Polinomios y Circuitos Lógicos

Amanda Luque.

DiseDiseñño: Amanda Luqueo: Amanda LuqueElaboraciElaboracióón: Amanda Luquen: Amanda LuqueDesarrollo: Amanda LuqueDesarrollo: Amanda Luque

Polinomios y Circuitos Lógicos

Amanda Luque.

En matemáticas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio). Es una expresión algebraica sobre un anillo conmutativo A constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciacióncon exponentes de números naturales (es decir, usando sólo las operaciones internas del anillo . Por lo tanto existirán monomios, binomios, trinomios, pero el hecho de que hayan más de estos, se denomina polinomio (consta de más de 3 monomios).. Tendremos en cuenta lo siguiente:1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.

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EJEMPLOS1. Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes:P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’)Q (w, x, y, z) = x + z’ + yJustifique cada paso con la ley que esté utilizando.Se aplicará: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico: sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’)= 1.1 + (1+0) + (1+0)= 1 + 1 + 1. Es Equivalente, Tienen Es Equivalente, Tienen mismo valor nummismo valor numéérico. rico.

Q (w, x, y, z) = x + z’ + y= 1 + 0 + 1. No es equivalente, ya que no tienen el mismo valor No es equivalente, ya que no tienen el mismo valor numnuméérico.rico.

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Forma Normal ConjuntivaSe dice que una función booleana está en forma

normal conjuntiva si está escrita como un producto de términos, en el cual cada uno es una suma que involucra todas las n-variables, con complementación o sin ella. Cada término se denomina término maximal.

El proceso para obtener la forma normal conjuntiva de una función booleana consiste en:

1. Aplicar las leyes D’Morgan para eliminar los complementos de los paréntesis.

2. Después la función es factorizada.3. Luego se introducen las variables que faltan en

cada factor. 4. Expresarla en factores y reducir aquellos que sean

semejantes.

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EJEMPLO

Encuentre el polinomio en Forma Normal Conjuntiva asociado al siguientepolinomio:P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z)Justifique cada paso con la ley que esté utilizando.P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z) Complementar con las letras que faltan

(x + y´ + z z´) (x´ + z´ + y y´) + (y´ + z + x x`) Distributiva(x + y´ + z) (x + y´ + z´) (x´ + z´ + y) (x´ + z´ + y´) (y´ + z + x) (y´ + z + x`)

La función booleana adopta una forma normal disyuntiva si está escrita como una suma de términos, en la cual cada término es un producto que involucra todas las n – variables, con negación o sin ella. Cada término se llama término minimal y la función se denomina función polinomial de términos minimales.Ejemplos:x + x’ en una variablex. y’ en dos variablesx. y. z’ + x’. y. z + x. y’. z en tres variables.El proceso para llegar a la forma normal disyuntiva de una función booleana consiste en:1. aplicar las leyes D’Morgan, hasta que los complementos aparezcan aplicados solamente a variables individuales;2. después por la aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la función puede ser reducida a un polinomio.3.Si en algún término falta una variable, por ejemplow, entonces este término puede ser multiplicado por la expresiónw + w’ sin cambiar la función.

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EJEMPLOEncuentre el polinomio en Forma Normal Disyuntiva asociado al siguientepolinomio:P (x, y, z) = (x + y’)z´Justifique cada paso con la ley que esté utilizando

P (x, y, z) = (x + y’)z´ Distributiva(xz` + y’z`) Complementación

(xz`+y+y` + z`y’+x+x`)= (xz`+y)+ (xz`+y`) + (z`y’+x)+ (z`y’+x`)

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Los circuitos cuyos componentes realizan operaciones análogas a las que indican los operadores lógicos se llaman "circuitos lógicos" o "circuitos digitales".Los operadores lógicos básicos son "Y", "O" y "N". Por eso, los componentes que realizan operaciones análogas se llaman "componentes básicos". Los componentes que resultan de la combinación de dos o más componentes básicos se llaman "componentes combinados".Todos los componentes arrojan una señal de salida, pero pueden recibir una o dos señales de entrada. En general, se los llama "compuertas" (en inglés, gates). Las compuertas se construyen con resistores, transistores, diodos, etc., conectados de manera que se obtengan ciertas salidas cuando las entradas adoptan determinados valores. Los circuitos integrados actuales tienen miles de compuertas lógicas.

EJEMPLOEncuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomioP (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´

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