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Analyse des Signaux
Révision pour l’examen partiel
Jeudi 10 octobre 2013
1
Analyse des Signaux
Résumé
Matériel couvert La série de Fourier La transformée de Fourier Distributions
3
Analyse des Signaux
Examen Partiel
Matériel couvert – chapitres 1-4 – devoir des semaines 1-6
Documentation permise – une table de transformées FOURNIE – aucune calculatrice permise
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Fonction Transformée de Fourier
f t( ) F ωb g
F tb g 2π ωf −b g
f t a( )+ e Fjaω ω( )
f at( ) 1a
FaωF
HGIKJ
e f tjbt ( ) F bω −b g
t f tn b g j dd
Fnn
nb g b gω
ω
ddt
f tn
n b g j Fnω ωb g b g
Fonction Transformée de Fourier
Rect t τb g ( )Sa 2τ ωτ
( )Tri t τ ( )2Sa 2τ ωτ δ(t) 1
1 2πδ(ω)
e j tω 0 2 0πδ ω ω−b g
U(t) ( )1 jω πδ ω+
Sgn(t) 2 jω
δ δTn
t t nT0 0b g b g= −
=−∞
+∞
∑ ω δ ω ω0 0−=−∞
+∞
∑ nn
b g
e tt−β Ub g 1
β ω+ j
e t−β 2
2 2β
β ω+
Analyse des Signaux
Définitions
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0 - 2Rect( ) 1 - 2 < 2
0 - 2
tt t
t
ττ τ τ
τ
<= < >
1 0Tri( ) 1 0
0
t tt t t
autrement
τ ττ τ τ
− ≤ ≤= + − ≤ ≤ t
τ
1
−τ
U tttt
( ) .=<=>
RS|T|
0 00 5 01 0
si si si
Analyse des Signaux
Introduction
Chapitre 1
8
Analyse des Signaux
Exponentielles complexes
Nombres complexes – Forme cartésienne et polaire – Conjugué, partie réelle, partie imaginaire – Module, phase
Manipulation
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e jjθ θ θ= +cos sin e jj− = −θ θ θcos sin
cos ( )θ θ θ= + −12
e ej j sin ( )θ θ θ= − −12 j
e ej j
Analyse des Signaux
Les espaces vectorielles
Produit scalaire La norme Vecteurs orthogonaux Base orthonormée
10
Analyse des Signaux
L’ensemble L2
Fonction T-périodique Fonction de carré intégrable sur [a,b] Produit scalaire Norme Fonctions orthogonales Famille des exponentielles complexes
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{ }0 0 0 02 2, , ,1, , ,j t j t j t j tS e e e eω ω ω ω− −=
Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
Partie paire
Partie impaire 12
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
Analyse des Signaux
La série de Fourier
Chapitre 2
13
Analyse des Signaux
La série de Fourier
L’équation de synthèse
L’équation d’analyse
14
0
0
0
/ 2
0 / 2
1( ) ( )T
jn tp
T
F n f t e dtT
ω−
−
= ∫
0( ) ( ) jn tp
nf t F n e ω
+∞
=−∞
= ∑
Analyse des Signaux
Harmoniques
– valeur moyenne; composante continue; valeur DC
– fondamentale du signal; première harmonique
– nième harmonique 15
0 0( 1) (1)j t j tF e F eω ω−− +
0
0
/ 2
0 / 2
1(0) ( )T
pT
F f t dtT −
= ∫
0 0( ) ( )jn t jn tF n e F n eω ω−− +
Analyse des Signaux
Spectre
représentation cartésienne: représentation polaire: Spectre d’amplitude
– spectre discret |F(n)| Spectre de phase
– spectre discret arg{F(n)} – forcer d’être impaire
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( ) ( ) ( )F n A n jB n= +( )( ) ( ) j nF n F n e θ=
Analyse des Signaux
Sinus cardinale
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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinc(x)
x
sin( )( ) xSinc xxπ
π=
• Sinc( )0 1= • Sinc n( ) = 0 n entier, naturel, non nul • lim
xSinc x
® ±¥=b g 0
• Sinc x( )est une fonction paire
Analyse des Signaux
Propriétés pour fp(t) réelle
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( ) ( ) ( ) réelle pf t F n F n∗⇔ = −
( ) ( )( ) ( )
Re
Imev
od
f t F n
f t j F n
⇔
⇔
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Re
Imev
od
f t f t F n F n
f t f t F n j F n
= ⇔ =
= ⇔ =
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
ArgF n F n
F n F n
Analyse des Signaux
Puissance moyenne
Puissance moyenne dans une période
Puissance présente dans une harmonique
Puissance dans une bande de fréquence
Pourcentage de puissance
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0
0
22 2
0 2
1 ( ) ( )T
p pT
P f t dt f tT −
= =∫
2 2(3 ) (3) ( 3)èmeP harmonique F F= + −
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval
Pour fp(t) dans L2[0,T0] – fp(t) fonction de puissance finie
20
0
0
22 2
0 2
1 ( ) ( )T
pnT
P f t dt F nT
+∞
=−∞−
= = ∑∫
Analyse des Signaux
Série réelle
Équations d’analyse
21
0
0
0
0
2
00 2
2
00 2
2( ) ( )cos( )
2( ) ( )sin( )
T
pT
T
pT
a n f t n t dtT
b n f t n t dtT
ω
ω
−
−
=
=
∫
∫
Pas couvert dans l’examen partiel
Analyse des Signaux
Aspects mathématiques
Conditions suffisantes pour convergence – Pas couvert dans l’examen partiel
Convergence aux points de discontinuité Taux de convergence
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Analyse des Signaux
Théorème de Fourier
Toute fonction périodique fp(t) vérifiant le critère de Dirichlet possède une décomposition en coefficients de série complexe de Fourier et, de plus, la série converge vers fp(t) en tout point t où fp(t) est continue et vers
aux points de discontinuité.
23
12 f t f tp p( ) ( )- ++
Analyse des Signaux
Vitesse de convergence
Quand est-ce que
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( )0( ) ( )N
jn tN p
n Nt F n e f tω
+
=−
Φ = ≈∑Domaine fréquentiel Domaine temporel Vitesse
fp(t) pas continue 1/n
fp (t) continue fp’ (t) pas continue 1/n2
fp (t),fp’ (t) continue fp" (t) pas continue 1/n3
( ) ( ) et K KA n B nn n
< <
( ) ( )2 2 et K KA n B nn n
< <
( ) ( )3 3 et K KA n B n
n n< <
Analyse des Signaux
La transformée de Fourier
Chapitre 3
25
Analyse des Signaux
La transformée de Fourier
L’équation de synthèse
L’équation d’analyse
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f t F e dj tb g b g=∞
∞
z12π
ω ωω
-
+
F f t e dtj tω ωb g b g= −
−∞
+∞
z
Analyse des Signaux
Fonction de carré intégrable
Définition d’une fonction de carré intégrable, i.e., L2(ℜ)
Validité de l’équation de synthèse – presque partout
sauf éventuellement en un nombre fini de points Critère pour suffisance, pas pour nécessité
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f t dt( ) 2 < ∞−∞
+∞
z
Analyse des Signaux
Transformée de Fourier
Somme continue d’exponentielles complexes Passage entre domaines temporel et fréquentiel Suffisance
– fp(t) une fonction de carré intégrable Transformée existe pour les fonctions
périodiques – presque identique à la série de Fourier
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Analyse des Signaux
Propriétés de la transformée
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( ) ( ) ( ) réelle f t F Fω ω∗⇔ = −
( ) ( )( ) ( )
Re
Imev
od
f t F
f t j F
ω
ω
⇔
⇔
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Re
Imev
od
f t f t F F
f t f t F j F
ω ω
ω ω
= ⇔ =
= ⇔ =
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F F
F F
ω ω
ω ω
Analyse des Signaux
Propriétés
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Fonction Transformée de Fourier f t( ) F ωb g F tb g 2π ωf −b g af tb g aF ωb g
f t a( )+ e Fjaω ω( ) f at( ) 1
aF
aωF
HGIKJ
e f tjbt ( ) F bω −b g
Analyse des Signaux
Énergie d’un signal
Définition d’énergie
Densité d’énergie et énergie totale
Énergie dans une bande de fréquence
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E f t dt=−∞
+∞
z ( ) 2 2( )E f t dt+∞
−∞
= < ∞∫
signal d’énergie
( ) ( ) ( )212
E F E E dω ω ω ωπ
∞
−∞= = ∫
E E d F d( )ω ω ω ω ωπ
ω ωω
ω
ω
ω
1 22
1
2
1
212
≤ ≤ = =z zb g b g
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval
f(t) une fonction de L2(ℜ)
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( ) ( )22 1( )2
E f t dt F d E dω ω ω ωπ
+∞ +∞∞
−∞−∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫
énergie totale
fonction d’énergie
Analyse des Signaux
Théorème de Fourier
Toute fonction périodique fp(t) vérifiant le critère de Dirichlet-Jordan possède une transformée de Fourier et, de plus,
pour t où f (t) est continue et vers
aux points de discontinuité.
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f t F e dj t( ) =−∞
+∞
z12π
ω ωωb g
12
12
f t f t F e dj t( ) ( )+ −
−∞
+∞
+ = zc h b gπ
ω ωω
Analyse des Signaux
Bornes asymptotiques
Identifier la vitesse pour tendre vers 0 – regarde la régularité de la fonction , – cherche à majorer |F (ω)| par une puissance entière de 1/ω
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f(t) pas continue 1/ω f(t) continue f ’(t) pas continue 1/ω2
f(t),f ’(t) continue f"(t) pas continue 1/ω3
Analyse des Signaux
Analyse de Fourier
Expression analytique de f(t) Transformée de Fourier Énergie du signal Spectre d’amplitude Spectre de phase Densité spectrale d’énergie Vitesse de décroissance
Rectangle Triangle L’exponentielle
décroissante d’un côté L’exponentielle
décroissante de deux côtés
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Analyse des Signaux
Résumé
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Analyse des Signaux
Définitions
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0 - 2Rect( ) 1 - 2 < 2
0 - 2
tt t
t
ττ τ τ
τ
<= < >
tτ−τ
τ
U tttt
( ) .=<=>
RS|T|
0 00 5 01 0
si si si
0Tri( ) 0
0
t tt t t
autrement
τ ττ τ τ
− ≤ ≤= + − ≤ ≤
Analyse des Signaux
Distributions
Chapitre 4
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Analyse des Signaux
Définition
Fonction généralisée – Une fonction généralisée (ou une distribution) est la limite d'une séquence des
fonctions ordinaires, où chaque fonction ordinaire a une transformée de Fourier
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Analyse des Signaux
Propriété fondamentale des distributions
– Aussi possible d’utiliser k→∞, k→k0, etc. – Les fonctions de séquences ne sont pas uniques – Seulement valide quand nous avons le droit
d’inverser l’intégration et le passage à la limite 40
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
Pour
et pour lim
nous avons que lim
k k
kk
kk
f t F
f t f t
f t F
ω
ω
⇔
=
⇔
Analyse des Signaux
Exemple: sgn(t)
Trouver les fk(t)
Une possibilité
41
t0
1
-1
t0
1
-1
t0
1
-1
k→0
( ) ( )0
sgn lim kkt f t
→=
( )0
0 00
kt
kkt
e tf t t
e t
−
+
>= =− <
Analyse des Signaux
La fonction de Dirac
Aussi connue comme – La fonction delta; l’impulsion unitaire;
la fonction delta de Dirac
Définition
Distribution – Limite des rectangles (ou triangles, sinc, gaussien, etc.)
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( )
( )
0 0
1
t t
t dt
δ
δ∞
−∞
= ∀ ≠
=∫
Analyse des Signaux
Caractéristiques de δ(t)
Propriété d’échantillonnage L’intégrale de produit
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( ) ( ) ( ) ( )0h t t h tδ δ= ( ) ( ) ( )0h t t dt hδ∞
−∞=∫
t0 t0
h(t)δ(t)δ(t)
h(0)
Le poids de l’impulsion
Analyse des Signaux
Transformée d'un constant
Propriété de dualité
Donc …
La fonction delta est paire …
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( ) ( ) ( ) ( )2f t F F t fω π ω⇔ ⇔ −
( ) ( )1 1 2tδ πδ ω⇔ ⇒ ⇔ −
( )1 2πδ ω⇔
Analyse des Signaux
Fonctions périodiques
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Analyse des Signaux
Les fonction périodiques
La transformée de Fourier
Un spectre d`impulsions centrées sur les harmoniques – Trouvez les coefficients de la série de Fourier – Utilisez les coefficients F(n) pour le poids de
l'impulsion centrée sur nω0 46
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( )
00
0
2
2
jn tSérie Série
n n
Sérien
F n TF e F n n
F n n
ω πδ ω ω
π δ ω ω
+∞ +∞
=−∞ =−∞
+∞
=−∞
= −
= −
∑ ∑
∑
Analyse des Signaux
Spectre Discret !
Partie réelle et partie imaginaire
Spectre
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( ) ( )1
1 1( ) 2 ( 2 )n
F j n nn n
ω πδ ω δ ω π δ ω π∞
=
= − + − − +
∑
π
Α(ω)
0
−6π −4π −2π2π 4π 6π
1
1/2 1/3
-1-1/2
-1/3
Β(ω)
−6π −4π −2π 2π 4π 6π
1
1/2 1/3
F(ω)
-1
1
1 3 5
fp (t)
Analyse des Signaux
Peigne de Dirac (train d’impulsions)
Équation
Transformée
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( ) ( )0 0T
nt t nTδ δ
+∞
=−∞
= −∑ -2T0 -T0 0 T0 2T0t
( )( ) ( )0 0 0
0 0
2 2T
n n
nTF t nT Tπ πδ δ ω ω δ ω ω
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= − = −
∑ ∑
-2T0-T0 0 T0 2T0t −2ω0 ω0 0 ω0 2ω0
ω
( )0T tδ ( ) ( )
0F ωω δ ω=
Analyse des Signaux
Somme de Poisson
49
( )020 0
jn
n ne nπω ω ω δ ω ω
+∞ +∞−
=−∞ =−∞
= −∑ ∑
Analyse des Signaux
Transformée d’une fonction périodique
Méthodologie – Trouvez les coefficients de la série de Fourier – Utilisez les coefficients F(n) pour le poids de l'impulsion centrée sur nω0
Truc pour trouver F(n)
50
( ) ( )r o
o
F nF n
Tω
=
( )( ) ( ) ( )02pn
TF f t F n nπ δ ω ω+∞
=−∞
= −∑
Analyse des Signaux
Truc pour trouver F(n)
La restriction
Transformée de la restriction
Truc
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( ) ( ) [ ]0 0si 2, 20 sinon
pr
f t t T Tf t
∈ −=
( ) ( )r rf t F ω⇔
( ) ( )r o
o
F nF n
Tω
=
Analyse des Signaux
Dérivée de l’échelon
Nous avons
Pareillement
52
( ) ( )d U t tdt
δ=
0
1
t
U(t)
d/dtt
δ(t)
0
U(t-to)
td/dt
to
δ(t-to)
tot
Analyse des Signaux
Points de discontinuité
Hauteur d’une discontinuité
Dérivé
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( ) ( ) ( ), lim limt a t a
f a f t f tσ+ −→ →
= −
( ) ( )( ) ( ) ,t ad f t f t f a t adt
σ δ≠′= + −0 a
t
q σ f a,b gf(t)
Analyse des Signaux
Dérivée de la fonction delta
La dérivée de δ(t) existe – elle est une distribution comme δ(t) – elle s’appelle doublet
Tous les dérivées de δ(t) existent
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( ) ( ) ( )nd t tdt
δ δ=
δ(t) δ'(t)d/dt
to tot t
d
Analyse des Signaux
Transformées à connaître
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Fonction Transformée de Fourier ( )tδ 1
( )tδ τ− je ωτ−
1 ( )2πδ ω
0j te ω ( )02πδ ω ω−
( )U t ( )1 jω πδ ω+
( )Sgn t 2 jω
( )0sin tω ( ) ( )0 0jπ δ ω ω δ ω ω− − − +
( )0cos tω ( ) ( )( )0 0π δ ω ω δ ω ω− + +
( ) ( )0 0T
nt t nTδ δ
+∞
=−∞
= −∑ ( )0 0n
nω δ ω ω+∞
=−∞
−∑
( )pf t ( ) ( )02 Sérien
F n nπ δ ω ω+∞
=−∞
−∑
Analyse des Signaux
La fonction delta de Dirac
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( ) 1t dtδ+∞
−∞
=∫ et ( ) 1t a dtδ+∞
−∞
− =∫ ,
( ) ( )( ) 0 ( )f t t f tδ δ= et ( ) ( )( ) ( )f t t a f a t aδ δ− = −
( ) ( )( ) 0f t t dt fδ+∞
−∞
=∫ et ( ) ( )( )f t t a dt f aδ+∞
−∞
− =∫
le peigne de Dirac: ( ) ( )0 0T
nt t nTδ δ
+∞
=−∞
= −∑