rezmires d., (2003), theoretical and experimental research regarding the dynamics of spherical...

UNIVERSITATEA TEHNICA “GH. ASACHI” - IASI

FACULTATEA DE MECANICA

ing. Rezmire Gh. Daniel

TTEEZZA DDEE DDOOCCTTOORRAATT

Conducator stiintific

Prof. dr. ing. Spiridon CRETU

IASI

2003

[email protected]

Cercetari teoretice si experimentale privind dinamica rulmentilor radial oscilanti cu role butoi

„In orice faci trebuie s! întrevezi finalitatea ac"iunii”

Doresc s! adresez cele mai alese mul"umiri conduc!torului tiin"ific, domnului

prof. dr. ing. Spiridon Cre"u, pentru rigurozitatea tiin"ific! cu care m-a îndrumat

pe parcursul elabor!rii modelelor de calcul cuprinse în aceast! tez!. Mul"umesc în

mod deosebit pentru c! mi-a acordat posibilitatea de a gândi liber.

In egal! m!sur! transmit mul"umiri colectivului catedrei Organe de Ma ini din

cadrul Facult!"ii de Mecanic! în deosebi domnilor profesori Dumitru Olaru, Ber-

cea Ioan, Bercea Mihai, Prisacaru Gheorghe, Carmen Bujoreanu, Racocea Cezar i

Barbu Dr!gan pentru sprijinul acordat în elaborarea tezei.

Mul"umesc deasemenea domnului profesor Daniel Nelias de la INSA de Lyon pen-

tru sprijinul acordat în elaborarea algoritmilor de calcul cuprin i în programul BB20

i pentru faptul c! m-a înv!"at cum se elaboreaz! o lucrare destin! unei companii

str!ine.

Doresc s! mul"umesc departamentului de metod! de la SNECMA pentru încrederea

acordat! în elaborarea metodelor de calcul ce au f!cut subiectul conven"iei de sta-

giu desf! urate în 2002 i pentru flexibilitatea în gândire de care au dat dovad!.

Totodat! doresc s! adresez mul"umiri domnilor Luc Houpert i T. Hauswald de la

compania Timken Colmar unde am reu it s! m! familiarizez cu metodele de calcul

destinate analizei sistemelor de rulmen"i i a program!rii orientate pe obiecte.

Transmit de asemenea recuno tin"! p!rin"ilor i familiei mele pentru în"elegerea i

r!bdarea de care au dat dovad! pe parcursul anilor în care am urmat cursurile uni-

versitare i am efectuat stagiile de preg!tire la INSA de Lyon i la Timken Colmar.

pag.1

CUPRINS

Nota ii________________________________________________________________________________________ 5

Capitolul 1. Introducere Scop !i metod" de analiz" . ____________________________________________________ 9

1. Stadiul actual al cercet"rilor în domeniul analizei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi _________________ 10

1.1. Etape în evolu ia constructiv" a rulmen ilor radial oscilan i cu role.__________________________________ 10

1.2. Metode pentru descrierea parametrilor cinematici ai unui rulment. __________________________________ 13

1.3. Modele de analiz" a parametrilor cvasi-statici, aplicabile rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi__________ 17

1.4. Modele de analiz" ale contactelor non-hertziene_________________________________________________ 19

1.5. Modele de calcul pentru parametrii lubrifian ilor !i parametrii cvasi-dinamici. _________________________ 20

1.6. Comportarea cvasi-dinamic" a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi ______________________________ 28

1.7. Obiective ale tezei. _______________________________________________________________________ 28

1.8. Direc ii de cercetare_______________________________________________________________________ 28

Capitolul 2. Contribuţii privind modelarea geometriei rulmenţilor radial oscilanţi cu role butoi _________________ 30

2. Modelarea geometriei rulmenţilor._____________________________________________________________ 31

2.1. Modelarea orientat" pe obiecte (OOP) a geometriei rulmenţilor. ____________________________________ 31 2.1.1. Rulmentul - structur" OOP. Arhitectura structurii.____________________________________________ 31 2.1.2. Structuri derivabile din clasa SRB.________________________________________________________ 32 2.1.3. Rola butoi – element de baz" al structurii SRB. ______________________________________________ 33 2.1.4. Metodele structurilor SRB. ______________________________________________________________ 35

2.2. Interacţiunea geometric" rol"-colivie _________________________________________________________ 37

2.3. Componentele „joc radial” între o colivie !i elementele unei structuri SRB- SRB _______________________ 38

2.4. Definirea jocului în structurile SRB-RAX !i SRB-4PCBB_________________________________________ 39 2.4.1. Calculul distribu iei jocului în rulment cunoscând geometria rulmentului primitiv ___________________ 41 2.4.2. Calculul distribu iei jocului cunoscând parametrii „shim angle” si jocul efectiv dup" decupaj __________ 42

2.5. Repartiţia jocului în structurile SRB cu role !i SRB-OB___________________________________________ 43

2.6. Reparti ia jocului sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului !i a temepraturii _____________________ 44 2.6.1. Efectul rotirii uneia din c"ile de rulare asupra modific"rii jocului în rulmen i _______________________ 44 2.6.2. Efectul temperaturii de func ionare a rulmentului !i a condi iilor de rigiditate ale c"ilor de rulare asupra modific"rii jocului în rulmen i ________________________________________________________________ 46 2.6.3. Efectul fretajului asupra modific"rii jocului în rulmen i________________________________________ 47

2.7. Concluzii _______________________________________________________________________________ 47

Capitolul 3. Contribuţii privind analiza cinematicii structurilor SRB. ______________________________________ 48

3. Modelarea parametrizat" a cinematicii rulmenţilor.________________________________________________ 49

3.1. Vitezele unghiulare ale rolelor !i coliviilor structurilor SRB, prima aproximare ________________________ 49

3.2. Determinarea vitezelor de alunecare. Model de calcul.____________________________________________ 50 3.2.1. Componentele vectorului vitez" unghiular" al unei role SRB ___________________________________ 50 3.2.2. Determinarea vitezelor absolute ale corpurilor în contact ______________________________________ 51 3.2.3. Criteriul puterii minime consumate prin frecare______________________________________________ 54 3.2.4. Distribu ia vitezei de alunecare pentru diferite tipuri de structuri cu contacte punctuale. Exemple. ______ 55

3.3. Validarea algoritmului de calcul _____________________________________________________________ 57

3.4. Concluzii _______________________________________________________________________________ 58

Capitolul 4. Analiza parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB._______________________________________ 59

pag.2

4. Modelarea parametrilor cvasi-statici. ___________________________________________________________ 60

4.1. Gradele de libertate ale unei structuri SSRB (sistem de rulmenţi). ___________________________________ 60

4.2. Echilibrul structurii arbore - SSRB ___________________________________________________________ 61 4.2.1. Tipuri de analize ______________________________________________________________________ 61 4.2.2. Rigiditatea ansamblului arbore-SSRB _____________________________________________________ 62 4.2.3. Rigiditatea structurilor SSRB, compuse din dou" substructuri SRB-SRB.__________________________ 63

4.3. Deplasarea centrului de mas" al unei role SRB__________________________________________________ 64 4.3.1. Puncte caracteristice ale unei structuri SRB _________________________________________________ 65 4.3.2. Exprimarea DCMR în func ie de tipul de rigidizare. __________________________________________ 67

4.4. Determinarea parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB în funcţie de tipul de contact________________ 71 4.4.1. Echilibrul structurilor SRB (cazul contactelor de tip hertzian)___________________________________ 73 4.4.2. Aproximarea parametrilor unui contact nehertzian____________________________________________ 74 4.4.3. Aplicarea metodei sec ion"rii domeniului de contact în cazul contactelor punctuale__________________ 75 4.4.4. Efectul geometriei c"ilor de rulare !i a profilului rolelor asupra PCS. _____________________________ 76

4.5. Echilibrul rolelor (bilelor) unei structuri SRB exprimat în 3 DOF ___________________________________ 78

4.6. Validarea modelului de calcul al distribuţiei de sarcin".___________________________________________ 81 4.6.1. Compara ii cu datele prezentate de Stirbu [1998] pentru structuri SRB-SRB. _______________________ 81 4.6.2. Compara ii cu programul BB10.__________________________________________________________ 82 4.6.3. Compara ii cu programul RBL4 __________________________________________________________ 83 4.6.4. Compara ii cu modelul de calcul propus de Hamrock [1975] !i programul RMS4, considerând efectul expansiunii dentrifugale a inelului interior _______________________________________________________ 84

4.7. Influenţa unor parametri asupra determin"rii PCS _______________________________________________ 87 4.7.1. Influen a tipului de analiz" ______________________________________________________________ 87 4.7.2. Influen a geometriei c"ilor de rulare_______________________________________________________ 88 4.7.3. Influen a defazajului unghiular ___________________________________________________________ 89 4.7.4. Influen a caracterului oscilant al structurilor SRB-SRB________________________________________ 90

4.8. Concluzii _______________________________________________________________________________ 91

Capitolul 5. Elemente de lubrificaţie ale structurilor SRB _______________________________________________ 92

5. Parametrii reologici ai structurilor SSRB, componente ale clasei SRB _________________________________ 93

5.1. Vâscozitatea !i coeficientul de piezovâscozitate. ________________________________________________ 93

5.2. Regimuri de frecare-ungere în structurile SRB.__________________________________________________ 95 5.2.1. Modelul Houpert______________________________________________________________________ 96 5.2.2. Modelul Marckho _____________________________________________________________________ 96

5.3. Calcul grosimii filmului de lubrifiant _________________________________________________________ 97

5.4. Calculul tensiunilor de forfecare din lubrifiant __________________________________________________ 98

5.5. Variaţia grosimii filmului în funcţie de condiţiile de înc"rcare !i de tipul structurii ____________________ 100

5.6. Concluzii ______________________________________________________________________________ 102

Capitolul 6. Contribuţii privind analiza parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB.Validare experimental" a metodei de calcul propuse ______________________________________________________________________ 103

6. Parametrii cvasi-dinamici ai structurilor SRB ___________________________________________________ 104

6.1. Ecuaţiile care descriu echilibrul rolelor pe direcţia de înaintare ___________________________________ 104

6.2. Ecuaţiile de echilibru ale coliviilor unei structuri SRB___________________________________________ 109 6.2.1. Momentul rezistent la înaintarea coliviei prin amestecul aer – lubrifiant __________________________ 111 6.2.2. Ghidarea coliviei pe c"ile de rulare. ______________________________________________________ 111

6.3. Calculul momentelor de frecare ale inelelor structurilor SRB. Model simplificat ______________________ 112

6.4. Calculul puterii consumate ________________________________________________________________ 112

6.5. Evoluţia PCD ai structurilor SRB în vecin"tatea turaţiilor de echilibru ale rolelor !i coliviilor ___________ 113

pag.3

6.6. Validare experimental" a modelului de calcul propus. Tipuri de teste._______________________________ 115 6.6.1. Elemente specifice testelor T1, T2 !i T3___________________________________________________ 115 6.6.2. Elemente specifice testului T4. __________________________________________________________ 115

6.7. Teste de tip T1. Incerc"ri cu sarcin" pur radial" !i turaţie variabil" _________________________________ 116 6.7.1. Test T1.A __________________________________________________________________________ 116 6.7.2. Test T1.B __________________________________________________________________________ 123 6.7.3. Test T1.C __________________________________________________________________________ 125 6.7.4. Test T1.D __________________________________________________________________________ 127 6.7.5. Test T1.E___________________________________________________________________________ 129 6.7.6. Concluzii privind validarea modelului de calcul în cazul testelor de tip T1. _______________________ 131

6.8. Teste de tip T2. Rezultate numerice !i experimentale obţinute folosind o sarcin" pur axial" !i turaţie variabil"132 6.8.1. Test T2.A. __________________________________________________________________________ 132 6.8.2. Test T2.B. __________________________________________________________________________ 134 6.8.3. Test T2.C __________________________________________________________________________ 136

6.9. Teste de tip T3. Rezultate numerice !i experimentale obţinute în cazul înc"rc"rii combinate _____________ 138 6.9.1. Test T3.A. __________________________________________________________________________ 138 6.9.2. Test T3.B. __________________________________________________________________________ 140

6.10. Variaţia momentului de frecare în funcţie de temperatur". Test T4.________________________________ 143

6.11. Calculul momentelor de frecare ale inelelor incluzând efectul momentului de rostogolire vâscos. ________ 145

6.12. Concluzii _____________________________________________________________________________ 147

Capitolul 7. Stand utilizat !i metod" de m"surare a momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului. ______ 148

7. Parametri constructivi ai standului de testare ____________________________________________________ 149

7.1. Elementele de acţionare !i control ale standului ________________________________________________ 149 7.1.1. Sistemul de ac ionare electric" __________________________________________________________ 149 7.1.2. Sistemul de înc"rcare cu sarcina de lucru __________________________________________________ 149

7.2. Elemente componente ale lanţului de m"sur" __________________________________________________ 150

7.3. Calibrarea traductorilor utilizaţi ____________________________________________________________ 151 7.3.1. Etalonarea sistemului de m"surare a momentului de frecare ___________________________________ 151 7.3.2. Etalonarea traductorului de temperatur"___________________________________________________ 152 7.3.3. Rela ia presiune – sarcin" axial"_________________________________________________________ 153 7.3.4. Rela ia presiune – sarcin" radial" ________________________________________________________ 153

Capitolul 8. Concluzii generale. Sinteza principalelor rezultate obţinute___________________________________ 154

8.1. Sinteza rezultatelor. ______________________________________________________________________ 155 8.1.1. Rezultate privind modelarea geometriei rulmen ilor oscilan i cu role butoi________________________ 155 8.1.2. Rezultate privind modelarea cinematicii rulmen ilor _________________________________________ 156 8.1.3. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-statici________________________________________ 156 8.1.4. Rezultate privind modelarea parametrilor lubrifian ilor utiliza i în structurile SRB__________________ 157 8.1.5. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB ______________________ 157

8.2. Elemente de noutate aduse în cadrul tezei _____________________________________________________ 158

8.3. Concluzii privind validarea teorietic" !i experimental"___________________________________________ 160 8.3.1. Validare model de calcul prin compara ii cu datele teoretice prezentate în literatur". ________________ 160 8.3.2. Verificarea modelului de calcul cu rezultate experimentale proprii !i întâlnite în literatur". ___________ 160

8.4. Rezultate publicate !i în curs de publicare. Rapoarte tehnice.______________________________________ 160

8.5. Concluzie final"_________________________________________________________________________ 161

Anexe ______________________________________________________________________________________ 162

Anexa 1. Parametrii cvasi-statici ai unui contat punctual hertzian______________________________________ 163

Anexa 2. Matricea de rigiditate a unei structuri SRB cu contacte punctuale cu inelul exterior rigid____________ 166 Anexa 2.1. Componentele matricei de rigiditate neconsierând efectului momentului giroscopic ____________ 166

pag.4

Anexa 2.2. Componentele matricei de rigiditate ale unei role consierând momentul giroscopic _____________ 169

Anexa 3. Parametri suplimentari utilizaţi în modelul cvasi-dinamic (cu considerarea prezen ei lubrifiantului) __ 171 Anexa 3.1. Parametri adimensionali___________________________________________________________ 171 Anexa 3.2. Parametri utiliza i în calcul tensiunilor de forfecare din lubrifiant___________________________ 171 Anexa 3.3. Vâscozitatea lubrifiantului utilizat pentru valid"rile experimentale ale analizei cvasi-dinamice. ___ 172

Anexa 4. Elemente geometrice ale rulmenţilor utilizaţi în analize numerice !i experimentale ________________ 173

Anexa 4. Elemente geometrice ale rulmenţilor utilizaţi în analize numerice !i experimentale ________________ 173

Anexa 5. Detalii privind punctele caracteristice considerate în analiza structurilor SRB-DBB________________ 174

Anexa 6. Influen a for elor de frecare asupra distribu iei de tensiuni din interiorul c"ii de rulare. _____________ 178

Bibliografie__________________________________________________________________________________ 180

pag.5

NNOOTTAA!TIIII

Structuri

SRB = rulment

= clas de func!ii geometrice SSRB structur de tip sistem de rulmen!i SRB-4PCBB rulment cu bile cu 2..4 contacte de

tip principal, include SRB-RAX SRB-CARB rulment de tip CARB SRB-CRB rulment radial cu role cilindrice SRB-DBB rulment cu bile cu dou rânduri SRB-OB rulment radial oscilant cu bile SRB-RAX rulment radial-axial cu bile contact SRB-SRB rulment radial oscilant cu role butoi SRB-SRB-ax rulment oscilant cu role asimetrice SRB-TRB rulment cu role asimetrice (conice

sau oscilan!i axiali)

Conven ii i nota!ii particulare

2 DOF analiz în dou grade de libertate 3 DOF analiz în 3 grade de libertate 5 DOF analiza în 5 grade de libertate 9 DOF analiz în 9 grade de libertate

(pentru structuri SSRB) bil" caz particular al unei rolei butoi

simetrice, ob!inut prin derivarea parametrilor geometrici ai unei role SRB

CMR centrul de mas al unei role contact principal

contacte care au probabilitate ridicat de a apare (Ex. contactul corp de rostogolire – c i de rulare)

contact secundar

contacte cu probabilitate mic de apari!ie (se dezvolt doar în cazuri particulare de înc rcare). Ex contactul rol - umeri laterali, rol – inel flotant

cvasi-dinamic

cu considerarea for!elor tangen!iale pe direc!ia de înaintare ale rolei

cvasi-static cu considerarea efectului for!ei centrifuge "i a momentului giroscopic

DCMR deplasarea centrului de mas al rolei derivare particularizare OOP IRR define"te starea unui rulment pentru

care inelul interior este rigid, inelul exterior fiind deplasabil

metod" OOP procedur (func!ie) utilizat pentru descrierea unui parametru al structurii SSRB

OOP programare orientat pe obiecte ORR define"te starea unui rulment pentru

care inelul exterior este rigid, inelul interior fiind deplasabil

palier substructur de tip SSRB PCD parametri cvasi-dinamici PCS parametri cvasi-statici rol" SRB element de baz al structurii SSRB static f r considerarea for!ei centrifuge structur" ansamblu de func!ii ata"ate unui

obiect

Vectori i matrice. Componente

{F}pa vectorul sarcina exterioar Fx=Fa sarcina axial

Fy sarcina radial , în lungul axei Y Fz sarcina radial , in lungul axei Z

My momentul în jurul axei OY Mz momentul în jurul axei OZ

{#}SSRB vectorul deplasare al structurii SSRB #x=da deplasarea axial

#ypa deplasarea radial în direc!ia axei Y corespunz toare palierului pa

#zpa deplasarea radial în direc!ia axei Z corespunz toare palierului pa

$zpa deplasarea unghiular în jurul axei Z corespunz toare palierului pa

$zpa deplasarea unghiular în jurul axei Y corespunz toare palierului pa

(…) (r,j,idx,da,dr,uxj, uzj) {%}j vectorul vitez unghiular a bilei j {u}idx { -#1, #2, -#3, #4} Tidx are valoarea 0 când nu exist sarcin

de contact "i 1 când sarcina de contact exist

Indici

c cale de rulare e exterior ext extern i interior idx num rul de contacte dintre o rol "i

c ile de rulare j num rul rolei in cadrul rândului r nrp num rul de rulmen!i inclu"i în palierul

„pa” Ns num rul de sec!iuni pa num rul palierului r rândul num rul ... al structurii s num rul sec!iunii, s=1...NS v 0 sau 1 în func!ie de tipul de analiz

pag.6

w rol Z num rul de role de pe rândul r

Func!ii (metode SRB)

RD(RIG) func!ie utilizat pentru descrierea condi!iilor de rigidizare a inelelor

SDLidx joc local intre rola "i calea de rulare idx

sduxidx descrie deplasarea axial a rolei sduzidx descrie deplasarea radial a rolei sdxidx descrie deplasarea axiala a inelului sdzidx descrie deplasarea radial a inelului smgxidx descrie efectul momentului giroscopic

în direc!ie axial smgzidx descrie efectul momentului giroscopic

în direc!ie radial

Elemente geometrice

dm diametrul mediu al rulmentului Dw diametrul rolei exprimat la jum tatea

lungimii acesteia. Corespunde regiunii descris de parametrii Ls1+Ls2 (fig.2.4)

R, Rw raza rolei (pentru role simetrice) Lw lungimea rolei Oe punct care descrie pozi!ia centului de

curbur al c ii de rulare exterioare, Oe=Oe($)

Oi punct care descrie pozi!ia centului de curbur al c ii de rulare interioare, Oi=Oi($)

Ow punct care descrie pozi!ia centrului de mas al rolei, Ow=Ow($)

Ri raza de curbur a c ii de rulare interioare, în direc!ie axial

Ridx descrie raza profilului rolei în direc!ie axial ; = Ri sau Ro pentru structuri cu 2 contacte principale

Ro raza de curbur a c ii de rulare exterioare, exprimat în direc!ie axial

Rxidx Raza echivalent exprimat în diec!ie axial

Ryidx raza de curbur echivalent exprimat în direc!ia de rostogolire

Variabile globale

= Dw.cos(!)/dm ’ = Dw/dm. Qh debit de lubrifiant ULRC unghiul maxim de rotire a rolei în

loca"ul coliviei E0 modulul de elasticitate echivalent al

corpurilor în contact, Pa

P(xp,yp) punct din domeniul de contact Vp viteza absolut a punctului P q",idx sarcina distribuit în sec!iunea " a

contactul idx #",idx coeficientul de frecare în zona

sec!iunii " a contactului idx &idx $[-aidx,+aidx] !p coeficient de piezovâscozitate [Pa-1] Valp,idx viteza de alunecare specific puntului

P '( decalaj unghiular ( unghiul de pozi!ie al rolei %c viteza unghiular a coliviei %i,e viteza unghiular a inelelor interior

respectiv exterior %w, %b viteza unghiular a rolei, (bilei) %sidx componenta mi"c rii de spin a rolei

la nivelul contactului %ridx componenta mi"c rii de rostogolire a

rolei la nivelul contactului Fc for!a centrifug ? unghiul vectorului vitez unghiular )idx, ) (..) unghiul de contact pentru contactul

idx Qidx, Q(..) sarcina de contact G parametrul adimensional de material W parametrul adimensional de sarcin U Parametrul adimensional de vitez Pf

suma puterilor consumate prin frecare la nivelul celor „idx” contacte

Nota!ii specifice , cap 2

A,B puncte care descriu pozi!ia centrelor

de curbur ale profilului rolelor, A=A($); B=B($)

expBIE modificarea de lungime a unei raze care descrie una din c ile de rulare, interioar sau exterioar

jai,e deplasarea axial liber a rolei la nivelul contactului idx

JCB Joc radial între colivie (C) "i calea de rulare (B)

JCC Joc axial între colivii JCI Joc între colivie "i inelul flotant Jf, Jd joc frontal, respectiv diametral JIB Joc radial între inelul intermediar "i

calea de rulare interioar a rulmentului

jri,e deplasarea radial liber a rolei la nivelul contactului idx

LC grosimea materialului coliviei LIF l !imea inelului flotant Pd joc diametral Rc raza generatoare a profilului coliviei Rf raza de cap t a rolei, respectiv raza

rolei

pag.7

Rinf raza lateral a profilului coliviei considerat infinit

Rsn, Rsd, Lsn, Ldn

raze "i lungimi necesare discretiz rii geometriei unei role SRB

SDLI, SDLE Joc local între rol "i calea de rulare interioar respectiv exterioar

x func!ie de reparti!ie a jocului * unghiul ini!ial descris de segmentul

OiOw cu axa Oz ) unghiul ini!ial descris de segmentul

OeOw cu axa Oz (pentru cazul rolelor asimetrice); #=% pentru role simetrice


{VcP,idx} vectorul vitez absolut al unui punct

de pe calea de rulare idx {VwP,idx} Vectorul vitez absolut al unui punct

de pe rol (bil ) %idx {&i,&i,&e,&e} Rech raza de curbur echivalent

exprimat în direc!ie axial


%n proiec!ia deplas rii lineare a inelului în direc!ia normalei la contact

%t proiec!ia deplas rii lineare a inelului în direc!ie perpendicular pe normala la contact

B_RD l !imea calculat a domeniului de contact în sec!iunea aleas

dn proiec!ia deplas rilor radial "i axial a DCMR în direc!ia normalei la contact

dr(() deplasarea echivalent exprimat în func!ie de unghiul de pozi!ie al rolei

dt proiec!ia deplas rilor radial "i axial a DCMR în direc!ie perpendicular pe normala la contact

fp,fb,fq func!ii rezultate prin interpolare utilizate pentru descrierea contactelor punctual modificate

Ki,e, Kidx rigiditatea de contact a contactului kidx factorul de elipticitate local loe distan!a dintre centrul de curbur al

c ii de rulare exterioare "i centrul de curbur al rolei

loi distan!a dintre centrul de curbur al c ii de rulare interioare "i centrul de curbur al rolei

MSSRB matricea de rigiditate a unei structuri SSRB

P_RD tensiunea normal de contact corespunz toare unei sec!iuni

Q_RD sarcina corespunz toare sec!iunii

RC vectorul ‚raza c ii de rulare’ rot(() deplasarea unghiular exprimat în

func!ie de unghiul de pozi!ie al rolei RR raza rolei în sec!iunea s RC raza c ii de rulare în sec!iunea s


&0 tensiunea de forfecare a lubrifiantului, corespunz toare zonei de tranzi!ie din zona hertzian în cea non-hertzian

&ech tensiunea de forfecare echivalent a lubrifiantului corespunz toare unui element de arie dA

&lim tensiunea de forfecare limit , Pa !p coeficient de piezovâscozitate, Pa-1

'T vâscozitatea dinamic a lubrifiantului la intrarea în contact, Pa.s

(T factor de corec!ie termic 'T,p vâscozitatea dinamic în contact,

Pa.s A coeficient în func!ie de care se

stabile"te tranzi!ia între regimurile de lubrifica!ie

C1 coeficient introdus de Marckho pentru stabilirea regimului de ungere

F(&) func!ie disipativ G modulul elastic de forfecare h0 grosimea central a filmului de

lubrifiant, m hmin grosimea minim a filmului de

lubrifiant, m iso condi!ii de func!ionare izoterme IVE regim izovâscos elastic IVR regim izovâscos rigid kf conductivitatea termic a

lubrifiantului, W/(m.oC) LT parametru termic PVE regim piezovâscos elastic (EHD) PVR regim piezovâsco rigid T temperatura lubrifiantului la intrarea

în contact WLF model de calcul al vâscozit !ii

dinamice ) coeficient termovâscos, C-1

+15 densitatea uleiului la 15oC


) parametrul filmului de lubrifiant #rc coeficientul de frecare între colivie si

inelul pe care se face ghidarea Dr diametrul inelului pe care se face

ghidarea coliviei FA for!a de trac!iune pe asperit !i FAL for!a de rezisten! la înaintarea rolei

pag.8

prin amestecul aer-lubrifiant Fcr for!a de contact colivie-cale de rulare FcRC=FcBC for!a de contact corp de rostogolire-

colivie FH for!a de presiune (hidrodinamic ) FL for!a de trac!iune din lubrifiant FR for!a rezistent de rostogolire MD moment de ‚drag’ pentru o rol MDC moment de ‚drag’ pentru o colivie MDF moment de ‚drag’ frontal MDL moment de drag lateral MF moment de frecare MFe moment de frecare calculat pe inelul

exterior al rulmentului MFi moment de frecare calculat pe inelul

interior al rulmentului MR momentul rezistent de rostogolire mo moment de rostogolire de natur

vâscoas la nivelul contactului rol – cale de rulare exterioar

mi moment de rostogolire de natur vâscoal la nivelul contactului rol – cale de rulare interioar

NRE num rul lui Reynolds Nsg num rul de suprafe!e pe care se face

ghidarea coliviei P putere consumat prin frecare Paer-lub puterea consumat la înaintarea rolei

prin amestecul aer-lubrifiant Pdrag puterea consumat prin efect de

„drag” Pps puterea consumat prin efectul de

palier scurt Prc puterea consumat la nivelul

contactului rol – cale de rulare Prco puterea consumat la nivelul

contactului rol -colivie Qh debitul de lubrifiant Ra rugozitatea suprafe!ei analizate SF suma for!elor de trac!iune "i de

rostoglire exprimate la nivelul contactului

So num rul lui Sommerfeld

pag.9

CCAAPPIITTOOLLUULL 11.. Introducere Scop �i metod� de analiz�.

Introducere. Scop i metod! de analiz!.

pag.10

1. Stadiul actual al cercet!rilor în domeniul analizei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi

1.1. Etape în evolu ia constructiv! a rulmen ilor radial oscilan i cu role.

In 1912, în Germania, a fost brevetat primul tip de rulment oscilant cu un singur rând de role butoi simetrice, elementele sale componente fiind prezentate în figura 1.1a, (Brandlein [1980]) . Propriet! ile constructive ale acestui tip de rulment asigur! preluarea unor înclin!ri de pâna la 4 grade, valoare superioar! tuturor celorlalte tipuri de rulmen i utiliza i. Colivia este executat! din alam!, din dou! buc! i, fiind ghidat! pe inelul interior.

In 1932, firma FAG a patentat un rulment de tip radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri, având role butoi simetrice, ghidate pe umerii rigizi ai inelului interior. O astfel de construc ie de rulment este prezentat! în figura 1.1b. Studiile efectuate de în cadrul companiilor FAG i SKF, în perioada anilor 1950-1980 au fost destinate îmbun!t! irii caracteristicilor func ionale, a cre terii capacit! ii de înc!rcare radial! i a tura iei inelului interior. Intre anii 1970-1980, FAG, SKF, au conceput si lansat in execu ie rulmen i radial oscilan i cu role butoi in cadrul c!rora contactul dintre role si umerii de ghidare ale inelelor interioare a fost eliminat, rezultând o variant! constructiv!cunoscut! sub denumirea de rulment radial oscilant cu role butoi pe dou!rânduri de tip C. Acest tip de rulment con ine dou! colivii din tabl! de o el i un inel de ghidare flotant, ghidat pe inelul interior.

In 1979 firma FAG a realizat o nou!variant! constructiv! în cadrul c!reia coliviile sunt realizate din poliamid!(rulmen ii de tip E).

In 1980, firma SKF a brevetat rulmentul radial oscilant cu role butoi de tip CC, care asigura o cre tere a domeniului de tura ie a inelului interior cu aproximativ 7% i o reducere a pierderilor prin frecare cu pân! la 20%, in raport cu varianta constructiv! de tip C.

Principalele elemente geometrice ale unui rulment radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri sunt prezentate în figura 1.2.

Fig.1.2. Elemente geometrice ale rulmen ilor oscilan i cu role butoi de tip C, (Gafi anu M, s.a [1985])

Fig.1.1a

Fig. 1.1b

pag.11

O sintez! a principalelor forme constructive de rulmen i radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri este prezentat! în figurile 1.3 i 1.4, (Gafi anu M. s.a [1985]).

Exist! trei tipuri principale de geometrii constructive de role butoi: role butoi simetrice, role butoi asimetrice i role butoi simetrice cu raze multiple (sau role profilate). Optimizarea formei constructive a rolelor a f!cut subiectul multor analize prezentate în literatura de specialitate. Intre acestea se num!r!datele prezentate de Racocea C si Cretu Sp [1980], Racocea C [1981], Krweminski-Freda i Warda, B [1996], Lefter D [1999a i 199b], Cre u [1999 i 2002], etc.

O analiz! a posibilit! ilor oferite de utilizarea de role butoi str!punse (g!urite) a fost realizat! de Lefter [1994a i 1994b] (figurile. 1.5 i 1.6), rezultând o serie de avantaje func ionale (între care, reducerea efectului for ei centrifuge având implica ii directe în cre terea limitei de tura ie a inelului interior).

Fig.1.5 Fig. 1.6.

Utilizarea rolelor str!punse asigur! avantaje economice, rolele putând fi realizate din eav! material de rulment. Parametrii de fabrica ie ai elementelor componente ale unui rulment radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri de tip C, sunt prezenta i de Lefter [1994a], i definesc principalele rela ii de leg!tur! func ional! dintre role – c!i de rulare – inel flotant i colivii. Unele dintre elementele geometrice ale inelelor i coliviilor sunt prezentate în figurile 1.7-1.9.

In figura 1.7 este prezentat un exemplu de inel de ghidare, flotant pe inelul interior. In figurile 1.8 si 1.9 sunt eviden iate câteva caracteristici constructive ale coliviei unui rulment radial oscilant cu role butoi.

Fig. 1.3. Variante constructive de rulmenti radial oscilanti

cu role butoi

Fig. 1.4. Particularitati constructive ale inelelor

corespunzatoare diverselor forme de rulmenti radial

oscilanti.

pag.12

Fig.1.7 Fig. 1.8 Fig.1.9

In anul 2000, în cadrul firmei NSK, a fost dezvoltat! o nou! variant! constructiv! de rulment oscilant, denumit! EA prezentat!în figura.1.10, (Akiyoshi [2000]).

Elementele particulare ale acestui rulment sunt: lipsa inelului flotant i utilizarea de colivii din poliamid! ghidate pe inelul interior

Fig.1.10. Rulment oscilant cu role de tip EA (Akiyoshi, [2000])

In figura 1.11 sunt prezentate diferen ele constructive între construc ia standard a unui rulment de tip C i varianta constructiv! EA.

Fig.1.11. Diferen e constructive între variantele EA i CD (Akiyoashi, [2000])

pag.13

1.2. Metode pentru descrierea parametrilor cinematici ai unui rulment.

Modelele matematice utilizate pentru aproximarea vitezelor unghiulare ale rolelor i coliviilor rulmen ilor sunt sintetizate de Harris [1966, 1971, 1983, 1991, 1998], Gafi anu, .a, [1985], Olaru [1992], Bercea [1996], Nelias D [1989 i 1999], Kawamura s.a[1990], Touma K s.a [1985] etc. Principalele aspecte legate de modelarea parametrilor cinematici se refer! la stabilirea vitezelor de alunecare la nivelul contactelor dintre role i c!ile de rulare i determinarea componentelor vectorului vitez! unghiular! al rolelor.

Harris [1966, 1983, 1991] descrie componentele vectorului vitez! unghiular! ale unui corp de rostogolire, eviden iind trei tipuri de mi c!ri ale unei role (bile): mi carea principal! de rostogolire, mi carea de spin i mi carea giroscopic!.

Componentele giroscopice i de spin (în cazul unei bile), numite skew transversal i longitudinal în cazul rolelor, corespund proiec iei vectorului vitez! unghiular! al unui corp de rostogolire în raport cu direc ia vectorului vitez! unghiular! al inelului mobil al rulmentului. Împreun! cu componenta care descrie mi carea de rostogolire formeaz! un reper ortogonal.

Metodele matematice utilizate pot fi grupate în dou! mari categorii, fiind modele cinematice simplificate i modele vectoriale.

Din punct de vedere al metodei de aproximare a modulului vectorului vitez! unghiular! a corpurilor de rostogolire au fost dezvoltate dou! tipuri de modele de analiz!, Harris [1966, 1983, 1991]: !model de analiz! simplificat care consider! doar mi carea de rostogolire pur! neglijând

componentele giroscopice i de spin ale vectorului vitez! unghiular! al copurilor de rostogolire. !model de analiz! complet care consider! efectul mi c!rilor giroscopice i de spin (skew). Prin

utilizarea acestui tip de model se determin! vitezele de alunecare de la nivelul contactelor role-c!i de rulare.

Elementele utilizate în analiza cinematic! simplificat! pentru rulmen ii cu bile i respectiv cu role conice sunt prezentate în figurile 1.12- 1.14.

Fig. 1.12. Parametri geometrici i cinematici considera i în analiza cinematic! simplificat! (Gafi anu, s.a [1985])

pag.14

Fig. 1.13. Metoda Willis (înghe area coliviei) în analiza cinematic! simplificat! (Gafi anu, s.a [1985])

Fig. 1.14. Parametri geometrici i cinematici considera i în analiza cinematic! simplificat! a rulmen ilor cu role conice, (Gafi anu M, .a , [1985])

Pentru fiecare tip de rulment au fost stabilite rela ii de calcul independente care descriu tura iile aproximative ale rolelor i coliviilor. Pentru cazul rulmen ilor cu cale de rulare sec ionat! având trei sau patru puncte de contact se utilizeaz! pentru aproximarea solu iilor ini iale ale rolelor i coliviei modele simplificate descrise pentru rulmentul primitiv (cu dou! puncte de contact) (Nelias [1994 i 1999], B.J. Hamrock [1973 i 1975], Coe [1977]).

Pentru determinarea mi c!rilor de spin i respectiv giroscopice ale unui corp de rostogolire este necesar a se utiliza metode de analiz! vectoriale (matriceale).

Acest tip de analiz! const! în exprimarea vectorial! a profilelor c!ilor de rulare i a corpurilor de rostogolire i înmul irea vectorial! a profilului discretizat cu matricele antisimetrice care descriu vitezele unghiulare, respectiv accelera iile unghiulare. Astfel de analize au fost realizate de c!tre Nelias [1994, 1989, 1999], Harris [1966, 1983, 1991], Olaru [1995]. In cazul analizelor efectuate de Nelias D în [1989,1994] vectorii utiliza i sunt prezenta i în figura 1.15.

Fig. 1.15. Componentele vectorului vitez!unghiular! a unei bile (role)

pag.15

Forma matricelor antisimetrice ale vitezei i respectiv ale componentelor accelera ie unghiular! este, (Mangeron [1978]):

! M

z y

z x

y x

=

0 -

0 -

- 0

!

"

####

$

%

&&&&

matricea antisimetric! a vectorului vitez! unghiular!.

! M

z y

z x

y x

=

0 -

0 -

- 0

'

' '

' '

' '

!

"

####

$

%

&&&&

matricea antisimetric! a vectorului accelera ie unghiular!.

Componentele vectorului vitez! unghiular! ale unei bile sunt descrise de expresiile, Harris [1966, 1983,1991], Nelias [1994, 1989, 1999], Touma s.a [1985] :

x’ = w.cos(().cos((’) y’ = w.cos(().sin((’) z’ = w.sin(().

în care ( i (’ reprezint! unghiurile care descriu direc ia vectorului vitez! unghiular! al bilei (rolei).

Dup! Harris [1966, 1983, 1991], determinarea vitezelor de alunecare de la nivelul contactelor dintre role i c!ile de rulare se realizeaz! prin raportarea efectului componentelor vectorilor vitez! unghiular!ale rolelor i c!ilor de rulare la zona elipsei de contact. In cadrul catedrei de Organe de Ma ini din Ia i, modelul prezentat de Harris [1991], pentru determinarea vectorilor vitez! de alunecare a fost utilizat de Olaru [1992] pentru analiza rulmen ilor radial axiali cu bile, Paleu [2002] pentru analiza rulmen ilor cu bile ceramice, Stirbu [1998] pentru studiul rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri. Elementele necesare exprim!rii vitezelor de alunecare sunt prezentate în figurile 1.16 i 1.17.

Fig. 1.16. Modelul Harris, aplicat la studiul vitezelor de alunecare dintre bile i calea de rulare exterioar!. (Gafi anu M, .a, [1985])

pag.16

Fig. 1.17. Modelul Harris, aplicat la studiul vitezelor de alunecare dintre bile i calea de rulare interioar!. (Gafi anu M, .a, [1985]).

Pentru a determina componentele de spin i giroscopice ale vectorului vitez! unghiular! a unei bile (skew pentru role), în literatura de specialitate sunt prezentate modele de calcul care utilizeaz! diverse ipoteze simplificatoare cum sunt:

!ipoteza anul!rii momentului giroscopic utilizat! de Gupta [1979 c], Olaru [1995] !ipoteza ghid!rii bilei pe una din c!ile de rulare introdus! de Kawamura, H i Touma, K [1990]; !ipoteza controlului partajat al ghid!rii dezvoltat! i utilizat! de Nelias [1994 i 1999],

Denssurre & Nelias [1994];

Prin utilizarea ipotezei anul!rii momentului giroscopic se atribuie unghiului (‘ valoarea 0. In acest caz proiec iile vectorului vitez! unghiular! al rolei devin:

x’= wcos((); y’=0; z’= wsin(()

Introducerea ipotezei ghid!rii rolei pe una din c!ile de rulare permite determinarea direc iei vectorului vitez! unghiular! a bilei (figura 1.18). Touma K s.a [1985] arat! c! se impune verificarea inegalit! ii:

QeaeEacos()i-)e)>QiaiEi

în care:

Q: sarcina normal! de contact a : semilungimea elipsei de contact E : integrala eliptic! de prima spe !

Fig. 1.18. Elemente necesare determin!rii direc iei vectorului vitez! unghiular! a bilei, (Gafi anu M, sa, [1985]) In aceast! ipotez!, Kawamura [1990] determin! valorile unghiului ( i modulul vectorului vitez!

pag.17

unghiular! al bilelor i coliviei unui rulment radial axial cu bile:

pentru ghidarea interioar!: tg(()=sin()e)/[cos()e)+*’] " c=+i[cos()i-)e)-*’cos()e)]/[1+cos()i-)e)] pentru ghidarea exterior!: tg(()=sin()e)/[cos()e)-*’] " c=+i[1-cos()i)]/[1+cos()i-)e)] i

) ( )* )

) ( )* )

* (w i

e e

e

i i

i

tg tg, -

..

..

-

/

01

2

34

!

"#

$

%&

-

+cos sin

'cos

cos sin

' cos 'cos

1 1

1

unde *’=Dw/dm

Nelias D [1994 i 1999] prezint! ipoteza controlului partajat al bilei pe c!ile de rulare i urm!re te determinarea valorii unghiului pentru vectorul vitez! unghiular! al bilei, corespunz!tor unui minim de putere consumat!prin componenta de frecare de spin. In figura 1.19 sunt prezentate comparativ valorile corespunz!toare unghiului considerând ipotezele de ghidare i respectiv ipoteza controlului partajat.

Valorile calculate folosind datele prezentate de Nelias în 1994 se încadreaz! între valorile calculate de Kawamura în 1980 i asigur! continuitate în ceea ce prive te determinarea direc iei vectorului vitez! unghiular! al unei bilei.

Fig.1.19. Rezultate ob inute utilizând ipoteza controlului partajat al mi c!rii giroscopice (Nelias D, [1999]).

1.3. Modele de analiz! a parametrilor cvasi-statici, aplicabile rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi

In literatura de specialitate, modelele matematice destinate studierii fenomenelor de la nivelul interfe ei corp de rostogolire – c!i de rulare se clasific! în trei categorii distincte: modele cvasi-statice, cvasidinamice i modele dinamice.

!Analizele de tip cvasi-static conduc la determinarea parametrilor de contact dintre corpurile de rostogolire i c!ile de rulare considerând efectele sarcinii exterioare i influen a for ei centrifuge i a momentului giroscopic. In cazul în care nu este considerat! influen a for ei centrifuge, tipul de analiz! revine unei analize statice.

!In cazul analizei cvasi-dinamice se utilizeaz! „metoda înghe !rii corpului de rostogolire” i se consider! efectul for elor i momentelor care contribuie la realizarea mi c!rii pe direc ia de principal! de înaintare, f!r! a introduce parametrul timp.

!In cazul analizelor dinamice se consider! evolu ia în timp a principalilor parametri care concur! la realizarea deplas!rii corpului de rostogolire.

In cadrul model!rii dinamice i cvasi-dinamice trebuie cunoscu i parametrii cvasi-statici.

pag.18

Rulmentul este un sistem static nedeterminat. Pentru ridicarea nedetermin!rii i aprecierea parametrilor cvasi-statici care descriu contactele unui rulment se utilizeaz! rela ia sarcin!-deforma ie specific! solicit!rii de contact concentrat Hertzian. Deformaia rezultat n urma înc!rc!rii este dependent! neliniar de sarcina aplicat!: Q=K.5n

în care: K# Kp, pentru contactul punctual i K# Kl, pentru contactul liniar; n=1,5 pentru contact punctual n=10/9 pentru contact liniar

Pentru un anumit corp de rostogolire , în cazul înc!rc!rii statice, sarcinile pe cele dou! c!i de rulare sunt egale: Qi=Ki.5i

n=Qe =Q=Ke.5en= Kn.5t

n în care 5t=5i+5e. Termenii Ki, Ke, reprezint! rigidit! ile contactelor interior, exterior. Termenii 5i, i 5e definesc apropierea total! corespunz!toare contactului dintre corpul de rostogolire i c!ile de rulare. Pentru cele dou! contacte realizate ale corpului de rostogolire se dezvolt! o rigiditate echivalent! Kn.

Rela iile de calcul pentru rigidit! i, în func ie de tipul de contact sunt:

pentru contactul punctual: Kp(i,e) = 2,15.105(67(i,e))-1/25*

(i,e)-3/2

pentru contactul liniar: Kl = 8.05.104Lw8/9

Distribu ia de sarcin! într-un rulment se ob ine prin: !utilizarea integralelor Sjoval, prezentate în Harris [1966, 1983,1991] !utilizarea matricelor de rigiditate: J. de Mul [1989a i 1989b], Hamrock [1973, 1975], etc

Utilizarea integralelor Sjoval axiale reprezint! o metod! aproximativ! deoarece în cazul rulmen ilor radial-axiali cu bile nu surprinde modificarea unghiului de contact odat! cu cre terea tura iei.

In scopul determin!rii precise a parametrilor cvasi-statici ai sistemelor de rulmen i au fost dezvoltate modele de calcul bazate pe matricea de rigiditate a ansamblului rulmen i-arbore. In acest sens se aminte te modelul cuprins în programul SYSx dezvoltat de Hauswald T [1998a i 1998b]. In acest model matricea de rigiditate a sistemului arbore-set de rulmen i are dimensiunea 10x10, considerând elasticitatea arborelui. In acest caz a fost utilizat un algoritm bazat pe folosirea tehnicii elementului finit. Implicarea flexibilit! ii arborelui, dar f!r! considerarea modific!rii unghiului de contact dintre rol!- i calea de rulare este realizat! în modelele dezvoltate de Bercea [2002] i respectiv de Fabien B. s.a [2002].

Sub ac iunea unei sarcini combinate (radiale i axiale), distribu ia de sarcin! cap!t! un caracter asimetric, determinând în rulment un moment „remanent”. Acest aspect este eviden iat de analizele în trei grade de libertate efectuate de c!tre Nelias în cadrul programului BB10. In cazul unei analize în 5 grade de libertate care include i rezolvarea ecua iilor de echilibru de momente ale inelelor, rezult! al!turi de componente care descriu transla ia inelului mobil i componente corespunz!toare înclin!rii inelului mobil.

Modelul de calcul dezvoltat de J. de Mul în 1989 surprinde fenomenele prezentate anterior. Modelul de calcul propus de Legrand E în 1997 include un nou tip de analiz! care presupune rezolvarea ecua iilor

pag.19

de echilibru de for e i momente, considerând îns! valori impuse ale rotirii în reazem.

Efectul „geometriei arborelui” în calculul echilibrului de for e i momente ale sistemelor de rulmen i este introdus în unele model!ri precum: modelul de calcul utilizat în programul SYSx al firmei Timken, modelul Bercea [2002].

Gupta [1979], dezvolt! un model sofisticat destinat determin!rii influen ei efectului imperfec iunilor c!ilor de rulare. Cavalaro G. i Nelias D., dezvolt! la INSA de Lyon un model de calcul pentru analiza carcaselor deformabile ale rulmen ilor cu dou! rânduri de bile, destina i construc iei rotorului unui helicopter.

1.4. Modele de analiz! ale contactelor non-hertziene

In func ie de m!rimea sarcinii externe aplicate i în func ie de caracteristicile geometrice al rulmentului analizat, conform J de Mul [1989a], sarcina de contact la nivelul interfe ei rol! - c!i de rulare se transmite prin contacte de tip punctual sau contacte de tip liniar. In monografia, devenit! de referin !, Harris [1966,1983,1991], se consider! existen a unuia dintre cele dou! tipuri de contact. Acest aspect se datoreaz! utiliz!rii modelului de calcul care cuprinde integralele de tip Sjoval.

In func ie de sarcina extern!, la nivelul contractului dintre o rol! i c!ile de rulare pot exista simultan contacte punctuale cât i contacte de tip liniar. O încercare de tratare simultan! a ambelor tipuri de contacte (stabilirea unui criteriu de tranzi ie între cele dou! tipuri de contacte) a fost realizat! de c!tre Houpert [2001]. Principiul metodei adoptate de c!tre Houpert î l constituie realizarea unor func ii de interpolare în func ie de apropierea relativ! a dou! suprafe e aflate în contact. Interpolarea a fost realizat! de Houpert utilizând rezultatele unui algoritm de calcul dezvoltat de c!tre Cre u Sp [1996] având la baz! o analiz! a contactului folosind metoda semispa iului elastic. Rela iile de calcul dezvoltate de Houpert permit în acest caz, aproximarea parametrilor celor dou! tipuri de contact prin introducerea unei noi rela ii de calcul a rigidit! ii contactului i utilizarea exponentului 1,09 în rela ia de dependen ! dintre sarcin! i deforma ie.

J. de Mul [1989] a prezentat un algoritm de calcul destinat analizei rulmen ilor cu contacte liniare care includ i efectul înclin!rii inelului interior. O metod! similar! a fost aplicat! de c!tre Cre u Sp i Bercea I [1995], Bercea [1996] i Prisacaru [1997].

Efectului rotirii rolei asupra distribu iei de presiune la nivelul unui contact dintre o rol! i o cale de rulare este eviden iat i de utilizarea metodei elementului finit i a metodei coeficien ilor de influen ! din teoria semispa iului elastic. Intr-un studiu efectuat de Cre u Sp, .a [1999] s-a pus în eviden ! distribu ia neuniform! de presiune la nivelul unui contact rol!-cale de rulare, sub efectul rotirii impuse a axei rolei. A fost utilizat! metoda coeficientilor de influenta. Valorile impuse rotirii axei rolei au fost introduse ca date de intrare în urma rul!rii programului de calcul dezvoltat anterior de Bercea [1996].

In modelul de calcul dezvoltat de Legrand E în 1997, este surprins efectul trunchierii elipsei de contact în cadrul rulmen ilor cu cale de rulare sec ionat!. Totu i, algoritmul de calcul prezentat în cadrul raportului c!tre compania SNECMA nu prezint! i solu ii de analiz! a acestui fenomen.

Metodele de analiz! ale parametrilor unui contact non-hertzian, care surprind i efectul concentr!rii tensiunilor în zona de cap!t al unei role în forma prezentat! de c!tre Johnson K.L [1985], Popinceanu N., .a, [1985], Cre u Sp. [2002], permit scrierea matricei de rigiditate ale unei role în func ie de derivatele coeficien ilor de influen !. Crearea Jacobianului unei role, prin derivarea coeficien ilor de influen ! în raport cu deplasarea centrului de mas! al rolei, necesit! îns! o cantitate mare de memorie.

pag.20

1.5. Modele de calcul pentru parametrii lubrifian ilor i parametrii cvasi-dinamici.

Rolul principal al lubrifiantului este cel de separare a corpurilor în contact (respectiv existen a unui regim de ungere pentru care parametrul filmului de lubrifiant s! aib! valori mai mari ca 1,5)

Rela iile de calcul necesare determin!rii grosimii filmului de lubrifiant au fost stabilite de c!tre Dowson [1961, 1976, 1983, 1995], Hamrock [1973, 1976, 1977], etc. Rela iile matematice dezvoltate pun în eviden ! necesitatea cunoa terii regimului de ungere de la nivelul tribocontactelor rulmentului.

Studiile efectuate în acest sens au condus la stabilirea unor zone de valabilitate ale a rela iilor de calcul determinate pentru grosimea minim! i maxim! a filmului de lubrifiant. Delimitarea acestor zone se poate realiza folosind diagrame precum cele indicate în figura 1.20.

Fig. 1.20. Exemple de h!r i de regim trasate pentru dou! valori diferite ale parametrului elipticitate, (Dowson [1995])

Trasarea h!r ilor de regim se realizeaz! în func ie de valorile parametrilor adimensionali de viscozitate (gv) i de parametrul adimensional de elasticitate (ge), care depind la rândul lor de parametrii adimensionali de sarcin!, de material i de parametrul adimensional de vitez!. Cre u S. [1989], a realizat hartile de regim destinate “delimit!rii regimurilor de ungere”, pentru analiza lubrifica iei dintre cap!tul rolei i um!rul de ghidare al unui rulment cu role cilindrice, fiind primul studiu de acest tip din tara. Studiile numerice au fost bine validate de m!sur!torile de grosime de film efectuate prin metoda interferometriei optice.

In scopul determin!rii regimului de ungere existent într-o cupl! de frecare Houpert [1985] a introdus o un criteriu de tranzi ie între diversele tipuri de regimuri, utilizând un parametru de decizie notat A. Un model similar este cel realizat de Marckho i prezentat de Harris în 1991. Pentru studiul for elor de frecare dintre rol! i colivie, Houpert în 1984, a pus în eviden ! posibilitatea dezvolt!rii în contactele unei bile (role) cu colivia, a trei regimuri de ungere : piezovâscos rigid (PVR sau EHD), izovâscos elastic (IVE sau HD) i regim uscat.

pag.21

Fig.1.21. Criteriu pentru stabilirea tranzi iei între regimurile de ungere dintr-un tribocontact, (Houpert [1985])

Conform teoriei EHD în condi iile izoterme, la cre terea tura iei i a vâscozit! ii lubrifian ilor cre te grosimea filmului interpus între bile (role) i c!ile de rulare. Condi iile izoterme la tura ii ridicate, în cazul func ion!rii la rulmentului la tura ie ridicat! sunt greu de realizat datorit! frec!rilor interne din filmul de lubrifiant. Prin urmare aspectele termice devin importante la tura ii ridicate i conduc la sc!derea sever! a grosimii filmului.

Cercet!rile efectuate de Hamrock [1983b], Johnson [1980] au pus în eviden ! cauzele i efectele fenomenelor termice din filmul de lubrifiant (fig. 1.22).

Fig.1.22.a. Distribu ia de presiune i forma filmului de lubrifiant în lipsa starv!rii.

Fig.1.22.b. Distribu ia de presiune i forma filmului de lubrifiant în cazul existen ei starv!rii

Un alt fenomen sesizat se refer! la insuficien a aliment!rii cu lubrifiant a contactelor EHD în cazul unor cantit! i reduse de lubrifiant i a vitezelor ridicate i este cunoscut sub denumirea de starvare.

pag.22

Starvarea a fost studiat! de Popinceanu i colaboratorii [1972, 1977, 1985], fenomenul eviden iindu-se chiar i la tura ii reduse ale rulmen ilor, prin utilizarea unor uleiuri cu vâscozitate ridicat!. Determinarea unui factor de corec ie a grosimii filmului EHD afectat de starvare a constituit una din preocup!rile de baz! ale diver ilor cercet!tori între care Goksem i Hgargreaves [1976], Olaru D [1992], etc. Hamrock i Dowson [1977] stabilesc pentru un contact punctual un coeficient de starvare care depinde de grosimea filmului calculat! în condi ii de ungere abundent!. Pentru conditii functionale de mentinere la o valoare constanta a grosimii filmului Cretu Sp. [1989] a evidentiat, in premiera mondiala, aceeasi relatie dintre parametrul de ungere si durabilitate prin modificarea parametrilor de rugozitate la loturile de rulmenti supusi incercarilor de fiabilitate. Existen a lubrifiantului la nivelul interfe ei corp de rostogolire - c!i de rulare i colivie – inel de rulment cauzeaz! apari ia urm!toarelor for e i momente: !for a (momentul) de rostogolire de natur! vâscoas!; !for ele de presiune (for a hidrodinamic!); !for ele de “drag” (for e de frecare între suprafa a corpului de rostogolire i amestecul aer-

lubrifiant); !for ele de rezisten ! la înaintarea elementului de rostogolire prin amestecul aer-lubrifiant; !for ele generate de efectul de palier scurt (în cazul analizei ghid!rii coliviei pe c!ile de rulare); !for ele de trac iune din lubrifiant.

Un model complex de calcul al tensiunilor tangen iale în filmul existent la contactele bilelor (rolelor) cu c!ile de rulare utilizând modelul Maxewell-Ree-Eyring a fost dezvoltat de Houpert L [1985a]. Tensiunile tangen iale din zona de contact sunt predominante în compara ie cu tensiunile din straturile de lubrifiant din zona de intrare în contact, în primul rând din cauza cantit! ii reduse de lubrifiant existent în condi iile unor tura ii ridicate. Modelarea matematic! a evolu iei tensiunilor de forfecare din lubrifiant în direc ia de rostogolire cât i în direc ie axial! a fost eviden iat! de Houpert [1985a] , Nelias D [1999], etc.

Toate aceste tipuri de modele utilizeaz! un parametru important al lubrifiantului, i anume tensiunea de forfecare caracteristic! sau limit!. Determinarea for elor de trac iune în acest caz se realizeaz! prin integrarea tensiunilor par iale specifice fiec!rei celule elementare corespunz!toare domeniului de contact analizat (figurile 1.23a i 1.23b).

Fig.1.23a. Tensiuni de forfecare în lubrifiant în direc ia de mi care, (Bercea I, [1996] )

Fig.1.23b. Tensiuni de forfecare din lubrifiant corespunz!toare direc iilor de înaintare a rolei i respectiv în direc ie perpendicular! pe aceasta, (Bercea I, [1996] )

Analiza bidirec ional! a tensiunilor de forfecare din lubrifiant este specific! contactelor cap!t rol! – um!r de ghidare ale c!ii de rulare i în cazul rulmen ilor cu bile în cazul existen ei mi c!rilor

pag.23

giroscopice i de spin. Determinarea parametrilor care caracterizeaz! vâscozitatea dinamic! , coeficientul de pizovâscozitate i respectiv evolu ia tensiunii de forfecare dintr-un lubrifiant sunt prezentate de Nelias D [1999], în cazul lubrifian ilor utiliza i în industria aeronautic!. In cazul utiliz!rii acestui tip de lubrifian i Nelias [1999] recomand! utilizarea modelului de calcul WLF, Yatsutomi, .a. [1984], Nijenbanning G. s.a [1994].

Compara iile experimentale prezentate pentru patru tipuri de lubrifiant, prezentate în figura 1.24, arat! c! folosirea unui model de calcul general pentru studierea parametrilor unui lubrifiant implic! i unele neconcordan e în raport cu rezultatele experimentale.

Fig.1.24. Compara ii între datele experimentale i cele ob inute pentru calculul vâscozit! ii dinamice folosind diverse modele de calcul prezentate în literatur!, (Nelias D. (1999]).

Un alt parametru important, utilizat în calculul parametrilor adimensionali ai lubrifian ilor, î l reprezint! coeficientul de piezovâscozitate. In mod similar în figura 1.25 se prezint! diferen ele ob inute urmare a utiliz!rii diverselor modele de calcul asupra valorilor coeficientului de piezovâscozitate i a grosimii centrale a filmului de lubrifiant. (figura.1.25)

Fig.1.25. Evolu ia cu temperatura a coeficientului de piezovâscozitate i a grosimii centrale a filmului de lubrifiant, calculate folosind diverse modele de calcul, (Nelias D, [1999])

Determinarea tensiunii de forfecare, corespunz!toare trecerii de la comportarea de tip Newtonian la

pag.24

zona de comportare non-Newtoinian!, impune cunoa terea curbelor de trac iune ale lubrifiantului analizat. In figura 1.26 se prezint! rela iile de calcul necesare analizei evolu iei tensiunilor de forfecare i a modului de forfecare transversal pentru lubrifian ii destina i utiliz!rii în industria aeronautic! ( Nelias [1999]).

Fig. 1.26. Exemple de curbe de trac iune trasate pentru lubrifian i destina i utiliz!rii în industria aeronautic!, (Nelias D, [1999]).

Cercet!rile experimentale efectuate de Olaru [1992], Cre u [1999], Bercea I. [1996 i 2002] au permis trasarea curbelor de trac iune pentru unui din lubrifian ii române ti i respectiv determinarea tensiunii de forfecare caracteristice. Intre lubrifian ii pentru care au fost determinat! tensiunea de forfecare caracteristic! este i lubrifiantul H46 utilizat în cadrul testelor experimentale din prezenta lucrare.

Un loc aparte îl ocup! studierea interac iunii dintre role i colivie cât i optimizarea formei constructive a coliviei. Bones [1970], Poplawski (1972), Gentle s.a, [1985], Cre u i Bercea [1997, 1999], Reviron O, s.a [1999], prezent! studii legate de determinarea coeficientului de frecare dintre o rol! i o colivie, stabilind rela ii de calcul necesare în studiul efectului for ei de contact dintre rol! i colivie asupra parametrilor cvasi-dinamici. Utilizând modelul de calcul specific lag!relor cu palier scurt, Frene, .a. [1990] au fost eviden iate evolu iile for elor de natur! vâscoas! i ale for elor de trac iune pe asperit! i specifice contactului rol!-colivie (figura. 1.27).

Fig. 1.27. For e ce ac ioneaz! în contactul rol! colivie (Cre u Sp., .a [1999]) Încerc!rile de optimizare constructiv! ale coliviilor rulmen ilor cu role conice au condus la realizarea de diferite tipuri de colivii, precum cele prezentate în figura 1.28. Pentru cazul rulmen ilor radiali axiali cu role conice, un exemplu de analiz! este cel prezentat de Orvos [1987]. Analiza st!rii de tensiuni a

pag.25

fost efectuat! utilizând metode de discretizare specifice elementului finit, (figura1.29).

Fig.1.28. Solu ii constructive de colivii utilizate în construc ia rulmen ilor cu role conice, Orvos [1987].

Fig. 1.29. Exemple de structuri utilizate pentru analiza st!rii de tensiuni într-o colivie (elemente de tip brick i beam), (Orvos [1987].)

Analiza fenomenelor tribologice specifice contactului dintre cap!tul unei role i umerii de ghidare ai c!ilor de rulare în rulmen ii cu role cilindrice sau conice a f!cut subiectul studiilor efectuate de Brown, .a [1983], Cre u Sp, s.a [1986, 1988,1996], Zhou s.a [1991], Warda [1991], Bercea I [1996], Prisacaru Gh s.a [1994, 1997, 1999], etc.

Sub efectul condi iilor de func ionare, mi carea coliviei nu este una uniform!. Acest fenomen este pus în eviden ! de c!tre Gupta [1979], Nelias D [1999]. Un exemplu în acest sens este cel prezentat de Nelias D, în cazul analizei fenomenelor dinamice în cadrul rulmen ilor cu role cilindrice (figura. 1.30).

pag.26

Fig. 1.30. Varia ia pozi iei centrului de mas! al coliviei i evolu ia vitezelor unghiulare a c!ii de rulare i a coliviei în timp (Nelias D, [1999])

Meeks C i Karen O, [1984a i 1984 b], a pus deasemenea în eviden ! varia ia pozi iei centrului de mas! al coliviei (figura. 1.31).

Fig. 1.31. Elemente utilizate pentru analiza deplas!rii centrului de mas! al coliviei unui rulment, (Meeks C, Karen O, [1984a,b])

Studiile efectuate de Nelias D, asupra rulmen ilor cu role cilindrice au pus de asemenea în eviden ! faptul c! între role i colivie exist! for e de contact (a fost f!cut! aceast! precizare deoarece exist! modele matematice de calcul ale parametrilor cvasi-dinamici care neglijeaz! contactul rol!-colivie). Astfel în figura 1.32, conform Nelias D [1999], se prezint! pentru „rola nr. 8” evolu ia sarcinii de contact între rol! i calea de rulare interioar! (WBI) i respectiv rol! – colivie (WCR).

pag.27

Fig.1.32. Evolu ia sarcinii de contact între o rol! i calea de rulare interioar!, respectiv rol! – colivie, (Nelias D, [1999]).

Studiul interac iunii dintre role – colivie i amestecul aer lubrifiant a f!cut subiectul unora dintre analizele efectuate de Rumbarger în 1973. In cazul unei aliment!ri reduse cu lubrifiant, Nelias D în 1999 a prezentat o rela ie de calcul destinat! aprecierii for ei de rezisten ! la înaintarea rolei prin amestecul aer-lubrifiant.

Determinarea parametrilor “ghid!rii coliviei pe c!ile de rulare sau pe inelele flotante ale unui rulment” se realizeaz! prin utilizarea elementelor care descriu efectul de palier scurt. Analiza efectului de “palier scurt” asupra coliviei unui rulment se realizeaz! prin utilizarea elementelor de calcul prezentate de Frene J. i Nicolas D [1990] i Olaru [1992, 1995 i 2002].

In 1990, Naronha în cadrul firmei FAG, a pus în eviden ! sarcinile de contact rola-colivie i rol!-c!i de rulare în cazul rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri. Elementele prezentate în figurile 1.33 i 1.34 arat! existen a componentei de „skew-ing” cât i sarcinile de contact rol! – colivie i colivie-inel interior.

Fig. 1.33. Sarcini normale i tangen iale care ac ioneaz! asupra unei role butoi, (Naronha, [1990])

pag.28

Fig.1.34. Sarcini normale i tangen iale care ac ioneaz! asupra inelului interior i asupra coliviilor unui rulment radial oscilant cu role butoi (Naronha, [1990])

1.6. Comportarea cvasi-dinamic! a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi

In analiza cvasi-dinamicii rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi sunt utilizate: !modele simplificate, f!r! integrarea ecua iilor de mi care, precum modelul dezvoltat de

Houpert în 1985; !modele care includ integrarea ecua iilor de mi care, între acestea fiind modelele realizate de

Molina [1976], Kellstrom [1979] (SKF) , Kleckner [1982], Naronha [1990] (FAG), Gupta, [1979 a..d, 1983, 1991], Olaru D [1992], Bercea I [1996], Prisacaru [1997], etc.

Unele asem!n!ri care exist! între rulmen ii radial oscilan i cu role butoi i rulmen ii cu role conice i cilindrice precum considerarea contactului liniar conduc la concluzia c! exist! posibilitatea de a se adopta modelele de calcul descrise pentru aceste tipuri de rulmen i. Pe de alt! parte în cazul înc!rc!rilor mici existen a contactelor de tip punctual apropie comportarea rulmen ilor cu role butoi de comportarea rulmen ilor radiali cu bile.

1.7. Obiective ale tezei.

Din analiza stadiului actual în domeniul cercet!rii rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri au rezultat urm!toarele obiective ale tezei:

!Definirea pe structura rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri a unei clase de func ii din care prin derivare s! poat! fi descris din punct de vedere geometric i func ional orice tip de lag!r cu rostogolire.

!Realizarea unui model de calcul general, parametrizat, utilizat în scopul optimiz!rii func ionale a rulmen ilor i respectiv a sistemelor de rulmen i

1.8. Direc ii de cercetare

Pentru îndeplinirea obiectivelor tezei cercet!rile au fost orientate pe urm!toarele direc ii:

1. Definirea unei clase de func ii destinat! descriererii unitare a geometriei rulmen ilor.

pag.29

2. Definirea parametrilor cinematici ai rulmen ilor cu role sau cu bile care con in dou! sau mai multe contacte principale

3. Stabilirea unei metode de analiz! cvasi-static! a contactelor punctuale i punctuale modificate. 4. Stabilirea unei metode de calcul pentru determinarea parametrilor cvasi-statici ai rulmen ilor i

a sistemelor de rulmen i. 5. Definirea parametrilor care stabilesc comportarea lubrifiantului la nivelul tribocontactelor din

rulmen i. 6. Stabilirea unui algoritm de calcul pentru analiza cvasi-dinamic! a rulmen ilor. 7. Validarea algoritmului dezvoltat

Rezolvarea problemelor legate de dezvoltarea unui model de calcul care s! poat! fi utilizat în scopul determin!rii parametrilor cvasi-dinamici ai lag!relor cu rostogolire cât i validarea acestuia constituie subiectul prezentei lucr!ri.

pag.30

CCAAPPIITTOOLLUULL 22.Contribu ii privind modelarea geometriei rulmen ilor radial oscilan i

cu role butoi

Contribu ii privind modelarea geometriei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi.

pag.31

2. Modelarea geometriei rulmen ilor.

Marea varietate de forme constructive de rulmen i oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri prezentate în cataloagele de rulmen i, a impus realizarea unei model!ri unitare a geometriei acestora. Metoda utilizat! const! în realizarea unei clase de obiecte derivabile care s! permit! construirea geometriei oric!rei structuri care include corpuri de rostogolire (role sau bile) aflate în mi care de rota ie sau transla ie (implicit a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri).

Obiectivul acestui capitol este de a defini geometria rulmentului radial oscilant cu role butoi simetrice ca pe o clas! de obiecte de referin ! folosita ulterior pentru descrierea oric!rui tip de rulment sau structur! asem!n!toare (sistem liniar, cuplaje unidirec ionale cu bile sau cu role, uruburi cu bile, etc). Metoda pentru analiz! este modelarea orientat! pe obiecte (OOP).

2.1. Modelarea orientat! pe obiecte (OOP) a geometriei rulmen ilor.

Din punct de vedere OOP rulmen ii reprezint! structuri arborescente având propriet! i de descenden !

i de mo tenire. In cazul rulmen ilor, structura primitiv! este reprezentat! de rola butoi simetric!.

2.1.1. Rulmentul - structur! OOP. Arhitectura structurii.

Se define te clasa de func ii „rulment” prin intermediul unei structuri informatice numit! structur!SRB sau pe scurt SRB (Spherrical Roller Bearing), având corespondent fizic un rulment radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri. Clasa de func ii SRB, înglobeaz! propriet! ile unui ansamblu de elemente fizice, grupate prin propriet! i de interdependen ! func ional! si include caracteristicile a dou! tipuri de elemente: !elemente obligatorii (c!i de rulare, role); !elemente auxiliare (colivii, inele de ghidare intermediare, elemente de etan are).

Ansamblul de structuri SRB formeaz! o suprastructur! notat! SSRB (Spherical Roller Bearing System) incluzând elementele prezentate în figura 2.1.

Fig.2.1. Elemente componente ale unei suprastructuri SSRB

Din analiza figurii 2.1, rezult! c! SSRB are o structur! ierarhic! de tipul celei prezentate în figura 2.2.

pag.32

Fig.2.2. Arhitectura suprastructurii SSRB

2.1.2. Structuri derivabile din clasa SRB.

Din punct de vedere tehnic exist! o condi ie de leg!tur! care impune ca geometria rolei s! fie în corela ie cu geometria c!ilor de rulare. Posibilitatea ob inerii de structuri derivate din structura SRB este asigurat! de respectarea, sau nu, a rela iilor de dependen a func ional! dintre p!r ile componente ale structurii, conform figurii 2.3.

Fig.2.3. Structuri derivate din clasa SRB-SRB (rulment oscilant cu role butoi pe dou! rânduri)

Principalele structuri derivate din clasa SRB sunt reprezentate de rulmen ii de tip SRB, CARB, TRB, CRB, RAX, SBB, DRBB, 4PCBB etc (nota iile introduse sunt conform paragrafului „Nota ii” i figurii 2.7). In tabelul 2.1 sunt prezentate o parte din câmpurile clasei SRB.

pag.33

Tabel 2.1 Structura clasei SRB Câmp clas! Caracteristici / descenden ! Num!r rânduri unul, dou! sau mai multe Role simetrice: butoi => cilindrice => bile

asimetrice: butoi => conice Num!r de raze generatoare ale rolei una, dou! sau mai multe Inel interior unic sau sec ionat Inel exterior unic sau sec ionat Num!r de colivii una, dou! sau mai multe Inel intermediar existent (fix sau flotant )sau inexistent Elemente de etan are existente sau inexistente

Unele din câmpurile clasei SRB includ elemente descendente cum ar fi: material, rugozitate, profil longitudinal i transversal etc. Elementele geometrice care definesc o structur! SRB sunt:

!Elemente geometrice exterioare: standardizate i prezentate în cataloagele de rulmen i ale firmelor produc!toare. Caracterizeaz! rulmentul din punct de vedere al montajului.

!Elemente geometrice interne: influen eaz! comportarea rulmentului în condi ii de func ionare impuse de proces. Sunt reprezentate de:

o Elemente geometrice interne constructive. Rezult! în urma procedeului tehnologic de realizare a rulmentului, fiind reprezentate de: diametrul rolelor, diametrul c!ilor de rulare, razele generatoare ale c!ilor de rulare i rolelor, unghiurile de înclinare ale rolelor i c!ilor de rulare, parametrii geometrici ai coliviei i inelelor de ghidare.

o Elementele geometrice interne func ionale. Sunt reprezentate de: jocul interior (radial sau axial), unghiul de contact i diametrul mediu. Ace ti parametri depind de condi iile de func ionare, temperatur!, materiale, condi ii de montaj, etc.

2.1.3. Rola butoi – element de baz! al structurii SRB.

Principalele elemente geometrice ale unei role butoi (rola SRB) sunt prezentate în figura 2.4.

Fig. 2.4. Principalele elemente geometrice ale unei role butoi Metodele de ob inerea a diferitor tipuri de geometrii de corpuri de rostogolire dintr-o rol! SRB sunt: !modificarea razelor i / sau lungimilor :Rsn, Rsd, Lsn, Ldn

pag.34

!rotirea profilului rolei cu un unghi impus

Figurile 2.5 i 2.6 prezint! dou! tipuri de role derivate dintr-o rol! SRB

Fig.2.5. Role simetrice derivate Fig.2.6. Role asimetrice derivate

Prin particularizarea parametrilor prezenta i în figura 2.4 rezult! c! bila este un caz particular de rol! (figura 2.7)

Aplicarea rela iilor de interdependen ! func ional! obiectului „rol! SRB” faciliteaz! descrierea geometric! a structurilor prezentate în figura 2.7.

Structur! SRB-CARB Structur! SRB-CRB

pag.35

Structur! SRB-SRB Structur! SRB-RAX

Structur! SRB-SRB-ax Structur! SRB-TRB Fig.2.7. Principalele tipuri de structuri SRB derivate

2.1.4. Metodele structurilor SRB.

Pentru a realiza o analiz! unitar! a rulmen ilor i a sistemelor de rulmen i s-au introdus o serie de func ii (metode OOP), utilizate în continuare pentru descrierea deplas!rii centrelor de curbur! ale c!ilor de rulare i ale rolelor. Func iile prezentate în figura 2.8 împreun! cu clasa „rola SRB”, sunt utilizate pentru descrierea comport!rii cvasi-statice i cvasi-dinamice ale unei structuri SRB.

In figura 2.8 s-au notat :

idx num!rul contactului sdux,sduz func ii utilizate pentru descrierea centrului de mas! al corpului de rostogolire sdx, sdz func ii utilizate pentru descrierea deplas!rii inelului mobil al structurii

pag.36

SRB-4PCBB-13

idx sdux sduz sdx sdz

1 1 1 1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 2 0 0 0 0 3 -1 -1 - 1.RD(RIG) 1 RD(RIG) 4 0 0 0 0

SRB-4PCBB-134


1 1 1 1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 2 0 0 0 0 3 -1 -1 -1. RD(RIG) 1 RD(RIG) 4 1 -1 1. RD(RIG) 1. RD(RIG)

Fig 2.8. Structuri derivate din clasa SRB-SRB. Metode ata ate.

In figura 2.8, func ia RD(RIG) este utilizat! pentru descrierea tipului de rigidizare a structurii, având valorile indicate în tabelul 2.2.

Tabel 2.2. Structura clasei SRB Tip de rigidizare

Semnifica ie Valoare func ie

RIG=ORR inel exterior fixat rigid în carcas! (inel interior rotitor);

RD(1)=RD(2)=1; RD(3)=RD(4)=0

RIG=IRR inel interior considerat rigid (inel exterior rotitor);

RD(1)=RD(2)=0; RD(3)=RD(4)=1

Sumarea logic! a propriet! ilor structurilor de tip SRB-4PCBB-13 i SRB-4PCBB-24 ofer! posibilitatea extinderii model!rii la structurile prezentate în figura 2.9.

SRB-4PCBB-1234


1 1 1 1.RD(RIG) 1. RD(RIG) 2 -1 1 -1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 3 -1 -1 -1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 4 1 -1 1. RD(RIG) 1. RD(RIG)

SRB-4PCBB-24


1 0 0 0 0 2 -1 1 -1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 3 0 0 0 0 4 1 -1 1. RD(RIG) 1. RD(RIG)

SRB-4PCBB-123


1 1 1 1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 2 -1 1 -1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 3 -1 -1 -1 RD(RIG) 1. RD(RIG) 4 0 0 0 0

pag.37

Fig 2.9. Structuri complexe derivate din clasa SRB-SRB rezultate prin concatenare de propriet! i

2.2. Interac iunea geometric! rol!-colivie

Se define te parametrul ULRC, ca fiind unghiul maxim de rotire a rolei în loca ul coliviei neconsiderând momentul geometric de contact.

In cazul rulmen ilor cu bile, unghiul ULRC nu poate fi definit, deoarece „bila” are o mi care complet! de rotire în loca ul coliviei. Nelias D [1989] arat! c! în cazul rulmen ilor cu bile, mi carea relativ! dintre o bil! i colivie se manifest! prin intermediul fenomenelor de ”palier scurt” si de „palier lung” având efect în modificarea tura iei bilei. In tabelul 2.3 i figura 2.10 sunt prezentate elementele geometrice necesare determin!rii parametrului ULRC, notat în continuare )

Tabel 2.3. Elemente geometrice necesare pentru calculul unghiului ULRC Rf - raza de cap!t a rolei, respectiv raza rolei Rc– raza generatoare a profilului coliviei Jf, Jd – joc frontal, respectiv diametral Rinf – raza laterala a coliviei considerat!

infinit!

pag.38

A

Ow

A'

Lw

Dw

Rf

Colivie

Rola

Rc

Rw

Jf

Jd

Fig.2.10. Elemente geometrice necesare determin!rii parametrului ULMRC

Introducând listele: Rw " Rw, Rf Rc " Rc, Rinf J " Jd,Jf L " Dw, Lc

RcRw

Rc .RwR

.,

rezult!:

&%

$#"

!43

210

/-43

210

/,,)3A

4Acosa

1 A

2AcosaminULRC

unde:

!

43

210

/ --,2

LR)xcos(.R1 A

R.sin(x),A2 ,

!22 2A1 A3A ., ,

2

Dw,LwJd,Jf4A .,

43

210

/.

,JR

Rarccosx

2.3. Componentele „joc radial” între o colivie i elementele unei structuri SRB- SRB

Structurile SRB-SRB, prezint! câteva particularit! i în ceea ce prive te definirea jocului dintre o colivie i celelalte elemente componente ale structurii. In cazul în care exist! dou! colivii i inel intermediar componentele parametrului „joc” sunt prezentate în figura 2.11.

pag.39

jCB

jCCjC

I

jIB

LC LIF

Fig. 2.11. Jocul dintre o colivie si celelalte elemente componente ale unei structuri SRB-SRB

Tip de joc Nota ie Joc radial între colivie (C) i calea de rulare (B) JCB Joc axial între colivii JCC Joc între colivie i inelul flotant (intermediar) JCI Joc radial între inelul intermediar i calea de rulare interioar! a rulmentului JIB

Elementele prezentate în figura 2.11 sunt necesare deoarece contribuie la realizarea efectelor de „palier scurt”, având influen ! asupra parametrilor cvasi-dinamici ai rulmentului (cap. 6).

2.4. Definirea jocului în structurile SRB-RAX i SRB-4PCBB

Având un rol major în calculul distribu iei de sarcin! i implicit în analiza parametrilor cvasi-dinamici ai rulmentului jocul radial într-un rulment apare reprezint! unul dintre cei mai importan i parametri.

Este justificat! rela ia de reparti ie a jocului în rulmen ii cu bile în forma prezentat! de Harris în 1991 ?

Conform [Harris, 1966, 1983, 1991], se define te jocul radial pentru un rulment cu contact oblic, avand dou! puncte de contact, ca fiind amplitudinea deplas!rii radiale, rezultat! prin deplasarea liber! a c!ii de rulare mobile, în raport cu calea de rulare fix!, astfel încât pozi iile centrelor de curbur! ale c!ilor de rulare i ale bilei s! fie coliniare. Jocului radial, î i corespunde un joc axial, pentru care pozi iile centrelor de curbur! ale c!ilor de rulare si ale bilei sunt coliniare. Conform Harris [1966, 1983, 1991] reparti ia jocului local dintre o bil! si c!ile de rulare se face în mod simetric adic! „Pd/4”.... ceea ce nu este totu i corect, deoarece nu to i rulmen ii au conformit! i egale pentru c!ile de rulare interioar! i respectiv exterioar!. In func ie de tipul de rulment cu bile reparti ia jocului se face conform figurii 2.12.

pag.40

Jd.x

/2Jd

.(1

-x)/

2

Jd/2

Sd

/2

SRB-4PCBB-13 SRB-4PCBB-1234

Jd/2

Jd/2

SRB-4PCBB-123 SRB-4PCBB-134 Fig.2.12. Reparti ia jocului intre o bil! i c!ile de rulare, in func ie de tipul structurii

Trebuie men ionat c! este necesar a se cunoa te dac! valoarea jocului constituit! ca dat! de intrare reprezint! jocul rulmentului primitiv sau valoarea efectiv! a jocului. Spre exemplu, dac! se consider!un rulment radial axial cu bile având c!ile de rulare interioare i exterioare complete (rulment primitiv), analiza distribu iei jocului pentru structurile prezentate în figura 2.12 se realizeaz! în dou! cazuri distincte, conform paragrafelor (2.4.1 i 2.4.2):

pag.41

2.4.1. Calculul distribu iei jocului în rulment cunoscând geometria rulmentului primitiv

Se presupune cunoscut! geometria intern! a rulmentului înainte de decuparea c!ii(lor) de rulare i jocul efectiv înainte de decupaj. In aceste condi ii trebuie verificat dac! datele de intrare reprezentate de „shim angle, Harris [1991]” (reprezentând unghiul liber de contact dintre o bil! i o cale de rulare a unui rulment cu cale de rulare sec ionat!) i „jocul efectiv” sunt compatibile. In figura 2.13 se prezint!elementele geometrice necesare determin!rii distribu iei jocului local între o bil! si cele „idx” c!i de rulare ale structurii.

Rc

y.J

d/2

dax

Rc-R

wdax

SDL

jrz

RD

?°

Fig.2.13. Parametri care definesc jocul local, notat SDL

In figura 2.13, parametrii x i y sunt determina i cu rela iile:

2,1idx,.....x1

4, 3,.xy

,-

,,

1fofi

5 . 0fix

-.-

,

în care fi i fo reprezint! conformit! ile c!ilor de rulare ale rulmentului primitiv (înainte de decupaj)

Prin intermediul parametrului „x” se definesc: Unghiul „liber local”:

pag.42

4444

3

2

1111

0

/

-

--,)

dw). 5 . 0fi(

2

Jdxdw). 5 . 0fi(

cosair ;

4444

3

2

1111

0

/

-

---,)

dw). 5 . 0fo(

2

Jd)x1 (dw). 5 . 0fo(

cosaor

Jocul axial local:

dw.)sin(). 5 .0fi(jai ir)-, dw.)sin(). 5 . 0fo(jao or)-,

Jocul local în direc ia normalei la contact, SDL(idx), are expresia:

8 9 .dax]2

Jdydw). 5 . 0)idx (fio[(dw .5 . 0)idx (fio)idx (SDL 22 .----,

în care:

)tan(.2

Jdydw). 5 . 0fio(dax or,iro,io,i )4

3

210

/--,

2.4.2. Calculul distribu iei jocului cunoscând parametrii „shim angle” si jocul efectiv dup! decupaj

Figura 2.14. prezint! elementele necesare realiz!rii calculului componentelor SDL în func ie de parametrul „shim angle” .

U3

U2

SDL3

SDL2

Jd/4

Jd/4

S2

S3

Fig. 2.14. Parametrii care definesc jocul local, SDL, intre bil! si c!ile de rulare

Valorile parametrilor SDL(idx) sunt date de rela ia:

pag.43

8 9 .]4Jd)cos(.dw).5 . 0)idx( fio [()]sin(.dw).5 . 0)idx( fio [(dw .5 . 0)idx ( fio)idx ( SDL

2

idx, shim

2

idx,shim -)-.)---,

i

.

4Jd)cos(.dw).5 . 0)idx( fio (

)sin(.dw).5 . 0)idx( fio (tana)idx ( U

idx , shim

idx, shim

444

4

3

2

111

1

0

/

-)-

)-,

In figura 2.14 a fost notat Sidx=)shim,idx

2.5. Reparti ia jocului în structurile SRB cu role i SRB-OB

Pentru calcul reparti iei jocului la nivelul contactelor dintre role (bile) i c!ile de rulare în structurile SRB-SRB i SRB-OB se disting dou! cazuri de calcul:

Cazul A. Nu se cunoa te diametrul mediu al rulmentului îns! este indicat unghiul de înclinare al c!ii de rulare interioare ()).

In acest caz se rote te inelul interior cu (-)) i se m!soar! valoarea efectiv! a jocului diametral (Jd). Se face o rota ie a inelului interior cu ()) si se calculeaz! valoarea deplas!rii radiale libere (jri,e) dintre role i c!ile de rulare astfel:

)cos(].SDLIRwRi[]RwRi).[i1cos(jri )----),)cos(].SDLERw[Re]RwRi).[e1cos(jre )----),

unde:

2

x.JdSDLI , jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare interioar!

2

)x1 (. JdSDLE -

, jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare exterioar!

!Rw. 2ReRi

RwRix

-.-

,

!: ;

43

210

/-

--),)

RwRi

SDLIRwRi).sin(sinai1

!: ;

43

210

/-

--),)

RwRi

SDLERwRe).sin(sinae1

!Ri raza profilului transversal al c!ii de rulare interioare !Re raza profilului transversal al c!ii de rulare exterioare !Rw raza profilului transversal al rolei (Rw=Dw/2 pentru structura SRB-OB)

Deplas!rii radiale libere (jri,e) î i corespunde o deplasare axial! liber! (jai,e) la nivelul contactelor role-c!i de rulare calculabil! cu rela iile:

)cos(].SDLIRwRi[]RwRi).[i1cos(jai )----),)cos(].SDLERw[Re]Rw).[Ree1cos(jae )----),

unde:

!: ;

43

210

/-

--),)

RwRi

SDLIRwRi).cos(cosai 1 ,

pag.44

!: ;

43

210

/-

--),)

RwRi

SDLERwRe).cos(cosae1

Cazul B. Se cunoa te diametrul mediu al rulmentului i unghiul de înclinare al c!ii de rulare interioare ()).

In acest caz se calculeaz! parametrul SDLE cu rela ia:

2

Dw

)cos(. 2

DmReSDLE -

)-,

Se calculeaz! parametrul „x” rezultând SDLI jri,e i jai,e

Cazul )=0 corespunde structurilor SRB-CRB i SRB-CARB. Pentru acestea se define te parametrul deplasare axial! liber! interioar! i respectiv exterioar! la nivelul unei role astfel:

8 9 8 922 SDLIRwRiRwRiJai ----, jocul axial local interior

8 9 8 922 SDLERwReRwReJae ----, jocul axial local exterior

unde:

2

x. JdSDLI , jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare interioar!

2

)x1 (. JdSDLE -

, jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare exterioar!

Rw . 2ReRi

RwRix

-.-

,

In cazul structurilor SRB-SRB-ax i SRB-TRB parametrii care definesc jocul local între o rol! i c!ile de rulare au valoare nul!, fiind în general rulmen i axial-radiali lucrând cu pretensionare axial!.

2.6. Reparti ia jocului sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului i a temepraturii

In timpul func ion!rii, jocul într-o structur! SRB se modific! sub efectul rotirii unuia dintre inelele structurii, a for elor de fretaj cât i cât i datorit! temperaturii de func ionare. Parametrii men iona i anterior împreun! cu tipul de rigiditate al structurii (tabelul 2.2 i capitolul. 4) modific! valoarea jocului func ional crescându-i sau mic orându-i valoarea în raport cu jocul de montaj.

2.6.1. Efectul rotirii uneia din c!ile de rulare asupra modific!rii jocului în rulmen i

Prin utilizarea metodelor de calcul ale tuburilor cu pere i gro i în mi care de rota ie, Buzdugan Gh, s.a [1991], pune în eviden ! modificarea diametrelor interior i exterior al unui cilindru sub efectul rotirii acestuia în jurul axei de simetrie. In cazul rulmen ilor, aplicarea modelului de calcul specific tuburilor cu pere i gro i în rota ie, conduce la determinarea unei modific!ri a jocului de montaj al rulmentului. In func ie de „inelul rotit” rezult!: !sc!dere a jocului dac! inelul interior este în mi care de rota ie i inel exterior rigidizat; !cre tere a jocului dac! inelul interior este fix iar inelul exterior este rotit.

Pentru cele dou! cazuri rela ia de calcul a modific!rii jocului este:

pag.45

8 9rt .E

rBIEexp <=-<,

unde:

8 9 8 98 94443

21110

/-

-.4443

21110

/-

--&%

$#"

! --=.

7,<

2

2

1

2

1

2

2

2

2*

22

2

2

2

1

2

2

2

1*

12

2

1

222

2

2

r r

R1

RR

R.p

r

R1

RR

R.p

r

Rr.rR.3.

8

.

8 9 8 9 4443

21110

/.

--4443

21110

/.

--&%&$

#" !

"#$%%%&

'((()

*##"#

+,-.

2

2

1

2

1

2

2

2

2*

22

2

2

2

1

2

2

2

1*

1

2

2

2

2

2

12

2

2

1

2

t r

R1

RR

R.p

r

R1

RR

R.pr .31

r

R .RRR.3.

8

.

!r apar ine intervalului R1…R2, cu R1<R2 !R1 este raza interioar a c ii de rulare considerate !R2 este raza exterioar a c ii de rulare considerate !p1 reprezint presiunea corespunz toare razei minime a inelului analizat !p2 reprezint presiunea corespunz toare razei maxime a inelului analizat !p1 !i p2 reprezint presiunea de fretaj

Se noteaz : expBI = expBIE pentru cazul în care inelul interior se afl în mi!care de rota ie expBE = expBIE pentru inel exterior rotitor !i inel interior fix

In cazul cel mai general (ambele inele aflate în mi!care de rota ie) parametrul Jd devine:

Jd=Jd-2.expBI+2.expBE

Importan a calcului parametrului expBI este exemplificat pentru un rulment radial axial cu bile pentru care Jd=250/m, având urm toarea geometrie:

GEOMETRIE DU ROULEMENT A BILLES !-------------------------------------------------------------------------------------- > 22< Z Nombre de billes > 22.230D-03< DW Diamètre des billes [m] > 187.550D-03< DM Diamètre moyen [m] > 249.99 D-06< JD Jeu diamétral [m] > 0.00 D+00< alphaf Angle de contact géométrique (seulement si jeu pd=0.) [deg] > 54.00 D-02< Fi=ri/dw Courbure relative bague intérieure > 52.00 D-02< Fo=ro/dw Courbure relative bague extérieure > 0.000D+00< alphaSI Angle de cale (shim) intérieur [deg] > 0.000D+00< alphaSE Angle de cale (shim) extérieur [deg] > 25.0 D-03< BI Largeur de bague intérieure [m] > 150.0 D-03< DI Diamètre d'alésage du roulement [m] > 164.98 D-03< deiam Diamètre épaulement int. amont [m] > 164.98 D-03< deiav Diamètre épaulement int. aval [m] > 25.00 D-03< BE Largeur de bague extérieure [m] > 178.00 D-03< DE Diamètre extérieur du roulement [m] > 175.00 D-03< deeam Diamètre épaulement ext. amont [m] > 175.00 D-03< deeav Diamètre épaulement ext. aval [m]

Pentru diferite valori ale turatiei inelului interior, valoarea parmaterului 2.expBI este: ni (rpm) Hamrock[1975] Buzdugan, [1991]

4000 0.006439 0.006282

8000 0.0257 0.02513

12000 0.058 0.05644

16000 0.10303 0.10052

20000 0.16098 0.15706

24000 0.23182 0.22317

Din datele prezentate anterior rezult c modificarea diametrului inelului interior al rulmentului analizat are valori comparative cu jocul de montaj al rulmentului .

Utilizând algoritmul de calcul prezentat anterior se determin modificarea jocului func ional dintre

pag.46

colivie !i cale de rulare pe care se realizeaz ghidarea coliviei conducând la determinarea jocului minim necesar evit rii bloc rii coliviei pe calea de rulare pe care se realizeaz ghidarea.

Cu noua valoare calculat pentru parametrul Jd, se recalculeaz reparti ia jocului în structura SRB considerat .

2.6.2. Efectul temperaturii de func ionare a rulmentului !i a condi iilor de rigiditate ale c ilor de rulare asupra modific rii jocului în rulmen i

In general temperatura de func ionare este diferit de temperatura la care s-a m surat jocul radial în rulment. Odat cu cre!terea sau sc derea temperaturii diametrele care descriu c ile de rulare se modific , având implica ie în determinarea jocului func ional al rulmentului.

Modificarea liber a diametrului „idx” al unui cilindru este dat de rela ia:

0Didx=1idx.Didx.0Tidx

unde: !1idx. reprezint coeficientul de dilatare termic a inelului „idx” !Didx. reprezint diametrul considerat al inelului de rulment „idx” !0Tidx este cre!terea de temperatur în raport cu temperatura de referin

Condi iile de rigiditate impuse inelelor structurii influen eaz de asemenea jocul func ional. Presupunând inelul exterior al unui rulment a fi rigid rezult c la contactul carcas - inel de rulment se dezvolt o tensiune normal de contact dat de rela ia:

T..E 01-.

Determinarea modific rii jocului în rulmentprin suprapunerea simultane efectul expansiune termica, a condi iilor de rigiditate !i a expansiunii centrifugale se realizeaz aplicand rela iile de calcul prezentate în paragraful 2.6.1.

In cazul consider rii unei carcase rigide !i a inelului interior rotitor rezult :

2 3rt .E

rBEexp ."$.-

unde:

%%%&

'((()

*$

$.-.

2

2

1

2

1

2

2

2

2

r r

R1

RR

R. , %%%

&

'((()

*#

$.-.

2

2

1

2

1

2

2

2

2t

r

R1

RR

R.

!r apar ine intervalului R1…R2, cu R1<R2; !R1 este raza interioar a c ii de rulare exterioare; !R2 este raza exterioar a c ii de rulare exterioare.

In aceste condi ii parametrul Jd devine:

Jd=Jd-2.expBI-0Didx +2.expBE

Cu noua valoare calculat pentru parametrul Jd, se recalculeaz reparti ia jocului în structura SRB considerat .

pag.47

2.6.3. Efectul fretajului asupra modific rii jocului în rulmen i

In cazul consider rii unei grosimi de fretaj impuse, , se dezvolt o presiune de contact calculata cu rela ia clasica din teoria tuburilor cu pereti grosi (Buzugan [1991]):

2 32 32 32

1

2

3

3

2

2

2

2

3

2

1

2

2

RR.R . 2

RR.RR. E .p

$

$$4-

unde: !R1 este raza interioar a cilindrului interior; !R2 este raza nominal la care se produce fretajul; !R3 este raza exterioar a cilindrului exterior .

Pentru determinarea modific rii în condi ii de fretaj a jocului radial în rulment, se inlocuiesc în rela iile tensiunilor tangen iale !i radial,:

p1*= +p, pentru fretaj interior p2* = -p, pentru fretaj exterior

!i se calculeaz parametrii expBIE (paragraf 2.6.1).

2.7. Concluzii

Folosirea metodelor OOP în analiza geometriei rulmen ilor oscilan i cu role butoi pe dou rânduri a condus la:

1. Definirea rulmentului radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri ca o clas principal de func ii din care, prin derivare OOP, se poate descrie geometria oric rui alt tip de rulment

2. Prin derivarea propriet ilor rolelor butoi simetrice se pot genera geometrii de role simetrice !i asimetrice corespunz toare diferitelor tipuri de rulmen i

3. Prin concatenare !i derivarea propriet ilor structurilor SRB-SRB se pot descrie elementele geometrice ale sistemelor de rulmen i.

4. O înalt flexibilitate prin dezvoltarea unei singure unit i de calcul pentru analiza unor diferite tipuri de rulmen i evitând în acest fel generarea de programe individuale de calcul.

5. Permite verificarea datelor de intrare primite de la un furnizor (cazul compatibilit ii între unghiul de cale !i jocul în rulmentul primitiv în cazul structurilor SRB-4PCBB).

6. Identific parametrii care conduc la modificarea jocului func ional în rulmen i sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului !i a temperaturii de func ionare, în func ie de condi iile de rigiditate impuse inelelor structurii analizate

7. Anuleaz eventualele gre!eli de calcul ale reparti iei jocului în rulmen i (cazul jocului în rulmen ii oscilan i !i în rulmen ii radial axiali cu bile prezentat de Harris în [1966, 1983, 1991]).

8. Se stabilesc solu iile ini iale de deplasare ale inelelor !i rolelor, utilizate în cazul calculului parametrilor cvasi-statici ai unui rulment sau / !i sistem de rulmen i, (capitolul 4)

9. Stabile!te elementele geometrice necesare calculului efectului de palier scurt (capitolul 6) 10. Calculul jocului minim între colivie !i calea de rulare pe care se realizeaz ghidarea acesteia

pentru a evita blocarea sau distrugerea coliviei pe calea de rulare. 11. Eextinderea metodei de analiz la structuri cum sunt !uruburile cu bile !i sistemele de ghidare

!i transla ie lineare cu role sau bile.

pag.48

CCAAPPIITTOOLLUULL 33.. CONTRIBU II PRIVIND ANALIZA CINEMATICII STRUCTURILOR SRB.

Contribu ii privind analiza cinematicii structurilor SRB.

pag.49

3. Modelarea parametrizat a cinematicii rulmen ilor.

Cunoscând geometria unei structuri de tip SRB !i parametrii cvasi-statici se pot determina solu iile ini iale ale vitezelor unghiulare corespunz toare rolelor !i coliviilor structurii. Scopul acestui capitol este de a stabili algoritmii pentru determinarea parametrilor cvasi-dinamici ai unei structuri SRB. Totodat se urm re!te dezvoltarea unei metode de calcul pentru determinarea unghiului care descrie vectorul vitez unghiular al corpului de rostogolire (rol sau bil ), utilizând principiul puterii minime consumate prin frecare.

3.1. Vitezele unghiulare ale rolelor !i coliviilor structurilor SRB, prima aproximare

Vectorul vitez unghiular ata!at axei de simetrie a unei role {!}j este: g}s,b,{}{ j +++-+ (3.1)

unde: !b descrie mi!carea principal de rostogolire a corpului de rostogolire; !s reprezint componenta mi!c rii de spin. Vectorul !s are direc ia perpendicular pe

direc ia vectorului !b ( componentele !b !i !s sunt cuprinse în planul în care ac ioneaz sarcina axial );

!g reprezint componenta giroscopic . Impreun cu !g, !b !i !s definesc un reper ortogonal.

Modulul vectorului vitez unghiular a coliviei !c !i componenta !b pot fi determinate în prim aproxima ie prin rezolvarea sistemului de ecua ii 3.2 scris în baza egal rii vitezelor absolute ale rolelor !i c ilor de rulare.

556

5557

8

559

555:

;

+#%&

'()

*1$+

+$%&

'()

*<#+

2

dw)cos(

2

dw

2

dm.

2

dw)cos(

2

dw

2

dm.

bc

bc

=

556

5557

8

559

555:

;

%&

'()

*1$+

%&

'()

*<#+

)cos( 2

dw

2

dm.

)cos( 2

dw

2

dm.

i

e

(3.2)

"

2 3)cos()cos(.2

dwdm

)cos(2

dw

2

dm.)cos(

2

dw

2

dm. ei

c

1$<#

%&

'()

* <#+#%&

'()

* 1$+-+ (3.3a)

2 32 3dw

)cos(dwdm.ci

b

1$+$+-+ (3.3b)

1 : reprezint unghiul de contact dintre o rol !i cailea de rulare interioar < : reprezint unghiul de contact dintre o rol !i calea de rulare exterioar

In func ie de tipul structurii SRB unghiurile 1 !i " au valorile: Tipul structurii SRB-4PCBB; SRB-RAX SRB-CARB; SRB-CRB

SRB-SRB SRB-OB

SRB-TRB SRB-SRB cu role asimetrice

1="=0 1=" 1=" Pentru structurile SRB-OB, SRB-4PCBB !i SRB-RAX mi!c rile giroscopice !i de spin pot fi considerate mi!c ri complete. In cazul rulmen ilor cu role mi!c rile giroscopice !i de spin sunt incomplete fiind denumite skew-ing longitudinal !i transversal (ex. unghiul ULRC, cap 2). Deplasarea relativ a rolelor în raport cu c ile de rulare este descris de vectorii vitez de alunecare !i de viteza medie de rostogolire.

pag.50

3.2. Determinarea vitezelor de alunecare. Model de calcul.

Din punct de vedere OOP „viteza de alunecare” este reprezentat printr-un vector, LISTA. Mecanic, are semnifica ia deplas rii relative a suprafe elor comune a dou corpuri (aflate in contact). Se noteaz P(xp,yp) un punct din domeniul de contact. Pentru un punct P de pe domeniul de contact dat, vectorul „vitez absolut ”, Vp, este prezentat în figura 3.1 !i are expresia (3.4).

X

Y

vyvx

v vs

O

.

.

a

b

xP

yP

P

P

P

P

P

Fig. 3.1. Componentele vectorului vitez absolut a unui punct din zona de contact

xPyPsPP VVVV

##- (3.4)

în care : VsP = +s.r +s # componenta de spin (skew) a vitezei unghiulare r # r = OP VyP # vectorul vitez în direc ia de înaintare VxP # vectorul vitez în direc ie perpendicular pe direc ia de înaintare a copului considerat

Pentru determinarea vectorului vitez unghiular al unei role SRB trebuie s se cunoasc : !parametrii cvasi-statici (PCS) ai contactului (r,j) # (cap. 4) !tipul structurii # (cap 2) !unghiul vectorului vitez unghiular (notat S) (figura 3.2)

3.2.1. Componentele vectorului vitez unghiular al unei role SRB

Pentru determinarea direc iei vectorului vitez unghiular al unei role, [Kawamura, 1990] introduce ipoteza ghid rii rolei pe una din c ile de rulare, direc ia vectorului fiind dat de rela iile (3.5), în func ie de tipul de ghidare considerat. Astfel,

!ghidare pe exterior: " tg(S)=sin(1e)/[cos(1e)+>’] (3.5a) !ghidare pe interior: " tg(S)=sin(1i)/[cos(1i)->’] (3.5b)

Pentru cazul rulmentilor cu bile (SRB-RAX), Dusserre T. !i Né lias D. [1994]- Nelias D [1999] au

pag.51

dovedit c rela iile 3.5 nu sunt corecte. Autorii citati au propus metoda partaj rii controlului bilei pe cele dou c i de rulare. Dac în cazul structurilor SRB-RAX, ipoteza ghid rii ar putea reprezenta o solu ie aproximativ , atunci se pune întrebarea, cum se procedeaz în cazul structurilor de tip SRB-4PCBB, prezentate în figura 3.2.

Fig. 3.2. Elemente necesare determin rii unghiului vitezei unghiulare al unei role (bile)

Metoda utilizat în continuare pentru determinarea unghiului (S) const în minimizarea energiei consumate prin frecare la nivelul celor „idx” contacte !i presupune proiectarea vectorului vitez unghiular pe direc iile unghiurilor de contact "idx, exprimarea componentelor vectorilor viteze de alunecare ale suprafe elor în contact !i rezolvarea ecua iei:

0S

Pf -

??

. (3.6)

unde : Pf # reprezint suma puterilor consumate prin frecare la nivelul celor „idx” contacte

Componentele mi!c rii de rostogolire !i respectiv de spin rezult prin proiectarea vectorului vitez unghiular al rolei, !w, pe direc ia unghiurilor "idx folosind matricea de rota ie a vectorului {!}j astfel:

@@@

A

B

C

!

+

+

@@@

A

B

C

!

$ )S cos(.

0

) S sin(.

.

)ucos(0)usin(

010

)usin(0)ucos(

idxidx

idxidx

(3.7a)

!i {u}idx={ -"1, "2, -"3, "4} (3.7b)

3.2.2. Determinarea vitezelor absolute ale corpurilor în contact

In cazul structurilor de tip SRB cu role, determinarea componentelor giroscopice !i de spin ale vitezei unghiulare a rolei se realizeaz din condi ii de echilibru cvasi-dinamic, mi!c rile giroscopice !i de spin fiind limitate de geometria structurii, de momentul geometric de blocare, de parametrul ULRC etc. In acest caz !sidx=0. Parametrii geometrici necesari pentru exprimarea vitezelor de alunecare ai unui punct P(#,$)i,e apar inând domeniului de contact rol cale de rulare exterioar (figura. 3.3) sau interioar (figura. 3.4) sunt exemplifica i în cazul unei structuri SRB-SRB.

1e= <3

1i = <1

1e= <4

1i = <2

? ?

pag.52

Fig.3.3. Elemente geometrice necesare determin rii vitezei de alunecare la nivelul contactului rol cale

de rulare exterioar pentru structura SRB-SRB.

Fig.3.4. Elemente geometrice necesare determin rii vitezei de alunecare la nivelul contactului rol cale

de rulare interioar . Pentru un contact „idx” se noteaz {VcP,idx} !i {VwP,idx} vectorii care descriu vitezele absolute a unui

pag.53

Rulmen i pentru care conformitatea caii de rulare are valori in intervalul 0,5-0,6

punct apar inând c ii de rulare „c” !i rolei „w” Expresiile componentelor pe direc ia de înaintare a

celor doi vectori sunt date de rela iile (3.8)

! idxidxidxidxYidx ,P sduz.s.r.AVw "#$"% (3.8a)

! & '( )idxcidxiiidxj,idxidxidxYPidx

.sduzùù..sdux.sduz).sin()-.cos( â.Asduz2

dmVc *+,#*% (3.8b)

în care:

--

.

/

00

1

2*3

4

567

8*#*34

567

8$$**% 2

idx

2

2

2

2

idx

2

idxidx a2

Dw

2

Dw

2

DwRachReA (3.9a)

( )2/aRR

a2/aRR.

2

1chRe...chRe

idx

2 2

idx

2

idx

2

idx

2 2

idx

idxe,i

9***

$9***%% (3.9b)

R - reprezint raza de curbur a rolei;

ridx – reprezint raza de curbur a profilului c ii de rulare;

aidx, 9idx, reprezint lungimea semiaxei mari de contact !i respectiv deforma ia de contact;

= idx:[-aidx,+aidx]

!idx {!i,!i,!e,!e}

)Sucos(.r idxidx *"%" (3.9c)

)uS cos(.s idxidx *"%" (3.9c)

In figurile 3.5 !i 3.6 se prezint graficul func iei care descrie raza corpului deformat, considerând

efectul parametrilor de contact. Func ia satisface datele prezentate în Harris [1991] tinzând la valoarea

2.

Rr

Rr

chRe

R

rf

idx

idx

idxidx

$

%34

567

8 2 (3.10)

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 11.5

1.83

2.17

2.5

Fig.3.5. Graficul func iei 3.10

Domeniul rulmen ilor oscilan i cu bile

pag.54

0.93 0.936 0.942 0.948 0.954 0.96 0.966 0.972 0.978 0.984 0.991.994

1.998

2.001

2.005

Fig.3.6. Evolu ia func iei 3.10 pentru cazul rulmen ilor radial axiali cu bile !i pentru rulmen ii cu role,

cu o singur raz generatoare

3.2.3. Criteriul puterii minime consumate prin frecare

Viteza de alunecare este un vector !i se define!te ca fiind diferen a vectorilor {VcP,idx} !i {VwP,idx}. In

func ie de PCS (cap.4) expresia vectorul vitez de alunecare este dat de rela ia:

Valp,idx = [{VcP,idx}-{VwP,idx}].Tidx.sduzidx (3.11)

unde:

!"Tidx=0 dac Qidx=0

!"Tidx=1 dac Qidx>0

Pentru rola (r,j) având idx contacte, ecua ia 3.6 devine:

0S

Py

S

Px

S

Pf %

;;

$;;

%;;

(3.12a)

#

( )& '

<

< <

%

% *%##

3334

56667

8

$*

$*$*=

$=$*#*$*

%;;

4

1idx idx

idx

idxidxidxidxidx

4

1idx

a

a

idxx,idxidxidxidx,idxidx

) Susin(

) Susin(). Sucos(.T ..b .Q. wb

.q .sduz ). Sucos(.) Susin(.A).idx ( B.T. wb

S

P(3.12b)

unde :

& '& 'wb.sduz ). Susin(.) Sucos(.AVc

wb .sduz ). Susin(.) Sucos(.AVc )idx ( B

idxidxidxx,idxidx,p

idxidxidxx,idxidx,p

$*#$$**

$*#$$**% (= +1 sau -1)

& ' << <%% *%#

## "=$=%4

1idx

idxidxidxidxidx

4

1idx

a

a

,idxidx,P.,idxidx s.T ..b .Qq .Val.TP

<<*%#

#*%#

# %>

?%a

a

,idx

a

a

idxidxidx q

17794 , 1.NSa

b .a ..Q

2

idxidxidx

idx

a1.

b .a .

5, 1 .Q3334

56667

8 #*

>%?#

q#,idx este sarcina distribuit în contactul idx (cap 4)

=#,idx este coeficientul de frecare în zona contactului idx, (cap 6)

pag.55

3.2.4. Distribu ia vitezei de alunecare pentru diferite tipuri de structuri cu contacte punctuale. Exemple.

In cazul structurilor SRB-CARB !i SRB-RAX înc rcate cu sarcin pur radial , pentru diverse valori

ale tura iei rolei, viteza de alunecare poate avea distribu ia prezentat in figura 3.7.

Fig.3.7. Forma varia iei vitezei de alunecare (Val) pentru structurile SRB-CARB !i SRB-RAX

înc rcate pur radial

Forma vitezei de alunecare prezentat în figura 3.7, este dat de lipsa componentei de spin a vitezei

unghiulare a bilei. Se observ c pot exista în acest caz dou puncte de rostogolire pur , situate simetric

fa de axa elipsei de contact.

In cazul structurilor SRB-4PCBB-123, SRB-4PCBB-134 !i SRB-4PCBB-1234 înc rcate pur radial

forma distribu iei vitezei de alunecare este prezentat în figurile 3.8 !i 3.9

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 26

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

x =[-a, a]

Vite

sse

du

glis

se

me

ne

t

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.510

5

0

5

10

15

20

25

x =[-a, a]

Vitesse d

u g

lissem

enet

Fig.3.8. Structur cu 4 puncte de contact Fig.3.9. Structur cu 3 puncte de contact

Diagramele trasate în figurile 3.8 !i 3.9 reprezint evolu ia vitezei de alunecare la nivelul contactelor

+

-

X (semiaxa elipsei de

contact)

Val

, m

/s

pag.56

structurii !i sunt trasate pentru trei valori diferite ale vitezei unghiulare a bilei.

In figura 3.10 se prezint varia ia puterii consumate prin frecare !i solu ia ecua iei 3.12, în func ie de

valoarea unghiului (S). Analiza este efectuat în cazul unei structuri SRB-4PCBB-1234 încarcat

ini ial cu sarcin radial !i c reia i se impun diferite deplas ri axiale, descrise de parametru dx.

30 20 10 0 10 20 30 30 20 10 0 10 20 30

l ? d

Fig.3.10a. Evolu ia puterii consumate prin frecare si forma legeii de varia ie a ecua iei 3.12 pentru dx=0

30 20 10 0 10 20 30 30 20 10 0 10 20 30

?Fig.3.10b. Evolu ia puterii consumate prin frecare si forma legeii de varia ie a ecua iei 3.12 pentru dx<0

30 20 10 0 10 20 30

30 20 10 0 10 20 30

Fig.3.10c. Evolu ia puterii consumate prin frecare si forma legeii de varia ie a ecua iei 3.12 pentru dx>0

Din analiza figurilor 3.10 rezult c dP/dS trece prin valoarea zero pentru valoarea unghiului (S) care

corespunde unui minim de putere consumat prin frecare. Valorile pozitive !i respectiv negative

prezentate ca solu ie a ecua iei 3.12 sunt determinate de semnul deplas rii axiale si sugereaz

schimbarea sensului vitezei unghiulare de spin al bilei. Pentru o structur SRB-SRB, forma vitezei de

alunecare la nivelul elipsei de contact este prezentat în figura 3.11.

pag.57

Fig.3.11. Evolu ia vitezei de alunecare pentru o rol SRB

3.3. Validarea algoritmului de calcul

Pentru validarea algoritmului de calcul s-au considerat dou geometrii de structuri SRB-4PCBB,

pentru care geometria func ional este prezentat în anexa 4, tabelul A4.1. Condi iile de lucru sunt:

!"Lubrifiant : Oil Mobil Jet II (având propriet iele prezentate în paragraful 5.1 );

!"Debit de lubrifiant: Qh= 3 l/h;

!"Temperatur de intrare a lubrifiantului: T=120 @C;

!"Tura ie inel interior: !i=60000 rpm;

!"Ghidare colivie : pe inelul exterior.

Pentru sarcina radial nul , varia ia sarcinii axiale modific viteza de alunecare !i tura ia coliviei dup

cum este prezentat în figurile 3.12 (cazul structurii SRB-4PCBB-13)

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000

Fax, N

vit. d

e g

lissem

en

t e

n

extr

em

ite d

'elli

pse, conta

ct

inte

rie

ur,

m/s

T=120°C

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 500 1000 1500 2000

Fax, N

wc /

wi

T=120°C

Fig.3.12. Efectul sarcinii axiale asupra vitezei de alunecare !i a tura iei coliviei pentru structura

SRB-4PCBB-13

Diagramele de varia ie din figura 3.12 au fost ob inute prin rularea programului BB20.

Pentru sarcina axial este nul !i temperatura de func ionare T=150@C, tura ia coliviei variaz în

pag.58

func ie de sarcina radial aplicat dup diagrama prezentat în figura 3.13.

Fig.3.13. Efectul modific rii sarcinii radiale asupra valorii calculate a tura iei coliviei pentru structura

SRB-4PCBB-13

Rezultatele ob inute prezint o bun concordant cu datele experimentale obtinute de Nelias D. [1989].

3.4. Concluzii

Pentru analiza parametrilor cinematici ai unei structuri SRB trebuie s se cunoasc :

!"parametrii geometrici ai structurii (cap 2)

!"parametrii cvasi-statici ai contactelor rol – c i de rulare (cap 4).

!"parametrii lubrifiantului (cap.5)

!"tipul de ghidare al coliviei (cap.6)

Din analiza datelor teoretice prezentate pe parcursul acestui capitol, rezult :

1. Ipoteza ghid rii bilei în forma propus de Kawamura, [1990] nu este corect în special pentru

condi ii de tura ie ridicat !i nu poate fi aplicat rulmen ilor cu cale de rulare sectionat .

2. Aproximarea razei echivalente a contactului deformat în forma prezentat de Harris, [1966,

1983, 1991] nu este general valabil . In cazul rulmen ilor oscilan i cu bile (pentru contactul bila

- cale de rulare exterioar ) raza echivalent a corpului deformat reprezint raza cercului care

trece prin extremitatile axei mari a elipsei de contact !i prin mijlocul distantei generate de

interferen a geometric bil – cale de rulare, ecua ia (3.9b).

3. Direc ia vectorului vitez unghiular al bilei se ob ine folosind ipoteza minimiz rii puterii

consumate prin frecare (rela ia 3.12)

pag.59

CCAAPPIITTOOLLUULL 44.. ANALIZA PARAMETRILOR CVASI-STATICI AI STRUCTURILOR SSRB.

Analiza parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB.

pag.60

4. Modelarea parametrilor cvasi-statici.

Studiul prezentat în acest capitol a urmarit elaborarea unui model de calcul al parametrilor cvasi-statici ( PCS) ai unei suprastructuri SSRB.

Metoda utilizatade in determinarea PCS, se bazeaza pe în determinarea deplas rii centrului de mas al rolei (bilei), notat DCMR. Modelul de calcul dezvoltat, permite analiza unitar a contactelor de tip punctual !i punctual modificat (contacte nehertziene) folosind o modalitate de descriere de tip OOP.

4.1. Gradele de libertate ale unei structuri SSRB (sistem de rulmen i).

Prin intermediul clasei de func ii tip de contact (contact hertzian sau nehertzian) parametrii cvasi-statici care definesc func ionarea unui rulment !i din punct de vedere (OOP) sunt inclu!i în structura arborescent SSRB (cap. 2 ). In figura 4.1 este prezentat un exemplu de structur SSRB, construit folosind programul de calcul SSRB-SYM. In figura 4.2 sunt prezentate gradele de libertate ale structurii.

Fig.4.1. Tipuri de structuri analizate de programul SSRB-SYM

Fig.4.2. Grade de libertate ale structurii SSRB

Ac iunea unei sarcini externe {E}={ Fxext, Fzext, Fyext, Mzext, Myext } asupra sistemului de rulmen i produce la nivelul celor dou paliere vectori de înc rcare specifici care trebuie s satisfac rela iile sarcin -deforma ie. Sarcinile repartizate celor dou paliere sunt notate {F}pa având componentele: {F}pa={Fx, Fz, Fy, Mz, My}pa. Ansamblul de for e din sistem !i condi ia de leg tur func ional asigurat de arbore se transcrie matematic prin intermediul unui vector deplasare având în total 9 componente, concatenate în vectorul { }SSRB astfel:

pag.61

{ }SSRB ={ x, z1, y1,!z1,!y1, z2, y2,!z2,!y2} (4.1) în care: ! x = deplasarea axial" comun" (condi ia de leg"tur"), în lungul axei OX ! z1, z2 = deplas"rile în lungul axelor O1 Z1 #i respectiv O2Z2 ! y1, y2 = deplas"rile în lungul axelor Y1 Z1 #i respectiv O2Y2

!!z1, !z 2 = deplasarea unghiular" în jurul axelor O1 Z1 #i respectiv O2Z2

!!y1, !y2 = deplasarea unghiular" în jurul axelor Y1 Z1 #i respectiv O2Y2

NOTA: componentele ! sunt exprimate în raport cu centrul geometric al palierului „pa”. Aceast

metod a fost adoptat !i de Hauswald T, [1998, A,B], Houpert L, [1997 !i 1998] în cadrul

programului SYSx, - TIMKEN France.

4.2. Echilibrul structurii arbore - SSRB

Componentele vectorului { }SSRB se determin prin rezolvarea ecua iilor de echilibru ale structurilor

SRB individuale incluse în cele dou paliere (vezi „arhitectura structurilor SSRB”, cap. 2). Pentru

aceasta trebuie determinate componentele vectorilor {F}pa=1 !i respectiv {F}pa=2 care îns depind de

geometria intern , de jocul structurilor SRB incluse !i de rigiditatea arborelui, Fabien B, [2002],

Hauswald T, [1998], Bercea I, [2002]. Ecua iile de echilibru ale structurii arbore - SSRB sunt :

!

"

#

$%&

$%&

$

$

$

''''''''

pa

ext2P1 Ppa

pa

ext2P1 Ppa

pa nrp

ext

pa nrp

ext

pa nrp

ext

My)McyMcy.( vMy

Mz)MczMcz.( vMz

Fy)nrp,pa(Fy

Fz)nrp,pa(Fz

Fx)nrp,pa(Fx

(4.2)

unde :

v = 0 sau 1 în func ie de tipul de analiz considerat (paragraful 4.2.1)

MczP1, P2 !i McyP1,P2 reprezint momentul intern al rulmentului datorat asimetriei distribu iei de sarcin

4.2.1. Tipuri de analize

In ecua iile (4.2) s-a introdus un coeficient „v” în func ie de care se decide tipul de analiz

corespunz tor palierului !i respectiv structurii. Astfel, se disting dou metode de analiz :

A. Metoda de analiz de tip FEM, care presupune calculul PCS cu considerarea efectului asimetriei

distribu iei de sarcin , adic a momentelor interne ale celor dou paliere. Aceast metod corespunde . In

acest caz v=1. (Prin DOF se în elege „degree of freedom”, adic grad de libertate).

B. Metodele de analiz clasice presupun pentru determinarea componentelor {F}i !i {F}j rezolvarea

ecua iilor de echilibru de for e !i momente ale arborelui !i calcularea rotirii în reazem doar din

considerente de rezisten a materialelor, f r considerarea tipului de structur SRB. In acest caz „v=0”

!i corespunde la nivelul palierului la o analiz de tip 3 DOF iar la nivelul sistemului arbore - SSRB la o

analiz 5 DOF.

pag.62

Determinarea componentelor { }SSRB în cele dou cazuri presupune rezolvarea unor sisteme de ecua ii

neliniare !i are la baz scrierea matricei de rigiditate a sistemului arbore-SSRB.

(((((((((((((((((((((((

)

*

+++++++++++++++++++++++

,

-

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

//

. //

.//

//

//

. //

.//

//

//

//

$

2 y

2My

2z

2My

2dy

2My

2dz

2 My0000

dx

2 My

2 y

2Mz

2z

2Mz

2dy

2Mz

2dz

2 Mz0000

dx

2 Mz

2 y

2Fy

2z

2Fy

2dy

2Fy

2dz

2 Fy0000

dx

2 Fy

2 y

2Fz

2z

2Fz

2dy

2Fz

2dz

2 Fz0000

dx

2 Fz

00001 y

1My

1z

1My

1dy

1My

1dz

1My

dx

1 My

00001 y

1Mz

1z

1Mz

1dy

1Mz

1dz

1Mz

dx

1 Mz

00001 y

1Fy

1z

1Fy

1dy

1Fy

1dz

1Fy

dx

1 Fy

00001 y

1Fz

1z

1Fz

1dy

1Fz

1dz

1Fz

dx

1 Fz

2 y

Fx

2z

Fx

2dy

Fx

2dz

Fx

1y

Fx

1z

Fx

1dy

Fx

1dz

Fx

x

Fx

M

*

SSRB

((((((((((((

)

*

++++++++++++

,

-

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

//

$

2dy

2Fy

2dz

2Fy00

dx

2Fy

2dy

2Fz

2dz

2Fz00

dx

2Fz

001 dy

1Fy

1dz

1Fy

dx

1 Fy

001 dy

1Fz

1dz

1Fz

dx

1 Fz

2dy

Fx

2dz

Fx

1dy

Fx

1dz

Fx

x

Fx

M

*

SSRB

Cazul v=1. (Analiz 5DOF/ palier, 9DOF/ arbore-SSRB) Cazul v=0.

Componenta MSSRB[1,1]= dx/Fx* // este dat ca sum de efecte ale deplas rii axiale, dx, în direc ie

axial , la nivelul celor dou paliere. Componentele individuale a matricei de rigiditate sunt prezentate

în anexa 2, pentru scrierea matricei finale folosindu-se elementele prezentate în capitolul 2.

4.2.2. Rigiditatea ansamblului arbore-SSRB

In figurile 4.3 si 4.4 se prezint dou variante de înc rcare ale unei structurii SSRB compus din doi

rulmen i de tip SRB-SRB. Distan a dintre centrele sistemelor de coordonate iner iale ata!ate

structurilor SRBidx este descris de parametrul „L”. Punctul de aplica ie al sarcinii externe, considerat

a fi concentrat într-un punct, este descris de parametrul „a”

Fig.4.3. Exemplu de înc rcare a unei structuri SSRB cu sarcin aplicat între cei doi rulmen i

pag.63

Fig.4.4. Exemplu de înc rcare a unei structuri SSRB cu sarcin aplicat în exteriorul rulmen ilor

Determinarea PCS ai structurilor SSRB implic cunoa!terea componentelor vectorului { }SSRB care

rezult prin utilizarea metodei Newton-Raphson în cadrul sistemului de ecua ii 4.2. Ecua iile de

echilibru ale palierelor ”pa” sunt:

''''&

$ $

0$nrp r

1Z

0j

4

1idx

pa sdx. )sin(. QFa

''''&

$ $

10$nrp r

1Z

0j

4

1idx

pa sdz. )sin(cos,).cos(. Qy,Fz

'' '' '' ()

*+,

-%$

$ $nrp r j

4

1idx j

4

1idx

xzyxpa sdx.b .cFsdx .bcFMz (4.3)

'' '' '' ()

*+,

-%$

$ $nrp r j

4

1idx j

4

1idx

xyzxpa sdx.b .cFsdx .b .cFMy

unde :

Q – sarcina de contact rol -cale de rulare Q=Q(nrp,r,j,idx,tip,ux,uz)

$ – unghiul de contact între rol !i calea de rulare $=$(nrp,r,j,idx,tip,ux,uz) ux,uz = deplasarea centrului de mas al rolei descris de parametrii (nrp,r,j,idx,tip)

sdx,sdz = func ii de (tip, RIG) (cap 2)

% – pozi ia unghiular a rolei descris de parametrii (nrp,r,j,&%nrp,r)

cFx =Q.sin($).sdx cFz,y=Q.cos($).cos,sin(%) bx=dw/2.sin($) bz,y=(dm/2-sduz.dw/2).cos,sin(%)

4.2.3. Rigiditatea structurilor SSRB, compuse din dou substructuri SRB-SRB.

In cazul structurilor de tip SRB-SBB, construc ia intern a rulmentului permite introducerea rotirii în

reazem ca valoare cunoscut , rezultat din condi ii de rezisten a materialelor, în acest caz „v=0”. In

figurile 4.5 - 4.6 este exemplificat rigiditatea unei structuri SRB-SRB pentru diferite combina ii de

geometrii !i înc rcare.

pag.64

Fz=10000 [N], Fy=1000 [N], L=600

[mm]

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

100 200 300 400 500

Pozitia punctului de aplicatie a fortei externe, a,

[mm]

Dep

lasare

a r

ad

iala

, [

mm

]

Fa=100 [N]

Fa=1000 [N]

Fa=2000 [N]

Fa=3000 [N]

Fa=4000 [N]

Fa=5000 [N]

Fa=6000 [N]

L=600 [mm], Frz=10 [kN], Fry=1 [kN]

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

100 1000 5000 7000

Forta axiala Fa, [N]

Dep

lasare

a a

xia

la, [m

m]

a=100 [mm]

a=300 [mm]

a=500 [mm]

Fig 4.5. Deplasarea radial în direc ia axei Z pentru

rulmentul “pa=1” în structura SSRB 22212C-22212C

SRB, înc rcat conform fig. 4.3

Fig. 4.6. Deplasarea axial a structurii SRB 22212C-

22308C SRB în func ie de sarcina extern , aplicat

conform figurii 4.3

Figurile 4.7 !i 4.8, prezint distribu ia de sarcini, rezultat prin rezolvarea sistemului de ecua ii 4.2 !i a

rigidit ii structurii SSRB 2x22308 pentru care Fz=2 kN, Fy=3 kN, Fx=Fa=500 [N]. In figura 4.7,

distribu ia de sarcin corespunde unei structuri înc rcate conform figurii 4.3, pentru care a=200 [mm],

L=500 [mm]. Pentru o înc rcare aplicat conform figurii 4.4, în care a=200 [mm], L=700 [mm]

distribu ia de sarcin este prezentat în figura 4.8.

Distributia de sarcina in sistemul de

rulmenti

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rola, j

Sa

rcin

a n

orm

ala

de c

onta

ct [N

] r=1, pa=2

r=2, pa=2

r=1, pa=1

r=2, pa=1

Distributia de sarcina in structura SSRB

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rola, j

Sa

rcin

a d

e c

onta

ct,

[N]

r=1, pa=1

r=2, pa=1

r=1, pa=2

r=2, pa=2

Fig. 4.7. Distribu ia de sarcin în cazul unei structuri

SSRB 2x22308, înc rcat conform figurii 4.3

Fig. 4.8. Distribu ia de sarcin în cazul unei structuri

SSRB 2x22308, înc rcat conform figurii 4.4.

Rezultatele numerice prezentate în figurile 4.5-4.8 au fost determinate coniderând parametrul v=0,

adic o valoari impuse a rotirii rulmen ilor în reazeme. Forma distribu iei de sarcin prezentat în

figurile 4.7 !i 4.8 reg se!te efectul aplic rii unei sarcini externe conform figurilor 4.3 !i 4.4

4.3. Deplasarea centrului de mas al unei role SRB

Componentele vectorului { }SSRB sunt func ii de deplas rile individuale ale celor ''pa nrp

j.r role. In

func ie de tipul structurii SRB (rulment cu bile sau rulment cu role), num rul de componente care

descriu deplasarea centrului de mas al rolei poate fi 2 sau 3 (vezi paragraful 4.8). Se noteaz în

continuare DCMR vectorul care descrie deplasarea centrului de mas al unei role SRB descris de

perechea (r,j). Aceast deplasare depinde de tipul contactelor, de geometria intern !i de componentele

vectorului { }SSRB.

pag.65

4.3.1. Puncte caracteristice ale unei structuri SRB

Se definesc urm toarele puncte caracteristice,

figura 4.9. Oi - centrul de curbur al inelului interior Oi

=Oi( 1);

Oe - centrul de curbur al inelului exterior Oe =

Oe(1);

A,B - punctele care descriu pozi ia centrelor

razelor de curbur ale rolei.

Ow - centrul de mas al rolei

“*” - pozi ia final , a punctelor caracteristice ale

rulmentului.

Pentru a asigura echilibrul unei role, în cazul

înc rc rii statice, trebuie ca segmentele OeA* !i

B*Oi* s aib aceea!i orientare în spa iu.

Vectorii DCMRr,j reprezint diferen a vectorial

dintre pozi iile ini iale !i finale ale punctelor care

descriu centrele de curbur ale c ilor de rulare !i

rolelor (r,j). In cazul unei structuri de tip SRB-

SRB, pozi iile ini iale !i finale ale centrelor de

curbur , sunt prezentate în figurile 4.9 !i 4.10,

prin intermediul vectorului 2r,j=(2x, 2y, 2z). In

figura 4.9

Aceast observa ie permite descrierea deplas rii centrelor de mas ale rolelor conform figurilor

4.10a…c.

X

Z

A

B

A

B

Oi

Oi

x

zx2

2

2

2

2

2

3

z

z

x

x

M

M

iO

iO

B

A

Z

X

.

.

.

0

e

i

4

4

4

Oe Oe

'

'

'

' '

'

'

z3

+

11cos( )+3ysin( )loi=BOi

loe=AOe

l'oi

l'oe

l'oe=OeA'

l'oi=B'Oi'

Fig.4.10a. Condi ia de echilibru a unei role, scris prin considerente geometrice

Prin translarea punctelor A’ în B’ !i notarea acestora cu P, (figura. 4.10b), rezult echivalen a figurilor

eO

iO*

*B

*A

Z

X

A

B

Oi x

x

x

z

z

z

.

.o

Fig. 4.9. Vectorilor {3} !i {2} pentru o rol

descris de parametrii (r,j) în cazul unei structuri

SRB-SRB

pag.66

4.9 !i 4.10a.

m

Oe

Oi

P

O'i

P'

3

4

x

loe

loi

Z

X

.

. 4 i

0

P*

O'

4

.

P

eO

Z

40

P'

X

i

oi

oel

l

P*

iO 3x

i

.

3 z

Fig.4.10b. Efectul vetoului { }SSRB asupra unei role SRB-SRB

Efectul vectorului { }SSRB la nivelul rolei (r,j) a c rei pozi ie este descris de parametrul % (unghiul de

pozi ie) este prezentat în figura 4.10.c

O'

4

eO

40

X

i

iO 3x

i

.

3z

Z

x

z

P

P'

cos( ) sin( )1 1

2

2

3y+

Fig.4.10c. Efectul vectorului { }SSRB asupra vectorului DCMR al unei role SRB-SRB

Folosind rela ia sarcin -deforma ie de contact !i corespunz tor rigiditatea echivalent a unui contact

punctual, (Harris [1966, 1983, 1991]), se determin componentele 2x !i 2z pentru cazul înc rc rii

statice:

))j(sin().j(.ll

l

K

K

ll

l .)j( sts

oeoi

oe

n/1

o

ech

oeoi

oexxs 43

(()

*

++,

-

%&555

6

78889

:%

%3

$2

(4.4a)

))j(cos().j(.ll

l

K

K

ll

l))]. j(sin(.)) j(cos(.[) j( sts

oeoi

oe

n/1

o

ech

oeoi

oeyz

zs 43(()

*

++,

-

%&555

6

78889

:%

%

13%13$2

(4.4b)

în care:

L))] j(sin(.)) j(cos(.)) j(cos(. L[(])) j(sin(. L[) j( 2

yz

2

xts &13%13%4%3%4$3

pag.67

56 57

89 8:

13%13%43%4

$4))j(sin(.)) j(cos(.)) j(cos(.L

)) j(sin(.Larctan) j(

yz

xs

loe=ro-Dw/2-SDLe/2; loi=ri-Dw/2-SDLi/2; L=loi+loe n

tsech )j(.K) j(Q 3$

n

n

1

n

1ech

Ke

1

Ki

1

1K

(((((

)

*

+++++

,

-

56

789

:%56

789

:$

Ki,e reprezint rigidit ile de contact, (anexa 1) !i n=1.5

4.3.2. Exprimarea DCMR în func ie de tipul de rigidizare.

Cazurile particulare de analiz a rigidit ii unei structuri SRB sunt:

!ORR – inel exterior montat rigid in carcasa; inel interior mobil;

!ORE – inel exterior montat in carcasa elastic ; inel interior mobil;

!IRR – inel interior rigid; inel exterior mobil;

Un caz particular de structur de tip SRB este cea reprezentat de structurile de tip SRB-4PCBB. Acest

tip de structur rezult prin particularizarea razei generatoare a rolei !i a lungimii acesteia. Conform

celor prezentate în capitolul 2 particularizarea const în a egala parametrul Rrol cu Dw/2. In aceste

condi ii rezult structura general de tip SRB-4PCBB, prezentat în figura 4.11. Ca !i în cazul

structurilor SRB-SRB exprimarea vectorilor DCMR se face în func ie de pozi iile centrelor de curbur

ale c ilor de rulare !i bilelor.

Structurile de tip SRB-4PCBB (figura. 4.11) descriu rulmen ii radial-axiali cu cale de rulare sec ionat ,

prezentând 2, 3 sau 4 contacte de tip punctual sau punctual modificate !i provin din clasa SRB-SRB,

unde exist dou contacte principale !i unul sau dou contacte secundare (contactul um r cale de rulare

– rol ).

1 2

34

P1P2

P3 P4

Ow

K1, x1

K4, x4 K3,x3

K2,x2

XY

Z

O

SHAFT

HOUSING

Fig. 4.11. Elemente geometrice specifice unei structuri SRB-4PCBB.

In figura 4.11 s-au notat:

Pidx – reprezint pozi ia centrelor de curbur ale c ilor de rulare descrise de parametrii idx.

pag.68

idx =1...nr_ctc; nr_ctc =4

Ow – pozi ia centrului de mas al rolei

Diferen ele între vectorii DCMR în cele 3 cazuri de rigidizare sunt reprezentate în figurile 4.12-4.14,

pentru o structur de tip SRB-4PCBB. In anexa 5 sunt o serie de elemente specifice structurilor

SRBDBB (rulmen i cu dou rânduri de bile), în func ie de tipul de rigidizare.

P1P2

Ow

XY

Z

O

P1rP2r

gZi

gYi

Owf

P1rP2P2r

Ow

Owf

P1

P3 P4

P1fP2f

P2f

P1f

P3 P4

!

!

!

!

1

2

3

4

12

3 4

dzda

Fig. 4.12. Elemente caracteristice structurii SRB-4PCBB în cazul ORR

pag.69

Ow

XY

Z

O

P3

P3r

P4

P4r

gZe

gYe

3!

dzda

4!

2

P2

!!

P1

1

Owf

P3f P4f

Fig. 4.13. Elemente caracteristice structurii SRB-4PCBB în cazul IRR

pag.70

P1P2

Ow

XY

Z

O

P1rP2r

gZi

gYi

Owf

P1rP2P2r

Ow

Owf

P1

P3 P4

P1fP2f

P2f

P1f

P3 P4

!

!

!

!

1

2

3

4

12

3 4

dzda

P3ioe P4ioe

dioe

Fig. 4.14. Elemente caracteristice structurii SRB-4PCBB în cazul IOE

pag.71

4.4. Determinarea parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB în func ie de tipul de contact

In func ie de tipul structurilor SRB incluse în SSRB, sarcina extern se transmite la nivelul interfe ei rol – cale de rulare prin func ii de tip contact punctual, !i / sau punctual modificate (elipsa trunchiat , contacte de tip nehertzian). Aprecierea tipului de contact se realizeaz prin parcurgerea urm toarelor etape:

1. Se consider existen a unui contact de tip punctual !i se calculeaz parametrii elipsei de contact (anexa A1). Se analizeaz func ia :

tip contact = "#$

%

&

2/),(,

2/),(,

wi

wi

ljradacaPM

ljradacaP (4.5)

a – lungimea semiaxei elipsei de contact lw – lungimea fizic a rolei

2. Se verifica daca pozitia elipsei de contact pe calea de rulare nu depaseste limitele fizice ale caii de rulare (figura 6.16). In cazul deplasirii, contactul este nehertzian obtinandu-se o elipsa trunchiata.

Pentru o structur SRB-SRB 22212C pot rezulta în func ie de sarcina extern , tipurile de contacte prezentate în tabelul 4.1.

Tabel 4.1. Evolu ia tipului de contact într-o structur SRB-SRB 22212C. Tipul de contact determinat, pentru diferite sarcini externe aplicate.

l = contact liniar (punctul modificat PM), p =contact punctual, d =rol desc rcat Index Fx=1 kN, Fz=4 kN Fx=5 kN, Fz=40

kN Fx=5 kN, Fz=40 kN Fx=1 kN, Fz=40

kN rol Fy=3 kN, '(=0 Fy=30 kN, '(=0 Fy=30 kN, '(=10 Fy=0.1 kN, '(=0 j r=1 r=2 r=1 r=2 r=1 r=2 r=1 r=2 1 p p PM PM PM PM PM PM 2 p p PM PM PM PM PM PM 3 p p PM PM PM PM PM PM 4 p p PM PM PM PM PM p 5 p p PM PM PM p p p 6 p d PM p PM p d d 7 p d p d p d d d 8 p d p d p d d d 9 p d d d d d d d .. d d d d d d d d 17 p d PM d PM p PM PM 18 p p PM p PM p PM PM Rezult c analiza PCS trebuie s se fac în func ie de tipul de contact rol cale de rulare în dou cazuri: !analiza PCS în cazul contactelor hertziene (paragraful 4.5.1) !analiza PCS în cazul contactelor nehertziene (paragraful 4.5.2)

Vectorul DCMRj !i tipul de rigidizare al structurii, conduc la ob inerea de contacte hertziene sau nehertziene. Folosirea metodelor de analiz nehertziene se impune în urm toarele cazuri:

pag.72

!structuri SRB cu role simetrice puternic solicitate, caz în care elipsa de contact dep !e!te lungimea fizic a c ii de rulare sau a rolei

Pentru o geometrie oarecare !i deplas ri impuse inelului mobil !i rolei, programul SRBSYM a generat reprezent rile grafice din figurile 4.15.a..c. In figurile 4.15 !i 4.16 sunt prezentate dou cazuri în care se impune analiza PCS folosind metode de analiz nehertziene.

Fig.4.15.a. Interac iunea dintre o rol !i c ile de rulare ale unei structuri SRB.

Urmare a interac iunilor geometrice, prezentate în figura 4.15a, forma domeniului de contact !i a distribu iei de presiune în planul median al contactului sunt prezentate în figurile 4.15b !i 4.15c.

Fig.4.15b. Forma domeniului de contact Fig.4.16c. Forma distribu iei de presiune

In cazul rulmen ilor cu bile, modificarea unghiului de contact, sarcina de contact !i profilul c ii de

pag.73

rulare conduc de asemenea la ob inerea de contacte nehertziene (denumite elipse trunchiate).

Dp

Dm

+ w- w

r

!idx

Fig.4.16. Parametrii geometrici care definesc geometria unei c i de rulare

In figura 4.16, intervin urm torii parametri: !r = raza de racordare a profilului c ii de rulare; !Dp = diametrul maxim al c ii de rulare interioare sau diametrul minim, corespunz tor c ii de

rulare exterioare.

Cazul în care w)0 corespunde situa iei rulmen ilor cu 3 !i/sau 4 contacte.

4.4.1. Echilibrul structurilor SRB (cazul contactelor de tip hertzian)

In cazul în care într-o structur de tip SRB exist contacte de tip punctual !i pa=1, nrp=1, r=1, ecua iile 4.3 reprezint sistemul de ecua ii de echilibru al unui rulment cu contacte punctuale, (incluzând structurile SRB-SRB cu role simetrice), cu un singur rând de role.

Sub ac iunea unei sarcini exterioare {E}={F}pa={ni, Fx, Fz, Fy, Mz, My} inelul mobil al structurii comport deplasarea { }SSRB={dx, dz, dy, gz, gy} . Pentru o structur SRB cu contacte punctuale rela iile de calcul necesare determin rii componentelor vectorului { }SSRB sunt prezentate în anexa 2. Abordarea echilibrului cvasi-static al structurilor SRB comport dou cazuri de analiz în func ie de parametrul „oscilant al structurii”.

Pentru structuri oscilante se recurge la o analiz de tip 3 DOF(structura neputând prelua moment extern). In restul cazurilor se recurge la o analiz de tip 5 DOF. In anexa 2 sunt prezentate elementele necesare scrierii matricei de rigiditate matricele pentru cele dou cazuri amintite anterior. Forma matricei de rigiditate a structurilor oscilante este un caz particular al matricei de tip 5 DOF.

Elementele constitutive ale sistemului de ecua ii 4.3 cât !i elementele matricei de rigiditate ale sistemului 4.4 sunt func ii de vectorii DCMRj. Componentele (ux,uz)j se determin prin rezolvarea urm torului setului de ecua ii de echilibru (analiz 2 DOF).

pag.74

ECFA = * !idx

idxsdux)).uz,ux,dr, da ,idx ,j (sin().uz,ux,dr, da ,idx ,j ( Q =0

ECFR = FCsduz)).uz,ux,dr, da ,idx ,j (cos().uz,ux,dr, da ,idx ,j ( Q idx +!* =0 (4.6)

In setul de ecua ii (4.6) efectul momentului giroscopic nu este introdus deoarece: !ipoteza ghid rii rolei (bilei) în forma prezentat în literatur nu este valabil , rezultând c

parametrul ,, [Harris, 1991], nu poate fi definit corect (cap 2); O metod posibil de aplicat este prezentat în anexa 2.

!nu se cunoa!te valoarea coeficientului de frecare în direc ie axial ; !Momentul giroscopic poate fi introdus doar prin utilizarea unei ecua ii de momente care

(introduce ca necunoscuta rota ia centrului de mas al rolei). Este necesar in acest caz o analiza de tip nehertzian la nivelul rolei (analiz 3 DOF).

4.4.2. Aproximarea parametrilor unui contact nehertzian

Metoda structural de descriere a geometriei rulmen ilor folosit în cap. 2 este utilizat pentru a eviden ia parametrii geometrici ai unui contact de tip nehertzian (elips trunchiat , figurile 4.15 !i 4.16). Metodele utilizate !i prezentate în literatur pentru analiza contactelor de nehertziene sunt de trei tipuri: !metode exacte : K.L. Johnson, [1985], Cre u Sp, [1996, 2002a] !metode simplificate (aproximative): J.de Mul [1988], Krweminski s.a, [1996], Bercea [1996],

[Houpert L, 2001] !metode exacte rapide: Polonsky s.a [1999, 2000], Liu S, sa.a [2002]; Cre u [2002b] prezinta un

algoritm dedicat bazat pe metoda coeficien ilor de influen cu rezolvarea sistemmului de ecua ii prin metoda gradientului conjugat cu utilizarea transformatelor rapide Fourier.

Metoda utilizat în acest capitol este o metod simplificat (metoda sec ion rii domeniului de contact). Rela iile de calcul dezvoltate de Houpert în 2001, prezentate în tabelul 4.2, pentru analiza trecerii de la contact punctual la contact liniar nu satisfac în totalitate condi iile unui contact de tip punctual.

Tabel 4.2. Parametrii domeniului de contact conform [Hopuert, 2001] corespunz tori sec iunii j Parametrul Rela ia de calcul Presiunea maxim 4.9a

L imea domeniului de contact, corespunz tor sec iunii Ry. E .dy

dQ.

8.Rb

j

j

yj -.

4.9b

Sarcina preluat de sec iunea k jj

1.0

idxj dy..k.E.282 . 0dQ /. 0 4.9c

în care : !kidx = elipticitatea contactului idx; !dyk = l imea sec iunii considerate descris de parametrul k

Deoarece pentru orice corp de rostogolire, evolu ia PCS se face prin func ii continue, au fost dezvoltate o serie de rela ii de calcul proprii (ecua iile 4.10, 4.11, tabel 4.3). Modelul dezvoltat, !verific parametrii cvasi-statici ai unui contat punctual, calcula i cu teoria lui Hertz; !descriu PCS prin func ii liniare de vectorul DCMR, permi ând scrierea matricei de rigiditate a

unei role; !elimin în unele cazuri calculul iterativ !i când este cazul surprind ‚efectul de cap t’

Tabel 4.3.Rela ii de calcul dezvoltate pentru analiza parametrilor corespunz tori sec iunii s

y

j05.0

idxjmax, R

.k. E .212.0P /

1 0

pag.75

Parametrul Rela ia de calcul Presiunea maxim în sec iunea s )k(fp .

b

2 ..k . 0E.282 . 0RD_P idx

s

s

11.0

idxs max, 2-

/1

0 4.10a

L imea domeniului de contact, corespunz tor sec iunii s

)k(fb.15617, 1 .Ry

k ..RRD_b idx

11.0

idxsys

0/.

4.10b

sarcina preluat de sec iunea s )k(fQ .x..k . 0ERD_Q idxss

11.0

idxs '/. 0 4.10c

)kln(. 428768471, 01

)kln(.33221569 , 0282053111, 3)k(fP

idx

idxidx +

0. (4.11a)

)kln(.115077642 , 01

)kln(.07678268 , 0213859318, 1)k( fB

idx

idxidx +

0. (4.11b)

)kln(. 454117350, 01

)kln(.09445442 , 0948958634 , 0)k(fQ

idx

idxidx +

0. (4.11c)

!kidx reprezint elipticitatea contactului „idx” corespunz toare sec iunii „s” ! j reprezint deforma ia geometric de contact corespunz toare sec iunii “s” !!xj reprezint l imea sec iunii “s”

4.4.3. Aplicarea metodei sec ion rii domeniului de contact în cazul contactelor punctuale

Pentru verificarea rela iilor de calcul dezvoltate se prezint comparativ PCS ob inu i prin metoda Hertz de analiz a contactelor punctuale !i valorile numerice ale parametrilor calcula i folosind metoda sec ion rii domeniului de contact.

Introducând func ia:

lw.5.0ai,ai.2

lw.5 . 0ai,lw1 lw

&

%. (4.12)

punctele comune apar inând rolei !i respectiv c ii de rulare sunt descrise de rela iile 4.13:

pozi ia abscisei punctului comun rol -cale de rulare corespunz tor sec iunii „s”

2

1 lw.

N

Ns . 2XR s

0. (4.13a)

componenta radial a vectorului DCMR

34

567

8 0.9Rc

1

Rw

1

8

1 lw 2

(4.13b) profilul rolei în sec iunea „s”

Rw.2

XR

2

DwRR

2

ss 0.

(4.13c) profilul c ii de rulare în sec iunea „s”

Rc.2

XR

2

DwRC

2

ss 0.

(4.13d) interferen a geometric de contact în sec iunea considerat

9+34

567

8 0./2

XR.

Rc

1

Rw

12

ss

(4.13e) l imea sec iunii „s”

pag.76

N

1 lw'x s . (4.13f)

In cazul unei role cu o singur raz generatoare a profilului, pentru o sarcin dat „Qidx”, parametrul " care intervine în rela iile 4.13b este dat de rela ia:

3334

56667

8+3

4

567

8 00.90 3

N.2

3

N.

N . 8

1 lw.

Rw

1

Rc

1

)k(fQ .k . 0E

Q 3

3

2

idx

11.0

idx

(4.14a)

Rela ia 4.14 a rezultat ca urmare a sarcinilor par iale corespunz toare sec iunilor „s”, N fiind num rul sec iunilor considerate. Prin egalarea rela iei 4.14 cu rela ia 4.13b !i f când lw1=2.a, rezult valoarea parametrului „semiaxa mare a elipsei de contact” f r a mai utiliza calculul numeric al integralelor eliptice.

.

N.3

2

3

11.

Rc

1

Rw

1

)k(fQ .k . 0E

Q . 2

a

3

1

idx

idx

11.0

idx

idx

idx

:::::

;

<

=====

>

?

34

567

8 ++3334

56667

80

.0

(4.14b)

In cazul unei role SRB-SRB 22308C rezultatele numerice ob inute prin folosirea rela iilor 4.10 … 4.13, au fost comparate cu cele ob inute prin folosirea rela iilor Hertz, tabelul 4.4.

Tabel 4.4. Exemple de date generate de teoria Hertz !i rel 4.10 Elemente geometrice SSRB 22308C (necesare analizei contactului rol cale de rulare -interioar ):

=14.33o; dm=66; dw=13; lw=12; Rw=39.5; Rc=40.35 sarcina elipticitatea Hertz Rel 4.10 Q[N] k(Rw) p0 [MPa] b[mm] max(P), [MPa] max(b), [mm] 300 730.9 0.06653 731.59 0.06652 2500

k=44,27565 Rw=39.5 1481.8 0.13488 1483.2 0.13487

300 1029.3 0.0932 1029.1 0.0932 2500

k=16.0082 Rw=36.5 2086.9 0.1980 2086.5 0.1980

Datele prezentate in tabelul 4.4. scot in evidenta o foarte buna concordanta intre metoda de calcul a parmaterilor de contact determinati prin teoria hertzina a contactului punctual elastic si rezultatele obtinute cu relatiile 4.10.

4.4.4. Efectul geometriei c ilor de rulare !i a profilului rolelor asupra PCS.

Rela iile 4.10 au fost aplicate diferitor tipuri de structuri SRB luând în calcul efectul geometriei rolelor cât !i al c ilor de rulare profilate. Pentru cazul prezentat de J. de Mul [1986], Krzeminski s.a,[ 1996] !i Cre u Sp., [1996, 2002, 2002b], se consider o structur SRB-CRB, pentru care geometria !i sarcina de contact sunt prezentate în tabelul 4.5.

Tabel 4.5. Parametrii cazului de analiz . Structur SRB-CRB Structur SRB-CRB; Sarcin aplicat : Q=33800 N diametrul rolei Dw=15 mm Raza profilului rolei: R=1114, mm Raza de racordare a profilului rolei r=1.006 mm Lungimea rolei Lw=16 mm Semi distan a între centrele de curbur ale razelor r,

L=6.994 diametrul c ii de rulare interioare

d=58.5

Rezultatele ob inute utilizând ecua iile 4.10 sunt prezentate în tabelul 4.5 !i figura 4.17, fiind

pag.77

comparabile cu cele prezentate de Krzeminski, [1996] !i Cre u, [1996, 2002, 200b]. Pentru Q=33800 N, aplicarea modelului de calcul propus, a generat „efect de cap t” prezentat în figura 4.17.

Tabel 4.5. Apropierea relativ a suprafe elor. Date comparative. Sarcina Krzeminski Half space (Cre u) FEM Full model rel 4.10 10000 002785 0.028 0.02444 0.02482 0.02517 33800 0.06714 0.0675 0.0570 0.05737 0.06467

Fig.4.17. Distribu ia de presiune !i forma domeniului de contact, Q=33800 N.

Considerând cazul prezentat în figura 4.16, în figurile 4.18a !i 4.18b sunt prezentate dou analize corespunz toare a dou sarcini de contact diferite, rezultând contacte punctual modificate !i contacte punctuale hertziene.

Fig 4.18a. Exemplu de distribu ie de presiune într-un contact nehertzian, Q=4379 N

pag.78

Fig.4.18b. Exemplu de distribu ie de presiune într-un contact hertzian, Q=1107 N

4.5. Echilibrul rolelor (bilelor) unei structuri SRB exprimat în 3 DOF

Pentru utilizarea rela iilor 4.10 în cazul unei role cu „idx” contacte este necesar a se determina la nivelul sec iunii „s” deforma ia geometric local s, normal la contact. Efectul vectorului deplasare al inelului mobil al structurii ,{ }SSRB, este reprezentat de vectorii DCMRr,j având componentele {ux, uz, #}r,j. Pentru o rol descris de perechea (r,j) componentele {ux, uz, # }sunt prezentate în figura 4.19. Pentru determinarea componentelor s,idx trebuie determinate componentele dnidx !i dtidx care reprezint :

dnidx = proiec iile deplas rilor ux !i uz în direc ia normalei la contact; dtidx = proiec iile deplas rilor ux !i uz în direc ie perpendicular pe direc ia normalei la contact.

In figura 4.19 indicii „i” !i „e” se refer la contactul interior !i respectiv exterior în cazul unei role SRB cu dou contacte iar $i,e reprezint unghiurile de contact.

ux

uz

e

i

!

!

@ @

dt

dt

dn

dn

i

e

e

i

Fig.4.19. Componentele vectorului DCMR(r,j)

pag.79

Componentele dnidx !i dtidx sunt date de rela iile: )usin(.uz)ucos(.uxdt idxidxidx 0. (4.15a)

)ucos(. uz)usin(. uxdn idxidxidx +. (4.15b)

Unghiurile uidx sunt indicate în rela ia 3.7b.

In cazul în care structura are !i contacte secundare (umeri, inele de ghidare) indicele „idx” se majoreaz cu num rul de contacte secundare. Introducerea noilor parametri trebuie s respecte regula de definire a func iilor prezentat în figurile 4.11 !i 2.8. Pentru palierul „pa”, componentele deplasare linear ale vectorului { }SSRB raportate la direc iile normallei !i tangentei sunt:

! A BC D )RIG(RD .)usin(.)sin(. 2z)cos(. 1 z)ucos(. xt idxidxidx (/+(/0/.' (4.16a)

! A BC D )RIG(RD .)ucos(.)sin(. 2z)cos(. 1 z)usin(. xn idxidxidx (/+(/+/.' (4.16b)

Parametrul „RIG” descrie tipul de rigiditate al structurii putând avea semifica iile RIG=IOE, IRR sau ORR !i a fost descris în capitolul 2. Pentru o rol inclus într-o structur SSRB este de introdus in mod global efectul rotirii c ii de rulare deoarece depinde de tipul !i caracteristicile geometrice ale structurii considerate cât !i de pozi ia rolei în raport cu punctul de rotire. In absen a rotirii inelului interior, deforma ia local de contact la nivelul sec iunii „s” a contactului „idx” este descris de rela ia:

idxsidx,s SDLT ).idx (sduz 0./ (4.17)

E F::;

<

==>

? '0+000+'0++.

idx

idxidxysys

idxidxysyss Rc

tdtRRxDwndnRRxT

2)sin(.)cos(.

.2

1)cos(.)sin(.

@@@@

în care : RRs – raza rolei în direc ia de înaintare: RRs=Dw/2-(xs)

2/(2.Rw); xs – abscisa sec iunii „s” raportat la punctul teoretic ini ial de contact; Rcidx – raza generatoare a profilului c ii de rulare „idx”.

In figura 4.20 se prezint elementele necesare scrierii ecua iilor de echilibru ale unei role SRB utilizând metoda sec ion rii celor „idx” domenii locale de contact. S-au folosit nota iile:

XG = centrul de mas al rolei; XR = punctul în raport cu care se face rota ia rolei !i define!te condi iile geometrice de descriere a profilului rolei. Astfel:

E F]Lw,XR(s, 0)s (x

XR)s (x, 0)s (xs

)XR, 0[s, 0)s (x

sx

G%

..

G&

. (4.18)

s = num rul sec iunii; s=0 pentru punctul 0 !i s=N, pentru punctul Lw; S = unghiul care define!te pozi ia vectorului %w (figura. 3.8).

pag.80

e

i

!

!

XR

X

Z?

XG

s

w

Qe(s)

Qi(s)

H

Fc

Mg

0

Lw

Xs

Zs

Qrs

Qas

Q(idx,s)

XR XG

Fig.4.20. Elemente necesare determin rii vectorului DCMR

Qas !i Qrs reprezint componentele normale !i respectiv tangen iale al sarcinii Q_RD (idx,s) raportate la axa descris de unghiul „S”. Sunt exprimate de rela iile:

E F E FE FE F E FE Fidx (sdz).S cos(.cos)idx (sdx).S sin(.sin).s,idx (Q)s,idx (Qrs

idx (sdz).S sin(.cos)idx (sdx).S cos(.sin).s,idx (Q)s,idx (Qas

idxidx

idxidx

!+!.

!0!. (4.19)

Folosind nota iile anterioare, determinarea parametrilor cvasi-statici (PCS) pentru contactul „idx” al unei role SRB, se face prin rezolvarea ecua iilor de echilibru ale rolei. Parametrii cvasi-statici astfel determina i vor fi func ii de componentele {ux, uz, #}r,j.

0sdux.)sin().idx,s(RD_dQECFAidx

idx

s

idx .:;

<=>

?:;

<=>

?!.* * (4.20a)

0FCsduz .)cos().idx,s (RD_dQECFRidx

idx

s

idx .+:;

<=>

?:;

<=>

?!.* * (4.20b)

E F 0)XRXG cos(?).(. FcMg)s (X ).s,idx (Qrs)s(Zs ).s,idx (QasECFMidx s

.0++:;

<=>

?0.* * (4.20c)

Ecua iile 4.20a !i 4.20b reprezint ecua iile de echilibru ale rolei în direc ie axial !i respectiv direc ie radial . Rela ia 4.20c reprezint ecua ia de echilibru de momente scris în sensul axei sec iunilor. Fiind un sistem de ecua ii nelineare, rezolvarea ecua iilor 4.20 se face prin metoda Newton-Raphson necesitand cunoasterea Jacobianului rolei, ale c rui componente depind de ecua iile 4.10, de sumele din ecua iile 4.20 !i de derivatele par iale ale deforma iei locale de contact în raport cu componentele vectorului DCMR.

S

pag.81

4.6. Validarea modelului de calcul al distribu iei de sarcin .

Validarea modelului de calcul propus si utilizat s-a realizat prin compararea unor rezultate furnizate de literatur , insistându-se de fiecare dat asupra cauzelor care produc anumite diferen e în ceea ce prive!te valorile parametrilor cvasi-statici.

4.6.1. Compara ii cu datele prezentate de Stirbu [1998] pentru structuri SRB-SRB.

Pentru structura SRB-SRB 22308 C Stirbu [1998] !i înc rcarea: Fa = 1340 N; Fz=3300 N; ni=1000 rpm; a fost calculat distribu ia de sarcin , rezultatele analizei fiind prezentate în figura 4.21.

Fig.4.21. Distribu ia de sarcin în structura SRB-SRB 22308 C

Distribu ia de sarcin !i unghiurile de contact pentru contactul rol cale de rulare interioar ob inute de Stirbu [1998] sunt prezentate în tabelul urm tor.

nr. rol psi, grade Qi, r=1 alphai, r=1 Qi, r=2

alphai r=2

1 0 1052.5 14.347 76.1 14.381 2 27.69231 948.1 14.348 36.7 14.446 3 55.38462 678.8 14.353 2.3 16.244 4 83.07692 354.1 14.357 1.2 18.208 5 110.7692 124 15.31 0 18.948 6 138.4615 60 16.494 0 20.981 7 166.1538 1.8 16.62 0 20.981 ….. simetrie de sarcini !i unghiuri de contact 13 332.3077 948.1 14.348 36.7 14.446

Scrierea ecua iilor de echilibru ale inelului interior conduce la ob inerea unor diferen e de 141 N (5%) în direc ie radial !i –35 N în direc ie axial , care este îns acceptabil . Compararea datelor rezultate în urma rul rii programului SRBSYM, cu cele prezentate Stirbu, [1998], a eviden iat mici diferen e în ceea ce prive!te valoarea PCS, acestea datorându-se erorii de calcul impus în programul dezvoltat de [Stirbu, 1998].

Num"r rol"

Sar

cin

a n

orm

al"

de

con

tact

, N

pag.82

4.6.2. Compara ii cu programul BB10.

Programul de calcul BB01 a fost conceput !i implementat de c tre prof. Daniel Nelias de la LMC Lyon. Pentru geometria de rulment impus în programul BB01, au rezultat urm toarele date:

**** PROGRAM BB **** VERSION 1.0b **** BALL BEARING EXTERNAL GEOMETRY : 80 * 134 * 30 (ID,OD,width in mm)

MANUFACTURER REF. : SNFA SP280/16 (16 billes) USER REF. : SNECMA M88 Palier I FO301 307-154-302 BALL BEARING SPECIFICATIONS _Number of balls : 16 _Ball diameter : 16.671 mm _Bearing pitch diameter :107.000 mm _Bearing diametral clearance : 0.139 mm _I.R. conformity : 0.5100 _O.R. conformity : 0.5130 _Free contact angle : 35.000 deg. _Misalignment angle : 0.000 deg. MATERIAL PROPERTIES ! BALL I.R. O.R. Young modulus (N/m2) ! 2.05E+11 2.05E+11 2.05E+11 Poisson coefficient ! 0.300 0.300 0.300 Weight density (Kg/m3) ! 7830.00 OPERATING CONDITIONS

_I.R. temperature : 120. C

_O.R. temperature : 80. C

Ni= 6000 rpm, Fa= 3000.00 N, Fr= 1000.00 N, teta= 0.000 deg. Moment load : 38.33 N.m

****************************************************************************** * Ball * Psi * Beta * Contact Angle * Load * Deformation * * * (deg.)* (deg.)* (deg.) * (N) * (microns) * * N# * * * I.R. O.R. * I.R. O.R. * I.R. O.R. * ****************************************************************************** * 1 * 0.0 * 28.95 * 38.66 * 33.28 * 465.08 * 529.49 * 4.58 * 5.21 * * 2 * 22.5 * 28.90 * 38.81 * 33.22 * 446.46 * 510.85 * 4.46 * 5.08 * * 3 * 45.0 * 28.71 * 39.28 * 33.01 * 396.21 * 460.51 * 4.12 * 4.74 * * 4 * 67.5 * 28.37 * 40.09 * 32.61 * 329.20 * 393.38 * 3.64 * 4.27 * * 5 * 90.0 * 27.85 * 41.21 * 32.02 * 263.80 * 327.83 * 3.14 * 3.78 * …………………….. ******************************************************************************

Rezultatele ob inute prin rularea programului SRBSYM sunt prezentate în tabelul urm tor !i figurile 4.23a,b..

RÂNDUL 1. ........SARCINI, UNGHIURI psi Qe Qi UN_e UN_i UN_m d_xw d_zw ____________________________________________________________________________ 0.00 526.8 465.1 33.516 38.715 34.99230 -0.006987 0.005317 22.50 508.3 446.6 33.455 38.861 34.99200 -0.007260 0.005526 45.00 458.2 396.6 33.253 39.311 34.99106 -0.008119 0.006182 67.50 391.2 329.7 32.871 40.090 34.98937 -0.009644 0.007354 90.00 325.5 264.1 32.294 41.177 34.98696 -0.011819 0.009037

……….. Rezultatele ob ibute prin utilzarea modelului de calcul dezvoltat sunt comparabile cu cele ob inute utilizând programul BB10.

pag.83

4.6.3. Compara ii cu programul RBL4

Pentru analiza structurilor SRB-4PCBB, a fost dezvoltat un program dezvoltat programul de calcul numit BB20. Prigramul BB20 reprezint o particularizare a programului SRBSYM !i a fost creat pentru analiza rulmen ilor cu 2, 3 sau 4 peunte de contact pentru firma SNECMA Moteur din Fran a. A fost verificat cu un program similar numit RBL4 dezvoltat de firma GLCS Paris. Pentru un caz de convergen asigurat de RBL4, în condi iile indicate în continuare, rezult :

Noms Valeurs Unité s

Gé omé trie

Diametre moyen 107 mm

Diamètre billes 16,669 mm

Nombre de billes 16

Courbure relative fi 0,5147

Courbure relative fe 0,5123

Jeu diamé tral 49 µm

Angle de Cale inté rieur 11,18 deg

Angle de Cale exté rieur 0 deg

Maté riaux

Module d'é lasticité BI 20780 daN/mm�

Module d'é lasticité BE 20780 daN/mm�

Module d'é lasticité billes 20780 daN/mm�

Coef. de Poisson BI 0,3

Coef. de Poisson BE 0,3

Coef. de Poisson billes 0,3

Masse volumique BI 7,85 kg/dm3

Conductivité thermique billes 15 W/m/K

Fonctionnement

Vitesse BI 13194 tr/min

Efforts apliqué s sur BI daN

Effort axial suivant X 1790 daN

Effort radial suivant Y 783 daN

Effort radial suivant Z 0 daN

Rezultate RBL4

Bille no Pos. ang. (deg) Q e (N) alpha e (deg) Q i 1 (N) alpha i 1 (deg) Q i 2 (N)

0 0 3655 26.07 3336 28.86 0

1 22.5 3555 26.07 3236 28.94 0

2 45 3276 26.04 2957 29.2 0

3 67.5 2876 25.97 2558 29.62 0

……

Rezultate BB20 rol psi Q[j,1] Q[j,2] Q[j,3] Q[j,4] U[j,1] U[j,2] U[j,3] U[j,4] 0 0 3358.5 0 3667.6 0 29.523 8.686 26.82387 11.18 1 22.5 3258.25 0 3567.2 0 29.608 8.743 26.82521 11.18 2 45 2978.9 0 3287.5 0 29.86 8.915 26.81747 11.18 3 67.5 2578.52 0 2886.6 0 30.277 9.215 26.76713 11.18 ……………………

pag.84

4.6.4. Compara ii cu modelul de calcul propus de Hamrock [1975] i programul RMS4, considerând efectul expansiunii dentrifugale a inelului interior

Se considera un rulment având geometria:

GEOMETRIE DU ROULEMENT A BILLES !-------------------------------------------------------------------------------------- > 22< Z Nombre de billes > 22.230D-03< DW Diamètre des billes [m] > 187.550D-03< DM Diamètre moyen [m] > 249.99 D-06< JD Jeu diamétral [m] > 0.00 D+00< alphaf Angle de contact géométrique (seulement si jeu pd=0.) [deg] > 54.00 D-02< Fi=ri/dw Courbure relative bague intérieure > 52.00 D-02< Fo=ro/dw Courbure relative bague extérieure > 0.000D+00< alphaSI Angle de cale (shim) intérieur [deg] > 0.000D+00< alphaSE Angle de cale (shim) extérieur [deg] > 25.0 D-03< BI Largeur de bague intérieure [m] > 150.0 D-03< DI Diamètre d'alésage du roulement [m] > 164.98 D-03< deiam Diamètre épaulement int. amont [m] > 164.98 D-03< deiav Diamètre épaulement int. aval [m] > 25.00 D-03< BE Largeur de bague extérieure [m] > 178.00 D-03< DE Diamètre extérieur du roulement [m] > 175.00 D-03< deeam Diamètre épaulement ext. amont [m] > 175.00 D-03< deeav Diamètre épaulement ext. aval [m] > 0.10 D-03< racray Rayon raccord chemin/épaulement [m] > 2.00 D-03< LC CAGE PARAMETER [m] > 0.80 D-01< jbc CAGE PARAMETER [mm] > 165.00 D-03< d_min_cage CAGE PARAMETER [m] > 174.00 D-03< d_max_cage CAGE PARAMETER [m]

Sarcina extern! Fx = 24241 N. Prin modificarea tura iei inelului interior au rezultat graficele prezentate în figurile 4.22a - 4.22 d . Datele oferite spre compara ie au fost furnizate de Nelias D în 2003, în vederea valid!rii modelului de calcul inclus în programul BB20.

Charge normal B.I. (Fx = 22 241N)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

12000 16000 20000 24000

Vitesse arbre int. (Tr/min)

Qi (N

)

RMS4

Hamrock

BB20(controle BI/Be)

Fig. 4.22 a. Evolu ia sarcinii de contact pentru rola j=0, pe inelul interior al rulmentului.

pag.85

Charge normal B.E. (Fx = 22 241N)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

12000 16000 20000 24000

Vitesse arbre int. (Tr/min)

Qo

(N

)

RMS4

Hamrock

BB20 (controle Bi/Be)

Fig. 4.22 b. Evolu ia sarcinii de contact pentru rola j=0, pe inelul exterior al rulmentului.

Angle de contact B.I. (Fx = 22 241 N)

0

5

10

15

20

25

30

35

12000 16000 20000 24000

Vitesse arbre int. (tr/min)

An

gle

de

co

nta

ct

(de

g)

RMS4

Hamrock

BB20(controle Bi/Be)

Fig. 4.22 c. Evolu ia unghiului de contact contact pentru rola j=0, pe inelul interior al rulmentului.

pag.86

Angle de contact B.E. (Fx = 22 241 N)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

12000 16000 20000 24000

Vitesse arbre int. (tr/min)

An

gle

de c

on

tact

(deg

)

RMS4

Hamrock

BB20 (controle Bi/Be)

Fig. 4.22 d. Evolu ia unghiului de contact pentru rola j=0, corespunz!tor contactului rol! – cale de

rulare exterioar!.

Rezultatele ob inute, pentru acelea i condi ii, de patru autori diferi i, valideaz! modelul de calcul

propus rezultând aploicabilitate în cazul analizei rulmen ilor radial axiali cu bile, a rulmen ilor cu bile

cu cale de rulare sec ionat! i a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri

pag.87

4.7. Influen a unor parametri asupra determin!rii PCS

Geometria intern! a structurii SRB i tipul de analiza 3 DOF sau 5 DOF, sunt principalii factori care

afecteaza valorile parametrii cvasi-statici. Determinarea cu precizie impusa a PCS, implica apelarea la

un calcul iterativ.

In continuare se va prezenta:

!influen a tipului de analiz! (evolu ia PCS considerând algoritmi 3 DOF sau 5 DOF)

!influen a geometriei c!ii de rulare (în cazul rulmen ilor cu bile)

!influen a defazajului unghiular (în cazul rulmen ilor cu dou! rânduri de corpuri de rostogolire i

colivii independente)

!influen a caracterului oscilant al structurii

4.7.1. Influen a tipului de analiz!

Considerând o structur! SRB-4PCBB-1234 a c!rei geometrie este descris! în anexa 4 i o sarcin!

extern!: Fax=10 kN, Fz=10 kN, Fy=8 kN, i=15000 rpm, s-au executat dou! tipuri de analize (în 3

DOF i respectiv în 5 DOF). Pentru cele dou! cazuri, sunt prezentate comparativ evolu ia distribu iei

de sarcin! i a unghiului de contact, figurile 4.23a i 4.23b.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 5 10 15 20

NUmarul bilei

Sarc

ina d

e c

onta

ct, N

Q1, 3DOF Q2, 3DOF Q3, 3DOF Q4, 3DOF Q1, 5DOF Q2, 5DOF Q3, 5DOF Q4, 5DOF

Fig. 4.23a. Evolu ia distribu iei de sarcin! în func ie de tipul de analiz!.

pag.88

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20

Numarul bilei

Unghi de c

onta

ct, g

rd

idx=1, 3DOF idx=2, 3DOF idx=3, 3DOF idx=4, 3DOF idx=1, 5DOF idx=2, 5DOF idx=3, 5DOF idx=4, 5DOF

Fig.4.23b. Evolu ia unghiurilor de contact în func ie de tipul de analiz! considerat.

Din analiza figurilor 4.23a i 4.23b, rezult! c! stabilirea tipului de analiz! care trebuie aplicat prezint! o

importan ! deosebit!. Alegerea analizei de tip 5 DOF presupune echilibrarea moementului intern

rezultat ca urmare a distribu iei asimetrice de sarcin! la nivelul inelelor structurii considerate.

Evolu ia unghiului de contact, prezentat! în figura 4.23b, implic! cunoa terea exact! a geometriei

c!ilor de rulare. Valorile ridicate ale unghiurilor de contact, corelate cu cele corespunz!toare

distribu iei de sarcin! pot conduce la ob inerea de elipse trunchiate (contacte nehertziene).

Datele prezentate anterior arat! c! o analiz! realist! este aceea în care se consider! ansalblul din care

rulmentul face parte i nu analiza independent! a rulmentului. Marea majoritate a analizelor teoretice

nu consider! dependen a arbore-tip de rulmen i, fiind necesar a se dezvolta un model de calcul

complet.

4.7.2. Influen a geometriei c!ilor de rulare

Pentru testul efectuat în paragraful 4.7.1, efectul combinat al reparti iei de sarcin!, al unghiului de

contact i al geometriei c!ilor de rulare, relev! pentru a 10-a bil! existen a unui contact de tip

nehertzian. Influen a razei de racordare a c!ii de rulare interioar! este eviden iat! în figurile 4.24a i

4.24b, pentru dou! valori diferite parametrului r, (r=0.5 mm i respectiv r=1 mm) .

Datele prezentate în figurile 4.24a i 4.24b prezint! „efectul de cap!t” în cazul rulmen ilor cu bile.

Evolu ii asem!n!toare a distribu iei de presiune de contact apar în special în cazul rulmen ilor cu cale

de rulare sec ionat! dar i în cazul rulmen ilor radial-axiali cu bile când sarcina axial! sau momentul

exterior nu sunt aplicate corect

pag.89

Fig.4.24a. Distribu ia de presiune pe bila 10 la nivelul contactului contactul idx=2, considerând r=0.5

mm.

Fig.4.24b. Distribu ia de presiune pe bila 10 la nivelul contactului contactul idx=2, considerând r=1

mm.

4.7.3. Influen a defazajului unghiular

Efectul defazajul unghiular apare într-o structur! SRB cu dou! rânduri de corpuri de rostogolire

datorit! montajului i / sau a valorilor diferite ale tura iilor coliviilor independente ale structurii. Pentru

o structur! SSRB acest fenomen apare i datorit! diferitelor geometrii de rulmen i care sunt parte

constitutiv! a structurii.

Considerând o structur! SRB-SRB-22308 C pentru care (Fz=8 kN, i=3000 rpm) efectul defazajului

unghiular asupra parametrilor PCS este eviden iat în figura 4.25. S-a considerat pentru rândul r=1 c!

valoarea defazajului este nul!.

sectiunea s, mm

sectiunea s, mm

Pre

siu

nea

de

con

tact

, M

Pa

Pre

siu

nea

de

con

tact

, M

Pa

pag.90

1330

1340

1350

1360

1370

1380

1390

1400

0 5 10 15 20 25 30

Valoarea defazajului unghiular, [grd.]

Sa

rcin

a d

e c

on

tact,

[N

]

Qe_max, r=1

Qe_max, r=2

Fig.4.25. Varia ia sarcinii maxime de contact în func ie de valoarea parametrului unghi de defazaj

4.7.4. Influen a caracterului oscilant al structurilor SRB-SRB

Pentru o structur! SRB-SRB 22308C, înc!rcat! cu Fz=8 kN, Fax=1 kN, func ionând la tura ia

i=3000 rpm, înclinarea inelului interior în raport cu axa de simetrie a inelului exterior, înainte de

înc!rcare cu 0 i respectiv un grad conduce la ob inerea distribu iilor de sarcin! prezentate în figurile

4.26a i 4.26b

Fig.4.26a. Distribu ia de sarcin! pentru înclinare 0

grade

Fig.4.26b. Distribu ia de sarcin! pentru înclinare 1

grad

Rezultatele numerice prezentate în figurile 4.26 au fost ob inute prin utilizarea unei analize de tip 3

DOF, considerând o valoare impus! a rotirii inelului interior. In cazul rulmen ilor radial oscilan i (cu

role sau cu bile), modificarea distribu iei de sarcin! ca urmare a rotirii inelului mobil este pu in

influen at!. Cauza principal! a acestui fenomen il constituie „caracterul oscilant al structurii”, adic!

pag.91

pozi ionarea centrului geometric al c!ii de rulare exterioare în originea sistemului propriu de

coodronate al rulmentului. In anexa 5 sunt prezentate pozi iile punctelor caracteristice ale diferitor

structuri derivate din structura SRB-SRB, eviden iind caracterul oscilant sau nonoscilant al rulmentului

analizat.

4.8. Concluzii

A fost dezvoltat! o metodologie de calcul a parametrilor cvasi-statici (PCS) care are urm!toarele

elemente originale:

1. Permite analiza rulmen ilor cu unul sau dou! rânduri de corpuri de rostogolire.

2. Include o metod! rapid! de analiza a distribu iei de presiune i forma domeniului de contact in

cazul contactelor nehertziene.

3. Consider! trecerea de la un contact punctual la unul punctual modificat prin func ii continue.

4. Construirea matericei de rigiditate pentru o structura SSRB (se consider! caracteristicile

specifice fiec!rui tip de structur! SRB în parte).

5. Determinarea pe cale analitica a Jacobianului din structura matricei de rigiditate.

6. Stabile te o rela ie linear! între sarcin! i apropierea relativ! (rel 4.10c), ceea ce permite

determinarea matricei de rigiditate a oric!rui tip de structur! SRB care con ine contacte

punctuale sau punctual modificate

7. Includerea parametrilor geometriei c!ilor de rulare, facilitand astfel studiile de caz.

Analiza rigidit! ii i a distribu iei de sarcin! în sistemele de rulmen i oscilan i cu role butoi pe dou!

rânduri a f!cut subiectul a dou! lucr!ri prezentate la simpozionul VAREHAD10, Suceava 2001.

1. Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,a) -„Load Distribution in Double Row Spherical

Roller Bearings and Spherical Roller Bearings Systems in Static Case”, VAREHD 10, Suceava

2. Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,b) - „The Radial and Axial Stiffnesses of

Spherical Roller Bearing Systems”, VAREHD 10, Suceava

pag.92

CCAAPPIITTOOLLUULL 55.. ELEMENTE DE LUBRIFICA IE ALE STRUCTURILOR SRB

Elemente de lubrifica ie ale structurilor SRB.

pag.93

5. Parametrii reologici ai structurilor SSRB, componente ale clasei SRB

Comportarea cvasi-dinamic! a unei structuri SSRB este influen at! de propriet! ile lubrifiantului

utilizat, in special de legea de varia ie a vâscozit! ii dinamice cu presiunea i temperatura. Studiile

experimentale arat! c! in conditiile specifice contactelor concentrate cu rostogolire lubrifiantul trece

din starea lichid! în stare „solid!”.

In unele modele de calcul ale parametrilor cvasi-statici se consider! pentru lubrifiantul solid o rigiditate

infinit!. Efectul lubrifiantului „solid” este acela de a modifica pozi ia punctelor caracteristice ale

structurii analizate.

Caracteristicile fizice ale lubrifiantul i starea suprafe elor corpurilor în contact influen eaz!

semnificativ „calitatea func ion!rii rulmentului” descris! prin intermediul parametrilor putere

consumat! prin frecare, moment de frecare i respectiv prin intermediul vectorului „coeficient de

frecare local” corespunz!tor punctelor care descriu interfa a rol! - cale de rulare. Studiile teoretice i

experimentale demonstreaz! existen a dependen ei clasei PARAMETRI REOLOGICI de clasa de

func ii TIP CONTACT, precum i de temperatur! i viteza suprafe elor aflate în mi care relativ!.

In continuare este prezentat! metodologia de calcul a principalilor parametri ai unui lubrifiant, ce

intervin în stabilirea echilibrului cvasi-dinamic al unei structuri SRB. Ace ti parametri sunt:

vâscozitatea, coeficientul de piezovâscozitate i tensiunea de forfecare în filmul de lubrifiant.

5.1. Vâscozitatea i coeficientul de piezovâscozitate.

Vâscozitatea este caracteristica principal! a unui lubrifiant intervenind hot!râtor în evolu ia

parametrilor func ionali ai unui sistem mecanic lubrifiat. Este dependent! de temperatur!, presiune i

de natura lubrifiantului (ulei mineral sau sintetic).

Pentru uleiuri minerale, Barus [1893] determin! empiric o rela ie de calcul care exprim! dependen a

vâscozit! ii dinamice de presiune i temperatur!:.

)p.exp(. pTp,T !"! (5.1)

unde: p - presiunea medie local de contact (Pa). p - coeficient de piezovâscozitate, (Pa-1)

Dependen a vâscozit ii dinamice în func ie de temperatur este bine modelat de rela ia dezvoltat de Reolands în 1966 având ca baz de calcul analiza dezvoltat de Barrus [1893]:

!T

10 10

log( ) A .B log 1 T

135 4.2

, [Pa.s] (5.2) în care:

T este temperatura lubrifiantului la intrarea în contact, [oC]; !1,2 sunt valorile vâscozit ii dinamice pentru dou temperaturi date T1 !i T2, [Pa.s]; A, B sunt coeficien i.

Pentru calculul coeficien ilor A !i B care intervin în ecua ia 5.2 în cadrul tezei s-au dezvoltat rela iile:

A 10

log( )log( )!1 4.2 .B log 1 T1

135(5.2a)

pag.94

Blog( )log( )!1 4.2 log( )log( )!2 4.2

log 1 T1

135log 1

T2

135 (5.2b)

Calcul coeficientului de piezovâscozitate se realizeaz utilizând rela ia lui Wooster:

" # 83

p,Tp 10.)10 .lg(.659 , 06 . 0 $!%&

Pentru uleiurile sintetice, dependen a vâscozit ii dinamice de temperatur !i presiune, este bine modelat de modelul WLF dezvoltat de Yasutomi, [1984], Nelias D, [1999]

" #" #" # )p( F)p(TTC

)p( F)p(TTClogp,Tlog

g2

g1

g1010 '$%

'$'%(&( (5.3)

în care: " # " # pB1lnB1pF 21 %$& ;

" # " #pA1lnATpT 210gg %%&

Coeficien ii A1, A2, B1, B2, C1 !i C2 !i coeficientul de piezovâscozitate , depind de tipul lubrifiantului sintetic !i sunt determina i prin interpolarea rezultatelor experimentale. Pentru patru tipuri de lubrifian i sintetici parametrii A1, A2, B1, B2, C1 !i C2 sunt prezenta i în tabelul 5.1, Nelias D, [1999 !i 2001].. Tabel.5.1. Coeficien i determina i experimental pentru patru tipuri de lubrifian i utiliza i în industria

aeronautic Parametrul Pennzane SHF

X2000 Nye 186 A Fomblin Z25 Mobil Jet II

(MIL-L-23699) (g (Pa.s) 107 107 107 1012

Tg0 (C) -88 -85 -121 -107 A1 (°C) 69,8093 53,9262 48,3241 171,96 A2 (Gpa-1) 1,67903 2,26829 2,96467 0,4294 B1 0,212452 0,223438 0,224572 0,1961 B2 (Gpa-1) 11,8028 12,4888 23,8537 17,434 C1 11,8362 11,5171 10,0745 16,342 C2 (°C) 60,5908 53,979 54,4713 29,406

Aplicarea rela iei 5.2, cu solu iile 5.2a !i 5.2b la un ulei sintetic a c rei viscozitate dinamic se determin cu rela ia 5.3 conduce la valori aproximativ egale (a se vedea figura 5.1).

Nelias D [1999] arat c rela ia 5.2 nu poate defini corect evolu ia vâscozit ii unui lubrifiant sintetic fiind necesara utilizarea modelului WLF (ce presupune determinarea unui mare num r de constante). Utilizarea rela iilor 5.2 cu solu iile (5.2a si 5.2b) poate fi îns aplicat !i necesit un num r redus de coeficien i.

pag.95

0 30 60 90 120 1500

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Temperature, (C)

Dyn

am

ic v

isco

sity,

(Pa

.s)

Mobil Jet II

0 30 60 90 120 1500

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Temperature, (C)

Dyn

am

ic v

isco

sity,

(Pa

.s)

Pennzane SHF X2000

0 30 60 90 120 1500

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Temperature, (C)

Dyn

am

ic v

isco

sity,

(Pa

.s)

Fomblin Z25

0 30 60 90 120 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temperature, (C)

Dyn

am

ic v

isco

sity,

(Pa

.s)

Nye 186 A Fig.5.1. Vâscozitatea dinamic determinat cu rela iile 5.3 !i 5.2 cu solu iile 5.2a !i 5.2b

Pentru lubrifian ii prezenta i anterior, coeficientul de piezovâscozitate se determin cu rela ia 5.4

" # " #20 c

111020100

*

TT

A

TT

A

T

A

T

A

$%

$%%% & ) (5.4)

unde:

20g0c CTT $& (5.5)

Valorile corespunz toare coeficien ilor din rela ia 5.4 sunt prezentate în tabelul 5.2.

Tabel 5.2. Constante utilizate pentru calculul coeficientului de piezovâscoziatate corespunz tor a patru tipuri de lubrifian i aeronautici

Coeficient Pennzane SHF X2000 Nye 186 A Fomblin Z25 Mobil Jet II 00 (GPa-1) 0 0 0 0 A00 (K/GPa) -54,677 -1,7295 103 -1,3222 103 -2,5118.103

A01 (K2/Gpa) 8,4243 105 4,9567 105 7,3974 105 3,71.105

A10 (K/GPa) 1,4264 103 3,2079 103 4,0438 103 3,5.103

A11 (K2/Gpa) 1,3876 104 -1,97 104 -1,3132 105 -20,08.103

5.2. Regimuri de frecare-ungere în structurile SRB.

Intr-o cupl superioar , pot exista patru regimuri de ungere cu film fluid:

!Regimul izovâscos - rigid (IVR) : presiunea de contact este insuficient de mare pentru a modifica substan ial vâscozitatea lubrifiantului sau pentru a produce deforma ii elastice importante. Este denumit !i regim hidrodinamic.

!Regimul piezovâscos - elastic (PVE): presiunea de contact produce deforma ii elastice

pag.96

semnificative !i modific ri importante ale vâscozit ii. Uzual, acest regim este cunoscut !i sub denumirea de regim elasto-hidrodinamic (EHD);

!Regim piezovâscos-rigid (PVR) : presiunea de contact este insuficient de mare pentru a produce deforma ii elastice semnificative dar suficient pentru a modifica substan ial vâscozitatea lubrifiantului;

! Regimul izovâscos-elastic (IVE): presiunea este insuficient de mare pentru a produce modificarea substan ial a vâscozit ii, dar suficient de mare pentru a produce deforma ii elastice importante.

Studiile efectuate de c tre Houpert, [1987], Marckho (Harris, [1991]), Zhu [1999] permit stabilirea unor criterii de tranzi ie între cele patru regimuri de lubrifica ie. Se prezint în continuare criteriul A, dezvoltat de Houpert [1987] !i criteriul C1, dezvoltat de Marckho !i prezentat de Harris [1991].

5.2.1. Modelul Houpert

Houpert, [1987], consider c în rulment exist dou regimuri de frecare-ungere specifice, PVR !i EHD. Separarea celor dou regimuri se face cu ajutorul unei func ii notat A:

!dac A<2,53, regim PVR, IVR*PVR; !dac A > 2,35, regim EHD, IVE*EHD;

unde:

H0,778+k

0,177.k12.G.U= A 1,5-

IVR (5.6)

pentru contact liniar: HIVR=4,9U/W (5.7a)

pentru contact punctual :

++,

+++-

.

++/

+++0

123

456

7

123k1,638].+tg(k/2) [0,131.arc

U

W

3k

2+1

=H

-2

IVR (5.7b)

în care: !k = factorul de elipticitate al contactului !W,U – reprezint parametrii adimensionali de sarcin !i de vitez , prezenta i în anexa 3.

5.2.2. Modelul Marckho

Marckho (Harris [1991]) folose!te o func ie de analiz notat C1.

889

:

;;<

=2223

45556

7&

U

W.

5000

G10.5 , 1log1 C

2

6

10 (5.8)

Folosind elementele prezentate în anexa 3, stabilirea regimului de ungere se face prin compararea

valorii func iei C1 cu valorile 1 !i –1, rezultând:

!regim IVR, pentru C1<= -1;

!regim PVR, pentru -1<C1<1;

!regim EHD, IVE, pentru C1>= 1;

Criteriul de analiz utilizat în cadrul tezei este criteriul Marckho, prezentat de [Harris, 1991]. S-a optat

pag.97

pentru acest model deoarece C1 nu depinde de tipul de contact (adic de parametrul HIVR).

5.3. Calcul grosimii filmului de lubrifiant

Rela iile de calcul ale grosimii filmului de lubrifiant, în condi ii de func ionare izoterme sunt dezvoltate

de Dowson !i Hamrock. Rela iile de calcul care descriu grosimea filmului de lubrifiant sunt prezentate

în func ie de valoarea coeficientului C1, din criteriul Marckho !i de tipul de contact !i au fost deduse

considerând condi ii de func ionare izoterme !i alimentare abundent cu lubrifiant a zonei de intrare în

contact

pentru un contact liniar:

regim IVR: Q

Lw .R.u). 0 ,T(. 45, 2hh

y

isomin,iso,0

!&& (5.9)

regim PVR: " # y

3/2

isomin,iso,0 .RU . G1,66h=h & , (5.10)

regim EHD: y

-0,1660,470,692iso,0 .RWG2.92.U=h (5.11a)

y

-0,1280,5680,694isomin, .RWG.71.U 1=h (5.11b)

pentru un contact de tip punctual:

regim IVR

y

2

2

isomin,iso,0 R.W

U.

k . 128.683 . 12

karctan.131 . 0

3

k . 21

hh 23

456

7

8888

9

:

;;;;

<

=

2223

45556

7%23

456

7

%&&

$

(5.12)

regim PVR: " # y

64. 03/2

isomin,iso,0 .R))k.7 . 0exp(1 .(U . G1,66=hh $$& , (5.13)

regim EHD

y

0.64-0,0630,530,68iso,0 )).R0.751.k 0,61.exp(--.(1WG3.61.U=h (5.14a)

y

0.64-0,0730,490,68isomin, )).Rexp(-0.7.k-.(1WG3.63.U=h (5.14b)

In realitate, grosimea filmului de lubrifiant este influen at de temperatur !i de posibilitatea existen ei

fizice a lubrifiantului. In aceste condi ii este necesar s se introduc o serie de factori de corec ie

(coeficien i de corec ie termic !i de starvare).

>?& ..hh Tiso min, min (5.15a)

>?& ..hh Tiso ,o0 (5.15b)

în care: ? T este un coeficient de corec ie termic , iar este coeficientul de corec ie datorat

fenomenului de starvare. Pentru ungere în baie de ulei =1

Jackson [1981], prezint pentru determinarea coeficientul de corec ie termic ?T, relatia:

.L.254,01

1=

62.0

T

@T % (5.15c)

In ecua ia (5.15c) este definit parametrul termic kf/u. v=L2 rT,pT >! , în care :

pag.98

>v - coeficient termovâscos (C-1

)

B.135

T1.63 . 581

B . A

23

456

7 %%&> ,

A !i B constante date de ecua iile 5.2a !i 5.2b

kf - conductivitatea termic a lubrifiantului (W.m-1

.C-1

)

2223

45556

7

A$

&15

T.000045 , 0101 , 0.16 , 1kf

!15 = densitatea lubrifiantului la 15 oC

ur - viteza de rostogolire (m/s)

" # 2/2u1 uu r %& ,

u1,u2 - vitezele absolute ale suprafe elor care compun cupla cinematic

5.4. Calculul tensiunilor de forfecare din lubrifiant

In analiza comport rii dinamice a unei structuri SRB intervin tensiunile de forfecare în lubrifiantul

supus simultan solicitarilor normale si de tractiune. Tensiunea de forfecare a lubrifian ilor este

dependent de presiunile locale de contact !i de cinematica structurii.

In general, comportarea newtoniana a lubrifian ilor lichizi este caracteristica regimului de lubrifiere

izovascos-rigid (IVR), iar comportarea non-newtonian este caracteristica regimului

elastohidrodinamic (EHD). Pentru analiza contactelor cu rostogolire din rulmen i (EHD), cel mai des

se folosesc modele Maxwell neliniare, în care viteza de forfecare este compus dintr-o componenta

elastic !i una neliniar vâscoas :

! )( FG

1

dt

dve B%C

B&D%D&D (5.16a)

In rela ia anterioar G define!te modulul elastic de forfecare al lubrifiantului, iar F(B) este o func ie

disipativ care define!te componenta vâscoas . Johnson !i Tevaarwerk [1979] au demonstrat c un

model reologic simplu, de tip Maxwell neliniar, descrie bine comportarea reologica a lubrifiantului

intr-un astfel de contact.

Pentru studierea trac iunii din contactele cu rostogolire ale rulmen ilor, se pot utiliza diferite expresii

ale func iei disipative F(B) între care:

F(B) = 2223

45556

7

BB

C!

B

0

0 sinh (Ree & Eyring, 1955)

F(B) = 2223

45556

7

BB

$C!

B$

L

L 1ln (Bair & Winer, 1979)

F(B) = 2223

45556

7

BB

C!

B $

L

1L tgh (Gecim & Winer, 1980)

F(B) =

212

L

L 1

$

88

9

:

;;

<

=2223

45556

7

BB

$C!

B (Elsharkawy & Hamrock, 1991)

Tensiunea de forfecare este o tensiune caracteristic B0 (delimiteaz pe curba de trac iune începutul

pag.99

neliniarit ii în comportarea lubrifiantului) pentru modelul Eyring sau o tensiune limita BL pentru

celelalte modele.

In cazul alunec rilor mari, caracteristice contactelor cu rostogolire cu risc de gripare, efectul elastic se

poate neglija. Astfel, modelul reologic Maxwell cu func ia disipativa Ree-Eyring, în situa ia pentru

care B E B0 , se poate exprim astfel:

2223

45556

7

BB

C!C

BF222

3

45556

7

BB

C!

B&D

0

0

0

0 exp2

sinh (5.16b)

2223

45556

7

BDC!C

CB&B0

0

2ln

(5.17)

Utilizând valorile medii ale parametrilor reologici !i împ r ind ecua ia (5.17) la presiunea medie de

contact se ob ine rela ia:

2223

45556

7

B!C

CB

%DCB

&B

&(0

00 2ln

pln

pp (5.18)

In coordonate ( si ln ( D ), rela ia (5.18) reprezint ecua ia unei drepte, tangenta la curba de trac iune în

punctul de inflexiune al acesteia (figura 5.2). O analiz complet a rela iei 5.18 este prezentat de

Bercea [2002]. La limit , când ( = 0, tensiunea caracteristica devine:

DC!C&B 20 (5.19)

Figura 5.2 Varia ia coeficientului de trac iune ( !i a tensiunii de forfecare B func ie de viteza de

forfecare

Pentru cazul alunec rilor bidirec ionale, Johnson si Tewaarwerk [1979] propun o generalizare a rela iei

(5.16), introducând o tensiune de forfecare echivalenta Beq, definit pe baza criteriului von-Mises.

Ecua ia (5.16) se înlocuie!te cu sistemul de ecua ii (5.20):

I ln ) o,( ( !)

Newtonian

Non-newtonian

ln

m B

( )D D

Bo

(o

pag.100

2223

45556

7

B

BC

!

BC

B

B%

BC&D

0

ech0

ech

xxrx f

dx

d

G

u (5.20a)

2223

45556

7

B

BC

!

BC

B

B%

BC&D

0

ech0

ech

yyry f

dy

d

G

u (5.20b)

în care:

2

y

2

xech B%B&B

unde: ur este viteza de rostogolire în contact !i " #0f ech / BB reprezint func ia disipativ specific

modelului considerat.

Utilizarea modelelor prezentate anterior presupun cunoa!terea valorilor unor propriet i fizice ale

lubrifiantului: vâscozitatea dinamic !, modulul elastic de forfecare G, tensiunea de forfecare

caracteristica B0 sau limita BL .

Algoritmul de calcul implementat în programul SRBSYM folose!te modelul Maxwell-Ree–Eyring,

descris de Houpert [1980 !i 1985]. Pentru un punct de coordonate (x,y) aflat în contact tensiunea local

de forfecare Bx,y are expresia:

)y,x(C. Tisoy,x B&B (5.21)

unde:

G H T

2

oiso c1XXln %%B&B

DB

!&

0

p.

oeX

" # " # " #G HI%I$$JI%& . 149 ,0739 .9.. 408 .0413, 1

T .1,044.0,138-expC

5 . 0

0sss

L

v

b

h

1

cK

K89

:;<

=

AK&I ,

5. 0p

oL

0o

eK2

h

1 89

:;<

=

>!

B&J

0h

2v1v $&D

Parametrii care intervin în rela ia (5.21) sunt prezenta i în anexa 3.

Raportul dintre tensiunea tangen ial Bx,y !i presiunea normal de contact px,y, reprezint coeficientul

local de frecare din lubrifiant, având expresia:

(l(x,y)=Bx,y/px,y (5.22)

5.5. Varia ia grosimii filmului în func ie de condi iile de înc rcare !i de tipul structurii

Pentru o structur SRB-4PCBB-13, impunând o tura ie constant a inelului interior ni=60000 rpm !i o

sarcin axial variabil , rezult pentru grosimea filmului de lubrifiant, reparti ia din figura 5.2.

pag.101

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0 500 1000 1500 2000

Fax, N

h_m

in, m

icro

ns

hi, T=120°C

he, T=120°C

Fig.5.2. Evolu ia grosimii filmului de lubrifiant în func ie de modificarea înc rc rii axiale

Considerând o structur SRB-4PCBB-1234, înc rcat axial cu Fax=10000 N !i sarcin radial nul ,

prin modificarea vitezei unghiulare a inelului interior rezult c la nivelul celor „idx” contacte, grosimea filmului de lubrifiant variaz conform figurii 5.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 10000 20000 30000 40000

Inner ring speed, rpm

min

imu

m f

ilm

th

ick

ne

ss

, m

ico

me

ters hmin, idx=1

hmin, idx=3

hmin, idx=3

hmin, idx=4

Fig.5.3. Evolu ia grosimii filmului de lubrifiant în func ie de varia ia tura iei inelului interior

Forma varia iei grosimii filmului din figura 5.3 este dictat de „forma varia iei vitezei medii de rostogolire” corespunz toare contactului ‚idx’. Analiza ecua iilor 5.14 !i a rezultatelor oferite prin

rularea programului BB20, surprind acest aspect. Diagrama de varia ie a vitezei de rostogolire este

prezentat în figura 5.4

pag.102

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

Inner ring speed, rpm

roll

ing

sp

ee

d,

m/s

idx=1

idx=2

idx=3

idx=4

Fig.5.4. Evolu ia vitezei de rostogolire în structura SRB-4PCBB-1234

5.6. Concluzii

Pentru calculul parametrilor reologici care intervin in analiza cvasi-dinamica a structurii SRB trebuie

cunoscu i:

!tipul structurii (cap 2);

!tipul lubrifiantului (mineral sau sintetic);

!vitezele unghiulare ale rolelor !i ale coliviilor.

Pentru aprecierea dependentei vascozitatii de presiune si temperatura au fost propuse relatii de calcul

imbunatatite stabilindu-se clar domeniile de aplicabilitate, functie de conditiile specifice contactului

concentrat analizat.

Rela iile de calcul propuse sunt valabile pentru orice lubrifiant !i necesit un num r mai redus de

coeficien i pentru exprimarea varia iei vâscozit ii dinamice în func ie de temperatur in raport cu

relatiile mentionate curent in literatura de specialitate.

pag.103

CCAAPPIITTOOLLUULL 66.. CONTRIBU II PRIVIND ANALIZA PARAMETRILOR CVASI-DINAMICI AI

STRUCTURILOR SRB.VALIDARE EXPERIMENTAL! A METODEI DE CALCUL PROPUSE

Contribu ii privind analiza parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB.

Validare experimental a metodei de calcul propuse.

pag.104

6. Parametrii cvasi-dinamici ai structurilor SRB

Spre deosebire de determinarea PCS in determinarea parametrilor cvasi-dinamici se considera si efectele lubrificatiei si ale frecarilor. Pentru determinarea !i validarea valorilor calculate ale parametrilor cvasi-dinamici s-a parcurs urm torul algoritm:

1. crearea unei clase de func ii OOP necesar descrierii matematice a parametrilor cvasi-dinamici; 2. stabilirea ecua iilor de echilibru ale elementelor structurii (corpuri de rostogolire !i colivii); 3. stabilirea metodelor numerice utilizate în analiza; 4. stabilirea rela iilor de calul ale fortelor si momentelelor care intervin in calculul parametrilor

cvasi-dinamici; 5. validarea experimental a rezultatelor calculate !i analiza cauzelor care determina diferen e

între modelarea analitico-numerica si experiment.

In clasa de func ii „parametri cvasi-dinamici”, notat PCD, sunt incluse for ele !i momentele care

antreneaz în mi!care rolele !i coliviile unei structuri SRB. Determinarea PCD se realizeaz folosind o

metod de calcul iterativ (cea mai sigur metod fiind dihotomia) !i implic rezolvarea ecua iilor de

echilibru ale rolelor !i coliviilor structurii.

6.1. Ecua iile care descriu echilibrul rolelor pe direc ia de înaintare

Un rulment cu dou rânduri de corpuri de rostogolire se ob ine prin concatenarea unor structuri simple

de tip SRB-4PCBB-13 !i / sau RB-4PCBB-24 (figura 2.9). Leg tura fizic cere ca inelele interioare,

respectiv exterioare, s suporte aceea!i deplasare axial . Pentru o rol SRB cu ‚idx’ contacte principale,

for ele !i momentele care ac ioneaz în direc ia principal de mi!care sunt prezentate în figura 6.1a.

Pentru o structur SRB-SRB cu dou contacte principale indicii „i” !i „e” au valorile prezentate în

matricea:

r=1 r=2

i idx=1 idx=2

e idx=3 idx=4

FLe

FALFHeFHi

FAe FRe

MD

MRe

MRi

FAiFLiFRi

FCs

FCd b

i

FcRCdFcRCs

Jrc / 2

Fig.6.1.a. For e !i momente care ac ioneaz asupra unei role.

pag.105

Pentru calculul parametrilor cvasi-dinamici (PCD), în literatur sunt prezentate dou metode:

!metode simplificate: Houpert, [1985];

!integrarea ecua iilor de mi!care (Runge-Kutta) procedeu utilizat de Molina, [1976], Kellstrom

[1979] (SKF), Kleckner [1982], Naronha [1990] (FAG), Gupta, [1979 a..d, 1983, 1991], iar in

cadrul categrei „Organe de Masini ” din Iasi, de tezele elaborate de Olaru D, [1992], Bercea I,

[1996], Prisacaru [1997], etc. Modelul de calcul care presupune integrarea ecua iei de mi!care

a unei role si rezolv ecua ii difernetiale de forma:

! " ! "j

b

jw M J

1

dt

d #$ (6.1)

în care:

w reprezint tura ia rolei, #M reprezint suma momentelor care antreneaz în

mi!care rola, iar Jb este momentul de iner ie al rolei.

Rezolvarea ecua iei 6.1, impune ca solu ia ini ial s se afle în imediata vecin tate a solu iei

finale, [Valeriu I, 1996], aproximare greu de realizat pentru toate cazurile de analiz ale

structurilor SRB (vezi figurile 3.12..3.13).

Modelul simplificat propus de Houpert [1985], nu ine cont de contactul rol -colivie, fiind îns bine

aplicabil rulmen ilor cu bile înc rca i pur axial, caz în care for ele de contact rol -colivie tind la zero.

Pentru o rol j aflat pe rândul r având mi!care stabilizat , ecua iile de echilibru sunt:

# $ 0),(M r,cj,r,b (6.1a)

# $ d,sr,cj,r,b FcRC),(F (6.1b)

Indicii s !i d, descriu pozi ia punctului de contact rol – colivie aflat în partea stâng sau respectiv

dreapt a centrului de mas al rolei. Se noteaz FCBC(j) = FcRCs,d sarcina de contact între bil !i

colivie fiind indicat în figura 6.1.b

Fig.6.1.b. Sensul sarcinii de contact rol - colivie

Utilizând nota iile anterioare, ecua iile de echilibru de momente !i de for e pentru rola j devin:

pag.106

# # $%&'

()*

+,%$ 0MD). j( FcBCsduz .SF.

2

dw),(M RC

idx

idxidxcj,b (6.2a)

- .# # $%/$ ).j( FCBCFALFH .sduzSF),( Fidx

idxidxidxcj,b (6.2b)

în care:

- .idxidxidxidxidx FRFLFA.sduzSF %/$

For ele !i momentele care intervin în sistemul de ecua ii 6.2 se calculeaz utilizând elementele

prezentate în anexele 1 !i 3 !i capitolele 3 !i respectiv 5, considerând valori cunoscute pentru tura ia

rolei !i a coliviei.

For ele FRidx, !i FHidx din sistemului de ecua ii 6.2, au cauz

principal diferen a de presiune din zona de intrare !i respectiv

ie!ire a lubrifiantului din contact (figura 6.2). Acest fenomen

este prezentat de Dowson D [1961, 1966, 1976, 1983, 1995].

FH - for ele hidrodinamice (de presiune) !i for e rezistente de

rostogolire.

FHidx, este rezultanta diferen ei proiec iilor pe direc ia de

înaintare a presiunilor din zona de intrare !i zona de ie!ire din-

trun tribocontact. Conform elementelor teoretice prezentate

de Houpert [1985], rela ia de leg tur între for ele de

presiune FHidx !i for ele rezistente de rostogolire este:

idxidx FR. 2 =FH (6.3)

Fig. 6.2. Distributia de presiuni intr-un contact EHD

In literatura de specialitate sunt prezentate o serie de rela ii de calcul care modeleaz for a rezistent de

rostogolire sau momentul rezistent de rostogolire. In continuare se va face referire la trei dintre aceste

rela ii, prezentate de Houpert L [1985] !i Hamrock [1986], Nelias D [1999], tabelul 6.1

Tabel 6.1. Rela ii de calcul pentru calculul for elor FRidx (for ele rezistente de rostogolire)

Referin

bibliografic Rela ia de calcul pentru for a rezistent de rostogolire respectiv momentul rezistent,

valabile în cazul model rii contactelor de tip punctual.

Nelias D, 91.0 0

idx

022 .

idx

8673 . 0

idx

656 . 0

idxidxidx

idx k.G .W .U .Q .Dw

b. 5 , 8=FR % 6.4.a

Houpert, 348.0

idxidx

022 .0 0

idx

47 .

idx

66 . 0

idx

2

idxidx )Ry/Rx.(G .W .U .Ry.E. 86 . 2=FR 6.4.b

Hamrock, 421.0

e,i

589 .0

e,i

547.1

e,ie,ie,ie,i G.U .W .b.8 , 0 .QMR %%$ , FRi,e=MRi,e..2/dw 6.4.c

FL- for e de trac iune de trac iune în lubrifiant

For ele de trac iune în lubrifiant rezult prin sumarea efectelor locale ale tensiunilor de forfecare din

lubrifiant !i depind de sensul local al vitezei de alunecare. Sunt notate FLidx !i se calculeaz prin

pag.107

0 122 &&'

(

))*

+3

A idx

)y,x(P

)y,x(P

y,x iidxidx .dA Val

Val.=FL (6.5)

unde:

!Val = viteza de alunecare (cap 2);

!(3x,y)i,e - tensiunea tangen ial pe direc ia de rostogolire, corespunz toare domeniului analizat

(cap 5);

!dA – reprezint aria elementului considerat;

!x,y – coordonatele unui punct din cuprins în domeniul de contact.

FA - For a de trac iune pe asperit i

Rezult prin sumarea for elor de frecare de natur „rugoas ” care apar în timpul deplas rii relative a

rolei în raport cu c ile de rulare. Sunt notate FAidx !i se calculeaz de asemenea prin sumare pe aria de

contact:

0 122 4,&&'

(

))*

+5

A

idxidxy,x

idx) y , x ( P

)y,x(P

y,x idxidx .dA)(.Val

Val.=FA (6.6)

Raportul dintre grosimea minim a filmului de lubrifiant hmin !i rugozitatea compus a suprafe elor este

definit de parametrul 4 definit de Johnson K.L in 1970.

22

miny,x

2Ra1 Ra.15 , 1

h

/$4$4 (6.7)

In ecua ia 6.7, Ra1,2, reprezint abaterea media aritmetic a în l imii rugozit ile suprafe elor în contact.

In condi iile în care grosimea filmului de lubrifiant devine insuficient pentru separarea complet a

suprafe elor în contactul cu rostogolire, (4<3) for a de frecare de pe asperit i reprezint o parte

important din for a de frecare total corespunz toare tribocontactului „idx”.

Dependen a raportului dintre sarcina normal preluat de asperit i !i sarcina normal de

contact de parametrul 4 este prezentat în figura 6.3a. Zhou [1988] !i Aramaki [1993],

arat c dependen a coeficientului de frecare de natur rugoas de parametrul filmului

de lubrifiant poate fi modelat de

rela ia

). Bexp(. 2, 0)(C

idxe,iy,xy,x 4%$4, .

Pentru 4<3 tensiunile tangen iale exprimate în direc ia

de rostogolire influen eaz durabilitatea contactului

rol – cale de rulare prin deplasarea regiunii unde

tensiunea echivalent Von - Misses are valoare

maxim , c tre interfa a rol – cale de rulare (Johnson

K.L, [1970], Popinceanu, s.a. [1985], Cre u Sp. [2002

si 2002b]), (anexa 6).

Fig 6.3.a Dependenta intre raportul Qa / Q si

parametrul de ungere 4

In structura SRB-22212C W33, s-au considerat pentru rugozit ile suprafe elor c ilor de rulare valorile

pag.108

Raidx =0.36,m !i pentru rugozitatea rolei valoarea Raw=0.16 ,m, rezultând o rugozitate compus

Ra=0,25,. In aceste condi ii s–a trasat curba de varia ie a parametrului Qa/Qf (4), prezentat în

figura.6.3.b.

Rank 25 Eqn 1526 y -1 =a+bx 3 +ce x

r2=0.999175616 DF Adj r 2=0.996702465 FitStdErr=0.0159772765 Fstat=1212.02746

a=-0.6778775 b=-0.41874405

c=1.6768813

0 1 2 3 4 5

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

Fig.6.3.b. Dependen a raportului Qa / Q de parametrul de ungere 4, pentru Ra=0.25,m

FAL - For a rezistent la înaintare prin amestecul aer-lubrifiant

Pentru ungere în baie de ulei, for a de rezisten a întâmpinat de rol în tipul înaint rii prin amestecul

aer – lubrifiant, notat FAL a fost calculat cu rela ia stabilit de Rumbarger [1973]:

.CDA.V2

1=FAL r

2 tmam6 (6.8)

unde:

!6am - densitatea amestecului aer-lubrifiant în func ie de tipul de ungere:

!ungere în baie de ulei : V/V. totaluleiuleiam 676 , Rumbarger,[1973]

!ungere cu ceat de ulei : ]/100Xol).-(100[Xol. aeruleiam 6/676 , Nelias,[1999]

!Vulei, Vtotal - volumul de ulei !i respectiv volumul de gol al rulmentului

!Vtm - viteza medie de transport a rolei în amestec: Vtm= cdm/2

!Ar - aria frontal a rolei (bilei):

8

$

.4

.Dw . DmNRE c , num rul lui Reynolds

ulei

T

6

9$8

5 . 15 . 0

7

NRE

108.0

NRE

05 . 4

NRE

7 . 410.7, 9 . NRE13 , 1CD ///%$ %

1,7

0,37 710

mc d.

QhXol

$

!Qh = debitul de ulei : g/cm3

! c = tura ia coliviei exprimat în rot/min

pag.109

MD - Momentul de frecare între amestecul aer-lubrifiant !i suprafe ele laterale ale rolelor

Rumbarger [1973] arata ca momentul de frecare dintre suprafa a rolei !i amestecul aer-lubrifiant,

conven ional numit „moment de drag”, notat MD, se compune din dou componente notate în

continuare MDL !i MDF:

!MDL – MD rezultat prin frecarea dintre suprafe ele laterale a rolei cu amestecul aer-lubrifiant

!MDF – MD rezultat prin frecarea suprafe ei frontale a rolei cu amestecul aer-lubrifiant

! MD = MDF + 2 . MDL

Cele doua componente ,MDF !i MDL, depind de regimul de curgere al amestecului de aer-lubrifiant în

jurul rolei !i sunt func ii de num rul lui Reynolds, notat NRE. Pentru calculul celor dou componente,

Rumbarger [1973], utilizeaz urm toarele rela ii de calcul:

CD.2

Dw...

2

1MDL

5

2

wam :;

<=>

? 6$ ; Lw.2

Dw...

NRE

8MDF

5

2

wam :;

<=>

? 6$ (6.9)

în care:

300000NRENRE

87 , 3

300000NRENRE

146,0

CD5 . 1

@

A$

6.2. Ecua iile de echilibru ale coliviilor unei structuri SRB

Rezolvarea sistemului de ecua ii 6.2 pentru cele j role ale rândului r, conduce la determinarea for elor

care ac ioneaz asupra coliviei, notate FcBC(j) sau Fc,j, In figura 6.4. este prezentat un exemplu

schematic de distribu ie a for elor de contact role-colivie, unde cu ,j este notat coeficientul de frecare

dintre rola j !i colivia r [Cre u Sp

!i Bercea I., 1997]. Geometria

coliviei sau/!i inelelor

intermediare, tura ia de lucru !i

lubrifiantul conduc la apari ia

fenomenelor de palier scurt

descrise de Frene, s.a [1990].

Efectul for elor FcBC(j) !i al

„palierului scurt”, este acela de a

genera ghidarea coliviei

producând o serie de momente

(active sau rezistente). Mi!carea

coliviei prin amestecul aer

lubrifiant genereaz componente

ale momentului de „drag” pe

colivie, notat (MDC).

Fig.6.4. Exemplu de reparti ie a

for elor FcRCr,j într-o structur

SRB.

Sumarea vectorial a for elor

prezentate în figura 6.4, genereaz o for rezultant notat Fcr, prezentat schematic în figura 6.5.

Fc,j

c,jF

c,jF

c,jF

c,jF

c,jF

c,jF

c,jF

c,jF

c,jF

i

c,jF, j

c,jF, j

c,jF, j

c,jF, j

c,jF, j

c,jF, j

c,jF, jc,jF, j

c,jF, j

c,jF, j

Inner ring

Outer

ring

Cage

Roller element

pag.110

Fig.6.5. Sarcina de contact colivie-inel

Determinarea tura iei de echilibru al coliviei se face prin rezolvarea ecua iei de echilibru de momente

scris pentru colivia ‚r’ (ecua ia 6.10).

0 1 0MDC) j( FcBC2

dmsduz. Nsg .. Frc

2

Dr),(Mc

j

NsgRCr,cj,r,b $%/,$ # (6.10)

unde:

Dr = reprezint diametrul inelului pe care se face ghidarea

,rc = coeficient de frecare între colivie !i inelul pe care se face ghidarea

Nsg = num rul de suprafe e pe care se face ghidarea coliviei

Utilizând sarcinile calculate în cadrul paragrafelor 6.2.1 !i 6.2.2 se determin componentele ecua iei de

echilibru (6.3).

Lc

LcØ DC

ØD

eiav Ø

D_m

in_ca

ge

ØD

_m

ax_ca

ge

ØD

eeav

Ødm

Ø Dw

Fig.6.6 – Elemente geometrice necesare calculului for elor !i momentelor specifice coliviei

pag.111

6.2.1. Momentul rezistent la înaintarea coliviei prin amestecul aer – lubrifiant

In baza rela iilor stabilite de Rumbarger [1973] „momentul de drag” este:

# 6$SL

5

SL

2

cam rCD ...2

1MDC (6.11)

în care:

SL = num rul de suprafe e laterale ale coliviei

!am densitatea amestecului aer-lubrifiant din rulment

300000NRE)cagemin__rcagemax__r.( cagemax__r

300000NRE),cagemin__rcagemax__r.(cagemax__rr44

5

23

5

23

5

2

5

SL

@%

A%$

r_max_cage = D_max_cage/2;

r_min_cage = D_min_cage/2

6.2.2. Ghidarea coliviei pe c ile de rulare.

Compunerea vectorial a for elor prezentate în figura 6.4 genereaz o for echivalent Frc descris de

rela ia:

22

rc sFrzsFaxF /$ (6.12)

unde:

0 1#%

$

/BC/B,//BC/B$1Z

0j

rc )u)j(sin().j(FCBC.)u)j(cos().j(FCBCsFax

0 1#%

$

/BC/B,//BC/B%$1Z

0j

rc )u)j(cos().j(FCBC.)u)j(sin().j(FCBCsFrz

:;

<=>

?7dm

Dwarctanu ,

Z

j..2) j(

D$B ,

&'

()*

+ DEBC

Z

.2....0

Contactul dintre colivie !i una dintre c ile de rulare este modelat de Frene s.a [1990], prin efectul de

palier scurt, parametrul principal adimensional fiind binecunoscutul num r al lui Sommerfeld:

2

m .p

n ).0 ,T(So

F

9$ = num rul lui Sommerfeld

în care:

! Dr

DrD %$F

! ce,in % $ , [rot/s]

! Dr. Lc

FcCRp m $

, [Pa]

D = reprezint diametrul suprafe ei coliviei pe care se realizeaz ghidarea

D = D_min_cage, pentru ghidare interioar

pag.112

D = D_max_cage, pentru ghidare exterioar

Dr = diametrul suprafe ei inelului care corespunde contactului cu colivia

Dr= Deiav sau Dr= Deeav.

Pentru cazul palierului scurt, Frene s.a, [1990] prezinta leg tura dintre num rul lui Sommerfeld !i

excentricitatea relativ G:

!- .

- .222

22

1.. 16

1.

GDGGD

G

%/HH

%$Lc

DSo (6.13a)

Valoarea coeficientului de frecare între colivie !i inelul pe care se face ghidarea se determin utilizând

rela ia, Frene !.a [1990]:

!

)1 ().1 (

)2.(.. 2

GG

GD,

%/

/F$

So (6.13b)

Deoarece, în timpul mi!c rii distribu ia de sarcini variaz în func ie de pozi ia unghiular a rolelor,

rezult c centrul de mas al coliviei nu este un punct ci reprezint un loc geometric, aspect eviden iat

!i de Gupta în 1979.

6.3. Calculul momentelor de frecare ale inelelor structurilor SRB. Model simplificat

Utilizând elementele de calcul prezentate la paragraful 6.1, momentele rezistente specifice inelelor unei

structuri SRB se calculeaz cu rela iile:

# ##$r

r,j,idx2

1idxr, jidx

Z

1j=

i 2

dSF=M (6.14a)

# ##$r

r, j,idx4

3idxr, jidx

Z

1j=

e 2

dSF=M (6.14b)

în care didx,j,r – reprezint diametrul pe care se realizeaz contactul dintre rol !i calea de rulare

6.4. Calculul puterii consumate

Puterea total consumat pentru o structur SRB, se determin prin sumarea puterilor par iale

consumate la interac iunile dintre role si colivie !i respectiv inelele structurii la care se adaug , puterea

consumata prin efectele de drag !i de palier scurt si puterea consumat pentru învingerea rezisten ei

amestecului aer-lubrifiant la înaintarea rolei numit !i „brassage de l’huile’.

dragrcrcopslubaer PPPPPP ////$ % (6.15)

în care:

Puterea consumat la înaintarea rolei prin amestecul aer-lubrifiant:

,.FAL.Zc2

dmP

r

rrrr

lub-aer #$

Puterea consumat prin efectul de palier scurt:

# ,%$r

rrrre,ips Nsg..Fcr.wcwP

Puterea consumat prin frecare la nivelul contactelor role – colivie:

)r, j(.b.FCBC(j).2

dwP bcrj,

r

r

Zr

1j

rco , $##$

pag.113

Puterea consumat prin frecare la nivelul contactelor role – c i de rulare:

- .## # #$ &'

&(+:::;

<===>

? //$

r

Zr

1j idx

idx, j,ridx, j,ridx,j,ridx, j,r

b,a

y,x

xy,xy,xrc s.T .b .QVal .FAFLP

Puterea consumat prin efectul de drag:

###$

/ $r

Zr

1j

j,rj,r

r

drag MD.bMDC . cP

unde:

s, T = sunt prezenta i în capitolul 3 !i anexa 2

Val = viteza de alunecare corespunz toare unui punct descris de parametrii (x,y,r,j,idx)

6.5. Evolu ia PCD ai structurilor SRB în vecin tatea tura iilor de echilibru ale rolelor !i

coliviilor

In figura 6.7 se prezint varia ia unor parametrii cvasi-dinamici ai structurii de tip SRB-SRB 22212C,

considerând: tura ia inelului interior, ni=1000 rpm, sarcin radial Frz=1000, !i lubrifiantul H46

(3o=4.48.107 Pa). Graficele sunt trasate, pentru rola j=0 din rândul r=1. Analiza a fost efectuat pentru

dou temperaturii diferite de intrare ale lubrifiantului în contact.

pag.114

T=20oC, => c=41 rad/s T=70, =>wc:=44 rad/s

Fig. 6.7. Varia ia momentului de frecare, a for ei de contact rol colivie !i a puterii consumate pe o rol

în func ie de temperatur pentru diverse valori ale tura iei rolei.

Alegerea metodei numerice de analiza este dictata de evolutia parametrului moment pe rola si

respectiv moment pe colivie. Evolu iile prezentate în figurile 6.8 !i 6.9 pentru parametrul moment

total pe rol !i respectiv moment total pe colivie, indic dificult i în folosirea metodei Runge-Kutta

pentru determinarea echilibrului rolei. Astfel, considerând o structur SRB-SRB 22212C, varia ia

momentului de frecare pe rol arat c alegerea unei solu ii ini iale pentru algoritmul Runge–Kutta

în regiunile indicate poate conduce la ob inerea de date eronate.

Fig. 6.8. Varia ia momentului de frecare pe rol pentru diverse valori ale tura iei rolei (posibile valori

ini iale pentru algoritmul Runge-Kutta), lubrifiant H46, T=40oC, ni=3000 rpm; Fz=13000

pag.115

Fig.6.9. Varia ia parametrului SFc considerând H46, Fz=3000, wi=1000 rpm, T=33oC

6.6. Validare experimental a modelului de calcul propus. Tipuri de teste.

M sur torile experimentale urm resc validarea modelul de calcul propus, prin compararea valorii

experimentale a momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului, cu valorile numerice ob inute

cu programul de calcul dezvoltat. Pentru m surarea momentului de frecare s-au utilizat:

!Rulment (structur SRB): rulment radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri 22212C.

Geometria intern a rulmentului este prezentat în anexa 4

!Lubrifiant : ulei H46. Caracteristicile lubrifiantului sunt prezentate în anexa 3

Testele efectuate se grupeaz în patru categorii distincte !i anume:

!T1. set de teste cu sarcin pur radial ;

!T2. set de teste cu sarcin pur axial ;

!T3. set de teste cu sarcin combinat (înc rcare simultan axial !i radial );

!T4. test cu sarcin constant radial !i urm rire a evolu iei momentului de frecare în timp.

6.6.1. Elemente specifice testelor T1, T2 !i T3

Curbele experimentale ob inute cu ajutorul sistemului de achizi ie de date specifice testelor T1, T2 !i

T3, prezint dou zone distincte care caracterizeaz evolu ia valorii parametrului variabil din cadrul

testului. Simularea pe calculator este efectuat pentru una din regiunile diagramei experimentale pentru

care temperatura lubrifiantului are o valoare relativ constant .

6.6.2. Elemente specifice testului T4.

Testul T4, prezint evolu ia momentului de frecare a frecare în func ie de temperatur , !i s-a desf !urat

pe durata de o or , timp în care temperatura lubrifiantului a ajuns de la 13 grade la 32 grade. Diagrama

de varia ie a momentului de frecare este prezentat în dou grafice succesive.

Pentru a facilita compararea datelor experimentale cu cele teoretice (calculate), ordinea de prezentare

din cadrul testelor este:

!grafic de evolu ie a valorii experimentale a momentului de frecare;

!tabel cu valori numerice ale momentului de frecare exprimat în func ie de parametrul variabil

din cadrul testului;

pag.116

!grafic de varia ie a momentului de frecare calculat; !grafic comparativ între valorile calculate i cele m!surate

Pentru câteva din cazurile analizate se prezint! diferen ele ob inute în cadrul simul!rii pe calculator, prin folosirea rela iilor 6.4.a i 6.4.b. Acolo unde nu se precizeaz!, se consider! implicit a fi utilizat!rela ia 6.4.b, prezentat! de Houpert [1985].

6.7. Teste de tip T1. Incerc!ri cu sarcin! pur radial! i tura ie variabil!

6.7.1. Test T1.A

In figura T1.A.1 este prezentat! varia ia momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului, considerând o sarcin! radial! Fr=656 N. Înregistrarea s-a efectuat pe parcursul a aproximativ 10 minute, perioad! în care tura ia inelului interior a fost programat! la valori cuprinse în intervalul 400-1500 rpm. In perioada de timp de la 0 la 300 secunde s-a constat o cre tere a temperaturii uleiului de la 19oC la 24oC. Pentru perioada de timp cuprins! între 300 - 600 secunde temperatura lubri-fiantului, m!surat! în regiunea descendent! a graficului prezentat în figura T1.A.1, a avut o valoare cvasiconstanta variind în limitele 240C-230C .

Nr test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fig.T1.A.1 Diagrama de varia ie a momentului de frecare, ob inut! experimental, corespunz!toare testului T1.A

In tabelul T1.A sunt prezentate valorile minime i maxime ale momentului de frecare cât i temperaturile de referin ! corespunz!toare fiec!rei regiuni indicate în figura T1.A

Tabel T1.A.Parametri m!sura i în cadrul testului T1.A

Timp, s

pag.117

Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 400 0.26 0.26 19 2 500 0.26 0.35 19 3 700 0.35 0.44 19 4 1000 0.44 0.44 19 5 1300 0.44 0.53 22 6 1500 0.44 0.53 24 7 1300 0.35 0.44 24 8 1000 0.26 0.35 24 9 700 0.18 0.26 24 10 500 0.18 0.26 23 11 400 0.09 0.18 23

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt prezentate în figura T1.A2 i corespund zonei descendente a diagramei achizi ionate. In cadrul modelului de calcul a fost utilizat! rela ia 6.4.b pentru calculul for ei rezistentei de rostogolire.

Fig.T1.A.2. Valori calculate ale momentului de frecare.

In figura T1.A2, parametrii Mfe i Mfi au urm!toarea semnifica ie: !Mfe = moment de frecare pe inelul exterior, !Mfi = moment de frecare la nivelul inelului interior

Compara ia între valorile calculate ale parametrului Mfe i cele m!surate este prezentat! în figura T1.A.3.

pag.118

Fig.T1.A.3. Valori m!surate i valori calculate ale momentului de frecare la nivelul c!ii de rulare exterioare a rulmentului

Pentru valorile limit! ale intervalului de tura ie considerat este prezentat! în continuare evolu ia unor parametri cvasi-dinamici i cvasi-statici. 6.7.1.1. Evolu ia parametrilor PCS !i PCD pentru ni=400 rpm

In figurile T1.A.4-T1.A.5 sunt prezentate distribu ia de sarcin! i presiunea maxim! de contact la nivelul celor (r,2.j ) contacte.

Fig. T1.A.4. Distribu ia de sarcin!, N Fig.T1.A.5. Distribu ia de presiune de contact, MPa

Evolu ia momentului generat de for ele de trac iune i de cele rezistente în vecin!tatea tura iei de echilibru a rolei j=0 este prezentat! în figura T1.A.6. Parametrul filmului de lubrifiant ( ) este prezentat în figura T1.A.7. Efectul modific!rii tura iei rolei asupra for elor de trac iune este eviden iat în figura T1.A.8 pentru contactul rol! cale de rulare interioar! i respectiv în figura T1.A.9, pentru

pag.119

contactul rol! cale de rulare exterioar!

Fig.T1.A.6. Evolu ia momentului generat de for ele de trac iune i cele rezistente pe rola j=0

Fig.T1.A.7. Evolu ia parametrului filmului de lubrifiant, în jurul valorii de echilibru a tura iei rolei j=0

Fig. T1.A.8. Diagrama de varia ie a for elor de trac iune în lubrifiant (FSi) i la nivelul asperit! ilor (FAi) . j=0

Fig. T1.A.9. Diagrama de varia ie a for elor de trac iune în lubrifiant (FSe) i la nivelul asperit! ilor (Fae) . j=0

6.7.1.2. Evolu ia parametrilor PCD pentru ni=1500 rpm

Odat! cu cre terea tura iei inelului interior, grosimea filmului de lubrifiant se modific!, matematic fiind vorba despre modificarea parametrului adimensional de vitez!. Cre terea grosimii filmului de lubrifiant implica modificarea parametrul de ungere, , si in consecinta modificarea substan iala a for elor de trac iune pe asperit! i i din lubrifiant. In figurile T1.A.10 - T1.A.15 sunt prezenta i unii parametri cvasi-dinamici ai structurii analizate:

!figura. T1.A.10 prezint! evolu ia tura iei de echilibru a rolelor; !figura T1.A.11 prezint! valorile for elor de contact dintre role i coliviile structurii.

pag.120

Fig.T1.A.10. Tura iile de echilibru ale rolelor.

Fig.T1.A.11. Evolu ia for elor de contact între role i colivie, pentru cazul analizat

Considerând rola descris! de parametrii (r,j)=(1,0), în figurile T1.A.12-T1.A.15 este prezentat! evolu ia unora dintre parametrii PCD ai structurii SRB care au condus la ob inerea parametrilor prezenta i în figurile T1.A10 i T1.A.11. Graficele de varia ie trasate arat! evolu ia acestor parametri în vecin!tatea tura iilor de echilibru ale rolei (1,0).

pag.121

Fig.T1.A.12. Evolu ia momentului de frecare pe rola j=0

Fig.T1.A.13. Evolu ia parametrului filmului de lubrifiant, .

Fig.T1.A.14. Diagrama de varia ie a for elor de trac iune pe asperit! i (FAi) i în lubrifiant (FSi)

Fig.T1.A.15. Diagrama de varia ie a for elor de trac iune pe asperit! i (FAie i în lubrifiant (FSe)

6.7.1.3. Interpretarea rezultatelor numerice. Observa ii.

Evolu ia parametrilor PCD ai structurii este puternic influen at! de parametrul adimensional de vitez!. Astfel, odat! cu cre terea tura iei inelului interior se poate stabili urm!toarea rela ie de recuren !: !cre terea tura iei " cre terea valorii parametrului " sc!derea influen ei for elor de trac iune

pe asperit! i i accentuarea influentei for elor de trac iune din lubrifiant. (a se compara valorile numerice indicate în figurile T1.A.8 i T1.A.9 în raport cu valorile numerice indicate în figurile T1..A14. i T1.A.15)

Observa ie: Evolutia for elor de trac iune este dictat! de parametrul vitez! unghiular! al rolei prin intermediul sensului componentelor vectorului vitezelor de alunecare. Conform ecua iei (6.2) for ele de trac iune din lubrifiant i de pe asperit! i trebuie s! înving! for ele rezistente de rostogolire.

Folosirea ecua iei (6.4.a), conduce la ob inerea rezultatelor prezentate în figura T1.A.16. Diferen ele

pag.122

ob inute prin folosirea rela iilor dezvoltate de Houpert (6.4.b ) i Nelias (6.4.a) sunt prezentate în figura T1.A.17.

Fig.T1.A16. Moment de frecare calculat, ob inut prin utilizarea rela iei 6.4a.

Fig. T1.A.17. Compara ie între valorile m!surate i cele calculate folosind ecua iile deduse de L. Houpert [1985] i respectiv de D. Nelias [1999].

Din analiza datelor prezentate în figura T1.A.17 rezult! c! folosirea rela iei (6.4.a) ofer! în cadrul testului prezent valori mai apropiate de valorile m!surate.

pag.123

6.7.2. Test T1.B

In cazul aplic!rii unei sarcini radiale de 1094 N, prin varia ia tura iei inelului interior în intervalul 400-1500 rpm s-a ob inut diagrama de varia ie a momentului de frecare la nivelul inelului exterior (Fig.T1.B.1). Înregistrarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp în care temperatura lubri-fiantului a variat între 19 i 27oC .

In tabelul T1.B. sunt prezentate detaliat valorile minime i maxime între care a oscilat valoarea momentului de frecare înregistrat cu ajutorul sistemului de achizi ie de date cât i temperatura la care a fost efectuat! înregistrarea.

Nr. test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fig. T1.B.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare.

Tabel T1.B. Varia ia momentului de frecare i a temperaturii m!surate în cadrul test!rii cu Fr=1094 N Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC

1 400 0.18 0.26 19 2 500 0.26 0.35 22 3 700 0.26 0.35 22 4 1000 0.35 0.35 23 5 1300 0.35 0.44 25 6 1500 0.35 0.44 27 7 1300 0.35 0.42 27 8 1000 0.26 0.35 25 9 700 0.18 0.26 25 10 500 0.09 0.18 24 11 400 0.09 0.18 24

Rezultatele teoretice calculate sunt prezentate în figura T1.B.2 pentru conditiile: !temperatura uleiului: T= 25o C; !for a rezistent! de rostogolire de natur! vâscoas! descris! de ecua ia 6.4.b.

pag.124

Fig. T1.B.2. Moment de frecare calculat utilizând programul SRBSYM

In figura T1.B.3. sunt prezentate, în scopul efectu!rii unei compara ii, valorilor teoretice i cele m!surate

Fig.T1.B.3. Valori teoretice i experimentale ob inute pentru parametrul Mfe (moment de frecare pe inelul exterior al rulmentului).

pag.125

6.7.3. Test T1.C

Condi iile de testare impuse sunt: !Sarcin! radial! constant! : Fr=1532 N; !Tura ie variabil! în intervalul 400-1500 rpm.

In condi iile men ionate anterior, sistemul de achizi ie a înregistrat diagrama de varia ie a momentului de frecare prezentat! în figura.T1.C.1. Testarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp în care temperatura lubrifiantului a variat între 19oC i 27oC pentru zona de incrementare a tura iei i a r!mas la valoarea aproximativ constant! de 27-26oC în zona de decrementare a tura iei inelului interior. In tabelul T1.C. sunt prezentate valorile parametrilor m!sura i în timpul test!rii.

Nr. test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fig. T1.C.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare.

Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 400 0.35 0.35 19 2 500 0.26 0.35 20 3 700 0.35 0.44 22 4 1000 0.44 0.44 22 5 1300 0.44 0.53 24 6 1500 0.44 0.53 27 7 1300 0.44 0.53 27 8 1000 0.35 0.44 26 9 700 0.26 0.35 26 10 500 0.19 0.26 26 11 400 0.19 0.26 26

Tabel T1.C. Parametri m!sura i în cadrul testului.

Pentru calculul teoretic al momentului de frecare s-au impus ca date de intrare: !Temperatura lubrifiantului T=27oC;

pag.126

!Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Houpert [1985], ecua ia 6.4.b.

Simularea pe calculator a generat diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul interior cât i pe inel exterior al rulmentului. Valorile calculate sunt prezentate în figura T1.C.2. In figura T1.C.3. sunt prezentate simultan valorile m!surate cât i cele calculate ale parametrului Mfe (moment de frecare pe inelul exterior).

Fig.T1.C.2. Valori calculate ale momentelor de frecare corespunz!tore celor dou! inele ale rulmentului

Fig.T1.C.3. Valori m!surate i calculate ale momentului de frecare la nivelul contactelor role – cale de

rulare exterioar!.

pag.127

6.7.4. Test T1.D

Condi iile de testare impuse sunt:

!Sarcin! radial! constant! : Fr=2188 N;

!Tura ie variabil! în intervalul 400-1500 rpm.

In condi iile men ionate anterior, sistemul de achizi ie a înregistrat diagrama de varia ie a momentului

de frecare prezentat! în figura.T1.D.1. Testarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp în care

temperatura lubrifiantului a variat între 19oC i 29

oC pentru zona de incrementare a tura iei i a r!mas

la valoarea aproximativ constant! de 28-29oC în zona de decrementare a tura iei inelului interior. In

tabelul T1.D. sunt prezentate valorile parametrilor m!sura i în timpul test!rii.

Nr.

test 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fig. T1.D.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare, achizi ionat! în cadrul testului T1.D

Tabel T1.D. Parametri m!sura i în cadrul testului.

Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC

1 400 0.26 0.35 19

2 500 0.35 0.44 20

3 700 0.44 0.53 22

4 1000 0.44 0.53 22

5 1300 0.53 0.64 28

6 1500 0.53 0.64 28

7 1300 0.53 0.64 29

8 1000 0.44 0.53 29

9 700 0.35 0.44 29

10 500 0.26 0.35 28

11 400 0.18 0.26 28

Pentru calculul teoretic al momentului de frecare s-au impus urm!toarele date de intrare:

!Temperatura lubrifiantului T=28oC;

pag.128

!Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Houpert [1985], ecua ia 6.4.b.

Simularea pe calculator a generat diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul interior cât i

pe inelul exterior al rulmentului. Valorile calculate sunt prezentate în figura T1.C.2. In figura T1.C.3.

sunt prezentate simultan valorile m!surate cât i cele calculate ale parametrului Mfe (moment de

frecare pe inelul exterior).

Fig. T1.D.3. Valori calculate ale momentelor de frecare corespunz!toare c!ilor de rulare.

Fig.T1.D.3. Rezultate numerice i experimentale ale parametrului moment de frecare pe inelul

exterior.

pag.129

6.7.5. Test T1.E

Condi iile de testare impuse sunt:

!Sarcin! radial! constant! : Fr=3177 N;

!Tura ie variabil! în intervalul 500-1000 rpm.

In condi iile men ionate anterior, sistemul de achizi ie a înregistrat diagrama de varia ie a momentului

de frecare prezentat! în figura.T1.E.1. Testarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp în care

temperatura lubrifiantului a variat între 22oC i 29

oC pentru zona de incrementare a tura iei i a r!mas

la valoarea aproximativ constant! de 28-29oC în zona de decrementare a tura iei inelului interior. In

tabelul T1.E sunt prezentate valorile parametrilor m!sura i în timpul test!rii.

Nr.

test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fig. T1.E.1 Diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul exterior, achizi ionat! cu

programul Lab View


1 500 0.26 0.35 22

2 600 0.35 0.44 23

3 700 0.53 0.62 24

4 800 0.62 0.62 25

5 900 0.70 0.70 26

6 1000 0.70 0.79 28

7 900 0.62 0.70 28

8 800 0.62 0.62 29

9 700 0.53 0.62 28

10 600 0.44 0.53 28

11 500 0.35 0.44 27

Tabel T1.E. Valori numerice ale parametrilor achizi iona i

Pentru calculul teoretic al momentului de frecare s-au impus ca date de intrare:

pag.130

!Temperatura lubrifiantului T=28oC

!Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Houpert [1985], ecua ia 6.4.b., figura.

T1.E.2

!Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Nelias [1991], ecua ia 6.4.a., figura.

T1.E.3

Fig.T1.E.2. Evolu ia parametrului moment de frecare calculat folosind rela ia (6.4.b) „model Houpert

Fig. T1.E.3. Evolu ia parametrului moment de frecare calculat, folosind ecua ia (6.4.a) „modelul Nelias”

Dup! cum rezult! din analiza figurilor T1.E.2 i respectiv T1.E.3, se observ! c! utilizarea „modelului

pag.131

Nelias”, conduce la ob inerea de valori mai mari ale momentului de frecare în raport cu cele ob inute prin utilizarea modelului Houpert.

De i valorile ob inute prin utilizarea ecua iei (6.4.a) sunt mai apropiate de cele m!surate, momentul de frecare la nivelul inelului interior este mai mic! decât cea la nivelul inelului exterior. In modelul Houpert, momentul de frecare la nivelul inelului interior este mai mare decât cea calculat! la nivelul inelului exterior. In figura T1.E.4 sunt prezentate în paralel valorile m!surate i cele calculate corespunz!toare momentului de frecare pe inelul exterior.

Fig. T1.E.4. Valori m!surate i calculate ale momentului de frecare.

6.7.6. Concluzii privind validarea modelului de calcul în cazul testelor de tip T1.

Utilizarea în paralel a dou! modele de calcul ale for elor de rezisten ! de natur! vâscoas! conduce la ob inerea de valori ale momentelor de frecare u or diferite, dar suficient de sunt apropiate de valorile m!surate.

Diferen ele constatate sunt determinate de:

!Fenomene suplimentare neconsiderate, precum: o contactul între coliviile rulmentului; o contactul inel-flotant – cale de rulare interioar!;

o contactul inel–flotant – colivii.

!Utilizarea unei valori constante pentru coeficientul de frecare între colivie i role. Valoarea

coeficientului de frecare a fost considerat! 0.2, îns! acesta depinde regimul de frecare-ungere

efectiv atins la contactul rol!-colivie.

!Domeniul de valabilitate al ecua iilor (6.4), adic! domeniului de varia ie a parametrului , în

care rela iile (6.4.a) i (6.4.b) au fost deduse.

pag.132

6.8. Teste de tip T2. Rezultate numerice i experimentale ob inute folosind o sarcin!

pur axial! i tura ie variabil!

6.8.1. Test T2.A.

Condi iile de func ionare impuse structurii SRB-22212C, în cadrul testului T2.A sunt:

!Sarcin! axial! constant! Fa=1328 N;

!Sarcin! radial! redus! (greutatea proprie a rulmentului i a carcasei în care acesta se afl!

pozi ionat). In cadrul acestui test se consider! Fr=0 N;

!Tura ie variabil! în intervalul 400 – 1250 rpm.

Valorile semnalului achizi ionat, (moment de frecare pe inelul exterior) sunt prezentate în figura

T2.A.1. In Tabelul T2.A sunt prezentate valorile minime i maxime înregistrate de sistemul de m!sur!,

cât i temperatura corespunz!toare achizi iei. Durata testului a fost de aproximativ 800x2 secunde.

Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig.T2.A.1. Semnalul înregistrat de sistemul de m!sur! în cadrul testului. (Moment de frecare m!surat)


1 400 0.35 0.44 19

2 500 0.44 0.53 19

3 750 0.62 0.7 18

4 1000 0.79 0.79 21

5 1250 0.88 0.88 23

6 1000 0.70 0.79 24

7 750 0.62 0.70 23

8 500 0.44 0.53 22

9 400 0.26 0.35 22

Tabel. T2.A. Valorile minime i maxime ale momentului de frecare m!surat. Temperatura la care a

avut loc înregistrarea.

pag.133

In figura T2.A.2. este prezentat! evolu ia momentului de frecare ob inut! prin simulare pe calculator.

In figura T2.A.3. sunt prezentate comparativ, datele m!surate i cele calculate în cadrul testului T2.A

Fig. T2.A..2. Moment de frecare calculat incluzând ecua ia 6.4.b

Fig.T2.A.3. Compara ie între valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare pe inelul

exterior

pag.134

6.8.2. Test T2.B.


!Sarcin! axial! constant! Fa=868 N;

!Sarcin! radial! nul!: Fr=0 N;

!Tura ie variabil! în intervalul 400 – 1250 rpm.

Valorile semnalului achizi ionat (moment de frecare pe inelul exterior) sunt prezentate în figura

T2.B.1. In Tabelul T2.B sunt prezentate valorile minime i maxime înregistrate de sistemul de m!sur!,


Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig. T2.B.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul exterior.


1 400 0.26 0.35 15

2 500 0.44 0.44 15

3 750 0.53 0.62 18

4 1000 0.70 0.70 14

5 1200 0.79 0.79 20

6 1000 0.62 0.70 22

7 750 0.53 0.62 21

8 500 0.44 0.44 21

9 400 0.35 0.35 20

Tabel. T2.B. Valorile minime i maxime ale momentului de frecare. Temperatura la care a fost

realizat! achizi ia

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt prezentate în figura T2.B.2 i corespund zonei ascendente a

diagramei din figura T2.B.1. In figura T2.B.3. sunt prezentate în paralel valorile calculate i cele

m!surate ale momentului de frecare

pag.135

Fig. T2.B.2. Moment de frecare calculat, ob inut prin simulare pe calculator.

T2.B.3. Valori comparative ale momentelor de frecare m!surate i respectiv calculate

pag.136

6.8.3. Test T2.C


!Sarcin! axial! constant! Fa=443 N

!Sarcin! radial! : Fr=0 N

!Tura ie variabil!, având valori cuprinse în intervalul 400 – 1250 rpm

Valorile semnalului achizi ionat (moment de frecare pe inelul exterior) sunt prezentate în figura

T2.C.1. In Tabelul T2.C sunt prezentate valorile minime i maxime înregistrate de sistemul de m!sur!,


Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

Fig. T2.C.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare, achizi ionat! folosind programul Lab View


1 400 0.35 0.35 13

2 500 0.44 0.44 13

3 750 0.53 0.62 14

4 1000 0.62 0.62 15

5 1250 0.62 0.70 18

6 1000 0.62 0.62 19

7 750 0.44 0.53 19

8 500 0.35 0.44 18

9 400 0.26 0.35 17

Tabel T2.C. Valorile minime i maxime indicate în figura T2.C.1. Temperatura la care a avut loc testul

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt eviden iate în figura T2.C.2 i corespund zonei ascendente a

diagramei prezentate în figura T2.C.1. In figura T2.C.3. sunt prezentate în paralel valorile calculate i

pag.137

cele m!surate ale momentului de frecare.

Fig. T2.C.2. Moment de frecare calculat, ob inut prin simulare pe calculator.

T2.C.3. Valori comparative ale momentelor de frecare m!surate i respectiv calculate

pag.138

6.9. Teste de tip T3. Rezultate numerice i experimentale ob inute în cazul înc!rc!rii

combinate

6.9.1. Test T3.A.

In cadrul acestui test s-a urm!rit evolu ia func iei care descrie momentul de frecare la nivelul c!ii de

rulare exterioare a structurii SRB-22212C, impunând urm!toarele condi ii de func ionare:

!For ! radial! constant!: 1094 N;

!Tura ie constant! a inelului interior la valoarea ni=1500 rpm;

!Sarcin! axial! variabil! în intervalul 443 … 2188 N.

Diagrama de varia iei a func iei momentului de frecare înregistrat! cu ajutorul lan ului de m!sur! utilizat este prezentat! în figura T3.A1. Înregistrarea s-a efectuat pe durata a aproximativ (200x3) secunde. Valorile m!surate ale momentului de frecare cât i temperatura corespunz!toare înregistr!rii sunt prezentate In tabelul T3.A.

Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig.T3.A.1. Diagrama achizi ionat! corespunz!toare func iei moment de frecare

Nr. test Fa, N, (bar)

MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC

1 443 (0.4) 0.79 0.79 19 2 866 (0.8) 0.88 0.88 20 3 1328 (1.2) 0.88 0.97 20.4 4 1771 (1.6) 1.06 1.06 21.75 5 2188 (2.0) 1.06 1.14 22 6 1771 (1.6) 0.98 1.06 23.2 7 1328 (1.2) 0.97 0.97 24 8 866 (0.8) 0.79 0.88 24.3 9 443 (0.4) 0.7 0.7 24.5

Tabel T3.A. Valorile minime i maxime indicate în figura T3.A.1. Temperatura la care a avut loc testul.

pag.139

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt prezentate în figura T3.A.2 i corespund zonei descendente a procesului de achizi ie.

In figura T3.A.3. sunt prezentate în paralel valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare

Fig.T3.A.2. Valori calculate ale momentului de frecare, parametrul variabil fiind sarcina axial!

Fig. T3.A.3. Compara ie între rezultatele experimentale i cele calculate corespunz!toare func iei Mfe()=Mfe(Fa)

pag.140

6.9.2. Test T3.B.

In cadrul acestui test s-a urm!rit evolu ia momentului de frecare pe inelul exterior, impunând urm!toarele condi ii de func ionare: !For ! radial! constant!: 1751 N; !Tura ie variabil! a inelului interior în intervalul ni=500-1500 rpm; !Sarcin! axial! constant! Fa=1107 N.

Diagrama de varia iei a func iei Mfe() înregistrat! cu ajutorul lan ului de m!sur! utilizat este prezentat! în figura T3.B1. Înregistrarea s-a efectuat pe durata a aproximativ (230x3) secunde. Valorile m!surate ale momentului de frecare cât i temperatura corespunz!toare înregistr!rii sunt prezentate In tabelul T3.B. Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig.T3.B.1. Diagrama achizi ionat!

Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 500 0.44 0.53 20 2 700 0.63 0.62 20 3 900 0.62 0.62 20 4 1300 0.70 0.70 21 5 1500 0.70 0.70 23 6 1300 0.62 0.62 23 7 900 0.53 0.53 23 8 700 0.44 0.44 23 9 500 0.35 0.44 23

Tabel T3.B. Valori minime i maxime înregistrate ale momentului de frecare. Temperatura la care a avut loc înregistrarea.

pag.141

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt eviden iate în figura T3.B.2 i corespund zonei descendente a diagramei de achizi ie. In figura T3.B.3. sunt prezentate în paralel valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare

Fig. T3.B.2. Valori calculate ale momentului de frecare, parametrul variabil fiind în acest caz tura ia inelului interior

Fig. T3.B.3. Compara ie între valorile m!surate i cele calculate, corespunz!toare testului T3.B

In figurile T3.B4 i T3.B.5 sunt prezentate diagramele de evolu ie ale tura iei rolelor rulmentului i ale for ei de contact între role i colivie.

pag.142

Fig. T3. B.3. Tura iile calculate ale rolelor structurii SRB-22212C, corespunz!toare rândului r=1

Fig. T3.B.4. Valori calculate ale for elor de contact dintre role !i colivie

pag.143

6.10. Varia ia momentului de frecare în func ie de temperatur!. Test T4.

Pentru analiza evolu iei momentului de frecare pe inelul exterior în func ie de temperatur!, impunând urm!toarele condi ii de func ionare: !For ! radial!: Fr=2188 N; !For ! axial!: Fa=0 N; !Tura ia inelului interior ni=800 rpm; !Temperatura ini ial! a lubrifiantului utilizat 12oC.

Pe parcursul desf! ur!rii testului, sistemul de achizi ie a înregistrat pe parcursul a aproximativ o or! diagramele prezentate în figurile T5.1 i T5.2. Trebuie men ionat c! intr-o diagram!, sistemul de m!surare poate stoca doar 1024 înregistr!ri, pentru valori mai mari de 1024, softul utilizat realizeaz! translatarea informa iei înregistrate cu o unitate. In intervalul de timp considerat temperatura m!surat! a lubrifiantului a evoluat de la 13oC la 31oC valoare de echilibru.

Fig.T5.1. Diagrama înregistrat! în intervalul 0-30 minute

Fig. T5.2. Diagrama înregistrat! în intervalul 30-60 minute

Conform figurii T5.2, valoarea achizi ionat! a semnalului (moment de frecare pe inelul exterior) a

Inregistrarea nr.

Inregistrarea nr.

pag.144

r!mas aproximativ constant!. Simularea pe calculator a evolu iei momentului de frecare în func ie de temperatur! este indicat! în figura T5.3.

Fig.T5.3. Simulare a varia iei momentului de frecare pe inelul exterior în func ie de temperatur!.

In tabelul T5 sunt prezentate valorile m!surate i cele calculate ale func iei MFe=MFe(ToC). Figura T5.4. corespunde valorilor indicate în tabelul T5.

Tabel T5. Valori achizi ionate i valori calculate corespunz!toare func iei MFe=MFe(ToC) Nr. test MFe min., N.m MFe max., N.m Moment calculat, N.m ToC

1 0.53 0.62 0.607 13 2 0.44 0.53 0.478 17 3 0.35 0.44 0.400 20 4 0.26 0.35 0.362 23 5 0.26 0.35 0.286 28 6 0.26 0.35 0.277 31

Fig.T5.4. Compara ie între experiment i modelul de calcul

pag.145

6.11. Calculul momentelor de frecare ale inelelor incluzând efectul momentului de rostogolire vâscos.

In cazul consider!rii distribu iei asimetrice de presiune existente la nivelul contactelor role – c!i de rulare, ecua iile care descriu momentele de frecare ale inelelor structurii devin.

! ! !! ! !""

#$

%&'

()"#

$

%&'

()

r

2

1idx r,j

idx

r, j,idx

idx

Z

1j=r

2

1idx r, j

r,j,idx

idx

r, j,idx

idx

Z

1j=

i MV2

di.SF

2

dwFR

2

di.SF=M (6.16a)

! ! !! ! !""

#$

%&'

()"#

$

%&'

()

r

4

3idx r, j

idx

r, j,idx

idx

Z

1j=r

4

3idx r, j

r, j,idx

idx

r,j,idx

idx

Z

1j=

e MV2

de.SF

2

dwFR

2

de.SF=M (6.16b)

în care MVidx =dw/2.FRidx =mo,mi (figura. 6.10) FRidx reprezint! for a rezistent! de rostogolire i este descris! de rela iile 6.4.a sau respectiv 6.4.b. Fo, Fi = rezultanta for elor de trac iune i a for elor rezistente la nivelul contactelor role-c!i de rulare

Fig.6.10. For e i momente de natur! vâscoas! care ac ioneaz! asupra c!ilor de rulare

pag.146

Rezultatele numerice prezentate în cadrul testelor T1…T4 au fost ob inute folosind ecua iile 6.14. Utilizarea ecua iilor 6.16 conduce la ob inerea de valori superioare celor ob inute prin modelul descris de rela iile 6.14. Diferen ele pentru momentul de frecare variaz! în cadrul testelor T1..T4 cu valori cuprinse în intervalul între 0,01-0,15 N.m. Spre exemplificare, în figurile 6.11 i 6.12 sunt prezentate diferen ele ob inute prin folosirea modelelor de calcul descrise de ecua iile 6.14 i 6.16, care includ efectul ecua iei 6.4.b, dezvoltat! de Houpert [1985].

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500ni, rpm

Mo

me

nt

de

fre

ca

re,

N.m

MFe_min_masurat

MFe_max_masurat

MFe (ec.6.14)

MFe (ec.6.16)

Fig. 6.11. Valori m!surate i valori calculate ale momentului de frecare pentru testul T1.A: Fr=656 N, tura ie variabil!

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500ni, rpm

Mo

me

nt

de

fre

ca

re,

N.m

MFe_min_masurat

MFe_max_masurat

MFe (ec.6.16)

MFe (ec. 6.14)

Fig. 7.7. Valori m!surate i valori calculate ale momentului de frecare pentru testul T1.D: Fr=2188 N, tura ie variabil!

pag.147

Diferen ele ob inute prin utilizarea diverselor modele de calcul ale momentului de rostogolire de natur! vâscoas!, prezentate în literatur!, este rezultatul diferitelor valori utilizate pentru exponen ii parametrilor adimensionali. Valorile acestor parametri sunt prezentate în tabelul urm!tor:

Exponentul parametrului adimensional Autor model de calcul W U G

Houpert, L, 1985 0.47 0.66 0.022 Hamrock, 1986 -1.547 0.589 -0.421 Nelias D, 1999 -0.8673 0.656 0.022

Matsuyama, 2001 0.08 0.75 -0.04

6.12. Concluzii

A fost elaborat si validat experimental un model de calcul al parametrilor cvasi-dinamici specifici unei structuri SRB. Analizele numerice si cercetarile experimentale desfasurate conduc la urmatoarele concluzii:

1. Temperatura de intrare a lubrifiantului în zona contactelor influenteaza semnificativ rezultatele impunand cunoasterea cu suficient! precizie

2. Includerea in algoritmul de calcul si a momentului de rostogolire de natur! vâscoas! cre te precizia rezultatelor furnizate de modelarea numerica.

3. Evolu ia momentului de frecare total pe role i pe colivie (figurile 6.8 i 6.9) arat! c! stabilirea solu iilor ini iale pentru algoritmul Runge-Kutta este greu de realizat. Implementarea unui cod de calculator pentru analiza parametrilor cvasi-dinamici, impune utilizarea metodei înjum!t! irii intervalului pentru a evita eventualele cazuri de neconvergenta.

4. Metoda de calcul dezvoltat! permite determinarea momentului de frecare, a puterii consumate prin frecare i a tura iilor de echilibru ale rolelor i coliviilor unei structuri SRB.

5. Avand un carcater parametrizat algoritmul este util pentru analize de caz si respectiv optimizari dimensionale sau functionale.

O parte din rezultatele ob inute sunt prezentate în raportul de dezvoltare a programului BB20 „Logiciel BB20. Convention de stage INSA de Lyon – SNECMA Moteur France” realizat în 2002 de Rezmire D., i Nelias D.

Metoda de calcul prezentat! în cadrul capitolului 6 constituie subiectul unei lucr!ri intitulat! „Analysis of Ball Bearings with 2, 3 or 4 contact points”, transmis! spre publicare în 2003, fiind realizat! de Rezmires D, Nelias D, i Cre u Sp.

.

pag.148

CCAAPPIITTOOLLUULL 77.. STAND UTILIZAT "I METOD" DE M"SURARE A MOMENTULUI DE

FRECARE PE INELUL EXTERIOR AL RULMENTULUI.

Stand i metod! de m!surare a momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului.

pag.149

7. Parametri constructivi ai standului de testare

Validarea experimental! a modelului de calcul al structurilor SRB a fost realizat utilizând un stand conceput în cadrul catedrei de Organe de Ma ini din Ia i, ( Cre u Sp, Bodi Gh, Farca FL [1986]).

Construc ia actual! a standului permite m!surarea urm!torilor parametri:

!momentul de frecare pe calea de rulare exterioar! (prin utilizarea unui sistem de achizi ie de date format din tij! + set de m!rci tensometrice + program Lab View);

!temperatura medie a lubrifiantului din incinta rulmentului de testat. Traductorul utilizat este un termistor, pentru care a fost determinat! o curb! de etalonare.

7.1. Elementele de ac ionare i control ale standului

Principale componente ale standului sunt : !sistemul de ac ionare electric!; !sistemul de înc!rcare cu sarcina de lucru (axial! i / sau radial!) ; !sistemul de m!surare a momentului de frecare la nivelul inelului exterior al rulmentului.

7.1.1. Sistemul de ac ionare electric!

Antrenarea în mi care de rota ie a inelului interior se face prin intermediul unui motor asincron trifazat cu rotorul în scurt circuit, comandat de c!tre un variator de tura ie de tip Electra ELVAR 3.0.care permite varia ia frecven ei de alimentare a motorului de antrenare în gama 1-100 Hz. Sistemul de comand! al frecven ei de excita ie a motorului permite cre terea tura iei arborelui motrorului comandat de la valoarea 0 Hz, la valoarea introdus! de la tastatur! în intervalul de timp 1…100 s. Tura ia este afi at! pe un display încorporat.

7.1.2. Sistemul de înc!rcare cu sarcina de lucru

Realizarea înc!rc!rii radiale i axiale a structurii SRB se realizeaz! prin combinarea func iilor a dou! sisteme mecanice. Pentru ca sistemul de înc!rcare s! nu perturbe sistemul de m!surare al momentului de frecare, între sistemul de înc!rcare cu sarcin! i cel de pozi ionare al rulmentului de testat sunt interpuse lag!re hidrostatice.

Caracteristicile func ionale ale acestor lag!re permit: !transferarea sarcinii de lucru; !rotirea inelului exterior al rulmentului.

Uleiul necesar func ion!rii lag!relor hidrostatice este adus în zona de lucru prin intermediul unei pompe cu ro i din ate i a dou! distribuitoare. Atat pe directie radiala cat si axiala sistemul de înc!rcare este mecanic si foloseste elemente elastice (arcuri).

In figura 7.1. sunt prezentate principalele elementele componente ale dispozitivului de înc!rcare.

pag.150

22

60

Fig.7.1. Schema de înc!rcare i aplicare a sarcinii de lucru

Sarcinile axial! i radial! aplicate rulmentului de testat sunt transmise prin intermediul arborelui unui set de rulmen i de reazem. 7.2. Elemente componente ale lan ului de m!sur!

Datele furnizate de c!tre traductorii monta i în cadrul lan ului de m!sur! permit m!surarea momentului de frecare la nivelul inelului exterior. Lan ul de m!sur! este compus din:

!traductori: o de deforma ie (m!rci tensometrice montate pe lamel! elastic!); o de temperatur!, (termistor);

!plac! de achizi ie de date interfa at! cu o punte de achizi ie; !soft de prelucrare (programul Lab-View 5.0 al firmei National Instruments).

Determinarea momentului de frecare pe inelul exterior s-a realizat folosind schema prezentat! în figura 7.2.

Fr

Fa

Lag!r hidrostatic radial

Lag!r hidrostatic axial

Rulment de testat

pag.151

Fig.7.2. Sistemul de transmitere a momentului de frecare c!tre placa de achizi ie

7.3. Calibrarea traductorilor utiliza i

7.3.1. Etalonarea sistemului de m!surare a momentului de frecare

Pentru etalonarea lan ului de m!surare a momentului de frecare a fost stabilita scar! de conversie pentru semnalul oferit de ansamblul de m!rci tensometrice. Semnalul transmis de m!rcile tensometrice este transformat în unit! i ‚N.m’ folosind modulul de calcul indicat în figura 7.3. Curba de etalonare rezultat! este indicat! în figura 7.4 rezultând o rezolu ie de 0.08 N.m.

Fig.7.3. Unitate de conversie din semnal ‚microstrain’ în moment de frecare

Lag!r hidrostatic

radial

Set de m!rci

tensometrice

Tij! solidar! cu

sistemul de

pozi!ionare al

rulmentului

Lamel! de

fixare a

C!tre

placa de

Rulment de

testat

Lag!r

hidrostatic axial

pag.152

M = 0.7067.x + 0.021

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5

Moment de frecareLinear (Moment de frecare)

Kg

Mo

me

nt

de

fre

ca

re,

N.m

Fig.7.4. Func ia de etalonare pentru ansamblul tij! –set de m!rci tensometrice

7.3.2. Etalonarea traductorului de temperatur!

Pentru m!surarea temperaturii lubrifiantului aflat în incinta rulmentului s-a folosit un termistor a c!rui rezisten ! exprimat! în func ie de temperatur! variaz! dup! curba indicat! în figura 7.5. Trasarea acestei curbe s-a realizat experimental.

Fig. 7.5. Varia ia rezisten ei electrice a traductorului în func ie de temperatur!

Temperatura,oC

Rezisten a

electric!, *

pag.153

7.3.3. Rela ia presiune – sarcin! axial!

Lag!rul hidrostatic axial prin care se face transmiterea sarcinii axiale este alimentat de la o pomp! cu ro i din ate. Varia ia sarcinii axiale exprimat! în func ie de presiunea indicat! de AMC (manometru) este evident liniar!, figura 7.6 (Stanciu S, Dumbrav! M, Mazilu I, [1985]).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

625

1250

1875

2500

3125

3750

4375

5000

5625

6250

6875

7500

8125

8750

9375

1 104

Presiunea indicata, barr

Fort

a ax

iala

, N

Fig.7.6. Varia ia sarcinii axiale în func ie de presiunea indicat! de manometru

7.3.4. Rela ia presiune – sarcin! radial!

Rela ia presiune – for ! radial! este deasemenea liniar!, figura 7.7.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

625

1250

1875

2500

3125

3750

4375

5000

5625

6250

6875

7500

8125

8750

9375

1 10 4

Presiunea indicata, barr

Fort

a ra

dia

la, N

Fig. 7.7. Varia ia sarcinii radiale în func ie de presiunea indicat! de manometru

pag.154

CCAAPPIITTOOLLUULL 88.. CONCLUZII GENERALE. SINTEZA PRINCIPALELOR REZULTATE

OB INUTE

Sinteza principalelor rezultate ob inute. Concluzii generale.

pag.155

8.1. Sinteza rezultatelor.

Studiul de sintez privind nivelul actual al cercet rilor în domeniul analizei cinematice !i dinamice a rulmen ilor oscilan i cu role butoi a eviden iat necesitatea reanaliz rii atente a modelelor de calcul existente pentru studiul lagarelor cu rostogolire, rezultând obiectivele tezei:

!Definirea pe structura rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri a unei clase de func ii din care prin derivare s poat fi descris, din punct de vedere geometric !i func ional orice tip de lag r cu rostogolire.

!Realizarea unui model de calcul general, parametrizat, capabil a fi utilizat in optimiz rii geometrice si func ionale ale rulmen ilor !i respectiv ale sistemelor de rulmen i

Pentru atingerea obiectivelor activitatea depusa în cadrul tezei a fost axata pe urm toarele direc ii de cercetare:

1. Definirea unei clase de func ii destinat descriererii unitare a geometriei rulmen ilor. 2. Definirea parametrilor cinematici ai rulmen ilor cu role sau cu bile care con in dou sau mai

multe contacte principale 3. Stabilirea unei metode de analiz cvasi-static a contactelor punctuale !i punctuale modificate. 4. Stabilirea unei metode de calcul pentru determinarea parametrilor cvasi-statici ai rulmen ilor !i

ai sistemelor de rulmen i. 5. Definirea parametrilor care stabilesc comportarea lubrifiantului la nivelul tribocontactelor din

rulmenti. 6. Stabilirea unui algoritm de calcul pentru analiza cvasi-dinamic a rulmen ilor. 7. Validarea algoritmului dezvoltat

Pe parcursul capitolelor 2, 3, 4, 5 !i 6 s-a urm rit realizarea unui model de calcul general al parametrilor cvasi-statici !i cvasi-dinamici definit pe structura rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri. Pentru descrierea proceselor tribologice de la nivelul tribocontactelor dintr-un rulment s-a optat pentru o metod de analiz de tip „Programare Orientat pe Obiecte” (OOP). Prin exploatarea

facilit ilor oferite de acest tip de analiz s-a ajuns la concluzia c exist posibilitatea de a realiza o

clas de func ii de baz care s permit descrierea geometriei !i a parametrilor func ionali a oric rui tip

de rulment.

8.1.1. Rezultate privind modelarea geometriei rulmen ilor oscilan i cu role butoi

!Clasa de func ii primitiv este descris „mecanic” de obiectul rol butoi simetric . Modelarea

parametrizat a geometriei unei role SRB a permis transformarea geometriei unei role butoi

simetrice în urm toarele tipuri de corpuri de rostogolire: rol butoi asimetric , rol conic , rol

cilindric !i bil .

!Extinderea abstractiz rii clasei de func ii „rol SRB” a permis descrierea elementelor

geometrice componente ale diverselor tipuri de rulmen i (numi i !i structuri derivate).

!Concatenarea propriet ilor structurilor de tip SRB-4PCBB-13 !i SRB-4PCBB-24, derivate din

clasa de func ii SRB-SRB, permite descrierea rulmen ilor având corpurile de rostogolire (role

sau bile) dispuse pe dou sau mai multe rânduri. Câteva exemple de structuri derivate sunt

prezentate în figura 2.9.

pag.156

!Pentru asigurarea generalit ii clasei de func ii dezvoltate s-a stabilit o modalitate de descriere

simultan a propriet ilor necesare descrierii structurilor cu mai mult de dou contacte

principale. In acest sens se amintesc structurile tip SRB-4PCBB !i structurile SRB-DBB

(prezentate în anexa 5)

!Un parametru important, utilizat pentru descrierea func ional a rulmen ilor este „jocul în

rulment”. Analiza matematic a modalit ii de reparti ie a „jocului local” între role !i c ile de

rulare arat c ipoteza larg acceptat de distribuire uniform a jocului nivelul contactelor, nu

reprezint cea mai bun solu ie. A fost stabilit o nou modalitate de abordare a reparti iei

jocului.

8.1.2. Rezultate privind modelarea cinematicii rulmen ilor

!Deoarece ipoteza ghid rii rolei pe una din c ile de rulare nu asigur un grad ridicat de

generalitate !i nici continuitatea transferului ghid rii între c ile de rulare a fost necesar

adoptarea unei alte ipoteze de lucru. S-a dezvoltat un model de calcul pentru determinarea

unghiului vitezei unghiulare al unei role (bile), exprimat în raport cu vectorul vitez unghiular

al inelului interior. Condi ia utilizat pentru rezolvarea acestei probleme a fost „minimizarea

puterii consumate prin frecare” ,(ec. 3.12.), de la nivelul contactelor rol (bil ) - c i de rulare.

!Rezultatele numerice ob inute pentru determinarea unghiului vectorului vitez unghiular a

bilei (rolei) sunt similare cu cele ob inute experimental de Nelias D în 1988. Pentru

determinarea vitezelor de rostogolire cât !i a vitezelor de alunecare de la nivelul interfe elor

role - c i de rulare au fost dezvoltate rela ii care includ atât influen a geometriei c ilor de rulare

!i a parametrilor cvasi-staticicât !i influen a unghiului vectorului vitez unghiular al rolei (ec.

3.9c !i 3.9d).

8.1.3. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-statici

!Pentru analiza parametrilor cvasi-statici au fost considerate sisteme cu 5 grade de libertate !i

respectiv cu 9 grade de libertate. In acest scop au fost dezvoltate rela iile necesare pentru

matricele de rigiditate a unui sistem de rulmen i în 9 DOF (grade de libertate) cât !i a unui

rulment în 5 DOF. Pentru ob inerea componentelor matricei de rigiditate s-a impus

determinarea deplas rii centrului de mas al corpului de rostogolire. In acest scop

componentele deplas rii au fost determinate prin rezolvarea ecua iilor de echilibru ale corpului

de rostogolire pentru toate tipurile de contacte (punctuale, punctual modificate) care pot apare

simultan la nivelul interfe elor rol -c i de rulare.

!A fost eviden iat posibilitatea ob inerii simultane de contacte punctuale !i de contacte punctual

modificate pentru orice tip de rulment cu role câ !i cu bile. Pornind de la aceast observa ie a

fost dezvoltat o metod de calcul pentru analiza contactelor de tip nehertzian (incluzând cazul

rulmen ilor cu bile).

!Rela iile matematice dezvoltate permit scrierea matricei de rigiditate a unei role prin derivarea

ecua iilor de echilibru ale rolelor în raport cu vectorii deplasare ai rolelor !i c ilor de rulare.

!In raport cu alte metode utilizate, func iile de interpolare dezvoltate pentru analiza trecerii de

contacte punctuale hertziene la contacte nehertziene, asigur continuitatea trecerii de la

contacte punctuale la contactele de tip punctual modificate, verificând integral contactul

punctual.

pag.157

!Metoda de modelare dezvoltat , asigur tratarea unitar a parametrilor cvasi-dinamici ai

oric rui tip de rulment, f r a se dezvolta modele de calcul specifice rulmen ilor cu role !i

respectiv cu bile. Combinarea elementelor prezentate în capitolele 2, 3 !i 4 !i anexele 2 !i 5,

permite descrierea unitar a parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB, pentru cele trei

cazuri de rigiditate descrise de parametrii IRR, ORR !i IOE (figurile. 4.12…4.14).

8.1.4. Rezultate privind modelarea parametrilor lubrifian ilor utiliza i în structurile SRB

!Determinarea parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB a implicat definirea comport rii

lubrifiantului în func ie de temperatur !i presiune. Pornind de la valorile cunoscute ale

vâscozit ii la dou peraturi su au fost dezvoltate rela ii originale de calcul a coeficien ilor care

intervin în rela ia vâscozitate – temperatur . Se evit astfel utilizarea coeficien ilor A1, A2, B1,

B2, C1, C2 din modelul WLF modificat de Yatsutomi.

!Aplicarea modelului de calcul dezvoltat pe parcursul capitolelor 2-6 a permis o prim validare

prin verificare cu datele numerice !i experimentale ob inute în literatura de specialitate.

8.1.5. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB

!A fost dezvoltat un model de analiz a parametrilor cvasi-dinamici care consider interac iunile

între corpurile de rostogolire !i colivie, f r a apela la metoda de integrare numeric . Modelul

de calcul ia în considerare fenomenele de „drag” !i de ghidare a coliviei pe c ile de rulare.

!Rezultatele experimentale ob inute !i prezentate în finalul capitolului sunt destinate „valid rii

experimentale” a modelului de calcul propus. Teoria !i experimentul prezint o bun

concordan ; trebuie totu!i remarcat c utilizarea unor rela ii diferite de calcul pentru aprecierea

momentului de rostogolire de natur vâscoas , conduce la ob inerea de rezultate diferite. Cea

mai bun concordan s-a ob inut considerând efectul distribu iei asimetrice de presiune asupra

c ilor de rulare.

!Metoda de calcul prezentat pe parcursul capitolelor 2-6 s-a concretizat în principal prin

realizarea a dou programe de calcul destinate analizei structurilor SRB-SRB !i SRB-4PCBB.

Programul SRB-SYM este destinat în principal analizei rulmen ilor de tip oscilan i cu role butoi de tip

C !i a fost validat experimental pe parcursul capitolului 6. Totodat au fost dezvoltate o serie de

module de calcul independente, cum sunt :

!modul de calcul unitar destinat analizei distribu iei de presiune pe domeniul de contact, pentru

contactele hertziene contactelor nehertziene ;

!modul de calcul pentru analiza parametrilor cvasi-statrici ai sistemelor de rulmen i;

!modulul de calcul destinat analizei parametrilor cvasi-dinamici ai rulmen ilor cu cale de rulare

sec ionat , program numit BB20.

!modulul de calcul destinat analizei st rii de tensiuni în cazul contactelor liniare reale.

Algoritmul dezvoltat a fost validat teoretic prin compara ii cu date prezentate în literatura de

specialitate !i cu programe similare de calcul destinate analizei urm toarelor tipuri de rulmen i:

!rulmen i oscilan i cu role butoi, (program dezvoltat de Stirbu în 1998).

!rulmen i cu bile cu dou puncte de contact (program BB10 dezvoltat de Nelias D. la INSA de

Lyon France);

!rulmen i cu bile cu cale de rulare sec ionat (program RBL4 –dezvoltat de Legrand în 1997), !i

programul dezvoltat de Hamrock în 1973 !i 1975.

Algoritmul a fost validat experimental prin m sur tori proprii ale momentului de frecare pe inelul

pag.158

exterior !i prin compara ii cu datele experimentale prezentate în literatura de specialitate.

8.2. Elemente de noutate aduse în cadrul tezei

Pentru îndeplinirea obiectivelor propuse în cadrul tezei au fost dezvoltate unele modele !i rela ii de

calcul originale.

In capitolul 2., denumit „Contribu ii privind modelarea geometriei rulmen ilor radial oscilan i cu role

butoi” au fost introduse urm toarele modele de analiz originale:

1. Model de analiz unitar a geometriei rulmen ilor:

2. Metod numeric de stabilire a solu iei ini iale a rotirii libere a rolei în loca!ul coliviei.

3. Metod de calcul a reparti iei jocului dintr-un rulment la nivelul contactelor rol cale de rulare.

Modelele introduse în capitolul 2 au urm toarele propriet i:

!Definesc rulmentul radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri ca fiind clas principal de

func ii din care, prin derivare OOP, se poate descrie geometria oric rui alt tip de rulment.

!Definesc clasei de obiecte „rola SRB” !i stabilesc metodele de derivare de propriet i rezultând

role simetrice !i role asimetrice.

!Definesc metodele (func iilor OOP) care realizeaz leg tura între diferite tipuri de structuri

SRB.

!Definesc modalit ile de ob inere a diverselor tipuri de rulmen i folosind metoda concaten rii

propriet ilor unor structuri simple derivate din clasa SRB-SRB (rulment radial oscilant cu role

butoi).

!Stabilesc rela ia de calcul a valorii maxime a rotirii rolei în loca!ul coliviei în func ie de

geometria acesteia.

!Corecteaz rela ia de calcul a reparti iei jocului în rulmen ii cu bile prezentat de Harris [1991]

!Stabilesc elementele necesare pentru calculul reparti iei jocului în rulmen ii cu cale de rulare

sec ionat considerând „jocul efectiv m surat” !i respectiv „jocul din rulmentul primitiv”.

!Stabilesc rela iile de calcul destinate analizei reparti iei jocului în rulmen ii radial oscilan i cu

role butoi pe dou rânduri.

!Asigura verificarea datelor de intrare primite de la un furnizor (cazul compatibilit ii între

unghiul de cale !i jocul în rulmentul primitiv în cazul structurilor SRB-4PCBB).

!Identific parametrii care conduc la modificarea jocului func ional în rulmen i sub efectul

expansiunii centrifugale, a fretajului !i a temperaturii de func ionare, în func ie de condi iile de

rigiditate impuse inelelor structurii analizate.

!Definesc solu iile ini iale de deplasare ale inelelor !i rolelor, utilizate în calculul parametrilor

cvasi-statici ai unui rulment sau / !i sistem de rulmen i. Sunt utile pentru asigurarea

convergen ei algoritmilor de tip Newton-Raphson aplicabili în cazul analizei rulmen ilor.

In capitolul 3 intitulat „Contribu ii privind analiza cinematicii structurilor SRB butoi” au fost

introduse urm toarele modele de analiz originale:

1. Model de analiz simplificat a cinematicii rulmen ilor cu 2, 3 sau 4 puncte de contact.

2. Model de calcul a unghiului vitezei unghiulare a bilelor din rulmen ii cu 2, 3 sau 4 puncte de

contact folosind „minimizarea puterii consumate prin frecare”, eliminând discontinuitatea

introdus de ipoteza ghid rii bilei pe una din c ile de rulare.

Modelele de calcul introduse în capitolul 3 au condus la ob inerea urm toarelor noi rela ii de calcul:

!ecua iile de apreciere a modulului vitezei unghiulare ale corpurilor de rostogolire !i ale

pag.159

coliviilor structurii ob inute prin egalarea vitezelor absolute ale punctelor de contact

corespunz toare rolelor !i c ilor de rulare (3.3a !i 3.3b);

!ecua ia utilizat pentru determinarea unghiului vitezei unghiulare al unei bile (ecua ia 3.6 cu

solu ia 3.12);

!rela ie de apreciere a razei echivalente a dou corpuri în contact (ecua ia 3.9b).

In capitolul 4, intitulat „Analiza parametrilor cvasi-statici ai structurilor SRB” au fost create

urm toarele modele de calcul originale:

1. Model de calcul pentru analiza structurilor SSRB (sisteme de rulmen i) considerând 9 grade de

libertate.

2. Model de calcul pentru analiza structurilor SRB considerând 5 grade de libertate. 3. Model de calcul al rigidit ii unui rulment în func ie de condi iile limit impuse inelelor

rulmentului.

4. Model de calcul pentru determinarea deplas rii centrului de mas al unui corp de rostogolire

considerând dou grade de libertate.

5. Model de calcul pentru analiza contactelor nehertziene întâlnite în cazul rulmen ilor cu role cât

!i în cazul rulmen ilor cu bile (elipse trunchiate).

6. Model de calcul unitar al echilibrului cvasi-static al unui corp de rostogolire considerând 3

grade de libertate. Modelul este aplicabil rulmen ilor cu 2 sau mai multe contacte simultane cu

c ile de rulare asigurând continuitatea trecerii de la contacte punctuale la contacte punctual

modificate.

Modelele de calcul introduse în capitolul 4 au condus la ob inerea urm toarelor rela ii de calcul

originale:

!matricele de rigiditate pentru structurile SRB si SSRB, exprimate în noua !i respectiv cinci

grade de libertate;

!deplas rile centrului de mas al rolelor unei structuri SRB cu contacte punctuale sub actiunea

sarcinii externe. Ecua iile 4.10 sunt destinate analizei contactelor punctuale !i punctual

modificate prin func ii liniare de deplasarea centrului de mas al rolei. Asigur trecerea prin

func ii continue de la contactele de tip punctual la contactele punctual modificate (contacte no-

hertziene). Prezint avantajul realiz rii unui Jacobian mult simplificat în raport cu cel ob inut

pentru contactele punctuale;

!rela ia de calcul a rigidit ii unui contact punctual;

!matricea de rigiditate a unei role cu contacte punctuale exprimat analitic, în 2 grade de

libertate, incluzând !i efectul momentului giroscopic. Includerea momentului giroscopic se face

prin func ii continue, în func ie de valoarea determinat a unghiului vitezei unghiulare a rolei.

!matricea de rigiditate în 5 grade de libertate a inelelor mobile ale unui rulment cu cale de rulare

sec ionat sau nesec ionat , exprimat analitic;

!deplasarea centrului de mas al unei role în raport cu centrul de curbur al c ii de rulare

considerate !i respectiv valoarea semiaxei mari a elipsei de contact pentru un contact punctual.

Prezint avantajul c nu utilizeaz integralele eliptice;

!deplasarea centrului de mas al unei role în 3 grade de libertate, asigurând nealunecarea

nodurilor de discretizare ale pofilelor deformate ale rolelor !i c ilor de rulare.

!Ecuatiile necesare calculului iterativ al echilibrului unei role incluzând efectul for elor

tangen iale incluse în unghiul vectorului vitezei unghiulare al corpului de rostogolire.

In capitolul 5, intitulat „Elemente de lubrifica ie a structurilor SRB” a fost determinate solu iile

analitice ale ecua iei care exprim varia ia vâscozit ii unui lubrifiant în func ie de temperatur putand

pag.160

fi aplicata pentru calculul vâscozit ii uleiurilor minerale cât !i pentru cele sintetice.

In capitolul 6 intitulat „Contribu ii privind analiza parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB.

Validare” au fost dezvoltat un nou model de calcul al parametrilor cvasi-dinamici. Elementele de

originalitate ale modelului, pe langa cele amintite, se considera a fi:

!nu utilizeaz integrarea ecua iilor de mi!care;

!consider efectul contactului dintre corpurile de rostogolire !i colivie.

8.3. Concluzii privind validarea teorietic !i experimental

Validitatea modelului de calcul propus a fost realizat prin compara ii cu datele teoretice !i

experimentale prezentate în literatur cât !i prin experiment propriu.

8.3.1. Validare model de calcul prin compara ii cu datele teoretice prezentate în literatur .

Rezultatele numerice ob inute cu ajutorul modelului de calcul propus (programele SRBSYM !i BB20)

au fost comparate cu rezultatele ob inute cu diverse programe !i modele matematice între care:

1. modelul de calcul dezvoltat pentru rulmen ii radial axiali cu bile (programul BB10) dezvoltat

de Nelias D, la INSA de Lyon – Fran a.;

2. programul de calcul dezvoltat de Legrand E [1997], numit RBL4 !i utilizat în cadrul firmei

SNECMA din Fran a – pentru rulmen ii cu cale de rulare sec ionat ;

3. modelul de calcul realizat de Hamrock [1975], Coe H !i Hamrock B. [1977] - pentru rulmen ii

cu cale de rulare sec ionat ;

4. modelul de calcul realizat de Stirbu în 1998 – pentru rulmen ii radial oscilan i cu role butoi;

5. modelul de calcul al analizei contactelor punctual modificate a fost validat în cazul rulmen ilor

cu role cilindrice prin compara ii cu rezultatele ob inute de Krwzeminski s.a, [1996] !i Cre u Sp

[1996, 2002a, 2002b];

Comparatiile realizate cu programele amintite anterior a validat teoretic modelul de calcul propus

pentru analia parametrilor cvasi-statici si cvasi-dinamici ai structurilor SRB

8.3.2. Verificarea modelului de calcul cu rezultate experimentale proprii !i întâlnite în literatur .

1. Rezultatele experimentale publicate de Nelias D, [1998] au fost verificate cu ajutorul

programului BB20, rezultand o bun corela ie între teorie !i experiment;

2. Pentru aceleasi conditii functionale rezultatele numerice ob inute pentru momentul de frecare

pe inelul exterior, folosind programul SRBSYM sunt in concordanta cu valorile determinate

experimental in cadrul tezei.

8.4. Rezultate publicate !i în curs de publicare. Rapoarte tehnice.

In perioada preg tirii tezei de doctorat au fost efectuate dou stagii la INSA de Lyon- Fran a !i un

stagiu la firma Timken din Colmar Fran a. Cu aceste ocazii au fost dezvoltate modele de calcul pentru

analiza rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri !i pentru rulmen ii cu bile cu cale de

rulare sec ionat . Urm toarele rapoarte au fost dezvoltate !i prezentate:

1. „Theoretical investigation on the deformation of a thin double row ball bearing and its

housing by the mean of the finite element method.” – Burs Socrates 1999 – INSA de Lyon -

pag.161

2. „Calcul de skewing dans les roulements a rouleaux speheriques en passant par le calcul des

forces de frottement dans le contact et l’equilibre des rouleaux” – Burs Leonardo da Vinci

2002 – Timken Colmar – France

3. „Calcul des forces de reaction dans un systeme a l’aide de matrices raideur liniarisees” – Burs

Leonardo da Vinci -2000 Timken Colmar – France

4. „Logiciel BB20, Convention de stage Insa de Lyon – SNECMA Moteur”- Rezmires D, Nelias

D,- Burs Egide – 2002 – INSA de Lyon - France. Urmare a dezvolt rii programului BB20 în

2003 va apare lucrarea: - „Analysis of Ball Bearings with 2, 3 or 4 contact points”

In perioada 2000-2001 a fost realizat în calitate de director de proiect, proiectul de tip T, intitulat

“Analiza cinematic !i dinamic a sistemelor de rulmen i radial oscilan i cu role butoi”, 6617

GR/2000, temele B34/2000 !i A37/2001.

O parte din rezultatele numerice obtinute au fost publicate in 6 lucrari stiintifice: [19, 21, 85, 117, 118,

119]

O parte din rezultatele numerice ob inute prin folosirea modelului de calcul propus s-au concretizat

prin trimiterea si acceptarea spre publicare a urm toarelor articolelor, [137-143], urmând ca intr-o

perioad apropiat acestea s apar în revista „Buletin U.T. Ia!i”.

8.5. Concluzie final

Definirea unei clase de func ii informatice care înglobeaz modelele de calcul prezentate pe parcursul

tezei a constituit scopul tezei, rezultând c prin derivarea logic a propriet ilor rulmen ilor radial

oscilan i cu role butoi pe dou rânduri pot fi descri!i geometric !i func ional toate tipurile de lag re cu

rostogolire cât !i sistemele din care acestea fac parte.

Parametrizarea asigurat de clasa de func ii SRB permite optimizarea constructiva si func ional a

lag relor cu rostogolire !i a sistemelor din care fac parte.

pag.162

AANNEEXXEE

pag.163

Anexa 1. Parametrii cvasi-statici ai unui contat punctual hertzian

Elementele necesare descrierii parametrilor cvasi-

statici ai unui contact punctual Hertzian, sunt

prezentate în monografii precum: Johnson K.L

[1985], Hamrock [1983], Cre u [2002], s.a

Elementele geometrice, indicate în figura A1.1,

sunt:

!direc ia normalei la contact: N-N;

!sarcina normal la contact ‚Q’ având

direc ia N-N

!planele principale, notate I !i II intersectate

dup normala N-N

!razele de curbur ale corpurilor în contact

(R1,I, R1,II, R2,I, R2,II.), exprimate în planele I

!i II.

In figura A1.1. se definesc:

!y indic direc ia principal de mi!care

!x inic direc ia axial

!z indic direc ia normalei la contact

Fig. A1.1. Razele principale de curbur care descriu dou corpuri aflate în contact

Pornind de la elementele generale anterioare, Harris [1991] a introdus o serie de elemente geometrice

!i nota iile specifice contactelor din rulmen i larg acceptate în literatura de specialitate:

Tabel A1.1. Elemente specifice contactului

Osculaia, raportul dintre raza de curbur a rolei i raza de curbur a cii de

rulare. Pentru structurile SRB-SRB ! [0.96-0.98].

Curbura " Reprezint inversul razei de curbur având valori pozitive pentru

suprafe e convexe !i negative pentru suprafe e concave.

Suma

curburilor

#" II,2I,2II, 1I, 1 "$"$"$"%"#

Func ia

curburilor

F(") & ' & '" #

"("$"("%" ,II2,I2,II 1,I 1

)(F

Raza de

curbur

echivalent

Rech(I,II,1,2) )2( 1 ,II)2( 1 ,I

ech )2,1 , II, I(R

1 "$"%

Introducând func iile sduzidx (definite în paragraful 2.1.4), se definesc pentru structurile SRB-SRB:

Razele de curbur echivalente ale contatelor:

2/)sduz.1.(DwRy idxidx )(% , & ' 1

idxidx R/1Rw/1Rx(( %

Suma curburilor

& ' & 'idx

1

idxidx R/1Rw/1Dw .sduz .1/2 ($)(%" (*

pag.164

Func ia curburilor

& ' & '& ' & 'idxidx

idxidxidx

R/1Rw/1.Dwsduz .1/2

R/1Rw/1.Dwsduz .1/2F

($)(

(()(%"

Calculul parametrilor cvasi-statici (PCS) ai contactului punctual descris de perechea (r,j,idx), se

realizeaz folosind elementele specifice contactului lastic Hertzian punctual. Principalii parametri !i

rela iile de calcul sunt prezentate în tabelul A.1.2.

Tabel. A.1.2. Func ii utilizate pentru calculul parametrilor cvasi-statici ai contactului punctual elastic

Parametrul Rela ie de calcul Observa ii

Modulul de elasticitate

echivalent al corpurilor

aflate în contact

+++,

-.../

0 1($

1(%

2

2

2

1

2

1

E

1

E

1

0E

2

E1,2 = modulul de elasticitate al corpului 1

respectiv 2

11,2 = coeficientul lui Poisson, corespunz tor

corpului 1 !i / sau 2

Integralele eliptice de

prima !i a doua spe 2

3

4545(%2

0

22 dsine1)e( E ,

2

3

45(

4%

2

0 22 sine1

d)e(F

F(e) = integrala eliptic de prima spe

E(e) = integrala eliptic de a doua spe

Elipticitatea domeniului

de contact 2k

11e (% ,

636. 0

Rx

Ry0339. 1k 67

89:

;%

Ryidx < Ry

Rxidx < Rx

Semi-lungimea elipsei

de contact 3

1

*

0E

Q3aa

67 68

9: 9;

"55

5%*

31

2

*

)e(E

)e1 (

2a 66

7

8

99

:

;5

(5 3%

Semi-l imea elipsei 3

1

*

0E

Q3bb

67 68

9: 9;

"55

5%*

31

2*

)e( E)e1 (2

b 66

7

8

99

:

;5

3(5%

Deforma ia elastic

central

20E

Q3 3

2

* **

"5

6768

9: 9;

"55

5=%= 31

2*

)e( E2

)e1 ()e( F2

66

7

8

99

:

;

5(5 355

3%=

Presiunea în centrul

elipsei de contact ba

Q

2

30 553

5%> Q = sarcina normal în contact

Legea distribu iei de

presiune

22

0 ba1),( p +

,-

./0?(+

,-

./0 @(5> %?@

punct de coordonate @,? aflat in interiorul

domeniului de contact

Pentru calculul integralelor eliptice, în programul RBL4, Legrand [1997], utilizeaz urm toarele func ii

de interpolare:

& ' & ' )xln(.x .bx .bx .bx .bbx .ax .ax .ax .aa)x( F 4

4

3

3

2

2

1

10

4

4

3

3

2

2

1

10 $$$$($$$$%

& ' & ' )xln(.x .dx .dx .dx .ddx .cx .cx .cx .cc)x(E 4

4

3

3

2

2

1

10

4

4

3

3

2

2

1

10 $$$$($$$$%

unde: 2k/1x % ,

Valorile coeficien ilor din ecua iile F(x) !i E(x) sunt indicate în tabelul A.1.3.

pag.165

Tabel A.1.3. Coeficien i utiliza i în calculul integralelor eliptice (Legrand [1997])

Coeficientul 0 1 2 3 4 a 1.38629436 0.0966634436 0.035900238 0.0374256371 0.014511962

b 0.5 0.124985936 0.0688024858 0.0332835535 0.00441787012

c 1.0 0.443251415 0.0626060122 0.0475738255 0.0173650645

d 0.0 0.249983683 0.0920017004 0.0406969753 0.00526449639

Func iile de interpolare prezentate anterior sunt utilizate la INSA Lyon în aplica ii precum BB10,

RBL4, Quasar+ !i BB20. Deoarece rela ia de calcul utilizat pentru determinarea rigidit ii unui

contact punctual, prezentat de Harris [1991] nu este aplicabil tuturor tipurilor de structuri SRB (spre

exemplu: rulmen i cu role ceramice), s-a dezvoltat o nou rela ie de calcul aplicabil oric rui tip de

rulment cu contacte punctuale sau lineare.

& 'idx

2idx

.e1.)e( F).e(F .3 .k

0E .)e(E.2.K

*"(

3% (A1)

pag.166

Anexa 2. Matricea de rigiditate a unei structuri SRB cu contacte punctuale cu inelul

exterior rigid

Anexa 2.1. Componentele matricei de rigiditate neconsierând efectului momentului giroscopic

Rigiditatea unei structuri SRB este func ie de componentele vectorilor „deplasare a centrului de mas

al corpului de rostogolire”(DCMRj). Matricea de rigiditate a structurii se ob ine prin derivarea

ecua iilor de echilibru ale rolelor !i inelelor mobile ale structurii în raport cu deplas rile individuale

specifice. Aceste deplas ri sunt func ii de perechea (r,j,idx,da,dr,uxj,uzj). In scopul simplific rii scrierii

componentelor matricelor de rigiditate perechea (r,j,idx,da,dr,uxj,uzj) a fost notat (…).

Not : Nota iile introduse sunt valabile numai în cadrul anexei 2 (fiind variabile locale pentru un cod de

calculator)

Pentru o rol j, având contacte punctuale ecua iile de echilibru de for e sunt:

ECFA = * Aidx

idxsdux (...)).sin((...).Q = 0

ECFR = FCsduz (...)).cos((...).Qidx

idx $A* =0 (A1)

Utilizând elementele prezentate figura 4.12, au fost defini i urm torii parametri:

da " dx

dr = dz.cos(B)+dy.sin(B)

w2, 12, 1 OPR % ,; 0R 4 , 3 % ;

)OP, OZ(0U w2, 12, 1 % ; 00U 4,3 % ;

& ')cos(.)sin(..sdx0UU yz2, 12, 12, 1 B)$B)(% ; 0U1,2 % ;

)cos(.)sin(.rot yz B)$B)% ; rot- U0UT idxidx % ;

OwPL idx, jidx, j % .

Folosind elementele definite anterior se poate scrie rela ia sarcin deforma ie: 5 .1

idx, j (....).K(...)Q =%

în care:

idx,j

22 L(...) Z(...)X(....) ($%=

)]sin(UT-).[sin(U0.Rsdx-sdux .uxsdx . da)sin().SDLL ((...) X idxidxidxidxidxjidxidxidx , jidx, j ($C(%

)]cos(UT-).[cos(U0.Rsdx-sduz.uzsdz.dr)cos().SDLL((...) Z idxidxidxidxidxjidxidxidx, jidx , j ($C(%

Se calculeaz unghiul de contact cu rela ia:

+++,

-.../

0%A

(...)Z

(...)Xarctan(...)

Prin derivarea ecua iilor A1 în raport cu (ux,uz)j rezult matricea de rigiditate a rolei j:

pag.167

M[j] =

juzEFCR

uxEFCR

uzEFCA

uxEFCA

6666

7

8

9999

:

;

DD

DD

DD

DD

(A2)

în care:

j

2

idxidx

idx

2

idx

5.0

idxidx

j Z.XZ

Tä

Z

ä

L).(ä

1,5.X.T.sdux

XZ

sdux ..K

ux

EFCA 67

89:

;$(

$(

=%

DD

*

j

3

idxidx

idx

5.0

idxidxidxidx

j .XZ . Z

T

. Z

T .

).L(

X.5 , 1.

XZ

.sduz .sduxK

uz

EFCA 67

89:

; =(

=$

$=(

=%

DD

*

j

idx

idx

5.0

idxidxidxidx

j .XZ . Z

T .

).L(

X.5 , 1.

XZ

sdux .sduzK

ux

EFCR67

89:

; =$

$=(

=%

DD

*

j

2

idx

idx

5 .0 2

idxidxidx

j .XZ . Z

T.

).L(

Z.5 , 1.

XZ

.sduzK

uz

EFCR 67

89:

; =(

$=(

=%

DD

*

T= X / Z , XZ= 1+T2 cu X = X(…), Z = Z(…) !i idx= (…)

Rezolvarea sistemului de ecua ii A1 având matricea de rigiditate A2 s-a realizat utilizând metoda

Newton-Rapson, Valeriu I. [1996], rezultând lista (ux, uz)j. Pentru cazul ORR, într-un sistem cu cinci

grade de libertate (5 DOF), sistemul de ecua ii de echilibru al inelului interior este:

idx

1Z

0j

2

1idx

sdx . (...))sin((...).QFa * *(

% %

A%

* *(

% %

BA%1Z

0j

idx

2

1idx

j sdz. )sin(cos,(...)).cos((...).Qy,Frz

* * * *% %

$%j

2

1idx j

2

1idx

idxxzidxyxz sdx(...).b (...).Fsdx (...).b (...).FM

* * * *% %

$%j

2

1idx j

2

1idx

idxxyidxzxy sdx(...).b (...).Fsdx (...).b (...).FM (A3)

unde :

idx

n

idxx sdx(...)).sin(.(...).K(...)F A=%

idx

n

idxy sdz)). j(sin((...)).cos(.(...).K(...)F BA=%

idx

n

idxz sdz)). j(cos((...)).cos(.(...).K(...)F BA=%

(...))sin(.2

Dw(...)b idxx A%

)cos(.(...))cos(.2

Dw

2

dm(...)b jidxz B67

89:

; A(%

)sin(.(...))cos(.2

Dw

2

dm(...)b jy B67

89:

; A(%

Pentru o structur SRB – apreciat în 5 DOF, matricea de rigiditate a inelului interior corespunz toare

rândului r este:

pag.168

666666666666

7

8

999999999999

:

;

)DD

)DD

DD

DD

DD

)DD

)DD

DD

DD

DD

)DD

)DD

DD

DD

DD

)DD

)DD

DD

DD

DD

)DD

)DD

DD

DD

DD

%

y

My

z

My

dy

My

dz

My

da

My

y

Mz

z

Mz

dy

Mz

dz

Mz

da

Mz

y

Fry

z

Fry

dy

Fry

dz

Fry

da

Fry

y

Frz

z

Frz

dy

Frz

dz

Frz

da

Frz

y

Fa

z

Fa

dy

Fa

dz

Fa

da

Fa

M (A4)

Componentele matricei M sunt:

EFG

HIJ=D

D

)) y,z,dy,dz,dx

Fa

& '**%

67

89:

; =(=$

$=

=%

DD

j

2

1idx idx

2

idxidx idx

idxidx

2

idx

idxidx

5.02

idxidxidx

XZ

T.

L

X.5.1.

XZ.Z

.sdxK

da

Fa

& '* *%

B67

89:

; =$

=(

$=

=%

DD

j

2

1idx

j

idxidx

idx

31

idx

5 .

idx

idx

idxidx

5 . 1

idx

idxidx

idxidx

5 . 0

idx

idx

idxidx )sin(cos,..XZ.Z

sdx.T.

Z

sdz.T.

.L

sdz.X..5.1.

XZ

sdxK

dy,dz

Fa

& '**%

B6768

9:9;

+++,

-.../

0(=$(

$=

=%

))D

D

j

2

1idx

j

22

idx

2

idx5.1

idxidx

idxidx

2

idxidx

5 . 0

idx

idxidx

idxidx )(cos,sin.1XZ

T...CTS)UTcos(T)UTsin(

L

Z.T..5,1

.ZXZ

RsdxK.

y,zd

Fa

EFG

HIJ=D

D

)) y,z,dy,dz,dx

Fz

& ')cos(.

XZ.Z

sdx.T.

L

sdx.X..5.1.

XZ

sdzK

da

Fzj

j

2

1idx idxidx

idxidx

5 . 1

idx

idxidx

idxidx

5 . 0

idx

idx

idxidx B67

89:

; =(

$=

=%

DD

* *%

& ')sin(cos,.

XZ.Z

T.

L

Z..5.1.

XZ

sdzK

dy,dz

Fzj

j

2

1idx idxidx

21

idx

5 .

idx

idxidx

idx

5 . 0

idx

idx

2

idxidx B67

89:

; =$

$=

=%

DD

* *%

& '**%

B67

89:

; =$$(

$=

=B%

))D

D

j

2

1idx

j

idxidx

idxidxidxidx

idxidx

5.0

idx

idxidx

idxidx )cos(sin,.XZ.Z

T.CTS)UTsin(Z)UTcos(.X

L

.5,1

.ZXZ

)cos(.R.sdxK

y,zd

Fz

EFG

HIJ=D

D

)) y,z,dy,dz,dx

Fy

& ')sin(.

XZ.XZ.Z

sdx.T.

XZ.L

sdx.X..5.1.sdzK

da

Fyj

j

2

1idx idxidxidx

idxidx

5 . 1

idx

idxidxidx

idxidx

5 . 0

idx idxidx B

667

8

99:

; =(

$=

=%

DD

**%

& ')sin(cos,).sin(.

.XZ.Z

T.

L

Z..5.1.

XZ

sdzK

dy,dz

Fyjj

j

2

1idx idxidx

21

idx

5 .

idx

idxidx

idx

5 . 0

idx

idx

2

idxidx BB67

89:

; =$

$=

=%

DD

* *%

& '* *%

B67

89:

; =$$(

$=

=B%

))D

D

j

2

1idx

j

idxidx

idxidxidxidx

idxidx

5.0

idx

idxidx

idxidx )cos(sin,.XZ.Z

T.CTS)UTsin(Z)UTcos(.X

L

.5,1

.ZXZ

)sin(.R.sdxK

y,zd

Fz

Componentele DMy,z / D{ } sunt scrise in func ie de urm torii parametri:

pag.169

idx

2

idx

x

2

Dw

XZ

T1.

XZZ

sdx

dx

b+++,

-.../

0(%

D

D

idx

2

idx

x

2

Dw1

XZ

T.

XZZ

)sin(cos,.T.sdz

y,dz

b +++,

-.../

0(

B%

D

D

idx

2

idx

x

2

Dw.1

XZ

T. CTS .

XZ. Z

)sin(cos,.sdx .R

z, yd

b+++,

-.../

0(

B%

))D

D

idxidx

y,z )sin(cos,.

.XZ.Z.XZ . 2

sdx .Dw . T

dx

b B%

D

D

idx

2

idx

z )sin(cos,..XZ.Z.XZ . 2

)cos(. sdz .Dw .T

y,dz

b B

B(%

DD

idx

2

idx

y )sin(cos,.

.XZ.Z.XZ . 2

)sin(. sdz .Dw .T

y,dz

b B

B(%

D

D

idxidx

y,z )sin(cos,.CTS

.XZ.Z.XZ . 2

)cos(.sdx .Dw .R . T

yd

b B

B(%

)D

D

idxidx

y,z )sin(cos,.CTS

.XZ.Z.XZ . 2

)sin(.sdx .Dw .R . T

yd

b B

B(%

)D

D

unde : )UTsin(.T)UTcos(CTS $%

OBS: In descrierea componentelor matricei de rigiditate a unei structuri SRB cu un singur rând de

corpuri de rostogolire având idx contacte s-a folosit nota ia (,). Modalitatea de scriere adoptat se

datoreaz diferen elor relativ reduse între componentele matricei de rigiditate, asigurând lizibilitatea

rela iilor prezentate.

In cazul analizelor corespunz toare cazurilor IRR !i IOE, scrierea matricei de rigiditate se face în mod

asem n tor, diferen ele care apar fiind datorându-se vectorilor DCMRj !i vectorilor deplasare ale c ilor

de rulare. Utilizând metoda de descriere prezentat !i modalitatea de formare a geometriei rulmen ilor

cu dou rânduri de corpuri de rostogolire, (cap.2) se poate descrie matricea de rigiditate în 9DOF a unei

structuri SSRB.

Anexa 2.2. Componentele matricei de rigiditate ale unei role consierând momentul giroscopic

In cazul în care exist condi ii de apari ie a mi!c rii giroscopice a unei bile, ecua iile de echilibru ale

acesteia devin:

ECFA =

!" #$%idx

idxidx smgx).idx, jcos(.sdux ,....)).idx, j(sin().uz,ux,dr,da,idx, j(Q = 0

ECFR = ! FCsgmz ,...).idx, jsin(.sduz ,...).idx, j(cos().uz,ux,dr,da,idx, j(Qidx

idxidx $#$%" =0 (2.1)

unde

smgxidx=[-1,-1,1,1]

smgzidx=[1,-1,-1,1]

pag.170

dw

MG.2.

,...)idx,j(Q

(....)Q.

dw

MG.2,...)idx,j(Q.

idx

&''#"

"'#

idx

dw,...).idx,j(Q

MG.2

idx=1..4

Matricea de rigiditate a bilei, devine :

M[j] =

juz

EFCR

ux

EFCRuz

EFCA

ux

EFCA

(((

)

*

+++

,

-

..

..

..

..

unde:

idxj,

21.51.50.5

idxXZZ.XZ.

.sduxTä

XZZ.

.sduxä

XZL).ä(

.X.T.sduxä1,5..K1A (

)

*+,

-$/

$/'

idx,j

35.15.15.0

idxXZ.XZ.Z

sduz.T

XZ.Z

sduz.T.

XZ).L(

sduz.X..5,1.K2A (

)

*+,

- 0/

0$

$0

0/'

idx,j

5.15.0

idxXZ.XZ.Z

sdux.T.

XZ).L(

sdux.X..5,1.K1R (

)

*+,

- 0$

$0

0/'

idx,j

25.15.0

idxXZ.XZ.Z

sduz.T

XZ).L(

sduz.Z..5,1.K2R (

)

*+,

- 0/

$0

0/'

"" #$'.

.

idx

idx

idx

idxj

mgxs1R.sdux1Aux

EFCA

"" #$'.

.

idx

idx

idx

idxj

smgx2Rsdux2Auz

EFCA

"" #$'.

.

idx

idx

idx

idxj

mgzs1A..zsdu1Rux

REFC

"" #$'.

.

idx

idx

idx

idxj

smgz2A.sduz2Ruz

EFCA

pag.171

Anexa 3. Parametri suplimentari utiliza i în modelul cvasi-dinamic (cu considerarea prezen ei lubrifiantului) Anexa 3.1. Parametri adimensionali

Parametrii adimensionali de sarcin , de vitez si de material, descri!i de Dowson [1961] sunt necesari pentru calculul grosimii centrale !i a grosimii minime a filmului de lubrifiant. Cercet rile ini iate de Dowson [1961 !i 1966], au fost continuate pe parcursul urm toarelor patru decenii de numero!i cercet tori, nume consacrate fiind :Hamrock [1976, 1977], Zhu !i Hu [2000, 2001, 2002] !i au condus la stabilirea rela iilor de leg tur între grosimea filmului de lubrifiant în func ie de sarcin , viteza de rostogolire !i materialul copurilor în contact, cu considerarea !i a unor influen e precum, lipsa de lubrifiant (starvare), regim termic.

Sunt astfel consacra i urm torii parametri adimensionali: !"parametrul adimensional de material

o 0E .G p1'

!"parametrul adimensional de vitez o 2 3Ry. 0E/u).0 ,T(U 4'

!"parametrul adimensional de sarcin o 2 32

yR. 0E/QW '

Anexa 3.2. Parametri utiliza i în calcul tensiunilor de forfecare din lubrifiant

Parametrii lubrifian ilor utiliza i în calculul coeficien ilor de corec ie ai filmului de lubrifiant !i a tensiunii de forfecare în lubrifiant sunt prezenta i în tabelul urm tor

Parametrul Nota ie unitate de m sur conductivitatea termic a uleiului KL W/m(0C) conductivitatea termic a suprafe elor solide, Ks W/m(0C) densitatea suprafe elor solide 5s Kg/m3 c ldura specific a suprafe elor metalice Cs J/Kg oC semil imea benzii de contact b m viteza medie în contact a suprafe elor în mi!care relativ

v=(v1+v2)/2 m/s

tensiunea tangen ial a lubrifiantului „ini ial ” 60 Pa

pag.172

Anexa 3.3. Vâscozitatea lubrifiantului utilizat pentru valid rile experimentale ale analizei

cvasidinamice.

A fost utilizat rela ia (5.2), reprezentarea gradic fiins dat în figura A.3.1.

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Temperatura, grd C

Va

sco

zita

tea

dim

an

ica

, P

a.s

4T

T

Fig. A.3.1. Varia ia cu temperatura a vâscozit ii dinamice pentru lubrifiantul H46

Varia ia coeficientului de piezovâscozitate cu temperatura !i presiunea este prezentat în figura A.3.2.

10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 1000

3 109

6 109

9 109

1.2 108

1.5 108

1.8 108

2.1 108

2.4 108

2.7 108

3 108

1,T 100

1,T 300

1,T 500

1,T 700

1,T 1000

1,T 1500

T

Fig. A.3.2.Varia ia cu temperatura !i presiunea a coeficientului de piezovâscozitate

pag.173

Anexa 4. Elemente geometrice ale rulmen ilor utiliza i în analize numerice !i

experimentale

Elemente geometrice ale rulmen ilor cu bile, (utiliza i pentru validarea modelului de calcul a

cinematicii structurilor SRB)

Tabel A4.1. Parametri geometrici ai structurilor 4PCBB-13 !i 4PCBB-1234

Parametru / tip structur 4PCBB-13 4PCBB-1234

Num r de bile, Z 16 20

Diametrul bilei, dw , mm 7.938 19.05

Diametrul mediu, dm, mm 50 149

Joc diametral, #m 79 150

Conformitatea inelului interior, fi 0.525 0.525

Conformitatea inelului exterior, fe 0.51 0.51

Unghiul de cale interior, deg - 20

Unghiul de cale exterior, deg - 30

Starea suprafe ei bilei, #m 0.15 0.15

Rugozitatea c ilor de rulare, #m 0.05 0.05

Elemente geometrice ale rulmentului radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri (utilziat în analizele

numerice !i în valid rile experimentale).

Tabel A4.2. Elementele geometrice ale structurii SRB22212C:

Parametru / tip structur SRB-22212C

Num r rânduri 2

Num r de role / rând, Z 18

Diametrul mediu al rolei, dw , mm 12.5

Diametrul mediu, dm, mm 85.077

Raz profil inel interior, Ri 50

Raz profil inel exterior, Ro 79.75

Raz profil rol , R 48.8

Unghiul de contact geometric 9.21

Starea suprafe ei rolei, #m 0.16

Rugozitatea c ilor de rulare, #m 0.32

pag.174

Anexa 5. Detalii privind punctele caracteristice considerate în analiza structurilor SRB-

DBB

Fig.A5.1. Puncte caracteristice specifice structurii SRB-DBB1


Ri

Ro

X

Z1 .

1

787

9

9

0

0

0

= 0 r = 1r = 2

1

xy

z

F

F

F

M

d/2 .

= 0

.Sd/4

Sd/4

X

Z

z

x

y

M

y

z

X

Z

Y

.01

z

y

1

.

X

Z

2

2

r = 27

= 0= 0

87 r = 1

Oe

O O

OiOw

Oe

iO

wO O

z

Oi z0

O

Y

yF

M

y0

O

yy9

10

eOw

zM

9

r = 2 877

Fz

= 0

Z

= 0

O

F

0x

x

X

w

e

O i

r = 1

Rin Rin

Rou Rou

ORR case IRR case

O

z

Oi

z0

O

Y

yF

M

y0

O

yy9

10

eOw

zM

9

r = 2 877

Fz

= 0

Z

= 0

O

F

0x

x

X

w

e

O i

r = 1

Rou

0

O

F

O

Rou

Fy

Y

0y

Oe

w i

Oi

O

O

yM y9

M

01

zz

O

9

w

x

x0

F

X

e

Z

z

z

RinRin

.

r = 2

d/2 .

Sd/4

.

11

Z2

R

i

O

X2

R

o

787

Sd/4

= 0= 0

Z

Z

r = 1

1

X

1X

ORR case IRR case

pag.175

0

O

F

O

Fy

Y

0y

Oe

w

iO

i

O

O

yMy9

M

01

zz

O

9

w

x

x0

F

X

e

Z

z

z

RinRin

.

r = 2

d/2

.

Z2

R

i

O

X2

R

o

787

Sd/4

= 0= 0

Z

Z

r = 1

1

X

1X

9MZ

iO

1

O

yF

Y

0y

O9

yMy

0

wOe

F

0z

z

Oi

x

0x

F

X

e

wO

O

zz

Rou Rou

.Sd/4

ORR case IRR case

Fig.A5.3. Puncte caracteristice specifice structurii SR- DBB3

r = 1

Sd/4

Sd/4

d/2R

.

.

O

r = 2

.

.

Z2

Ri

10

X2

= 0= 0

877

Z

9

.

= 0= 0

X

Y

yF0y

Ro X1

Z1

0zO

wO

i

01

r = 2 87

Fz

7

X

yF

0x

x

O

z9Ow

i

r = 1

Z

= eO =O Oe

Rin = Rou

ORR and IRR cases


pag.176

9

X

Z

z

r = 2 7 = 0 r = 1

Oe

O

Oi

OeiO

O

Oi

O

eO

r = 2 7

Z

= 0

O

X

e

i

r = 1

Rin Rin Rou Rou

ORR case IRR case

DBB1

OiOi

x0

x0

z0z0

'

'

0z

x00z

x0 OeOe

'

'

9y

9y 9

y 9y

Fig.A5.5. Elemente geometrice considerate în calculul rigidit ii structurii SRB-DBB1, specifice

cazurilor "ORR" !i "IRR"

9

X

Z

z

r = 2 7 = 0 r = 1

Oe

O

Oi

Oe

iO

O

Oi

O

r = 2 7

Z

= 0

O

X

e

i

r = 1

Rin Rin Rou Rou

ORR case IRR case

OiOi

''

Oe Oe

''

9y 9

y 9y

DBB2

Oe

0z

0x 0z

0x

0z

0x

0z 0x

Fig. A5.6. Elemente geometrice considerate în calculul rigidit ii structurii SRB-DBB2, specifice


pag.177

r = 2 7 = 0 r = 1 r = 2 7 = 0 r = 1

ORR case IRR case

O

Oe

iO

i

O

O X

e

Z

RinRin

Z

iO

O

Oe

X

eO

Rou Rou

z0

9y9

y

z0

0x O'

z0

0x O'z0

0x O'i

0x

O'i

9y 9

y

e e

DBB3



r = 2 7 = 0 r = 1 r = 2 7 = 0 r = 1

ORR case IRR case

Oi

X

Oi

Z 0x

z0O'

i

0

z0 e

xO

Oe

'

DBB4

eO X

Z

iO iO

x0

z0

i'O

Rou Rou

Rin Rin



pag.178

Anexa 6. Influen a for elor de frecare asupra distribu iei de tensiuni din interiorul c ii

de rulare.

In cazul consider rii unei sec iuni a domeniului de contact rol - cale de rulare, presupus liniar,

înc rcat cu sarcina normal p(s) !i sarcin tangen ial q(s), conform figurii A6.1, evolu ia tensorului

tensiune pentru un punct A(x,z) este descris de rela iile: ( Johnson K.L [1985]):

2 3 2 32 3: ;

2 3 2 32 3: ;

2 32 3: ;

2 3 2 32 3: ;

2 3 2 32 3: ;

2 3 2 32 3: ;<

<<<

=

<<<<<

>

?

$/

@/@@/

$/

@/@@/'

$/

@/@@/

$/

@@/'

$/

@/@/

$/

@/@@/'

A A

A A

A A

/ /

/ /

/ /

a

b

a

b

xz

a

b

a

b

z

a

b

a

b

x

zsx

dssxsqz

zsx

dssxspz

zsx

dssxsqz

zsx

dsspz

zsx

dssxsq

zsx

dssxspz

222

2

222

2

222

2

222

3

222

3

222

2

22

22

22

BB6

BBC

BBC

ds

p(s)

q(s)

x

a b

Bs

C(x,0)

A(x,z)

r

z

Fig. A6.1. Sec iune a domeniului de contact înc rcat cu sarcin normal !i sarcin tangen ial

distribuit

In cazul contactului dintre o rol !i o cale de rulare distribu ia sarcinii normale de contact este

determinat prin utilizarea rela iilor 4.10. Vitezele de alunecare !i a sarcina normal la contact produc

for e de tangen iale distribuite în sensul direc iei de rostogolire. For ele tangen iale sunt func ii de

parametrul de ungere &. Pentru contactul hertzian punctual !i pentru cazul general al contactului

nehertzian nu exist rezolv ri teoretice, fiind necesare analize numerice (Cre u Sp. [2002a, 2002b],

Polonsky I.A, Keer L., M [1999, 2000], Liu S, Wang Q [2002] ).

Pentru analiza st rii de tensiuni în cazul contactului liniar a fost realizat un cod de calcul în limbajul

Borland Delphi care transfer date c tre c tre programul Math Cad. In figurile A6.2 – A6.3 se prezint

pag.179

efectul for ei de frecare asupra modific rii tensiunii echivalente Von – Misses , Johnson [1985], pentru

dou valori diferite ale coeficientului de frecare. Graficele prezentate corespund înc rc rii statice !i

respectiv func ion rii rulmentului.

2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

3.25

3.5

3.75

4

0.561

0.51

0.51

0.510.459

0.459

0.4590.459

0.408

0.408

0.408

0.357 0.357

0.357

0.357

0.306

0.306

0.306

0.306

0.306

0.255

0.255

0.255

0.255

0.255

0.255

0.204

0.204

0.204

0.204

0.153

0.153

TM

Fig. A.6.2. Evolu ia tensiunii echivalente Von – Misses pentru cazul înc rc rii statice, #=0 sau &>3

2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

3.25

3.5

3.75

4

0.594

0.54

0.540.54

0.486

0.486

0.486

0.432

0.432

0.4320.378

0.378 0.378

0.3780.378

0.324

0.324

0.324

0.324

0.27

0.27

0.27

0.27

0.27

0.216

0.216

0.216

0.216

0.216

0.162

0.108

0.054

TM

Fig. A.6.3. Evolu ia tensiunii echivalente Von – Misses pentru cazul înc rc rii statice, #=0.2 sau &<0.5

pag.180

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIEE 1. Aihara S, - (1987) - „A new running Torque formula for tapered roller bearings under axial load”, Journal of

Tribology, July 1987, vol 109, pp.471-478

2. Akiyoshi Honda, Akio Miyasaka and Masahide Matsubara – (2000) – “EA Spherical Roller Bearings”, Motion &

Control No. 9, October

3. Aramaki, H., Cheng, S.H., Chung Y. W, - (1993) - „The contact between rough surfaces width longitudinal texture

– Part I: Average Contact Pressure and Real Contact Area”, Journal of Tribology, vol 115 p. 419-424

4. Bair S. & Winer W.O., -(1979)-“Rheological Response of Lubricants in EHD Contacts,” in Elastohydrodynamics

and Related Topics, Proceedings of 5th Leeds-Lyon Symposium on Tribology, Leeds, UK, 1978, Dowson et al. ed.,

Mechanical Engineering Publication Ltd, London, pp.162-169.

5. Bair S. & Winer W.O.,-(1979)- “Shear Strength Measurements of Lubricants at High Pressure,” ASME Journal

of Lubrication Technology, Vol. 101, Series F, n°3 , pp.251-257.

6. Barus C,- (1893) - „Isotherms, Isopiestics and Isometrics to Relative Viscosity”, Am. J.Sci, p.87-96, Vol 45

7. Bercea, I,- (1996) - „Contributii privind optimizarea cinematicii si dinamicii rulmentilor radial-axiali cu role

conice”, Teza de doctorat, U.T. Iasi

8. Bercea I, Olaru D, - (1998) - „Tribologia sistemelor mecanice”, Iasi

9. Bercea I,- (2002) - „Basic Elements and Currrent Trends in Tapered Roller Bearings Tribology”, Ed. Tehno-

press, Ia!i

10. Boness R.J.,-(1970)- “The Effect of Oil Supply on Cage and Roller Motion in a Lubricated Roller Bearing,” ASME

Journal of Lubrication Technology, Paper 69-LUB 8-73, Vol. 92, Series F, n°1, pp.39-53.

11. Brandlein, J., Markfelder, G., Volkening, W, -(1980)- „Moderne Entwienklug bei Pendelrollerla-

gern”, Antreibstechnick, no.4

12. Brown S.R. & Poon S.V., -(1983) -“The Lubrication of the Roller-Rib Contacts of a Radial Cylindrical Roller

Bearing Carrying Thrust Load,” ASLE Transaction, Vol. 26, n°3 , pp.317-324.

13. Buzdugan Gh., Bel! A, s.a –(1991) – „Rezisten a materialelor. Aplica ii”, Ed. Academiei Române, Bucure!ti

14. Coe H.H, Hamrock B.J., -(1977) – „Performance of 75 millimetr bore arched outer-race ball bearings”, Trans of

ASME, july, p.346-353

15. Cre u Sp., Bodi Gh., Farca! FL –(1986)- „The Improvement of Lubrication Conditions of the Rib-Roller End

Contact of Cylindrical Roller-Bearings of the Basis of the Elastohydrodynamic Theory”, Bul. IPI, Fasc.1-4, Tomul

XXXII (XXXVI) , 23-28

16. Cre u Sp., -(1989)- „” Lubrication Regimes at the Rib-Roller End Contact of Cylindrical Roller Bearings”, Bul. IPI,

Tomul XXXV (XXXIX), Fasc. 3-4, p.19-30

17. Cre u Sp, Bercea I, Mitu N, - (1995) -„A dynamic analysis of tapered roller bearing under fully flooded conditions.

Part 1: Theoretical Formulation”, Wear, p.1-10

18. Cre u Sp., -(1996) –„Initial Plastic Defformation of Cylindrical Roller Generattrix Stress Distribution Analysis”,

Acta Tribologica, vol 4, p.1-6

19. Cretu Sp, Bercea I, Bercea M, Rezmires D,- (1997) - „Theoretical an experimental simulating roller

cage pocket friction in a tapered roller bearings”, Proceeding of the 11th Int. Colloqium Tribology,

Stuttgart (Germany), January 13-15, p.663-643

20. Cretu S., Prisacaru G., Bercea I. , Mitu N.,-(1998)- “The Effect of Rib-Roller End Contact Geometry on Friction

Torque in a Cylindrical Roller Bearings,” 11th International Colloquium on Tribology, Esslingen (Germany),

January 13-15, pp.617-631.

21. Cretu Sp, D. Rezmires, I. Bercea –(1999)- „The effect of the different combined loads on the surface

and subsurface stresses in a tapered roller bearing”, Balckantrib’99, Sinaia, p.63-69

22. Cretu Sp.,- (2002a) - „Mecanica Contactului”, Editura Gh Asachi Ia!i

23. Cretu Sp., Antaluca E.- (2002b) - „A comparative study on munerical methods used to obtain pressure distribu-

tion in non – hertzian concenrtrated contacts”, PRASIC 2002, Brasov

24. Dag Fritzon, Peter Fritzson, Lars V. Johan H. –(1995) – „Object-Oriented Method Mathematical Modelling –

Applied ot Rolling Bearings”, -Computer Algebra in Industry 2 Edited by A.M. Cohen L. Van Gastel and S.M.

Verduyn Lunel, (c) 1995 John Willey & Soons Ltd

25. Dusserre-Telmon G. & Né lias D.,-(1994)- “Roulements a billes lubrifié s : Contrô le partagé de la bille entre la bague

inté rieure et la bague exté rieure”, Revue Franç aise de Mé canique, n°2, pp.155-165.

26. Dowson, D., Higginson, G. R.,- (1961) - “New Roller-Bearing Lubrication, Formula,” Engineering (London), 192,

pp 158-159.

pag.181

27. Dowson, D. Higginson G.,- (1966) - “Elastohydrodynamic Lubrication,” Pergamon Press.

28. Dowson, D, Wittaker, D.A,- (1976) - „A numerical procedure for the solution of the EHD problem of rolling and

sliding contacts lubricated by a newtonian fluid”, Proc IME, vol 180

29. Dowson D, Dunn J, sa,- (1983) - „The piezo-viscous fluid, rigid solid regime of lubrication”, Mechanical

Engineerind Science, 197, p. 43-52

30. Dowson, D,- (1995) - „Elastohidrodynamic and Micro-elastohydrodynamic lubrication”, Wear, 190, p.

125-138.

31. Elsharkawy A.A. & Hamrock B.J.,-(1991)- “Subsurface Stresses in Micro-EHL Line Contacts,” ASME Journal of

Tribology, Vol. 113, n°3 pp.645-656.

32. Evans C., Johnson KL,- (1986a) - „The rheological properties of elastohydrodynamic lubricants”, IMCH, vol 200,

p.303-312

33. Evans C., Johnson KL,- (1986b) - „Regimes of traction in elastohydrodynamic lubrication”, IMCH, vol 200, p.313-

324

34. Fabien B., Karl D., Ying Q., André P.,- (2002) - „Mise en oeuvre d’une mé thodologie numé rique dans le cadre du

suivi de dé fauts par analyse vibratoire”, Mé canique & Industries p. 79–87

35. Frene J. Nicolas D, Degueurce B, Berthe D., Godet M,- (1990) - „Lubrification hydrodynamique. Palier et

Buté é es”. Ed. Eyrolles, Paris, 488p

36. Gafitanu M, Nastase D, Cretu Sp, Olaru D,- (1985) - „Rulmenti. Proiectare si tehnologie”, vol 1, Ed Tehnica,

Bucuresti

37. Gecim B. & Winer W.O., -(1980)- “Lubricant Limiting Shear Stress Effect on EHD Film Thickness,” ASME

Journal of Lubrication Technology, Vol. 102, Series F, n°2 pp.213-219.

38. Gentle C.R. & Pasdari M.,-(1985)-“Measurement of Cage and Pocket Friction in a Ball Bearing for Use in a

Simulation Program,” ASLE Transactions, Vol. 28, n°4 ,, pp.536-541.

39. Greenwood, J.A,- (1985) - „Formulas for moderately elliptical Hertzian contacts”, ASME J. Tribol, 107, 501-504

40. Gupta K,- (1979a) - „Dynamics of rolling element bearings, Part I: Cylindrical roller bearing analysis”, Transactions

of the ASME, vol.101, p.293-304

41. Gupta K,- (1979b) - „Dynamics of rolling element bearings, Part II: Cylindrical roller bearing results”, Transactions

of the ASME, vol.101, p.305-311

42. Gupta K.,- (1979c) - „Dynamics of rolling element bearings, Part III: Ball bearing analysis”, Transactions of the

ASME, vol.101, p.312-318

43. Gupta K.,- (1979d) -„Dynamics of rolling element bearings, Part IV: Ball bearing results”, Transactions of the

ASME, vol.101, p.319-326

44. Gupta K.,- (1991) - „Modeling of instabilities induced by cage clearances in ball bearings”, Tribology Transactions,

vol. 34, 1, p.93-99

45. Gupta, K,- (1983) - „Some Dynamic Effects in High-Speed Solid-Lubricated Ball Bearings”, ASLE Transactions,

vol 26, 3, p.393-400

46. Hamrock B.J., Anderson W.J., - (1973) –„Analysis of an Arched Outer-Race Ball Bearing Considering Centrifugal

Forces”, Journal of Lubrication Technology, july, p. 265-276

47. Hamrock B.J, - (1975)- „Ball Motion and Sliding Friction in an Arched Outer Race Ball Bearing”, Trans of ASME,

april, p.202-210

48. Hamrock, B. J. and Dowson, D.,- (1976,a) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part

I—Theoretical Formulation,” ASME Jour of Lubr. Tech., 98, pp 223-229.

49. Hamrock, B. J. and Dowson, D.,- (1977,a) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part

4—Starvation Results”, ASME Jour. of Lubr. Tech., 99, pp l5-23

50. Hamrock, B. J. and Dowson, D. ,- (1976,b) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part

2—Ellipticity Parameter Results,” ASME Jour. of Lubr. Tech., 98, pp 375-383.

51. Hamrock, B. J. and Dowson, D.,- (1977,b) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part

3—Fully Flooded Results,” ASME Jour. of Lubr. Tech., 99, pp 264-276.

52. Hamrock B.J, Brewe D.E,- (1983a) - „Simplified solutions for elliptical contact deformations”, ASME J. Lub

Technol, 105, 171-174

53. Hamrock, B.J., Tripp, J.H., - (1983b) – „Numerical Methods and Computer Used in Elastohydrodynamic

Lubrication”, Proc. of the 10th Leeds-Lyon Symposium, Lyon

54. Hargreaves, R.A., Higginson, G.R, -(1976) – Some Effects on Lubricant Starvation in Cylindrical Roller Bearings”,

Trans. of the ASME, JTL, vol. 98, january, p. 66-72

55. Harris T.A.,- (1966) - „Rolling bearing analysis”, 1th edition

56. Harris T.A.,- (1971)- “An Analytical Method to Predict Skidding in Thrust-Loaded, Angular Contact Ball

Bearings,” ASME Journal of Lubrication Technology, Vol. 93, Series F, n°1 pp.17-24.

57. Harris T.A.,- (1983) - „Rolling bearing analysis”, 2nd edition

58. Harris T.A.,- (1991) - „Rolling bearing analysis”, 3rd edition, 1013p

pag.182

59.Harris T.A., Kotzalas M.N. & Yu W.K., -(1998)- “On the Causes and Effects of Roller Skewing in Cylindrical

Roller Bearings,” STLE Tribology Transactions, Vol. 41, n°4, pp.572-578.

60. Hauswald T, Houpert L,- (1998, a) - „Simulation numerique et experimentale des performances d’un systeme

roulements, arbres et logement. Prise en compte des deformations globales et locales”. , Timken Research Europe,

Colmar, France

61. Hauswald T,- (1998, b) - „Comparation de roulements 4 rangees a ecombrement egal”, Timken Research Europe,

Colmar, France

62. Houpert L,- (1980) - „Contribution a l’etude de frottement dans un contact EHD”, These de Docteur, Lyon

63. Houpert L, Leenders P., -(1984)- „A Study of Mixed Lubrication Conditions in Modern Deep Grove Ball

Bearings”, Proc of the 11th Leeds/Lyon Symposium

64. Houpert L,- (1985,a) - „Fast Numerical Calculations of EHD Sliding Traction Forces; Application to the Rolling

Bearings”, Transaction of the ASME, vol 107, p.234-240, april

65. Houpert L,- (1985, b) - „New Results of Traction Force Calculations in Elastohydrodynamic Contacts”, Journal of

Tribology, vol 107, p.241-248, apr

66. Houpert L,- (1987) - „Piezoviscous-Rigid Rolling and Sliding Traction Forces, Application: The Rolling Element –

Cage Pocket Contact”, Transaction of the ASME, vol 109, p.363-371

67. Houpert, L, - (1997 ) - „Le calcul des roulements, engrenages et carter par elements finis”, Congres SIA, „La

dynamique du Vehicule Ferroviare et Terrestre”, Lyon,

68. Houpert L,- (1998) - „Numerical and experimental study of the shaft and housing deflections, and of the relative

gear displacements in a transmission”, Timken Research Europe, Colmar, France,

69. Houpert, L,- (2001) - „An engineering approach to Non Hertzian contact elasticity: Part 1. Part 2”. ASME Journal

of Trigology, vol 123, pp.582-594

70. Hu, D. and Zhu, D.,- (2000) - “A Full Numerical Solution to the Mixed Lubrication in Point Contacts,” ASME Jour.

of Trib., 122, pp l-9.

71. J. de Mul, Vree, J.M, Mass D.A,- (1989, A) - „Equilibrium and Associated Load Distribution in Ball and Roller

Bearings Loaded in Five Degrees of Freedom While Neglecting Fricition – Part I: General Theory and Application

to Ball Bearings”, Transaction of the ASME, vol 111, p. 142-148, jan

72. J. de Mul, Vree, J.M, Mass D.A,- (1989, B) - „Equilibrium and Associated Load Distribution in Ball and Roller

Bearings Loaded in Five Degrees of Freedom While Neglecting Fricition – Part II: Application to Roller Bearings

and Experimental Verification”, Transaction of the ASME, vol 111, p. 149-155, jan

73. Jackson A.,- (1981) - „A simple method for determining thermal EHL corection factor for rolling element bearings

and gears”, ASLE Transactions, vol 24(2), p.19-163

74. Johnson, K.L., -(1970)– „Regimes of elastohydrodynamic lubrication”, Journal of Mechanical Engineering Science,

12, 9, [335]

75. Johnson K.L,- (1985) - „Contact Mechanics”, Cambridge University Press

76. Johnson, K.L, Greenwood J.A., -(1980)- „Thermal Analysis of an Eyring Fluid ElastohydynamicTraction”, Wear,

vol 61, p.353-374

77. Kleckner, R.J., Pirvics, J –(1982) – „Spherical Roller Bearing Analysis”, Journal of Lubrication Technology, 104, p.

99-108

78. Kellstrom, E.M – (1979) –„Rolling Contact Guidance of Rollers in Spherical Roller Bearings” presented at Joint

ASME/ASLE Lubrication Conference, Dayton, Ohio, ASME Paper 79-Lub-23

79. Kawamura, H., Touma, K,- (1990) - „Motion of Unbalanced Balls in High-Speed Angular Contact Ball Bearings”,

Journal of Tribology, vol 112, p.105-110

80. Krweminski-Freda, Warda, B,- (1996) - „Correction of the roller generators in spherical roller bearings”, Technical

University of Lodz, Poland, WEAR, 192, 29-39

81. Legrand E,- (1997) - „Logiciel RBL4. Modelisation des roulements a billes a contact oblique”. Specification

technique. Snecma Moteurs.

82. Lefter, D., -(1994a)- Studiu de sintez asupra stadiului actual al cercet rilor teoretice !i experimentale privind

cre!terea performan elor rulmen ilor oscialn i cu role butoi pe dou rânduri, Referat 1 la teza de doctorat, Contribu ii la creceterea performan elor func ionale ale rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri, Ia!i, 1994

83. Lefter, D.,-(1994b)- Cercetari teoretice preliminare si solutii constructive noi pentru cresterea performantelor

functionale al rulmentilor radial oscilanti cu role butoi pe doua rânduri. Stand si metodica de testare. Rezultate

experimentale preliminare. Referat 2 la teza de doctorat, Contributii la cresterea performantelor functionale ale

rulmentilor radial oscilanti cu role butoi pe doua rânduri, Iasi, 1994

84. Lefter, D., -(1999a)- Contribu ii la cre!terea performan elor func ionale ale rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi

pe dou rânduri, Tez de doctorat

85. Lefter, D., Rezmires D., Cretu, Sp.- (1999b) – „The hollow rollers use – a solution to improve the

bearing’s themal regime”, Balckantrib, Snaia, p.31-36

pag.183

86. LiuS., Wang Q., - (2002) – „Studying Contacts Stress Fields Caused by Surface Tractionas with a

Discrete Convolution and Fast Fourier Transform Algorithm”, Trans of yhe ASME, Journal of

Tribology, vol 124, pp.36-45

87. Matsyama H, Kamamoto S,- (2001) - „Analysis of Frictional Torque in Raceway Contacts of Tapered Roller

Bearings”, Koyo Engineering Journal English Edition, No. 159E, p.53-60

88. Mangeron,D., Irimiciuc,N., -(1978)- „Mecanica rigidelor cu aplica!ii în inginerie, vol.I: Mecanica

rigidului”,Ed.Tehnic",Bucure"ti., 1978

89. Meeks, C.R, Karen O.N.G - (1984a) – „The Dynamics of Ball Separators in Ball Bearings - Part I; Analysis”, ASLE

Transactions, vol. 28,3, 277-287

90. Meeks, C.R, Karen O.N.G –(1984b)- „The Dynamics of Ball Separators in Ball Bearings - Part II; Results of

Optimization Study”, ASLE Transactions, vol. 28,3, 288-294

91. Molina, M., Sanborn D, Winer O,- (1976) - „Dynamics of Roller Bearings Considering Elastohydrodynamic

Forces”, ASLE Transactions, vol 19, 4, p.267-272

92. Naronha, A.P., -(1990)- „Calculated simulation of the operating behaviour os spherical roller bearings”, Industrial

Engineering (FAG), p.11-18

93. Nelias D-., - (1994) – Roulements a bille lubrifies: Controle partage de la bille entre la bague interieure et la bague

exterieure”, - Bulletin S.F.M, Revue Francaise de Mecanique, no-1994-2

94. Né lias D.,- (1989) - „Etude du glissemenet dans les roulements a billes grande vitesses de turbomachine. – Influence

de la pollution du lubrifiant.”, PhD These.

95. Né lias D.,- (1999) - „Contribution a l'é tude des roulements. Modé lisation globale des roulements et

avaries superficielles dans le contacts EHD pour des surfaces ré elles ou indenté es”. HdR, INSA de Lyon,

96. Né lias D., Legrand E,- (2001) - „Traction Behaviour of Sone Lubricats Used for Rolling Bearings in Spacecraft

Applications: Experiments and Thermal Model Based on Primary Laboratory Data”, STLE/ASME, oct

97. Nijenbanning G., Venner C.H. & Moes H., -(1994)- “Film Thickness in Elastohydrodynamically Lubricated Elliptic

Contacts,” Wear, Vol. 176, pp.217-229.

98. Olaru D,- (1992) - „Cercet ri pentru cre!terea tura iei la rulmen ii radiali !i radial-axiali cu bile”, Tez de doctorat,

Ia!i

99. Olaru D,- (1995) - „Tribologie. Elemente de baz asupra frec rii, uz rii !i ungerii”, curs litografiat, IPI

100.Olaru D,- (2002) - „Fundamente de lubrificatie”, Ed. "Gh. Asachi", Iasi,

101.Orvos, G.J. Dressler -(1987)- „Development of 3.5. Million Tapered Roller Bearing Cage”,

ASLE

TRANSACTIONS, vol. 23, 109-120

102.Paleu V., - (2002) –„Cercet ri teoretice !i experimentale privind dinamica !i fiabilitatea rulmen ilor hibrizi”, Tez

de doctorat.

103.Polonsky I. A., Keer L.M., - (1999) – „A numerical method for solving contact problems based on the multilevel

multisumation and conjugate gradient techniques”, WEAR, 231, pp.206-219

104.Polonsky I. A., Keer L.M., - (2000) – „Fast methods for solving rough contact problems: a comparative

study”,

Trans of the ASME, Journal of Tribology, vol 122, pp. 36-41

105.Popinceanu N.,Gafi anu M., N stase, H., Diaconescu, E., Cre u Sp., -(1972) –„A study of of roling bearing fatigue

life with mineral oil lubrication”, Wear, 222 , p.21

106.Popinceanu, N., Gafi anu, M., Cre u Sp., Diaconescu, E., Hostiuc, L., -(1977)- „Rolling bearing fatigue life and

EHL Theory”, Wear, 45, p.17-32.

107.Popinceanu, N.,Gafi�anu M, Diaconescu, E.,Cre�u,S., -(1985)- „Probleme fundamentale ale contactului cu

rostogolire”., Ed. Tehnic", Bucure"ti,1985

108.Poplawski J.V., -(1972)-“Slip and Cage Forces in a High-Speed Roller Bearing,” ASME Journal of Lubrication

Technology, Paper 71-LUB-17, Vol. 94, Series F, n°2, pp.143-152.

109.Prisacaru G., Cretu S., Né lias D. & Slevoaca G., -(1999)- “Roulements a rouleaux cylindriques a capacité de charge

axiale,” Actes des Journé es Francophones Internationales 1999 de la STF, Roulements, Toulouse, 5-7 mai

110.Prisacaru Gh,- (1997) - „Studiu si cercet ri privind optimizarea geometriei interne a rulmentilor radiali cu role

cilindrice cu încarcare complex ”, Teza de doctorat, Iasi,

111.Prisacaru G., Bercea I., Mitu N. & Cretu S., -(1994)-“The Analysis of the Quasi-Dynamic Equilibrium in

Cylindrical Roller Bearing,” Proceedings of the 6th Nordic Symposium on Tribology NORDTRIB’94, Uppsala

(Sweden), Vol. 3, pp.721-731.

112.Racocea C, Cretu Sp –(1980) –„Optimizarea formei rulmentilor radial oscilanti cu role butoi din punct de vedere

al capacitatii dinamice de baza”, Tribotehnica 80, Hunedoara

113. Racocea C., - (1981)- „Cercetari privind dinamica si forma constructiva a rulmentilor radial oscilanti cu role

butoi pe doua randuri in scopul maririi capacitatii dinamic de baza”, Teza de doctorat, Iasi

pag.184

115. Reviron O., Né lias D. & Legrand E., -(1999)- “Modé lisation dynamique des roulements a rouleaux cylindriques :

é valuation des efforts rouleaux/cage en vue d’optimiser le dimensionnement des cages,” Actes des Journé es

Francophones Internationales 1999 de la STF, Roulements, Toulouse, 5-7 mai

116. Roelands C.J.A,- (1966) - “Correlation Aspects of Viscosity-Temperature-Relationship of Lubricating Oils,” Ph.D.

Thesis, Delft University of Technology, The Netherlands

117. Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,a) -„Load Distribution in Double Row Spherical Roller Bearings

and Spherical Roller Bearings Systems in Static Case”, VAREHD 10, Suceava

118. Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,b) - „The Radial and Axial Stiffnesses of Spherical Roller Bearing

Systems”, VAREHD 10, Suceava

119. Rezmire! D., Racocea C., – (2002)- „The tolerance field effect on the angular contact ball bearings

system’s rating life”, The Annals of University „Dun rea de jos” of Gala i, Fasc. VII, 2002, ISSN

12221-4590, p.80-86

120. Rumbarger J, s.a,- (1973) - „Gas Turbine Engine Mainshaft Roller Bearing – System Analysis”, J. of. Lubric-

ation

Technology, p.401-413

121. Staicu S., Dumbrava M., Mazilu I, -(1985)- „Sisteme hidrostatice portante”, Ed. Tehnic Bucure!ti

122. Stirbu C,- (1998) - „Cercet ri cu privire la realizarea rulmen ilor cu role butoi de î nalt tura ie î n

construc ii perfec ionate pentru vehicule feroviare”, Tez de doctorat, U.T. Iasi

123. Tevaarwerk J.L. & Johnson K.L.,-(1979)- “The Influence of Fluid Rheology on the Performance of Traction

Drives,” ASME Journal of Lubrication Technology, Vol. 101, Series F, n°3 , pp.266-274

124. Touma K., Kawamura H. & Kawakita K., -(1985)- “Ball Motion in High-Speed Angular Contact Ball

Bearings,”

Proceedings of the JSLE International Tribology Conference, Tokyo, Japan, July 8-10, pp.585-590.

125. Valeriu I,- (1996) - „Programare numeric ”, Ed. Teora

126. xxx- (1990)- „Algor, Modeling for Finite element Analysis”, June, vol. 2

127. xxx,- (1989) - „FAG, Standard Programme”, Catalogue 41510 EA.

128. xxx,- (1989) - „SKF, General Catalogue”, 4000/IE

129. xxx,- (1989) - „URB, Catalog general de rulmenti”, Nr. 7193.

130. Yasutomi S., Bair S. , Winer W.O.,- (1984) - “An Application of a Free Volume Model to Lubricant Rheology I

–

Dependence of Viscosity on Temperature and Pressure,” ASME Journal of Tribology, Vol. 106, n°2 , pp.291-303

131. Zhou, D., Cheng S,- (1988) - „Effect of Surface Roughness on the Point Contact EHL”, Transactions of the

ASME,

vol 110, p.32-37

132. Zhou R.S. & Hoeprich M.R., -(1991)-“Torque of Tapered Roller Bearings,” ASME Journal of Tribology, Vol. 113,

n°3 , pp.590-597.

133. Zhu, D.,- (2002) - “Elastohydrodynamic Lubrication in Extended Parameter Ranges, Part I, II—Speed Effect,”

Trib. Trans

134. Zhu, D. and Hu, Y. Z,- (1999) - “The Study of Transition from Full Film Elastohydrodynamic to Mixed and

Boundary Lubrication,” in Proc. of 1999 STLE/ASME, H. S. Cheng Trib. Surveillance, pp l 50-156.

135. Zhu, D. and Hu, Y. Z.,- (2001) - “Effects of Rough Surface Topography and Orientation on the Characteristics

of Rezmires D, „Fast numerical solutions to Hertzian and non Hertzian contact elasticity, Part II – The approximation

of Non-Hertzian contact parameters”

138. Rezmires D, „Fast numerical solutions to Hertzian and non Hertzian contact elasticity, Part 1 – Hertzian contact

analysis case”

139. Rezmires D, „The Rigidity Matrix Rolling Bearings Systems”

140. Rezmires D, „The Kinematic and Dymanic Effects on Double Row Spherical Ball Bearings and Double Row

Spherical Roller Bearings Systems. Part I. Load Distribution on Double Row Spherical Ball Berings”

141. Rezmires D, „The Angular Phase Differenece Effect in Spherical Roller Bearings and Spherical Ball Bearings,

Considering only Point Contact Type”

142. Rezmires D, „The Kinematic and Dymanic Effects on Double Row Spherical Ball Bearings and Double Row

Spherical Roller Bearings Systems. Part II. Load Distribution on Double Row Spherical Ball Berings

Systems”

143. Rezmires D, „The Ball Displacement in Angular Contact Ball Bearings for Static Loading – Analytical Relations”

rezmires d., (2003), theoretical and experimental research regarding the dynamics of spherical...

Documents

modificrii jocului n

calcul cuprinse n

pentru flexibilitatea

structurii srb

stagiu desfurate n

etape n evoluia constructiv

cinematicii rulmenilor

metodele structurilor