisfaites.

12.3 Remarque concernant le multiplicateur de Lagrange

Le multiplicateur de lagrange # est aussi appele prix implicite11. Dans l’exemple precedent,on peut remarquer que x et y ont le meme prix implicite, qui se calcule d’apres les valeurstrouvee pour l’un ou l’autre : x = 2## 5 = 2## # = 2.5.

10Les sous-matrices sont les matrices dont on ne conserve qu’un certain nombre de colonnes et de ligne, en

debutant par 1. Par exemple, pour la sous-matrice

;

0 11 0

<

, la sous-matrice d’ordre 1, M1 est 0, l’element de la

position (1,1) alors que la sous-matrice d’ordre 2, M2, contient la matrice au complet.11En anglais : «shadow price »

24

La signification economique de ce prix implicite est tres utile : elle donne la variation dela fonction objectif resultant d’une modification de la contrainte. Par exemple, supposons quenous avons un metre de corde de plus ; la contrainte devient donc 2x + 2y = 21. D’apres lemultiplicateur de Lagrange l’aire du carre devrait augmenter de 2.5 & 1. En fait nous savonsque le perimetre du carre passe a 21 metres, ce qui lui fait des cotes de 5.25 metres, pour uneaire de 5.252 = 27.5625. Le prix implicite avait donc raison !

25